S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

PEMODELAN SISTEM

Tutorial

Agensi Pendidikan Persekutuan

Institusi pendidikan pendidikan profesional tinggi negeri

Universiti Teknologi Kimia Negeri Ivanovo

Universiti Antarabangsa Perniagaan dan Teknologi Baharu (Institut)

S.P. BOBKOV, D.O. BYTEV

PEMODELAN SISTEM

Untuk pelajar universiti.

Bobkov S.P. Sistem pemodelan: buku teks. elaun / S.P. Bobkov,

SEBELUM. Bytev; Ivan. negeri kimia-teknologi un-t. - Ivanovo, 2008. - 156 p. - ISBN

Tujuan buku teks adalah untuk memberi pelajar idea umum tentang kaedah moden pemodelan sistem dan objek teknikal dan tekno-ekonomi.

Manual membincangkan isu umum dan kaedah moden

logik pemodelan, penentuan berterusan dan diskret

membahagikan objek dan sistem, model stokastik dengan masa diskret dan berterusan. Banyak perhatian diberikan kepada kaedah pemodelan simulasi sistem dengan ciri kebarangkalian. Kajian semula diberikan tentang pendekatan lain untuk memodelkan sistem yang kompleks, seperti entropi maklumat, penggunaan rangkaian saraf dan jaring Petri.

Buku teks ini bertujuan untuk pelajar yang belajar dalam kepakaran latihan 080801 "Informatik Gunaan" dan 230201

«Sistem dan teknologi maklumat». Di samping itu, manual mungkin berguna untuk pelajar kepakaran dan arahan lain.

Jadual 7. Il.92. Bibliografi: 10 tajuk.

Diterbitkan oleh keputusan majlis editorial dan penerbitan Ivanov-

Universiti Teknologi Kimia Negeri.

Pengulas:

Jabatan Matematik Gunaan, Universiti Kejuruteraan Kuasa Negeri Ivanovo; Doktor Sains Fizikal dan Matematik V.A. Sokolov, (Universiti Negeri Yaroslavl).

ISBN 5-9616-0268-6 © Universiti Teknologi Kimia Negeri Ivanovo, 2008

1.5. Konsep skema pemodelan matematik. . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Metodologi umum untuk mencipta model matematik. . . . . . . . . . . 13

1.7. Konsep asas pendekatan sistematik untuk penciptaan

model matematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. MODEL DETERMINISTIK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dua puluh

2.1. Model matematik objek teknikal. . . . . . . . . . . . . . . dua puluh

2.1.1. Persamaan fungsi komponen bagi objek. . . . . dua puluh

2.1.2. Pembolehubah fasa dan analoginya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3. Persamaan topologi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.4. Contoh mencipta model objek teknikal. . . . . . . 25

2.1.5. Model peranti teknologi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Automata terhingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1. Konsep automaton terhingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2. Kaedah penerangan dan kelas automata terhingga. . . . . . . . 32

2.2.3. Jenis automata terhingga lain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. MODEL STOKASTIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Unsur-unsur teori proses rawak Markov. . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Konsep proses rawak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2. Rantai Markov diskret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3. Taburan kebarangkalian pegun. . . . . . . . . . . . . 43

3.1.4. Rantai Markov berterusan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.5. A.N. Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.6. Strim acara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2. Asas teori beratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Gambarajah blok umum QS. Parameter

dan ciri-ciri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2. QS gelung terbuka dengan tuntutan menunggu dan pesakit. 58

3.2.3. Hadkan varian QS terbuka. . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4 Kes umum QS terbuka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.5. Tertutup QS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.6. Rangkaian beratur

dengan aliran acara mudah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3. Automata kebarangkalian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4. PERMODELAN SIMULASI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Definisi kaedah simulasi. . . . . . . . . .
4.2. Konsep asas pemodelan simulasi. . . . . . . . . . . .
4.3. Peringkat utama pemodelan simulasi. . . . . . . . . . . . . .
4.4. Masa dalam model simulasi. Pseudo-paralelisme. . . . . . . . . .
4.5. Algoritma simulasi umum. . . . . . .
4.6. Memodelkan faktor rawak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Pemodelan pembolehubah rawak asas. . . . . . . . . . . .
4.6.2. Simulasi pembolehubah rawak berterusan
dengan pengagihan rawak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Pemodelan pembolehubah rawak diskret. . . . . . . . .
4.6.4. Memodelkan peristiwa rawak dan alirannya. . . . . . .
4.7 Memodelkan proses rawak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Rantai Markov Diskret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Rantai Markov berterusan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Pemprosesan dan analisis hasil simulasi.
4.8.1. Anggaran parameter kebarangkalian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. Anggaran parameter korelasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3. Pengiraan parameter QS purata masa. . . . . . . . . . . .
4.9. Merancang eksperimen dengan model simulasi. . . . .
4.10. Masalah am pemodelan simulasi. . . . . . . . . . . .
5. SEMAKAN PENDEKATAN ALTERNATIF PERMODELAN
SISTEM KOMPLEKS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Jaring petri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Definisi jaring Petri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Fungsi jaring Petri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Analisis jaring Petri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Rangkaian saraf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Konsep rangkaian saraf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. neuron buatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Jenis utama fungsi pengaktifan buatan
neuron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Jenis rangkaian neural ringkas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5. Rangkaian saraf berulang dan mengatur sendiri. . .
5.2.6. Kenyataan umum mengenai penggunaan rangkaian saraf. . . .
5.3. Pendekatan entropi maklumat kepada pemodelan sistem
SENARAI LITERATUR YANG DICADANGKAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .

PENGENALAN

Pemodelan adalah kaedah universal untuk mendapatkan dan menggunakan pengetahuan tentang dunia sekeliling. Permodelan sentiasa digunakan oleh seseorang dalam aktiviti bermatlamat, terutamanya dalam penyelidikan. Dalam keadaan moden, peranan dan kepentingan pemodelan matematik semakin meningkat, yang, dengan perkembangan teknologi komputer, sering dipanggil pemodelan komputer.

Model matematik (komputer), kerana ketekalannya dan sifat formal yang ketat, memungkinkan untuk mengenal pasti faktor utama yang menentukan sifat sistem yang dikaji dan mengkaji tindak balasnya terhadap pengaruh luar dan perubahan dalam parameter. Selalunya model matematik lebih mudah dan senang digunakan berbanding model semula jadi (fizikal). Mereka memungkinkan untuk menjalankan eksperimen pengiraan, perumusan sebenar yang sukar atau mustahil.

Kajian tentang prinsip asas pemodelan matematik adalah bahagian penting dalam latihan pakar dalam bidang aktiviti teknikal. Disiplin yang berkaitan dengan kajian aspek utama objek dan sistem pemodelan adalah wajib dimasukkan dalam kurikulum yang berkaitan, sebagai komponen standard pendidikan persekutuan.

Tujuan tutorial ini ialah pembentangan konsisten kaedah pemodelan moden. Manual ini ditujukan terutamanya untuk pelajar yang belajar dalam kepakaran dan bidang "Sistem Maklumat" dan "Informatik Gunaan (mengikut industri"). Namun, memandangkan pengalaman mengajar disiplin sedemikian di universiti teknikal, penulis menganggap wajar untuk tidak dihadkan. untuk mempertimbangkan hanya maklumat - mengenai sistem, tetapi juga untuk memasukkan dalam teks pertimbangan sistem dan objek teknikal dan tekno-ekonomi.

Bahan manual disusun seperti berikut. Bab pertama membincangkan isu umum dan metodologi pemodelan moden, penggunaan pendekatan sistematik dalam mencipta model matematik. Bab kedua ditumpukan kepada pertimbangan model deterministik berterusan dan diskret bagi objek dan sistem. Adalah dicadangkan untuk menggunakan kaedah analogi dalam sintesis dan analisis model objek teknikal pelbagai sifat fizikal. Dalam bab ketiga, model stokastik dengan masa diskret dan berterusan dikaji. Banyak perhatian dalam manual diberikan kepada kaedah pemodelan simulasi sistem dengan ciri kebarangkalian, yang merupakan kandungan bab keempat. Bab kelima memberikan gambaran keseluruhan pendekatan lain untuk memodelkan sistem yang kompleks, seperti entropi maklumat, penggunaan rangkaian saraf dan jaring Petri.

KONSEP AM PERMODELAN MATEMATIK

Model matematik objek teknikal ialah satu set objek matematik dan hubungan antara mereka yang cukup mencerminkan sifat objek yang dikaji yang menarik minat penyelidik (jurutera).

Model boleh diwakili dalam pelbagai cara.

Borang perwakilan model:

invarian - merekodkan hubungan model menggunakan bahasa matematik tradisional, tanpa mengira kaedah untuk menyelesaikan persamaan model;

analitikal - merekodkan model dalam bentuk hasil penyelesaian analisis persamaan awal model;

algoritma - merekodkan hubungan model dan kaedah penyelesaian berangka yang dipilih dalam bentuk algoritma.

skema (grafik) - perwakilan model dalam beberapa bahasa grafik (contohnya, bahasa graf, litar setara, gambar rajah, dll.);

fizikal

analog

Yang paling universal ialah penerangan matematik proses - pemodelan matematik.

Konsep pemodelan matematik juga merangkumi proses penyelesaian masalah pada komputer.

Model matematik umum

Model matematik menerangkan hubungan antara data awal dan nilai yang dikehendaki.

Unsur-unsur model matematik umum ialah (Rajah 1): satu set data input (pembolehubah) X,Y;

X - set pembolehubah berubah; Y - pembolehubah bebas (malar);

pengendali matematik L yang mentakrifkan operasi pada data ini; yang difahami sebagai sistem lengkap operasi matematik yang menerangkan hubungan berangka atau logik antara set data input dan output (pembolehubah);

set data keluaran (pembolehubah) G(X,Y); ialah satu set fungsi kriteria, termasuk (jika perlu) fungsi objektif.

Model matematik ialah analog matematik bagi objek yang direka. Tahap kecukupan objeknya ditentukan oleh perumusan dan ketepatan penyelesaian kepada masalah reka bentuk.

Set parameter pembolehubah (pembolehubah) X membentuk ruang parameter pembolehubah Rx (ruang carian), iaitu metrik dengan dimensi n sama dengan bilangan parameter pembolehubah.

Set pembolehubah tidak bersandar Y membentuk ruang metrik data input Ry. Dalam kes apabila setiap komponen ruang Ry diberikan oleh julat nilai yang mungkin, set pembolehubah bebas dipetakan kepada beberapa subruang terhad ruang Ry.

Set pembolehubah bebas Y menentukan persekitaran untuk operasi objek, i.e. keadaan luaran di mana objek yang direka bentuk akan beroperasi

Ia boleh menjadi:

• - parameter teknikal objek yang tidak tertakluk kepada perubahan semasa proses reka bentuk;
• - gangguan fizikal persekitaran yang mana objek reka bentuk berinteraksi;
• - parameter taktikal yang harus dicapai oleh objek reka bentuk.

Data keluaran model umum yang dipertimbangkan membentuk ruang metrik penunjuk kriteria RG.

Skim penggunaan model matematik dalam sistem reka bentuk berbantukan komputer ditunjukkan dalam Rajah.2.

Keperluan untuk model matematik

Keperluan utama untuk model matematik ialah keperluan kecukupan, kesejagatan dan ekonomi.

Kecukupan. Model ini dianggap mencukupi jika ia mencerminkan sifat yang diberikan dengan ketepatan yang boleh diterima. Ketepatan ditakrifkan sebagai tahap persetujuan antara nilai parameter output model dan objek.

Ketepatan model adalah berbeza dalam keadaan yang berbeza bagi fungsi objek. Keadaan ini dicirikan oleh parameter luaran. Dalam ruang parameter luaran, pilih kawasan kecukupan model, di mana ralat adalah kurang daripada ralat maksimum yang dibenarkan. Menentukan domain kecukupan model adalah prosedur kompleks yang memerlukan kos pengiraan yang besar, yang berkembang pesat dengan peningkatan dalam dimensi ruang parameter luaran. Tugas ini boleh melebihi tugas pengoptimuman parametrik model itu sendiri dalam jumlah, oleh itu, ia mungkin tidak dapat diselesaikan untuk objek yang baru direka bentuk.

Kesejagatan - ditentukan terutamanya oleh bilangan dan komposisi parameter luaran dan output yang diambil kira dalam model.

Ekonomi model dicirikan oleh kos sumber pengkomputeran untuk pelaksanaannya - kos masa dan memori komputer.

Keperluan bercanggah untuk model mempunyai pelbagai kecukupan, tahap kesejagatan yang tinggi dan kecekapan tinggi menentukan penggunaan beberapa model untuk objek dari jenis yang sama.

Kaedah Mendapatkan Model

Mendapatkan model dalam kes umum adalah prosedur tidak rasmi. Keputusan utama mengenai pilihan jenis hubungan matematik, sifat pembolehubah dan parameter yang digunakan, dibuat oleh pereka bentuk. Pada masa yang sama, operasi seperti pengiraan nilai berangka parameter model, penentuan kawasan kecukupan, dan lain-lain dialgoritkan dan diselesaikan pada komputer. Oleh itu, pemodelan elemen sistem yang direka bentuk biasanya dilakukan oleh pakar dalam bidang teknikal tertentu menggunakan kajian eksperimen tradisional.

Kaedah untuk mendapatkan model fungsi elemen dibahagikan kepada teori dan eksperimen.

Kaedah teori adalah berdasarkan kajian keteraturan fizikal proses yang berlaku dalam objek, menentukan penerangan matematik yang sepadan dengan keteraturan ini, mengesahkan dan menerima andaian yang memudahkan, melakukan pengiraan yang diperlukan dan membawa hasilnya kepada bentuk perwakilan model yang diterima. .

Kaedah eksperimen adalah berdasarkan penggunaan manifestasi luaran bagi sifat objek, tetap semasa operasi objek jenis yang sama atau semasa eksperimen yang disasarkan.

Walaupun sifat heuristik banyak operasi, pemodelan mempunyai beberapa peruntukan dan teknik yang biasa untuk mendapatkan model pelbagai objek. Mereka agak umum sifatnya.

teknik pemodelan makro,

kaedah matematik untuk merancang eksperimen,

algoritma untuk operasi rasmi untuk mengira nilai berangka parameter dan menentukan kawasan kecukupan.

Menggunakan Model Matematik

Kuasa pengkomputeran komputer moden, digabungkan dengan penyediaan semua sumber sistem kepada pengguna, kemungkinan mod interaktif semasa menyelesaikan masalah dan menganalisis keputusan, memungkinkan untuk meminimumkan masa untuk menyelesaikan masalah.

Semasa menyusun model matematik, penyelidik dikehendaki:

mengkaji sifat objek yang dikaji;

keupayaan untuk memisahkan sifat utama objek daripada yang sekunder;

menilai andaian yang dibuat.

Model ini menerangkan hubungan antara data input dan nilai yang dikehendaki. Urutan tindakan yang mesti dilakukan untuk berpindah dari data awal ke nilai yang dikehendaki dipanggil algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan masalah pada komputer dikaitkan dengan pilihan kaedah berangka. Bergantung kepada bentuk perwakilan model matematik (bentuk algebra atau pembezaan), pelbagai kaedah berangka digunakan.

Intipati pemodelan ekonomi dan matematik terletak pada huraian sistem dan proses sosio-ekonomi dalam bentuk model ekonomi dan matematik.

Mari kita pertimbangkan soalan klasifikasi kaedah ekonomi dan matematik. Kaedah ini, seperti yang dinyatakan di atas, adalah kompleks disiplin ekonomi dan matematik yang merupakan gabungan ekonomi, matematik dan sibernetik.

Oleh itu, klasifikasi kaedah ekonomi dan matematik dikurangkan kepada klasifikasi disiplin saintifik yang termasuk dalam komposisi mereka. Walaupun klasifikasi yang diterima umum bagi disiplin ini belum lagi dibangunkan, dengan tahap penghampiran tertentu, bahagian berikut boleh dibezakan dalam komposisi kaedah ekonomi dan matematik:

• * sibernetik ekonomi: analisis sistem ekonomi, teori maklumat ekonomi dan teori sistem kawalan;
• * statistik matematik: aplikasi ekonomi disiplin ini - kaedah pensampelan, analisis varians, analisis korelasi, analisis regresi, analisis statistik multivariate, analisis faktor, teori indeks, dsb.;
• * ekonomi matematik dan ekonometrik mengkaji soalan yang sama dari segi kuantitatif: teori pertumbuhan ekonomi, teori fungsi pengeluaran, imbangan antara sektor, akaun negara, analisis permintaan dan penggunaan, analisis serantau dan spatial, pemodelan global, dll.;
• * kaedah untuk membuat keputusan yang optimum, termasuk kajian operasi dalam ekonomi. Ini adalah bahagian yang paling banyak, yang merangkumi disiplin dan kaedah berikut: pengaturcaraan optimum (matematik), termasuk kaedah cawangan dan terikat, kaedah perancangan dan kawalan rangkaian, kaedah perancangan dan kawalan sasaran program, teori dan kaedah pengurusan inventori, teori baris gilir , teori permainan, teori dan kaedah keputusan, teori penjadualan. Pengaturcaraan optimum (matematik) termasuk, seterusnya, pengaturcaraan linear, pengaturcaraan bukan linear, pengaturcaraan dinamik, pengaturcaraan diskret (integer), pengaturcaraan linear pecahan, pengaturcaraan parametrik, pengaturcaraan boleh dipisahkan, pengaturcaraan stokastik, pengaturcaraan geometri;
• * Kaedah dan disiplin yang khusus untuk kedua-dua ekonomi terancang pusat dan ekonomi pasaran (berdaya saing). Yang pertama termasuk teori fungsi ekonomi yang optimum, perancangan optimum, teori harga optimum, model logistik, dan lain-lain. Yang kedua ialah kaedah yang membolehkan membangunkan model persaingan bebas, model kitaran kapitalis, model monopoli, model perancangan indikatif, model teori firma dsb.

Banyak kaedah yang dibangunkan untuk ekonomi terancang pusat juga boleh berguna dalam pemodelan ekonomi dan matematik dalam ekonomi pasaran;

* kaedah kajian eksperimen fenomena ekonomi. Ini termasuk, sebagai peraturan, kaedah matematik analisis dan perancangan eksperimen ekonomi, kaedah simulasi mesin (simulasi), permainan perniagaan. Ini juga termasuk kaedah penilaian pakar yang dibangunkan untuk menilai fenomena yang tidak boleh diukur secara langsung.

Sekarang mari kita beralih kepada persoalan mengklasifikasikan model ekonomi dan matematik, dengan kata lain, model matematik sistem dan proses sosio-ekonomi.

Sistem pengelasan bersatu untuk model sedemikian pada masa ini tidak wujud sama ada, bagaimanapun, lebih daripada sepuluh ciri utama pengelasan mereka, atau tajuk pengelasan, biasanya dibezakan. Mari kita lihat beberapa bahagian ini.

Mengikut tujuan umum, model ekonomi dan matematik dibahagikan kepada teori dan analitikal, digunakan dalam kajian sifat umum dan corak proses ekonomi, dan digunakan, digunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi khusus analisis, ramalan dan pengurusan. Pelbagai jenis model ekonomi dan matematik gunaan dipertimbangkan dalam tutorial ini.

Mengikut tahap pengagregatan objek pemodelan, model dibahagikan kepada makroekonomi dan mikroekonomi. Walaupun tidak ada perbezaan yang jelas antara mereka, yang pertama termasuk model yang mencerminkan fungsi ekonomi secara keseluruhan, manakala model mikroekonomi dikaitkan, sebagai peraturan, dengan bahagian ekonomi seperti perusahaan dan firma.

Mengikut tujuan tertentu, iaitu, mengikut tujuan penciptaan dan aplikasi, model keseimbangan dibezakan, menyatakan keperluan bahawa ketersediaan sumber sepadan dengan penggunaannya; model trend, di mana pembangunan sistem ekonomi yang dimodelkan dicerminkan melalui trend (trend jangka panjang) penunjuk utamanya; model pengoptimuman yang direka untuk memilih pilihan terbaik daripada beberapa pilihan pengeluaran, pengedaran atau penggunaan tertentu; model simulasi yang dimaksudkan untuk digunakan dalam proses simulasi mesin bagi sistem atau proses yang dikaji, dsb.

Mengikut jenis maklumat yang digunakan dalam model, model ekonomi-matematik dibahagikan kepada analitikal, dibina berdasarkan maklumat priori, dan boleh dikenal pasti, dibina di atas maklumat posterior.

Dengan mengambil kira faktor masa, model dibahagikan kepada statik, di mana semua kebergantungan berkaitan dengan satu titik dalam masa, dan dinamik, yang menggambarkan sistem ekonomi dalam pembangunan.

Dengan mengambil kira faktor ketidakpastian, model dibahagikan kepada yang deterministik, jika hasil output di dalamnya ditentukan secara unik oleh tindakan kawalan, dan stokastik (kebarangkalian), jika apabila set nilai tertentu ditentukan pada input model , keputusan yang berbeza boleh diperoleh bergantung pada tindakan faktor rawak.

Model ekonomi dan matematik juga boleh dikelaskan mengikut ciri-ciri objek matematik yang termasuk dalam model, dengan kata lain, mengikut jenis radas matematik yang digunakan dalam model. Atas dasar ini, model matriks, model pengaturcaraan linear dan bukan linear, model regresi korelasi,

Konsep asas pemodelan matematik model teori beratur, model perancangan dan kawalan rangkaian, model teori permainan, dsb.

Akhirnya, mengikut jenis pendekatan kepada sistem sosio-ekonomi yang dikaji, model deskriptif dan normatif dibezakan. Dengan pendekatan deskriptif (deskriptif), model diperolehi yang direka bentuk untuk menerangkan dan menerangkan fenomena yang sebenarnya diperhatikan atau untuk meramalkan fenomena ini; Sebagai contoh model deskriptif, kita boleh memetik model keseimbangan dan arah aliran yang dinamakan sebelum ini. Dalam pendekatan normatif, seseorang tidak berminat tentang bagaimana sistem ekonomi disusun dan berkembang, tetapi bagaimana ia harus disusun dan bagaimana ia harus beroperasi dalam erti kata kriteria tertentu. Khususnya, semua model pengoptimuman adalah daripada jenis normatif; model normatif taraf hidup boleh menjadi contoh lain.

Mari kita pertimbangkan sebagai contoh model ekonomi-matematik bagi baki input-output (EMM IOB). Dengan mengambil kira tajuk pengelasan di atas, ini ialah model gunaan, makroekonomi, analitikal, deskriptif, deterministik, imbangan, matriks; Terdapat kedua-dua kaedah statik dan kaedah dinamik.

Pengaturcaraan linear ialah cabang tertentu pengaturcaraan optimum. Sebaliknya, pengaturcaraan optimum (matematik) ialah cabang matematik gunaan yang mengkaji masalah pengoptimuman bersyarat. Dalam ekonomi, masalah sedemikian timbul dalam pelaksanaan praktikal prinsip optimum dalam perancangan dan pengurusan.

Syarat yang perlu untuk menggunakan pendekatan yang optimum kepada perancangan dan pengurusan (prinsip optimum) ialah fleksibiliti, alternatif pengeluaran dan situasi ekonomi di mana perancangan dan keputusan pengurusan perlu dibuat. Situasi ini, sebagai peraturan, yang membentuk amalan harian entiti ekonomi (memilih program pengeluaran, melekat pada pembekal, penghalaan, memotong bahan, menyediakan campuran, dll.).

Intipati prinsip optimum ialah keinginan untuk memilih keputusan perancangan dan pengurusan sedemikian X = (xi, X2 xn), di mana Xu, (y = 1. x) - komponennya, yang terbaik akan mengambil kira keupayaan dalaman dan keadaan luaran aktiviti pengeluaran sesebuah entiti ekonomi .

Perkataan "dengan cara terbaik" di sini bermaksud pemilihan beberapa kriteria optimum, i.e. beberapa penunjuk ekonomi yang membolehkan anda membandingkan keberkesanan keputusan perancangan dan pengurusan tertentu. Kriteria optimum tradisional: "keuntungan maksimum", "kos minimum", "keuntungan maksimum", dll. Perkataan "akan mengambil kira keupayaan dalaman dan keadaan luaran aktiviti pengeluaran" bermakna beberapa syarat dikenakan ke atas pilihan keputusan perancangan dan pengurusan (tingkah laku), t .e. pilihan X dijalankan dari kawasan tertentu penyelesaian yang mungkin (boleh diterima) D; kawasan ini juga dipanggil kawasan definisi masalah. masalah umum pengaturcaraan optimum (matematik), sebaliknya, model matematik masalah pengaturcaraan optimum, pembinaan (pembangunan) yang berdasarkan prinsip optimum dan konsisten.

Vektor X (satu set pembolehubah kawalan Xj, j = 1, n) dipanggil penyelesaian yang boleh dilaksanakan, atau rancangan masalah pengaturcaraan yang optimum, jika ia memenuhi sistem kekangan. Dan pelan X (penyelesaian boleh diterima) yang menyampaikan maksimum atau minimum fungsi objektif f(xi, *2, ..., xn) dipanggil pelan optimum (tingkah laku optimum, atau ringkasnya penyelesaian) masalah pengaturcaraan optimum.

Oleh itu, pilihan tingkah laku pengurusan yang optimum dalam situasi pengeluaran tertentu dikaitkan dengan menjalankan pemodelan ekonomi dan matematik dari sudut ketekalan dan optimum serta menyelesaikan masalah pengaturcaraan optimum. Masalah pengaturcaraan optimum dalam bentuk yang paling umum dikelaskan mengikut kriteria berikut.

• 1. Dengan sifat hubungan antara pembolehubah -
• a) linear
• b) bukan linear.

Dalam kes a) semua sambungan berfungsi dalam sistem sekatan dan fungsi matlamat adalah fungsi linear; kehadiran ketaklinearan dalam sekurang-kurangnya satu daripada elemen yang disebutkan membawa kepada kes b).

• 2. Dengan sifat perubahan dalam pembolehubah --
• a) berterusan
• b) diskret.

Dalam kes a) nilai setiap pembolehubah kawalan boleh mengisi sepenuhnya kawasan tertentu nombor nyata; dalam kes b) semua atau sekurang-kurangnya satu pembolehubah boleh mengambil hanya nilai integer.

• 3. Dengan mengambil kira faktor masa -
• a) statik
• b) dinamik.

Dalam tugasan a), pemodelan dan pembuatan keputusan dijalankan di bawah andaian bahawa unsur-unsur model adalah bebas daripada masa dalam tempoh masa yang mana keputusan perancangan dan pengurusan dibuat. Dalam kes b), andaian sedemikian tidak boleh diterima dengan alasan yang mencukupi dan faktor masa mesti diambil kira.

• 4. Mengikut ketersediaan maklumat tentang pembolehubah --
• a) tugas di bawah syarat kepastian lengkap (deterministik),
• b) tugas dalam keadaan maklumat yang tidak lengkap,
• c) tugas di bawah keadaan ketidakpastian.

Dalam tugas b), elemen individu adalah kuantiti kebarangkalian, bagaimanapun, undang-undang pengedarannya diketahui atau kajian statistik tambahan boleh diwujudkan. Dalam kes c), seseorang boleh membuat andaian tentang kemungkinan hasil unsur rawak, tetapi tidak mungkin untuk membuat kesimpulan tentang kebarangkalian hasil.

• 5. Mengikut bilangan kriteria untuk menilai alternatif -
• a) tugasan mudah, kriteria tunggal,
• b) tugasan yang kompleks dan pelbagai kriteria.

Dalam tugas a) boleh diterima dari segi ekonomi untuk menggunakan satu kriteria optimum atau boleh dilakukan dengan prosedur khas (contohnya, "petimbangan keutamaan")

KULIAH 4

Definisi dan tujuan pemodelan matematik

Di bawah model(dari modulus Latin - ukuran, sampel, norma) kita akan memahami objek yang diwakili secara material atau mental yang, dalam proses kognisi (kajian), menggantikan objek asal, mengekalkan beberapa ciri tipikalnya yang penting untuk kajian ini . Proses membina dan menggunakan model dipanggil modelling.

intipati pemodelan matematik (MM) adalah untuk menggantikan objek (proses) yang dikaji dengan model matematik yang mencukupi dan kemudian mengkaji sifat-sifat model ini menggunakan sama ada kaedah analisis atau eksperimen pengiraan.

Kadangkala lebih berguna, bukannya memberikan definisi yang ketat, untuk menerangkan konsep tertentu dengan contoh khusus. Oleh itu, kami menggambarkan definisi MM di atas menggunakan contoh masalah pengiraan impuls khusus. Pada awal 1960-an, saintis berhadapan dengan tugas untuk membangunkan bahan api roket dengan dorongan spesifik tertinggi. Prinsip pergerakan roket adalah seperti berikut: bahan api cecair dan pengoksida dari tangki roket dimasukkan ke dalam enjin, di mana ia dibakar, dan produk pembakaran dilepaskan ke atmosfera. Daripada undang-undang pemuliharaan momentum, ia mengikuti bahawa dalam kes ini roket akan bergerak dengan laju.

Impuls spesifik bahan api ialah impuls yang terhasil dibahagikan dengan jisim bahan api. Eksperimen itu sangat mahal dan membawa kepada kerosakan sistematik pada peralatan. Ternyata lebih mudah dan lebih murah untuk mengira fungsi termodinamik gas ideal, untuk mengira dengan bantuan mereka komposisi gas yang dipancarkan dan suhu plasma, dan kemudian impuls tertentu. Iaitu, untuk menjalankan MM proses pembakaran bahan api.

Konsep pemodelan matematik (MM) hari ini adalah salah satu yang paling biasa dalam kesusasteraan saintifik. Sebahagian besar tesis dan disertasi moden dikaitkan dengan pembangunan dan penggunaan model matematik yang sesuai. Komputer MM hari ini adalah sebahagian daripada banyak bidang aktiviti manusia (sains, teknologi, ekonomi, sosiologi, dll.). Inilah antara punca kekurangan pakar dalam bidang teknologi maklumat masa kini.

Pertumbuhan pesat pemodelan matematik adalah disebabkan oleh peningkatan pesat teknologi komputer. Jika 20 tahun yang lalu hanya sebilangan kecil pengaturcara yang terlibat dalam pengiraan berangka, kini jumlah memori dan kelajuan komputer moden, yang memungkinkan untuk menyelesaikan masalah pemodelan matematik, tersedia untuk semua pakar, termasuk pelajar universiti.

Dalam mana-mana disiplin, penerangan kualitatif tentang fenomena pertama kali diberikan. Dan kemudian - kuantitatif, dirumuskan dalam bentuk undang-undang yang mewujudkan hubungan antara pelbagai kuantiti (kekuatan medan, intensiti hamburan, caj elektron, ...) dalam bentuk persamaan matematik. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa dalam setiap disiplin terdapat banyak sains kerana terdapat ahli matematik di dalamnya, dan fakta ini membolehkan kita berjaya menyelesaikan banyak masalah menggunakan kaedah pemodelan matematik.

Kursus ini direka untuk pelajar jurusan matematik gunaan yang sedang menyiapkan tesis mereka di bawah pengawasan saintis terkemuka yang bekerja dalam pelbagai bidang. Oleh itu, kursus ini perlu bukan sahaja sebagai bahan pengajaran, tetapi juga sebagai persediaan untuk tesis. Untuk mempelajari kursus ini, kami memerlukan bahagian matematik berikut:

1. Persamaan fizik matematik (mekanik Kantian, gas dan hidrodinamik)

2. Algebra linear (teori keanjalan)

3. Medan skalar dan vektor (teori medan)

4. Teori kebarangkalian (mekanik kuantum, fizik statistik, kinetik fizik)

5. Ciri khas.

6. Analisis tensor (teori keanjalan)

7. Analisis matematik

MM dalam sains semula jadi, kejuruteraan dan ekonomi

Mari kita pertimbangkan dahulu pelbagai cabang sains semula jadi, teknologi, ekonomi, di mana model matematik digunakan.

sains semula jadi

Fizik, yang menetapkan undang-undang asas sains semula jadi, telah lama dibahagikan kepada teori dan eksperimen. Fizik teori berkaitan dengan terbitan persamaan yang menerangkan fenomena fizik. Oleh itu, fizik teori juga boleh dianggap sebagai salah satu bidang pemodelan matematik. (Ingat bahawa tajuk buku pertama mengenai fizik - "Prinsip Matematik Falsafah Alam" oleh I. Newton boleh diterjemahkan ke dalam bahasa moden sebagai "Model Matematik Sains Semula Jadi".) Berdasarkan undang-undang yang diperoleh, pengiraan kejuruteraan dijalankan keluar, yang dijalankan di pelbagai institut, firma, biro reka bentuk. Organisasi ini membangunkan teknologi untuk pembuatan produk moden yang berintensif sains.Oleh itu, konsep teknologi berintensif sains merangkumi pengiraan menggunakan model matematik yang sesuai.

Salah satu cabang fizik yang paling luas - mekanik klasik(kadang-kadang bahagian ini dipanggil mekanik teori atau analitik). Bahagian fizik teori ini mengkaji gerakan dan interaksi jasad. Pengiraan menggunakan rumus mekanik teori diperlukan apabila mengkaji putaran jasad (mengira momen inersia, girostat - peranti yang mengekalkan paksi putaran tidak bergerak), menganalisis pergerakan jasad dalam vakum, dsb. Salah satu bahagian mekanik teori dipanggil teori kestabilan dan mendasari banyak model matematik yang menerangkan pergerakan pesawat, kapal, roket. Bahagian mekanik praktikal - kursus "Teori mesin dan mekanisme", "Bahagian mesin", dipelajari oleh pelajar hampir semua universiti teknikal (termasuk MGIU).

Teori keanjalan- sebahagian daripada bahagian mekanik kontinum, yang mengandaikan bahawa bahan badan elastik adalah homogen dan diagihkan secara berterusan ke seluruh isipadu badan, supaya unsur terkecil yang dipotong daripada badan mempunyai sifat fizikal yang sama dengan seluruh badan. Aplikasi teori keanjalan - kursus "kekuatan bahan", dipelajari oleh pelajar semua universiti teknikal (termasuk MGIU). Bahagian ini diperlukan untuk semua pengiraan kekuatan. Berikut adalah pengiraan kekuatan badan kapal, pesawat, peluru berpandu, pengiraan kekuatan keluli dan struktur konkrit bertetulang bangunan, dan banyak lagi.

Gas dan hidrodinamik, serta teori keanjalan - sebahagian daripada bahagian mekanik kontinum, mengambil kira undang-undang pergerakan cecair dan gas. Persamaan gas dan hidrodinamik diperlukan apabila menganalisis pergerakan badan dalam medium cecair dan gas (satelit, kapal selam, roket, peluru, kereta), apabila mengira aliran keluar gas dari muncung roket dan enjin pesawat. Aplikasi Praktikal Dinamik Bendalir – Hidraulik (Brake, Kemudi,…)

Bahagian mekanik sebelumnya menganggap pergerakan jasad dalam makrokosmos, dan undang-undang fizikal makrokosmos tidak terpakai dalam mikrokosmos, di mana zarah jirim bergerak - proton, neutron, elektron. Di sini, prinsip yang sama sekali berbeza beroperasi, dan untuk menerangkan dunia mikro, adalah perlu untuk mekanik kuantum. Persamaan asas yang menerangkan kelakuan zarah mikro ialah persamaan Schrödinger: . Di sini, ialah pengendali Hamiltonian (Hamiltonian). Untuk persamaan gerakan zarah satu dimensi https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-tenaga potensi. Penyelesaian persamaan ini ialah satu set nilai eigen tenaga dan fungsi eigen..gif" width="55" height="24 src=">– ketumpatan kebarangkalian. Pengiraan mekanikal kuantum diperlukan untuk pembangunan bahan baru (litar mikro), penciptaan laser, pembangunan kaedah analisis spektrum, dsb.

Sebilangan besar tugas diselesaikan kinetik menerangkan pergerakan dan interaksi zarah. Di sini dan penyebaran, pemindahan haba, teori plasma - keadaan keempat jirim.

fizik statistik menganggap ensemble zarah, membolehkan anda mengatakan tentang parameter ensemble, berdasarkan sifat zarah individu. Jika ensemble terdiri daripada molekul gas, maka sifat ensemble yang diperolehi oleh kaedah fizik statistik adalah persamaan keadaan gas yang terkenal dari sekolah menengah: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-berat molekul gas. K ialah pemalar Rydberg. Kaedah statistik juga digunakan untuk mengira sifat larutan, kristal, dan elektron dalam logam. MM fizik statistik ialah asas teori termodinamik, yang mendasari pengiraan enjin, rangkaian haba dan stesen.

Teori lapangan menerangkan dengan kaedah MM salah satu bentuk utama jirim - medan. Dalam kes ini, medan elektromagnet adalah kepentingan utama. Persamaan medan elektromagnet (elektrodinamik) diperolehi oleh Maxwell: , , , . Di sini dan https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - ketumpatan cas, - ketumpatan arus. Persamaan elektrodinamik mendasari pengiraan perambatan gelombang elektromagnet yang diperlukan untuk menerangkan perambatan gelombang radio (radio, televisyen, komunikasi selular), terangkan operasi stesen radar.

Kimia boleh diwakili dalam dua aspek, menonjolkan kimia deskriptif - penemuan faktor kimia dan penerangannya - dan kimia teori - pembangunan teori yang membenarkan generalisasi faktor yang telah ditetapkan dan membentangkannya dalam bentuk sistem tertentu (L. Pauling) . Kimia teori juga dipanggil kimia fizik dan, pada dasarnya, satu cabang fizik yang mengkaji bahan dan interaksinya. Oleh itu, semua yang telah dikatakan tentang fizik terpakai sepenuhnya untuk kimia. Bahagian kimia fizikal akan menjadi termokimia, yang mengkaji kesan haba tindak balas, kinetik kimia (kadar tindak balas), kimia kuantum (struktur molekul). Pada masa yang sama, masalah kimia adalah sangat kompleks. Jadi, sebagai contoh, untuk menyelesaikan masalah kimia kuantum - sains struktur atom dan molekul, program digunakan yang setanding dengan jumlahnya dengan program pertahanan udara negara. Sebagai contoh, untuk menerangkan molekul UCl4, yang terdiri daripada 5 nukleus atom dan +17 * 4) elektron, anda perlu menulis persamaan gerakan - persamaan dalam derivatif separa.

Biologi

Matematik benar-benar masuk ke dalam biologi hanya pada separuh kedua abad ke-20. Percubaan pertama untuk menerangkan secara matematik proses biologi adalah berkaitan dengan model dinamik populasi. Populasi ialah komuniti individu daripada spesies yang sama yang menduduki kawasan ruang tertentu di Bumi. Bidang biologi matematik ini, yang mengkaji perubahan saiz populasi dalam pelbagai keadaan (kehadiran spesies bersaing, pemangsa, penyakit, dll.), seterusnya berfungsi sebagai medan ujian matematik di mana model matematik dalam pelbagai bidang biologi " dilaksanakan". Termasuk model evolusi, mikrobiologi, imunologi dan bidang lain yang berkaitan dengan populasi sel.
Model pertama yang diketahui yang dirumuskan dalam persekitaran biologi ialah siri Fibonacci yang terkenal (setiap nombor berikutnya adalah jumlah dua sebelumnya), yang dipetik dalam karyanya oleh Leonardo dari Pisa pada abad ke-13. Ini adalah siri nombor yang menggambarkan bilangan pasangan arnab yang dilahirkan setiap bulan, jika arnab mula membiak dari bulan kedua dan menghasilkan sepasang arnab setiap bulan. Baris mewakili urutan nombor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Contoh lain ialah kajian proses pengangkutan transmembran ionik pada membran dwilapisan tiruan. Di sini, untuk mengkaji undang-undang pembentukan liang yang melaluinya ion melalui membran ke dalam sel, adalah perlu untuk mencipta sistem model yang boleh dikaji secara eksperimen, dan yang mana penerangan fizikal yang dibangunkan dengan baik boleh dibuat. digunakan.

Contoh klasik MM juga ialah populasi Drosophila. Model yang lebih mudah ialah virus, yang boleh disebarkan dalam tabung uji. Kaedah pemodelan dalam biologi ialah kaedah teori sistem dinamik, dan caranya ialah persamaan pembezaan dan perbezaan, kaedah teori kualitatif persamaan pembezaan, pemodelan simulasi.
Matlamat pemodelan dalam biologi:
3. Penjelasan tentang mekanisme interaksi antara unsur-unsur sistem
4. Pengenalpastian dan pengesahan parameter model menggunakan data eksperimen.
5. Penilaian kestabilan sistem (model).

6. Ramalan kelakuan sistem di bawah pelbagai pengaruh luar, pelbagai kaedah kawalan, dan sebagainya.
7. Kawalan optimum sistem mengikut kriteria optimum yang dipilih.

teknik

Sebilangan besar pakar terlibat dalam peningkatan teknologi, yang dalam kerja mereka bergantung pada hasil penyelidikan saintifik. Oleh itu, MM dalam teknologi adalah sama dengan MM dalam sains semula jadi, yang telah dibincangkan di atas.

Ekonomi dan proses sosial

Secara umum diterima bahawa pemodelan matematik sebagai kaedah menganalisis proses makroekonomi pertama kali digunakan oleh doktor Raja Louis XV, Dr. François Quesnay, yang pada tahun 1758 menerbitkan karya "Economic Table". Dalam karya ini, percubaan pertama dibuat untuk menggambarkan secara kuantitatif ekonomi negara. Dan pada tahun 1838 dalam buku itu O. Cournot Kaedah kuantitatif "Penyiasatan prinsip matematik teori kekayaan" pertama kali digunakan untuk menganalisis persaingan dalam pasaran untuk barangan dalam pelbagai situasi pasaran.

Teori kependudukan Malthus juga diketahui secara meluas, di mana beliau mencadangkan idea bahawa pertumbuhan penduduk adalah jauh dari sentiasa diingini, dan pertumbuhan ini lebih cepat daripada kemungkinan yang semakin meningkat untuk menyediakan penduduk dengan makanan. Model matematik proses sedemikian agak mudah: Biarkan - pertumbuhan populasi dari semasa ke semasa https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> populasi adalah sama dengan .dan adakah pekali yang mengambil kira kadar kelahiran dan kematian (orang/tahun).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Kaedah instrumental dan matematik" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">kaedah analisis matematik (contohnya, dalam beberapa dekad kebelakangan ini, teori matematik perkembangan budaya telah muncul dalam bidang kemanusiaan, model matematik mobilisasi, perkembangan kitaran proses sosiobudaya, model interaksi antara rakyat dan kerajaan, model perlumbaan senjata, dsb.) telah dibina dan dikaji.

Dalam istilah yang paling umum, proses MM proses sosio-ekonomi boleh dibahagikan secara bersyarat kepada empat peringkat:

membentuk sistem hipotesis dan membangunkan model konseptual; pembangunan model matematik; analisis keputusan pengiraan model, yang termasuk perbandingannya dengan amalan; penggubalan hipotesis baharu dan penghalusan model sekiranya berlaku percanggahan antara keputusan pengiraan dan data praktikal.

Ambil perhatian bahawa, sebagai peraturan, proses pemodelan matematik adalah kitaran, kerana walaupun semasa mengkaji proses yang agak mudah, jarang sekali mungkin untuk membina model matematik yang mencukupi dari langkah pertama dan memilih parameter yang tepat.

Pada masa ini, ekonomi dianggap sebagai sistem pembangunan yang kompleks, untuk penerangan kuantitatif yang mana model matematik dinamik dengan pelbagai darjah kerumitan digunakan. Salah satu bidang penyelidikan dinamik makroekonomi dikaitkan dengan pembinaan dan analisis model simulasi tak linear yang agak mudah yang mencerminkan interaksi pelbagai subsistem - pasaran buruh, pasaran barangan, sistem kewangan, persekitaran semula jadi, dll.

Teori malapetaka berkembang dengan jayanya. Teori ini mempertimbangkan persoalan keadaan di mana perubahan dalam parameter sistem tak linear menyebabkan titik dalam ruang fasa, mencirikan keadaan sistem, bergerak dari kawasan tarikan ke kedudukan keseimbangan awal ke kawasan tarikan kepada kedudukan keseimbangan yang lain. Yang terakhir ini sangat penting bukan sahaja untuk analisis sistem teknikal, tetapi juga untuk memahami kemampanan proses sosio-ekonomi. Dalam hal ini, dapatan tentang kepentingan kajian model tak linear untuk pengurusan. Dalam buku "The Theory of Catastrophes", yang diterbitkan pada tahun 1990, dia, khususnya, menulis: "... penstrukturan semula semasa sebahagian besarnya disebabkan oleh fakta bahawa sekurang-kurangnya beberapa mekanisme maklum balas (ketakutan akan kemusnahan peribadi) telah mula beroperasi. ."

(parameter model)

Apabila membina model objek dan fenomena sebenar, seseorang sering menghadapi kekurangan maklumat. Untuk objek yang dikaji, taburan sifat, parameter impak dan keadaan awal diketahui dengan tahap ketidakpastian yang berbeza-beza. Apabila membina model, pilihan berikut untuk menerangkan parameter yang tidak pasti adalah mungkin:

Klasifikasi model matematik

(kaedah pelaksanaan)

Kaedah pelaksanaan MM boleh dikelaskan mengikut jadual di bawah.

Kaedah Pelaksanaan MM Selalunya, penyelesaian analisis untuk model dibentangkan dalam bentuk fungsi. Untuk mendapatkan nilai fungsi ini untuk nilai khusus parameter input, pengembangannya ke dalam siri (contohnya, Taylor) digunakan, dan nilai fungsi untuk setiap nilai argumen ditentukan lebih kurang. Model yang menggunakan teknik ini dipanggil anggaran. Pada pendekatan berangka set hubungan matematik model digantikan dengan analog dimensi terhingga. Ini paling kerap dicapai dengan mendiskritkan hubungan awal, iaitu, dengan memindahkan daripada fungsi hujah berterusan kepada fungsi hujah diskret (kaedah grid). Penyelesaian yang ditemui selepas pengiraan pada komputer diambil sebagai penyelesaian anggaran masalah asal. Kebanyakan sistem sedia ada adalah sangat kompleks, dan adalah mustahil untuk mencipta model sebenar untuk mereka, diterangkan secara analitik. Sistem sedemikian harus dikaji menggunakan pemodelan simulasi. Salah satu kaedah utama pemodelan simulasi dikaitkan dengan penggunaan penjana nombor rawak. Memandangkan sejumlah besar masalah diselesaikan dengan kaedah MM, kaedah pelaksanaan MM dikaji dalam lebih daripada satu kursus latihan. Berikut ialah persamaan pembezaan separa, kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan ini, matematik pengiraan, simulasi komputer, dsb. PAULING, LINUS CARL (Pauling, Linus Carl) (), ahli kimia dan fizik Amerika, menganugerahkan Hadiah Nobel Kimia 1954 untuk kajiannya tentang sifat ikatan kimia dan penentuan struktur protein. Dilahirkan pada 28 Februari 1901 di Portland, Oregon. Dia membangunkan kaedah mekanikal kuantum untuk mengkaji struktur molekul (bersama-sama dengan ahli fizik Amerika J. Slayer) - kaedah ikatan valens, serta teori resonans, yang memungkinkan untuk menerangkan struktur sebatian yang mengandungi karbon. , terutamanya sebatian siri aromatik. Semasa tempoh kultus personaliti USSR, saintis yang terlibat dalam kimia kuantum telah dianiaya dan dituduh "polingisme". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), ahli ekonomi Inggeris. Dilahirkan di Rookery berhampiran Dorking di Surrey pada 15 atau 17 Februari 1766. Pada 1798 beliau menerbitkan tanpa nama Percubaan mengenai undang-undang populasi. Pada tahun 1819 Malthus telah dipilih sebagai Felo Persatuan Diraja.

Model (dari bahasa Latin modulus - ukuran) dan pemodelan adalah konsep saintifik umum. Pemodelan dari sudut pandangan saintifik umum bertindak sebagai cara kognisi melalui pembinaan objek khas, sistem - model objek, fenomena atau proses yang dikaji. Pada masa yang sama, satu atau objek lain dipanggil model apabila ia digunakan untuk mendapatkan maklumat mengenai objek lain - prototaip model.

Kaedah pemodelan digunakan dalam hampir semua sains tanpa pengecualian dan pada semua peringkat penyelidikan saintifik. Kekuatan heuristik kaedah ini ditentukan oleh fakta bahawa dengan bantuan kaedah pemodelan adalah mungkin untuk mengurangkan kajian kompleks kepada yang mudah, yang tidak kelihatan dan tidak dapat dilihat, dan yang kelihatan dan ketara, dsb.

Apabila mengkaji objek (proses atau fenomena) menggunakan kaedah pemodelan, sebagai model, anda boleh memilih sifat tersebut yang menarik minat kami pada masa ini. Penyelidikan saintifik mana-mana objek sentiasa relatif. Dalam kajian khusus, adalah mustahil untuk mempertimbangkan objek dalam semua kepelbagaiannya. Oleh itu, satu dan objek yang sama boleh mempunyai banyak model yang berbeza, dan tiada satu pun daripada mereka boleh dikatakan sebagai satu-satunya model sebenar objek yang diberikan.

Adalah lazim untuk membezakan empat utama hartanah model:

kesederhanaan berbanding dengan objek yang dikaji;

keupayaan untuk mencerminkan atau menghasilkan semula objek kajian;

keupayaan untuk menggantikan objek kajian pada peringkat tertentu kognisinya;

keupayaan untuk mendapatkan maklumat baru tentang objek yang dikaji.

Kajian tentang pelbagai fenomena atau proses dengan kaedah matematik dijalankan menggunakan model matematik. Model matematik ialah penerangan rasmi dalam bahasa matematik bagi objek yang dikaji. Penerangan rasmi sedemikian boleh menjadi sistem persamaan linear, bukan linear atau pembezaan, sistem ketaksamaan, kamiran pasti, polinomial dengan pekali yang tidak diketahui, dsb. Model matematik harus merangkumi ciri-ciri terpenting objek yang dikaji dan mencerminkan hubungan antara mereka.

Sebelum mencipta model matematik objek (proses atau fenomena), ia dikaji untuk masa yang lama dengan pelbagai kaedah: pemerhatian, eksperimen yang dianjurkan khusus, analisis teori, dll., iaitu, mereka mengkaji sisi kualitatif fenomena dengan baik. , mendedahkan hubungan di mana unsur-unsur objek terletak. Kemudian objek itu dipermudahkan, daripada pelbagai jenis sifat yang wujud di dalamnya, yang paling penting dipilih. Jika perlu, andaian dibuat tentang hubungan sedia ada dengan dunia luar.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, mana-mana model tidak sama dengan fenomena itu sendiri, ia hanya memberikan sedikit anggaran kepada realiti. Tetapi model itu menyenaraikan semua andaian yang mendasarinya. Andaian ini mungkin kasar tetapi memberikan anggaran yang cukup memuaskan kepada realiti. Untuk fenomena yang sama, beberapa model, termasuk model matematik, boleh dibina. Sebagai contoh, untuk menerangkan pergerakan planet-planet sistem suria, anda boleh menggunakan:

8 Model Kepler, yang terdiri daripada tiga hukum, termasuk formula matematik (persamaan elips);

8 model Newton, yang terdiri daripada satu formula, tetapi ia lebih umum dan tepat.

Beberapa model cahaya telah dipertimbangkan dalam optik: korpuskular, gelombang dan elektromagnet. Banyak ketetapan yang bersifat kuantitatif telah diperolehi untuk mereka. Setiap model ini memerlukan pendekatan matematiknya sendiri dan alat matematik yang sesuai. Optik korpuskular menggunakan kaedah geometri Euclidean dan sampai kepada kesimpulan hukum pantulan dan pembiasan cahaya. Model gelombang teori cahaya memerlukan idea matematik baru, dan dengan cara pengiraan semata-mata, fakta baru ditemui berkaitan dengan fenomena pembelauan dan gangguan cahaya, yang tidak pernah diperhatikan sebelum ini. Optik geometri, yang disambungkan dengan model korpuskular, ternyata tidak berkuasa di sini.

Model yang dibina hendaklah sedemikian rupa sehingga boleh menggantikan objek (proses atau fenomena) dalam penyelidikan, harus mempunyai ciri yang serupa dengannya. Persamaan dicapai sama ada melalui persamaan dalam struktur (isomorphism) atau analogi dalam tingkah laku atau fungsi (isofunctionality). Berdasarkan persamaan struktur atau fungsi model dan asal, teknologi moden menyemak, mengira dan mereka bentuk sistem, mesin dan struktur yang paling kompleks.

Seperti yang dinyatakan di atas, banyak model berbeza boleh dibina untuk objek, proses atau fenomena yang sama. Sebahagian daripada mereka (tidak semestinya semua) mungkin isomorfik. Sebagai contoh, dalam geometri analitik, lengkung dalam satah digunakan sebagai model untuk persamaan dua pembolehubah yang sepadan. Dalam kes ini, model (lengkung) dan prototaip (persamaan) adalah sistem isomorfik (titik yang terletak pada lengkung dan pasangan nombor sepadan yang memenuhi persamaan),

Dalam buku "Matematik meletakkan percubaan", Ahli Akademik N.N. Moiseev menulis bahawa mana-mana model matematik boleh timbul dalam tiga cara:

Hasil daripada kajian langsung dan pemahaman sesuatu objek (proses atau fenomena) (fenomenologi) (contoh - persamaan yang menerangkan dinamik atmosfera, lautan),

Hasil daripada beberapa proses penolakan, apabila model baharu diperoleh sebagai kes khas model yang lebih umum (asimtomatik) (contohnya, persamaan hidro-termodinamik atmosfera),

· Hasil daripada beberapa proses aruhan, apabila model baru adalah generalisasi semula jadi model "elementary" (model ensembel atau model umum).

Proses membangunkan model matematik terdiri daripada yang berikut peringkat:

rumusan masalah;

penentuan tujuan pemodelan;

organisasi dan pengendalian kajian kawasan subjek (penyelidikan sifat objek pemodelan);

pembangunan model;

menyemak ketepatan dan pematuhannya dengan realiti;

kegunaan praktikal, i.e. memindahkan pengetahuan yang diperoleh dengan bantuan model kepada objek atau proses yang dikaji.

Pemodelan, sebagai cara memahami undang-undang dan fenomena alam, memperoleh kepentingan khusus dalam kajian objek yang tidak boleh diakses sepenuhnya untuk pemerhatian atau eksperimen langsung. Ini termasuk sistem sosial, satu-satunya cara yang mungkin untuk belajar yang sering menjadi model.

Tiada kaedah umum untuk membina model matematik. Dalam setiap kes, adalah perlu untuk meneruskan dari data yang tersedia, orientasi sasaran, mengambil kira objektif kajian, dan juga mengimbangi ketepatan dan perincian model. Ia harus mencerminkan ciri yang paling penting dalam fenomena, faktor penting yang bergantung kepada kejayaan pemodelan.

Apabila membangunkan model, adalah perlu untuk mematuhi prinsip metodologi asas berikut untuk memodelkan fenomena sosial:

· prinsip masalah, yang membayangkan pergerakan bukan dari model matematik "universal" siap pakai kepada masalah, tetapi dari masalah sebenar dan mendesak - kepada pencarian, pembangunan model khas;

prinsip ketekalan, yang mempertimbangkan semua kesalinghubungan fenomena yang dimodelkan dari segi unsur-unsur sistem dan persekitarannya;

· prinsip kebolehubahan dalam pemformalan proses pengurusan yang berkaitan dengan perbezaan khusus dalam undang-undang pembangunan alam dan masyarakat. Untuk menjelaskannya, adalah perlu untuk mendedahkan perbezaan asas antara model proses sosial dan model yang menggambarkan fenomena semula jadi.

Kuliah #1

pengenalan. Konsep model dan kaedah matematik

Bahagian 1 Pengenalan

2. Kaedah untuk membina model matematik. Konsep pendekatan sistematik. satu

3. Konsep asas pemodelan matematik sistem ekonomi.. 4

4. Kaedah analisis, simulasi dan pemodelan semula jadi. lima

Soalan keselamatan.. 6

1. Kandungan, matlamat dan objektif disiplin "Kaedah pemodelan"

Disiplin ini ditumpukan kepada kajian kaedah pemodelan dan aplikasi praktikal pengetahuan yang diperoleh. Tujuan disiplin adalah untuk mengajar pelajar isu umum teori pemodelan, kaedah untuk membina model matematik dan penerangan formal proses dan objek, penggunaan model matematik untuk menjalankan eksperimen pengiraan dan menyelesaikan masalah pengoptimuman menggunakan alat pengkomputeran moden.

Tugas disiplin termasuk:

Untuk membiasakan pelajar dengan konsep asas teori pemodelan matematik, teori sistem, teori persamaan, teori perancangan eksperimen dan pemprosesan data eksperimen yang digunakan untuk membina model matematik,

Untuk memberi pelajar kemahiran dalam bidang menetapkan masalah pemodelan, penerangan matematik objek / proses /, kaedah berangka untuk melaksanakan model matematik pada komputer dan menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Hasil daripada mempelajari disiplin tersebut, pelajar hendaklah menguasai kaedah pemodelan matematik proses dan objek daripada perumusan masalah sehinggalah pelaksanaan model matematik pada komputer dan pembentangan hasil kajian model.

Kursus disiplin direka untuk 12 kuliah dan 12 kerja amali. Hasil daripada mempelajari disiplin tersebut, pelajar perlu menguasai kaedah pemodelan matematik daripada perumusan masalah sehinggalah kepada pelaksanaan model matematik pada komputer.

2. Kaedah untuk membina model matematik. Konsep pendekatan sistematik

5. Penyelesaian masalah.

Penggunaan kaedah penyelidikan operasi yang konsisten dan pelaksanaannya pada maklumat moden dan teknologi komputer memungkinkan untuk mengatasi subjektivisme, untuk mengecualikan apa yang dipanggil keputusan kehendak berdasarkan bukan pada pertimbangan yang ketat dan tepat tentang keadaan objektif, tetapi pada emosi rawak dan kepentingan peribadi. pengurus di pelbagai peringkat, yang, lebih-lebih lagi, tidak boleh bersetuju dengan keputusan sukarela ini.

Analisis sistem memungkinkan untuk mengambil kira dan menggunakan dalam pengurusan semua maklumat yang tersedia tentang objek yang diuruskan, untuk menyelaraskan keputusan yang dibuat dari segi objektif, bukannya subjektif, kriteria keberkesanan. Menjimatkan pengiraan semasa memandu adalah sama seperti menjimatkan sasaran semasa merakam. Walau bagaimanapun, komputer bukan sahaja memungkinkan untuk mengambil kira semua maklumat, tetapi juga menyelamatkan pengurus daripada maklumat yang tidak perlu, dan membenarkan semua maklumat yang diperlukan memintas orang itu, memberikannya hanya maklumat yang paling umum, intipati. Pendekatan sistem dalam ekonomi adalah berkesan dengan sendirinya, tanpa menggunakan komputer, sebagai kaedah penyelidikan, manakala ia tidak mengubah undang-undang ekonomi yang ditemui sebelum ini, tetapi hanya mengajar cara menggunakannya dengan lebih baik.

4. Kaedah analisis, simulasi dan pemodelan semula jadi

Pemodelan adalah kaedah pengetahuan saintifik yang berkuasa, di mana objek yang dikaji digantikan oleh objek yang lebih mudah dipanggil model. Varieti utama proses pemodelan boleh dianggap dua jenis - pemodelan matematik dan fizikal. Dalam pemodelan fizikal (semula jadi), sistem yang dikaji digantikan dengan sistem bahan lain yang sepadan dengannya, yang menghasilkan semula sifat-sifat sistem yang dikaji dengan pemeliharaan sifat fizikalnya. Contoh jenis pemodelan ini ialah rangkaian perintis, yang meneroka kemungkinan asas membina rangkaian berdasarkan komputer, peranti komunikasi, sistem pengendalian dan aplikasi tertentu.

Kemungkinan pemodelan fizikal agak terhad. Ia membolehkan menyelesaikan masalah individu dengan menyatakan sebilangan kecil kombinasi parameter sistem yang dikaji. Malah, dalam simulasi semula jadi rangkaian komputer, hampir mustahil untuk menyemak operasinya untuk pilihan menggunakan pelbagai jenis peranti komunikasi - penghala, suis, dll. Pengesahan dalam amalan kira-kira sedozen jenis penghala yang berbeza dikaitkan bukan sahaja dengan yang hebat. usaha dan masa, tetapi juga dengan kos material yang besar.

Tetapi walaupun dalam kes-kes apabila pengoptimuman rangkaian tidak mengubah jenis peranti dan sistem pengendalian, tetapi hanya parameternya, adalah mustahil untuk menjalankan eksperimen masa nyata untuk sejumlah besar pelbagai kombinasi parameter ini pada masa hadapan yang boleh dijangka. Malah perubahan mudah dalam saiz paket maksimum dalam mana-mana protokol memerlukan konfigurasi semula sistem pengendalian dalam ratusan komputer pada rangkaian, yang memerlukan banyak kerja daripada pentadbir rangkaian.

Oleh itu, apabila mengoptimumkan rangkaian, dalam banyak kes adalah lebih baik untuk menggunakan pemodelan matematik. Model matematik ialah satu set hubungan (rumus, persamaan, ketaksamaan, keadaan logik) yang menentukan proses mengubah keadaan sistem bergantung pada parameternya, isyarat input, keadaan awal dan masa.

Model simulasi ialah kelas khas model matematik. Model sedemikian adalah program komputer yang, langkah demi langkah, menghasilkan semula peristiwa yang berlaku dalam sistem sebenar. Berkenaan dengan rangkaian komputer, model simulasi mereka menghasilkan semula proses penjanaan mesej oleh aplikasi, memisahkan mesej kepada paket dan bingkai protokol tertentu, kelewatan yang berkaitan dengan pemprosesan mesej, paket dan bingkai dalam sistem pengendalian, proses mendapatkan akses oleh komputer ke persekitaran rangkaian yang dikongsi, proses memproses paket masuk oleh penghala dsb. Apabila mensimulasikan rangkaian, tidak perlu membeli peralatan mahal - kerjanya disimulasikan oleh program yang menghasilkan semula dengan tepat semua ciri dan parameter utama sedemikian peralatan.

Kelebihan model simulasi ialah keupayaan untuk menggantikan proses perubahan peristiwa dalam sistem yang dikaji dalam masa nyata dengan proses dipercepatkan perubahan peristiwa mengikut rentak program. Akibatnya, dalam beberapa minit, anda boleh mengeluarkan semula operasi rangkaian selama beberapa hari, yang memungkinkan untuk menilai prestasi rangkaian dalam pelbagai parameter pembolehubah.

Hasil daripada model simulasi ialah data statistik yang dikumpul semasa pemantauan peristiwa yang sedang berjalan pada ciri-ciri rangkaian yang paling penting: masa tindak balas, kadar penggunaan saluran dan nod, kebarangkalian kehilangan paket, dsb.

Terdapat bahasa simulasi khas yang memudahkan proses mencipta model perisian berbanding menggunakan bahasa pengaturcaraan universal. Contoh bahasa simulasi ialah bahasa seperti SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Terdapat juga sistem pemodelan simulasi yang menumpukan pada kelas sempit sistem yang sedang dikaji dan membolehkan anda membina model tanpa pengaturcaraan.

Soalan kawalan

Merumuskan definisi proses pemodelan. Apakah model? Sifat simulasi. Merumus peringkat utama membina model menggunakan kaedah klasik. Merumus peringkat utama membina model dengan pendekatan yang sistematik. Namakan fungsi model tersebut. Apakah peringkat-peringkat proses penyelesaian masalah ekonomi? Varieti utama proses pemodelan.