Contoh pengamiran fungsi rasional pecahan. Integrasi fungsi rasional Pecahan - fungsi rasional Yang paling mudah

Terdahulu, kami membincangkan kaedah penyepaduan umum. Dalam bahagian ini dan bahagian berikut, kita akan bercakap tentang penyepaduan kelas fungsi tertentu dengan bantuan teknik yang dipertimbangkan.

Penyepaduan fungsi rasional termudah

Pertimbangkan kamiran bentuk \textstyle(\int R(x)\,dx), dengan y=R(x) ialah fungsi rasional. Sebarang ungkapan rasional R(x) boleh diwakili sebagai \frac(P(x))(Q(x)), dengan P(x) dan Q(x) ialah polinomial. Jika pecahan ini tidak betul, iaitu, jika darjah pengangka lebih besar daripada atau sama dengan darjah penyebut, maka ia boleh diwakili sebagai hasil tambah polinomial (bahagian integer) dan pecahan wajar. Oleh itu, adalah memadai untuk mempertimbangkan pengamiran pecahan wajar.

Mari kita tunjukkan bahawa pengamiran pecahan tersebut berkurangan kepada pengamiran pecahan mudah, iaitu ungkapan bentuk:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

di mana A,\,B,\,a,\,p,\,q ialah nombor nyata, dan trinomial kuasa dua x^2+px+q tidak mempunyai punca sebenar. Ungkapan bentuk 1) dan 2) dipanggil pecahan jenis 1, dan ungkapan bentuk 3) dan 4) dipanggil pecahan jenis ke-2.

Kamiran bagi pecahan jenis pertama dikira secara langsung

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(aligned)

Pertimbangkan pengiraan kamiran daripada pecahan jenis ke-2: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Pertama, mari kita perhatikan itu

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\nama operator(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Untuk mengurangkan pengiraan kamiran 3) kepada dua kamiran ini, kami menukar trinomial segiempat sama x^2+px+q dengan mengekstrak segi empat sama penuh daripadanya:

x^2+px+q= (\kiri(x+\frac(p)(2)\kanan)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Oleh kerana dengan andaian trinomial ini tidak mempunyai punca sebenar, maka q-\frac(p^2)(4)>0 dan kita boleh letak q-\frac(p^2)(4)=a^2. Penggantian x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt menukar kamiran 3) kepada gabungan linear dua kamiran di atas:

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\kanan)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\kiri(B-\frac(Ap)(2)\kanan)\!\ \nama operator(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(aligned)

Dalam jawapan akhir, anda hanya perlu menggantikan (t) dengan x+\frac(p)(2) dan (a) dengan \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Oleh kerana t^2+a^2=x^2+px+q , maka

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Pertimbangkan kes itu \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Seperti dalam kes sebelumnya, kami menetapkan x+\frac(p)(2)=t . Kita mendapatkan:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \kiri(B-\frac(Ap)(2)\kanan)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Sebutan pertama dikira seperti ini:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Kamiran kedua dikira menggunakan formula berulang.

Contoh 1 Pengiraan \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Penyelesaian. Kami ada: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Biarkan x+1=t . Kemudian dx=dt dan 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 dan oleh itu

\begin(aligned)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\nama operator(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\nama operator(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(aligned)

Contoh 2 Pengiraan \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Penyelesaian. Kami ada: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Mari kita perkenalkan pembolehubah baharu dengan menetapkan x+3=t . Kemudian dt=dx dan x+2=t-1 . Menggantikan pembolehubah di bawah tanda kamiran, kita dapat:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(diselaraskan))

Mari letak I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Kami ada:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), tetapi I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \nama operator(arctg)t Dengan cara ini, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Akhirnya kita dapat:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\nama pengendali(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\nama pengendali(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\nama operator(arctg)(x+3)+C \end(diselaraskan)

Pengamiran pecahan wajar

Pertimbangkan pecahan wajar R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), dengan Q(x) ialah polinomial darjah n . Tanpa kehilangan keluasan, kita boleh mengandaikan bahawa pekali utama dalam Q(x) adalah sama dengan 1. Dalam perjalanan algebra, terbukti bahawa polinomial dengan pekali nyata boleh difaktorkan ke dalam faktor darjah pertama dan kedua dengan pekali nyata. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alfa)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

dengan x_1,\ldots,x_k ialah punca sebenar bagi polinomial Q(x) dan trinomial kuasa dua tidak mempunyai punca nyata. Ia boleh dibuktikan bahawa kemudian R(x) diwakili sebagai hasil tambah pecahan mudah bentuk 1) -4):

\mulakan(diselaraskan)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(diselaraskan)

di mana eksponen penyebut menurun secara berurutan daripada \alfa kepada 1, ..., daripada \beta kepada 1, daripada \gamma kepada 1, ..., daripada \delta kepada 1, dan A_1,\ldots,F_(\delta)- pekali tidak ditentukan. Untuk mencari pekali ini, adalah perlu untuk menyingkirkan penyebut dan, setelah memperoleh kesamaan dua polinomial, gunakan kaedah pekali tak tentu.

Satu lagi cara untuk menentukan pekali A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) adalah berdasarkan menggantikan nilai pembolehubah x . Menggantikan sebarang nombor dan bukannya x ke dalam kesamaan yang diperoleh daripada kesamaan (1) selepas penyebut, kita sampai pada persamaan linear berkenaan dengan pekali yang dikehendaki. Dengan menggantikan bilangan yang diperlukan bagi nilai tertentu pembolehubah tersebut, kita memperoleh sistem persamaan untuk mencari pekali. Adalah paling mudah untuk memilih akar penyebut (kedua-dua nyata dan kompleks) sebagai nilai peribadi pembolehubah. Dalam kes ini, hampir semua istilah di sebelah kanan kesamaan (bermaksud kesamaan dua polinomial) lenyap, yang menjadikannya mudah untuk mencari pekali yang tinggal. Apabila menggantikan nilai kompleks, perlu diingat bahawa dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian nyata dan khayalan mereka adalah sama, masing-masing. Oleh itu, daripada setiap kesamaan yang mengandungi nombor kompleks, dua persamaan diperolehi.

Selepas mencari pekali tak tentu, ia kekal untuk mengira kamiran pecahan mudah yang diperolehi. Oleh kerana apabila menyepadukan pecahan termudah, seperti yang telah kita lihat, hanya fungsi rasional, arctangen dan logaritma diperoleh, maka kamiran mana-mana fungsi rasional dinyatakan dalam sebutan fungsi rasional, arkatangen dan logaritma.

Contoh 3 Kira kamiran bagi pecahan rasional wajar \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Penyelesaian. Kami menguraikan penyebut bagi kamiran dan kepada faktor:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Kami menulis integrand dan mewakilinya sebagai jumlah pecahan mudah:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Setelah membebaskan diri kita daripada penyebut dalam persamaan ini, kita mendapat:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Untuk mencari pekali, kami menggunakan kaedah penggantian nilai separa. Untuk mencari pekali A kita letakkan x=1 . Kemudian daripada kesamaan (2) kita dapat 7=4A , dari mana A=7/4 . Untuk mencari pekali B kita tetapkan x=-3 . Kemudian daripada kesamaan (2) kita dapat -17=-4B , dari mana B=17/4 .

Jadi, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Bermaksud,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Contoh 4 Pengiraan \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Penyelesaian. Kami menulis kamiran dan mewakilinya sebagai jumlah pecahan mudah. Penyebut mengandungi faktor x^2+2, yang tidak mempunyai punca sebenar, ia sepadan dengan pecahan jenis ke-2: \frac(Ax+B)(x^2+2) faktor (x-1)^2 sepadan dengan hasil tambah dua pecahan jenis pertama: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); akhirnya, faktor x+2 sepadan dengan satu pecahan jenis pertama \frac(E)(x+2) . Oleh itu, kami akan mewakili kamiran sebagai hasil tambah empat pecahan:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Mari kita singkirkan penyebut dalam persamaan ini. Kita mendapatkan:

\mulakan(diselaraskan) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(diselaraskan)

Penyebut bagi kamiran dan mempunyai dua punca nyata: x=1 dan x=-2 . Apabila menggantikan x=1 ke dalam kesamaan (4), kita mendapat 16=9C , daripadanya kita dapati C=16/9 . Apabila menggantikan x=-2, kita mendapat 13=54E dan tentukan E=13/54 dengan sewajarnya. Menggantikan nilai x=i\,\sqrt(2) (punca polinomial x^2+2 ) membolehkan kita beralih kepada kesamaan

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Ia berubah menjadi:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, dari mana 10A+2B=5 , dan (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah \mulakan(kes)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\tamat(kes) kita dapati: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Ia kekal untuk menentukan nilai pekali D . Untuk melakukan ini, dalam kesamaan (4) kita membuka kurungan, memberikan istilah yang serupa, dan kemudian membandingkan pekali pada x^4. Kita mendapatkan:

A+D+E=1 , iaitu D=0 .

Mari kita gantikan nilai pekali yang ditemui kepada kesamaan (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

dan kemudian beralih ke penyepaduan:

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\nama operator(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(diselaraskan)

Pengamiran pecahan tak wajar

Biarkan ia perlu untuk menyepadukan fungsi y=\frac(f(x))(g(x)), dengan f(x) dan g(x) ialah polinomial, dan darjah polinomial f(x) adalah lebih besar daripada atau sama dengan darjah polinomial g(x) . Dalam kes ini, pertama sekali, adalah perlu untuk memilih bahagian integer daripada pecahan tidak wajar \frac(f(x))(g(x)), iaitu mewakilinya dalam bentuk

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

di mana s(x) ialah polinomial darjah yang sama dengan perbezaan darjah polinomial f(x) dan g(x) , dan \frac(r(x))(g(x)) ialah pecahan wajar.

Kemudian kita ada \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Contoh 5 Hitung kamiran bagi pecahan tak wajar \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Penyelesaian. Kami ada:

\mulakan(diselaraskan)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(aligned)

Untuk mengekstrak bahagian integer, kita bahagikan f(x) dengan g(x): \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Bermaksud, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Kami ada: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Untuk mengira kamiran \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx digunakan, seperti di atas, kaedah pekali yang tidak ditentukan. Selepas pengiraan, yang kita serahkan kepada pembaca, kita dapat.

Integrasi fungsi rasional Pecahan - fungsi rasional Pecahan rasional termudah Penguraian pecahan rasional kepada pecahan termudah Integrasi pecahan termudah Peraturan am untuk menyepadukan pecahan rasional

polinomial darjah n. Fungsi rasional pecahan Fungsi rasional pecahan ialah fungsi yang sama dengan nisbah dua polinomial: Pecahan rasional dipanggil wajar jika darjah pengangkanya kurang daripada darjah penyebut, iaitu< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Pecahan - fungsi rasional Tukarkan pecahan tak wajar kepada bentuk yang betul: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 84 2 93 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Pecahan rasional termudah Pecahan rasional wajar bagi bentuk: Ia dipanggil pecahan rasional termudah bagi jenis. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Teorem: Mana-mana pecahan rasional wajar, penyebutnya difaktorkan: boleh diwakili, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik sebagai jumlah pecahan mudah: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Mari kita jelaskan rumusan teorem menggunakan contoh berikut: Untuk mencari pekali tak tentu A, B, C, D ... dua kaedah digunakan: kaedah membandingkan pekali dan kaedah separa. nilai pembolehubah. Mari kita lihat kaedah pertama dengan contoh. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Mewakilkan pecahan sebagai hasil tambah pecahan mudah: Kurangkan pecahan termudah kepada penyebut sepunya Samakan pengangka bagi pecahan terhasil dan asal Samakan pekali pada kuasa yang sama x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Kamiran pecahan termudah Mari kita cari kamiran pecahan rasional termudah: Mari kita pertimbangkan pengamiran pecahan jenis ke-3 menggunakan contoh. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Pengamiran pecahan mudahdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Kamiran pecahan mudah Kamiran jenis ini dengan cara penggantian: dikurangkan kepada hasil tambah dua kamiran: Kamiran pertama dikira dengan memasukkan t di bawah tanda pembezaan. Kamiran kedua dikira menggunakan formula rekursif: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Pengamiran pecahan mudah a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 tg t C t2 tarct) (4)1(

Peraturan am untuk menyepadukan pecahan rasional Jika pecahan itu tidak wajar, maka nyatakan ia sebagai hasil tambah polinomial dan pecahan wajar. Setelah menguraikan penyebut pecahan rasional wajar kepada faktor, nyatakan ia sebagai hasil tambah pecahan mudah dengan pekali tak tentu. Cari pekali tak tentu dengan membandingkan pekali atau dengan kaedah nilai separa pembolehubah. Sepadukan polinomial dan hasil tambah pecahan mudah.

Contoh Mari kita bawa pecahan ke bentuk yang betul. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 42 2 442 xxx xx xx 23 42 3

Contoh Memfaktorkan penyebut pecahan wajar Mewakilkan pecahan sebagai hasil tambah pecahan mudah Mencari pekali tidak pasti menggunakan kaedah nilai separa pembolehubah xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Contoh dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Fungsi rasional ialah pecahan daripada bentuk , yang pengangka dan penyebutnya ialah polinomial atau hasil darab polinomial.

Contoh 1 Langkah 2

.

Kami mendarabkan pekali tak tentu dengan polinomial yang bukan dalam pecahan individu ini, tetapi dalam pecahan lain yang diperoleh:

Kami membuka kurungan dan menyamakan pengangka bagi integrasi asal dan diterima dengan ungkapan yang diperoleh:

Dalam kedua-dua bahagian kesamaan, kita mencari istilah dengan kuasa x yang sama dan membentuk sistem persamaan daripadanya:

.

Kami membatalkan semua x dan mendapatkan sistem persamaan yang setara:

.

Oleh itu, pengembangan akhir kamiran dan ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 2 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

.

Sekarang kita mula mencari pekali yang tidak pasti. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pengangka pecahan asal dalam ungkapan fungsi dengan pengangka bagi ungkapan yang diperoleh selepas mengurangkan jumlah pecahan kepada penyebut biasa:

Sekarang anda perlu mencipta dan menyelesaikan sistem persamaan. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pekali pembolehubah ke tahap yang sesuai dalam pengangka ungkapan asal fungsi dan pekali serupa dalam ungkapan yang diperoleh pada langkah sebelumnya:

Kami menyelesaikan sistem yang terhasil:

Jadi, dari sini

.

Contoh 3 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

Kami mula mencari pekali yang tidak pasti. Untuk melakukan ini, kita menyamakan pengangka pecahan asal dalam ungkapan fungsi dengan pengangka bagi ungkapan yang diperoleh selepas mengurangkan jumlah pecahan kepada penyebut biasa:

Seperti dalam contoh sebelumnya, kami menyusun sistem persamaan:

Kami mengurangkan x dan mendapatkan sistem persamaan yang setara:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

Kami mendapat pengembangan akhir integrand ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 4 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

.

Bagaimana untuk menyamakan pengangka pecahan asal dengan ungkapan dalam pengangka yang diperoleh setelah menguraikan pecahan itu kepada jumlah pecahan mudah dan mengurangkan jumlah ini kepada penyebut biasa, kita sudah tahu daripada contoh-contoh sebelumnya. Oleh itu, hanya untuk kawalan, kami membentangkan sistem persamaan yang terhasil:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

Kami mendapat pengembangan akhir integrand ke dalam jumlah pecahan mudah:

Contoh 5 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

.

Kami secara bebas membawa jumlah ini kepada penyebut biasa, menyamakan pengangka ungkapan ini dengan pengangka pecahan asal. Hasilnya mestilah sistem persamaan berikut:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

.

Kami mendapat pengembangan akhir integrand ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 6 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

Kami melakukan tindakan yang sama dengan jumlah ini seperti dalam contoh sebelumnya. Hasilnya mestilah sistem persamaan berikut:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

.

Kami mendapat pengembangan akhir integrand ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 7 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

.

Selepas tindakan yang diketahui dengan jumlah yang terhasil, sistem persamaan berikut harus diperolehi:

Menyelesaikan sistem, kami memperoleh nilai berikut bagi pekali tidak pasti:

Kami mendapat pengembangan akhir integrand ke dalam jumlah pecahan mudah:

.

Contoh 8 Langkah 2 Pada langkah 1, kami memperoleh pengembangan pecahan asal berikut ke dalam jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu dalam pengangka:

.

Mari kita buat beberapa perubahan pada tindakan yang telah dibawa ke automatik untuk mendapatkan sistem persamaan. Terdapat helah buatan, yang dalam beberapa kes membantu untuk mengelakkan pengiraan yang tidak perlu. Membawa jumlah pecahan kepada penyebut biasa, kita memperoleh dan menyamakan pengangka ungkapan ini dengan pengangka pecahan asal, kita perolehi.

"Ahli matematik, seperti artis atau penyair, mencipta corak. Dan jika coraknya lebih stabil, ia hanya kerana ia terdiri daripada idea ... Corak ahli matematik, sama seperti artis atau penyair, mesti cantik; idea, sama seperti warna atau perkataan, harus sepadan. Kecantikan adalah keperluan pertama: tiada tempat di dunia untuk matematik yang hodoh».

G.H. Hardy

Dalam bab pertama telah dinyatakan bahawa terdapat antiderivatif bagi fungsi yang agak mudah yang tidak lagi boleh dinyatakan dalam bentuk fungsi asas. Dalam hal ini, kelas fungsi tersebut memperoleh kepentingan praktikal yang besar, yang boleh dikatakan dengan pasti bahawa antiderivatifnya adalah fungsi asas. Kelas fungsi ini termasuk fungsi rasional, iaitu nisbah dua polinomial algebra. Banyak masalah membawa kepada penyepaduan pecahan rasional. Oleh itu, adalah sangat penting untuk dapat mengintegrasikan fungsi tersebut.

2.1.1. Fungsi rasional pecahan

Pecahan rasional(atau fungsi rasional pecahan) ialah nisbah dua polinomial algebra:

di mana dan adalah polinomial.

Ingat itu polinomial (polinomial, keseluruhan fungsi rasional) nijazah ke dipanggil fungsi bentuk

di mana ialah nombor nyata. Sebagai contoh,

ialah polinomial darjah pertama;

ialah polinomial darjah keempat, dsb.

Pecahan rasional (2.1.1) dipanggil betul, jika ijazah lebih rendah daripada ijazah , i.e. n<m, jika tidak pecahan itu dipanggil salah.

Mana-mana pecahan tak wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah polinomial (bahagian integer) dan pecahan wajar (bahagian pecahan). Pemilihan bahagian integer dan pecahan bagi pecahan tak wajar boleh dilakukan mengikut peraturan membahagi polinomial dengan "penjuru".

Contoh 2.1.1. Pilih bahagian integer dan pecahan bagi pecahan rasional tak wajar berikut:

a) , b) .

Penyelesaian . a) Menggunakan algoritma bahagian "sudut", kami memperoleh

Oleh itu, kita mendapat

.

b) Di sini kami juga menggunakan algoritma pembahagian "sudut":

Hasilnya, kita dapat

.

Mari kita ringkaskan. Kamiran tak tentu bagi pecahan rasional secara amnya boleh diwakili sebagai hasil tambah kamiran polinomial dan pecahan rasional wajar. Mencari antiderivatif polinomial tidaklah sukar. Oleh itu, pada masa hadapan, kami akan mempertimbangkan pecahan rasional biasa.

2.1.2. Pecahan rasional termudah dan kamirannya

Terdapat empat jenis pecahan rasional wajar, yang dikelaskan sebagai pecahan rasional (asas) termudah:

3) ,

4) ,

di manakah integer, , iaitu trinomial segi empat sama tidak mempunyai akar sebenar.

Penyepaduan pecahan termudah jenis 1 dan 2 tidak memberikan kesukaran yang besar:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sekarang mari kita pertimbangkan penyepaduan pecahan termudah bagi jenis ke-3, dan kita tidak akan mempertimbangkan pecahan jenis ke-4.

Kita mulakan dengan kamiran bentuk

.

Kamiran ini biasanya dikira dengan mengambil kuasa dua penuh dalam penyebut. Hasilnya ialah kamiran jadual bagi bentuk berikut

atau .

Contoh 2.1.2. Cari kamiran:

a) , b) .

Penyelesaian . a) Kami memilih segi empat sama penuh daripada trinomial segi empat sama:

Dari sini kita dapati

b) Memilih petak penuh daripada trinomial petak, kita dapat:

Dengan cara ini,

.

Untuk mencari kamiran

kita boleh mengekstrak terbitan penyebut dalam pengangka dan mengembangkan kamiran ke dalam jumlah dua kamiran: yang pertama daripada mereka dengan menggantikan turun ke borang

,

dan yang kedua - ke atas.

Contoh 2.1.3. Cari kamiran:

.

Penyelesaian . perasan, itu . Kami memilih terbitan penyebut dalam pengangka:

Kamiran pertama dikira menggunakan penggantian :

Dalam kamiran kedua, kami memilih petak penuh dalam penyebut

Akhirnya, kita dapat

2.1.3. Pengembangan pecahan rasional wajar
hasil tambah pecahan mudah

Mana-mana pecahan rasional wajar boleh diwakili secara unik sebagai hasil tambah pecahan mudah. Untuk melakukan ini, penyebut mesti diuraikan kepada faktor. Dari algebra yang lebih tinggi diketahui bahawa setiap polinomial dengan pekali nyata

TOPIK: Integrasi pecahan rasional.

Perhatian! Apabila mengkaji salah satu kaedah utama penyepaduan - penyepaduan pecahan rasional - adalah perlu untuk mempertimbangkan polinomial dalam domain kompleks untuk bukti yang ketat. Oleh itu, adalah perlu belajar terlebih dahulu beberapa sifat nombor kompleks dan operasi padanya.

Pengamiran pecahan rasional termudah.

Sekiranya P(z) dan Q(z) ialah polinomial dalam domain kompleks, maka ialah pecahan rasional. Ia dikenali sebagai betul jika ijazah P(z) kurang ijazah Q(z) , dan salah jika ijazah R tidak kurang ijazah Q.

Mana-mana pecahan tak wajar boleh diwakili sebagai: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinomial yang darjahnya kurang daripada darjah Q(z).

Oleh itu, kamiran pecahan rasional dikurangkan kepada kamiran polinomial, iaitu, fungsi kuasa, dan pecahan wajar, kerana ia adalah pecahan wajar.

Definisi 5. Pecahan termudah (atau asas) ialah pecahan daripada jenis berikut:

1) , 2) , 3) , 4) .

Mari kita ketahui bagaimana ia disepadukan.

3) (diterokai lebih awal).

Teorem 5. Mana-mana pecahan wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah pecahan mudah (tanpa bukti).

Akibat 1. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara punca polinomial hanya terdapat punca nyata mudah, maka dalam pengembangan pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan ada pecahan mudah jenis pertama:

Contoh 1

Akibat 2. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara punca polinomial hanya terdapat berbilang punca nyata, maka dalam pengembangan pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan terdapat pecahan mudah jenis pertama dan kedua. :

Contoh 2

Corollary 3. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara punca polinomial hanya terdapat akar konjugat kompleks ringkas, maka dalam pengembangan pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan ada pecahan mudah jenis ke-3:

Contoh 3

Akibat 4. Jika ialah pecahan rasional wajar, dan jika di antara punca polinomial hanya terdapat berbilang punca konjugat kompleks, maka dalam pengembangan pecahan ke dalam jumlah pecahan mudah hanya akan ada pecahan mudah bagi ke-3 dan ke-4. jenis:

Untuk menentukan pekali yang tidak diketahui dalam pengembangan di atas, teruskan seperti berikut. Bahagian kiri dan kanan pengembangan yang mengandungi pekali yang tidak diketahui didarab dengan Kesamaan dua polinomial diperolehi. Persamaan untuk pekali yang diingini diperoleh daripadanya, menggunakan itu:

1. kesamaan adalah sah untuk mana-mana nilai X (kaedah nilai separa). Dalam kes ini, sebarang bilangan persamaan diperolehi, mana-mana m daripadanya membolehkan kita mencari pekali yang tidak diketahui.

2. pekali bertepatan pada kuasa yang sama X (kaedah pekali tak tentu). Dalam kes ini, sistem m - persamaan dengan m - tidak diketahui diperolehi, dari mana pekali yang tidak diketahui ditemui.

3. kaedah gabungan.

Contoh 5. Kembangkan pecahan kepada yang paling mudah.

Penyelesaian:

Cari pekali A dan B.

1 cara - kaedah nilai peribadi:

Kaedah 2 - kaedah pekali tidak pasti:

Jawapan:

Pengamiran pecahan rasional.

Teorem 6. Kamiran tak tentu bagi mana-mana pecahan rasional pada mana-mana selang yang penyebutnya tidak sama dengan sifar wujud dan dinyatakan dalam sebutan fungsi asas, iaitu pecahan rasional, logaritma dan arktangen.

Bukti.

Kami mewakili pecahan rasional dalam bentuk: . Selain itu, sebutan terakhir ialah pecahan wajar, dan oleh Teorem 5 ia boleh diwakili sebagai gabungan linear pecahan mudah. Oleh itu, penyepaduan pecahan rasional berkurangan kepada penyepaduan polinomial S(x) dan pecahan termudah, yang antiterbitannya, seperti yang ditunjukkan, mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam teorem.

Komen. Kesukaran utama dalam kes ini ialah penguraian penyebut menjadi faktor, iaitu, mencari semua akarnya.

Contoh 1. Cari kamiran