Sistem koordinat segi empat tepat. Sistem koordinat segi empat tepat pada satah

Sistem koordinat segi empat tepat pada satah diberikan oleh dua garis yang saling berserenjang. Garis lurus dipanggil paksi koordinat (atau paksi koordinat). Titik persilangan garis ini dipanggil asal dan dilambangkan dengan huruf O.

Biasanya satu garisan mendatar, satu lagi menegak. Garis mendatar ditetapkan sebagai paksi x (atau Lembu) dan dipanggil paksi absis, yang menegak ialah paksi y (Oy), dipanggil paksi ordinat. Keseluruhan sistem koordinat dilambangkan dengan xOy.

Titik O membahagikan setiap paksi kepada dua separa paksi, satu daripadanya dianggap positif (ia dilambangkan dengan anak panah), satu lagi dianggap negatif.

Setiap titik F pada satah diberikan sepasang nombor (x;y) — koordinatnya.

Koordinat-x dipanggil absis. Ia sama dengan Lembu yang diambil dengan tanda yang sesuai.

Koordinat y dipanggil ordinat dan sama dengan jarak dari titik F ke paksi Oy (dengan tanda yang sepadan).

Jarak gandar biasanya (tetapi tidak selalu) diukur dalam unit panjang yang sama.

Titik di sebelah kanan paksi-y mempunyai absis positif. Untuk titik yang terletak di sebelah kiri paksi-y, absis adalah negatif. Untuk mana-mana titik yang terletak pada paksi-Oy, koordinat-xnya adalah sama dengan sifar.

Titik dengan ordinat positif terletak di atas paksi-x, yang mempunyai ordinat negatif terletak di bawah. Jika satu titik terletak pada paksi-x, koordinat-ynya ialah sifar.

Paksi koordinat membahagikan satah kepada empat bahagian, yang dipanggil suku koordinat (atau sudut koordinat atau kuadran).

1 suku koordinat terletak di sudut kanan atas satah koordinat xOy. Kedua-dua koordinat titik yang terletak pada suku I adalah positif.

Peralihan dari satu suku ke satu lagi dilakukan mengikut arah lawan jam.

suku ke-2 terletak di sudut kiri atas. Mata yang terletak pada suku kedua mempunyai absis negatif dan ordinat positif.

suku ke-3 terletak di kuadran kiri bawah satah xOy. Kedua-dua koordinat titik kepunyaan sudut koordinat III adalah negatif.

suku koordinat ke-4 ialah sudut kanan bawah satah koordinat. Mana-mana titik dari suku IV mempunyai koordinat pertama yang positif dan yang kedua negatif.

Contoh lokasi titik dalam sistem koordinat segi empat tepat:

1. Sistem koordinat segi empat tepat pada satah

Sistem koordinat segi empat tepat pada satah dibentuk oleh dua paksi koordinat yang saling berserenjang X"X dan Y"Y O, yang dipanggil asalan, setiap paksi mempunyai arah positif. AT tangan kanan sistem koordinat, arah positif paksi dipilih supaya dengan arah paksi Y"Y atas, paksi X"X memandang ke kanan.

Empat sudut (I, II, III, IV) dibentuk oleh paksi koordinat X"X dan Y"Y, dipanggil sudut koordinat atau kuadran (lihat Rajah 1).

Kedudukan mata A pada satah ditentukan oleh dua koordinat x dan y. koordinat x sama dengan panjang segmen OB, menyelaras y- panjang segmen OC dalam unit ukuran yang dipilih. Segmen OB dan OC ditakrifkan oleh garis yang dilukis dari satu titik A selari dengan paksi Y"Y dan X"X masing-masing. koordinat x dipanggil abscissa mata A, menyelaras y - menyelaraskan mata A. Ditulis seperti ini: A x, y)

Jika titik A terletak pada sudut koordinat I, kemudian titik A mempunyai absis positif dan ordinat. Jika titik A terletak pada sudut koordinat II, kemudian titik A mempunyai absis negatif dan ordinat positif. Jika titik A terletak pada sudut koordinat III, kemudian titik A mempunyai absis dan ordinat negatif. Jika titik A terletak pada sudut koordinat IV, kemudian titik A mempunyai absis positif dan ordinat negatif.

2. Koordinat kutub.

Grid kutub dengan beberapa sudut ditandakan dalam darjah.

Sistem koordinat kutub- sistem koordinat dua dimensi di mana setiap titik pada satah ditentukan oleh dua nombor - sudut dan jarak. Sistem koordinat kutub amat berguna apabila hubungan antara titik lebih mudah untuk diwakili sebagai jarak dan sudut; dalam sistem koordinat Cartesian atau Cartesian yang lebih biasa, hubungan tersebut hanya boleh diwujudkan dengan menggunakan persamaan trigonometri.

Sistem koordinat kutub diberikan oleh sinar, yang dipanggil paksi sifar atau kutub. Titik dari mana sinar ini muncul dipanggil asalan atau kutub. Mana-mana titik pada satah ditakrifkan oleh dua koordinat kutub: jejari dan sudut. Koordinat jejari (biasanya dilambangkan r) sepadan dengan jarak dari titik ke asal. Koordinat sudut, juga dipanggil sudut kutub atau azimut dan dilambangkan dengan φ, adalah sama dengan sudut di mana paksi kutub mesti diputar mengikut lawan jam untuk sampai ke titik itu.

Koordinat jejari yang ditentukan dengan cara ini boleh mengambil nilai dari sifar hingga tak terhingga, dan koordinat sudut berbeza dari 0° hingga 360°. Walau bagaimanapun, untuk kemudahan, julat nilai koordinat kutub boleh dilanjutkan di luar sudut penuh, dan juga dibenarkan untuk mengambil nilai negatif, yang sepadan dengan putaran paksi kutub mengikut arah jam.

3. Pembahagian segmen dalam hal ini.

Ia dikehendaki membahagikan segmen AB yang menyambungkan titik A(x1;y1) dan B(x2;y2) dalam nisbah tertentu λ > 0, i.e..jpg" align="left" width="84 height=84" height =" 84">

Keputusan: Mari perkenalkan vektor https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src="> i.e. dan i.e..

Persamaan (9.1) mengambil bentuk

Memandangkan itu vektor yang sama mempunyai koordinat yang sama, kita dapat:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) dan

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Formula (9.2) dan (9.3) dipanggil formula pembahagian segmen dalam hal ini. Khususnya, untuk λ = 1, i.e..gif" width="54" height="29 src=">. Dalam kes ini, titik M(x;y) ialah bahagian tengah segmen AB.

Ulasan:

Jika λ = 0, maka ini bermakna titik A dan M bertepatan jika λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Jarak antara titik.

Ia diperlukan untuk mencari jarak d antara titik A(x1;y1) dan B(x2;y2) satah itu.

Keputusan: Jarak yang dikehendaki d adalah sama dengan panjang vektor, i.e.

5. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Jika dua titik arbitrari M1(x1, y1, z1) dan M2(x2, y2, z2) ditandakan pada garis lurus dalam ruang, maka koordinat titik-titik ini mesti memenuhi persamaan garis lurus yang diperolehi di atas:

Di samping itu, untuk titik M1 kita boleh menulis:

Menyelesaikan persamaan ini bersama-sama, kita dapat:

Ini ialah persamaan garis lurus yang melalui dua titik dalam ruang.

6. Penentu urutan ke-2.

Nilai penentu tertib ke-2 mudah dikira mengikut takrifan menggunakan formula.

7. Penentu susunan ke-3.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> skema untuk mengira penentu menggunakan kaedah segi tiga, iaitu:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Penyelesaian SLEE dengan kaedah Cramer.

Teorem Cramer: Sistem persamaan N dengan N tidak diketahui, yang penentunya berbeza daripada sifar, sentiasa mempunyai penyelesaian, lebih-lebih lagi, ia adalah unik. Ia didapati seperti berikut: nilai setiap yang tidak diketahui adalah sama dengan pecahan, penyebutnya adalah penentu sistem, dan pengangka diperoleh daripada penentu sistem dengan penggantian lajur pekali dalam yang tidak diketahui dengan lajur ahli yang diperlukan.

Sistem persamaan ini akan mempunyai penyelesaian unik hanya apabila penentu yang terdiri daripada pekali pada X1 - n tidak sama dengan sifar. Mari kita nyatakan penentu ini dengan tanda - Δ. Jika penentu ini tidak sama dengan sifar, maka kami membuat keputusan lebih lanjut. Kemudian setiap Xi = Δi / Δ, di mana Δi ialah penentu yang terdiri daripada pekali pada X1 - n, hanya nilai pekali dalam lajur ke-i digantikan dengan nilai di belakang tanda sama dalam sistem persamaan, dan Δ ialah penentu utama

Sistem pesanan ke-n https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Penyelesaian SLE dengan kaedah matriks.

Matriks membolehkan untuk menulis secara ringkas sistem persamaan linear. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> dan lajur matriks ahli yang tidak diketahui dan bebas

Jom cari produk

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> atau lebih pendek A∙X=B.

Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak diketahui. Ia mesti dijumpai, kerana unsur-unsurnya adalah penyelesaian sistem ini. Persamaan ini dipanggil persamaan matriks.

Biarkan penentu matriks berbeza daripada sifar | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan seperti berikut. Darab kedua-dua belah persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, songsangan matriks A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Selesaikan sistem persamaan berikut dalam cara matriks:

Perhatian: Sifar muncul jika tiada satu pembolehubah, iaitu, sebagai contoh, jika X3 tidak diberikan dalam keadaan, maka ia secara automatik sama dengan sifar. Sama dengan X1 dan X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Jawapan:

# a) Diberi:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Jawapan:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Mari cari matriks songsang.

Kurangkan baris pertama daripada semua baris di bawahnya. Tindakan ini tidak bercanggah dengan transformasi matriks asas.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Kurangkan baris ke-3 daripada semua baris di atasnya. Tindakan ini tidak bercanggah dengan transformasi matriks asas.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Kami membawa semua pekali pada pepenjuru utama matriks kepada 1. Bahagikan setiap baris matriks dengan pekali baris ini yang terletak pada pepenjuru utama, jika ia tidak sama dengan 1. Matriks persegi, yang ternyata kepada kanan matriks unit, adalah songsang daripada yang utama.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. vektor. Penambahan vektor.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

vektor mereka memanggil kuantiti yang dicirikan oleh nilai berangka, arah dalam ruang dan berkembang dengan nilai geometri yang lain yang serupa.

Secara grafik, vektor digambarkan sebagai segmen garis lurus terarah dengan panjang tertentu, seperti https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> atau DIV_ADBLOCK254">

Penambahan vektor: Hasil tambah bagi vektor a(a1; a2) dan b(b1; b2) ialah vektor c(a1+b1; a2+b2). Untuk mana-mana vektor a(a1; a2), b(b1; b2), c(c1; c2) kesamaan adalah benar:

Teorem: Walau apa pun tiga titik A, B dan C, kesamaan vektor dipegang

Apabila ditambah dua vektor sering menggunakan apa yang dipanggil " peraturan selari". Dalam kes ini, segi empat selari dibina menggunakan istilah vektor sebagai sisi bersebelahan. Diagonal bagi segi empat selari, yang dilukis dari titik di mana permulaan vektor disambungkan, ialah jumlah yang dikehendaki (Rajah 4, kiri).

Adalah mudah untuk melihat (Rajah 4, kanan) bahawa peraturan ini membawa kepada hasil yang sama seperti kaedah di atas. Apabila menambah lebih daripada dua vektor " peraturan selari» boleh dikatakan tidak digunakan kerana pembinaan yang menyusahkan. Penambahan vektor adalah komutatif, iaitu,
a + b = b + a.

Namun, jumlah bilangan vektor tertentu tidak bergantung pada susunan di mana ia ditambah, iaitu, ( a + b) + d = a + (b + d). Dalam kes ini, kami mengatakan bahawa penambahan vektor adalah bersekutu, iaitu, undang-undang bersekutu berlaku untuknya.

12. Hasil darab skalar bagi vektor.

http://www. dpva. info/Panduan/PanduanMatematik/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Hasil darab titik bagi vektor ialah operasi pada dua vektor yang menghasilkan nombor (bukan vektor).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Dalam erti kata lain, hasil darab skalar bagi vektor adalah sama dengan hasil darab panjang vektor ini dan kosinus sudut di antaranya. Perlu diingatkan bahawa sudut antara dua vektor ialah sudut yang mereka bentuk jika ia ditangguhkan dari satu titik, iaitu, permulaan vektor mesti bertepatan.

Sifat mudah berikut mengikuti terus dari definisi:

1. Hasil darab skalar bagi vektor arbitrari a dan dirinya sendiri (kuasa dua skalar vektor a) sentiasa bukan negatif, dan sama dengan kuasa dua panjang vektor ini. Selain itu, kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika vektor yang diberikan adalah sifar.

2. Hasil darab skalar mana-mana vektor serenjang a dan b adalah sama dengan sifar.

3. Hasil darab skalar bagi dua vektor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika ia berserenjang atau sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah sifar.

4. Hasil darab skalar bagi dua vektor a dan b adalah positif jika dan hanya jika terdapat sudut lancip di antara keduanya.

5. Hasil darab skalar bagi dua vektor a dan b adalah negatif jika dan hanya jika terdapat sudut tumpul di antara keduanya.

Takrifan alternatif bagi hasil skalar, atau pengiraan hasil kali skalar dua vektor yang diberikan oleh koordinatnya.

(Adalah sangat mudah untuk mengira koordinat vektor berdasarkan koordinat mula dan akhirnya.:

Biarkan ada vektor AB, A - permulaan vektor, B - penghujung, dan koordinat titik-titik ini

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Kemudian koordinat vektor AB:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Begitu juga dalam ruang dua dimensi - tiada koordinat ketiga)

Jadi, biarkan dua vektor yang diberikan oleh satu set koordinatnya diberikan:

a) Dalam ruang dua dimensi (di atas satah)..gif" width="49" height="19 src=">

Kemudian hasil skalar mereka boleh dikira dengan formula:

b) Dalam ruang tiga dimensi: ;

Sama seperti kes dua dimensi, hasil skalar mereka dikira dengan formula:

DIV_ADBLOCK257">

Jadi, katakan kita mempunyai dua vektor: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

Dan kita perlu mencari sudut antara mereka. Menggunakan koordinat mereka, kami mencari panjangnya, dan kemudian kami hanya menyamakan dua formula untuk produk titik. Oleh itu, kita mendapat kosinus sudut yang dikehendaki.

Panjang vektor a dikira sebagai punca kuasa dua skalar bagi vektor a, yang akan kita kira dengan formula untuk hasil skalar vektor yang diberikan oleh koordinat:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Bermaksud, ,

Sudut yang dikehendaki ditemui.

13. Produk vektor.

http://www. dpva. info/Panduan/PanduanMatematik/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Hasil darab vektor bagi dua vektor a dan b adalah operasi pada mereka, ditakrifkan hanya dalam ruang tiga dimensi, yang hasilnya adalah vektor dengan sifat-sifat berikut:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, di mana a dan b.

3) Vektor diarahkan sedemikian rupa sehingga jika anda membawa vektor https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> sebelum vektor akan menjadi LAWAN JAM.

Untuk lebih jelas, kami memberikan contoh - dalam rajah di sebelah kanan, vektor ialah hasil vektor vektor a dan b. Seperti yang dinyatakan dalam takrifan, kami membawa ketiga-tiga vektor ke permulaan yang sama, dan kemudian, jika anda melihat vektor a dan b dari hujung vektor , pusingan terpendek dari vektor a ke vektor b akan berlawanan arah jam.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Juga, secara langsung daripada takrifan ia mengikuti bahawa bagi mana-mana faktor skalar k (nombor) perkara berikut adalah benar:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Mencari Penentu Matriks susunan ke-3 dengan peraturan segi tiga

DIV_ADBLOCK261">

Setiap elemen Matriks segi empat sama (yang susunannya lebih besar daripada atau sama dengan tiga) boleh diberikan dua nombor, dipanggil MINOR atau ALGEBRAIC COMPLEMENT. Kecil bagi unsur Aij bagi segi empat sama Matriks A (dari mana-mana susunan) ialah PENENTU MATRIKS, yang diperoleh daripada Matriks A dengan memadamkan baris dan lajur pada persilangan di mana unsur Aij berdiri. Tanda M - Penamaan kecil.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ELEMEN

kecil

Pelengkap Algebra

Biarkan A \u003d beberapa Matriks susunan III, maka penentu matriks A adalah sama dengan:

Nota: Penentu boleh dikira ke atas unsur-unsur mana-mana rentetan atau mana-mana lajur Matriks ini.

# Cari penentu Matriks dengan unsur-unsur baris pertama dan lajur pertama:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 penentu matriks urutan ke-n

Biarkan A ialah Matriks segi empat sama tertib n. Kemudian, Penentu Matriks susunan ke-n akan kelihatan seperti ini:

Mengembangkan elemen 1 baris untuk mencari unsur Matriks A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- satu

6. SIFAT UTAMA PENENTU

1. Penentu tidak akan berubah jika barisnya ditukar dengan lajur yang sepadan (transpose)

2. Apabila mengubah suai dua baris atau lajur, Definisi akan menukar tandanya kepada sebaliknya.

3. Faktor sepunya semua elemen baris (lajur) boleh diambil daripada tanda penentu

4. Penentu dengan dua baris atau lajur yang sama sentiasa sifar.

5. Jika unsur-unsur dua baris (lajur) penentu adalah berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.

6. Jika dalam beberapa baris atau lajur penentu, masing-masing, unsur-unsur baris atau lajur lain ditambah, didarab dengan nombor yang sama, maka penentu tidak akan mengubah nilainya.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> dsb.

penentu segi tiga- ini ialah penentu yang mana semua unsur yang terletak di atas (atau di bawah) pepenjuru utama adalah sifar, sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utama.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Sekiranya Matriks songsang A wujud, maka Matriks itu dipanggil INVERSIBLE. Mencari Matriks segi empat sama adalah sangat penting dalam menyelesaikan persamaan linear sistemik.

17. Matriks songsang.

http://www. mathelp. *****/buku1/matriks. htm

1. Cari Penentu Matriks A

2. Cari pelengkap algebra bagi semua unsur Matriks A (Aij) dan tuliskan Matriks baharu

3. Transpose Matriks baharu

4. Darabkan Matriks terpindah dengan salingan penentu. (Contohnya: kepada nombor 6, penentu songsang akan menjadi nombor)

Nyatakan ∆ =det A. Agar segi empat sama Matriks A mempunyai songsang, adalah perlu dan memadai bahawa Matriks tidak merosot (selain sifar). Songsangan matriks A dilambangkan dengan A-1, jadi B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src= " > - faktor normalisasi pesawat, tanda yang dipilih bertentangan dengan tanda D, jika sewenang-wenangnya, jika D=0.

21. Lengkung ke-2 (persamaan bulatan).

Definisi 11.1.Lengkung tertib kedua pada satah dipanggil garis persilangan kon bulat dengan satah yang tidak melalui bahagian atasnya.

Jika satah sedemikian memotong semua penjana satu rongga kon, maka di bahagian itu ternyata elips, di persimpangan penjana kedua-dua rongga - hiperbola, dan jika satah pemotongan selari dengan mana-mana generatriks, maka bahagian kon itu ialah parabola.

Komen. Semua lengkung tertib kedua diberikan oleh persamaan darjah kedua dalam dua pembolehubah.

Klasifikasi lengkung tertib kedua

Lengkung yang tidak merosot

tidak merosot jika Pilihan berikut mungkin berlaku:

Keluk tidak merosot urutan kedua dipanggil pusat jika

elips - disediakan D> 0 dan ∆ saya < 0;

kes khas elips - bulatan - disediakan saya 2 = 4D atau a 11 = a 22,a 12 = 0;

elips khayalan (tiada titik nyata) - tertakluk kepada Δ saya > 0;

hiperbola - tertakluk kepada D < 0;

Lengkung tidak merosot tertib kedua dipanggil bukan pusat jika Δ saya = 0

parabola - tertakluk kepada D = 0.

Lengkung Merosot: Keluk tertib kedua dipanggil merosot jika Δ = 0. Pilihan berikut mungkin timbul:

titik nyata pada persilangan dua garis khayalan (elips merosot) - disediakan D > 0;

sepasang garis bersilang sebenar (hiperbola merosot) - di bawah keadaan D < 0;

parabola merosot - disediakan D = 0:

sepasang garis selari sebenar - disediakan B < 0;

satu garisan nyata (dua garis selari yang digabungkan) - disediakan B = 0;

sepasang garis selari khayalan (bukan satu titik nyata) - disediakan B > 0.

22. Ellipse dan persamaannya.

Definisi 11.2.Ellipse ialah set titik dalam satah yang jumlah jaraknya kepada dua titik tetap F 1 dan F 2 pesawat ini, dipanggil muslihat, ialah nilai tetap.

Komen. Apabila mata sepadan F 1 dan F 2 elips bertukar menjadi bulatan.

Guru Besar Di elips sepadan dengan fokus fi, dipanggil garis lurus yang terletak pada separuh satah yang sama dengan fi tentang paksi OU berserenjang dengan paksi Oh pada jarak a/e dari asal.

Komen. Dengan pilihan sistem koordinat yang berbeza, elips boleh diberikan bukan oleh persamaan kanonik (11.1), tetapi oleh persamaan darjah kedua daripada jenis yang berbeza.

Sifat elips:

1) Elips mempunyai dua paksi simetri yang saling berserenjang (paksi utama elips) dan pusat simetri (pusat elips). Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik, maka paksi utamanya ialah paksi koordinat, dan pusat ialah asalan. Oleh kerana panjang segmen yang dibentuk oleh persilangan elips dengan paksi utama adalah sama dengan 2 a dan 2 b (2a>2b), maka paksi utama yang melalui fokus dipanggil paksi utama elips, dan paksi utama kedua dipanggil paksi kecil.

Kemudian https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Kami memperoleh persamaan kanonik hiperbola dengan analogi dengan terbitan persamaan elips, menggunakan tatatanda yang sama.

|r1 - r2 | = 2a, di mana. Jika kita tentukan b² = c² - a², dari sini anda boleh mendapatkan https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

yang mana paksi sebenar dan khayalan ditukar ganti sambil mengekalkan asimtot yang sama.

4) Kesipian hiperbola e> 1.

5) Nisbah jarak ri daripada titik hiperbola kepada fokus fi untuk menjauhkan di dari titik ini ke directrix yang sepadan dengan fokus adalah sama dengan kesipian hiperbola.

Pembuktian boleh dilakukan dengan cara yang sama seperti untuk elips.

23. Parabola.

Definisi 11.8.parabola ialah set titik dalam satah yang jaraknya ke beberapa titik tetap F satah ini adalah sama dengan jarak kepada beberapa garis lurus tetap. titik F dipanggil fokus parabola, dan garis lurus -nya guru besar.

Untuk mendapatkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Cartesan supaya asalnya ialah titik tengah bagi serenjang. FD, diturunkan daripada fokus kepada directrix, dan paksi koordinat adalah selari dan berserenjang dengan directrix. Biarkan panjang segmen FD

D O F x ialah R. Kemudian dari persamaan r = d ia berikutan bahawa https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Dengan penjelmaan algebra, persamaan ini boleh dikurangkan kepada bentuk:

y² = 2 px, (11.4) dipanggil persamaan kanonik parabola.

Nilai R dipanggil parameter parabola.

Sifat Parabola :

1) Parabola mempunyai paksi simetri (paksi parabola). Titik persilangan parabola dengan paksi dipanggil puncak parabola. Jika parabola diberikan oleh persamaan kanonik, maka paksinya ialah paksi Oh, dan puncak ialah asal koordinat.

2) Keseluruhan parabola terletak di separuh satah kanan satah Ohu.

Komen. Dengan menggunakan sifat-sifat direktriks elips dan hiperbola dan takrifan parabola, kita boleh membuktikan pernyataan berikut:

Set titik satah yang nisbahnya e jarak ke beberapa titik tetap ke jarak ke beberapa garis lurus ialah nilai malar, ialah elips (dengan e<1), гиперболу (при e>1) atau parabola (apabila e=1).

Pengurangan persamaan tertib kedua kepada bentuk kanonik.

Definisi 11.9. Garis ditakrifkan oleh persamaan tertib kedua am

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> anda boleh menetapkan matriks

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (dengan mengandaikan bahawa λ .

Dalam kes apabila salah satu daripada nilai eigen matriks DAN adalah sama dengan 0, persamaan (11.5) hasil daripada dua penjelmaan koordinat boleh dikurangkan kepada bentuk: , (11.8) yang merupakan persamaan kanonik parabola.

24. Koordinat segi empat tepat dalam ruang.

Sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang dibentuk oleh tiga paksi koordinat yang saling berserenjang OX, OY dan oz. Paksi koordinat bersilang pada satu titik O, yang dipanggil asal, pada setiap paksi arah positif yang ditunjukkan oleh anak panah dipilih, dan unit ukuran segmen pada paksi. Unit ukuran biasanya sama untuk semua paksi (yang merupakan pilihan). OX- paksi absis, OY- paksi-y, oz- paksi applique.

Jika ibu jari tangan kanan diambil sebagai arah X, menunjuk arah Y, dan purata setiap arah Z, maka ia terbentuk betul sistem koordinat. Jari-jari tangan kiri yang serupa membentuk sistem koordinat kiri. Dalam erti kata lain, arah positif paksi dipilih supaya apabila paksi diputar OX lawan jam sebanyak 90° arah positifnya bertepatan dengan arah positif paksi OY, jika putaran ini diperhatikan dari sisi arah positif paksi oz. Sistem koordinat kanan dan kiri tidak boleh digabungkan supaya paksi yang sepadan bertepatan (lihat Rajah 2).

Kedudukan mata A dalam ruang ditentukan oleh tiga koordinat x, y dan z. koordinat x sama dengan panjang segmen OB, menyelaras y- panjang segmen OC, menyelaras z- panjang segmen OD dalam unit ukuran yang dipilih. Segmen OB, OC dan OD ditakrifkan oleh satah yang dilukis dari satu titik A selari dengan satah YOZ, XOZ dan XOY masing-masing. koordinat x dipanggil absis titik A, menyelaras y- titik ordinat A, menyelaras z- gunakan titik A. Mereka menulisnya seperti ini:

Jika melalui titik O dalam ruang kita melukis tiga garis per-pen-di-ku-lar, kita panggil mereka, kita-ambil di-kanan-le- nie, menandakan potongan tunggal, maka kita akan mendapat segi empat tepat si-ste-mu ko-or-di-nat dalam ruang. Paksi ko-or-di-nat ialah na-zy-va-yut-sya seperti ini: Oh - paksi abs-ciss, Oy - paksi or-di-nat dan Oz - axis up-pli-cat. Keseluruhan si-ste-ma ko-or-di-nat bermaksud-me-cha-et-sya - Oxyz. Dengan cara ini, terdapat tiga kapal terbang co-or-di-nat-nye: Oxy, Oxz, Oyz.

Kami memberi contoh membina titik B (4; 3; 5) dalam sistem segi empat tepat bagi ko-atau-di-nat (lihat Rajah 1).

nasi. 1. Pembinaan titik B dalam ruang

Titik co-or-di-na-ta pertama B - 4, jadi dari-cla-dy-va-em ke Ox 4, kita-malapkan para-ral-lel-tetapi paksi Oy untuk re-se semula -che-tion dengan garis lurus, melalui y \u003d 3. Dengan cara ini, kita mendapat titik K. Titik ini terletak pada satah Oxy dan mempunyai co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Kini anda perlu pro-ve-sti mengarahkan par-ral-lel-tetapi paksi Oz. Dan lurus, syurga seseorang melalui satu titik dengan app-pli-ka-that 5 dan para-ral-lel-on dia-go-on-sama ada pa-ral-le-lo-gram -ma dalam satah Oxy. Pada re-se-che-nii mereka, kita akan mendapat mata B yang dikehendaki.

Pertimbangkan taburan mata, untuk sesetengahnya, satu atau dua co-or-di-na-anda adalah sama dengan 0 (lihat Rajah 2).

Contohnya, titik A(3;-1;0). Ia adalah perlu untuk meneruskan paksi Oy ke kiri ke nilai -1, cari titik 3 pada paksi Ox, dan pada re-se-se-garis yang melalui nilai -tion ini, kita mendapat titik A. Ini point mempunyai app-pli-ka-tu 0, yang bermaksud ia terletak pada satah Oxy.

Titik C (0; 2; 0) mempunyai abs-cis-su dan app-pli-ka-tu 0 - bukan dari-me-cha-e. Or-di-na-ta adalah sama dengan 2, yang bermaksud titik C terletak hanya pada paksi Oy, sesuatu-syurga adalah-la-is-a-re-re-se-che-no-it is flat stey Oxy dan Oyz.

Untuk menggerakkan titik D (-4; 0; 3) kita meneruskan paksi Lembu ke belakang untuk na-cha-lo ko-atau-di-nat ke titik -4. Sekarang, pulihkan-seratus-nav-li-va-em dari titik ini per-pen-di-ku-lyar - lurus, selari dengan paksi Oz untuk re-se-che-niya semula dengan garis lurus, selari dengan paksi Ox dan melalui nilai 3 pada paksi Oz. Mengikut D semasa (-4; 0; 3). Oleh kerana titik atau-di-pada-itu adalah sama dengan 0, maka titik D terletak pada satah Oxz.

Titik seterusnya ialah E(0;5;-3). Atau-di-na-ta mata 5, app-pli-ka-ta -3, kita melepasi garis lurus yang melalui nilai ini atas balas -paksi ke-ke, dan pada re-se-che-nii mereka , kita mendapat titik E (0; 5; -3). Titik ini mempunyai co-or-di-to-tu 0 yang pertama, yang bermaksud ia terletak pada satah Oyz.

2. Koordinat vektor

Si-ste-mu ko-or-di-nat bersudut tepat di angkasa Oxyz. Za-da-dim dalam ruang segi empat tepat si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. Pada setiap lo-zhi-tel-nyh in-lu-axes from-lo-weep daripada na-cha-la ko-or-di-nat satu vektor, iaitu vektor-torus, panjang sesuatu-ro- pergi adalah sama dengan satu. Kami menandakan vektor tunggal paksi abs-ciss, vektor tunggal paksi atau-di-nat, dan vektor tunggal paksi up-pli-kat (lihat Rajah 1). Kelopak mata ini adalah co-on-right-le-na dengan paksi-le-ni-i-mi di sebelah kanan, mempunyai panjang tunggal dan or-to-go-nal-na - berpasangan -tetapi per-pen-di -ku-lyar-ny. Abad-ra-na-zy-va-yut sedemikian ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-mi atau ba-zi-ikan keli.

nasi. 1. Raz-lo-sama-umur-itu-ra dalam tiga bersama-atau-dina-nat-ny abad-bingkai-itu

Ambil mem-tor, in-me-stim dalam na-cha-lo ko-or-di-nat, dan sebarkan vektor-tor ini dalam tiga-pelan-nar-nym - le-zha -shim dalam satah yang berbeza - abad ke bingkai. Untuk melakukan ini, mari kita turunkan unjuran titik M pada satah Oxy, dan cari parit vektor bersama-atau-di-pada-anda, dan. Pada-lu-cha-makan:. Ras-look-rim pada dari-del-no-sti setiap abad-parit ini. Torus vektor terletak pada paksi Lembu, yang bermaksud bahawa, mengikut sifat mendarabkan vektor dengan nombor, ia boleh diwakili sebagai beberapa jenis nombor x feminin pada vektor co-atau-di-nat-ny. , dan panjang kelopak mata adalah betul-betul x kali lebih besar daripada panjang . Dengan cara yang sama, mari kita melangkah dengan abad-that-ra-mi dan, dan dalam lu-cha-makan kali-lo-sama-umur abad-that-ra dalam tiga ko-atau-di-nat-ny abad -ke-ram:

Co-ef-fi-qi-en-anda kali ini x, y dan z on-zy-va-yut-sya ko-atau-di-na-ta-mi umur-ke-ra di angkasa.

Ras-look-rim right-vi-la, some-rye pose-in-la-yut mengikut ko-or-di-on- there diberikan berabad-abad lamanya untuk mencari ko-or-di-na- anda jumlah dan perbezaan mereka, serta co-or-di-na-you pro-from-ve-de-niya bagi abad-that-ra tertentu pada nombor tertentu.

1) Kerumitan:

2) You-chi-ta-nie:

3) Pendaraban dengan nombor: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go owl-pa-yes-et dengan na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya jejari-abad-rum.(Gamb. 2). Vector-tor - ra-di-us-vector, dengan x, y dan z ialah co-ef-fi-qi-en-you raz-lo-sama-tion abad ini-ke-ra mengikut co-or - di-nat-ny century-to-ram,,. Dalam kes ini, x ialah co-or-di-on-ta pertama bagi titik A pada paksi Ox, y ialah co-or-di-on-ta bagi titik B pada paksi Oy, z ialah co-or - di-na-ta titik C pada paksi Oz. Menurut ri-sun-ku, jelas bahawa ko-atau-di-na-kamu ra-di-us-vek-to-ra one-but-time-man-tetapi-la-yut-sya ko- atau-di -on-ta-mi mata M.

Ambil titik A(x1;y1;z1) dan titik B(x2;y2;z2) (lihat Rajah 3). Kami membayangkan abad-tor sebagai perbezaan abad-dan-a-parit dan, dengan hartanya, abad-a-parit. Selain itu, dan - ra-di-us-vek-to-ry, dan co-or-di-na-you co-pa-da-yut mereka dengan co-or-di-na-ta-mi con- tsov ini berabad-abad. Kemudian kita boleh bayangkan ko-or-di-na-you century-that-ra sebagai perbezaan dengan-dari-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat abad-that-ditch dan : . Dengan cara ini, ko-atau-di-na-anda abad ke-ke-ra, kita boleh bersaing melalui ko-atau-di-na-anda akhir dan na-cha-la abad ke-ra .

Ras-lihat contoh, sifat il-lu-stri-ru-yu-sche bagi parit abad dan anda-ra-sama-tion mereka melalui co-or-di-on-you. Take-meme century-that-ry , , . Kami ditanya-shi-va-yut vektor. Dalam kes ini, untuk mencari ia bermakna mencari bersama-atau-di-na-anda abad-itu-ra, seseorang yang benar-benar ditentukan olehnya. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie bukannya seratus abad-a-ditch dengan-dari-rep-stven-tetapi co-or-di-on-you. By-lu-cha-eat:

Sekarang kita darabkan nombor 3 untuk setiap co-or-di-na-tu dalam kurungan, dan de-la-em yang sama dengan 2:

Kami mempunyai jumlah tiga parit abad, kami menyimpannya mengikut harta yang dikaji di atas:

Jawapan:

Contoh No. 2.

Diberi: Pi-ra-mi-da AOBC segi tiga (lihat Rajah 4). Pesawat AOB, AOC dan OCB - berpasangan, tetapi per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.

Cari: ,,,,,,,.

Penyelesaian: Mari kita perkenalkan segi empat tepat si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz dengan permulaan kiraan pada titik O. Dengan keadaan kita tahu titik A, B dan C pada paksi dan se-re -di-ny tepi pi-ra-mi-dy - M, P dan N. Menurut ri-sun-ku on-ho-dim ko-atau -di-on-you gasing pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

Dengan pengenalan sistem koordinat pada satah atau dalam ruang tiga dimensi, peluang unik timbul untuk menerangkan bentuk geometri dan sifatnya menggunakan persamaan dan ketaksamaan. Ini mempunyai nama lain - kaedah algebra.

Artikel ini akan membantu anda memahami tugas sistem koordinat Cartesian segi empat tepat dan penentuan koordinat titik. Imej yang lebih visual dan terperinci tersedia dalam ilustrasi grafik.

Untuk memperkenalkan sistem koordinat pada satah, perlu melukis dua garis serenjang pada satah. pilih arah yang positif, ditandakan dengan anak panah. Mesti pilih skala. Titik persilangan garis akan dipanggil huruf O. Dia dianggap titik rujukan. Ini dipanggil sistem koordinat segi empat tepat di permukaan.

Garisan dengan asalan O yang mempunyai arah dan skala dipanggil garis koordinat atau paksi koordinat.

Sistem koordinat segi empat tepat ditandakan O x y . Paksi koordinat dipanggil O x dan O y, dipanggil masing-masing abscissa dan paksi-y.

Imej sistem koordinat segi empat tepat pada satah.

Paksi absis dan ordinat mempunyai unit perubahan dan skala yang sama, yang ditunjukkan sebagai sempang pada asal paksi koordinat. Arah standard ialah O x dari kiri ke kanan, dan O y dari bawah ke atas. Kadangkala putaran alternatif pada sudut yang diperlukan digunakan.

Sistem koordinat segi empat tepat dipanggil Cartesian sebagai penghormatan kepada penemunya René Descartes. Anda selalunya boleh mencari nama sebagai sistem koordinat Cartesian segi empat tepat.

Ruang Euclidean tiga dimensi mempunyai sistem yang serupa, cuma ia bukan terdiri daripada dua, tetapi tiga paksi O x, O y, O z. Ini adalah tiga garis yang saling berserenjang, di mana O z mempunyai nama paksi applique.

Dalam arah paksi koordinat, ia dibahagikan kepada sistem koordinat segi empat tepat kanan dan kiri ruang tiga dimensi.

Paksi koordinat bersilang pada titik O, dipanggil asalan. Setiap paksi mempunyai arah positif, yang ditunjukkan oleh anak panah pada paksi. Jika, apabila O x diputar lawan jam sebanyak 90 °, arah positifnya bertepatan dengan O y positif, maka ini terpakai untuk arah positif O z. Sistem sedemikian dipertimbangkan betul. Dengan kata lain, jika kita membandingkan arah X dengan ibu jari, maka jari telunjuk bertanggungjawab untuk Y, dan yang tengah untuk Z.

Sistem koordinat kiri dibentuk dengan cara yang sama. Kedua-dua sistem tidak boleh digabungkan, kerana paksi yang sepadan tidak akan sepadan.

Sebagai permulaan, kita ketepikan titik M pada paksi koordinat O x. Sebarang nombor nyata x M adalah sama dengan satu-satunya titik M yang terletak pada garisan yang diberi. Jika titik terletak pada garis koordinat pada jarak 2 dari asalan dalam arah positif, maka ia sama dengan 2, jika - 3, maka jarak yang sepadan ialah 3. Sifar ialah asal bagi garis koordinat.

Dalam erti kata lain, setiap titik M terletak pada O x adalah sama dengan nombor nyata x M . Nombor nyata ini adalah sifar jika titik M terletak pada asalan, iaitu pada persilangan O x dan O y. Bilangan panjang segmen sentiasa positif jika titik dialihkan ke arah positif dan sebaliknya.

Nombor yang ada x M dipanggil menyelaras titik M pada garis koordinat yang diberi.

Mari kita ambil satu titik sebagai unjuran titik M x ke O x, dan sebagai unjuran titik M y ke O y. Ini bermakna garis lurus berserenjang dengan paksi O x dan O y boleh dilukis melalui titik M, di mana kita memperoleh titik persilangan yang sepadan M x dan M y .

Kemudian titik M x pada paksi O x mempunyai nombor yang sepadan x M , dan M y pada O y - y M . Pada paksi koordinat ia kelihatan seperti ini:

Setiap titik M pada satah tertentu dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat mempunyai satu pasangan nombor yang sepadan (x M , y M) , dipanggil koordinat. Abscissa M ialah x M , koordinat M ialah y M .

Pernyataan sebaliknya juga dianggap benar: setiap pasangan tertib (x M , y M) mempunyai titik sepadan yang diberikan dalam satah.

Definisi titik M dalam ruang tiga dimensi. Biarkan terdapat M x , M y , M z , yang merupakan unjuran titik M pada paksi yang sepadan O x, O y, O z . Kemudian nilai titik ini pada paksi О x, О у, О z akan mengambil nilai x M , y M , z M . Mari kita mewakilinya pada garis koordinat.

Untuk mendapatkan unjuran titik M, anda perlu menambah garis serenjang O x, O y, O z untuk meneruskan dan menggambarkan dalam bentuk satah yang melalui M. Oleh itu, satah bersilang pada M x , M y , M z

Setiap titik ruang tiga dimensi mempunyai data sendiri (x M , y M , z M) , yang mempunyai nama koordinat titik M , x M , y M , z M - ini adalah nombor yang dipanggil abscissa, ordinat dan applique diberi titik M . Untuk penghakiman ini, pernyataan sebaliknya juga benar: setiap tiga tertib nombor nyata (x M , y M , z M) dalam sistem koordinat segi empat tepat mempunyai satu titik M yang sepadan bagi ruang tiga dimensi.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Kaedah koordinat, sudah tentu, sangat baik, tetapi dalam masalah C2 sebenar tidak ada koordinat dan vektor. Oleh itu, mereka mesti dimasukkan. Ya, ya, cuma ambil dan masukkannya seperti ini: nyatakan asal, segmen unit dan arah paksi x, y dan z.

Perkara yang menarik tentang kaedah ini ialah ia tidak kira bagaimana anda memasuki sistem koordinat. Jika semua pengiraan adalah betul, maka jawapannya akan betul.

Koordinat kubus

Jika ada kiub dalam masalah C2, anggap diri anda bertuah. Ini adalah polihedron yang paling ringkas, semua sudut dihedralnya ialah 90°.

Sistem koordinat juga dimasukkan dengan sangat mudah:

Asal koordinat adalah pada titik A;
Selalunya, pinggir kiub tidak ditunjukkan, jadi kami mengambilnya sebagai satu segmen;
Kami mengarahkan paksi-x di sepanjang tepi AB, y - di sepanjang tepi AD, dan paksi-z - di sepanjang tepi AA 1 .

Perhatikan bahawa paksi-z menghala ke atas! Selepas sistem koordinat dua dimensi, ini agak luar biasa, tetapi sebenarnya sangat logik.

Jadi, kini setiap bucu kubus mempunyai koordinat. Mari kumpulkan mereka dalam jadual - secara berasingan untuk satah bawah kubus:

Adalah mudah untuk melihat bahawa titik satah atas berbeza daripada titik sepadan satah bawah hanya dengan koordinat z. Contohnya, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Perkara utama adalah jangan keliru!

Prisma sudah lebih menyeronokkan. Dengan pendekatan yang betul, sudah cukup untuk mengetahui koordinat hanya pangkalan bawah - bahagian atas akan dikira secara automatik.

Dalam masalah C2, terdapat prisma trihedral yang luar biasa biasa (prisma lurus berdasarkan segi tiga biasa). Bagi mereka, sistem koordinat dimasukkan dengan cara yang hampir sama seperti kubus. Dengan cara ini, jika seseorang tidak tahu, kubus juga merupakan prisma, hanya satu tetrahedral.

Jadi mari pergi! Masukkan sistem koordinat:

Asal koordinat adalah pada titik A;
Sisi prisma diambil sebagai satu segmen, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam keadaan masalah;
Kami mengarahkan paksi-x di sepanjang tepi AB, z - di sepanjang tepi AA 1, dan letakkan paksi-y supaya satah OXY bertepatan dengan satah tapak ABC.

Beberapa penjelasan diperlukan di sini. Hakikatnya ialah paksi-y TIDAK bertepatan dengan tepi AC, seperti yang difikirkan oleh ramai orang. Mengapa ia tidak sepadan? Fikirkan sendiri: segitiga ABC ialah segi tiga sama sisi dengan semua sudut 60°. Dan sudut antara paksi koordinat hendaklah 90 °, jadi gambar atas akan kelihatan seperti ini:

Saya harap sekarang jelas mengapa paksi-y tidak akan bersama AC. Lukiskan ketinggian CH dalam segi tiga ini. Segitiga ACH adalah bersudut tegak, dan AC = 1, jadi AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Fakta ini diperlukan untuk mengira koordinat titik C.

Sekarang mari kita lihat keseluruhan prisma bersama-sama dengan sistem koordinat yang dibina:

Kami mendapat koordinat titik berikut:

Seperti yang anda lihat, titik-titik tapak atas prisma sekali lagi berbeza daripada titik-titik yang sepadan dengan tapak bawah hanya dengan koordinat z. Masalah utama ialah titik C dan C 1 . Mereka mempunyai koordinat tidak rasional yang anda hanya perlu ingat. Nah, atau untuk memahami dari mana asalnya.

Koordinat prisma heksagon

Prisma heksagon ialah segi tiga "klon". Anda boleh memahami bagaimana ini berlaku jika anda melihat pangkal bawah - mari kita nyatakan ABCDEF. Mari kita jalankan pembinaan tambahan: segmen AD, BE dan CF. Ternyata enam segi tiga, setiap satunya (contohnya, segi tiga ABO) adalah asas bagi prisma tiga segi tiga.

Sekarang mari kita perkenalkan sistem koordinat sebenar. Asal koordinat - titik O - akan diletakkan pada pusat simetri heksagon ABCDEF. Paksi-x akan pergi sepanjang FC, dan paksi-y - melalui titik tengah segmen AB dan DE. Kami mendapat gambar ini:

Sila ambil perhatian: asal koordinat TIDAK bertepatan dengan puncak polihedron! Malah, apabila menyelesaikan masalah sebenar, anda akan mendapati bahawa ini sangat mudah, kerana ia membolehkan anda mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Ia kekal untuk menambah paksi z. Mengikut tradisi, kami melukisnya berserenjang dengan satah OXY dan mengarahkannya secara menegak ke atas. Kami mendapat gambaran akhir:

Mari kita tulis koordinat titik. Mari kita anggap bahawa semua tepi prisma heksagon biasa kita adalah sama dengan 1. Jadi, koordinat tapak bawah:

Koordinat asas atas dianjakkan oleh satu dalam paksi-z:

Piramid secara amnya sangat teruk. Kami akan menganalisis hanya kes paling mudah - piramid segi empat biasa, semua tepinya sama dengan satu. Walau bagaimanapun, dalam masalah C2 sebenar, panjang tepi mungkin berbeza, jadi skema umum untuk mengira koordinat diberikan di bawah.

Jadi, piramid segi empat tepat yang betul. Ini sama dengan Cheops, cuma lebih kecil sedikit. Mari kita nyatakan ia SABCD, di mana S ialah bahagian atas. Kami memperkenalkan sistem koordinat: asalan adalah di titik A, segmen unit AB = 1, paksi-x diarahkan sepanjang AB, paksi-y adalah sepanjang AD, dan paksi-z adalah ke atas, berserenjang dengan satah OXY. . Untuk pengiraan lanjut, kita memerlukan ketinggian SH - jadi mari kita binanya. Kami mendapat gambar berikut:

Sekarang mari kita cari koordinat titik. Mari kita mulakan dengan pesawat OXY. Segala-galanya mudah di sini: pangkalannya adalah segi empat sama, koordinatnya diketahui. Masalah timbul dengan titik S. Oleh kerana SH ialah ketinggian kepada satah OXY, titik S dan H hanya berbeza dalam koordinat z. Sebenarnya, panjang segmen SH ialah koordinat z untuk titik S, kerana H = (0.5; 0.5; 0).

Perhatikan bahawa segitiga ABC dan ASC mempunyai tiga sisi yang sama (AS = CS = AB = CB = 1, dan sisi AC adalah biasa). Oleh itu, SH = BH. Tetapi BH ialah separuh pepenjuru bagi segi empat sama ABCD, i.e. BH = AB sin 45°. Kami mendapat koordinat semua titik:

Itu sahaja dengan koordinat piramid. Tetapi tidak dengan koordinat sama sekali. Kami telah mempertimbangkan hanya polyhedra yang paling biasa, tetapi contoh-contoh ini cukup untuk mengira koordinat mana-mana bentuk lain secara bebas. Oleh itu, kita boleh meneruskan, sebenarnya, kepada kaedah untuk menyelesaikan masalah tertentu C2.