Contoh penyelesaian sistem persamaan pembezaan dengan kaedah berangka. Kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan pembezaan

pengenalan

Apabila menyelesaikan masalah saintifik dan kejuruteraan, selalunya perlu untuk menerangkan secara matematik mana-mana sistem dinamik. Ini paling baik dilakukan dalam bentuk persamaan pembezaan ( DU) atau sistem persamaan pembezaan. Selalunya, masalah sedemikian timbul apabila menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pemodelan kinetik tindak balas kimia dan pelbagai fenomena pemindahan (haba, jisim, momentum) - pemindahan haba, pencampuran, pengeringan, penjerapan, apabila menerangkan pergerakan zarah makro dan mikro.

Dalam sesetengah kes, persamaan pembezaan boleh ditukar kepada bentuk di mana terbitan tertinggi dinyatakan secara eksplisit. Bentuk penulisan ini dipanggil persamaan yang diselesaikan berkenaan dengan terbitan tertinggi (dalam kes ini, terbitan tertinggi tidak terdapat di sebelah kanan persamaan):

Penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa ialah fungsi y(x) yang, bagi mana-mana x, memenuhi persamaan ini dalam selang terhingga atau tak terhingga tertentu. Proses menyelesaikan persamaan pembezaan dipanggil penyepaduan persamaan pembezaan.

Dari segi sejarah, cara pertama dan paling mudah untuk menyelesaikan masalah Cauchy secara numerik untuk ODE tertib pertama ialah kaedah Euler. Ia berdasarkan penghampiran terbitan dengan nisbah kenaikan terhingga pembolehubah bersandar (y) dan bebas (x) antara nod grid seragam:

dengan y i+1 ialah nilai yang diperlukan bagi fungsi pada titik x i+1 .

Ketepatan kaedah Euler boleh dipertingkatkan jika kita menggunakan formula penyepaduan yang lebih tepat untuk menganggarkan kamiran: formula trapezoid.

Formula ini ternyata tersirat berkenaan dengan y i+1 (nilai ini berada di kedua-dua belah kiri dan kanan ungkapan), iaitu, ia adalah persamaan untuk y i+1 , yang boleh diselesaikan, contohnya , secara berangka, menggunakan beberapa kaedah lelaran (dalam bentuk sedemikian, ia boleh dianggap sebagai formula lelaran kaedah lelaran mudah).

Komposisi kerja kursus: Kerja kursus terdiri daripada tiga bahagian. Pada bahagian pertama, penerangan ringkas tentang kaedah. Pada bahagian kedua, rumusan dan penyelesaian masalah. Dalam bahagian ketiga - pelaksanaan perisian dalam bahasa komputer

Tujuan kerja kursus: untuk mengkaji dua kaedah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan - kaedah Euler-Cauchy dan kaedah Euler yang lebih baik.

1. Bahagian teori

Pembezaan berangka

Persamaan pembezaan ialah persamaan yang mengandungi satu atau lebih derivatif. Bergantung kepada bilangan pembolehubah bebas, persamaan pembezaan dibahagikan kepada dua kategori.

Persamaan Pembezaan Biasa (ODEs)

Persamaan Pembezaan Separa.

Persamaan pembezaan biasa dipanggil persamaan sedemikian yang mengandungi satu atau lebih derivatif bagi fungsi yang dikehendaki. Mereka boleh ditulis dalam bentuk

pembolehubah bebas

Susunan tertinggi yang termasuk dalam persamaan (1) dipanggil susunan persamaan pembezaan.

ODE (linear) yang paling mudah ialah persamaan (1) bagi susunan yang diselesaikan berkenaan dengan terbitan

Penyelesaian kepada persamaan pembezaan (1) ialah sebarang fungsi yang, selepas menggantikannya ke dalam persamaan, mengubahnya menjadi identiti.

Masalah utama yang berkaitan dengan ODE linear dikenali sebagai masalah Kashi:

Cari penyelesaian kepada persamaan (2) dalam bentuk fungsi yang memenuhi syarat awal (3)

Secara geometri, ini bermakna bahawa ia diperlukan untuk mencari lengkung kamiran yang melalui titik ) apabila kesamaan (2) dipenuhi.

Berangka dari sudut pandangan masalah Kashi bermakna: ia diperlukan untuk membina jadual nilai fungsi yang memenuhi persamaan (2) dan keadaan awal (3) pada segmen dengan langkah tertentu . Biasanya diandaikan bahawa, iaitu, syarat awal diberikan di hujung kiri segmen.

Kaedah berangka yang paling mudah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan ialah kaedah Euler. Ia berdasarkan idea untuk membina penyelesaian secara grafik kepada persamaan pembezaan, tetapi kaedah ini juga menyediakan cara untuk mencari fungsi yang dikehendaki dalam bentuk berangka atau dalam jadual.

Biarkan persamaan (2) diberikan dengan syarat awal, iaitu masalah Kashi ditetapkan. Mari selesaikan masalah berikut dahulu. Cari dengan cara yang paling mudah nilai anggaran penyelesaian pada satu titik di mana adalah langkah yang cukup kecil. Persamaan (2) bersama-sama dengan keadaan awal (3) mentakrifkan arah tangen lengkung kamiran yang dikehendaki pada titik dengan koordinat

Persamaan tangen mempunyai bentuk

Bergerak sepanjang tangen ini, kita memperoleh nilai anggaran penyelesaian pada titik:

Mempunyai penyelesaian anggaran pada satu titik, kita boleh mengulangi prosedur yang diterangkan sebelum ini: bina garis lurus yang melalui titik ini dengan cerun , dan gunakannya untuk mencari nilai anggaran penyelesaian pada titik itu.

. Ambil perhatian bahawa garis lurus ini tidak bertangen kepada lengkung kamiran sebenar, kerana titik itu tidak tersedia untuk kita, bagaimanapun, jika ia cukup kecil, maka anggaran yang terhasil akan hampir dengan nilai penyelesaian yang tepat.

Meneruskan idea ini, kami membina sistem titik yang sama jarak

Mendapatkan jadual nilai fungsi yang dikehendaki

mengikut kaedah Euler terdiri dalam aplikasi kitaran formula

Rajah 1. Tafsiran grafik kaedah Euler

Kaedah untuk penyepaduan berangka bagi persamaan pembezaan, di mana penyelesaian diperoleh dari satu nod ke nod yang lain, dipanggil secara berperingkat. Kaedah Euler adalah wakil paling mudah bagi kaedah langkah demi langkah. Ciri bagi mana-mana kaedah langkah demi langkah ialah, bermula dari langkah kedua, nilai awal dalam formula (5) itu sendiri adalah anggaran, iaitu, ralat pada setiap langkah seterusnya secara sistematik meningkat. Kaedah yang paling banyak digunakan untuk menganggarkan ketepatan kaedah langkah demi langkah untuk penyelesaian berangka anggaran ODEs ialah kaedah melepasi dua kali segmen tertentu dengan langkah dan dengan langkah

1.1 Kaedah Euler yang dipertingkatkan

Idea utama kaedah ini: nilai seterusnya yang dikira dengan formula (5) akan lebih tepat jika nilai terbitan, iaitu, kecerunan garis lurus menggantikan lengkung kamiran pada segmen, akan dikira tidak di sepanjang tepi kiri (iaitu, pada titik ), tetapi di sepanjang tengah segmen . Tetapi oleh kerana nilai derivatif antara titik tidak dikira, maka mari kita beralih ke bahagian dua pusat, di mana titik itu, manakala persamaan garis lurus mengambil bentuk:

Dan formula (5) mengambil bentuk

Formula (7) digunakan hanya untuk, oleh itu, nilai tidak boleh diperoleh daripadanya, oleh itu, mereka didapati menggunakan kaedah Euler, manakala untuk mendapatkan hasil yang lebih tepat, mereka melakukan ini: dari awal, menggunakan formula (5 ), cari nilainya

(8)

Pada titik dan kemudian ditemui oleh formula (7) dengan langkah

(9)

Selepas pengiraan lanjut ditemui untuk dihasilkan oleh formula (7)

Makmal 1

Kaedah penyelesaian berangka

persamaan pembezaan biasa (4 jam)

Apabila menyelesaikan banyak masalah fizikal dan geometri, seseorang itu perlu mencari fungsi yang tidak diketahui melalui hubungan yang diberikan antara fungsi yang tidak diketahui, terbitannya, dan pembolehubah bebas. Nisbah ini dipanggil persamaan pembezaan , dan mencari fungsi yang memenuhi persamaan pembezaan dipanggil penyelesaian persamaan pembezaan.

Persamaan pembezaan biasa dipanggil kesamarataan

, (1)

di mana

ialah pembolehubah bebas yang berubah dalam beberapa selang , dan - fungsi yang tidak diketahui y ( x ) dan dia yang pertama n derivatif. dipanggil susunan persamaan .

Masalahnya ialah untuk mencari fungsi y yang memenuhi kesamaan (1). Selain itu, tanpa menyatakan ini secara berasingan, kami akan menganggap bahawa penyelesaian yang dikehendaki mempunyai tahap kelancaran tertentu yang diperlukan untuk pembinaan dan aplikasi "sah" kaedah tertentu.

Terdapat dua jenis persamaan pembezaan biasa

Persamaan tanpa syarat awal

Persamaan dengan keadaan awal.

Persamaan tanpa syarat awal ialah persamaan bentuk (1).

Persamaan dengan keadaan awal ialah persamaan bentuk (1) di mana ia diperlukan untuk mencari fungsi sedemikian

, yang bagi sesetengahnya memenuhi syarat berikut: ,

mereka. pada titik

fungsi dan terbitan pertamanya mengambil nilai yang telah ditetapkan.

Masalah cauchy

Apabila mengkaji kaedah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dengan kaedah anggaran tugas utama dikira Masalah cauchy.

Pertimbangkan kaedah yang paling popular untuk menyelesaikan masalah Cauchy - kaedah Runge-Kutta. Kaedah ini memungkinkan untuk membina formula untuk mengira penyelesaian anggaran hampir sebarang susunan ketepatan.

Mari kita dapatkan formula kaedah Runge-Kutta urutan kedua ketepatan. Untuk melakukan ini, kami mewakili penyelesaian sebagai sekeping siri Taylor, membuang istilah dengan pesanan yang lebih tinggi daripada yang kedua. Kemudian nilai anggaran fungsi yang dikehendaki pada titik x 1 boleh ditulis sebagai:

(2)

terbitan kedua y "( x 0 ) boleh dinyatakan dalam sebutan terbitan bagi fungsi tersebut f ( x , y ) , bagaimanapun, dalam kaedah Runge-Kutta, bukannya derivatif, perbezaan digunakan

dengan tepat memilih nilai parameter

Kemudian (2) boleh ditulis semula sebagai:

y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + δh )], (3)

di mana α , β , γ dan δ - beberapa parameter.

Mempertimbangkan bahagian kanan (3) sebagai fungsi hujah h , mari kita memecahkannya dalam kuasa h :

y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + ah 2 [ γ f x ( x 0 , y 0 ) + δ f y ( x 0 , y 0 )],

dan pilih pilihan α , β , γ dan δ supaya pengembangan ini hampir kepada (2). Oleh itu ia mengikutinya

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).

Dengan menggunakan persamaan ini, kami menyatakan β , γ dan δ melalui parameter α , kita mendapatkan

y 1 = y 0 + h [(1 - α ) f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 +, y 0 + f ( x 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

Sekarang jika bukan ( x 0 , y 0 ) dalam (4) gantikan ( x 1 , y 1 ), kami memperoleh formula untuk mengira y 2 – nilai anggaran fungsi yang dikehendaki pada titik itu x 2 .

Dalam kes umum, kaedah Runge-Kutta digunakan pada partition sewenang-wenangnya segmen [ x 0 , X ] pada n bahagian, i.e. dengan nada berubah-ubah

x 0 , x 1 , …, x n ; h i \u003d x i+1 - x i, x n \u003d X. (5)

Pilihan α pilih sama dengan 1 atau 0.5. Mari kita tuliskan formula pengiraan akhir kaedah Runge-Kutta bagi urutan kedua dengan langkah berubah-ubah untuk α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i , y i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

dan α =0,5:

yi+1 =yi + , (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Formula kaedah Runge-Kutta yang paling banyak digunakan ialah formula ketepatan urutan keempat:

yi+1 =yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 \u003d f (x i, y i), k 2 \u003d f (x i + , y i + k1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i + h, y i + hk 3).

Untuk kaedah Runge-Kutta, peraturan Runge untuk anggaran ralat adalah terpakai. biarlah y ( x ; h ) ialah nilai anggaran penyelesaian pada titik itu x , diperoleh dengan formula (6.1), (6.2) atau (7) dengan langkah h , a hlm – susunan ketepatan formula yang sepadan. Kemudian ralat R ( h ) nilai y ( x ; h ) boleh dianggarkan menggunakan nilai anggaran y ( x ; 2 h ) penyelesaian titik x , diperoleh dengan langkah 2 h :

(8)

di mana hlm =2 untuk formula (6.1) dan (6.2) dan hlm =4 untuk (7).

Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan, adalah perlu untuk mengetahui nilai pembolehubah bersandar dan terbitannya untuk beberapa nilai pembolehubah bebas. Jika syarat tambahan ditentukan untuk satu nilai yang tidak diketahui, i.e. pembolehubah tidak bersandar, maka masalah sedemikian dipanggil masalah Cauchy. Jika syarat awal diberikan pada dua atau lebih nilai pembolehubah bebas, maka masalah itu dipanggil masalah sempadan. Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan pelbagai jenis, fungsi yang nilainya ingin anda tentukan dikira dalam bentuk jadual.

Klasifikasi kaedah berangka untuk menyelesaikan difr. Lv. jenis.

Masalah Cauchy adalah satu langkah: kaedah Euler, kaedah Runge-Kutta; – pelbagai langkah: Kaedah utama, kaedah Adams. Masalah nilai sempadan ialah kaedah mengurangkan masalah nilai sempadan kepada masalah Cauchy; – kaedah perbezaan terhingga.

Apabila menyelesaikan masalah Cauchy, bezakan. ur. pesanan n atau perbezaan sistem. ur. daripada susunan pertama daripada n persamaan dan n syarat tambahan untuk penyelesaiannya. Syarat tambahan mesti dinyatakan untuk nilai yang sama bagi pembolehubah bebas. Apabila menyelesaikan masalah sempadan, persamaan. tertib ke-n atau sistem n persamaan dan n syarat tambahan untuk dua atau lebih nilai pembolehubah bebas. Apabila menyelesaikan masalah Cauchy, fungsi yang dikehendaki ditentukan secara diskret dalam bentuk jadual dengan beberapa langkah tertentu . Apabila menentukan setiap nilai seterusnya, anda boleh menggunakan maklumat tentang satu titik sebelumnya. Dalam kes ini, kaedah dipanggil kaedah satu langkah, atau anda boleh menggunakan maklumat tentang beberapa mata sebelumnya - kaedah berbilang langkah.

Pembezaan biasa ur. Masalah cauchy. Kaedah satu langkah. kaedah Euler.

Diberi: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Diketahui: f(x,y), x 0 , y 0 . Tentukan penyelesaian diskret: x i , y i , i=0,1,…,n. Kaedah Euler adalah berdasarkan pengembangan fungsi dalam siri Taylor di sekeliling titik x 0 . Kejiranan diterangkan dengan langkah h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Kaedah Euler hanya mengambil kira dua istilah bagi siri Taylor. Mari kita perkenalkan notasi. Formula Euler akan mengambil bentuk: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 = x i +h

Formula (2) ialah formula kaedah Euler yang mudah.

Tafsiran geometri formula Euler

Untuk mendapatkan penyelesaian berangka, f-la tangen yang melalui Pers. tangen: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), kerana

x-x 0 \u003d h, kemudian y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £.

Kaedah Euler yang Diubahsuai

Diberi: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Diketahui: f(x,y), x 0 , y 0 . Tentukan: pergantungan y pada x dalam bentuk fungsi diskret jadual: x i , y i , i=0,1,…,n.

Tafsiran geometri

1) hitung tangen sudut cerun pada titik permulaan

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Kira nilai  y n+1 pada

pada akhir langkah mengikut formula Euler

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Kira tangen cerun

tangen pada n+1 titik: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Hitung min aritmetik bagi sudut

cerun: tg £=½. 5) Menggunakan tangen sudut cerun, kita mengira semula nilai fungsi pada n+1 titik: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h ialah formula kaedah Euler yang diubah suai . Ia boleh ditunjukkan bahawa f-la yang terhasil sepadan dengan pengembangan f-ii dalam siri Taylor, termasuk istilah (sehingga h 2). Kaedah Eilnr yang diubah suai, berbeza dengan kaedah mudah, adalah kaedah ketepatan urutan kedua, kerana ralat adalah berkadar dengan h 2 .

Persamaan pembezaan biasa dipanggil persamaan sedemikian yang mengandungi satu atau lebih derivatif bagi fungsi yang dikehendaki y=y (x). Mereka boleh ditulis dalam bentuk

Di mana x ialah pembolehubah bebas.

Susunan tertinggi n terbitan dalam persamaan dipanggil susunan persamaan pembezaan.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa boleh dibahagikan kepada kumpulan berikut: grafik, analitikal, anggaran dan berangka.

Kaedah grafik menggunakan binaan geometri.

Kaedah analisis ditemui dalam perjalanan persamaan pembezaan. Untuk persamaan tertib pertama (dengan pembolehubah boleh dipisahkan, homogen, linear, dsb.), serta untuk beberapa jenis persamaan peringkat tinggi (contohnya, linear dengan pekali malar), adalah mungkin untuk mendapatkan penyelesaian dalam bentuk formula. dengan transformasi analitikal.

Kaedah anggaran menggunakan pelbagai penyederhanaan persamaan itu sendiri dengan penolakan munasabah beberapa istilah yang terkandung di dalamnya, serta dengan pilihan kelas khas bagi fungsi yang dikehendaki.

Kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan pembezaan kini merupakan alat utama dalam kajian masalah saintifik dan teknikal yang diterangkan oleh persamaan pembezaan. Pada masa yang sama, perlu ditekankan bahawa kaedah ini amat berkesan dalam kombinasi dengan penggunaan komputer moden.

Kaedah berangka yang paling mudah untuk menyelesaikan masalah Cauchy untuk ODE ialah kaedah Euler. Pertimbangkan persamaan di sekitar nod (i=1,2,3,…) dan gantikan terbitan di sebelah kiri dengan perbezaan yang betul. Dalam kes ini, nilai fungsi pada nod akan digantikan dengan nilai fungsi grid:

Anggaran DE yang diperolehi adalah tertib pertama, kerana ralat dibenarkan apabila menggantikan dengan .

Perhatikan bahawa ia mengikuti daripada persamaan

Oleh itu, ia adalah anggaran anggaran nilai fungsi pada satu titik menggunakan pengembangan dalam siri Taylor dengan penolakan sebutan bagi tertib kedua dan lebih tinggi. Dalam erti kata lain, kenaikan fungsi diandaikan sama dengan pembezaannya.

Dengan mengandaikan i=0, menggunakan perkaitan itu kita dapati nilai fungsi grid pada:

Nilai yang diperlukan di sini diberikan oleh syarat awal, i.e.

Begitu juga, nilai fungsi grid pada nod lain boleh didapati:

Algoritma yang dibina dipanggil kaedah Euler

Rajah - 19 Kaedah Euler

Tafsiran geometri kaedah Euler diberikan dalam rajah. Dua langkah pertama ditunjukkan, i.e. pengiraan fungsi grid pada titik digambarkan. Lengkung kamiran 0,1,2 menerangkan penyelesaian tepat bagi persamaan itu. Dalam kes ini, lengkung 0 sepadan dengan penyelesaian tepat bagi masalah Cauchy, kerana ia melalui titik permulaan A (x 0, y 0). Titik B,C diperoleh hasil daripada penyelesaian berangka bagi masalah Cauchy dengan kaedah Euler. Sisihan mereka dari lengkung 0 mencirikan ralat kaedah. Apabila melakukan setiap langkah, kita sebenarnya sampai ke lengkung integral yang lain. Segmen AB ialah segmen tangen untuk melengkung 0 pada titik A, cerunnya dicirikan oleh nilai terbitan. Ralat muncul kerana kenaikan dalam nilai fungsi semasa peralihan daripada x 0 kepada x 1 digantikan dengan kenaikan dalam ordinat tangen kepada lengkung 0 pada titik A. tangen BC sudah dilukis ke lengkung kamiran 1 yang lain. Oleh itu, ralat kaedah Euler membawa kepada fakta bahawa pada setiap langkah, penyelesaian anggaran berpindah ke lengkung kamiran yang lain.

Takrif persamaan pembezaan Euler. Kaedah penyelesaiannya dipertimbangkan.

Kandungan

Persamaan pembezaan Euler ialah persamaan bentuk
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Dalam bentuk yang lebih umum, persamaan Euler mempunyai bentuk:
.
Persamaan ini dikurangkan kepada bentuk yang lebih mudah dengan menggantikan t = ax + b, yang akan kita pertimbangkan.

Mengurangkan persamaan pembezaan Euler kepada persamaan dengan pekali malar.

Pertimbangkan persamaan Euler:
(1) .
Ia dikurangkan kepada persamaan linear dengan pekali malar melalui penggantian:
x = e t .
Sesungguhnya, kemudian
;
;
;

;
;
..........................

Oleh itu, faktor yang mengandungi x m membatalkan. Terdapat istilah dengan pekali malar. Walau bagaimanapun, dalam amalan, untuk menyelesaikan persamaan Euler, adalah mungkin untuk menggunakan kaedah untuk menyelesaikan DE linear dengan pekali malar tanpa menggunakan penggantian di atas.

Penyelesaian persamaan Euler homogen

Pertimbangkan persamaan Euler homogen:
(2) .
Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan (2) dalam bentuk
.
;
;
........................
.
Gantikan dalam (2) dan kurangkan dengan x k . Kami mendapat persamaan ciri:
.
Kami menyelesaikannya dan mendapatkan n akar, yang boleh menjadi kompleks.

Pertimbangkan akar sebenar. Biarkan k i ialah punca gandaan bagi kedaraban m . M akar ini sepadan dengan m penyelesaian bebas linear:
.

Pertimbangkan akar yang kompleks. Mereka muncul secara berpasangan bersama dengan konjugat kompleks. Biarkan k i ialah punca gandaan bagi kedaraban m . Kami menyatakan akar kompleks k i dari segi bahagian nyata dan khayalan:
.
Akar m dan akar konjugat m kompleks ini sepadan dengan 2 m penyelesaian bebas linear:
;
;
..............................
.

Selepas n penyelesaian bebas linear diperoleh, kita memperoleh penyelesaian umum persamaan (2):
(3) .

Contoh

Selesaikan Persamaan:


Penyelesaian contoh > > >

Penyelesaian persamaan Euler tak homogen

Pertimbangkan persamaan Euler tidak homogen:
.
Kaedah variasi pemalar (kaedah Lagrange) juga boleh digunakan untuk persamaan Euler.

Pertama, kita selesaikan persamaan homogen (2) dan dapatkan penyelesaian amnya (3). Kemudian kita menganggap pemalar sebagai fungsi pembolehubah x . Bezakan (3) n - 1 sekali. Kami mendapat ungkapan untuk n - 1 terbitan y berkenaan dengan x. Dengan setiap pembezaan, istilah yang mengandungi derivatif disamakan dengan sifar. Jadi kita dapat n - 1 persamaan yang berkaitan derivatif. Seterusnya, kita dapati terbitan ke-n bagi y . Kami menggantikan terbitan yang diperoleh kepada (1) dan mendapatkan persamaan ke-n yang mengaitkan derivatif. Daripada persamaan ini kita tentukan . Selepas itu, menyepadukan, kita memperoleh penyelesaian umum persamaan (1).

Contoh

Selesaikan persamaan:

Penyelesaian > > >

Persamaan Euler tak homogen dengan bahagian tak homogen khas

Sekiranya bahagian tidak homogen mempunyai bentuk tertentu, maka lebih mudah untuk mendapatkan penyelesaian umum dengan mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen. Kelas ini termasuk persamaan bentuk:
(4)
,
di mana polinomial dalam darjah dan , masing-masing.

Dalam kes ini, lebih mudah untuk membuat penggantian
,
dan memutuskan