Persamaan rasional dengan 2 pembolehubah. Persamaan rasional

Kami telah pun mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik. Sekarang mari kita lanjutkan kaedah yang dikaji kepada persamaan rasional.

Apakah ungkapan rasional? Kami telah pun menemui konsep ini. Ungkapan rasional ialah ungkapan yang terdiri daripada nombor, pembolehubah, kuasanya dan simbol operasi matematik.

Sehubungan itu, persamaan rasional ialah persamaan dalam bentuk: , di mana - ungkapan rasional.

Sebelum ini, kami hanya mempertimbangkan persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan linear. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang boleh dikurangkan kepada persamaan kuadratik.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Suatu pecahan adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika pengangkanya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapat sistem berikut:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik. Sebelum menyelesaikannya, mari kita bahagikan semua pekalinya dengan 3. Kita dapat:

Kami mendapat dua punca: ; .

Oleh kerana 2 tidak pernah sama dengan 0, dua syarat mesti dipenuhi: . Oleh kerana tiada punca persamaan yang diperolehi di atas bertepatan dengan nilai tidak sah bagi pembolehubah yang diperoleh semasa menyelesaikan ketaksamaan kedua, kedua-duanya adalah penyelesaian kepada persamaan ini.

Jawapan:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Gerakkan semua sebutan ke sebelah kiri supaya bahagian kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan mudahkan bahagian kiri, bawa semua pecahan kepada penyebut sepunya.

3. Samakan pecahan yang terhasil kepada 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan punca-punca yang diperolehi dalam persamaan pertama dan penuhi ketaksamaan kedua dalam jawapan.

Mari kita lihat contoh lain.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian

Pada mulanya, kami mengalihkan semua istilah ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan Kami mendapat:

Sekarang mari kita bawa bahagian kiri persamaan kepada penyebut biasa:

Persamaan ini bersamaan dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ialah persamaan kuadratik.

Pekali persamaan ini: . Kami mengira diskriminasi:

Kami mendapat dua punca: ; .

Sekarang mari kita selesaikan ketaksamaan kedua: hasil darab faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tiada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat mesti dipenuhi: . Kami mendapati bahawa daripada dua punca persamaan pertama, hanya satu yang sesuai - 3.

Jawapan:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingati apa itu ungkapan rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional, yang mengurangkan kepada persamaan kuadratik.

Dalam pelajaran seterusnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi sebenar, dan juga melihat masalah pergerakan.

Rujukan

1. Bashmakov M.I. Algebra, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain Algebra, 8. 5th ed. - M.: Pendidikan, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, darjah 8. Buku teks untuk institusi pendidikan am. - M.: Pendidikan, 2006.

1. Festival idea pedagogi "Pelajaran Terbuka" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Kerja rumah

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel anda, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenangnya (daripada sistem), masukkan nombor 11 dan bukannya "permainan" yang telah dijumpai dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawapan kepada sistem persamaan ini ialah x=116, y=11.

Kaedah grafik.
Ia terdiri daripada mencari secara praktikal koordinat titik di mana garis lurus, yang ditulis secara matematik dalam sistem persamaan, bersilang. Graf kedua-dua garisan hendaklah dilukis secara berasingan dalam sistem koordinat yang sama. Bentuk umum persamaan garis lurus: – у=khх+b. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari koordinat dua titik, dan x dipilih sewenang-wenangnya.
Biarkan sistem diberi: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Satu garis lurus dibina menggunakan persamaan pertama; untuk kemudahan, anda perlu menulisnya: y = 2x-4. Dapatkan nilai (lebih mudah) untuk x, menggantikannya ke dalam persamaan, menyelesaikannya, dan mencari y. Kami mendapat dua titik di mana garis lurus dibina. (lihat gambar)
x 0 1

y -4 -2
Satu garis lurus dibina menggunakan persamaan kedua: y=-3x+1.
Juga bina garis lurus. (lihat gambar)

y 1 -5
Cari koordinat titik persilangan dua garis yang dibina pada graf (jika garis tidak bersilang, maka sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian - ini berlaku).

Video mengenai topik

Nasihat yang berguna

Jika anda menyelesaikan sistem persamaan yang sama dalam tiga cara yang berbeza, jawapannya akan sama (jika penyelesaiannya betul).

Sumber:

• algebra darjah 8
• menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam talian
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Menyelesaikan sistem persamaan adalah mencabar dan mengujakan. Lebih kompleks sistem, lebih menarik untuk diselesaikan. Selalunya dalam matematik sekolah menengah terdapat sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui, tetapi dalam matematik yang lebih tinggi mungkin terdapat lebih banyak pembolehubah. Sistem boleh diselesaikan menggunakan beberapa kaedah.

Arahan

Kaedah yang paling biasa untuk menyelesaikan sistem persamaan ialah penggantian. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua sistem, dengan itu mengurangkan persamaan kepada satu pembolehubah. Sebagai contoh, diberikan persamaan berikut: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Daripada ungkapan kedua adalah mudah untuk menyatakan salah satu pembolehubah, memindahkan semua yang lain ke sebelah kanan ungkapan, tidak lupa untuk menukar tanda pekali: x = 3-y.

Buka kurungan: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Kami menggantikan nilai y yang terhasil ke dalam ungkapan: x=3-y;x=3-1;x=2. .

Dalam ungkapan pertama semua istilah adalah 2, anda boleh meletakkan 2 daripada kurungan

Anda telah pun bertemu dalam kursus algebra gred ke-7, tetapi ini hanyalah sistem jenis khas - sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah. Dalam gred ke-8, anda belajar untuk menyelesaikan persamaan rasional dengan satu pembolehubah, yang bermaksud anda boleh memikirkan tentang menyelesaikan sistem persamaan rasional dengan dua pembolehubah, terutamanya kerana sistem sedemikian sering mewakili model matematik bagi situasi yang sedang dikaji. Anda telah mempelajari tentang salah satu model ini daripada buku teks Algebra-8. Contoh di bawah diambil daripada buku teks yang dirujuk.

Dalam amalan, tafsiran yang lebih luas tentang istilah "persamaan rasional dengan dua pembolehubah" adalah lebih mudah: ini adalah persamaan bentuk - ungkapan rasional dengan dua pembolehubah x dan y.
Contoh persamaan rasional dengan dua pembolehubah:

Sudah tentu, anda boleh mempertimbangkan persamaan rasional dengan pembolehubah lain, tidak semestinya dengan x, contohnya, a3 - bx = 3ab - persamaan rasional dengan dua pembolehubah a, b. Tetapi secara tradisinya dalam algebra mereka lebih suka menggunakan huruf x dan y sebagai pembolehubah.

Definisi 2.

Penyelesaian kepada persamaan p (x, y) = 0 ialah sebarang pasangan nombor (x; y) yang memenuhi persamaan ini, i.e. menukar kesamaan dengan pembolehubah p (x, y) = 0 kepada kesamaan berangka yang benar.

Contohnya:

1) (3; 7) - penyelesaian kepada persamaan x 2 + y 2 = 58. Sesungguhnya, 3 2 + 7 2 = 58 ialah kesamaan berangka yang betul.
2) - penyelesaian kepada persamaan x 2 + y 2 - 58. Malah, - kesamaan berangka yang betul (22 + 36 = 58).

3) (0; 5) - penyelesaian kepada persamaan 2xy + x 3 = 0. Sesungguhnya, 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 ialah kesamaan berangka yang betul.
4) (1; 2) bukan penyelesaian kepada persamaan 2xy + x 3 = 0. Malah, 2 1 2 + 3 = 0 ialah kesamaan yang salah (ternyata 5 = 0).

Untuk persamaan dengan dua pembolehubah, dan juga untuk persamaan dengan satu pembolehubah, kita boleh memperkenalkan konsep kesetaraan persamaan.

Definisi 3.

Dua persamaan p(x, y) = 0 dan d(x, y) = 0 dipanggil setara jika ia mempunyai penyelesaian yang sama (khususnya, jika kedua-dua persamaan tidak mempunyai penyelesaian).

Biasanya, apabila menyelesaikan persamaan, mereka cuba menggantikan persamaan ini dengan yang lebih mudah, tetapi setara dengannya. Penggantian sedemikian dipanggil transformasi setara persamaan. Dua penukaran setara utama disenaraikan di bawah:

1) Memindahkan sebutan persamaan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan tanda yang berlawanan.
Sebagai contoh, menggantikan persamaan 2x + bу = 7x - 8у dengan persamaan 2x - 7x - -8у - bу ialah penjelmaan setara bagi persamaan.
2) Mendarab atau membahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor atau ungkapan bukan sifar yang sama.
Sebagai contoh, menggantikan persamaan 0.5l:2 - 0.3xy = 2y dengan persamaan 5l:2 - 3xy = 20y (kedua-dua belah persamaan didarab sebutan dengan sebutan dengan 10) ialah penjelmaan setara bagi persamaan.

Transformasi tak setara bagi persamaan, seperti dalam kes persamaan dengan satu pembolehubah, ialah:

1) Pembebasan daripada penyebut yang mengandungi pembolehubah.
2) Kuadratkan kedua-dua belah persamaan.

Jika salah satu daripada penjelmaan bukan setara yang ditunjukkan digunakan dalam proses menyelesaikan persamaan, maka semua penyelesaian yang ditemui mesti disemak dengan penggantian ke dalam persamaan asal, kerana mungkin terdapat penyelesaian luar di antara mereka.

Kadangkala adalah mungkin untuk menukar kepada model geometri (grafik) persamaan dengan dua pembolehubah, i.e. graf persamaan. Anda mungkin masih ingat bahawa graf persamaan linear dengan dua pembolehubah ax + bу + c = 0 (a, b, c ialah nombor, pekali, di mana sekurang-kurangnya satu daripada nombor a, b berbeza daripada sifar) ialah garis lurus - persamaan linear model geometri. Mari cuba cari model grafik yang sepadan untuk beberapa persamaan yang lebih rasional dengan dua pembolehubah x dan y.

Contoh 2. Lukiskan graf bagi persamaan y - 2x2 = 0.

Penyelesaian. Mari tukarkan persamaan kepada bentuk y = 2x2. Graf fungsi y - 2x2 ialah parabola, yang juga dianggap sebagai graf bagi persamaan y - 2x2 = 0 (Rajah 33).

Contoh 3. Graf persamaan xy = 2.
Penyelesaian. Mari tukarkan persamaan kepada bentuk Graf fungsi - ialah hiperbola, ia juga dianggap sebagai graf persamaan xy = 2 (Rajah 34).

Oleh itu, jika persamaan p(x, y) = O boleh ditukar kepada bentuk y = f (x), maka graf bagi fungsi y - f (x) dianggap pada masa yang sama sebagai graf bagi persamaan p(x, y) - 0.

Contoh 4. Graf persamaan x 2 + y 2 = 16.

Penyelesaian.

Mari kita gunakan teorem dari kursus geometri: graf persamaan x 2 + y 2 = r 2, di mana r ialah nombor positif, ialah bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari r. Ini bermakna graf bagi persamaan x 2 + y 2 = 16 ialah bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari 4 (Rajah 35).

Teorem yang disebutkan di atas adalah kes khas teorem berikut, yang kami harap anda juga tahu dari kursus geometri anda.

Contoh 5. Graf persamaan:

a) (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 9; b) x 2 + y 2 + 4x = 0.

Penyelesaian:

a) Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 32. Graf persamaan ini, mengikut teorem, ialah bulatan dengan pusat pada titik (1; 2) dan jejari 3 (Rajah 37).

b) Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4, i.e. (x + 2) 2 + y 2 = 4 dan seterusnya (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. Graf bagi persamaan ini, mengikut teorem, ialah bulatan dengan pusat di titik (-2; 0 ) dan jejari 2 (Rajah 38).

Definisi 4.

Jika tugasnya adalah untuk mencari pasangan nilai (x; y) yang pada masa yang sama memenuhi persamaan p (x, y) = 0 dan persamaan q (x, y) = 0, maka mereka mengatakan bahawa persamaan ini membentuk sistem daripada persamaan:

Sepasang nilai (x; y), yang secara serentak merupakan penyelesaian kepada kedua-dua persamaan pertama dan kedua sistem, dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan. Menyelesaikan sistem persamaan bermakna mencari semua penyelesaiannya atau menetapkan bahawa tiada penyelesaian.
Sebagai contoh, pasangan (3; 7) - penyelesaian kepada sistem persamaan

Malah, pasangan ini memenuhi kedua-dua persamaan pertama dan kedua sistem, yang bermaksud ia adalah penyelesaiannya. Biasanya ia ditulis seperti ini: (3; 7) - penyelesaian kepada sistem atau Sepasang (5; 9) bukan penyelesaian kepada sistem (1): ia tidak memenuhi persamaan pertama (walaupun ia memenuhi persamaan kedua daripada sistem).

Sudah tentu, pembolehubah dalam persamaan yang membentuk sistem persamaan boleh ditetapkan oleh huruf lain, sebagai contoh: Tetapi dalam apa jua keadaan, apabila menulis jawapan dalam bentuk sepasang nombor, kaedah leksikografi digunakan, i.e. Tempat pertama diberikan kepada salah satu daripada dua huruf yang muncul lebih awal dalam abjad Latin.

Kadangkala anda boleh menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah grafik yang anda biasa gunakan: anda perlu membuat graf persamaan pertama, kemudian graf persamaan kedua, dan akhirnya mencari titik persilangan graf; koordinat setiap titik persilangan berfungsi sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan.

Contoh 6. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian.

1) Bina graf bagi persamaan x 2 + y 2 = 16 - bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari 4 (Rajah 39).
2) Mari kita bina graf bagi persamaan y - x = 4. Ini ialah garis lurus yang melalui titik (0; 4) dan (-4; 0) (Gamb. 39).
3) Bulatan dan garis lurus bersilang pada titik A dan B (Rajah 39). Berdasarkan model geometri yang dibina, titik A mempunyai koordinat A(-4; 0), dan titik B mempunyai koordinat B(0; 4). Semakan menunjukkan bahawa sebenarnya pasangan (-4; 0) dan pasangan (0; 4) adalah penyelesaian kepada kedua-dua persamaan sistem, dan oleh itu penyelesaian kepada sistem persamaan. Akibatnya, sistem persamaan yang diberikan mempunyai dua penyelesaian: (-4; 0) dan (0; 4).

Jawapan: (-4; 0); (0; 4).

Contoh 7. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian.

1) Setelah menulis semula persamaan pertama sistem dalam bentuk y = 2x 2, kita sampai pada kesimpulan: graf persamaan ialah parabola (Rajah 40).
2) Setelah menulis semula persamaan kedua sistem dalam bentuk, kita sampai pada kesimpulan: graf persamaan ialah hiperbola (Rajah 40).

3) Parabola dan hiperbola bersilang pada titik A (Rajah 40). Berdasarkan model geometri yang dibina, titik A mempunyai koordinat A (1; 2). Menyemak menunjukkan bahawa sesungguhnya pasangan (1; 2) ialah penyelesaian kepada kedua-dua persamaan sistem, dan oleh itu penyelesaian kepada sistem persamaan. Akibatnya, sistem persamaan yang diberikan mempunyai satu penyelesaian: (1; 2).

Jawapan: (1; 2).

Kaedah grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan, seperti kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan, adalah cantik, tetapi tidak boleh dipercayai: pertama, kerana kita tidak akan sentiasa dapat membina graf persamaan; kedua, walaupun mungkin untuk membina graf persamaan, titik persilangan mungkin tidak "baik" seperti dalam contoh 6 dan 7 yang dipilih khas, malah mungkin berada di luar sempadan lukisan. Ini bermakna kita perlu mempunyai kaedah algebra yang boleh dipercayai untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dalam dua pembolehubah. Ini akan dibincangkan dalam perenggan seterusnya.

A.G. Algebra Mordkovich gred 9

Bahan matematik dalam talian, masalah dan jawapan mengikut gred, rancangan pelajaran matematik

Pendekatan penulis terhadap topik ini bukanlah secara kebetulan. Persamaan dengan dua pembolehubah pertama kali ditemui dalam kursus gred 7. Satu persamaan dengan dua pembolehubah mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Ini jelas ditunjukkan oleh graf fungsi linear, diberikan sebagai ax + by=c. Dalam kursus sekolah, pelajar mempelajari sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah. Akibatnya, keseluruhan siri masalah dengan syarat terhad pada pekali persamaan, serta kaedah untuk menyelesaikannya, hilang dari pandangan guru dan, oleh itu, pelajar.

Kita bercakap tentang menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam integer atau nombor asli.

Di sekolah, nombor asli dan integer dipelajari dalam gred 4-6. Pada masa mereka lulus dari sekolah, tidak semua pelajar mengingati perbezaan antara set nombor ini.

Walau bagaimanapun, masalah seperti "selesaikan persamaan bentuk ax + by=c dalam integer" semakin banyak ditemui pada peperiksaan kemasukan ke universiti dan dalam bahan Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Menyelesaikan persamaan yang tidak pasti membangunkan pemikiran logik, kecerdasan, dan perhatian kepada analisis.

Saya mencadangkan membangunkan beberapa pelajaran mengenai topik ini. Saya tidak mempunyai cadangan yang jelas tentang masa pelajaran ini. Sesetengah elemen juga boleh digunakan dalam gred 7 (untuk kelas yang kuat). Pelajaran ini boleh diambil sebagai asas dan membangunkan kursus elektif kecil mengenai latihan pra vokasional dalam gred 9. Dan, sudah tentu, bahan ini boleh digunakan dalam gred 10-11 untuk persediaan menghadapi peperiksaan.

Objektif pelajaran:

• pengulangan dan generalisasi pengetahuan mengenai topik "Persamaan tertib pertama dan kedua"
• memupuk minat kognitif dalam mata pelajaran akademik
• membangunkan keupayaan untuk menganalisis, membuat generalisasi, memindahkan pengetahuan kepada situasi baru

Pelajaran 1.

Kemajuan pelajaran.

1) Org. seketika.

2) Mengemas kini pengetahuan asas.

Definisi. Persamaan linear dalam dua pembolehubah ialah persamaan bentuk

mx + ny = k, dengan m, n, k ialah nombor, x, y ialah pembolehubah.

Contoh: 5x+2y=10

Definisi. Penyelesaian kepada persamaan dengan dua pembolehubah ialah sepasang nilai pembolehubah yang mengubah persamaan menjadi kesamaan sebenar.

Persamaan dengan dua pembolehubah yang mempunyai penyelesaian yang sama dipanggil setara.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Persamaan ini boleh mempunyai sebarang bilangan penyelesaian. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil sebarang nilai x dan mencari nilai y yang sepadan.

Biarkan x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

Pasangan nombor (2;1); (4;-4) – penyelesaian kepada persamaan (1).

Persamaan ini mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

3) Latar belakang sejarah

Persamaan tak tentu (Diophantine) ialah persamaan yang mengandungi lebih daripada satu pembolehubah.

Pada abad ke-3. AD – Diophantus dari Alexandria menulis "Aritmetik", di mana dia mengembangkan set nombor kepada yang rasional dan memperkenalkan simbolisme algebra.

Diophantus juga mempertimbangkan masalah menyelesaikan persamaan tak tentu dan dia memberi kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak tentu darjah kedua dan ketiga.

4) Mempelajari bahan baharu.

Definisi: Persamaan Diophantine tak homogen tertib pertama dengan dua x yang tidak diketahui, y ialah persamaan dalam bentuk mx + ny = k, dengan m, n, k, x, y Z k0

Pernyataan 1.

Jika sebutan bebas k dalam persamaan (1) tidak boleh dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar (GCD) bagi nombor m dan n, maka persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian integer.

Contoh: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 tidak boleh dibahagi sama rata dengan 17, tiada penyelesaian dalam integer.

Biarkan k dibahagikan dengan gcd (m, n). Dengan membahagikan semua pekali, kita boleh memastikan bahawa m dan n menjadi relatif perdana.

Kenyataan 2.

Jika m dan n persamaan (1) adalah nombor perdana secara relatif, maka persamaan ini mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Pernyataan 3.

Jika pekali m dan n persamaan (1) ialah nombor koprima, maka persamaan ini mempunyai banyak penyelesaian tak terhingga:

Di mana (; ) ialah sebarang penyelesaian kepada persamaan (1), t Z

Definisi. Persamaan Diophantine homogen tertib pertama dengan dua x yang tidak diketahui, y ialah persamaan dalam bentuk mx + ny = 0, di mana (2)

Kenyataan 4.

Jika m dan n ialah nombor koprima, maka sebarang penyelesaian kepada persamaan (2) mempunyai bentuk

5) Kerja rumah. Selesaikan persamaan dalam nombor bulat:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Beberapa kanak-kanak sedang memetik epal. Setiap lelaki mengumpul 21 kg, dan perempuan mengumpul 15 kg. Secara keseluruhan mereka mengumpul 174 kg. Berapa ramai lelaki dan berapa ramai perempuan yang memetik epal?

Komen. Pelajaran ini tidak menyediakan contoh penyelesaian persamaan dalam integer. Oleh itu, kanak-kanak menyelesaikan kerja rumah berdasarkan pernyataan 1 dan pemilihan.

Pelajaran 2.

1) Momen organisasi

2) Menyemak kerja rumah

1) 9x – 18y = 5

5 tidak boleh dibahagikan dengan 9; tidak ada penyelesaian dalam nombor bulat.

Menggunakan kaedah pemilihan anda boleh mencari penyelesaian

Jawapan: (0;0), (2;2)

3) Mari kita buat persamaan:

Biarkan lelaki itu ialah x, x Z, dan perempuan y, y Z, maka kita boleh mencipta persamaan 21x + 15y = 174

Ramai pelajar, setelah menulis persamaan, tidak akan dapat menyelesaikannya.

Jawapan: 4 lelaki, 6 perempuan.

3) Mempelajari bahan baharu

Setelah menghadapi kesukaran dalam menyiapkan kerja rumah, pelajar yakin tentang keperluan untuk mempelajari kaedah mereka untuk menyelesaikan persamaan yang tidak pasti. Mari lihat sebahagian daripada mereka.

I. Kaedah untuk mempertimbangkan baki bahagian.

Contoh. Selesaikan persamaan dalam nombor bulat 3x – 4y = 1.

Bahagian kiri persamaan boleh dibahagikan dengan 3, oleh itu bahagian kanan mesti boleh dibahagikan. Mari kita pertimbangkan tiga kes.

Jawapan: di mana m Z.

Kaedah yang diterangkan mudah digunakan jika nombor m dan n tidak kecil, tetapi boleh diuraikan kepada faktor mudah.

Contoh: Selesaikan persamaan dalam nombor bulat.

Biarkan y = 4n, kemudian 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dibahagikan dengan 4.

y = 4n+1, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n tidak boleh dibahagikan dengan 4.

y = 4n+2, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n tidak boleh dibahagikan dengan 4.

y = 4n+3, maka 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n tidak boleh dibahagikan dengan 4.

Oleh itu y = 4n, maka

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Jawapan: , di mana n Z.

II. Persamaan tidak pasti darjah ke-2

Hari ini dalam pelajaran kita hanya akan menyentuh penyelesaian persamaan Diophantine tertib kedua.

Dan daripada semua jenis persamaan, kita akan mempertimbangkan kes apabila kita boleh menggunakan formula perbezaan kuasa dua atau kaedah pemfaktoran lain.

Contoh: Selesaikan persamaan dalam nombor bulat.

13 ialah nombor perdana, jadi ia hanya boleh difaktorkan dalam empat cara: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Mari kita pertimbangkan kes-kes ini

Jawapan: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Kerja rumah.

Contoh. Selesaikan persamaan dalam nombor bulat:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	tidak sesuai	tidak sesuai
2x = -4	tidak sesuai	tidak sesuai
x = -2
y = 0

Jawapan: (-2;0), (2;0).

Jawapan: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Jawapan: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Keputusan. Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan dalam nombor bulat?

Apakah kaedah untuk menyelesaikan persamaan tidak pasti yang anda tahu?

Permohonan:

Latihan untuk latihan.

1) Selesaikan dalam nombor bulat.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Cari penyelesaian integer bukan negatif kepada persamaan:

Penyelesaian:Z (2; -1)

kesusasteraan.

1. Ensiklopedia kanak-kanak "Pedagogi", Moscow, 1972.
2. Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO "Sains", Novosibirsk, 1992
3. Masalah persaingan berdasarkan teori nombor.
4. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moscow, 2005.
5. Masalah peningkatan kesukaran dalam kursus algebra untuk gred 7-9. N.P. Kosrykina. "Pencerahan", Moscow, 1991