Interpolasi. pengenalan. Pernyataan umum masalah

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah praktikal, hasil penyelidikan disediakan dalam bentuk jadual yang menunjukkan pergantungan satu atau lebih kuantiti yang diukur pada satu parameter penentu (argumen). Jadual sedemikian biasanya dibentangkan dalam bentuk dua atau lebih baris (lajur) dan digunakan untuk membentuk model matematik.

Dijadualkan dalam model matematik fungsi biasanya ditulis dalam jadual dalam bentuk:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Maklumat terhad yang disediakan oleh jadual sedemikian, dalam beberapa kes, memerlukan mendapatkan nilai fungsi Y j (X) (j=1,2,…,m) pada titik X yang tidak bertepatan dengan titik nod jadual X i (i=0,1,2,… ,n). Dalam kes sedemikian, adalah perlu untuk menentukan beberapa ungkapan analitikal φ j (X) untuk mengira nilai anggaran fungsi yang disiasat Y j (X) pada titik X yang ditentukan secara sewenang-wenangnya. Fungsi φ j (X) yang digunakan untuk menentukan nilai anggaran fungsi Y j (X) dipanggil fungsi anggaran (dari bahasa Latin approximo - approaching). Kehampiran fungsi anggaran φ j (X) dengan fungsi anggaran Y j (X) dipastikan dengan pilihan algoritma penghampiran yang sesuai.

Semua orang pertimbangan selanjutnya dan kami akan membuat kesimpulan untuk jadual yang mengandungi data awal bagi satu fungsi yang disiasat (iaitu, untuk jadual dengan m=1 ).

1. Kaedah interpolasi

1.1 Pernyataan masalah interpolasi

Selalunya, untuk menentukan fungsi φ(X), satu pernyataan digunakan, dipanggil pernyataan masalah interpolasi.

Dalam rumusan klasik masalah interpolasi ini, ia diperlukan untuk menentukan anggaran fungsi analisis φ(X) yang nilainya pada titik nod X i sepadan dengan nilai Y(X i ) jadual asal, i.e. syarat

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Fungsi anggaran φ(X) yang dibina dengan cara ini memungkinkan untuk mendapatkan penghampiran yang agak hampir dengan fungsi interpolasi Y(X) dalam julat nilai argumen [X 0 ; X n ], ditakrifkan oleh jadual. Apabila menetapkan nilai argumen X, tidak dimiliki selang ini, tugas interpolasi ditukar kepada tugas ekstrapolasi . Dalam kes ini, ketepatan

nilai yang diperoleh semasa mengira nilai fungsi φ(X) bergantung pada jarak nilai argumen X dari X 0 jika X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Pada pemodelan matematik fungsi interpolasi boleh digunakan untuk mengira nilai anggaran fungsi yang dikaji pada titik perantaraan subinterval [Х i ; Xi+1]. Prosedur sedemikian dipanggil meterai meja.

Algoritma interpolasi ditentukan oleh kaedah pengiraan nilai fungsi φ(X). Pelaksanaan fungsi interpolasi yang paling mudah dan paling jelas ialah menggantikan fungsi yang disiasat Y(X) pada selang [X i ; Х i+1 ] dengan segmen garis yang menghubungkan titik Y i , Y i+1 . Kaedah ini dipanggil kaedah interpolasi linear.

1.2 Interpolasi linear

Dengan interpolasi linear, nilai fungsi pada titik X, terletak di antara nod X i dan X i+1, ditentukan oleh formula garis lurus yang menghubungkan dua titik bersebelahan jadual.

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 ) − Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1− Xi

Pada rajah. 1 menunjukkan contoh jadual yang diperoleh hasil daripada pengukuran nilai tertentu Y(X) . Baris jadual sumber diserlahkan. Di sebelah kanan jadual terdapat plot serakan yang sepadan dengan jadual ini. Pemadatan meja dibuat kerana pengiraan oleh formula

(3) nilai fungsi yang dianggarkan pada titik Х sepadan dengan titik tengah subselang (i=0, 1, 2, … , n ).

Rajah 1. Jadual padat bagi fungsi Y(X) dan rajah sepadannya

Apabila mempertimbangkan graf dalam Rajah. 1 dapat dilihat bahawa titik-titik yang diperoleh hasil daripada pemadatan jadual menggunakan kaedah interpolasi linear terletak pada segmen garisan yang menghubungkan titik-titik jadual asal. Ketepatan linear

interpolasi, pada asasnya bergantung pada sifat fungsi interpolasi dan pada jarak antara nod jadual X i, , X i+1 .

Adalah jelas bahawa jika fungsi itu lancar, maka, walaupun dengan jarak yang agak besar antara nod, graf yang dibina dengan menyambungkan titik-titik dengan segmen garis lurus memungkinkan untuk menganggarkan sifat fungsi Y(X) dengan tepat. Jika fungsi berubah dengan cukup cepat, dan jarak antara nod adalah besar, maka fungsi interpolasi linear tidak membenarkan mendapatkan anggaran yang cukup tepat kepada fungsi sebenar.

Fungsi interpolasi linear boleh digunakan untuk analisis awal umum dan penilaian ketepatan keputusan interpolasi, yang kemudiannya diperolehi oleh lebih banyak lagi. kaedah yang tepat. Penilaian sedemikian menjadi sangat relevan dalam kes di mana pengiraan dilakukan secara manual.

1.3 Interpolasi oleh polinomial kanonik

Kaedah interpolasi fungsi dengan polinomial kanonik adalah berdasarkan membina fungsi interpolasi sebagai polinomial dalam bentuk [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Pekali dengan i polinomial (4) ialah parameter interpolasi bebas, yang ditentukan daripada keadaan Lagrange:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Menggunakan (4) dan (5), kita tulis sistem persamaan

	Cx+ cx2				C xn = Y
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Y

Vektor penyelesaian dengan i (i = 0, 1, 2, …, n ) bagi sistem linear persamaan algebra(6) wujud dan boleh didapati jika tiada nod yang sepadan antara nod i. Penentu sistem (6) dipanggil penentu Vandermonde1 dan mempunyai ungkapan analitikal [2].

1 penentu Vandermonde dipanggil penentu

Ia adalah sifar jika dan hanya jika xi = xj untuk sesetengah orang. (Bahan daripada Wikipedia - ensiklopedia bebas)

Untuk menentukan nilai pekali dengan i (i = 0, 1, 2, … , n)

persamaan (5) boleh ditulis dalam bentuk vektor-matriks

A* C=Y,

dengan A ialah matriks pekali yang ditentukan oleh jadual kuasa vektor hujah X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C ialah vektor lajur bagi pekali i (i = 0, 1, 2, …, n), dan Y ialah vektor lajur bagi nilai Y i (i = 0, 1, 2, …, n) bagi interpolasi berfungsi pada nod interpolasi.

Penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear ini boleh didapati dengan salah satu kaedah yang diterangkan dalam [3]. Sebagai contoh, mengikut formula

С = A− 1 Y,

di mana A -1 ialah songsangan matriks bagi matriks A. Untuk mendapatkan matriks songsang Dan -1, anda boleh menggunakan fungsi MOBR() yang disertakan dalam set ciri standard program Microsoft Excel.

Selepas nilai pekali dengan i ditentukan, menggunakan fungsi (4), nilai fungsi interpolasi boleh dikira untuk sebarang nilai hujah.

Mari kita tulis matriks A untuk jadual yang ditunjukkan dalam Rajah 1, tanpa mengambil kira baris yang memekatkan jadual.

Rajah.2 Matriks sistem persamaan untuk mengira pekali polinomial kanonik

Menggunakan fungsi MOBR(), kita memperoleh matriks A -1 songsang kepada matriks A (Rajah 3). Kemudian, mengikut formula (9), kita memperoleh vektor pekali С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T ditunjukkan dalam rajah. 4.

Untuk mengira nilai polinomial kanonik dalam sel kanonik lajur Y yang sepadan dengan nilai 0 , kami memperkenalkan yang ditukar kepada jenis seterusnya formula yang sepadan dengan garis sifar sistem (6)

=((((c 5	* x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Daripada menulis " c i " dalam formula yang dimasukkan ke dalam sel Jadual Excel, mesti ada rujukan mutlak kepada sel sepadan yang mengandungi pekali ini (lihat Rajah 4). Daripada "x 0" - rujukan relatif kepada lajur X (lihat Rajah 5).

Y kanonik (0) daripada nilai yang sepadan dengan nilai dalam sel Y lin (0) . Apabila menyeret formula yang ditulis dalam sel Y kanonik (0), nilai Y kanonik (i) mesti juga sepadan, sepadan dengan titik nod asal

jadual (lihat Rajah 5).

nasi. 5. Gambar rajah yang dibina mengikut jadual interpolasi linear dan kanonik

Perbandingan graf fungsi yang dibina mengikut jadual yang dikira menggunakan formula interpolasi linear dan kanonik, kita melihat dalam beberapa nod perantaraan sisihan ketara nilai yang diperolehi oleh formula interpolasi linear dan kanonik. Adalah mungkin untuk menilai ketepatan interpolasi dengan lebih munasabah berdasarkan perolehan maklumat tambahan tentang sifat proses yang dimodelkan.

Interpolasi ialah sejenis penghampiran di mana lengkung fungsi yang dibina melepasi tepat melalui titik data yang tersedia.

Terdapat juga masalah yang hampir dengan interpolasi, yang terdiri daripada menghampiri beberapa fungsi kompleks satu lagi fungsi yang lebih mudah. Jika fungsi tertentu terlalu kompleks untuk pengiraan produktif, anda boleh cuba mengira nilainya pada beberapa titik, dan membina daripadanya, iaitu, interpolasi, lebih fungsi yang mudah. Sudah tentu, menggunakan fungsi yang dipermudahkan tidak membenarkan anda mendapat hasil yang sama seperti yang akan diberikan oleh fungsi asal. Tetapi dalam beberapa kelas masalah, keuntungan dalam kesederhanaan dan kelajuan pengiraan boleh mengatasi ralat yang terhasil dalam keputusan.

Kita juga harus menyebut jenis interpolasi matematik yang sama sekali berbeza, yang dikenali sebagai "interpolasi pengendali". Karya klasik mengenai interpolasi operator termasuk teorem Riesz-Thorin dan teorem Marcinkiewicz, yang merupakan asas untuk banyak karya lain.

Definisi

Pertimbangkan sistem titik tidak bertepatan () dari sesetengah kawasan. Biarkan nilai fungsi diketahui hanya pada titik ini:

Masalah interpolasi adalah untuk mencari fungsi sedemikian daripada kelas fungsi tertentu yang

Contoh

1. Mari kita miliki fungsi jadual, seperti yang di bawah, yang, untuk berbilang nilai, mentakrifkan nilai yang sepadan:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolasi membantu kita mengetahui nilai yang boleh dimiliki oleh fungsi sedemikian pada satu titik selain daripada yang ditentukan (contohnya, bila x = 2,5).

Sehingga kini, terdapat banyak pelbagai cara interpolasi. Pilihan algoritma yang paling sesuai bergantung pada jawapan kepada soalan: seberapa tepat kaedah yang dipilih, berapa kos untuk menggunakannya, seberapa lancar fungsi interpolasi, berapa banyak titik data yang diperlukan, dsb.

2. Cari nilai perantaraan (dengan interpolasi linear).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Kaedah interpolasi

Interpolasi jiran terdekat

Kaedah interpolasi yang paling mudah ialah interpolasi jiran terdekat.

Interpolasi oleh polinomial

Dalam amalan, interpolasi oleh polinomial paling kerap digunakan. Ini disebabkan terutamanya oleh fakta bahawa polinomial mudah dikira, mudah untuk mencari derivatifnya secara analitik, dan set polinomial adalah padat dalam ruang. fungsi berterusan(Teorem Weierstrass).

• IMN-1 dan IMN-2
• Polinomial Lagrange (polinomial interpolasi)
• Skim Aitken

Interpolasi songsang (mengira x diberi y)

• Interpolasi songsang oleh formula Newton

Interpolasi Fungsi Berbilang Pembolehubah

Kaedah interpolasi lain

• Interpolasi trigonometri

Konsep berkaitan

• Ekstrapolasi - kaedah untuk mencari titik di luar selang yang ditentukan(sambungan lengkung)
• Penghampiran - kaedah untuk membina lengkung anggaran

lihat juga

• Pelicinan data percubaan

Yayasan Wikimedia. 2010 .

sinonim:

Lihat apa "Interpolasi" dalam kamus lain:

1) cara untuk menentukan, daripada satu siri nilai yang diberikan bagi mana-mana ungkapan matematik, nilai perantaraannya; jadi, sebagai contoh, mengikut julat bola meriam pada sudut ketinggian paksi saluran meriam 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, dll., ia boleh ditentukan menggunakan ... ... Kamus perkataan asing Bahasa Rusia

Sisipan, interpolasi, kemasukan, carian Kamus sinonim Rusia. interpolasi lihat sisipan Kamus sinonim bahasa Rusia. Panduan praktikal. M.: Bahasa Rusia. Z. E. Alexandrova. 2… kamus sinonim

interpolasi- Pengiraan nilai perantaraan antara dua titik yang diketahui. Contohnya: interpolasi linear linear eksponen interpolasi Proses mengeluarkan imej berwarna apabila piksel kepunyaan kawasan antara dua warna ... ... Buku Panduan Penterjemah Teknikal

- (interpolasi) Anggaran nilai nilai yang tidak diketahui antara dua titik siri nilai yang diketahui. Sebagai contoh, mengetahui penunjuk penduduk negara, yang diperoleh semasa banci, dijalankan pada selang 10 tahun, anda boleh ... ... Glosari istilah perniagaan

Dari bahasa Latin sebenarnya "palsu". Ini adalah nama yang diberikan kepada pembetulan yang salah atau sisipan kemudian dalam manuskrip yang dibuat oleh jurutulis atau pembaca. Terutama sering istilah ini digunakan dalam kritikan terhadap manuskrip penulis kuno. Dalam manuskrip ini... Ensiklopedia Sastera

Mencari nilai perantaraan beberapa keteraturan (fungsi) dengan beberapa nilai yang diketahui. Dalam Bahasa Inggeris: Interpolasi Lihat juga: Transformasi data Kamus Kewangan Finam ... Perbendaharaan kata kewangan

interpolasi- dan, baiklah. interpolasi f. lat. perubahan interpolasi; perubahan, penyelewengan. 1. Sisipan asal kemudian di mana l. teks yang bukan milik asal. ALS 1. Terdapat banyak interpolasi yang dibuat oleh jurutulis dalam manuskrip kuno. Ush. 1934. 2 ... Kamus sejarah gallicisms bahasa Rusia

INTERPOLASI- (interpolatio), penyiapan empyrich. satu siri nilai sebarang kuantiti dengan nilai perantaraan yang hilang. Interpolasi boleh dilakukan dalam tiga cara: matematik, grafik. dan logik. Mereka berdasarkan hipotesis umum bahawa ... Besar ensiklopedia perubatan

- (dari perubahan interpolatio Latin, pengubahan), pencarian nilai perantaraan kuantiti mengikut beberapa nilai yang diketahui. Sebagai contoh, mencari nilai fungsi y = f(x) pada titik x terletak di antara titik x0 dan xn, x0 ... Ensiklopedia Moden

- (dari lat. pengubahan perubahan interpolatio), dalam matematik dan statistik, pencarian nilai perantaraan sesuatu kuantiti mengikut beberapa nilai yang diketahui. Sebagai contoh, mencari nilai fungsi f (x) pada titik x terletak di antara titik xo x1 ... xn, mengikut ... ... Kamus Ensiklopedia Besar

Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Interpolasi. Mengenai fungsi, lihat: Interpolan.

Interpolasi, interpolasi (daripada lat. interpolis - « terlicin, diperbaharui, diperbaharui; ditukar"") - dalam matematik pengiraan, cara untuk mencari nilai perantaraan kuantiti daripada set diskret sedia ada nilai yang diketahui. Istilah "interpolasi" pertama kali digunakan oleh John Vallis dalam risalahnya The Arithmetic of the Infinite (1656).

Dalam analisis kefungsian, interpolasi operator linear ialah bahagian yang menganggap ruang Banach sebagai elemen kategori tertentu.

Ramai daripada mereka yang berurusan dengan pengiraan saintifik dan kejuruteraan selalunya perlu beroperasi pada set nilai yang diperoleh secara empirik atau melalui kaedah. sampel rawak. Sebagai peraturan, berdasarkan set ini, ia diperlukan untuk membina fungsi di mana seseorang boleh ketepatan tinggi untuk mendapatkan nilai lain yang diterima. Tugas sedemikian dipanggil penghampiran. Interpolasi ialah sejenis penghampiran di mana lengkung fungsi yang dibina melepasi tepat melalui titik data yang tersedia.

Terdapat juga masalah yang hampir dengan interpolasi, yang terdiri daripada menghampiri beberapa fungsi kompleks dengan fungsi lain yang lebih mudah. Jika fungsi tertentu terlalu kompleks untuk pengiraan produktif, anda boleh cuba mengira nilainya pada beberapa titik, dan membina, iaitu, interpolasi, fungsi yang lebih mudah daripadanya. Sudah tentu, penggunaan fungsi yang dipermudahkan tidak membenarkan seseorang memperoleh yang sama keputusan yang tepat, yang akan memberikan fungsi asal. Tetapi dalam beberapa kelas masalah, keuntungan dalam kesederhanaan dan kelajuan pengiraan boleh mengatasi ralat yang terhasil dalam keputusan.

Kita juga harus menyebut jenis interpolasi matematik yang sama sekali berbeza, yang dikenali sebagai "interpolasi pengendali". Karya klasik mengenai interpolasi operator termasuk teorem Riesz-Thorin dan teorem Marcinkiewicz, yang merupakan asas kepada banyak karya lain.

Definisi

Pertimbangkan sistem titik bukan kebetulan x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) daripada beberapa domain D ( \gaya paparan D) . Biarkan nilai fungsi f (\displaystyle f) diketahui hanya pada titik ini:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Masalah interpolasi adalah untuk mencari fungsi F (\displaystyle F) daripada kelas fungsi tertentu supaya

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Titik x i (\displaystyle x_(i)) dipanggil nod interpolasi, dan keseluruhannya ialah grid interpolasi.
• Pasangan (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) dipanggil titik data atau titik asas.
• Perbezaan antara nilai "bersebelahan" Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - langkah grid interpolasi. Ia boleh berubah-ubah dan tetap.
• Fungsi F (x) (\displaystyle F(x)) - fungsi interpolasi atau interpolan.

Contoh

1. Katakan kita mempunyai fungsi jadual seperti di bawah itu, untuk berbilang nilai x (\displaystyle x), menentukan nilai f yang sepadan (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolasi membantu kita mengetahui nilai yang boleh dimiliki oleh fungsi sedemikian pada titik selain daripada titik yang ditentukan (contohnya, apabila x = 2,5).

Sehingga kini, terdapat banyak kaedah interpolasi yang berbeza. Pilihan algoritma yang paling sesuai bergantung pada jawapan kepada soalan: seberapa tepat kaedah yang dipilih, berapa kos untuk menggunakannya, seberapa lancar fungsi interpolasi, berapa banyak titik data yang diperlukan, dsb.

2. Cari nilai perantaraan (dengan interpolasi linear).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

. 15.5))(1))=16.1993)

Dalam bahasa pengaturcaraan

Contoh interpolasi linear untuk fungsi y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Pengguna boleh memasukkan nombor antara 1 dan 10.

Fortran

atur cara integer interpol i x sebenar, y, xv, yv, yv2 dimensi x(10) dimensi y(10) panggil prisv(x, i) panggil func(x, y, i) tulis(*,*) "masukkan nombor: " baca(*,*) xv jika ((xv >= 1).dan.(xv xv)) maka yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) tamat jika tamatkan subrutin tamat

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2 "); system("echo Enter nombor: "); cin >> ob; system("echo Contohnya 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Kaedah interpolasi

Interpolasi jiran terdekat

Kaedah interpolasi yang paling mudah ialah interpolasi jiran terdekat.

Interpolasi oleh polinomial

Dalam amalan, interpolasi oleh polinomial paling kerap digunakan. Ini terutamanya disebabkan oleh fakta bahawa polinomial mudah dikira, mudah untuk mencari derivatifnya secara analitik, dan set polinomial adalah padat dalam ruang fungsi berterusan (teorem Weierstrass).

• Interpolasi linear
• Formula interpolasi Newton
• Kaedah perbezaan terhingga
• IMN-1 dan IMN-2
• Polinomial Lagrange (polinomial interpolasi)
• Skim Aitken
• fungsi spline
• spline padu

Interpolasi songsang (mengira x diberi y)

• Polinomial Lagrange
• Interpolasi songsang oleh formula Newton
• Interpolasi Gauss Songsang

Interpolasi Fungsi Berbilang Pembolehubah

• Interpolasi bilinear
• Interpolasi bikubik

Kaedah interpolasi lain

• Interpolasi rasional
• Interpolasi trigonometri

Konsep berkaitan

• Ekstrapolasi - kaedah untuk mencari titik di luar selang tertentu (sambungan lengkung)
• Penghampiran - kaedah untuk membina lengkung anggaran

Interpolasi Songsang

pada kelas fungsi dari ruang C2 yang grafnya melalui titik tatasusunan (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Keputusan. Di antara semua fungsi yang melalui titik rujukan (xi, f(xi)) dan tergolong dalam ruang yang disebutkan, spline padu S(x) yang memenuhi syarat sempadan S00(a) = S00(b) = 0 yang menyediakan fungsi ekstrem (minimum) I(f).

Selalunya dalam amalan terdapat masalah untuk mencari nilai yang diberikan bagi fungsi nilai hujah. Masalah ini diselesaikan dengan kaedah interpolasi terbalik. Jika fungsi yang diberikan adalah monotonik, maka interpolasi terbalik paling mudah dilakukan dengan menggantikan fungsi dengan argumen dan sebaliknya dan kemudian interpolasi. Jika fungsi yang diberikan tidak monotonik, maka teknik ini tidak boleh digunakan. Kemudian, tanpa mengubah peranan fungsi dan hujah, kami menulis formula interpolasi ini atau itu; menggunakan nilai hujah yang diketahui dan, dengan mengandaikan fungsi itu diketahui, kami menyelesaikan persamaan yang terhasil berkenaan dengan hujah.

Anggaran baki istilah apabila menggunakan helah pertama akan sama seperti dengan interpolasi langsung, hanya terbitan fungsi langsung mesti digantikan dengan terbitan fungsi songsang. Mari kita anggarkan ralat kaedah kedua. Jika kita diberi fungsi f(x) dan Ln (x) ialah polinomial interpolasi Lagrange yang dibina untuk fungsi ini di atas nod x0, x1, x2, . . . , xn, kemudian

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Katakan kita perlu mencari nilai x¯ supaya f (¯x) = y¯ (y¯ diberikan). Kami akan menyelesaikan persamaan Ln (x) = y¯ . Mari dapatkan beberapa nilai x¯. Menggantikan persamaan sebelumnya, kita dapat:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Menggunakan formula Langrange, kita dapat
(x¯ − x¯) f0 (η) =
di mana η adalah antara x¯ dan x¯. Jika ialah selang yang mengandungi x¯ dan x¯ dan min

daripada ungkapan terakhir berikut:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

Dalam kes ini, sudah tentu, diandaikan bahawa kita telah menyelesaikan persamaan Ln (x) = y¯ dengan tepat.

Menggunakan interpolasi untuk penjadualan

Teori interpolasi mempunyai aplikasi dalam penyusunan jadual fungsi. Setelah menerima masalah sedemikian, ahli matematik mesti menyelesaikan beberapa soalan sebelum memulakan pengiraan. Formula pengiraan akan dijalankan mesti dipilih. Formula ini mungkin berbeza dari tapak ke tapak. Biasanya, formula untuk mengira nilai fungsi adalah rumit dan oleh itu ia digunakan untuk mendapatkan beberapa nilai rujukan dan kemudian, dengan subtabulasi, ia menebal jadual. Formula yang memberikan nilai rujukan fungsi mesti memberikan ketepatan jadual yang diperlukan, dengan mengambil kira subtabulasi berikut. Jika anda ingin menyusun jadual dengan langkah yang berterusan, maka anda perlu menentukan langkahnya terlebih dahulu.

Kembali Dulu Sebelum Seterusnya Terakhir Skip Indeks

Selalunya, jadual fungsi disusun supaya interpolasi linear (iaitu, interpolasi menggunakan dua sebutan pertama formula Taylor) adalah mungkin. Dalam kes ini, istilah selebihnya akan kelihatan seperti

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Di sini ξ tergolong dalam selang antara dua nilai jadual bersebelahan argumen di mana x terletak, dan t adalah antara 0 dan 1. Produk t(t − 1) mengambil modulo terbesar

nilai pada t = 12. Nilai ini bersamaan dengan 14. Jadi,

Perlu diingat bahawa di sebelah ralat ini - ralat kaedah, dalam pengiraan praktikal nilai perantaraan, masih akan ada ralat yang tidak dapat dipulihkan dan ralat pembundaran. Seperti yang kita lihat sebelum ini, ralat maut dalam interpolasi linear akan sama dengan ralat nilai jadual fungsi. Ralat pembundaran akan bergantung pada cara pengkomputeran dan pada program pengiraan.

Kembali Dulu Sebelum Seterusnya Terakhir Skip Indeks

Indeks subjek

membahagi perbezaan susunan kedua, 8 daripada susunan pertama, 8

spline, 15

nod interpolasi, 4

Kembali Dulu Sebelum Seterusnya Terakhir Skip Indeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Cara melakukan interpolasi

Formula untuk menginterpolasi data jadual

Digunakan dalam langkah ke-2, apabila jumlah NXR (Q, t) daripada keadaan adalah pertengahan antara 100 t dan 300 t.

(Pengecualian: jika Q bersamaan dengan 100 atau 300 mengikut syarat, maka interpolasi tidak diperlukan).

y o- Jumlah awal NHR anda daripada keadaan, dalam tan

(bersesuaian dengan huruf Q)

y 1 – lebih rendah

(dari Jadual 11-16, selalunya 100).

y 2 – lebih paling hampir dengan nilai anda bagi jumlah NCR, dalam tan

(dari Jadual 11-16, selalunya 300).

x 1 y 1 (x 1 terletak bertentangan y 1 ), km.

x 2 - nilai jadual kedalaman penyebaran awan udara tercemar (G t), masing-masing y 2 (x 2 terletak bertentangan y 2 ), km.

x 0 - nilai yang dikehendaki G t sepadan y o(mengikut formula).

Contoh.

NCR - klorin; Q = 120 t;

Jenis SVSP (darjah rintangan udara menegak) - penyongsangan.

Cari G t- nilai jadual kedalaman penyebaran awan udara tercemar.

Kami melihat jadual 11-16 dan mencari data yang sepadan dengan keadaan anda (klorin, penyongsangan).

Jadual yang sesuai 11.

Memilih nilai y 1 , y 2, x 1 , x 2 . penting - kami mengambil kelajuan angin 1 m / s., kami mengambil suhu - 20 ° C.

Gantikan nilai yang dipilih dalam formula dan cari x 0 .

penting - pengiraan betul jika x 0 akan mempunyai nilai di suatu tempat antara x 1 , x 2 .

1.4. Formula interpolasi Lagrange

Algoritma yang dicadangkan oleh Lagrange untuk membina interpolasi

fungsi mengikut jadual (1) memperuntukkan pembinaan polinomial interpolasi Ln(x) dalam bentuk

Jelas sekali, pemenuhan syarat (11) untuk (10) menentukan pemenuhan syarat (2) penyataan masalah interpolasi.

Polinomial li(x) ditulis seperti berikut

Perhatikan bahawa tiada satu faktor pun dalam penyebut formula (14) sama dengan sifar. Setelah mengira nilai pemalar ci, anda boleh menggunakannya untuk mengira nilai fungsi interpolasi pada titik tertentu.

Formula polinomial interpolasi Lagrange (11), dengan mengambil kira formula (13) dan (14), boleh ditulis sebagai

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Penyusunan pengiraan manual mengikut formula Lagrange

Penggunaan langsung formula Lagrange membawa kepada sejumlah besar pengiraan jenis yang sama. Untuk jadual berdimensi kecil, pengiraan ini boleh dilakukan secara manual dan dalam persekitaran perisian.

Pada peringkat pertama, kami mempertimbangkan algoritma pengiraan yang dilakukan secara manual. Pada masa hadapan, pengiraan yang sama harus diulang dalam persekitaran

Microsoft Excel atau OpenOffice.org Calc.

Pada rajah. 6 menunjukkan contoh jadual sumber bagi fungsi interpolasi yang ditakrifkan oleh empat nod.

Rajah.6. Jadual yang mengandungi data awal untuk empat nod fungsi interpolasi

Dalam lajur ketiga jadual, kami menulis nilai pekali qi yang dikira oleh formula (14). Di bawah ialah rekod formula ini untuk n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Langkah seterusnya dalam pelaksanaan pengiraan manual ialah pengiraan nilai li(x) (j=0,1,2,3), yang dilakukan oleh formula (13).

Mari kita tulis formula ini untuk versi jadual yang sedang kita pertimbangkan dengan empat nod:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Mari kita hitung nilai polinomial li(xj) (j=0,1,2,3) dan tuliskannya dalam sel jadual. Nilai fungsi Ycalc(x), mengikut formula (11), akan diperolehi hasil penjumlahan nilai li(xj) dalam baris.

Format jadual, yang merangkumi lajur nilai terkira li(xj) dan lajur nilai Ycalc(x), ditunjukkan dalam Rajah.8.

nasi. 8. Jadual dengan keputusan pengiraan manual yang dilakukan oleh formula (16), (17) dan (11) untuk semua nilai hujah xi

Setelah melengkapkan pembentukan jadual yang ditunjukkan dalam Rajah. 8, dengan formula (17) dan (11) adalah mungkin untuk mengira nilai fungsi interpolasi untuk sebarang nilai hujah X. Contohnya, untuk X=1 kita mengira nilai li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.

Menjumlahkan nilai li(1) kita mendapat nilai Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Pelaksanaan algoritma interpolasi oleh formula Lagrange dalam persekitaran program Microsoft Excel

Pelaksanaan algoritma interpolasi bermula, seperti dalam pengiraan manual, dengan menulis formula untuk mengira pekali qi. 9 menunjukkan lajur jadual dengan nilai yang diberikan hujah, fungsi interpolasi dan pekali qi. Di sebelah kanan jadual ini ialah formula yang ditulis dalam sel lajur C untuk mengira nilai pekali qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

nasi. 9 Jadual pekali qi dan formula pengiraan

Selepas memasukkan formula q0 dalam sel C2, ia ditarik melalui sel dari C3 ke C5. Selepas itu, formula dalam sel ini diperbetulkan mengikut (16) kepada bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. sembilan.

Ycalc(xi),

Melaksanakan formula (17), kami menulis formula untuk mengira nilai li(x) (i=0,1,2,3) dalam sel lajur D, E, F dan G. Dalam sel D2 untuk mengira nilai l0(x0), kita tulis formula:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

kita memperoleh nilai l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Format pautan $A2 membolehkan anda meregangkan formula di sepanjang lajur E, F, G untuk membentuk formula pengiraan untuk mengira li(x0) (i=1,2,3). Menyeret formula ke atas baris tidak mengubah indeks lajur argumen. Untuk mengira li(x0) (i=1,2,3) selepas melukis formula l0(x0) adalah perlu untuk membetulkannya mengikut formula (17).

Dalam lajur H letakkan Formula Excel untuk menjumlahkan li(x) dengan formula

(11) algoritma.

Pada rajah. 10 menunjukkan jadual yang dilaksanakan dalam persekitaran program Microsoft Excel. Tanda ketepatan formula yang ditulis dalam sel jadual dan operasi pengiraan yang dilakukan ialah matriks pepenjuru li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), mengulangi keputusan yang ditunjukkan dalam Rajah. 8, dan lajur nilai yang sepadan dengan nilai fungsi interpolasi dalam nod jadual asal.

nasi. 10. Jadual nilai li(xj) (j=0,1,2,3) dan Ycalc(xj)

Untuk mengira nilai pada beberapa titik perantaraan, sudah cukup

Dalam sel lajur A, bermula dari sel A6, masukkan nilai argumen X yang anda ingin tentukan nilai fungsi interpolasi. Serlahkan

dalam baris terakhir (ke-5) jadual sel daripada l0(xn) kepada Ycalc(xn) dan regangkan formula yang ditulis dalam sel yang dipilih ke baris yang mengandungi yang terakhir

nilai yang diberikan bagi argumen x.

Pada rajah. 11 menunjukkan jadual di mana pengiraan nilai fungsi dalam tiga mata: x=1, x=2 dan x=3. Lajur tambahan dengan nombor baris jadual data sumber telah diperkenalkan ke dalam jadual.

nasi. 11. Pengiraan nilai fungsi interpolasi menggunakan formula Lagrange

Untuk kejelasan yang lebih jelas dalam memaparkan hasil interpolasi, kami akan membina jadual yang merangkumi lajur nilai argumen X yang disusun dalam tertib menaik, lajur nilai awal fungsi Y(X) dan lajur

Beritahu saya cara menggunakan formula interpolasi dan yang mana satu dalam menyelesaikan masalah dalam termodinamik (kejuruteraan haba)

Ivan Shestakovich

Interpolasi yang paling mudah, tetapi selalunya tidak cukup tepat ialah linear. Apabila anda sudah mempunyai dua mata yang diketahui (X1 Y1) dan (X2 Y2) dan anda perlu mencari nilai Y pada hari beberapa X iaitu antara X1 dan X2. Kemudian formulanya mudah.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Dengan cara ini, formula ini juga berfungsi untuk nilai X di luar selang X1..X2, tetapi ini sudah dipanggil ekstropolasi dan, pada jarak yang ketara dari selang ini, ia memberikan ralat yang sangat besar.
Terdapat banyak tikar lain. kaedah interpolasi - Saya menasihati anda untuk membaca buku teks atau menyelongkar melalui internet.
Kaedah interpolasi grafik juga tidak diketepikan - lukis graf secara manual melalui titik yang diketahui dan cari Y dari graf untuk X yang diperlukan. ;)

Novel

Anda mempunyai dua makna. Dan kira-kira pergantungan (linear, kuadratik, ..)
Graf fungsi ini melalui dua titik anda. Anda memerlukan nilai di suatu tempat di antaranya. Nah, ekspres!
Sebagai contoh. Dalam jadual, pada suhu 22 darjah, tekanan wap tepu ialah 120,000 Pa, dan pada 26, 124,000 Pa. Kemudian pada suhu 23 darjah 121000 Pa.

Interpolasi (koordinat)

Terdapat grid koordinat pada peta (imej).
Ia mempunyai beberapa titik rujukan yang terkenal (n>3) dengan dua nilai x,y- koordinat dalam piksel, dan koordinat dalam meter.
Ia adalah perlu untuk mencari nilai perantaraan koordinat dalam meter, mengetahui koordinat dalam piksel.
Interpolasi linear tidak sesuai - terlalu banyak ralat di luar garisan.
Seperti ini: (Xc - koordinat dalam meter dengan x, Xp - koordinat dalam piksel dengan x, Xc3 - nilai yang dikehendaki oleh x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Bagaimana untuk mencari formula yang sama untuk mencari Xc dan Yc, diberikan bukan dua (seperti di sini), tetapi N titik rujukan yang diketahui?

Joka pakis lowd

Berdasarkan formula bertulis, adakah paksi sistem koordinat dalam piksel dan meter bertepatan?
Iaitu, Xp -> Xc diinterpolasi secara bebas dan Yp -> Yc diinterpolasi secara bebas. Jika tidak, maka anda perlu menggunakan interpolasi dua dimensi Xp,Yp->Xc dan Xp,Yp->Yc, yang agak merumitkan tugas.
Selanjutnya, diandaikan bahawa koordinat Xp dan Xc berkaitan dengan beberapa pergantungan.
Jika sifat pergantungan diketahui (atau diandaikan, sebagai contoh, kami menganggap bahawa Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), maka anda boleh mendapatkan parameter pergantungan ini (untuk pergantungan yang diberikan a , b, c) menggunakan analisis regresi(Kaedah petak terkecil). Dalam kaedah ini, jika ditanya pergantungan tertentu Xc(Xp) anda boleh mendapatkan formula untuk parameter bergantung pada data rujukan. Kaedah ini membolehkan, khususnya, untuk mencari dan pergantungan linear, cara yang paling baik memuaskan set data ini.
Kelemahan: Dalam kaedah ini, koordinat Xc yang diperoleh daripada data titik kawalan Xp mungkin berbeza daripada yang diberikan. Sebagai contoh, garis lurus penghampiran yang dilukis melalui titik eksperimen tidak melalui titik-titik ini sendiri.
Jika padanan tepat diperlukan dan sifat pergantungan tidak diketahui, kaedah interpolasi harus digunakan. Yang paling mudah secara matematik ialah polinomial interpolasi Lagrange, melepasi tepat melalui titik rujukan. Namun, disebabkan darjat tinggi polinomial ini di bilangan yang besar titik rujukan dan Kualiti teruk interpolasi, lebih baik tidak menggunakannya. Kelebihannya ialah formula yang agak mudah.
Lebih baik menggunakan interpolasi spline. Intipati kaedah ini ialah dalam setiap bahagian antara dua titik jiran, pergantungan yang dikaji diinterpolasi dengan polinomial, dan keadaan kelancaran ditulis pada titik penyambung dua selang. Kelebihan kaedah ini ialah kualiti interpolasi. Kelemahan - hampir mustahil untuk ditarik balik formula am, seseorang itu perlu mencari pekali polinomial dalam setiap bahagian secara algoritma. Kelemahan lain ialah kesukaran membuat generalisasi kepada interpolasi 2D.

Terdapat situasi apabila anda perlu mencari dalam pelbagai nilai yang diketahui keputusan pertengahan. Dalam matematik, ini dipanggil interpolasi. Dalam Excel kaedah ini boleh digunakan untuk data jadual dan untuk memplot graf. Mari kita lihat setiap kaedah ini.

Syarat utama di mana interpolasi boleh digunakan ialah nilai yang diingini mesti berada di dalam tatasusunan data, dan tidak melebihi hadnya. Sebagai contoh, jika kita mempunyai set hujah 15, 21 dan 29, maka apabila mencari fungsi untuk hujah 25, kita boleh menggunakan interpolasi. Dan untuk mencari nilai yang sepadan untuk hujah 30 - tidak lagi. Ini adalah perbezaan utama antara prosedur ini dan ekstrapolasi.

Kaedah 1: Interpolasi untuk data jadual

Pertama sekali, pertimbangkan penggunaan interpolasi untuk data yang terletak dalam jadual. Sebagai contoh, mari kita ambil pelbagai hujah dan nilai fungsinya yang sepadan, nisbahnya boleh diterangkan persamaan linear. Data ini diletakkan dalam jadual di bawah. Kita perlu mencari fungsi yang sepadan untuk hujah 28 . Cara paling mudah untuk melakukan ini adalah dengan pengendali RAMALAN.

Kaedah 2: menginterpolasi graf menggunakan tetapannya

Prosedur interpolasi juga boleh digunakan semasa memplot fungsi. Ia adalah relevan jika jadual yang menjadi asas graf tidak menyatakan nilai fungsi yang sepadan untuk salah satu argumen, seperti dalam imej di bawah.

Seperti yang anda lihat, graf telah diperbetulkan, dan jurang telah dialih keluar menggunakan interpolasi.

Kaedah 3: Interpolasi graf dengan fungsi

Anda juga boleh menginterpolasi graf menggunakan fungsi ND khas. Ia mengembalikan nilai nol dalam sel yang ditentukan.

Anda boleh menjadikannya lebih mudah tanpa berlari Wizard Fungsi, tetapi hanya gunakan papan kekunci untuk memacu nilai ke dalam sel kosong "#N/A" tanpa petikan. Tetapi ia sudah bergantung pada bagaimana ia lebih mudah untuk pengguna mana.

Seperti yang anda lihat, dalam program Excel, anda boleh interpolasi seperti data jadual menggunakan fungsi tersebut RAMALAN, serta grafik. AT kes terakhir ini boleh dilakukan menggunakan tetapan carta atau menggunakan fungsi ND, menyebabkan ralat "#N/A". Pilihan kaedah mana yang hendak digunakan bergantung pada pernyataan masalah, serta pada pilihan peribadi pengguna.

Ini adalah bab dari buku Bill Jelen.

Cabaran: Beberapa masalah reka bentuk kejuruteraan memerlukan penggunaan jadual untuk mengira nilai parameter. Oleh kerana jadual adalah diskret, pereka bentuk menggunakan interpolasi linear untuk mendapatkan nilai parameter perantaraan. Jadual (Rajah 1) termasuk ketinggian di atas tanah (parameter kawalan) dan kelajuan angin (parameter yang dikira). Sebagai contoh, jika anda perlu mencari kelajuan angin yang sepadan dengan ketinggian 47 meter, maka anda harus menggunakan formula: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

Muat turun nota dalam atau format, contoh dalam format

Bagaimana jika terdapat dua parameter kawalan? Adakah mungkin untuk melakukan pengiraan dengan formula tunggal? Jadual (Rajah 2) menunjukkan nilai tekanan angin untuk pelbagai ketinggian dan rentang struktur. Ia dikehendaki mengira tekanan angin pada ketinggian 25 meter dan rentang 300 meter.

Penyelesaian: Kami menyelesaikan masalah dengan melanjutkan kaedah yang digunakan untuk kes dengan satu parameter kawalan. Lakukan perkara berikut.

Mulakan dengan jadual yang ditunjukkan dalam rajah. 2. Tambah sel sumber untuk ketinggian dan rentang kepada J1 dan J2 masing-masing (Rajah 3).

nasi. 3. Formula dalam sel J3:J17 menerangkan cara formula mega berfungsi

Untuk kemudahan menggunakan formula, tentukan nama (Gamb. 4).

Ikuti kerja formula secara berurutan bergerak dari sel J3 ke sel J17.

Dengan penggantian urutan terbalik, kumpulkan formula mega. Salin teks formula dari sel J17 ke J19. Gantikan rujukan kepada J15 dalam formula dengan nilai dalam sel J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Dan lain-lain. Hasilnya ialah formula yang terdiri daripada 984 aksara, yang tidak boleh dilihat dalam bentuk ini. Anda boleh melihatnya dalam fail excel yang dilampirkan. Tidak pasti sama ada formula mega seperti ini berguna untuk digunakan.

Ringkasan: Interpolasi linear digunakan untuk mendapatkan nilai perantaraan parameter jika nilai jadual ditetapkan hanya untuk sempadan julat; kaedah pengiraan berdasarkan dua parameter kawalan dicadangkan.