Persamaan trigonometri termudah 1. Menyelesaikan persamaan trigonometri

Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik dengan 60-65 mata. Selesaikan semua tugasan 1-13 Profile Unified State Exam dalam matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.

Semua teori yang diperlukan. Penyelesaian pantas, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersatu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Petugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang mudah dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. Teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk menyelesaikan masalah kompleks Bahagian 2 Peperiksaan Negeri Bersatu.

Persamaan trigonometri yang paling mudah diselesaikan, sebagai peraturan, menggunakan formula. Izinkan saya mengingatkan anda bahawa persamaan trigonometri yang paling mudah ialah:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ialah sudut yang perlu ditemui,
a ialah sebarang nombor.

Dan inilah formula yang anda boleh segera menulis penyelesaian kepada persamaan paling mudah ini.

Untuk sinus:

Untuk kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Untuk tangen:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Untuk kotangen:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Sebenarnya, ini adalah bahagian teori untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah. Lebih-lebih lagi, semuanya!) Tiada apa-apa. Walau bagaimanapun, bilangan ralat pada topik ini adalah di luar carta. Lebih-lebih lagi jika contoh menyimpang sedikit daripada templat. kenapa?

Ya, kerana ramai orang menulis surat ini, tanpa memahami maksudnya sama sekali! Dia menulis dengan berhati-hati, jangan sampai sesuatu berlaku...) Ini perlu diselesaikan. Trigonometri untuk orang, atau orang untuk trigonometri, selepas semua!?)

Mari kita fikirkan?

Satu sudut akan sama dengan arccos a, kedua: -arccos a.

Dan ia akan sentiasa berfungsi dengan cara ini. Untuk mana-mana A.

Jika anda tidak percaya saya, tuding tetikus anda pada gambar atau sentuh gambar pada tablet anda.) Saya menukar nombor A kepada sesuatu yang negatif. Bagaimanapun, kami mendapat satu sudut arccos a, kedua: -arccos a.

Oleh itu, jawapan sentiasa boleh ditulis sebagai dua siri akar:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Mari gabungkan dua siri ini menjadi satu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Dan itu sahaja. Kami telah memperoleh formula am untuk menyelesaikan persamaan trigonometri termudah dengan kosinus.

Jika anda faham bahawa ini bukanlah sejenis kebijaksanaan supersaintifik, tetapi hanya versi ringkas daripada dua siri jawapan, Anda juga akan dapat mengendalikan tugasan "C". Dengan ketaksamaan, dengan memilih akar dari selang tertentu... Di sana jawapan dengan tambah/tolak tidak berfungsi. Tetapi jika anda melayan jawapan secara perniagaan dan memecahkannya kepada dua jawapan yang berasingan, semuanya akan diselesaikan.) Sebenarnya, itulah sebabnya kami menelitinya. Apa, bagaimana dan di mana.

Dalam persamaan trigonometri termudah

sinx = a

kita juga mendapat dua siri akar. Sentiasa. Dan dua siri ini juga boleh dirakam dalam satu baris. Hanya baris ini akan menjadi lebih rumit:

x = (-1) n lengkok a + π n, n ∈ Z

Tetapi intipatinya tetap sama. Ahli matematik hanya mereka formula untuk membuat satu daripada dua entri untuk siri punca. Itu sahaja!

Mari semak ahli matematik? Dan anda tidak pernah tahu...)

Dalam pelajaran sebelumnya, penyelesaian (tanpa sebarang formula) bagi persamaan trigonometri dengan sinus telah dibincangkan secara terperinci:

Jawapannya menghasilkan dua siri akar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jika kita menyelesaikan persamaan yang sama menggunakan formula, kita mendapat jawapannya:

x = (-1) n lengkok 0.5 + π n, n ∈ Z

Sebenarnya, ini adalah jawapan yang belum selesai.) Pelajar mesti tahu itu arcsin 0.5 = π /6. Jawapan lengkapnya ialah:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Ini menimbulkan persoalan yang menarik. Balas melalui x 1; x 2 (ini adalah jawapan yang betul!) dan melalui kesepian X (dan ini adalah jawapan yang betul!) - adakah mereka perkara yang sama atau tidak? Kami akan mengetahui sekarang.)

Kami menggantikan dalam jawapan dengan x 1 nilai n =0; 1; 2; dan lain-lain, kita mengira, kita mendapat satu siri akar:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 dan seterusnya.

Dengan penggantian yang sama sebagai tindak balas dengan x 2 , kita dapat:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 dan seterusnya.

Sekarang mari kita gantikan nilai n (0; 1; 2; 3; 4...) ke dalam formula am untuk tunggal X . Iaitu, kami menaikkan tolak satu kepada kuasa sifar, kemudian kepada yang pertama, kedua, dsb. Sudah tentu, kita menggantikan 0 ke dalam penggal kedua; 1; 2 3; 4, dsb. Dan kita mengira. Kami mendapat siri:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 dan seterusnya.

Itu sahaja yang anda boleh lihat.) Formula am memberi kita keputusan yang sama seperti kedua-dua jawapan secara berasingan. Semuanya sekali gus, teratur. Ahli matematik tidak tertipu.)

Formula untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan tangen dan kotangen juga boleh disemak. Tetapi kami tidak akan.) Mereka sudah mudah.

Saya menulis semua penggantian ini dan menyemak secara khusus. Di sini adalah penting untuk memahami satu perkara mudah: terdapat formula untuk menyelesaikan persamaan trigonometri asas, hanya ringkasan ringkas jawapan. Untuk ringkasan ini, kami perlu memasukkan tambah/tolak ke dalam larutan kosinus dan (-1) n ke dalam larutan sinus.

Sisipan ini tidak mengganggu apa-apa cara dalam tugasan di mana anda hanya perlu menulis jawapan kepada persamaan asas. Tetapi jika anda perlu menyelesaikan ketidaksamaan, atau kemudian anda perlu melakukan sesuatu dengan jawapannya: pilih akar pada selang waktu, semak ODZ, dsb., sisipan ini boleh mengganggu seseorang dengan mudah.

Jadi apa yang perlu saya lakukan? Ya, sama ada tulis jawapan dalam dua siri, atau selesaikan persamaan/ketaksamaan menggunakan bulatan trigonometri. Kemudian sisipan ini hilang dan kehidupan menjadi lebih mudah.)

Kita boleh ringkaskan.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah, terdapat formula jawapan siap sedia. Empat keping. Mereka bagus untuk menulis penyelesaian kepada persamaan dengan serta-merta. Sebagai contoh, anda perlu menyelesaikan persamaan:

sinx = 0.3

dengan mudah: x = (-1) n lengkok 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

tiada masalah: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

dengan mudah: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Tinggal satu: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

Jika anda, bersinar dengan pengetahuan, serta-merta tulis jawapannya:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

maka anda sudah bersinar, ini... itu... dari lopak.) Jawapan yang betul: tiada penyelesaian. Tak faham kenapa? Baca apa itu kosinus arka. Di samping itu, jika di sebelah kanan persamaan asal terdapat nilai jadual sinus, kosinus, tangen, kotangen, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 dll. - jawapan melalui gerbang tidak akan selesai. Gerbang mesti ditukar kepada radian.

Dan jika anda menemui ketidaksamaan, seperti

maka jawapannya ialah:

x πn, n ∈ Z

ada karut jarang, ya...) Di sini anda perlu menyelesaikan menggunakan bulatan trigonometri. Apa yang akan kami lakukan dalam topik yang sepadan.

Bagi mereka yang berani membaca baris ini. Saya tidak boleh tidak menghargai usaha hebat anda. Bonus untuk anda.)

Bonus:

Apabila menulis formula dalam situasi pertempuran yang membimbangkan, walaupun kutu buku berpengalaman sering keliru tentang di mana πn, dan di mana 2π n. Berikut ialah helah mudah untuk anda. Dalam semua orang formula bernilai πn. Kecuali satu-satunya formula dengan kosinus arka. Ia berdiri di sana 2πn. dua peen. Kata kunci - dua. Dalam formula yang sama ini ada dua tanda di awal. Tambah dan tolak. Dan di sana, dan di sana - dua.

Jadi jika anda menulis dua tanda sebelum kosinus arka, lebih mudah untuk mengingati apa yang akan berlaku pada akhirnya dua peen. Dan ia juga berlaku sebaliknya. Orang itu akan terlepas tanda itu ± , sampai ke penghujung, menulis dengan betul dua Pien, dan dia akan sedar. Ada sesuatu di hadapan dua tanda! Orang itu akan kembali ke permulaan dan membetulkan kesilapan! Seperti ini.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel anda, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Saya pernah menyaksikan perbualan antara dua pemohon:

– Bilakah anda perlu menambah 2πn, dan bilakah anda perlu menambah πn? Saya tidak ingat!

- Dan saya mempunyai masalah yang sama.

Saya hanya ingin memberitahu mereka: "Anda tidak perlu menghafal, tetapi faham!"

Artikel ini ditujukan terutamanya kepada pelajar sekolah menengah dan, saya harap, akan membantu mereka menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah dengan "pemahaman":

Bulatan nombor

Seiring dengan konsep garis nombor, terdapat juga konsep bulatan nombor. Seperti yang kita tahu dalam sistem koordinat segi empat tepat, bulatan dengan pusat pada titik (0;0) dan jejari 1 dipanggil bulatan unit. Mari kita bayangkan garis nombor sebagai benang nipis dan lilitkannya di sekeliling bulatan ini: kita akan melampirkan asal (titik 0) ke titik "kanan" bulatan unit, kita akan membalut separuh paksi positif lawan jam, dan separuh negatif -paksi dalam arah (Rajah 1). Bulatan unit sedemikian dipanggil bulatan berangka.

Sifat Bulatan Nombor

• Setiap nombor nyata terletak pada satu titik pada bulatan nombor.
• Terdapat bilangan nombor nyata yang tidak terhingga pada setiap titik pada bulatan nombor. Oleh kerana panjang bulatan unit ialah 2π, perbezaan antara mana-mana dua nombor pada satu titik pada bulatan adalah sama dengan salah satu nombor ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Mari kita simpulkan: mengetahui satu daripada nombor titik A, kita boleh mencari semua nombor titik A.

Mari kita lukis diameter AC (Gamb. 2). Oleh kerana x_0 ialah salah satu daripada nombor titik A, maka nombor x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... dan hanya mereka akan menjadi nombor titik C. Mari pilih salah satu daripada nombor ini, katakan, x_0+π, dan gunakannya untuk menulis semua nombor titik C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Ambil perhatian bahawa nombor pada titik A dan C boleh digabungkan menjadi satu formula: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (untuk k = 0; ±2; ±4; ... kita memperoleh nombor bagi titik A, dan untuk k = ±1;

Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu nombor pada salah satu titik A atau C diameter AC, kita boleh mencari semua nombor pada titik ini.

• Dua nombor bertentangan terletak pada titik bulatan yang simetri berkenaan dengan paksi absis.

Mari kita lukis kord menegak AB (Gamb. 2). Oleh kerana titik A dan B adalah simetri mengenai paksi Ox, nombor -x_0 terletak di titik B dan, oleh itu, semua nombor titik B diberikan oleh formula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Kami menulis nombor pada titik A dan B menggunakan satu formula: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Mari kita simpulkan: mengetahui salah satu nombor pada salah satu titik A atau B kord menegak AB, kita boleh mencari semua nombor pada titik ini. Mari kita pertimbangkan kord mendatar AD dan cari nombor titik D (Rajah 2). Oleh kerana BD ialah diameter dan nombor -x_0 tergolong dalam titik B, maka -x_0 + π ialah salah satu daripada nombor titik D dan, oleh itu, semua nombor titik ini diberikan oleh formula x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Nombor pada titik A dan D boleh ditulis menggunakan satu formula: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (untuk k= 0; ±2; ±4; … kita memperoleh nombor titik A, dan untuk k = ±1; ±3; ±5; … – nombor titik D).

Mari kita simpulkan: Mengetahui salah satu nombor pada salah satu titik A atau D kord mendatar AD, kita boleh mencari semua nombor pada titik ini.

Enam belas titik utama bulatan nombor

Dalam amalan, menyelesaikan kebanyakan persamaan trigonometri termudah melibatkan enam belas titik pada bulatan (Rajah 3). Apakah titik-titik ini? Titik merah, biru dan hijau membahagikan bulatan kepada 12 bahagian yang sama. Oleh kerana panjang separuh bulatan ialah π, maka panjang lengkok A1A2 ialah π/2, panjang lengkok A1B1 ialah π/6, dan panjang lengkok A1C1 ialah π/3.

Sekarang kita boleh menunjukkan satu nombor pada satu masa:

π/3 pada C1 dan

Bucu segi empat sama jingga ialah titik tengah lengkok setiap suku, oleh itu, panjang lengkok A1D1 adalah sama dengan π/4 dan, oleh itu, π/4 ialah salah satu daripada nombor titik D1. Menggunakan sifat bulatan nombor, kita boleh menggunakan formula untuk menulis semua nombor pada semua titik bertanda bulatan kita. Koordinat titik ini juga ditandakan dalam rajah (kami akan meninggalkan perihalan pemerolehan mereka).

Setelah menguasai perkara di atas, kami kini mempunyai persediaan yang mencukupi untuk menyelesaikan kes khas (untuk sembilan nilai nombor a) persamaan termudah.

Selesaikan persamaan

1)sinx=1⁄(2).

– Apa yang diperlukan daripada kita?

– Cari semua nombor x yang sinus ialah 1/2.

Mari kita ingat definisi sinus: sinx – ordinat titik pada bulatan nombor di mana nombor x terletak. Kami mempunyai dua titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan 1/2. Ini adalah hujung kord mendatar B1B2. Ini bermakna bahawa keperluan "selesaikan persamaan sinx=1⁄2" adalah bersamaan dengan keperluan "cari semua nombor di titik B1 dan semua nombor di titik B2."

2)sinx=-√3⁄2 .

Kita perlu mencari semua nombor pada titik C4 dan C3.

3) sinx=1. Pada bulatan kita hanya mempunyai satu titik dengan ordinat 1 - titik A2 dan, oleh itu, kita perlu mencari hanya semua nombor titik ini.

Jawapan: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Hanya titik A_4 mempunyai ordinat -1. Semua nombor titik ini akan menjadi kuda persamaan.

Jawapan: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Pada bulatan kita mempunyai dua titik dengan ordinat 0 - titik A1 dan A3. Anda boleh menunjukkan nombor pada setiap titik secara berasingan, tetapi memandangkan titik ini bertentangan secara diametrik, adalah lebih baik untuk menggabungkannya menjadi satu formula: x=πk,k∈Z.

Jawapan: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Mari kita ingat definisi kosinus: cosx ialah absis titik pada bulatan nombor di mana nombor x terletak. Pada bulatan kita mempunyai dua titik dengan abscissa √2⁄2 - hujung kord mendatar D1D4. Kita perlu mencari semua nombor pada titik ini. Mari kita tuliskannya, menggabungkannya menjadi satu formula.

Jawapan: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Kita perlu mencari nombor pada titik C_2 ​​dan C_3.

Jawapan: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Hanya titik A2 dan A4 mempunyai absis 0, yang bermaksud bahawa semua nombor pada setiap titik ini akan menjadi penyelesaian kepada persamaan.
.

Penyelesaian kepada persamaan sistem ialah nombor pada titik B_3 dan B_4 Kepada ketaksamaan cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Jawapan: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Ambil perhatian bahawa untuk sebarang nilai x yang boleh diterima, faktor kedua adalah positif dan, oleh itu, persamaan adalah bersamaan dengan sistem

Penyelesaian kepada persamaan sistem ialah bilangan titik D_2 dan D_3. Nombor titik D_2 tidak memenuhi ketaksamaan sinx≤0.5, tetapi bilangan titik D_3 memuaskan.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Anda boleh memesan penyelesaian terperinci untuk masalah anda!!!

Kesamaan yang mengandungi tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tan x` atau `ctg x`) dipanggil persamaan trigonometri, dan formulanya yang akan kita pertimbangkan lebih lanjut.

Persamaan termudah dipanggil `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, di mana `x` ialah sudut yang perlu ditemui, `a` ialah sebarang nombor. Mari kita tuliskan rumus akar bagi setiap daripadanya.

1. Persamaan `sin x=a`.

Untuk `|a|>1` ia tidak mempunyai penyelesaian.

Apabila `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Persamaan `cos x=a`

Untuk `|a|>1` - seperti dalam kes sinus, ia tidak mempunyai penyelesaian antara nombor nyata.

Apabila `|a| \leq 1` mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Formula akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Kes khas untuk sinus dan kosinus dalam graf.

3. Persamaan `tg x=a`

Mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Persamaan `ctg x=a`

Juga mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga untuk sebarang nilai `a`.

Formula akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formula untuk punca persamaan trigonometri dalam jadual

Untuk sinus:
Untuk kosinus:
Untuk tangen dan kotangen:
Formula untuk menyelesaikan persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri songsang:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Menyelesaikan sebarang persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat:

• dengan bantuan mengubahnya kepada yang paling mudah;
• selesaikan persamaan termudah yang diperoleh menggunakan rumus punca dan jadual yang ditulis di atas.

Mari kita lihat kaedah penyelesaian utama menggunakan contoh.

Kaedah algebra.

Kaedah ini melibatkan menggantikan pembolehubah dan menggantikannya kepada kesamaan.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

buat penggantian: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, kemudian `2y^2-3y+1=0`,

kita dapati puncanya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kes berikut:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Jawapan: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Pemfaktoran.

Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.

Penyelesaian. Mari kita alihkan semua sebutan kesamaan ke kiri: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan bahagian kiri:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Jawapan: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Pengurangan kepada persamaan homogen

Pertama, anda perlu mengurangkan persamaan trigonometri ini kepada salah satu daripada dua bentuk:

`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen darjah pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen darjah kedua).

Kemudian bahagikan kedua-dua bahagian dengan `cos x \ne 0` - untuk kes pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` - untuk yang kedua. Kami memperoleh persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang perlu diselesaikan menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Penyelesaian. Mari kita tulis sebelah kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ini ialah persamaan trigonometri homogen darjah kedua, kita bahagikan sisi kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita dapat:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, menghasilkan `t^2 + t - 2=0`. Punca-punca persamaan ini ialah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \dalam Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \dalam Z`.

Bergerak ke Separuh Sudut

Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Penyelesaian. Mari gunakan formula sudut dua kali, menghasilkan: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Menggunakan kaedah algebra yang diterangkan di atas, kami memperoleh:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \dalam Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Jawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Pengenalan sudut bantu

Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, dengan a,b,c ialah pekali dan x ialah pembolehubah, bahagikan kedua-dua belah dengan `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Pekali di sebelah kiri mempunyai sifat sinus dan kosinus, iaitu jumlah kuasa duanya adalah sama dengan 1 dan modulnya tidak lebih daripada 1. Mari kita nyatakan ia seperti berikut: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, maka:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:

Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.

Penyelesaian. Bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita dapat:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Mari kita nyatakan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Oleh kerana `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, maka kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut tambahan. Kemudian kami menulis kesamaan kami dalam bentuk:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Menggunakan formula untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis kesamaan kami dalam bentuk berikut:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Jawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Persamaan trigonometri rasional pecahan

Ini adalah persamaan dengan pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi fungsi trigonometri.

Contoh. Selesaikan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Penyelesaian. Darab dan bahagi bahagian kanan kesamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya kami mendapat:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Memandangkan penyebut tidak boleh sama dengan sifar, kita mendapat `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Mari kita samakan pengangka pecahan kepada sifar: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \dalam Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \dalam Z`.

Diberi bahawa ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, penyelesaiannya ialah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \dalam Z`.

Jawab. `x=2\pi n`, `n \dalam Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \dalam Z`.

Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan dalam hampir semua bidang geometri, fizik dan kejuruteraan. Belajar bermula pada gred ke-10, sentiasa ada tugas untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu, jadi cuba ingat semua formula persamaan trigonometri - ia pasti berguna kepada anda!

Walau bagaimanapun, anda tidak perlu menghafalnya, perkara utama adalah memahami intipati dan dapat memperolehnya. Ia tidak sesukar yang disangka. Lihat sendiri dengan menonton video.