Garis lurus adalah sasaran hiperbola. Hiperbola dan persamaan kanoniknya

pekerjaan 10 . Lengkung tertib kedua.

10.1. Ellipse. Persamaan kanonik. Separuh aci, kesipian, graf.

10.2. Hiperbola. Persamaan kanonik. Semiaxes, kesipian, asimtot, graf.

10.3. Parabola. Persamaan kanonik. Parabola parabola, graf.

Lengkung tertib kedua dalam satah dipanggil garisan, spesifikasi tersiratnya mempunyai bentuk:

di mana
- diberi nombor nyata,
- koordinat titik lengkung. Garis yang paling penting di antara lengkung tertib kedua ialah elips, hiperbola, parabola.

10.1. Ellipse. Persamaan kanonik. Separuh aci, kesipian, graf.

Definisi elips.Elips ialah lengkung satah yang jumlah jaraknya dari dua titik tetap
kapal terbang ke mana-mana titik

(mereka.). mata
dipanggil fokus elips.

Persamaan kanonik bagi elips:
. (2)

(atau paksi
) melalui fokus
, dan asalnya ialah titik - terletak di tengah-tengah segmen
(Rajah 1). Ellipse (2) adalah simetri berkenaan dengan paksi koordinat dan asalan (pusat elips). Kekal
,
dipanggil separuh paksi elips.

Jika elips diberikan oleh persamaan (2), maka fokus elips didapati seperti berikut.

1) Mula-mula, kita tentukan di mana fokus terletak: fokus terletak pada paksi koordinat di mana separuh paksi utama berada.

2) Kemudian jarak fokus dikira (jarak dari fokus ke asal).

Pada
memfokus terletak pada paksi
;
;
.

kesipian elips dipanggil nilai: (pada
);(pada
).

Ellipse sentiasa ada
. Sipi adalah ciri pemampatan elips.

Jika elips (2) digerakkan supaya pusat elips jatuh pada titik itu

,
, maka persamaan elips yang terhasil mempunyai bentuk

10.2. Hiperbola. Persamaan kanonik. Semiaxes, kesipian, asimtot, graf.

Definisi hiperbola.Hiperbola ialah lengkung satah, di mana nilai mutlak perbezaan jarak dari dua titik tetap
kapal terbang ke mana-mana titik
lengkung ini adalah pemalar bebas daripada titik
(mereka.). mata
dipanggil fokus hiperbola.

Persamaan kanonik bagi hiperbola:
atau
. (3)

Persamaan sedemikian diperoleh jika paksi koordinat
(atau paksi
) melalui fokus
, dan asalnya ialah titik - terletak di tengah-tengah segmen
. Hiperbola (3) adalah simetri berkenaan dengan paksi koordinat dan asalan. Kekal
,
dipanggil separuh paksi hiperbola.

Fokus hiperbola didapati seperti berikut.

Pada hiperbola
memfokus terletak pada paksi
:
(Gamb. 2.a).

Pada hiperbola
memfokus terletak pada paksi
:
(Gamb. 2.b)

Di sini - jarak fokus (jarak dari fokus ke asal). Ia dikira dengan formula:
.

kesipian hiperbola dipanggil nilai:

(untuk
);(untuk
).

Hiperbola selalu ada
.

Asimtot hiperbola(3) ialah dua garis lurus:
. Kedua-dua cabang hiperbola menghampiri asimtot selama-lamanya sebagai .

Pembinaan graf hiperbola hendaklah dijalankan seperti berikut: pertama, di sepanjang separuh paksi
kami membina segi empat tepat tambahan dengan sisi selari dengan paksi koordinat; kemudian kita melukis garis lurus melalui bucu bertentangan segi empat tepat ini, ini adalah asimtot hiperbola; akhirnya, kami menggambarkan cabang hiperbola, mereka menyentuh titik tengah sisi sepadan segi empat tepat tambahan dan mendekati dengan pertumbuhan kepada asimtot (Rajah 2).

Jika hiperbola (3) digerakkan supaya pusatnya jatuh pada titik
, dan separuh paksi akan kekal selari dengan paksi
,
, maka persamaan hiperbola yang terhasil boleh ditulis dalam bentuk

,
.

10.3. Parabola. Persamaan kanonik. Parabola parabola, graf.

Definisi parabola.Parabola ialah lengkung satah di mana untuk sebarang titik
lengkung ini adalah jarak dari
ke titik tetap satah (dipanggil fokus parabola) adalah sama dengan jarak dari
ke talian tetap di atas kapal terbang(dipanggil direktriks parabola) .

Persamaan parabola kanonik:
, (4)

di mana adalah pemalar dipanggil parameter parabola.

titik
parabola (4) dipanggil bucu parabola. paksi
ialah paksi simetri. Tumpuan parabola (4) adalah pada titik
, persamaan diretriks
. Plot parabola (4) dengan nilai
dan
ditunjukkan dalam rajah. 3.a dan 3.b, masing-masing.

Persamaan
juga mentakrifkan parabola dalam satah
, yang, berbanding dengan parabola (4), mempunyai paksi
,
bertukar tempat.

Jika parabola (4) digerakkan supaya bucunya mencecah titik
, dan paksi simetri akan kekal selari dengan paksi
, maka persamaan parabola yang terhasil mempunyai bentuk

Mari kita beralih kepada contoh.

Contoh 1. Keluk tertib kedua diberikan oleh persamaan
. Beri nama pada lengkung ini. Cari fokus dan kesipiannya. Lukiskan lengkung dan fokusnya dalam satah
.

Penyelesaian. Lengkung ini ialah elips berpusat pada titik
dan aci gandar
. Ini boleh disahkan dengan mudah dengan menggantikan
. Transformasi ini bermakna bergerak daripada sistem koordinat Cartesan yang diberikan
kepada sistem koordinat Cartesan yang baharu
, yang kapaknya
selari dengan paksi
,
. Penjelmaan koordinat ini dipanggil anjakan sistem.
betul-betul . Dalam sistem koordinat baharu
persamaan lengkung ditukar kepada persamaan kanonik elips
, grafnya ditunjukkan dalam Rajah. empat.

Mari cari helah.
, jadi helah
elips terletak pada paksi
.. Dalam sistem koordinat
:
. Kerana
, dalam sistem koordinat lama
fokus mempunyai koordinat.

Contoh 2. Berikan nama lengkung tertib kedua dan berikan grafnya.

Penyelesaian. Kami memilih petak penuh mengikut istilah yang mengandungi pembolehubah dan .

Sekarang, persamaan lengkung boleh ditulis semula sebagai:

Oleh itu, lengkung yang diberikan ialah elips berpusat pada titik
dan aci gandar
. Maklumat yang diperoleh membolehkan kita melukis grafnya.

Contoh 3. Beri nama dan lukis graf garis
.

Penyelesaian. . Ini ialah persamaan kanonik bagi elips yang berpusat pada satu titik
dan aci gandar
.

Kerana ia,
, kami membuat kesimpulan: persamaan yang diberikan mentakrifkan pada satah
bahagian bawah elips (Rajah 5).

Contoh 4. Berikan nama lengkung tertib kedua
. Cari helah dia, kesipian. Berikan graf bagi lengkung ini.

- persamaan kanonik hiperbola dengan separuh paksi
.

Panjang fokus.

Tanda tolak berada di hadapan istilah dengan , jadi helah
hiperbola terletak pada paksi
:. Cabang-cabang hiperbola terletak di atas dan di bawah paksi
.

ialah kesipian hiperbola.

Asimtot hiperbola: .

Pembinaan graf hiperbola ini dijalankan mengikut prosedur di atas: kami membina segi empat tepat tambahan, lukis asimtot hiperbola, lukis cawangan hiperbola (lihat Rajah 2.b).

Contoh 5. Cari bentuk lengkung yang diberikan oleh persamaan
dan merancangnya.

- hiperbola berpusat pada satu titik
dan separuh aci.

Kerana , kami membuat kesimpulan: persamaan yang diberikan menentukan bahagian hiperbola yang terletak di sebelah kanan garisan
. Adalah lebih baik untuk melukis hiperbola dalam sistem koordinat tambahan
diperoleh daripada sistem koordinat
syif
, dan kemudian dengan garis tebal pilih bahagian hiperbola yang dikehendaki

Contoh 6. Ketahui jenis lengkung dan lukis grafnya.

Penyelesaian. Pilih petak penuh mengikut istilah dengan pembolehubah :

Mari kita tulis semula persamaan lengkung itu.

Ini ialah persamaan parabola dengan bucu pada titik itu
. Dengan penjelmaan anjakan, persamaan parabola dikurangkan kepada bentuk kanonik
, dari mana ia boleh dilihat bahawa adalah parameter parabola. Fokus parabola dalam sistem
mempunyai koordinat
,, dan dalam sistem
(mengikut transformasi anjakan). Graf parabola ditunjukkan dalam rajah. 7.

Kerja rumah.

1. Lukis elips yang diberikan oleh persamaan:
Cari separuh paksi, jarak fokus, kesipian dan nyatakan pada graf elips lokasi fokusnya.

2. Lukiskan hiperbola yang diberikan oleh persamaan:
Cari separuh paksi, jarak fokus, kesipiannya dan nyatakan pada graf hiperbola lokasi fokusnya. Tulis persamaan untuk asimtot bagi hiperbola yang diberi.

3. Lukis parabola yang diberikan oleh persamaan:
. Cari parameternya, panjang fokus dan nyatakan lokasi fokus pada graf parabola.

4. Persamaan
mentakrifkan sebahagian daripada lengkung tertib ke-2. Cari persamaan kanonik bagi lengkung ini, tuliskan namanya, bina grafnya dan pilih padanya bahagian lengkung yang sepadan dengan persamaan asal.

Hiperbola ialah lokus titik yang perbezaan jarak dari dua titik tetap satah, dipanggil fokus, adalah pemalar; perbezaan yang ditunjukkan diambil dalam nilai mutlak dan biasanya dilambangkan dengan 2a. Fokus hiperbola dilambangkan dengan huruf F 1 dan F 2, jarak antara mereka adalah melalui 2s. Mengikut definisi hiperbola 2a

Biarlah hiperbola diberikan. Jika paksi sistem koordinat segi empat tepat Cartesan dipilih supaya fokus hiperbola tertentu terletak pada paksi absis secara simetri berkenaan dengan asalan, maka dalam sistem koordinat ini persamaan hiperbola mempunyai bentuk

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

di mana b \u003d √ (c 2 - a 2). Persamaan bentuk (I) dipanggil persamaan kanonik hiperbola. Dengan pilihan sistem koordinat yang ditunjukkan, paksi koordinat ialah paksi simetri hiperbola, dan asal koordinat ialah pusat simetrinya (Gamb. 18). Paksi simetri hiperbola dipanggil hanya paksinya, pusat simetri ialah pusat hiperbola. Hiperbola melintasi salah satu paksinya; titik persilangan dipanggil bucu hiperbola. Pada rajah. 18 Bucu hiperbola ialah titik A" dan A.

Segi empat tepat dengan sisi 2a dan 2b, terletak secara simetri pada paksi hiperbola dan menyentuhnya pada bucu, dipanggil segi empat tepat utama hiperbola.

Segmen panjang 2a dan 2b yang menghubungkan titik tengah sisi segi empat tepat utama hiperbola juga dipanggil paksinya. Diagonal bagi segi empat tepat utama (dilanjutkan tanpa had) ialah asimtot hiperbola; persamaan mereka ialah:

y = b/a x, y = - b/a x

Persamaan

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

mentakrifkan hiperbola simetri tentang paksi koordinat dengan fokus pada paksi-y; persamaan (2), seperti persamaan (1), dipanggil persamaan kanonik hiperbola; dalam kes ini, perbezaan malar dalam jarak dari titik arbitrari hiperbola ke fokus adalah sama dengan 2b.

Dua hiperbola yang ditakrifkan oleh persamaan

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

dalam sistem koordinat yang sama dipanggil konjugat.

Hiperbola dengan separuh lengan yang sama (a \u003d b) dipanggil sama sisi,; persamaan kanoniknya ialah

x 2 - y 2 \u003d a 2 atau - x 2 + y 2 \u003d a 2.

di mana a ialah jarak dari pusat hiperbola ke puncaknya, dipanggil kesipian hiperbola. Jelas sekali, untuk sebarang hiperbola ε > 1. Jika M(x; y) ialah titik arbitrari bagi hiperbola, maka segmen F 1 M dan F 2 M (lihat Rajah 18) dipanggil jejari fokus titik M. Jejari fokus titik cabang kanan hiperbola adalah formula yang dikira

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

jejari fokus titik cawangan kiri - mengikut formula

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Jika hiperbola diberikan oleh persamaan (1), maka garis-garis yang ditakrifkan oleh persamaan

x = -a/ε, x = a/ε

dipanggil pengarahnya (lihat Rajah 18). Jika hiperbola diberikan oleh persamaan (2), maka direktriks ditentukan oleh persamaan

x = -b/ε, x = b/ε

Setiap directrix mempunyai sifat berikut: jika r ialah jarak dari titik arbitrari hiperbola ke beberapa fokus, d ialah jarak dari titik yang sama ke directrix satu sisi dengan fokus ini, maka nisbah r/d ialah pemalar nilai yang sama dengan kesipian hiperbola:

515. Susun persamaan hiperbola, yang fokusnya terletak pada paksi absis secara simetri berkenaan dengan asalan, dengan mengetahui, sebagai tambahan, bahawa:

1) paksinya 2a = 10 dan 2b = 8;

2) jarak antara fokus 2с = 10 dan paksi 2b = 8;

3) jarak antara fokus 2с = 6 dan kesipian ε = 3/2;

4) paksi 2a = 16 dan kesipian ε = 5/4;

5) persamaan asimtot y = ±4/3x dan jarak antara fokus 2c = 20;

6) jarak antara directrixes ialah 22 2/13 dan jarak antara fokus ialah 2c = 26; 39

7) jarak antara direktriks ialah 32/5 dan paksi 2b = 6;

8) jarak antara directrixes ialah 8/3 dan kesipian ε = 3/2;

9) persamaan asymptot y = ± 3/4 x dan jarak antara directrixes ialah 12 4/5.

516. Tulis persamaan hiperbola, yang fokusnya terletak pada paksi-y secara simetri berkenaan dengan asalan, dengan mengetahui, sebagai tambahan, bahawa:

1) separuh paksinya a = 6, b = 18 (huruf a menandakan separuh paksi hiperbola yang terletak pada paksi absis);

2) jarak antara fokus 2с = 10 dan exceitrity ε = 5/3; Oh saya. 12

3) persamaan asimtot y = ±12/5x dan jarak antara bucu ialah 48;

4) jarak antara directrixes ialah 7 1/7 dan kesipian ε = 7/5;

5) persamaan asymptot y = ± 4/3x dan jarak antara directrixes ialah 6 2/5.

517. Tentukan separuh paksi a dan b bagi setiap hiperbola berikut:

1) x 2 /9 - y 2/4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 \u003d 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Diberi hiperbola 16x 2 - 9y 2 = 144. Cari: 1) separuh paksi a dan b; 2) helah; 3) kesipian; 4) persamaan asimtot; 5) persamaan direktriks.

519. Diberi hiperbola 16x 2 - 9y 2 = -144. Cari: 1) separuh paksi a dan b; 2) helah; 3) kesipian; 4) persamaan asimtot; 5) persamaan direktriks.

520. Kira luas segi tiga yang dibentuk oleh asimtot hiperbola x 2/4 - y 2/9 = 1 dan garis 9x + 2y - 24 = 0.

521. Tentukan garis mana yang ditentukan oleh persamaan berikut:

1) y \u003d + 2 / 3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4 / 3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Diberi titik M 1 (l0; - √5) pada hiperbola - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Susun persamaan garis di mana jejari fokus titik M 1 terletak.

523. Memastikan titik M 1 (-5; 9/4) terletak pada bola guiler x 2 /16 - y 2 /9 = 1, tentukan jejari fokus titik M 1 .

524. Sipi bagi hiperbola ε = 2, jejari fokus titik M, diambil dari beberapa fokus, ialah 16. Kira jarak dari titik M ke direktriks sebelah dengan fokus ini.

525. Sipi hiperbola ε = 3, jarak dari titik M hiperbola ke directrix ialah 4. Hitung jarak dari titik M ke fokus, sebelah dengan directrix ini.

526. Sipi hiperbola ε = 2, pusatnya terletak pada asalan, salah satu fokus ialah F(12; 0). Hitung jarak dari titik M 1 hiperbola dengan absis sama dengan 13 kepada directrix yang sepadan dengan fokus yang diberikan.

527. Sipi hiperbola ε = 3/2, pusatnya terletak pada asalan, salah satu daripada directrixes diberikan oleh persamaan x = -8. Kira jarak dari titik M 1 hiperbola dengan absis sama dengan 10 ke fokus yang sepadan dengan directrix yang diberikan.

528. Tentukan titik hiperbola - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, jaraknya ke fokus kanan ialah 4.5.

529. Tentukan titik hiperbola x 2 /9 - y 2 /16 = 1, jaraknya ke fokus kiri ialah 7.

530. Serenjang dilukis melalui fokus kiri hiperbola x 2 /144 - y 2 /25 = 1 kepada paksinya yang mengandungi bucu. Tentukan jarak dari fokus ke titik persilangan serenjang ini dengan hiperbola.

531. Menggunakan satu kompas, bina fokus hiperbola x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (dengan andaian bahawa paksi koordinat ditunjukkan dan unit skala diberi).

532. Tulis persamaan hiperbola, fokusnya terletak pada paksi-x secara simetri tentang asalan, jika diberi:

1) mata M 1 (6; -1) dan M 2 (-8; 2√2) hiperbola;

2) titik M 1 (-5; 3) hiperbola dan kesipian ε = √2;

3) titik M 1 (9/2;-l) hiperbola dan persamaan asimtot y = ± 2.3x;

4) titik M 1 (-3; 5.2) hiperbola dan persamaan diretriks x = ± 4/3;

5) persamaan asymptot y = ±-3/4x dan persamaan directrix x = ± 16/5

533. Tentukan kesipian hiperbola sama sisi.

534. Tentukan kesipian hiperbola jika segmen antara bucunya kelihatan daripada fokus hiperbola konjugat pada sudut 60°.

535. Fokus hiperbola bertepatan dengan fokus elips x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Tulis persamaan hiperbola jika kesipiannya ε = 2.

536. Tulis persamaan untuk hiperbola yang fokusnya terletak pada bucu elips x 2 /100 + y 2 /64 = 1, dan directrixes melalui fokus elips ini.

537. Buktikan bahawa jarak dari fokus hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ke asimtotnya adalah sama dengan b.

538. Buktikan bahawa hasil darab jarak dari mana-mana titik hiperbola x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 kepada dua asimtotnya ialah nilai malar bersamaan dengan a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Buktikan bahawa luas segi empat selari yang dibatasi oleh asimtot hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan garis lurus yang dilukis melalui mana-mana titiknya yang selari dengan asimtot ialah nilai malar yang sama. kepada ab/2.

540. Susun persamaan hiperbola jika separuh paksinya a dan b diketahui, pusat C (x 0; y 0) dan fokus terletak pada garis lurus: 1) selari dengan paksi Lembu; 2) selari dengan paksi Oy.

541. Tetapkan bahawa setiap persamaan berikut mentakrifkan hiperbola, dan cari koordinat pusat C, semipaksi, kesipian, persamaan asimtot dan persamaan directrixnya:

1) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 54y - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Tentukan garis yang ditentukan oleh persamaan berikut:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7- 3 / 2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

Lukiskan garisan ini pada lukisan itu.

543. Tulis persamaan hiperbola, dengan mengetahui bahawa:

1) jarak antara bucunya ialah 24 dan fokusnya ialah F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) fokus ialah F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) dan jarak antara direktriks ialah 3.6;

3) sudut antara asimtot ialah 90° dan fokus ialah F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Tulis persamaan hiperbola jika kesipiannya ε = 5/4, fokus F (5; 0) dan persamaan direktriks sepadan 5x - 16 = 0 diketahui.

545. Tulis persamaan hiperbola jika kesipiannya e diketahui - fokus F (0; 13) dan persamaan direktriks sepadan 13y - 144 = 0.

546. Titik A (-3; - 5) terletak pada hiperbola yang fokusnya ialah F (-2; -3), dan direktriks yang sepadan diberikan oleh persamaan x + 1 = 0. Tulis persamaan untuk hiperbola ini .

547. Tuliskan persamaan hiperbola jika kesipiannya ε = √5, fokus F(2;-3) dan persamaan diretriks sepadan Zx - y + 3 = 0 diketahui.

548. Titik M 1 (1; 2) terletak pada hiperbola yang fokusnya ialah F(-2; 2), dan direktriks yang sepadan diberikan oleh persamaan 2x - y - 1 = 0. Tulis persamaan untuk ini hiperbola.

549. Persamaan hiperbola sama sisi x 2 - y 2 = a 2 diberi. Cari persamaannya dalam sistem baharu, mengambil asimtotnya sebagai paksi koordinat.

550. Setelah menetapkan bahawa setiap persamaan berikut mentakrifkan hiperbola, cari bagi setiap satu daripadanya pusat, separuh paksi, persamaan asimtot dan plotkannya pada lukisan: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Cari titik persilangan garis 2x - y - 10 = 0 dan hiperbola x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Cari titik persilangan garis 4x - 3y - 16 = 0 dan hiperbola x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Cari titik persilangan garis 2x - y + 1 = 0 dan hiperbola x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. Dalam kes berikut, tentukan cara garis itu terletak secara relatif kepada hiperbola: sama ada ia bersilang, menyentuh atau melepasi luarnya:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2 / 12 - y 2 / 3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Tentukan untuk nilai m garis lurus y = 5/2x + m

1) bersilang hiperbola x 2/9 - y 2/36 = 1; 2) menyentuhnya;

3) melepasi luar hiperbola ini.

556. Terbitkan keadaan di mana garis y \u003d kx + m menyentuh hiperbola x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1.

557. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 pada titiknya Af, (*,; #i).

558. Buktikan bahawa tangen kepada hiperbola yang dilukis pada hujung diameter yang sama adalah selari.

559. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1, berserenjang dengan garis 4x + Zy - 7 \u003d 0.

560. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 /16 - y 2 /64 = 1, selari dengan garis 10x - 3y + 9 = 0.

561. Lukis tangen kepada hiperbola x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 selari dengan garis 2x + 4y - 5 = 0 dan hitung jarak d antara keduanya.

562. Pada hiperbola x 2 /24- y 2 /18 = 1, cari titik M 1 yang paling hampir dengan garis Zx + 2y + 1 = O, dan hitung jarak d dari titik M x ke garis ini.

563. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 - y 2 = 16, dilukis dari titik A (- 1; -7).

564. Tangen kepada hiperbola x 2 /8 - y 2 /32 = 1 dilukis daripada titik C (1; -10) Tuliskan persamaan kord yang menghubungkan titik sentuhan.

565. Tangen kepada hiperbola x 2 /3 - y 2 /5 = 1 dilukis dari titik P (1; -5). Kira jarak d dari titik P ke kord hiperbola yang menghubungkan titik sentuhan.

566. Hiperbola melalui titik A(√6; 3) dan menyentuh garis 9x + 2y - 15 == 0. Tulis persamaan untuk hiperbola ini, dengan syarat paksinya bertepatan dengan paksi koordinat.

567. Tuliskan persamaan hiperbola tangen kepada dua garis: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, dengan syarat paksinya bertepatan dengan paksi koordinat.

568. Memastikan bahawa titik persilangan elips x 2 /3 - y 2 /5 = 1 dan hiperbola x 2 /12 - y 2 /3 = 1 ialah bucu segi empat tepat, lukiskan persamaan sisinya .

569. Hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan beberapa tangennya diberikan: P - titik persilangan tangen dengan paksi Ox, Q - unjuran titik sentuhan pada yang sama paksi. Buktikan bahawa OP OQ = a 2 .

570. Buktikan bahawa fokus hiperbola terletak pada sisi bertentangan mana-mana tangennya.

571. Buktikan bahawa hasil darab jarak dari fokus ke sebarang tangen kepada hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ialah pemalar sama dengan b 2 .

572. Garis 2x - y - 4 == 0 menyentuh hiperbola yang fokusnya berada pada titik F 1 (-3; 0) dan F 2 (3; 0). Tulis persamaan untuk hiperbola ini.

573. Susun persamaan hiperbola, yang fokusnya terletak pada paksi absis secara simetri tentang asalan, jika persamaan tangen kepada hiperbola 15x + 16y - 36 = 0 dan jarak antara bucunya 2a = 8 ialah diketahui.

574. Buktikan bahawa garis tangen kepada hiperbola pada satu titik M membuat sudut yang sama dengan jejari fokus F 1 M, F 2 M dan melepasi dalam sudut F 1 MF 2 . X^

575. Dari fokus kanan hiperbola x 2 /5 - y 2 /4 = 1 pada sudut α(π

576. Buktikan bahawa elips dan hiperbola yang mempunyai fokus sepunya bersilang pada sudut tepat.

577. Pekali mampatan seragam satah kepada paksi Ox ialah 4/3. Tentukan persamaan garis di mana hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1 diubah semasa pemampatan ini. Petunjuk. Lihat tugasan 509.

578. Pekali mampatan seragam satah kepada paksi Oy ialah 4/5. Tentukan persamaan garis di mana hiperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1 diubah semasa pemampatan ini.

579. Cari persamaan garis di mana hiperbola x 2 - y 2 \u003d 9 diubah dengan dua mampatan seragam berturut-turut bagi satah kepada paksi koordinat, jika pekali mampatan seragam satah kepada paksi Ox dan Oy masing-masing sama dengan 2/3 dan 5/3.

580. Tentukan pekali q bagi mampatan seragam satah ke paksi Ox, di mana hiperbola - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Tentukan pekali q bagi mampatan seragam satah ke paksi Oy, di mana hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Tentukan pekali q 1 dan q 2 daripada dua mampatan seragam berturut-turut bagi satah ke paksi Ox dan Oy, di mana hiperbola x 2 /49 - y 2 /16 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /25 - y 2/64 = 1.

Hiperbola ialah satu set titik dalam satah yang perbezaan jaraknya dari dua titik tertentu, fokus, adalah pemalar dan sama dengan .

Begitu juga dengan elips, kami meletakkan fokus pada titik , (lihat Rajah 1).

nasi. satu

Ia boleh dilihat daripada rajah bahawa mungkin terdapat kes dan tajuk="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}

Adalah diketahui bahawa dalam segitiga perbezaan dua sisi adalah kurang daripada sisi ketiga, oleh itu, sebagai contoh, dengan kita mendapat:

Kami membawa kedua-dua bahagian ke dataran dan selepas transformasi lanjut kami dapati:

mana . Persamaan hiperbolik (1) ialah persamaan kanonik hiperbola.

Hiperbola adalah simetri mengenai paksi koordinat, oleh itu, bagi elips, ia cukup untuk memplot grafnya pada suku pertama, di mana:

Julat nilai untuk suku pertama.

Apabila kita mempunyai salah satu bucu hiperbola . Puncak kedua. Jika , maka dari (1) - tiada punca sebenar. Kami mengatakan itu dan merupakan bucu khayalan hiperbola. Daripada nisbah ternyata bahawa untuk nilai yang cukup besar terdapat tempat untuk kesamaan yang terdekat title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}

Bentuk dan ciri hiperbola

Kami menyiasat persamaan (1) bentuk dan lokasi hiperbola.

Pembolehubah dan masukkan persamaan (1) dalam kuasa pasangan. Oleh itu, jika sesuatu titik tergolong dalam hiperbola, maka titik itu juga tergolong dalam hiperbola. Ini bermakna rajah adalah simetri tentang paksi dan , dan titik , yang dipanggil pusat hiperbola.
Mari cari titik persilangan dengan paksi koordinat. Menggantikan kepada persamaan (1) kita dapati bahawa hiperbola bersilang dengan paksi pada titik . Meletakkan kita mendapat persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Ini bermakna hiperbola tidak bersilang dengan paksi. Titik dipanggil bucu hiperbola. Segmen = dan dipanggil paksi sebenar hiperbola, dan segmen ialah paksi khayalan hiperbola. Nombor-nombor dan dipanggil masing-masing sebagai semipaksi sebenar dan khayalan hiperbola. Segi empat tepat yang dicipta oleh paksi dipanggil segi empat tepat utama hiperbola.
Daripada persamaan (1) ternyata , iaitu . Ini bermakna semua titik hiperbola terletak di sebelah kanan garisan (cawangan kanan hiperbola) dan di sebelah kiri garisan (cawangan kiri hiperbola).
Mari kita ambil satu titik dalam kuadran pertama pada hiperbola, iaitu, dan oleh itu . Since 0" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}

Asimtot hiperbola

Terdapat dua asimtot hiperbola. Mari cari asimtot kepada cabang hiperbola pada suku pertama, dan kemudian gunakan simetri. Pertimbangkan satu mata pada suku pertama, iaitu. Dalam kes ini , , maka asimtot mempunyai bentuk: , di mana

Jadi garisan ialah asimtot bagi fungsi tersebut. Oleh itu, disebabkan oleh simetri, asimtot hiperbola adalah garis lurus.

Berdasarkan ciri yang ditetapkan, kami membina cabang hiperbola, yang terletak pada suku pertama, dan menggunakan simetri:

nasi. 2

Dalam kes apabila , iaitu, hiperbola diterangkan oleh persamaan . Dalam hiperbola ini, asimtot, yang merupakan pembahagi dua sudut koordinat.

Contoh tugas untuk membina hiperbola

Contoh 1

Satu tugas

Cari paksi, bucu, fokus, kesipian dan persamaan asimtot hiperbola. Bina hiperbola dan asimtotnya.

Penyelesaian

Kami mengurangkan persamaan hiperbola kepada bentuk kanonik:

Membandingkan persamaan ini dengan persamaan kanonik (1), kita dapati , , . Bucu , fokus dan . Sipi ; asmptot; Kami membina parabola. (lihat rajah 3)

Tulis persamaan hiperbola:

Penyelesaian

Setelah menulis persamaan asimtot dalam bentuk, kita dapati nisbah separuh paksi hiperbola . Dengan keadaan masalah, ia mengikuti bahawa . Oleh itu, Masalah telah dikurangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan:

Menggantikan ke dalam persamaan kedua sistem, kita dapat:

mana . Sekarang kita dapati.

Oleh itu, hiperbola mempunyai persamaan berikut:

Jawab

Hiperbola dan persamaan kanoniknya dikemas kini: 17 Jun 2017 oleh: Artikel Saintifik.Ru

Definisi . Hiperbola ialah lokus titik, perbezaan dari setiap titik kepada dua titik tertentu, dipanggil fokus, ialah nilai tetap.

Mari kita ambil sistem koordinat supaya fokus terletak pada paksi absis, dan asal koordinat membahagikan segmen F 1 F 2 separuh (Rajah 30). Nyatakan F 1 F 2 = 2c. Kemudian F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 ialah jejari fokus hiperbola.

Mengikut definisi hiperbola, r 1 - r 2 = const.

Mari kita nyatakan dengan 2a

Kemudian r 2 - r 1 = ±2a jadi:

=> persamaan kanonik hiperbola

Oleh kerana persamaan hiperbola x dan y berada dalam kuasa genap, maka jika titik M 0 (x 0; y 0) terletak pada hiperbola, maka titik M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Oleh itu, hiperbola adalah simetri tentang kedua-dua paksi koordinat.

Apabila y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Bucu hiperbola ialah titik A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. Oleh kerana simetri, kajian dijalankan pada suku pertama

1) pada
y mempunyai nilai khayalan, maka titik-titik hiperbola dengan absis
tidak wujud

2) pada x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) tergolong dalam hiperbola

3) untuk x > a; y > 0. Selain itu, dengan pertambahan tanpa had dalam x, cabang hiperbola pergi ke infiniti.

Ia berikutan bahawa hiperbola ialah lengkung yang terdiri daripada dua cabang tak terhingga.

P 6. Asimptot hiperbola

Pertimbangkan bersama-sama dengan persamaan
persamaan garis lurus

Kepada lengkung akan terletak di bawah garis lurus (Gamb. 31). Pertimbangkan titik N (x, Y) dan M (x, y) yang abscissasnya sama, dan Y - y \u003d MN. Pertimbangkan panjang segmen MN

Jom cari

Jadi, jika titik M, bergerak di sepanjang hiperbola pada suku pertama, bergerak menjauh ke infiniti, maka jaraknya dari garis lurus
berkurangan dan cenderung kepada sifar.

Oleh kerana simetri, garis lurus mempunyai sifat yang sama.
.

Definisi. Talian terus ke mana
lengkung menghampiri selama-lamanya dipanggil asimtot.

Dan
jadi, persamaan asimtot hiperbola
.

Asimtot hiperbola terletak di sepanjang pepenjuru segi empat tepat, satu sisinya selari dengan paksi-x dan sama dengan 2a, dan yang lain selari dengan paksi-y dan sama dengan 2b, dan pusat terletak pada asalnya (Gamb. 32).

P 7. Sipi dan langsung bagi hiperbola

r 2 – r 1 = ± 2a tanda + merujuk kepada cabang kanan hiperbola

tanda - merujuk kepada cabang kiri hiperbola

Definisi. Sipi hiperbola ialah nisbah jarak antara fokus hiperbola ini kepada jarak antara bucunya.

. Sejak c > a, ε > 1

Kami menyatakan jejari fokus hiperbola dari segi kesipian:

Definisi . Mari hubungi talian
, berserenjang dengan paksi fokus hiperbola dan terletak pada jarakdari pusatnya oleh directrix hiperbola yang sepadan dengan fokus kanan dan kiri.

T
seperti untuk hiperbola
akibatnya, direktriks hiperbola terletak di antara bucunya (Rajah 33). Mari kita tunjukkan bahawa nisbah jarak mana-mana titik hiperbola kepada fokus dan diretriks yang sepadan ialah pemalar dan sama dengan ε.

P. 8 Parabola dan persamaannya

O
takrifan. Parabola ialah lokus titik yang sama jarak dari titik tertentu, dipanggil fokus, dan dari garis tertentu, dipanggil directrix.

Untuk menyusun persamaan parabola, mari kita ambil paksi-x sebagai garis lurus yang melalui fokus F 1 berserenjang dengan directrix dan pertimbangkan paksi-x yang diarahkan dari directrix ke fokus. Untuk asal koordinat, kita ambil titik tengah O segmen dari titik F ke garis lurus yang diberikan, yang panjangnya kita nyatakan dengan p (Rajah 34). Kuantiti p akan dipanggil parameter parabola. Fokus titik koordinat
.

Biarkan M(x, y) ialah titik arbitrari bagi parabola itu.

Mengikut takrifan

di 2 = 2px ialah persamaan kanonik parabola

Untuk menentukan jenis parabola, kita mengubah persamaannya
ini bermakna. Oleh itu, bucu parabola adalah pada asalan dan paksi simetri parabola ialah x. Persamaan y 2 \u003d -2px dengan p positif dikurangkan kepada persamaan y 2 \u003d 2px dengan menggantikan x dengan -x dan grafnya kelihatan seperti (Rajah 35).

Pada
persamaan x 2 \u003d 2py ialah persamaan parabola dengan bucu pada titik O (0; 0) yang cawangannya diarahkan ke atas.

X
2 \u003d -2ru - persamaan parabola yang berpusat pada asal adalah simetri tentang paksi-y, cawangannya diarahkan ke bawah (Rajah 36).

Parabola mempunyai satu paksi simetri.

Jika x ialah kuasa pertama dan y ialah kuasa kedua, maka paksi simetri ialah x.

Jika x ialah kuasa kedua dan y ialah kuasa pertama, maka paksi simetri ialah paksi-y.

Catatan 1. Persamaan diretriks parabola mempunyai bentuk
.

Catatan 2. Sejak untuk parabola , kemudianε parabola ialah 1.ε = 1 .

Halo, pelajar Universiti Argemoni yang dikasihi! Saya mengalu-alukan anda ke kuliah lain tentang keajaiban fungsi dan kamiran.

Hari ini kita akan bercakap tentang hiperbola. Mari kita mulakan dengan mudah. Bentuk hiperbola yang paling mudah ialah:

Fungsi ini, berbeza dengan garis lurus dalam bentuk piawainya, mempunyai ketunggalan. Seperti yang kita ketahui, penyebut pecahan tidak boleh sama dengan sifar, kerana anda tidak boleh membahagi dengan sifar.
x ≠ 0
Daripada ini kita membuat kesimpulan bahawa domain definisi ialah keseluruhan garis nyata, kecuali titik 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Jika x cenderung kepada 0 dari kanan (ditulis seperti ini: x->0+), i.e. menjadi sangat, sangat kecil, tetapi masih positif, kemudian y menjadi sangat, sangat positif positif (y->+∞).
Jika x cenderung kepada 0 dari kiri (x->0-), i.e. menjadi sangat, sangat kecil dalam nilai mutlak, tetapi kekal negatif, maka y juga akan negatif, tetapi dalam nilai mutlak ia akan menjadi sangat besar (y->-∞).
Jika x cenderung kepada tambah infiniti (x->+∞), i.e. menjadi nombor positif yang sangat besar, maka y akan menjadi nombor positif yang semakin kecil, i.e. akan cenderung kepada 0, kekal positif sepanjang masa (y->0+).
Jika x cenderung kepada tolak infiniti (x->-∞), i.e. menjadi modulo besar, tetapi nombor negatif, maka y juga akan sentiasa menjadi nombor negatif, tetapi modulo kecil (y->0-).

Y, seperti x, tidak boleh mengambil nilai 0. Ia hanya cenderung kepada sifar. Oleh itu, set nilai adalah sama dengan domain definisi: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Berdasarkan pertimbangan ini, kita boleh melukis graf fungsi secara skematik

Dapat dilihat bahawa hiperbola terdiri daripada dua bahagian: satu berada di sudut koordinat pertama, di mana nilai x dan y adalah positif, dan bahagian kedua berada di sudut koordinat ketiga, di mana nilai x dan y adalah negatif.
Jika kita bergerak dari -∞ ke +∞, maka kita melihat bahawa fungsi kita berkurangan daripada 0 kepada -∞, maka terdapat lompatan tajam (dari -∞ ke +∞) dan cawangan kedua fungsi bermula, yang juga berkurangan, tetapi daripada +∞ kepada 0. Maksudnya, hiperbola ini semakin berkurangan.

Jika anda menukar fungsi hanya sedikit: gunakan sihir tolak,

(1")

Kemudian fungsi secara ajaib bergerak dari suku pertama dan ketiga ke suku ke-2 dan ke-4 dan menjadi semakin meningkat.

Ingat bahawa fungsinya ialah semakin meningkat, jika untuk dua nilai x 1 dan x 2 supaya x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
Dan fungsinya ialah amaran jika f(x 1) > f(x 2) untuk nilai x yang sama.

Cabang-cabang hiperbola menghampiri paksi, tetapi tidak pernah melintasinya. Garis sedemikian, yang mana graf fungsi menghampiri, tetapi tidak pernah melintasi, dipanggil asimtot fungsi ini.
Untuk fungsi kami (1), asimtot ialah garis lurus x=0 (paksi OY, asimtot menegak) dan y=0 (paksi OX, asimtot mendatar).

Sekarang mari kita rumitkan sedikit hiperbola yang paling mudah dan lihat apa yang berlaku kepada graf fungsi tersebut.

(2)

Hanya menambah pemalar "a" kepada penyebut. Menambah beberapa nombor pada penyebut sebagai sebutan kepada x bermakna menggerakkan keseluruhan "binaan hiperbolik" (bersama-sama dengan asimtot menegak) dengan kedudukan (-a) ke kanan jika a ialah nombor negatif, dan dengan (-a) kedudukan ke kiri jika a ialah nombor positif.

Pada graf kiri, pemalar negatif ditambah kepada x (a<0, значит, -a>0), yang menyebabkan carta bergerak ke kanan, dan pada carta kanan, pemalar positif (a>0), yang menyebabkan carta dialihkan ke kiri.

Dan apakah jenis sihir yang boleh menjejaskan pemindahan "pembinaan hiperbolik" ke atas atau ke bawah? Menambah sebutan tetap kepada pecahan.

(3)

Sekarang keseluruhan fungsi kita (kedua-dua cawangan dan asimtot mendatar) akan naik kedudukan b jika b ialah nombor positif, dan turun kedudukan b jika b ialah nombor negatif.

Sila ambil perhatian bahawa asimtot bergerak bersama hiperbola, i.e. hiperbola (kedua-dua cabangnya) dan kedua-dua asimtotnya mestilah dianggap sebagai binaan yang tidak dapat dipisahkan yang bergerak sebagai satu ke kiri, kanan, atas atau bawah. Ia adalah perasaan yang sangat menyenangkan apabila anda boleh membuat keseluruhan fungsi bergerak ke mana-mana arah dengan hanya menambah beberapa nombor. Mengapa tidak sihir, yang anda boleh kuasai dengan mudah dan mengarahkannya mengikut budi bicara anda ke arah yang betul?
Dengan cara ini, anda boleh mengawal pergerakan mana-mana fungsi dengan cara ini. Dalam pelajaran seterusnya, kami akan menyatukan kemahiran ini.

Sebelum saya memberi anda kerja rumah, saya ingin menarik perhatian anda kepada fungsi ini

(4)

Cawangan bawah hiperbola bergerak ke atas dari sudut koordinat ke-3 ke sudut kedua, ke sudut di mana nilai y adalah positif, i.e. cawangan ini dipantulkan secara simetri tentang paksi OX. Dan kini kita mendapat fungsi genap.

Apakah maksud "fungsi genap"? Fungsi itu dipanggil malah, jika syarat dipenuhi: f(-x)=f(x)
Fungsi itu dipanggil ganjil, jika syarat dipenuhi: f(-x)=-f(x)
Dalam kes kita

(5)

Setiap fungsi genap adalah simetri berkenaan dengan paksi OY, i.e. kertas kulit dengan lukisan graf boleh dilipat sepanjang paksi OY, dan kedua-dua bahagian graf akan betul-betul sepadan antara satu sama lain.

Seperti yang anda lihat, fungsi ini juga mempunyai dua asimtot - mendatar dan menegak. Tidak seperti fungsi yang dipertimbangkan di atas, fungsi ini meningkat pada satu bahagiannya, dan berkurangan pada bahagian yang lain.

Mari cuba membimbing graf ini sekarang dengan menambah pemalar.

(6)

Ingat bahawa penambahan pemalar sebagai istilah kepada "x" menyebabkan keseluruhan graf (bersama-sama dengan asimtot menegak) bergerak secara mendatar, di sepanjang asimtot mendatar (kiri atau kanan, bergantung pada tanda pemalar ini).

(7)

Dan menambah pemalar b sebagai sebutan kepada pecahan menyebabkan graf bergerak ke atas atau ke bawah. Semuanya sangat mudah!

Sekarang cuba bereksperimen dengan sihir ini sendiri.

Kerja rumah 1.

Setiap orang mengambil dua fungsi untuk eksperimen mereka: (3) dan (7).
a = digit pertama LD anda
b=digit kedua LD anda
Cuba dapatkan keajaiban fungsi ini, bermula dengan hiperbola yang paling mudah, seperti yang saya lakukan dalam pelajaran, dan secara beransur-ansur menambah pemalar anda sendiri. Fungsi (7) sudah boleh dimodelkan berdasarkan bentuk akhir fungsi (3). Tentukan domain definisi, set nilai, asimtot. Bagaimana fungsi berfungsi: menurun, meningkat. Walaupun ganjil. Secara umum, cuba jalankan penyelidikan yang sama seperti dalam pelajaran. Anda mungkin mendapati sesuatu yang lain yang saya terlupa untuk nyatakan.

Ngomong-ngomong, kedua-dua cabang hiperbola termudah (1) adalah simetri berkenaan dengan pembahagi dua belah 2 dan 4 sudut koordinat. Sekarang bayangkan bahawa hiperbola mula berputar di sekitar paksi ini. Kami mendapat angka yang begitu bagus, yang boleh digunakan.

Tugasan 2. Di manakah angka ini boleh digunakan? Cuba lukis rajah putaran bagi fungsi (4) tentang paksi simetrinya dan bincangkan di mana rajah tersebut boleh digunakan.

Ingat bagaimana kita mendapat garis lurus dengan mata ditumbuk pada akhir pelajaran lepas? Dan inilah yang terakhir tugasan 3.
Buat graf untuk fungsi ini:

(8)

Pekali a, b adalah sama seperti dalam tugasan 1.
c=digit ke-3 LD atau a-b anda jika LD anda ialah dua digit.
Sedikit petunjuk: pertama, pecahan yang diperoleh selepas menggantikan nombor mesti dipermudahkan, dan kemudian anda akan mendapat hiperbola biasa, yang perlu anda bina, tetapi pada akhirnya anda perlu mengambil kira domain ungkapan asal.