Sistem koordinat segi empat tepat pada satah dan di angkasa. Koordinat 3D

Sistem koordinat 2D

titik P mempunyai koordinat (5,2).

Sistem koordinat Cartesian moden dalam dua dimensi (juga dikenali sebagai sistem koordinat segi empat tepat) diberikan oleh dua paksi yang bersudut tegak antara satu sama lain. Satah di mana paksi terletak kadangkala dipanggil xy kapal terbang. Paksi mendatar dilambangkan sebagai x(paksi absis), menegak sebagai y(paksi-y). Dalam ruang tiga dimensi, paksi ketiga ditambah kepada dua, berserenjang dengan xy-pesawat- paksi z. Semua titik dalam sistem koordinat Cartesian membentuk apa yang dipanggil Ruang kartesian.

Titik persilangan di mana paksi bertemu dipanggil asal usul dan dilambangkan sebagai Oh Sehubungan itu, paksi x boleh dilabelkan sebagai lembu, dan paksi y adalah seperti Oh. Garis lurus yang dilukis selari dengan setiap paksi pada jarak satu segmen (unit panjang) bermula dari bentuk asal grid koordinat.

Satu titik dalam sistem koordinat dua dimensi diberikan oleh dua nombor yang menentukan jarak dari paksi Oy(abscissa atau koordinat-x) dan dari paksi Oh(koordinat-y atau koordinat-y) masing-masing. Oleh itu, koordinat membentuk pasangan tertib (tuple) nombor (x, y). Dalam ruang tiga dimensi, satu lagi koordinat z ditambah (jarak titik dari satah xy), dan tiga koordinat tertib terbentuk. (x, y, z).

Pilihan huruf x, y, z berasal dari peraturan umum untuk menamakan kuantiti yang tidak diketahui oleh separuh kedua abjad Latin. Huruf separuh pertamanya digunakan untuk menamakan kuantiti yang diketahui.

Anak panah pada paksi mencerminkan bahawa ia memanjang ke infiniti ke arah itu.

Persilangan dua paksi mewujudkan empat sukuan pada satah koordinat, yang dilambangkan dengan angka Rom I, II, III, dan IV. Biasanya susunan penomboran kuadran adalah lawan jam, bermula dari kanan atas (iaitu, di mana absis dan ordinat ialah nombor positif). Nilai yang diperolehi absis dan ordinat dalam setiap kuadran boleh diringkaskan dalam jadual berikut:

Kuadran	x	y
saya	> 0	> 0
II	<0	> 0
III	<0	<0
IV	> 0	<0

Sistem koordinat tiga dimensi dan n-dimensi

Dalam rajah ini, titik P mempunyai koordinat (5,0,2) dan titik Q mempunyai koordinat (-5, -5,10)

Koordinat dalam ruang 3D membentuk tiga kali ganda (x, y, z).

Koordinat x, y, z untuk sistem Cartesian 3D boleh difahami sebagai jarak dari titik ke satah yang sepadan: yz, xz dan xy.

Sistem koordinat Cartesian tiga dimensi sangat popular, kerana ia sepadan dengan tanggapan biasa dimensi spatial - ketinggian, lebar dan panjang (iaitu, tiga dimensi). Tetapi bergantung kepada bidang aplikasi dan ciri-ciri radas matematik, makna ketiga-tiga paksi ini mungkin berbeza sama sekali.

Sistem koordinat dengan dimensi yang lebih tinggi juga digunakan (contohnya, sistem 4 dimensi untuk menggambarkan ruang-masa dalam relativiti khas).

Sistem koordinat Cartesian dalam abstrak n-dimensi ruang adalah generalisasi peruntukan di atas dan mempunyai n paksi (setiap satu ukuran) yang saling berserenjang. Sehubungan itu, kedudukan titik dalam ruang sedemikian akan ditentukan oleh satu tuple n koordinat, atau ke-

Persamaan garis lurus dalam (planimetri) dalam kanonik

bentuk, parametrik dan bentuk am.

Persamaan ini dipanggil persamaan kanonik garis di angkasa.

boleh sama dengan sifar, yang bermaksud bahawa pengangka bagi pecahan yang sepadan juga sama dengan sifar.

Jika dalam (1) kami memperkenalkan parameter t

x − x 0 l y − y 0 m z − z 0 n

maka persamaan garis lurus boleh ditulis dalam bentuk

Dengan pengenalan sistem koordinat pada satah atau dalam ruang tiga dimensi, peluang unik timbul untuk menerangkan bentuk geometri dan sifatnya menggunakan persamaan dan ketaksamaan. Ini mempunyai nama lain - kaedah algebra.

Artikel ini akan membantu anda memahami tugas sistem koordinat Cartesian segi empat tepat dan penentuan koordinat titik. Imej yang lebih visual dan terperinci tersedia dalam ilustrasi grafik.

Untuk memperkenalkan sistem koordinat pada satah, perlu melukis dua garis serenjang pada satah. pilih arah yang positif, ditandakan dengan anak panah. Mesti pilih skala. Titik persilangan garis akan dipanggil huruf O. Dia dianggap titik rujukan. Ini dipanggil sistem koordinat segi empat tepat di permukaan.

Garisan dengan asalan O yang mempunyai arah dan skala dipanggil garis koordinat atau paksi koordinat.

Sistem koordinat segi empat tepat ditandakan O x y . Paksi koordinat dipanggil O x dan O y, dipanggil masing-masing abscissa dan paksi-y.

Imej sistem koordinat segi empat tepat pada satah.

Paksi absis dan ordinat mempunyai unit perubahan dan skala yang sama, yang ditunjukkan sebagai sempang pada asal paksi koordinat. Arah standard ialah O x dari kiri ke kanan, dan O y dari bawah ke atas. Kadangkala putaran alternatif pada sudut yang diperlukan digunakan.

Sistem koordinat segi empat tepat dipanggil Cartesian sebagai penghormatan kepada penemunya René Descartes. Anda selalunya boleh mencari nama sebagai sistem koordinat Cartesian segi empat tepat.

Ruang Euclidean tiga dimensi mempunyai sistem yang serupa, cuma ia bukan terdiri daripada dua, tetapi tiga paksi O x, O y, O z. Ini adalah tiga garis yang saling berserenjang, di mana O z mempunyai nama paksi applique.

Dalam arah paksi koordinat, ia dibahagikan kepada sistem koordinat segi empat tepat kanan dan kiri ruang tiga dimensi.

Paksi koordinat bersilang pada titik O, dipanggil asalan. Setiap paksi mempunyai arah positif, yang ditunjukkan oleh anak panah pada paksi. Jika, apabila O x diputar lawan jam sebanyak 90 °, arah positifnya bertepatan dengan O y positif, maka ini terpakai untuk arah positif O z. Sistem sedemikian dipertimbangkan betul. Dengan kata lain, jika kita membandingkan arah X dengan ibu jari, maka jari telunjuk bertanggungjawab untuk Y, dan yang tengah untuk Z.

Sistem koordinat kiri dibentuk dengan cara yang sama. Kedua-dua sistem tidak boleh digabungkan, kerana paksi yang sepadan tidak akan sepadan.

Sebagai permulaan, kita ketepikan titik M pada paksi koordinat O x. Sebarang nombor nyata x M adalah sama dengan satu-satunya titik M yang terletak pada garisan yang diberi. Jika titik terletak pada garis koordinat pada jarak 2 dari asalan dalam arah positif, maka ia sama dengan 2, jika - 3, maka jarak yang sepadan ialah 3. Sifar ialah asal bagi garis koordinat.

Dalam erti kata lain, setiap titik M terletak pada O x adalah sama dengan nombor nyata x M . Nombor nyata ini adalah sifar jika titik M terletak pada asalan, iaitu pada persilangan O x dan O y. Bilangan panjang segmen sentiasa positif jika titik dialihkan ke arah positif dan sebaliknya.

Nombor yang ada x M dipanggil menyelaras titik M pada garis koordinat yang diberi.

Mari kita ambil satu titik sebagai unjuran titik M x ke O x, dan sebagai unjuran titik M y ke O y. Ini bermakna garis lurus berserenjang dengan paksi O x dan O y boleh dilukis melalui titik M, di mana kita memperoleh titik persilangan yang sepadan M x dan M y .

Kemudian titik M x pada paksi O x mempunyai nombor yang sepadan x M , dan M y pada O y - y M . Pada paksi koordinat ia kelihatan seperti ini:

Setiap titik M pada satah tertentu dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat mempunyai satu pasangan nombor yang sepadan (x M , y M) , dipanggil koordinat. Abscissa M ialah x M , koordinat M ialah y M .

Pernyataan sebaliknya juga dianggap benar: setiap pasangan tertib (x M , y M) mempunyai titik sepadan yang diberikan dalam satah.

Definisi titik M dalam ruang tiga dimensi. Biarkan terdapat M x , M y , M z , yang merupakan unjuran titik M pada paksi yang sepadan O x, O y, O z . Kemudian nilai titik ini pada paksi О x, О у, О z akan mengambil nilai x M , y M , z M . Mari kita mewakilinya pada garis koordinat.

Untuk mendapatkan unjuran titik M, anda perlu menambah garis serenjang O x, O y, O z untuk meneruskan dan menggambarkan dalam bentuk satah yang melalui M. Oleh itu, satah bersilang pada M x , M y , M z

Setiap titik ruang tiga dimensi mempunyai data sendiri (x M , y M , z M) , yang mempunyai nama koordinat titik M , x M , y M , z M - ini adalah nombor yang dipanggil abscissa, ordinat dan applique diberi titik M . Untuk penghakiman ini, pernyataan sebaliknya juga benar: setiap tiga tertib nombor nyata (x M , y M , z M) dalam sistem koordinat segi empat tepat mempunyai satu titik M yang sepadan bagi ruang tiga dimensi.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Jika kita memperkenalkan sistem koordinat pada satah atau dalam ruang tiga dimensi, maka kita akan dapat menerangkan bentuk geometri dan sifatnya menggunakan persamaan dan ketaksamaan, iaitu kita akan dapat menggunakan kaedah algebra. Oleh itu, konsep sistem koordinat adalah sangat penting.

Dalam artikel ini, kami akan menunjukkan bagaimana sistem koordinat Cartesian segi empat tepat ditetapkan pada satah dan dalam ruang tiga dimensi dan mengetahui bagaimana koordinat titik ditentukan. Untuk kejelasan, kami membentangkan ilustrasi grafik.

Navigasi halaman.

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah.

Kami memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat pada satah.

Untuk melakukan ini, kami melukis dua garis yang saling berserenjang pada satah, pilih pada setiap satu arah yang positif, menunjukkannya dengan anak panah, dan pilih pada setiap satu daripadanya skala(unit panjang). Kami menandakan titik persilangan garis ini dengan huruf O dan kami akan mempertimbangkannya titik rujukan. Jadi kami dapat sistem koordinat segi empat tepat di permukaan.

Setiap garis dengan asal O yang dipilih, arah dan skala dipanggil garis koordinat atau paksi koordinat.

Sistem koordinat segi empat tepat pada satah biasanya dilambangkan dengan Oxy, di mana Ox dan Oy ialah paksi koordinatnya. Paksi Lembu dipanggil paksi-x, dan paksi Oy ialah paksi-y.

Sekarang mari kita bersetuju dengan imej sistem koordinat segi empat tepat pada satah.

Biasanya, unit panjang pada paksi Ox dan Oy dipilih untuk sama dan diplotkan daripada asal koordinat pada setiap paksi koordinat dalam arah positif (ditandakan dengan sempang pada paksi koordinat dan unit ditulis di sebelah ia), paksi absis diarahkan ke kanan, dan paksi-y ke atas. Semua pilihan lain untuk arah paksi koordinat dikurangkan kepada paksi bersuara (paksi lembu - ke kanan, paksi Oy - atas) dengan memutar sistem koordinat pada beberapa sudut berbanding dengan asal dan melihatnya dari sisi lain kapal terbang (jika perlu).

Sistem koordinat segi empat tepat sering dipanggil Cartesian, kerana ia pertama kali diperkenalkan pada pesawat oleh Rene Descartes. Lebih kerap lagi, sistem koordinat segi empat tepat dipanggil sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, meletakkan semuanya bersama-sama.

Sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang tiga dimensi.

Begitu juga, sistem koordinat segi empat tepat Oxyz ditetapkan dalam ruang Euclidean tiga dimensi, tetapi bukan dua, tetapi tiga garis saling berserenjang diambil. Dalam erti kata lain, paksi koordinat Oz ditambah pada paksi koordinat Ox dan Oy, yang dipanggil pakai paksi.

Bergantung pada arah paksi koordinat, sistem koordinat segi empat tepat kanan dan kiri dibezakan dalam ruang tiga dimensi.

Jika anda melihat dari arah positif paksi Oz dan pusingan terpendek dari arah positif paksi Ox ke arah positif paksi Oy berlaku mengikut lawan jam, maka sistem koordinat dipanggil betul.

Jika dilihat dari arah positif paksi Oz dan putaran terpendek dari arah positif paksi Ox ke arah positif paksi Oy berlaku mengikut arah jam, maka sistem koordinat dipanggil ditinggalkan.

Koordinat titik dalam sistem koordinat Cartesan pada satah.

Mula-mula, pertimbangkan garis koordinat Ox dan ambil beberapa titik M di atasnya.

Setiap nombor nyata sepadan dengan titik unik M pada garis koordinat ini. Sebagai contoh, titik yang terletak pada garis koordinat pada jarak dari asalan dalam arah positif sepadan dengan nombor , dan nombor -3 sepadan dengan titik yang terletak pada jarak 3 dari asalan dalam arah negatif. Nombor 0 sepadan dengan asal.

Sebaliknya, setiap titik M pada garis koordinat Ox sepadan dengan nombor nyata . Nombor nyata ini adalah sifar jika titik M bertepatan dengan asalan (titik O). Nombor nyata ini adalah positif dan sama dengan panjang segmen OM dalam skala tertentu, jika titik M dialihkan dari asal ke arah positif. Nombor nyata ini adalah negatif dan sama dengan panjang segmen OM dengan tanda tolak jika titik M dialihkan dari asal ke arah negatif.

Nombor dipanggil menyelaras titik M pada garis koordinat.

Sekarang pertimbangkan sebuah satah dengan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat yang diperkenalkan. Kami menandakan titik M sewenang-wenangnya pada satah ini.

Biarkan unjuran titik M pada garis Ox, dan biarkan unjuran titik M pada garis koordinat Oy (jika perlu, lihat artikel). Iaitu, jika kita melukis garisan melalui titik M yang berserenjang dengan paksi koordinat Ox dan Oy, maka titik persilangan garis ini dengan garis Ox dan Oy adalah, masing-masing, titik dan .

Biarkan titik pada paksi koordinat Ox sepadan dengan nombor , dan titik pada paksi Oy kepada nombor .

Setiap titik M pada satah dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat tertentu sepadan dengan pasangan tertib nombor nyata tunggal, dipanggil koordinat titik M di permukaan. Koordinat dipanggil titik absis M, a - titik koordinat M.

Pernyataan sebaliknya juga benar: setiap pasangan tertib nombor nyata sepadan dengan titik M satah dalam sistem koordinat tertentu.

Koordinat titik dalam sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita tunjukkan bagaimana koordinat titik M ditentukan dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan dalam ruang tiga dimensi.

Biarkan dan menjadi unjuran titik M pada paksi koordinat masing-masing Ox , Oy dan Oz. Biarkan titik ini pada paksi koordinat Ox , Oy dan Oz sepadan dengan nombor nyata dan .

Dalam bab sebelumnya, teknik untuk membina lukisan dalam satah XY telah dipertimbangkan. Kedudukan mana-mana titik dalam sistem koordinat ini dicirikan oleh dua nilai - absis dan ordinat. Untuk melaksanakan pembinaan dalam ruang tiga dimensi, nilai ketiga ditambahkan pada koordinat ini, yang menentukan volum produk tertentu. Kita bercakap tentang koordinat Z, yang memberikan isipadu kepada objek rata. Keupayaan untuk menetapkan koordinat objek tiga dimensi dengan betul menyumbang kepada pemodelan butiran spatial yang betul. Untuk tujuan ini, AutoCAD mempunyai tiga jenis sistem rujukan: koordinat Cartesian tiga dimensi, silinder dan sfera.

CARTSTIAN COORDINATES

Untuk menunjukkan kedudukan titik dalam ruang tiga dimensi menggunakan koordinat Cartesian, adalah perlu untuk menambah nilai ketiga, koordinat Z, kepada nilai koordinatnya pada satah XY. Contohnya, dalam rajah. 10.4 menunjukkan titik yang koordinatnya dalam satah XY ialah 13.19, dan sepanjang paksi Z - 11 unit.

Apabila memasukkan koordinat dalam sistem ini, pertama sekali, koordinat X ditentukan, kemudian Y dipisahkan dengan koma, dan kemudian Z. Contohnya: 13,19,11. Jika nilai berangka koordinat adalah pecahan, maka adalah perlu untuk memisahkan bahagian integer dan pecahan dengan titik. Juga, ruang antara nombor dan koma tidak dibenarkan.

Catatan. Jika nilai Z ditinggalkan semasa memasukkan koordinat 3D, AutoCAD akan menetapkannya secara automatik kepada nilai lalai yang direkodkan dalam pembolehubah sistem ELEVATION yang dipanggil ketinggian.

Apabila mencipta objek tiga dimensi, konsep ketinggian (paras satah XY) dan ketinggian digunakan. Ketinggian ditentukan oleh koordinat Z bagi satah XY di mana objek itu dibina. Adalah jelas bahawa jika ketinggian adalah sifar (nilai lalai), maka tahap objek (satahnya) bertepatan dengan satah XY. Dengan dongakan positif, objek berada di atas satah XY, dan dengan dongakan negatif, ia berada di bawah. Bagi ketinggian objek tiga dimensi, ia menentukan jarak objek itu disesarkan berbanding ketinggian.

Biasanya, mengedit parameter ketinggian dan ketinggian digunakan apabila perlu untuk membina beberapa titik yang mana koordinat Z mempunyai nilai yang sama. Penyederhanaan pembinaan adalah disebabkan oleh fakta bahawa dalam kes ini ia akan mencukupi untuk memasukkan untuk setiap titik tersebut hanya dua nilai yang menentukan kedudukannya dalam satah XY.

Seperti yang telah dinyatakan, nilai ketinggian semasa disimpan di bawah nama pembolehubah sistem ELEVATION, dan ketinggian disimpan di bawah pembolehubah THICKNEES. Untuk menukar nilai kedua-dua parameter yang diberikan kepada objek yang baru dibuat, anda perlu melaksanakan arahan Elev dan menjawab soalan berikut:

Perintah: Elev
Tentukan ketinggian lalai baharu<0.0000>: <Ввод нового значения возвышения>
Tentukan ketebalan lalai baharu<0.0000>: <Ввод нового значения высоты>

Perlu diingatkan juga bahawa nilai ketinggian objek boleh diubah dari palet Properties (Properties).

KOORDINAT SELINDER

Kedudukan titik dalam koordinat silinder juga ditentukan oleh tiga kuantiti, tetapi satu daripadanya adalah sudut.

Seperti yang anda ketahui, silinder bulat dibentuk dengan memutarkan generatrik 2-3 (Rajah 10.5a) di sekeliling bulatan, menggambarkan sudut 360 °. Prinsip inilah yang dimasukkan ke dalam konsep koordinat silinder. Apabila menentukan kedudukan titik, anda mesti terlebih dahulu menentukan jejari silinder (0-1), kemudian sudut putaran generatrix (1-2) dan, akhirnya, ketinggian silinder (2-3) . Sebagai contoh, titik yang ditunjukkan dalam Rajah. 10.36, dibina relatif kepada UCS semasa selepas memasukkan 23 pada baris arahan<55,12. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей, запятая перед этим значком не ставится, а после величины угла – должна вводиться обязательно. Таким образом, в цилиндрической системе координат положение точки определяется в следующем порядке: радиус – угол – образующая.

Anda harus memberi perhatian kepada peraturan tanda. Bagi koordinat linear, semuanya mudah di sini - arah paksi menentukan nilai positif rujukan. Dalam kes ini, arah positif paksi-Z boleh dikawal oleh peraturan sebelah kanan. Peraturan ini adalah seperti berikut. Jika ibu jari tangan kanan dijajarkan dengan paksi X, dan jari telunjuk dengan paksi Y, maka jari yang tinggal dalam kedudukan bengkok akan menunjukkan arah positif paksi Z (Rajah 10.56).

Untuk menentukan arah putaran positif tentang mana-mana paksi, anda mesti mengikut peraturan berikut. Jika anda memasang pemerhati dari sisi arah positif paksi, maka arah positif membaca sudut akan bertepatan dengan pergerakan lawan jam (Rajah 10.4). Oleh itu, untuk memasukkan arah sudut mengikut arah jam, nilai sudut mesti dimasukkan dengan tanda tolak.

KOORDINAT SFERIKAL

Kedudukan titik dalam koordinat sfera juga ditentukan oleh tiga kuantiti, satu daripadanya adalah linear dan dua lagi adalah sudut.

Seperti yang anda ketahui, permukaan sfera ialah lokus titik dalam ruang yang berjarak sama dari satu titik - pusat bola. Oleh itu, untuk menentukan kedudukan titik yang terletak di permukaan sfera (Rajah 10.7a), cukup untuk menunjukkan jejari bulatan, yang putarannya membentuk bola (0-1), kemudian sudut dibentuk oleh putaran bulatan mengelilingi paksi Z (1-2), dan akhirnya, sudut terbentuk dengan memutarkan bulatan mengelilingi paksi X (2-3). Sebagai contoh, titik yang ditunjukkan dalam Rajah. 10.76, dibina relatif kepada UCS semasa selepas memasukkan 25 pada baris arahan<55<27. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей. Таким образом, в сферической системе координат положение точки определяется в следующем порядке:

PENAPIS TITIK

Penapis koordinat titik ialah cara lain untuk memasukkan koordinat dalam ruang 3D, dengan ciri tersendiri yang bergantung pada koordinat objek yang dimasukkan sebelum ini. Dalam erti kata lain, untuk memperuntukkan koordinat dengan cara ini, anda perlu menyentap ke nod objek sedia ada untuk mengekstrak koordinat yang anda pesan daripadanya secara automatik.

Catatan. Menentukan koordinat dalam ruang 3D dengan menapis titik hanya boleh berkesan apabila menggunakan mod snap objek.

Sistem tertib dua atau tiga paksi bersilang berserenjang antara satu sama lain dengan asal yang sama (asal) dan unit panjang yang sama dipanggil sistem koordinat Cartesan segi empat tepat .

Sistem koordinat Cartesan Am (sistem koordinat affine) mungkin juga termasuk tidak semestinya paksi berserenjang. Sebagai penghormatan kepada ahli matematik Perancis Rene Descartes (1596-1662), sistem koordinat sedemikian dinamakan di mana unit panjang yang sama dikira pada semua paksi dan paksinya lurus.

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah mempunyai dua kapak sistem koordinat Cartesan segi empat tepat di angkasa - tiga kapak. Setiap titik pada satah atau dalam ruang ditentukan oleh satu set koordinat - nombor mengikut panjang unit sistem koordinat.

Perhatikan bahawa, seperti berikut dari definisi, terdapat sistem koordinat Cartesian pada garis lurus, iaitu, dalam satu dimensi. Pengenalan koordinat Cartesian pada garis lurus adalah salah satu cara di mana mana-mana titik pada garis lurus diberikan nombor nyata yang jelas, iaitu, koordinat.

Kaedah koordinat, yang timbul dalam karya René Descartes, menandakan penstrukturan semula revolusioner semua matematik. Ia menjadi mungkin untuk mentafsir persamaan algebra (atau ketaksamaan) dalam bentuk imej geometri (graf) dan, sebaliknya, untuk mencari penyelesaian kepada masalah geometri menggunakan formula analitik, sistem persamaan. Ya, ketidaksamaan z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dan terletak di atas pesawat ini sebanyak 3 unit.

Dengan bantuan sistem koordinat Cartesian, kepunyaan titik ke lengkung yang diberikan sepadan dengan fakta bahawa nombor x dan y memenuhi beberapa persamaan. Jadi, koordinat titik bulatan yang berpusat pada titik tertentu ( a; b) memenuhi persamaan (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah

Dua paksi berserenjang pada satah dengan asalan yang sama dan bentuk unit skala yang sama Sistem koordinat Cartesian pada satah . Salah satu paksi ini dipanggil paksi lembu, atau paksi-x , yang lain - paksi Oy, atau paksi-y . Paksi ini juga dipanggil paksi koordinat. Nyatakan dengan Mx dan My masing-masing unjuran titik arbitrari M pada gandar lembu dan Oy. Bagaimana untuk mendapatkan unjuran? Melewati titik itu M lembu. Garisan ini bersilang dengan paksi lembu pada titik Mx. Melewati titik itu M garis lurus berserenjang dengan paksi Oy. Garisan ini bersilang dengan paksi Oy pada titik My. Ini ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x dan y mata M kami akan memanggil masing-masing magnitud segmen yang diarahkan OMx dan OMy. Nilai segmen arah ini dikira masing-masing sebagai x = x0 - 0 dan y = y0 - 0 . Koordinat Cartesan x dan y mata M abscissa dan menyelaraskan . Hakikat bahawa titik M mempunyai koordinat x dan y, dilambangkan seperti berikut: M(x, y) .

Paksi koordinat membahagikan satah kepada empat kuadran , yang penomborannya ditunjukkan dalam rajah di bawah. Ia juga menunjukkan susunan tanda untuk koordinat titik, bergantung pada lokasinya dalam satu atau kuadran lain.

Sebagai tambahan kepada koordinat segi empat tepat Cartesian dalam satah, sistem koordinat kutub juga sering dipertimbangkan. Mengenai kaedah peralihan dari satu sistem koordinat ke yang lain - dalam pelajaran sistem koordinat kutub .

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat di angkasa

Koordinat Cartesan dalam ruang angkasa diperkenalkan dalam analogi lengkap dengan koordinat Cartesan pada satah.

Tiga paksi yang saling berserenjang dalam ruang (paksi koordinat) dengan asalan yang sama O dan bentuk unit skala yang sama Sistem koordinat segi empat tepat Cartesian di angkasa .

Salah satu paksi ini dipanggil paksi lembu, atau paksi-x , yang lain - paksi Oy, atau paksi-y , ketiga - paksi Oz, atau pakai paksi . biarlah Mx, My Mz- unjuran titik sewenang-wenangnya M ruang pada paksi lembu , Oy dan Oz masing-masing.

Melewati titik itu M lembulembu pada titik Mx. Melewati titik itu M satah berserenjang dengan paksi Oy. Satah ini bersilang dengan paksi Oy pada titik My. Melewati titik itu M satah berserenjang dengan paksi Oz. Satah ini bersilang dengan paksi Oz pada titik Mz.

Koordinat segi empat tepat Cartesian x , y dan z mata M kami akan memanggil masing-masing magnitud segmen yang diarahkan OMx, OMy dan OMz. Nilai segmen arah ini dikira masing-masing sebagai x = x0 - 0 , y = y0 - 0 dan z = z0 - 0 .

Koordinat Cartesan x , y dan z mata M dinamakan sesuai abscissa , menyelaraskan dan applique .

Diambil secara berpasangan, paksi koordinat terletak di dalam satah koordinat xOy , yOz dan zOx .

Masalah tentang titik dalam sistem koordinat Cartes

Contoh 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Cari koordinat unjuran titik-titik ini pada paksi-x.

Penyelesaian. Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi-x terletak pada paksi-x itu sendiri, iaitu paksi. lembu, dan oleh itu mempunyai absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat (koordinat pada paksi Oy, yang paksi-x bersilang pada titik 0), sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi titik-titik ini pada paksi-x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Contoh 2 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Cari koordinat unjuran titik-titik ini pada paksi-y.

Penyelesaian. Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi-y terletak pada paksi-y itu sendiri, iaitu, paksi Oy, dan oleh itu mempunyai ordinat sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan abscissa (koordinat pada paksi lembu, yang paksi-y bersilang pada titik 0), sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi titik-titik ini pada paksi-y:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Contoh 3 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

lembu .

lembu lembu lembu, akan mempunyai absis yang sama dengan titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan nilai mutlak dengan ordinat titik yang diberikan, dan bertentangan dalam tanda dengannya. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini mengenai paksi lembu :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Selesaikan sendiri masalah pada sistem koordinat Cartesian, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 4 Tentukan di mana kuadran (suku, angka dengan kuadran - pada akhir perenggan "Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah") titik itu boleh ditemui M(x; y) , jika

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Contoh 5 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Cari koordinat titik simetri dengan titik ini mengenai paksi Oy .

Kami terus menyelesaikan masalah bersama-sama

Contoh 6 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Cari koordinat titik simetri dengan titik ini mengenai paksi Oy .

Penyelesaian. Putar 180 darjah mengelilingi paksi Oy segmen garisan terarah dari paksi Oy sehingga ke tahap ini. Dalam rajah, di mana kuadran satah ditunjukkan, kita melihat bahawa titik simetri dengan yang diberikan berkenaan dengan paksi. Oy, akan mempunyai ordinat yang sama dengan titik yang diberikan, dan abscissa sama dengan nilai mutlak dengan absis titik yang diberikan, dan bertentangan dalam tanda dengannya. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini mengenai paksi Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Contoh 7 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Cari koordinat titik-titik yang simetri kepada titik-titik ini berkenaan dengan asalan.

Penyelesaian. Kami berputar 180 darjah di sekeliling asal segmen yang diarahkan dari asal ke titik tertentu. Dalam rajah, di mana kuadran satah ditunjukkan, kita melihat bahawa titik simetri kepada titik tertentu berkenaan dengan asal koordinat akan mempunyai absis dan ordinat sama dalam nilai mutlak dengan absis dan ordinat titik yang diberikan. , tetapi bertentangan dalam tanda kepada mereka. Jadi kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini berkenaan dengan asalan:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Contoh 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Cari koordinat unjuran titik-titik ini:

1) dalam kapal terbang Oxy ;

2) ke kapal terbang Oxz ;

3) ke kapal terbang Oyz ;

4) pada paksi absis;

5) pada paksi-y;

6) pada paksi applique.

1) Unjuran titik pada satah Oxy terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai absis dan ordinat sama dengan absis dan ordinat bagi titik yang diberikan, dan aplikasi sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Unjuran titik pada satah Oxz terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai absis dan terpakai sama dengan absis dan menggunakan titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Unjuran titik pada satah Oyz terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai ordinat dan aplikasi sama dengan ordinat dan aplikasi titik tertentu, dan absis sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi-x terletak pada paksi-x itu sendiri, iaitu paksi. lembu, dan oleh itu mempunyai absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat dan aplikasi unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi ordinat dan aplikasi bersilang dengan absis pada titik 0). Kami mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi-x:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Unjuran titik pada paksi-y terletak pada paksi-y itu sendiri, iaitu paksi Oy, dan oleh itu mempunyai ordinat sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis dan aplikasi unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi absis dan aplikasi bersilang dengan paksi ordinat pada titik 0). Kami mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi-y:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Unjuran titik pada paksi terpakai terletak pada paksi terpakai itu sendiri, iaitu, paksi Oz, dan oleh itu mempunyai pengaplikasi sama dengan pengaplikasi titik itu sendiri, dan absis dan ordinat unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi absis dan ordinat bersilang dengan paksi gunaan pada titik 0). Kami mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik ini pada paksi terpakai:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Contoh 9 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan di angkasa

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Cari koordinat titik yang simetri kepada titik ini berkenaan dengan:

1) kapal terbang Oxy ;

2) kapal terbang Oxz ;

3) kapal terbang Oyz ;

4) paksi absis;

5) paksi-y;

6) paksi applique;

7) asal koordinat.

1) "Majukan" titik di sisi lain paksi Oxy Oxy, akan mempunyai absis dan ordinat sama dengan absis dan ordinat bagi titik yang diberikan, dan applicate sama magnitud dengan applicate bagi titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda kepadanya. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan satah Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Majukan" titik di sisi lain paksi Oxz untuk jarak yang sama. Menurut rajah yang memaparkan ruang koordinat, kita melihat bahawa titik simetri kepada yang diberikan berkenaan dengan paksi Oxz, akan mempunyai absis dan menggunakan sama dengan absis dan menggunakan titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan magnitud dengan ordinat titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda dengannya. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan satah Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Majukan" titik di sisi lain paksi Oyz untuk jarak yang sama. Menurut rajah yang memaparkan ruang koordinat, kita melihat bahawa titik simetri kepada yang diberikan berkenaan dengan paksi Oyz, akan mempunyai ordinat dan applicate sama dengan ordinat dan applicate bagi titik yang diberikan, dan abscissa sama magnitud dengan abscissa titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda dengannya. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan satah Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Dengan analogi dengan titik simetri pada satah dan titik dalam ruang simetri kepada data berkenaan dengan satah, kami perhatikan bahawa dalam kes simetri tentang beberapa paksi sistem koordinat Cartes di angkasa, koordinat pada paksi yang simetri ditetapkan. akan mengekalkan tandanya, dan koordinat pada dua paksi yang lain akan sama dalam nilai mutlak dengan koordinat titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda.

4) Abscissa akan mengekalkan tandanya, manakala ordinat dan aplikasi akan bertukar tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data tentang paksi-x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinat akan mengekalkan tandanya, manakala absis dan applicate akan bertukar tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data tentang paksi-y:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Pemohon akan mengekalkan tandanya, dan absis dan ordinat akan bertukar tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data tentang paksi terpakai:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Dengan analogi dengan simetri dalam kes titik pada satah, dalam kes simetri tentang asalan, semua koordinat titik simetri kepada yang diberikan akan sama dalam nilai mutlak dengan koordinat titik tertentu, tetapi bertentangan sebagai tanda kepada mereka. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan asal.