Derivatif adalah sama dengan pekali tangen. Pelajaran "persamaan tangen kepada graf fungsi"

Pada peringkat perkembangan pendidikan sekarang, salah satu tugas utamanya ialah pembentukan personaliti yang berfikiran kreatif. Keupayaan untuk kreativiti dalam diri pelajar hanya boleh dibangunkan jika mereka terlibat secara sistematik dalam asas aktiviti penyelidikan. Asas untuk pelajar menggunakan daya kreatif, kebolehan dan bakat mereka dibentuk pengetahuan dan kemahiran sepenuhnya. Sehubungan dengan itu, masalah membentuk sistem pengetahuan dan kemahiran asas bagi setiap topik kursus matematik sekolah tidak begitu penting. Pada masa yang sama, kemahiran sepenuhnya harus menjadi matlamat didaktik bukan tugas individu, tetapi sistem pemikiran mereka dengan teliti. Dalam erti kata yang luas, sistem difahami sebagai satu set elemen berinteraksi yang saling berkaitan yang mempunyai integriti dan struktur yang stabil.

Pertimbangkan kaedah untuk mengajar pelajar cara merangka persamaan tangen kepada graf fungsi. Pada dasarnya, semua tugas untuk mencari persamaan tangen dikurangkan kepada keperluan untuk memilih daripada set (berkas, keluarga) garisan yang memenuhi keperluan tertentu - ia adalah tangen kepada graf fungsi tertentu. Dalam kes ini, set baris dari mana pemilihan dijalankan boleh ditentukan dalam dua cara:

a) titik terletak pada satah xOy (pensel garis pusat);
b) pekali sudut (kumpulan garisan selari).

Dalam hal ini, apabila mengkaji topik "Tangen kepada graf fungsi" untuk mengasingkan elemen sistem, kami mengenal pasti dua jenis tugas:

1) tugas pada tangen yang diberikan oleh titik yang dilaluinya;
2) tugas pada tangen yang diberikan oleh cerunnya.

Pembelajaran untuk menyelesaikan masalah pada tangen telah dijalankan menggunakan algoritma yang dicadangkan oleh A.G. Mordkovich. Perbezaan asasnya daripada yang telah diketahui ialah absis titik tangen dilambangkan dengan huruf a (bukannya x0), sehubungan dengannya persamaan tangen mengambil bentuk

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(bandingkan dengan y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Teknik metodologi ini, pada pendapat kami, membolehkan pelajar dengan cepat dan mudah menyedari di mana koordinat titik semasa ditulis dalam persamaan tangen am, dan di manakah titik sentuhan.

Algoritma untuk menyusun persamaan tangen kepada graf fungsi y = f(x)

1. Tentukan dengan huruf a abscissa titik sentuhan.
2. Cari f(a).
3. Cari f "(x) dan f "(a).
4. Gantikan nombor yang ditemui a, f (a), f "(a) ke dalam persamaan am tangen y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Algoritma ini boleh disusun berdasarkan pemilihan bebas operasi pelajar dan urutan pelaksanaannya.

Amalan telah menunjukkan bahawa penyelesaian yang konsisten bagi setiap tugas utama menggunakan algoritma membolehkan anda membentuk keupayaan untuk menulis persamaan tangen kepada graf fungsi secara berperingkat, dan langkah-langkah algoritma berfungsi sebagai titik kukuh untuk tindakan. . Pendekatan ini sepadan dengan teori pembentukan secara beransur-ansur tindakan mental yang dibangunkan oleh P.Ya. Galperin dan N.F. Talyzina.

Dalam jenis tugas pertama, dua tugas utama telah dikenalpasti:

tangen melepasi titik yang terletak pada lengkung (masalah 1);
tangen melalui titik yang tidak terletak pada lengkung (Masalah 2).

Tugasan 1. Samakan tangen dengan graf fungsi pada titik M(3; – 2).

Penyelesaian. Titik M(3; – 2) ialah titik sentuhan, kerana

1. a = 3 - absis titik sentuh.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 ialah persamaan tangen.

Tugasan 2. Tulis persamaan semua tangen kepada graf fungsi y = - x 2 - 4x + 2, melalui titik M(- 3; 6).

Penyelesaian. Titik M(– 3; 6) bukan titik tangen, kerana f(– 3) 6 (Rajah 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - persamaan tangen.

Tangen melepasi titik M(– 3; 6), oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan tangen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Jika a = – 4, maka persamaan tangen ialah y = 4x + 18.

Jika a \u003d - 2, maka persamaan tangen mempunyai bentuk y \u003d 6.

Dalam jenis kedua, tugas utama adalah seperti berikut:

tangen adalah selari dengan beberapa garis lurus (masalah 3);
tangen melepasi pada beberapa sudut ke garisan yang diberikan (Masalah 4).

Tugasan 3. Tulis persamaan semua tangen kepada graf fungsi y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, selari dengan garis y \u003d 9x + 1.

1. a - abscissa titik sentuh.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Tetapi, sebaliknya, f "(a) \u003d 9 (keadaan selari). Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan 3a 2 - 6a \u003d 9. Akarnya a \u003d - 1, a \u003d 3 (Rajah . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 ialah persamaan tangen;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 ialah persamaan tangen.

Tugasan 4. Tulis persamaan tangen kepada graf fungsi y = 0.5x 2 - 3x + 1, melepasi pada sudut 45 ° kepada garis lurus y = 0 (Gamb. 4).

Penyelesaian. Daripada keadaan f "(a) \u003d tg 45 ° kita dapati a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - absis titik sentuh.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - persamaan tangen.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penyelesaian masalah lain dikurangkan kepada penyelesaian satu atau beberapa masalah utama. Pertimbangkan dua masalah berikut sebagai contoh.

1. Tuliskan persamaan tangen kepada parabola y = 2x 2 - 5x - 2, jika tangen bersilang pada sudut tegak dan salah satu daripadanya menyentuh parabola pada titik dengan absis 3 (Rajah 5).

Penyelesaian. Oleh kerana absis titik sentuhan diberikan, bahagian pertama penyelesaian dikurangkan kepada masalah utama 1.

1. a \u003d 3 - absis titik sentuhan salah satu sisi sudut tepat.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - persamaan tangen pertama.

Biarkan a menjadi cerun tangen pertama. Oleh kerana tangen adalah berserenjang, maka ialah sudut kecondongan tangen kedua. Daripada persamaan y = 7x – 20 tangen pertama kita mempunyai tg a = 7. Cari

Ini bermakna kecerunan tangen kedua ialah .

Penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada tugas utama 3.

Biarkan B(c; f(c)) ialah titik tangen bagi garis kedua, kemudian

1. - abscissa titik hubungan kedua.
2.
3.
4.
ialah persamaan tangen kedua.

Catatan. Pekali sudut tangen boleh didapati lebih mudah jika pelajar mengetahui nisbah pekali garis serenjang k 1 k 2 = - 1.

2. Tulis persamaan semua tangen sepunya kepada graf berfungsi

Penyelesaian. Tugas dikurangkan kepada mencari absis titik sentuhan tangen sepunya, iaitu, untuk menyelesaikan masalah utama 1 dalam bentuk umum, menyusun sistem persamaan dan kemudian menyelesaikannya (Rajah 6).

1. Biarkan a menjadi absis bagi titik sentuh yang terletak pada graf fungsi y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Biarkan c ialah absis bagi titik tangen yang terletak pada graf fungsi itu
2.
3. f "(c) = c.
4.

Oleh kerana tangen adalah biasa, maka

Jadi y = x + 1 dan y = - 3x - 3 ialah tangen sepunya.

Matlamat utama tugasan yang dipertimbangkan adalah untuk menyediakan pelajar untuk pengiktirafan kendiri jenis tugas utama apabila menyelesaikan tugas yang lebih kompleks yang memerlukan kemahiran penyelidikan tertentu (keupayaan untuk menganalisis, membandingkan, membuat generalisasi, mengemukakan hipotesis, dll.). Tugasan sedemikian termasuk apa-apa tugas di mana tugas utama dimasukkan sebagai komponen. Mari kita pertimbangkan sebagai contoh masalah (terbalikan kepada masalah 1) mencari fungsi daripada keluarga tangennya.

3. Untuk apakah b dan c garis y \u003d x dan y \u003d - 2x tangen kepada graf fungsi y \u003d x 2 + bx + c?

Biarkan t ialah absis bagi titik sentuhan garis y = x dengan parabola y = x 2 + bx + c; p ialah absis bagi titik sentuhan garis y = - 2x dengan parabola y = x 2 + bx + c. Kemudian persamaan tangen y = x akan mengambil bentuk y = (2t + b)x + c - t 2 , dan persamaan tangen y = - 2x akan mengambil bentuk y = (2p + b)x + c - p 2 .

Karang dan selesaikan sistem persamaan

Jawapan:

Dalam artikel ini, kami akan menganalisis semua jenis masalah untuk mencari

Mari kita ingat makna geometri bagi terbitan: jika tangen dilukis pada graf fungsi pada satu titik, maka kecerunan tangen (sama dengan tangen sudut antara tangen dan arah positif paksi) adalah sama dengan terbitan fungsi pada tujuan itu.

Ambil titik sembarangan pada tangen dengan koordinat:

Dan pertimbangkan segi tiga tepat:

Dalam segi tiga ini

Dari sini

Ini ialah persamaan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Untuk menulis persamaan tangen, kita hanya perlu mengetahui persamaan fungsi dan titik di mana tangen itu dilukis. Kemudian kita boleh mencari dan .

Terdapat tiga jenis utama masalah persamaan tangen.

1. Diberi titik perhubungan

2. Diberi pekali kecerunan tangen, iaitu nilai terbitan fungsi pada titik.

3. Diberi koordinat titik yang melaluinya tangen itu dilukis, tetapi yang bukan titik tangen.

Mari kita lihat setiap jenis masalah.

1 . Tulis persamaan tangen kepada graf fungsi itu pada titik .

b) Cari nilai terbitan pada titik . Mula-mula kita mencari derivatif fungsi tersebut

Gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan tangen:

Mari kita buka kurungan di sebelah kanan persamaan. Kita mendapatkan:

Jawapan: .

2. Cari absis bagi titik-titik di mana fungsi tangen kepada graf selari dengan paksi-x.

Jika tangen selari dengan paksi-x, maka sudut antara tangen dan arah positif paksi adalah sifar, jadi tangen cerun tangen adalah sifar. Jadi nilai terbitan fungsi itu pada titik sentuhan adalah sifar.

a) Cari terbitan bagi fungsi itu .

b) Samakan terbitan kepada sifar dan cari nilai di mana tangen selari dengan paksi:

Kami menyamakan setiap faktor kepada sifar, kami mendapat:

Jawapan: 0;3;5

3 . Tulis persamaan tangen kepada graf fungsi , selari lurus .

Tangen adalah selari dengan garis. Kecerunan garis lurus ini ialah -1. Oleh kerana tangen adalah selari dengan garis ini, oleh itu, kecerunan tangen juga adalah -1. Itu dia kita tahu kecerunan tangen, maka dengan itu nilai terbitan pada titik sentuhan.

Ini adalah jenis masalah kedua untuk mencari persamaan tangen.

Jadi, kita diberi fungsi dan nilai terbitan pada titik hubungan.

a) Cari titik di mana terbitan fungsi itu bersamaan dengan -1.

Pertama, mari kita cari persamaan terbitan.

Mari samakan terbitan dengan nombor -1.

Cari nilai fungsi pada titik itu.

(dengan syarat)

b) Cari persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik .

Cari nilai fungsi pada titik itu.

(dengan syarat).

Gantikan nilai ini ke dalam persamaan tangen:

Jawapan:

4 . Tulis persamaan untuk tangen kepada lengkung , melalui satu titik

Mula-mula, semak sama ada titik itu bukan titik sentuh. Jika titik itu ialah titik tangen, maka ia tergolong dalam graf fungsi, dan koordinatnya mesti memenuhi persamaan fungsi itu. Gantikan koordinat titik dalam persamaan fungsi.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} bukan titik perhubungan.

Ini adalah jenis masalah terakhir untuk mencari persamaan tangen. Perkara pertama kita perlu mencari absis titik hubungan.

Mari cari nilainya.

Biar menjadi titik kenalan. Titik itu tergolong dalam tangen kepada graf fungsi itu. Jika kita menggantikan koordinat titik ini ke dalam persamaan tangen, kita mendapat kesamaan yang betul:

Nilai fungsi pada titik ialah .

Cari nilai terbitan bagi fungsi pada titik itu.

Mari kita cari terbitan fungsi itu dahulu. ini.

Derivatif pada satu titik ialah .

Mari kita gantikan ungkapan untuk dan ke dalam persamaan tangen. Kami mendapat persamaan untuk:

Mari kita selesaikan persamaan ini.

Kurangkan pengangka dan penyebut pecahan dengan 2:

Kami membawa bahagian kanan persamaan kepada penyebut biasa. Kita mendapatkan:

Permudahkan pengangka pecahan dan darab kedua-dua bahagian dengan - ungkapan ini lebih besar daripada sifar.

Kami mendapat persamaan

Jom selesaikan. Untuk melakukan ini, kami petak kedua-dua bahagian dan pergi ke sistem.

Title="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Mari kita selesaikan persamaan pertama.

Kami menyelesaikan persamaan kuadratik, kami dapat

Punca kedua tidak memenuhi syarat title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Mari kita tulis persamaan tangen kepada lengkung pada titik . Untuk melakukan ini, kami menggantikan nilai dalam persamaan Kami sudah merakamnya.

Jawapan:
.

Tangen ialah garis lurus , yang menyentuh graf fungsi pada satu titik dan semua titik berada pada jarak terkecil daripada graf fungsi. Oleh itu, tangen melepasi tangen kepada graf fungsi pada sudut tertentu dan beberapa tangen tidak boleh melalui titik tangen pada sudut yang berbeza. Persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi disusun menggunakan derivatif.

Persamaan tangen diperoleh daripada persamaan garis lurus .

Kami memperoleh persamaan tangen, dan kemudian persamaan normal kepada graf fungsi.

y = kx + b .

Dalam dia k- pekali sudut.

Dari sini kita dapat entri berikut:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Nilai terbitan f "(x 0 ) fungsi y = f(x) pada titik x0 sama dengan cerun k=tg φ tangen kepada graf fungsi yang dilukis melalui titik M0 (x 0 , y 0 ) , Di mana y0 = f(x 0 ) . Apakah ini makna geometri bagi terbitan .

Oleh itu, kita boleh menggantikan k pada f "(x 0 ) dan dapatkan yang berikut persamaan tangen kepada graf fungsi :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Dalam tugas untuk menyusun persamaan tangen kepada graf fungsi (dan tidak lama lagi kita akan beralih kepada mereka), perlu membawa persamaan yang diperoleh daripada formula di atas kepada persamaan am bagi garis lurus. Untuk melakukan ini, anda perlu memindahkan semua huruf dan nombor ke sebelah kiri persamaan, dan biarkan sifar di sebelah kanan.

Sekarang mengenai persamaan biasa. Biasalah ialah garis lurus yang melalui titik tangen kepada graf fungsi yang berserenjang dengan tangen. Persamaan Normal :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Untuk memanaskan contoh pertama, anda diminta menyelesaikannya sendiri, dan kemudian melihat penyelesaiannya. Terdapat banyak sebab untuk berharap bahawa tugas ini tidak akan menjadi "mandi sejuk" untuk pembaca kami.

Contoh 0. Susun persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi pada satu titik M (1, 1) .

Contoh 1 Susun persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis titik sentuh ialah .

Mari cari terbitan fungsi:

Sekarang kita mempunyai segala-galanya yang perlu digantikan ke dalam entri yang diberikan dalam rujukan teori untuk mendapatkan persamaan tangen. Kita mendapatkan

Dalam contoh ini, kami bernasib baik: cerun ternyata sama dengan sifar, jadi tidak perlu secara berasingan membawa persamaan ke bentuk umum. Sekarang kita boleh menulis persamaan normal:

Dalam gambar di bawah: graf fungsi dalam burgundy, tangen dalam hijau, normal dalam oren.

Contoh seterusnya juga tidak rumit: fungsi, seperti dalam yang sebelumnya, juga polinomial, tetapi pekali cerun tidak akan sama dengan sifar, jadi satu langkah lagi akan ditambah - membawa persamaan kepada bentuk umum.

Contoh 2

Penyelesaian. Mari cari ordinat titik sentuh:

Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita cari nilai terbitan pada titik sentuhan, iaitu, cerun tangen:

Kami menggantikan semua data yang diperolehi ke dalam "formula kosong" dan dapatkan persamaan tangen:

Kami membawa persamaan ke bentuk umum (kami mengumpulkan semua huruf dan nombor selain sifar di sebelah kiri, dan meninggalkan sifar di sebelah kanan):

Kami menyusun persamaan normal:

Contoh 3 Susun persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis bagi titik sentuhan ialah .

Penyelesaian. Mari cari ordinat titik sentuh:

Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita cari nilai terbitan pada titik sentuhan, iaitu, cerun tangen:

Kami mencari persamaan tangen:

Sebelum membawa persamaan kepada bentuk am, anda perlu "menggabungkannya" sedikit: darab sebutan dengan sebutan dengan 4. Kami melakukan ini dan membawa persamaan kepada bentuk umum:

Kami menyusun persamaan normal:

Contoh 4 Susun persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis bagi titik sentuhan ialah .

Penyelesaian. Mari cari ordinat titik sentuh:

Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita cari nilai terbitan pada titik sentuhan, iaitu, cerun tangen:

Kami mendapat persamaan tangen:

Kami membawa persamaan kepada bentuk umum:

Kami menyusun persamaan normal:

Kesilapan biasa semasa menulis persamaan tangen dan normal ialah tidak menyedari bahawa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah kompleks dan mengira terbitannya sebagai terbitan bagi fungsi mudah. Contoh berikut sudah pun fungsi yang kompleks(pelajaran yang sepadan akan dibuka dalam tetingkap baharu).

Contoh 5 Susun persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis bagi titik sentuhan ialah .

Penyelesaian. Mari cari ordinat titik sentuh:

Perhatian! Fungsi ini adalah kompleks, kerana hujah tangen (2 x) itu sendiri adalah fungsi. Oleh itu, kita dapati terbitan fungsi sebagai terbitan bagi fungsi kompleks.

Contoh 1 Diberi fungsi f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Mari kita tulis persamaan tangen kepada graf fungsi f(x) pada titik graf dengan absis x 0 = 1.

Penyelesaian. Derivatif fungsi f(x) wujud untuk mana-mana x R . Mari cari:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Kemudian f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Persamaan tangen mempunyai bentuk:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Jawab. y = 10x – 8.

Contoh 2 Diberi fungsi f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Mari kita tulis persamaan tangen kepada graf fungsi f(x), selari dengan garisan y = 2x – 11.

Penyelesaian. Derivatif fungsi f(x) wujud untuk mana-mana x R . Mari cari:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Sejak tangen kepada graf fungsi f(x) pada titik dengan absis x 0 adalah selari dengan garis y = 2x– 11, maka kecerunannya ialah 2, iaitu ( x 0) = 2. Cari absis ini daripada syarat bahawa 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Kesamaan ini hanya sah untuk x 0 = 0 dan x 0 = 2. Oleh kerana dalam kedua-dua kes f(x 0) = 5, kemudian garis lurus y = 2x + b menyentuh graf fungsi sama ada pada titik (0; 5) atau pada titik (2; 5).

Dalam kes pertama, kesamaan berangka adalah benar 5 = 2×0 + b, di mana b= 5, dan dalam kes kedua, kesamaan berangka adalah benar 5 = 2 × 2 + b, di mana b = 1.

Jadi terdapat dua tangen y = 2x+ 5 dan y = 2x+ 1 kepada graf fungsi f(x) selari dengan garisan y = 2x – 11.

Jawab. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Contoh 3 Diberi fungsi f(x) = x 2 – 6x+ 7. Mari kita tulis persamaan tangen kepada graf fungsi f(x) melalui titik A (2; –5).

Penyelesaian. Kerana f(2) –5, kemudian titik A tidak tergolong dalam graf fungsi f(x). biarlah x 0 - absis titik sentuh.

Derivatif fungsi f(x) wujud untuk mana-mana x R . Mari cari:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Kemudian f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Persamaan tangen mempunyai bentuk:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Sejak perkara itu A tergolong dalam tangen, maka kesamaan berangka adalah benar

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

di mana x 0 = 0 atau x 0 = 4. Ini bermakna melalui titik A adalah mungkin untuk melukis dua tangen kepada graf fungsi itu f(x).

Jika x 0 = 0, maka persamaan tangen mempunyai bentuk y = –6x+ 7. Jika x 0 = 4, maka persamaan tangen mempunyai bentuk y = 2x – 9.

Jawab. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Contoh 4 Fungsi yang diberi f(x) = x 2 – 2x+ 2 dan g(x) = –x 2 - 3. Mari kita tulis persamaan tangen sepunya kepada graf fungsi ini.

Penyelesaian. biarlah x 1 - abscissa titik sentuhan garis yang dikehendaki dengan graf fungsi f(x), A x 2 - absis titik sentuhan garis yang sama dengan graf fungsi g(x).

Derivatif fungsi f(x) wujud untuk mana-mana x R . Mari cari:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Kemudian f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Persamaan tangen mempunyai bentuk:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Mari kita cari terbitan bagi fungsi tersebut g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Persamaan tangen kepada graf fungsi

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Wilayah Chelyabinsk

Persamaan tangen kepada graf fungsi

Artikel itu diterbitkan dengan sokongan Kompleks Hotel ITAKA+. Menginap di bandar pembuat kapal Severodvinsk, anda tidak akan menghadapi masalah mencari perumahan sementara. , di laman web kompleks hotel "ITAKA +" http://itakaplus.ru, anda boleh dengan mudah dan cepat menyewa sebuah apartmen di bandar, untuk sebarang tempoh, dengan bayaran harian.

Pada peringkat perkembangan pendidikan sekarang, salah satu tugas utamanya ialah pembentukan personaliti yang berfikiran kreatif. Keupayaan untuk kreativiti dalam diri pelajar hanya boleh dibangunkan jika mereka terlibat secara sistematik dalam asas aktiviti penyelidikan. Asas untuk pelajar menggunakan daya kreatif, kebolehan dan bakat mereka dibentuk pengetahuan dan kemahiran sepenuhnya. Sehubungan dengan itu, masalah membentuk sistem pengetahuan dan kemahiran asas bagi setiap topik kursus matematik sekolah adalah amat penting. Pada masa yang sama, kemahiran sepenuhnya harus menjadi matlamat didaktik bukan tugas individu, tetapi sistem pemikiran mereka dengan teliti. Dalam erti kata yang luas, sistem difahami sebagai satu set elemen berinteraksi yang saling berkaitan yang mempunyai integriti dan struktur yang stabil.

a) titik terletak pada satah xOy (pensel garis pusat);
b) pekali sudut (kumpulan garisan selari).

Dalam hal ini, apabila mengkaji topik "Tangen kepada graf fungsi" untuk mengasingkan elemen sistem, kami mengenal pasti dua jenis tugas:

1) tugas pada tangen yang diberikan oleh titik yang dilaluinya;
2) tugas pada tangen yang diberikan oleh cerunnya.

Pembelajaran untuk menyelesaikan masalah pada tangen telah dijalankan menggunakan algoritma yang dicadangkan oleh A.G. Mordkovich. Perbezaan asasnya daripada yang telah diketahui ialah absis titik tangen dilambangkan dengan huruf a (bukan x0), yang berkaitan dengan persamaan tangen mengambil bentuk

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

Algoritma untuk menyusun persamaan tangen kepada graf fungsi y = f(x)

1. Tentukan dengan huruf a abscissa titik sentuhan.
2. Cari f(a).
3. Cari f "(x) dan f "(a).
4. Gantikan nombor yang ditemui a, f (a), f "(a) ke dalam persamaan am tangen y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Algoritma ini boleh disusun berdasarkan pemilihan bebas operasi pelajar dan urutan pelaksanaannya.

Dalam jenis tugas pertama, dua tugas utama telah dikenalpasti:

tangen melepasi titik yang terletak pada lengkung (masalah 1);
tangen melalui titik yang tidak terletak pada lengkung (Masalah 2).

Tugasan 1. Samakan tangen dengan graf fungsi pada titik M(3; – 2).

Penyelesaian. Titik M(3; – 2) ialah titik sentuhan, kerana

1. a = 3 - absis titik sentuh.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 ialah persamaan tangen.

Tugasan 2. Tulis persamaan semua tangen kepada graf fungsi y = - x 2 - 4x + 2, melalui titik M(- 3; 6).

Penyelesaian. Titik M(– 3; 6) bukan titik tangen, kerana f(– 3) 6 (Gamb. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - persamaan tangen.

Tangen melepasi titik M(– 3; 6), oleh itu, koordinatnya memenuhi persamaan tangen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Jika a = – 4, maka persamaan tangen ialah y = 4x + 18.

Jika a \u003d - 2, maka persamaan tangen mempunyai bentuk y \u003d 6.

Dalam jenis kedua, tugas utama adalah seperti berikut:

tangen adalah selari dengan beberapa garis lurus (masalah 3);
tangen melepasi pada beberapa sudut ke garisan yang diberikan (Masalah 4).

Tugasan 3. Tulis persamaan semua tangen kepada graf fungsi y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, selari dengan garis y \u003d 9x + 1.

Penyelesaian.

1. a - abscissa titik sentuh.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Tetapi, sebaliknya, f "(a) \u003d 9 (keadaan selari). Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan 3a 2 - 6a \u003d 9. Akarnya a \u003d - 1, a \u003d 3 (Rajah . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 ialah persamaan tangen;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 ialah persamaan tangen.

Tugasan 4. Tulis persamaan tangen kepada graf fungsi y = 0.5x 2 - 3x + 1, melepasi pada sudut 45 ° kepada garis lurus y = 0 (Gamb. 4).

Penyelesaian. Daripada keadaan f "(a) \u003d tg 45 ° kita dapati a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - absis titik sentuh.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - persamaan tangen.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penyelesaian masalah lain dikurangkan kepada penyelesaian satu atau beberapa masalah utama. Pertimbangkan dua masalah berikut sebagai contoh.

1. Tuliskan persamaan tangen kepada parabola y = 2x 2 - 5x - 2, jika tangen bersilang pada sudut tegak dan salah satu daripadanya menyentuh parabola pada titik dengan absis 3 (Rajah 5).

Penyelesaian. Oleh kerana absis titik sentuhan diberikan, bahagian pertama penyelesaian dikurangkan kepada masalah utama 1.

1. a \u003d 3 - absis titik sentuhan salah satu sisi sudut tepat.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - persamaan tangen pertama.

Biarkan a ialah sudut kecondongan tangen pertama. Oleh kerana tangen adalah berserenjang, maka ialah sudut kecondongan tangen kedua. Daripada persamaan y = 7x – 20 tangen pertama kita mempunyai tg a = 7. Cari

Ini bermakna kecerunan tangen kedua ialah .

Penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada tugas utama 3.

Biarkan B(c; f(c)) ialah titik tangen bagi garis kedua, kemudian

1. - abscissa titik hubungan kedua.
2.
3.
4.
ialah persamaan tangen kedua.

Catatan. Pekali sudut tangen boleh didapati lebih mudah jika pelajar mengetahui nisbah pekali garis serenjang k 1 k 2 = - 1.

2. Tulis persamaan semua tangen sepunya kepada graf berfungsi

1. Biarkan a menjadi absis bagi titik sentuh yang terletak pada graf fungsi y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Biarkan c ialah absis bagi titik tangen yang terletak pada graf fungsi itu
2.
3. f "(c) = c.
4.

Oleh kerana tangen adalah biasa, maka

Jadi y = x + 1 dan y = - 3x - 3 ialah tangen sepunya.

3. Untuk apakah b dan c garis y \u003d x dan y \u003d - 2x tangen kepada graf fungsi y \u003d x 2 + bx + c?

Penyelesaian.

Karang dan selesaikan sistem persamaan

Jawapan:

Tugas untuk penyelesaian bebas

1. Tuliskan persamaan tangen yang dilukis pada graf fungsi y = 2x 2 - 4x + 3 pada titik persilangan graf dengan garis y = x + 3.

Jawapan: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. Apakah nilai tangen yang dilukis pada graf fungsi y \u003d x 2 - kapak pada titik graf dengan absis x 0 \u003d 1 melalui titik M (2; 3) ?

Jawapan: a = 0.5.

3. Untuk nilai p apakah garis y = px - 5 menyentuh lengkung y = 3x 2 - 4x - 2?

Jawapan: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Cari semua titik sepunya graf bagi fungsi y = 3x - x 3 dan tangen yang dilukis pada graf ini melalui titik P(0; 16).

Jawapan: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Cari jarak terpendek antara parabola y = x 2 + 6x + 10 dan garis

Jawapan:

6. Pada lengkung y \u003d x 2 - x + 1, cari titik di mana tangen kepada graf adalah selari dengan garis y - 3x + 1 \u003d 0.

Jawapan: M(2; 3).

7. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi y = x 2 + 2x - | 4x | yang menyentuhnya pada dua titik. Buat lukisan.

Jawapan: y = 2x - 4.

8. Buktikan bahawa garis y = 2x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = x 4 + 3x 2 + 2x. Cari jarak antara titik terdekat mereka.

Jawapan:

9. Pada parabola y \u003d x 2, dua titik dengan abscissas x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3 diambil. Satu titik dilukis melalui titik-titik ini. Pada titik manakah parabola akan tangen kepadanya selari dengan sekan yang dilukis? Tulis persamaan bagi sekan dan tangen.

Jawapan: y \u003d 4x - 3 - persamaan sekan; y = 4x – 4 ialah persamaan tangen.

10. Cari sudut q antara tangen kepada graf fungsi y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, dilukis pada titik dengan abscissas 0 dan 1.

Jawapan: q = 45°.

11. Pada titik apakah tangen kepada graf fungsi membentuk sudut 135° dengan paksi Lembu?

Jawapan: A(0; - 1), B(4; 3).

12. Pada titik A(1; 8) ke lengkung tangen dilukis. Cari panjang ruas tangen yang tertutup di antara paksi koordinat.

Jawapan:

13. Tulis persamaan semua tangen sepunya kepada graf fungsi y \u003d x 2 - x + 1 dan y \u003d 2x 2 - x + 0.5.

Jawapan: y = - 3x dan y = x.

14. Cari jarak antara tangen kepada graf fungsi yang selari dengan paksi-x.

Jawapan:

15. Tentukan pada sudut apakah parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 bersilang dengan paksi-x.

Jawapan: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Pada graf fungsi cari semua titik, tangen pada setiap satunya dengan graf ini bersilang separuh paksi positif koordinat, memotong segmen yang sama daripadanya.

Jawapan: A(-3; 11).

17. Garis y = 2x + 7 dan parabola y = x 2 – 1 bersilang pada titik M dan N. Cari titik persilangan K garis tangen kepada parabola pada titik M dan N.

Jawapan: K(1; - 9).

18. Untuk nilai b apakah garis y \u003d 9x + b tangen kepada graf fungsi y \u003d x 3 - 3x + 15?

Jawapan: - 1; 31.

19. Untuk nilai k apakah garis y = kx – 10 hanya mempunyai satu titik sepunya dengan graf fungsi y = 2x 2 + 3x – 2? Untuk nilai k yang ditemui, tentukan koordinat titik itu.

Jawapan: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Untuk nilai b apakah tangen yang dilukis pada graf fungsi y = bx 3 – 2x 2 – 4 pada titik dengan absis x 0 = 2 melalui titik M(1; 8)?

Jawapan: b = - 3.

21. Parabola dengan bucu pada paksi-x adalah tangen kepada garis yang melalui titik A(1; 2) dan B(2; 4) di titik B. Cari persamaan parabola itu.

Jawapan:

22. Apakah nilai pekali k parabola y \u003d x 2 + kx + 1 menyentuh paksi Lembu?

Jawapan: k = q 2.

23. Cari sudut di antara garis y = x + 2 dan lengkung y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Cari jarak antara tangen dengan graf penjana fungsi dengan arah positif paksi Lembu pada sudut 45 °.

Jawapan:

30. Cari lokus bucu semua parabola dalam bentuk y = x 2 + ax + b menyentuh garis y = 4x - 1.

Jawapan: garis lurus y = 4x + 3.

kesusasteraan

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra dan Permulaan Analisis: 3600 Masalah untuk Murid Sekolah dan Pemohon Universiti. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar keempat untuk guru muda. Topiknya ialah "Aplikasi Derivatif". - M., "Matematik", No. 21/94.
3. Pembentukan pengetahuan dan kemahiran berdasarkan teori asimilasi secara beransur-ansur tindakan mental. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Universiti Negeri Moscow, 1968.