Hasil darab punca-punca persamaan kuadratik. Bagaimana untuk mencari hasil tambah punca-punca persamaan

Menentukan hasil tambah punca persamaan adalah salah satu langkah yang perlu apabila menyelesaikan persamaan kuadratik (persamaan bentuk ax² + bx + c = 0, di mana eksponen a, b dan c ialah nombor arbitrari, dan a ? 0) dengan sokongan teorem Vieta.

Arahan

1. Tulis persamaan kuadratik sebagai ax² + bx + c = 0 Contoh: Persamaan awal: 12 + x²= 8x Persamaan yang ditulis dengan betul: x² - 8x + 12 = 0

2. Gunakan teorem Vieta, yang mengikutnya jumlah punca persamaan akan sama dengan nombor "b", diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darabnya akan sama dengan nombor "c". Contoh: Dalam persamaan dalam pertimbangan, b \u003d -8, c \u003d 12, masing-masing: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Ketahui sama ada punca-punca persamaan adalah betul atau nombor negatif. Jika kedua-dua hasil darab dan jumlah punca adalah nombor positif, semua punca adalah nombor yang sah. Jika hasil darab akar-akar itu betul dan hasil tambah akar-akarnya ialah nombor negatif, maka kedua-dua punca adalah negatif. Jika hasil darab akar adalah negatif, maka akar mempunyai satu tanda akar "+", dan satu lagi tanda "-". nombor negatif - punca yang lebih besar - negatif. ”Contoh: Dalam persamaan yang dipertimbangkan, kedua-dua jumlah dan hasil darab ialah nombor yang betul: 8 dan 12, yang bermaksud kedua-dua punca ialah nombor positif.

4. Selesaikan sistem persamaan yang terhasil dengan memilih punca. Adalah lebih mudah untuk memulakan pemilihan daripada faktor, dan selepas itu, untuk pengesahan, gantikan mana-mana pasangan faktor ke dalam persamaan kedua dan semak sama ada hasil tambah punca ini sepadan dengan penyelesaian. Contoh: x1∗x2=12 Pasangan yang sesuai akar akan masing-masing: 12 dan 1, 6 dan 2, 4 dan 3Semak pasangan yang diterima dengan sokongan persamaan x1+x2=8. Pasangan 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Sehubungan itu, punca-punca persamaan ialah nombor 6 dan 8.

Persamaan ialah kesamaan bentuk f(x,y,…)=g(x,y,..), dengan f dan g ialah fungsi satu atau lebih pembolehubah. Mencari punca persamaan bermakna mencari satu set hujah di mana kesamaan ini dipenuhi.

Anda perlu

• Pengetahuan tentang semakan matematik.

Arahan

1. Mungkin anda mempunyai persamaan seperti: x+2=x/5. Sebagai permulaan, kami memindahkan semua komponen kesamaan ini dari sebelah kanan ke sebelah kiri, sambil menukar tanda komponen ke sebaliknya. Sifar akan kekal di sebelah kanan persamaan ini, iaitu, kita mendapat yang berikut: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2. Mari kita kemukakan istilah yang serupa. Kami mendapat yang berikut: 4x/5 + 2 = 0.

3. Selanjutnya, daripada persamaan terkurang yang terhasil, kita dapati istilah yang tidak diketahui, dalam kes ini ini X. Nilai yang terhasil bagi pembolehubah yang tidak diketahui akan menjadi penyelesaian bagi persamaan awal. Dalam kes ini, kita mendapat yang berikut: x = -2.5.

Video-video yang berkaitan

Catatan!
Hasil daripada penyelesaian, akar tambahan mungkin muncul. Mereka tidak akan menjadi penyelesaian kepada persamaan awal, walaupun anda telah memutuskan semuanya secara positif. Pastikan anda menyemak semua penyelesaian yang anda terima.

Nasihat yang berguna
Sentiasa semak nilai yang diterima daripada orang yang tidak dikenali. Ini boleh dilakukan secara primitif dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan awal. Jika persamaan itu betul, maka penyelesaiannya betul.

Teorem Vieta mewujudkan hubungan langsung antara punca (x1 dan x2) dan eksponen (b dan c, d) bagi persamaan seperti bx2+cx+d=0. Dengan bantuan teorem ini, ia dibenarkan, tanpa menentukan nilai akar, untuk mengira jumlah mereka, dengan berani bercakap, dalam fikiran. Tidak ada yang sukar dalam hal ini, perkara utama adalah mengetahui beberapa peraturan.

Anda perlu

• - kalkulator;
• - kertas nota.

Arahan

1. Membawa kepada bentuk piawai persamaan kuadratik yang dikaji, supaya semua eksponen pergi dalam tertib menurun, iaitu, pada mulanya darjat tertinggi- x2, dan pada akhirnya darjah sifar - x0. Persamaan akan mengambil bentuk: b*x2 + c*x1 + d*х0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Semak bukan negatif diskriminasi. Semakan ini diperlukan untuk memastikan persamaan mempunyai punca. D (diskriminan) dalam bentuk: D = c2 – 4*b*d. Terdapat beberapa pilihan di sini. D - diskriminasi - betul, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai dua punca. D - sama dengan sifar, ia mengikuti bahawa terdapat akar, tetapi ia adalah dwi, ​​iaitu, x1 \u003d x2. D - negatif, untuk kursus algebra sekolah syarat ini bermakna tiada akar, untuk matematik yang lebih tinggi Terdapat akar, tetapi ia adalah kompleks.

3. Tentukan hasil tambah punca-punca persamaan itu. Menggunakan teorem Vieta, ini mudah dilakukan: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Jumlah punca persamaan adalah berkadar terus dengan “–c” dan berkadar songsang dengan penunjuk “b”. Iaitu, x1+x2 = -c/b. Tentukan hasil darab akar mengikut perkataan - hasil darab punca persamaan adalah berkadar terus dengan "d" dan berkadar songsang dengan penunjuk "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Catatan!
Jika anda mendapat diskriminasi negatif, ini tidak bermakna tiada akar. Ini bermakna punca-punca persamaan adalah apa yang dipanggil punca kompleks. Teorem Vieta juga boleh digunakan dalam kes ini, tetapi bentuknya akan diubah sedikit: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Nasihat yang berguna
Jika anda tidak berhadapan dengan persamaan kuadratik, tetapi dengan kubik atau persamaan darjah n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn = 0, maka anda juga boleh menggunakan teorem Vieta untuk hitung jumlah atau hasil darab punca-punca persamaan :satu. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Jika, apabila menggantikan nombor ke dalam persamaan, kesamaan yang betul diperoleh, nombor sedemikian dipanggil punca. Akar boleh betul, negatif dan sifar. Di antara setiap set punca persamaan, maksimum dan minimum dibezakan.

Arahan

1. Cari semua punca persamaan, antaranya pilih yang negatif, jika ada. Katakan, diberi persamaan kuadratik 2x?-3x+1=0. Gunakan formula akar persamaan kuadratik: x(1,2)=/2=/2=/2, kemudian x1=2, x2=1. Adalah mudah untuk melihat bahawa tidak ada yang negatif di kalangan mereka.

2. Ia juga mungkin untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Mengikut teorem ini, x1+x1=-b, x1?x2=c, di mana b dan c masing-masing ialah penunjuk bagi persamaan x?+bx+c=0. Menggunakan teorem ini, adalah mungkin untuk tidak mengira diskriminasi b?-4ac, yang dalam beberapa kes boleh sangat memudahkan tugas.

3. Jika eksponen pada x adalah genap dalam persamaan kuadratik, ia dibenarkan untuk menggunakan bukan yang utama, tetapi formula singkatan untuk mencari punca. Jika formula utama kelihatan seperti x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, maka dalam bentuk singkatan ia ditulis seperti berikut: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. Jika tiada sebutan bebas dalam persamaan kuadratik, agak mudah untuk memindahkan x di luar kurungan. Dan kadang-kadang bahagian kiri melipat ke dalam persegi penuh: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Terdapat jenis persamaan yang tidak memberikan satu nombor, tetapi banyak penyelesaian. Katakan persamaan trigonometri. Jadi, hasil kepada persamaan 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 ialah x=?/4+?k, dengan k ialah integer. Iaitu, apabila menggantikan sebarang nilai integer parameter k, hujah x akan memenuhi persamaan yang diberikan.

5. AT masalah trigonometri mungkin perlu mencari semua punca negatif atau yang paling tinggi daripada punca negatif. Dalam menyelesaikan masalah tersebut, penaakulan logik digunakan atau kaedah induksi matematik. Gantikan beberapa nilai integer untuk k ke dalam ungkapan x=?/4+?k dan perhatikan bagaimana hujah itu berkelakuan. Dengan cara ini, punca negatif terbesar dalam persamaan sebelumnya ialah x=-3?/4 dengan k=1.

Video-video yang berkaitan

Catatan!
AT contoh ini varian bagi persamaan kuadratik telah dipertimbangkan, di mana a=1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap dengan kaedah yang sama, di mana a & ne 1, anda perlu membuat persamaan tambahan, membawa "a" kepada satu.

Nasihat yang berguna
guna kaedah ini menyelesaikan persamaan untuk mencari punca dengan cepat. Ia juga akan membantu jika anda perlu menyelesaikan persamaan di kepala anda tanpa menggunakan nota.

Jumlah punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas.

(Ingat: persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan di mana pekali pertama ialah 1).

Penjelasan :

Biarkan persamaan kuadratik ax2+bx +c= 0 mempunyai punca X 1 dan X 2. Kemudian dengan teorem Vieta:

Contoh 1:

Persamaan di atas x 2 - 7x + 10 \u003d 0 mempunyai punca 2 dan 5.

Jumlah punca ialah 7 dan hasil darab ialah 10.

Dan dalam persamaan kami, pekali kedua ialah -7, dan pintasan ialah 10.

Oleh itu, jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar ialah sebutan bebas.

Selalunya terdapat persamaan kuadratik yang boleh dikira dengan mudah menggunakan teorem Vieta − Lebih-lebih lagi, dengan bantuannya lebih mudah untuk mengiranya. Sangat mudah untuk melihat ini dalam contoh sebelumnya dan dalam contoh seterusnya.

Contoh 2 . Selesaikan persamaan kuadratik X 2 – 2X – 24 = 0.

Penyelesaian .

Kami menggunakan teorem Vieta dan menulis dua identiti:

X satu · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

Kami memilih faktor sedemikian untuk -24 supaya jumlahnya adalah sama dengan 2. Selepas beberapa pemikiran, kami dapati: 6 dan -4. Mari semak:

6 (- 4) = -24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Seperti yang anda perhatikan, dalam praktiknya, intipati teorem Vieta adalah untuk menguraikan sebutan bebas dalam persamaan kuadratik yang diberikan kepada faktor-faktor tersebut, yang jumlahnya adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan. Faktor-faktor ini akan menjadi punca.

Jadi punca-punca persamaan kuadratik kita ialah 6 dan -4.

Jawapan: X 1 = 6, X 2 = –4.

Contoh 3 . Mari kita selesaikan persamaan kuadratik 3x 2 + 2x - 5 = 0.

Di sini kita tidak berurusan dengan persamaan kuadratik terkurang. Tetapi persamaan sedemikian juga boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta jika pekalinya seimbang - contohnya, jika jumlah pekali pertama dan ketiga adalah sama dengan kedua dengan tanda yang bertentangan.

Penyelesaian .

Pekali persamaan adalah seimbang: jumlah sebutan pertama dan ketiga adalah sama dengan yang kedua dengan tanda yang bertentangan:

3 + (–5) = –2.

Mengikut teorem Vieta

x 1 + x 2 = -2/3
x 1 x 2 = -5/3.

Kita perlu mencari dua nombor yang jumlahnya ialah -2/3 dan hasil darabnya ialah -5/3. Nombor-nombor ini akan menjadi punca persamaan.

Nombor pertama diteka serta-merta: ia adalah 1. Lagipun, dengan x \u003d 1, persamaan bertukar menjadi penambahan-tolak yang paling mudah:
3 + 2 - 5 = 0. Bagaimana untuk mencari punca kedua?
Mari kita wakilkan 1 sebagai 3/3 supaya semua nombor mempunyai penyebut yang sama: lebih mudah. Dan mereka segera bertanya tindakan selanjutnya. Jika x 1 \u003d 3/3, maka:

3/3 + x 2 = -2/3.

Kami menyelesaikan persamaan mudah:

x 2 \u003d -2/3 - 3/3.

Jawapan: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d -5/3

Contoh 4: Selesaikan persamaan kuadratik 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

Penyelesaian :

Satu akar ditemui serta-merta - ia menarik perhatian anda: X 1 = 1 (kerana aritmetik mudah diperoleh: 7 - 6 - 1 = 0).

Pekali persamaan adalah seimbang: jumlah yang pertama dan ketiga adalah sama dengan yang kedua dengan tanda yang bertentangan:
7 + (– 1) = 6.

Selaras dengan teorem Vieta, kami menyusun dua identiti (walaupun dalam kes ini salah satu daripadanya mencukupi):

X satu · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

Gantikan nilai x 1 ke dalam salah satu daripada dua ungkapan ini dan cari x 2:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Jawapan: X 1 = 1; X 2 = –1/7

Pembeza bagi persamaan kuadratik terkurang.

Diskriminasi bagi persamaan kuadratik terkurang boleh dikira sebagai formula am, dan dengan cara yang mudah:

PadaD = 0 punca-punca persamaan di atas boleh dikira dengan formula:

Jika D< 0, то уравнение не имеет корней.

Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.

Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Antara punca dan pekali persamaan kuadratik, sebagai tambahan kepada rumus punca, terdapat hubungan berguna lain yang diberikan oleh Teorem Vieta. Dalam artikel ini, kami akan memberikan rumusan dan bukti teorem Vieta untuk persamaan kuadratik. Seterusnya, kita mempertimbangkan teorem yang bertentangan dengan teorem Vieta. Selepas itu, kami akan menganalisis penyelesaian contoh yang paling ciri. Akhir sekali, kami menulis formula Vieta yang mentakrifkan hubungan antara akar sebenar persamaan algebra darjah n dan pekalinya.

Navigasi halaman.

Teorem Vieta, rumusan, bukti

Daripada rumus punca-punca persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0 bentuk , dengan D=b 2 −4 a c , hubungan x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Keputusan ini disahkan Teorem Vieta:

Teorem.

Sekiranya x 1 dan x 2 ialah punca-punca persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0, maka hasil tambah punca-punca itu adalah sama dengan nisbah pekali b dan a, diambil dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab daripada punca adalah sama dengan nisbah pekali c dan a, iaitu, .

Bukti.

Kami akan membuktikan teorem Vieta mengikut skema berikut: kami menyusun jumlah dan hasil darab punca persamaan kuadratik menggunakan formula terkenal akar, selepas itu kita mengubah ungkapan yang terhasil, dan pastikan bahawa ia adalah sama dengan -b/a dan c/a, masing-masing.

Mari kita mulakan dengan jumlah akar, gubahnya. Sekarang kita bawa pecahan ke penyebut biasa, kita ada . Dalam pengangka pecahan yang terhasil , selepas itu : . Akhirnya, selepas 2 , kita dapat . Ini membuktikan hubungan pertama teorem Vieta untuk jumlah punca-punca persamaan kuadratik. Mari kita beralih kepada yang kedua.

Kami menyusun hasil darab punca-punca persamaan kuadratik:. Mengikut peraturan pendaraban pecahan, kerja terakhir boleh ditulis sebagai . Sekarang kita darab kurungan dengan kurungan dalam pengangka, tetapi lebih cepat untuk meruntuhkan produk ini dengan rumus perbezaan kuasa dua, Jadi . Kemudian, mengingati, kita melakukan peralihan seterusnya. Dan oleh kerana formula D=b 2 −4 a·c sepadan dengan diskriminasi persamaan kuadratik, maka b 2 −4·a·c boleh digantikan ke dalam pecahan terakhir dan bukannya D, kita dapat . Selepas membuka kurungan dan tuang istilah yang serupa kita tiba di pecahan , dan pengurangannya sebanyak 4·a memberikan . Ini membuktikan hubungan kedua teorem Vieta untuk hasil darab punca.

Jika kita meninggalkan penjelasan, maka bukti teorem Vieta akan mengambil bentuk ringkas:
,
.

Hanya perlu diperhatikan bahawa apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, persamaan kuadratik mempunyai satu punca. Walau bagaimanapun, jika kita menganggap bahawa persamaan dalam kes ini mempunyai dua punca yang sama, maka kesamaan dari teorem Vieta juga dipegang. Sesungguhnya, untuk D=0 punca persamaan kuadratik ialah , maka dan , dan kerana D=0 , iaitu, b 2 −4·a·c=0 , dari mana b 2 =4·a·c , maka .

Dalam amalan, teorem Vieta paling kerap digunakan berhubung dengan persamaan kuadratik terkurang (dengan pekali tertinggi bersamaan dengan 1 ) dalam bentuk x 2 +p·x+q=0 . Kadangkala ia dirumuskan untuk persamaan kuadratik jenis ini sahaja, yang tidak mengehadkan keluasan, kerana mana-mana persamaan kuadratik boleh digantikan dengan persamaan yang setara dengan membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan nombor bukan sifar a. Berikut ialah rumusan yang sepadan bagi teorem Vieta:

Teorem.

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang x 2 + p x + q \u003d 0 adalah sama dengan pekali pada x, diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab punca ialah sebutan bebas, iaitu x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorem songsang kepada teorem Vieta

Rumusan kedua teorem Vieta, yang diberikan dalam perenggan sebelumnya, menunjukkan bahawa jika x 1 dan x 2 ialah punca-punca persamaan kuadratik terkurang x 2 +p x+q=0, maka hubungan x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Sebaliknya, daripada hubungan bertulis x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, maka x 1 dan x 2 ialah punca bagi persamaan kuadratik x 2 +p x+q=0. Dalam erti kata lain, pernyataan yang bertentangan dengan teorem Vieta adalah benar. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem, dan membuktikannya.

Teorem.

Jika nombor x 1 dan x 2 adalah sedemikian rupa sehingga x 1 +x 2 =−p dan x 1 x 2 =q, maka x 1 dan x 2 ialah punca bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +p x+q=0 .

Bukti.

Selepas menggantikan dalam persamaan x 2 +p x+q=0 pekali p dan q ungkapan mereka melalui x 1 dan x 2, ia ditukar kepada persamaan setara.

Kami menggantikan nombor x 1 dan bukannya x ke dalam persamaan yang terhasil, kami mempunyai kesamaan x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, yang mana bagi mana-mana x 1 dan x 2 ialah kesamaan berangka yang betul 0=0, kerana x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Oleh itu, x 1 ialah punca persamaan x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, yang bermaksud bahawa x 1 ialah punca bagi persamaan setara x 2 +p x+q=0 .

Jika dalam persamaan x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 gantikan nombor x 2 dan bukannya x, maka kita mendapat kesamaan x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ini adalah persamaan yang betul kerana x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Oleh itu, x 2 juga ialah punca persamaan x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, dan dengan itu persamaan x 2 +p x+q=0 .

Ini melengkapkan bukti teorem, teorem terbalik Vieta.

Contoh penggunaan teorem Vieta

Sudah tiba masanya untuk bercakap tentang aplikasi praktikal teorem Vieta dan teorem songsangnya. Dalam subseksyen ini, kami akan menganalisis penyelesaian beberapa contoh yang paling tipikal.

Kita mulakan dengan menggunakan teorem terbalik kepada teorem Vieta. Ia adalah mudah untuk menggunakannya untuk memeriksa sama ada dua nombor yang diberikan adalah punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan. Dalam kes ini, jumlah dan perbezaan mereka dikira, selepas itu kesahihan hubungan diperiksa. Jika kedua-dua hubungan ini berpuas hati, maka, berdasarkan teorem yang bertentangan dengan teorem Vieta, disimpulkan bahawa nombor-nombor ini adalah punca-punca persamaan. Jika sekurang-kurangnya satu daripada hubungan tidak berpuas hati, maka nombor-nombor ini bukan punca persamaan kuadratik. Pendekatan ini boleh digunakan semasa menyelesaikan persamaan kuadratik untuk menyemak punca yang ditemui.

Contoh.

Antara pasangan nombor 1) x 1 =−5, x 2 =3, atau 2), atau 3) yang manakah merupakan pasangan punca bagi persamaan kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0?

Penyelesaian.

Pekali bagi persamaan kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0 ialah a=4 , b=−16 , c=9 . Menurut teorem Vieta, jumlah punca persamaan kuadratik mestilah sama dengan −b/a, iaitu, 16/4=4, dan hasil darab punca mestilah sama dengan c/a, iaitu 9 /4.

Sekarang kita mengira jumlah dan hasil nombor dalam setiap tiga pasangan yang diberi, dan bandingkan dengan nilai yang baru diperolehi.

Dalam kes pertama, kita mempunyai x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Nilai yang terhasil adalah berbeza daripada 4, jadi pengesahan lanjut tidak boleh dijalankan, tetapi dengan teorem, songsang teorem Vieta, kita boleh segera membuat kesimpulan bahawa pasangan nombor pertama bukanlah pasangan punca persamaan kuadratik yang diberikan.

Mari kita beralih kepada kes kedua. Di sini, iaitu, syarat pertama dipenuhi. Kami menyemak syarat kedua: , nilai yang terhasil adalah berbeza daripada 9/4 . Oleh itu, pasangan nombor kedua bukanlah pasangan punca persamaan kuadratik.

Kekal kes terakhir. Di sini dan. Kedua-dua syarat dipenuhi, jadi nombor x 1 dan x 2 ini adalah punca bagi persamaan kuadratik yang diberikan.

Jawapan:

Teorem, kebalikan teorem Vieta, boleh digunakan dalam amalan untuk memilih punca-punca persamaan kuadratik. Biasanya, punca integer bagi persamaan kuadratik yang diberikan dengan pekali integer dipilih, kerana dalam kes lain ini agak sukar untuk dilakukan. Pada masa yang sama, mereka menggunakan fakta bahawa jika jumlah dua nombor adalah sama dengan pekali kedua persamaan kuadratik, diambil dengan tanda tolak, dan hasil darab nombor ini sama dengan sebutan bebas, maka nombor ini adalah punca-punca persamaan kuadratik ini. Mari kita berurusan dengan ini dengan contoh.

Mari kita ambil persamaan kuadratik x 2 −5 x+6=0 . Untuk nombor x 1 dan x 2 menjadi punca persamaan ini, dua kesamaan x 1 +x 2 \u003d 5 dan x 1 x 2 \u003d 6 mesti dipenuhi. Ia tetap untuk memilih nombor sedemikian. Dalam kes ini, ini agak mudah dilakukan: nombor tersebut ialah 2 dan 3, kerana 2+3=5 dan 2 3=6 . Oleh itu, 2 dan 3 ialah punca bagi persamaan kuadratik ini.

Teorem, kebalikan teorem Vieta, amat mudah digunakan untuk mencari punca kedua bagi persamaan kuadratik terkurang, apabila salah satu punca sudah diketahui atau jelas. Dalam kes ini, punca kedua ditemui daripada mana-mana hubungan.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik 512 x 2 −509 x−3=0 . Di sini adalah mudah untuk melihat bahawa unit adalah punca persamaan, kerana jumlah pekali persamaan kuadratik ini ialah sifar. Jadi x 1 =1 . Punca kedua x 2 boleh didapati, sebagai contoh, daripada hubungan x 1 x 2 =c/a. Kami mempunyai 1 x 2 =−3/512 , dari mana x 2 =−3/512 . Jadi kita telah mentakrifkan kedua-dua punca persamaan kuadratik: 1 dan −3/512.

Adalah jelas bahawa pemilihan akar adalah suai manfaat yang paling banyak kes mudah. Dalam kes lain, untuk mencari punca, anda boleh menggunakan rumus punca persamaan kuadratik melalui diskriminasi.

Satu lagi kegunaan praktikal teorem, kebalikan dari teorem Vieta, terdiri dalam merangka persamaan kuadratik untuk punca x 1 dan x 2 yang diberikan. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengira jumlah akar, yang memberikan pekali x dengan tanda yang bertentangan dengan persamaan kuadratik yang diberikan, dan hasil darab akar, yang memberikan istilah bebas.

Contoh.

Tulis persamaan kuadratik yang puncanya ialah nombor −11 dan 23.

Penyelesaian.

Nyatakan x 1 =−11 dan x 2 =23 . Kami mengira jumlah dan hasil nombor ini: x 1 + x 2 \u003d 12 dan x 1 x 2 \u003d −253. Akibatnya, nombor yang ditunjukkan ialah punca-punca persamaan kuadratik terkurang dengan pekali kedua -12 dan sebutan bebas -253 . Iaitu, x 2 −12·x−253=0 ialah persamaan yang dikehendaki.

Jawapan:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorem Vieta sangat kerap digunakan dalam menyelesaikan tugasan yang berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadratik. Bagaimanakah teorem Vieta berkaitan dengan tanda-tanda punca persamaan kuadratik terkurang x 2 +p x+q=0 ? Berikut ialah dua kenyataan yang berkaitan:

• Jika sebutan bebas q ialah nombor positif dan jika persamaan kuadratik mempunyai punca nyata, maka sama ada kedua-duanya positif atau kedua-duanya negatif.
• Jika sebutan bebas q ialah nombor negatif dan jika persamaan kuadratik mempunyai punca nyata, maka tandanya berbeza, dengan kata lain, satu punca positif dan satu lagi negatif.

Pernyataan ini mengikuti formula x 1 x 2 \u003d q, serta peraturan untuk mendarab positif, nombor negatif dan nombor dengan tanda yang berbeza. Pertimbangkan contoh aplikasi mereka.

Contoh.

R adalah positif. Mengikut formula diskriminasi, kita dapati D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , nilai ungkapan r 2 +8 adalah positif untuk sebarang r sebenar, oleh itu D>0 untuk sebarang r sebenar. Oleh itu, persamaan kuadratik asal mempunyai dua punca untuk sebarang nilai sebenar parameter r.

Sekarang mari kita ketahui bila akarnya sudah ada tanda yang berbeza. Jika tanda-tanda akar adalah berbeza, maka hasil darabnya adalah negatif, dan dengan teorem Vieta, hasil darab punca persamaan kuadratik adalah sama dengan sebutan bebas. Oleh itu, kami berminat dengan nilai r yang mana istilah bebas r−1 adalah negatif. Oleh itu, untuk mencari nilai r yang menarik minat kita, kita perlu memutuskan ketaksamaan linear r−1<0 , откуда находим r<1 .

Jawapan:

di r<1 .

Formula Vieta

Di atas, kita bercakap tentang teorem Vieta untuk persamaan kuadratik dan menganalisis hubungan yang ditegaskannya. Tetapi terdapat formula yang menghubungkan punca dan pekali sebenar bukan sahaja persamaan kuadratik, tetapi juga persamaan kubik, persamaan empat kali ganda, dan secara umum, persamaan algebra ijazah n. Mereka dipanggil Formula Vieta.

Kami menulis formula Vieta untuk persamaan algebra darjah n bentuk, sementara kami menganggap bahawa ia mempunyai n punca sebenar x 1, x 2, ..., x n (antaranya mungkin ada yang sama):

Dapatkan formula Vieta membolehkan teorem pemfaktoran polinomial, serta definisi polinomial sama melalui kesamaan semua pekali sepadannya. Jadi polinomial dan pengembangannya kepada faktor linear bentuk adalah sama. Membuka kurungan dalam produk terakhir dan menyamakan pekali yang sepadan, kami memperoleh formula Vieta.

Khususnya, untuk n=2 kita sudah biasa menggunakan formula Vieta untuk persamaan kuadratik.

Untuk persamaan padu, formula Vieta mempunyai bentuk

Perlu diingat bahawa di sebelah kiri formula Vieta terdapat apa yang dipanggil asas polinomial simetri.

Bibliografi.

• Algebra: buku teks untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 10: buku teks. untuk pendidikan am institusi: asas dan profil. peringkat / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - ed ke-3. - M.: Makrifat, 2010.- 368 hlm. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.