Nilai purata merujuk kepada penunjuk statistik umum yang menyediakan ringkasan (akhir) ciri fenomena sosial massa, kerana ia dibina berdasarkan sejumlah besar nilai individu dengan ciri yang berbeza-beza. Untuk menjelaskan intipati nilai purata, adalah perlu untuk mempertimbangkan keanehan pembentukan nilai-nilai tanda-tanda fenomena tersebut, mengikut data yang mana nilai purata dikira.

Adalah diketahui bahawa unit setiap fenomena jisim mempunyai banyak ciri. Mana-mana ciri ini yang kita ambil, nilainya akan berbeza untuk unit individu, atau, seperti yang mereka katakan dalam statistik, berbeza dari satu unit ke unit yang lain. Sebagai contoh, gaji pekerja ditentukan oleh kelayakannya, sifat kerja, tempoh perkhidmatan dan beberapa faktor lain, dan oleh itu berbeza dalam had yang sangat luas. Pengaruh gabungan semua faktor menentukan jumlah pendapatan setiap pekerja, bagaimanapun, kita boleh bercakap tentang purata gaji bulanan pekerja dalam sektor ekonomi yang berbeza. Di sini kami beroperasi dengan nilai ciri yang tipikal dengan ciri yang berbeza-beza, yang diperuntukkan kepada unit populasi yang besar.

Nilai purata mencerminkannya umum, yang tipikal untuk semua unit populasi yang dikaji. Pada masa yang sama, ia mengimbangi pengaruh semua faktor yang bertindak ke atas nilai ciri unit individu populasi, seolah-olah saling memadamkannya. Tahap (atau saiz) mana-mana fenomena sosial ditentukan oleh tindakan dua kumpulan faktor. Sebahagian daripadanya adalah umum dan utama, sentiasa beroperasi, berkait rapat dengan sifat fenomena atau proses yang dikaji, dan membentuk tipikal untuk semua unit populasi yang dikaji, yang ditunjukkan dalam nilai purata. Yang lain adalah individu, tindakan mereka kurang ketara dan bersifat episodik, rawak. Mereka bertindak dalam arah yang bertentangan, menyebabkan perbezaan antara ciri kuantitatif unit individu populasi, cuba mengubah nilai malar ciri yang sedang dikaji. Kesan ciri individu dipadamkan dalam nilai purata. Dalam pengaruh gabungan faktor tipikal dan individu, yang seimbang dan saling dibatalkan dalam ciri umum, prinsip asas yang diketahui daripada statistik matematik dimanifestasikan dalam bentuk umum. hukum bilangan besar.

Dalam agregat, nilai individu ciri bergabung menjadi jisim biasa dan, seolah-olah, larut. Oleh itu nilai purata bertindak sebagai "tidak peribadi", yang boleh menyimpang daripada nilai-nilai individu ciri-ciri tanpa bertepatan secara kuantitatif dengan mana-mana daripada mereka. Nilai purata mencerminkan umum, ciri dan tipikal untuk keseluruhan populasi disebabkan oleh pembatalan bersama rawak, perbezaan atipikal di dalamnya antara ciri-ciri unit individunya, kerana nilainya ditentukan seolah-olah oleh paduan sepunya semua sebab.

Walau bagaimanapun, agar nilai purata mencerminkan nilai paling tipikal bagi sesuatu ciri, ia tidak seharusnya ditentukan untuk mana-mana populasi, tetapi hanya untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif. Keperluan ini adalah syarat utama untuk penggunaan nilai purata berasaskan saintifik dan membayangkan hubungan rapat antara kaedah nilai purata dan kaedah pengelompokan dalam analisis fenomena sosio-ekonomi. Akibatnya, nilai purata ialah penunjuk umum yang mencirikan tahap tipikal ciri yang berbeza-beza bagi setiap unit populasi homogen di bawah keadaan tempat dan masa tertentu.

Dalam mentakrifkan intipati nilai purata, adalah perlu untuk menekankan bahawa pengiraan yang betul bagi sebarang nilai purata mengandaikan pemenuhan keperluan berikut:

• kehomogenan kualitatif populasi dari mana nilai purata dikira. Ini bermakna pengiraan nilai purata hendaklah berdasarkan kaedah pengelompokan, yang memastikan pengenalpastian homogen, fenomena serupa;
• tidak termasuk pengaruh rawak, punca dan faktor individu semata-mata pada pengiraan nilai purata. Ini dicapai dalam kes apabila pengiraan purata adalah berdasarkan bahan yang cukup besar di mana tindakan undang-undang bilangan besar ditunjukkan, dan semua rawak dibatalkan;
• Apabila mengira nilai purata, adalah penting untuk mewujudkan tujuan pengiraannya dan apa yang dipanggil penunjuk yang menentukan(harta) yang sepatutnya diorientasikan.

Penunjuk penentu boleh bertindak sebagai jumlah nilai ciri yang dipuratakan, jumlah nilai songsangnya, hasil darab nilainya, dsb. Hubungan antara penunjuk penentu dan nilai purata dinyatakan dalam perkara berikut: jika semua nilai ciri yang dipuratakan digantikan dengan nilai purata, maka jumlah atau hasil keluarannya dalam kes ini tidak akan mengubah penunjuk penentu. Berdasarkan hubungan antara penunjuk penentu dan nilai purata ini, hubungan kuantitatif awal dibina untuk pengiraan langsung nilai purata. Keupayaan nilai purata untuk mengekalkan sifat populasi statistik dipanggil mendefinisikan harta.

Nilai purata yang dikira untuk populasi secara keseluruhan dipanggil purata am; nilai purata dikira untuk setiap kumpulan - purata kumpulan. Purata umum mencerminkan ciri umum fenomena yang dikaji, purata kumpulan memberikan ciri fenomena yang berkembang di bawah keadaan khusus kumpulan tertentu.

Kaedah pengiraan mungkin berbeza, oleh itu dalam statistik terdapat beberapa jenis purata, yang utama ialah min aritmetik, min harmonik dan min geometri.

Dalam analisis ekonomi, penggunaan purata adalah alat utama untuk menilai hasil kemajuan saintifik dan teknologi, peristiwa sosial, dan mencari rizab untuk pembangunan ekonomi. Pada masa yang sama, harus diingat bahawa pergantungan yang berlebihan pada penunjuk purata boleh membawa kepada kesimpulan berat sebelah apabila menjalankan analisis ekonomi dan statistik. Ini disebabkan oleh fakta bahawa nilai purata, sebagai penunjuk umum, memadamkan dan mengabaikan perbezaan dalam ciri kuantitatif unit individu populasi yang sebenarnya wujud dan mungkin mempunyai kepentingan bebas.

Jenis-jenis purata

Dalam statistik, pelbagai jenis purata digunakan, yang dibahagikan kepada dua kelas besar:

• min kuasa (min harmonik, min geometri, min aritmetik, min kuadratik, min padu);
• cara struktur (mod, median).

Untuk mengira purata kuasa adalah perlu untuk menggunakan semua nilai ciri yang ada. Fesyen Dan median ditentukan hanya oleh struktur taburan, oleh itu ia dipanggil struktur, purata kedudukan. Median dan mod sering digunakan sebagai ciri purata dalam populasi tersebut di mana pengiraan min kuasa adalah mustahil atau tidak praktikal.

Jenis purata yang paling biasa ialah min aritmetik. Di bawah min aritmetik difahami sebagai nilai ciri yang akan dimiliki oleh setiap unit populasi jika jumlah keseluruhan semua nilai ciri itu diagihkan sama rata di antara semua unit populasi. Pengiraan nilai ini turun kepada menjumlahkan semua nilai ciri yang berbeza-beza dan membahagikan jumlah yang terhasil dengan jumlah unit dalam populasi. Sebagai contoh, lima pekerja memenuhi pesanan untuk pengeluaran bahagian, manakala yang pertama menghasilkan 5 bahagian, yang kedua - 7, yang ketiga - 4, yang keempat - 10, yang kelima - 12. Oleh kerana dalam data sumber nilai setiap pilihan berlaku sekali sahaja, untuk menentukan output purata seorang pekerja harus menggunakan formula purata aritmetik mudah:

iaitu dalam contoh kita, purata keluaran seorang pekerja adalah sama dengan

Bersama-sama dengan min aritmetik yang mudah, mereka belajar purata aritmetik berwajaran. Sebagai contoh, mari kita hitung purata umur pelajar dalam kumpulan 20 orang, yang umurnya antara 18 hingga 22 tahun, di mana xi- varian ciri yang dipuratakan, fi- kekerapan, yang menunjukkan berapa kali ia berlaku i-th nilai dalam agregat (Jadual 5.1).

Jadual 5.1

Purata umur pelajar

Menggunakan formula min aritmetik berwajaran, kita mendapat:

Terdapat peraturan tertentu untuk memilih min aritmetik berwajaran: jika terdapat satu siri data pada dua penunjuk, untuk satu daripadanya anda perlu mengira

nilai purata, dan pada masa yang sama nilai berangka penyebut formula logiknya diketahui, dan nilai pengangka tidak diketahui, tetapi boleh didapati sebagai hasil daripada penunjuk ini, maka nilai purata harus dikira menggunakan formula purata wajaran aritmetik.

Dalam sesetengah kes, sifat data statistik awal adalah sedemikian rupa sehingga pengiraan purata aritmetik kehilangan maknanya dan satu-satunya penunjuk umum hanya boleh menjadi jenis purata lain - min harmonik. Pada masa ini, sifat pengiraan min aritmetik telah kehilangan kaitannya dalam pengiraan penunjuk statistik umum disebabkan oleh pengenalan meluas teknologi pengkomputeran elektronik. Nilai min harmonik, yang juga boleh ringkas dan berwajaran, telah memperoleh kepentingan praktikal yang besar. Jika nilai berangka pengangka formula logik diketahui, dan nilai penyebut tidak diketahui, tetapi boleh didapati sebagai pembahagian separa satu penunjuk dengan penunjuk lain, maka nilai purata dikira menggunakan harmonik. formula purata wajaran.

Sebagai contoh, hendaklah diketahui bahawa kereta itu menempuh 210 km pertama pada kelajuan 70 km/j, dan baki 150 km pada kelajuan 75 km/j. Adalah mustahil untuk menentukan purata kelajuan kereta sepanjang perjalanan sejauh 360 km menggunakan formula purata aritmetik. Oleh kerana pilihan adalah kelajuan dalam bahagian individu xj= 70 km/j dan X2= 75 km/j, dan pemberat (fi) dianggap sebagai bahagian laluan yang sepadan, maka produk pilihan dan pemberat tidak akan mempunyai makna fizikal mahupun ekonomi. Dalam kes ini, hasil bagi memperoleh makna daripada membahagikan bahagian laluan kepada kelajuan yang sepadan (pilihan xi), iaitu, masa yang dihabiskan untuk melepasi bahagian individu laluan (fi / xi). Jika segmen laluan dilambangkan dengan fi, maka keseluruhan laluan dinyatakan sebagai Σfi, dan masa yang dihabiskan pada keseluruhan laluan dinyatakan sebagai Σ fi / xi , Kemudian kelajuan purata boleh didapati sebagai hasil bagi keseluruhan laluan dibahagikan dengan jumlah masa yang dibelanjakan:

Dalam contoh kami, kami mendapat:

Jika, apabila menggunakan min harmonik, pemberat semua pilihan (f) adalah sama, maka bukannya wajaran anda boleh gunakan min harmonik mudah (tidak berwajaran):

di mana xi ialah pilihan individu; n- bilangan varian ciri purata. Dalam contoh kelajuan, min harmonik mudah boleh digunakan jika segmen laluan yang dilalui pada kelajuan yang berbeza adalah sama.

Sebarang nilai purata mesti dikira supaya apabila ia menggantikan setiap variasi ciri purata, nilai beberapa penunjuk am muktamad yang dikaitkan dengan penunjuk purata tidak berubah. Oleh itu, apabila menggantikan kelajuan sebenar pada bahagian individu laluan dengan nilai puratanya (kelajuan purata), jumlah jarak tidak seharusnya berubah.

Bentuk (formula) nilai purata ditentukan oleh sifat (mekanisme) hubungan penunjuk akhir ini dengan purata, oleh itu penunjuk akhir, yang nilainya tidak boleh berubah apabila menggantikan pilihan dengan nilai puratanya, adalah dipanggil penunjuk yang menentukan. Untuk mendapatkan formula purata, anda perlu mencipta dan menyelesaikan persamaan menggunakan hubungan antara penunjuk purata dan penunjuk penentu. Persamaan ini dibina dengan menggantikan varian ciri (penunjuk) yang dipuratakan dengan nilai puratanya.

Sebagai tambahan kepada min aritmetik dan min harmonik, jenis (bentuk) min yang lain digunakan dalam statistik. Mereka semua adalah kes khas purata kuasa. Jika kita mengira semua jenis purata kuasa untuk data yang sama, maka nilainya

mereka akan berubah menjadi sama, peraturan itu terpakai di sini kadar major purata. Apabila eksponen purata meningkat, nilai purata itu sendiri meningkat. Formula yang paling kerap digunakan untuk mengira pelbagai jenis purata kuasa dalam penyelidikan praktikal dibentangkan dalam Jadual. 5.2.

Jadual 5.2

Purata geometri digunakan apabila ada n pekali pertumbuhan, manakala nilai individu ciri adalah, sebagai peraturan, nilai dinamik relatif, dibina dalam bentuk nilai rantai, sebagai nisbah kepada tahap sebelumnya setiap peringkat dalam siri dinamik. Oleh itu, purata mencirikan kadar pertumbuhan purata. Purata geometri mudah dikira dengan formula

Formula min geometri berwajaran mempunyai bentuk berikut:

Formula di atas adalah sama, tetapi satu digunakan pada pekali semasa atau kadar pertumbuhan, dan yang kedua - pada nilai mutlak tahap siri.

Min segi empat sama digunakan dalam pengiraan dengan nilai fungsi kuadratik, digunakan untuk mengukur tahap turun naik nilai individu sesuatu ciri di sekitar min aritmetik dalam siri taburan dan dikira dengan formula

Wajaran min kuasa dua dikira menggunakan formula lain:

Purata kubik digunakan dalam pengiraan dengan nilai fungsi padu dan dikira menggunakan formula

purata padu wajaran:

Semua nilai purata yang dibincangkan di atas boleh dibentangkan sebagai formula umum:

di manakah nilai purata; - makna individu; n- bilangan unit populasi yang sedang dikaji; k- eksponen yang menentukan jenis purata.

Apabila menggunakan data sumber yang sama, lebih banyak k dalam formula purata kuasa am, semakin besar nilai purata. Ia berikutan daripada ini bahawa terdapat hubungan semula jadi antara nilai purata kuasa:

Nilai purata yang diterangkan di atas memberikan gambaran umum tentang populasi yang dikaji, dan dari sudut pandangan ini, kepentingan teori, gunaan dan pendidikan mereka tidak dapat dipertikaikan. Tetapi ia berlaku bahawa nilai purata tidak bertepatan dengan mana-mana pilihan yang sebenarnya sedia ada, oleh itu, sebagai tambahan kepada purata yang dipertimbangkan, dalam analisis statistik adalah dinasihatkan untuk menggunakan nilai pilihan tertentu yang menduduki kedudukan yang sangat spesifik dalam tersusun (berperingkat) siri nilai atribut. Antara kuantiti ini, yang paling biasa digunakan ialah struktur, atau deskriptif, purata- mod (Mo) dan median (Me).

Fesyen- nilai ciri yang paling kerap ditemui dalam populasi tertentu. Berhubung dengan siri variasi, mod ialah nilai yang paling kerap berlaku bagi siri kedudukan, iaitu, pilihan dengan kekerapan tertinggi. Fesyen boleh digunakan dalam menentukan kedai yang dikunjungi lebih kerap, harga yang paling biasa untuk mana-mana produk. Ia menunjukkan saiz ciri ciri sebahagian besar populasi dan ditentukan oleh formula

di mana x0 ialah had bawah selang; h- saiz selang; fm- kekerapan selang; fm_ 1 - kekerapan selang sebelumnya; fm+ 1 - kekerapan selang seterusnya.

Median pilihan yang terletak di tengah-tengah baris kedudukan dipanggil. Median membahagikan siri itu kepada dua bahagian yang sama sedemikian rupa sehingga terdapat bilangan unit populasi yang sama pada kedua-dua belahnya. Dalam kes ini, separuh daripada unit dalam populasi mempunyai nilai ciri yang berbeza-beza kurang daripada median, manakala separuh lagi mempunyai nilai yang lebih besar daripadanya. Median digunakan apabila mengkaji unsur yang nilainya lebih besar daripada atau sama dengan, atau pada masa yang sama kurang daripada atau sama dengan, separuh daripada unsur siri taburan. Median memberikan gambaran umum di mana nilai atribut tertumpu, dengan kata lain, di mana pusatnya.

Sifat deskriptif median ditunjukkan dalam fakta bahawa ia mencirikan had kuantitatif nilai-nilai ciri yang berbeza-beza yang dimiliki oleh separuh daripada unit dalam populasi. Masalah mencari median bagi siri variasi diskret mudah diselesaikan. Jika semua unit siri diberi nombor siri, maka nombor siri pilihan median ditentukan sebagai (n + 1) / 2 dengan bilangan ahli n yang ganjil Jika bilangan ahli siri itu ialah nombor genap , maka median akan menjadi nilai purata dua pilihan yang mempunyai nombor siri n/ 2 dan n / 2 + 1.

Apabila menentukan median dalam siri variasi selang, mula-mula tentukan selang di mana ia berada (selang median). Selang ini dicirikan oleh fakta bahawa jumlah frekuensi terkumpulnya adalah sama atau melebihi separuh daripada jumlah semua frekuensi siri. Median bagi siri variasi selang dikira menggunakan formula

di mana X0- had bawah selang; h- saiz selang; fm- kekerapan selang; f- bilangan ahli siri;

∫m-1 ialah hasil tambah sebutan terkumpul bagi siri sebelum yang diberi.

Bersama-sama dengan median, untuk mencirikan struktur populasi yang dikaji dengan lebih lengkap, nilai pilihan lain yang menduduki kedudukan yang sangat spesifik dalam siri kedudukan juga digunakan. Ini termasuk kuartil Dan desil. Kuartil membahagikan siri mengikut jumlah frekuensi kepada 4 bahagian yang sama, dan desil - kepada 10 bahagian yang sama. Terdapat tiga kuartil dan sembilan desil.

Median dan mod, tidak seperti min aritmetik, tidak menyekat perbezaan individu dalam nilai ciri pembolehubah dan oleh itu merupakan ciri tambahan dan sangat penting bagi populasi statistik. Dalam amalan, mereka sering digunakan dan bukannya purata atau bersama-sama dengannya. Adalah dinasihatkan terutamanya untuk mengira median dan mod dalam kes di mana populasi yang dikaji mengandungi bilangan unit tertentu dengan nilai yang sangat besar atau sangat kecil dengan ciri yang berbeza-beza. Nilai-nilai pilihan ini, yang tidak begitu bercirikan populasi, sambil mempengaruhi nilai min aritmetik, tidak menjejaskan nilai median dan mod, yang menjadikan penunjuk yang terakhir sangat berharga untuk ekonomi dan statistik. analisis.

Penunjuk variasi

Tujuan penyelidikan statistik adalah untuk mengenal pasti sifat asas dan corak populasi statistik yang dikaji. Dalam proses pemprosesan ringkasan data pemerhatian statistik, mereka membina siri pengedaran. Terdapat dua jenis siri pengedaran - atribut dan variasi, bergantung kepada sama ada ciri yang diambil sebagai asas untuk pengelompokan adalah kualitatif atau kuantitatif.

Variasi dipanggil siri pengedaran yang dibina secara kuantitatif. Nilai ciri kuantitatif dalam unit individu populasi tidak tetap, mereka berbeza lebih kurang antara satu sama lain. Perbezaan dalam nilai ciri ini dipanggil variasi. Nilai berangka individu bagi ciri yang terdapat dalam populasi yang dikaji dipanggil varian nilai. Kehadiran variasi dalam unit individu populasi adalah disebabkan oleh pengaruh sejumlah besar faktor terhadap pembentukan tahap sifat. Kajian tentang sifat dan darjah variasi ciri dalam unit individu populasi adalah isu paling penting dalam mana-mana penyelidikan statistik. Indeks variasi digunakan untuk menerangkan ukuran kebolehubahan sifat.

Satu lagi tugas penting penyelidikan statistik adalah untuk menentukan peranan faktor individu atau kumpulan mereka dalam variasi ciri tertentu populasi. Untuk menyelesaikan masalah ini, statistik menggunakan kaedah khas untuk mengkaji variasi, berdasarkan penggunaan sistem penunjuk yang variasi diukur. Dalam amalan, seorang penyelidik berhadapan dengan sejumlah besar varian nilai atribut, yang tidak memberikan gambaran tentang pengagihan unit mengikut nilai atribut dalam agregat. Untuk melakukan ini, susun semua varian nilai ciri dalam susunan menaik atau menurun. Proses ini dipanggil ranking siri. Siri berperingkat serta-merta memberikan gambaran umum tentang nilai yang diambil oleh ciri itu dalam agregat.

Ketidakcukupan nilai purata untuk penerangan lengkap populasi memaksa kita untuk menambah nilai purata dengan penunjuk yang membolehkan kita menilai tipikal purata ini dengan mengukur kebolehubahan (variasi) ciri yang dikaji. Penggunaan penunjuk variasi ini memungkinkan untuk membuat analisis statistik lebih lengkap dan bermakna dan seterusnya memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang intipati fenomena sosial yang dikaji.

Tanda-tanda variasi yang paling mudah ialah minimum Dan maksimum - ini ialah nilai terkecil dan terbesar bagi atribut dalam agregat. Bilangan pengulangan varian individu nilai ciri dipanggil kekerapan ulangan. Mari kita nyatakan kekerapan pengulangan nilai atribut fi, jumlah frekuensi yang sama dengan isipadu populasi yang dikaji ialah:

di mana k- bilangan pilihan untuk nilai atribut. Ia adalah mudah untuk menggantikan frekuensi dengan frekuensi - wi. Kekerapan- penunjuk frekuensi relatif - boleh dinyatakan dalam pecahan unit atau peratusan dan membolehkan anda membandingkan siri variasi dengan bilangan cerapan yang berbeza. Secara rasmi kami mempunyai:

Untuk mengukur variasi sesuatu ciri, pelbagai penunjuk mutlak dan relatif digunakan. Penunjuk mutlak variasi termasuk sisihan linear min, julat variasi, serakan dan sisihan piawai.

Julat variasi(R) mewakili perbezaan antara nilai maksimum dan minimum atribut dalam populasi yang dikaji: R= Xmax - Xmin. Penunjuk ini hanya memberikan idea paling umum tentang kebolehubahan ciri yang sedang dikaji, kerana ia hanya menunjukkan perbezaan antara nilai maksimum pilihan. Ia sama sekali tidak berkaitan dengan frekuensi dalam siri variasi, iaitu, dengan sifat pengedaran, dan pergantungannya boleh memberikannya watak rawak yang tidak stabil hanya pada nilai ekstrem ciri tersebut. Julat variasi tidak memberikan sebarang maklumat tentang ciri-ciri populasi yang dikaji dan tidak membenarkan kami menilai tahap tipikal nilai purata yang diperolehi. Skop penggunaan penunjuk ini terhad kepada populasi yang agak homogen, lebih tepat lagi, variasi ciri dicirikan oleh penunjuk berdasarkan mengambil kira kebolehubahan semua nilai ciri.

Untuk mencirikan variasi ciri, adalah perlu untuk menyamaratakan sisihan semua nilai daripada sebarang nilai biasa untuk populasi yang dikaji. Penunjuk sedemikian

variasi, seperti sisihan linear purata, serakan dan sisihan piawai, adalah berdasarkan mempertimbangkan sisihan nilai ciri unit individu populasi daripada min aritmetik.

Sisihan linear purata mewakili min aritmetik bagi nilai mutlak sisihan pilihan individu daripada min aritmetik mereka:

Nilai mutlak (modulus) sisihan varian daripada min aritmetik; f- kekerapan.

Formula pertama digunakan jika setiap pilihan berlaku dalam agregat sekali sahaja, dan yang kedua - dalam siri dengan frekuensi yang tidak sama rata.

Terdapat satu lagi cara untuk membuat purata sisihan pilihan daripada min aritmetik. Kaedah ini, yang sangat biasa dalam statistik, bermula untuk mengira sisihan kuasa dua pilihan daripada nilai purata dengan purata berikutnya. Dalam kes ini, kami memperoleh penunjuk variasi baharu - penyebaran.

Penyerakan(σ 2) - purata sisihan kuasa dua pilihan nilai atribut daripada nilai puratanya:

Formula kedua digunakan jika pilihan mempunyai pemberatnya sendiri (atau frekuensi siri variasi).

Dalam analisis ekonomi dan statistik, adalah lazim untuk menilai variasi ciri paling kerap menggunakan sisihan piawai. Sisihan piawai(σ) ialah punca kuasa dua varians:

Purata sisihan linear dan piawai menunjukkan berapa banyak nilai ciri turun naik secara purata antara unit populasi yang dikaji, dan dinyatakan dalam unit ukuran yang sama seperti pilihan.

Dalam amalan statistik, selalunya terdapat keperluan untuk membandingkan variasi ciri yang berbeza. Sebagai contoh, adalah sangat menarik untuk membandingkan variasi dalam umur kakitangan dan kelayakan mereka, tempoh perkhidmatan dan gaji, dsb. Untuk perbandingan sedemikian, penunjuk kebolehubahan mutlak ciri - purata linear dan sisihan piawai - tidak sesuai. Sebenarnya, mustahil untuk membandingkan turun naik tempoh perkhidmatan, dinyatakan dalam tahun, dengan turun naik gaji, dinyatakan dalam rubel dan kopecks.

Apabila membandingkan kebolehubahan pelbagai ciri bersama-sama, adalah mudah untuk menggunakan ukuran relatif variasi. Penunjuk ini dikira sebagai nisbah penunjuk mutlak kepada min aritmetik (atau median). Dengan menggunakan julat variasi, sisihan linear purata, dan sisihan piawai sebagai penunjuk mutlak variasi, penunjuk relatif kebolehubahan diperolehi:

Penunjuk kebolehubahan relatif yang paling biasa digunakan, mencirikan kehomogenan populasi. Populasi dianggap homogen jika pekali variasi tidak melebihi 33% untuk taburan hampir normal.

Ia hilang dalam mengira purata.

Purata maksudnya set nombor adalah sama dengan jumlah nombor S dibahagikan dengan nombor nombor ini. Iaitu, ternyata begitu purata maksudnya sama dengan: 19/4 = 4.75.

Sila ambil perhatian

Jika anda perlu mencari min geometri untuk hanya dua nombor, maka anda tidak memerlukan kalkulator kejuruteraan: anda boleh mengekstrak punca kedua (akar kuasa dua) sebarang nombor menggunakan kalkulator yang paling biasa.

Nasihat yang berguna

Berbeza dengan min aritmetik, min geometri tidak begitu dipengaruhi oleh sisihan besar dan turun naik antara nilai individu dalam set penunjuk yang dikaji.

Sumber:

• Kalkulator dalam talian yang mengira min geometri
• formula min geometri

Purata nilai ialah salah satu ciri set nombor. Mewakili nombor yang tidak boleh berada di luar julat yang ditentukan oleh nilai terbesar dan terkecil dalam set nombor tersebut. Purata nilai aritmetik ialah jenis purata yang paling biasa digunakan.

Arahan

Jumlahkan semua nombor dalam set dan bahagikannya dengan bilangan sebutan untuk mendapatkan min aritmetik. Bergantung pada syarat pengiraan tertentu, kadangkala lebih mudah untuk membahagikan setiap nombor dengan bilangan nilai dalam set dan menjumlahkan hasilnya.

Gunakan, sebagai contoh, disertakan dalam OS Windows jika tidak mungkin untuk mengira purata aritmetik dalam kepala anda. Anda boleh membukanya menggunakan dialog pelancaran program. Untuk melakukan ini, tekan kekunci panas WIN + R atau klik butang Mula dan pilih Jalankan dari menu utama. Kemudian taip calc dalam medan input dan tekan Enter atau klik butang OK. Perkara yang sama boleh dilakukan melalui menu utama - bukanya, pergi ke bahagian "Semua program" dan dalam bahagian "Standard" dan pilih baris "Kalkulator".

Masukkan semua nombor dalam set secara berurutan dengan menekan kekunci Tambah selepas setiap satu daripada mereka (kecuali yang terakhir) atau mengklik butang yang sepadan dalam antara muka kalkulator. Anda juga boleh memasukkan nombor sama ada dari papan kekunci atau dengan mengklik butang antara muka yang sepadan.

Tekan kekunci slash atau klik ini dalam antara muka kalkulator selepas memasukkan nilai set terakhir dan taipkan bilangan nombor dalam urutan. Kemudian tekan tanda sama dan kalkulator akan mengira dan memaparkan min aritmetik.

Anda boleh menggunakan editor hamparan Microsoft Excel untuk tujuan yang sama. Dalam kes ini, lancarkan editor dan masukkan semua nilai urutan nombor ke dalam sel bersebelahan. Jika, selepas memasukkan setiap nombor, anda menekan Enter atau kekunci anak panah ke bawah atau kanan, editor itu sendiri akan mengalihkan fokus input ke sel bersebelahan.

Klik sel di sebelah nombor terakhir yang dimasukkan jika anda tidak mahu melihat purata sahaja. Kembangkan menu lungsur turun sigma Greek (Σ) untuk arahan Edit pada tab Laman Utama. Pilih baris " Purata" dan editor akan memasukkan formula yang dikehendaki untuk mengira min aritmetik ke dalam sel yang dipilih. Tekan kekunci Enter dan nilai akan dikira.

Min aritmetik adalah salah satu ukuran kecenderungan memusat, digunakan secara meluas dalam pengiraan matematik dan statistik. Mencari purata aritmetik untuk beberapa nilai adalah sangat mudah, tetapi setiap tugas mempunyai nuansa tersendiri, yang hanya perlu diketahui untuk melakukan pengiraan yang betul.

Apakah maksud aritmetik

Min aritmetik menentukan nilai purata untuk keseluruhan tatasusunan nombor asal. Dalam erti kata lain, daripada set nombor tertentu nilai yang sama kepada semua elemen dipilih, perbandingan matematiknya dengan semua elemen adalah lebih kurang sama. Purata aritmetik digunakan terutamanya dalam penyediaan laporan kewangan dan statistik atau untuk mengira keputusan eksperimen yang serupa.

Bagaimana untuk mencari min aritmetik

Mencari min aritmetik untuk tatasusunan nombor harus dimulakan dengan menentukan jumlah algebra bagi nilai-nilai ini. Sebagai contoh, jika tatasusunan mengandungi nombor 23, 43, 10, 74 dan 34, maka jumlah algebranya akan sama dengan 184. Apabila menulis, min aritmetik dilambangkan dengan huruf μ (mu) atau x (x dengan a bar). Seterusnya, jumlah algebra hendaklah dibahagikan dengan bilangan nombor dalam tatasusunan. Dalam contoh yang dipertimbangkan terdapat lima nombor, jadi min aritmetik akan sama dengan 184/5 dan akan menjadi 36.8.

Ciri bekerja dengan nombor negatif

Jika tatasusunan mengandungi nombor negatif, maka min aritmetik didapati menggunakan algoritma yang serupa. Perbezaan hanya wujud apabila mengira dalam persekitaran pengaturcaraan, atau jika masalah mempunyai syarat tambahan. Dalam kes ini, mencari min aritmetik nombor dengan tanda yang berbeza datang kepada tiga langkah:

1. Mencari purata aritmetik am menggunakan kaedah piawai;
2. Mencari min aritmetik bagi nombor negatif.
3. Pengiraan min aritmetik bagi nombor positif.

Respons setiap tindakan ditulis dipisahkan dengan koma.

Pecahan semula jadi dan perpuluhan

Jika tatasusunan nombor diwakili oleh pecahan perpuluhan, penyelesaian dijalankan menggunakan kaedah pengiraan min aritmetik integer, tetapi hasilnya dikurangkan mengikut keperluan tugasan untuk ketepatan jawapan.

Apabila bekerja dengan pecahan semula jadi, ia harus dikurangkan kepada penyebut biasa, yang didarab dengan bilangan nombor dalam tatasusunan. Pengangka jawapan akan menjadi jumlah pengangka yang diberikan bagi unsur pecahan asal.

• Kalkulator kejuruteraan.

Arahan

Perlu diingat bahawa secara umum, min geometri bagi nombor ditemui dengan mendarab nombor ini dan mengambil punca kuasa daripadanya, yang sepadan dengan bilangan nombor. Sebagai contoh, jika anda perlu mencari min geometri bagi lima nombor, maka anda perlu mengekstrak punca kuasa daripada hasil darab.

Untuk mencari min geometri bagi dua nombor, gunakan peraturan asas. Cari hasil darabnya, kemudian ambil punca kuasa duanya, kerana nombornya ialah dua, yang sepadan dengan kuasa punca. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 16 dan 4, cari hasil darabnya 16 4=64. Daripada nombor yang terhasil, ekstrak punca kuasa dua √64=8. Ini akan menjadi nilai yang dikehendaki. Sila ambil perhatian bahawa min aritmetik kedua-dua nombor ini adalah lebih besar daripada dan sama dengan 10. Jika keseluruhan punca tidak diekstrak, bulatkan hasilnya kepada susunan yang dikehendaki.

Untuk mencari min geometri bagi lebih daripada dua nombor, gunakan juga peraturan asas. Untuk melakukan ini, cari hasil darab semua nombor yang anda perlukan untuk mencari min geometri. Daripada produk yang terhasil, ekstrak punca kuasa yang sama dengan bilangan nombor. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 2, 4, dan 64, cari hasil darabnya. 2 4 64=512. Oleh kerana anda perlu mencari hasil min geometri bagi tiga nombor, ambil punca ketiga hasil darab. Sukar untuk melakukan ini secara lisan, jadi gunakan kalkulator kejuruteraan. Untuk tujuan ini ia mempunyai butang "x^y". Dail nombor 512, tekan butang "x^y", kemudian dail nombor 3 dan tekan butang "1/x", untuk mencari nilai 1/3, tekan butang "=". Kami mendapat hasil menaikkan 512 kepada kuasa 1/3, yang sepadan dengan punca ketiga. Dapatkan 512^1/3=8. Ini ialah min geometri bagi nombor 2.4 dan 64.

Menggunakan kalkulator kejuruteraan, anda boleh mencari min geometri dengan cara lain. Cari butang log pada papan kekunci anda. Selepas itu, ambil logaritma bagi setiap nombor, cari jumlahnya dan bahagikannya dengan bilangan nombor. Ambil antilogaritma daripada nombor yang terhasil. Ini akan menjadi min geometri bagi nombor. Contohnya, untuk mencari min geometri bagi nombor 2, 4 dan 64 yang sama, lakukan satu set operasi pada kalkulator. Dail nombor 2, kemudian tekan butang log, tekan butang "+", dail nombor 4 dan tekan log dan "+" sekali lagi, dail 64, tekan log dan "=". Hasilnya ialah nombor yang sama dengan jumlah logaritma perpuluhan bagi nombor 2, 4 dan 64. Bahagikan nombor yang terhasil dengan 3, kerana ini ialah bilangan nombor yang mana min geometri dicari. Daripada hasilnya, ambil antilogaritma dengan menukar butang kes dan gunakan kekunci log yang sama. Hasilnya akan menjadi nombor 8, ini adalah min geometri yang dikehendaki.

Untuk mencari nilai purata dalam Excel (tidak kira sama ada ia adalah angka, teks, peratusan atau nilai lain), terdapat banyak fungsi. Dan setiap daripada mereka mempunyai ciri dan kelebihan tersendiri. Sesungguhnya, dalam tugas ini syarat-syarat tertentu mungkin ditetapkan.

Sebagai contoh, nilai purata siri nombor dalam Excel dikira menggunakan fungsi statistik. Anda juga boleh memasukkan formula anda sendiri secara manual. Mari kita pertimbangkan pelbagai pilihan.

Bagaimana untuk mencari min aritmetik nombor?

Untuk mencari min aritmetik, anda perlu menjumlahkan semua nombor dalam set dan membahagikan hasil tambah dengan kuantiti. Sebagai contoh, gred pelajar dalam sains komputer: 3, 4, 3, 5, 5. Apa yang termasuk dalam suku: 4. Kami mendapati min aritmetik menggunakan formula: =(3+4+3+5+5) /5.

Bagaimana untuk melakukan ini dengan cepat menggunakan fungsi Excel? Mari kita ambil contoh satu siri nombor rawak dalam rentetan:

Atau: buat sel aktif dan hanya masukkan formula secara manual: =AVERAGE(A1:A8).

Sekarang mari kita lihat apa lagi fungsi AVERAGE boleh lakukan.

Mari cari min aritmetik bagi dua nombor pertama dan tiga nombor terakhir. Formula: =PURATA(A1:B1,F1:H1). Keputusan:



Purata keadaan

Syarat untuk mencari min aritmetik boleh menjadi kriteria berangka atau satu teks. Kami akan menggunakan fungsi: =AVERAGEIF().

Cari min aritmetik bagi nombor yang lebih besar daripada atau sama dengan 10.

Fungsi: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Hasil penggunaan fungsi AVERAGEIF di bawah syarat ">=10":

Argumen ketiga - "Julat purata" - ditinggalkan. Pertama sekali, ia tidak diperlukan. Kedua, julat yang dianalisis oleh program mengandungi HANYA nilai angka. Sel yang dinyatakan dalam hujah pertama akan dicari mengikut syarat yang dinyatakan dalam hujah kedua.

Perhatian! Kriteria carian boleh ditentukan dalam sel. Dan buat pautan kepadanya dalam formula.

Mari cari nilai purata nombor menggunakan kriteria teks. Sebagai contoh, purata jualan "jadual" produk.

Fungsi akan kelihatan seperti ini: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Julat – lajur dengan nama produk. Kriteria carian ialah pautan ke sel dengan perkataan "jadual" (anda boleh memasukkan perkataan "jadual" dan bukannya pautan A7). Julat purata – sel-sel dari mana data akan diambil untuk mengira nilai purata.

Hasil daripada pengiraan fungsi, kami memperoleh nilai berikut:

Perhatian! Untuk kriteria teks (syarat), julat purata mesti ditentukan.

Bagaimana untuk mengira harga purata wajaran dalam Excel?

Bagaimanakah kami mengetahui harga purata wajaran?

Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Menggunakan formula SUMPRODUCT, kami mengetahui jumlah hasil selepas menjual keseluruhan kuantiti barang. Dan fungsi SUM merumuskan kuantiti barang. Dengan membahagikan jumlah hasil daripada jualan barangan dengan jumlah unit barang, kami mendapati harga purata wajaran. Penunjuk ini mengambil kira "berat" setiap harga. Bahagiannya dalam jumlah jisim nilai.

Sisihan piawai: formula dalam Excel

Terdapat perbezaan antara sisihan piawai untuk populasi umum dan untuk sampel. Dalam kes pertama, ini adalah punca varians umum. Dalam kedua, daripada varians sampel.

Untuk mengira penunjuk statistik ini, formula penyebaran disusun. Akar diekstrak daripadanya. Tetapi dalam Excel terdapat fungsi sedia untuk mencari sisihan piawai.

Sisihan piawai terikat pada skala data sumber. Ini tidak mencukupi untuk perwakilan kiasan variasi julat yang dianalisis. Untuk mendapatkan tahap relatif serakan data, pekali variasi dikira:

sisihan piawai / min aritmetik

Formula dalam Excel kelihatan seperti ini:

STDEV (julat nilai) / AVERAGE (julat nilai).

Pekali variasi dikira sebagai peratusan. Oleh itu, kami menetapkan format peratusan dalam sel.

Nilai purata ialah penunjuk umum yang mencirikan tahap tipikal sesuatu fenomena. Ia menyatakan nilai ciri per unit populasi.

Nilai purata ialah:

1) nilai paling tipikal atribut untuk populasi;

2) jumlah atribut populasi, diagihkan sama rata antara unit populasi.

Ciri yang mana nilai purata dikira dipanggil "purata" dalam statistik.

Purata sentiasa menyamaratakan variasi kuantitatif sesuatu sifat, i.e. dalam nilai purata, perbezaan individu antara unit dalam populasi disebabkan oleh keadaan rawak dihapuskan. Berbeza dengan purata, nilai mutlak yang mencirikan tahap ciri unit individu populasi tidak membenarkan seseorang membandingkan nilai ciri antara unit yang dimiliki oleh populasi yang berbeza. Jadi, jika anda perlu membandingkan tahap imbuhan pekerja di dua perusahaan, maka anda tidak boleh membandingkan dua pekerja dari perusahaan yang berbeza atas dasar ini. Pampasan pekerja yang dipilih untuk perbandingan mungkin tidak tipikal untuk perusahaan ini. Jika kita membandingkan saiz dana gaji di perusahaan yang sedang dipertimbangkan, bilangan pekerja tidak diambil kira dan, oleh itu, adalah mustahil untuk menentukan di mana tahap gaji lebih tinggi. Akhirnya, hanya penunjuk purata boleh dibandingkan, i.e. Berapakah purata pendapatan seorang pekerja di setiap perusahaan? Oleh itu, terdapat keperluan untuk mengira nilai purata sebagai ciri umum populasi.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa semasa proses purata, jumlah nilai peringkat atribut atau nilai akhirnya (dalam kes pengiraan tahap purata dalam siri dinamik) mesti kekal tidak berubah. Dalam erti kata lain, apabila mengira nilai purata, isipadu ciri yang dikaji tidak seharusnya diputarbelitkan, dan ungkapan yang disusun semasa mengira purata mesti semestinya masuk akal.

Mengira purata adalah salah satu teknik generalisasi biasa; penunjuk purata menafikan apa yang biasa (tipikal) untuk semua unit populasi yang dikaji, sementara pada masa yang sama ia mengabaikan perbezaan unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat gabungan peluang dan keperluan. Apabila mengira purata, disebabkan oleh undang-undang nombor besar, rawak membatalkan dan mengimbangi, jadi adalah mungkin untuk mengabstrak daripada ciri-ciri fenomena yang tidak penting, daripada nilai kuantitatif atribut dalam setiap kes tertentu. Keupayaan untuk mengabstraksi dari rawak nilai individu dan turun naik terletak pada nilai saintifik purata sebagai ciri umum agregat.

Agar purata benar-benar mewakili, ia mesti dikira dengan mengambil kira prinsip tertentu.

Marilah kita memikirkan beberapa prinsip umum untuk penggunaan purata.

1. Purata mesti ditentukan untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif.

2. Purata mesti dikira untuk populasi yang terdiri daripada bilangan unit yang cukup besar.

3. Purata mesti dikira untuk populasi yang unitnya berada dalam keadaan normal dan semula jadi.

4. Purata perlu dikira dengan mengambil kira kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji.

5.2. Jenis purata dan kaedah untuk mengiranya

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis nilai purata, ciri pengiraannya dan kawasan penggunaannya. Nilai purata dibahagikan kepada dua kelas besar: purata kuasa, purata struktur.

Maksud kuasa termasuk jenis yang paling terkenal dan kerap digunakan, seperti min geometri, min aritmetik dan min kuasa dua.

Mod dan median dianggap sebagai purata struktur.

Mari fokus pada purata kuasa. Purata kuasa, bergantung pada pembentangan data sumber, boleh menjadi mudah atau berwajaran. Purata sederhana Ia dikira berdasarkan data tidak terkumpul dan mempunyai bentuk umum berikut:

,

dengan X i ialah varian (nilai) bagi ciri yang dipuratakan;

n – pilihan nombor.

Purata berwajaran dikira berdasarkan data terkumpul dan mempunyai rupa umum

,

di mana X i ialah varian (nilai) bagi ciri yang dipuratakan atau nilai tengah bagi selang di mana varian itu diukur;

m - indeks darjah purata;

f i – kekerapan menunjukkan berapa kali nilai i-e bagi ciri purata berlaku.

Jika anda mengira semua jenis purata untuk data awal yang sama, maka nilainya akan berubah menjadi berbeza. Peraturan majoriti purata digunakan di sini: apabila eksponen m meningkat, nilai purata yang sepadan juga meningkat:

Dalam amalan statistik, min aritmetik dan min wajaran harmonik digunakan lebih kerap daripada jenis purata wajaran lain.

Jenis kuasa bermakna

Macam kuasa purata	Penunjuk ijazah (m)	Formula pengiraan
		Mudah	Ditimbang
Harmonik
Geometrik
Aritmetik
Kuadratik
Kubik

Min harmonik mempunyai struktur yang lebih kompleks daripada min aritmetik. Purata harmonik digunakan untuk pengiraan apabila bukan unit populasi - pembawa ciri - digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini dengan nilai ciri (iaitu m = Xf). Mudah harmonik purata harus digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, masa, bahan seunit pengeluaran, setiap satu bahagian untuk dua (tiga, empat, dll.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan daripada jenis produk yang sama , bahagian yang sama, produk.

Keperluan utama untuk formula pengiraan nilai purata ialah semua peringkat pengiraan mempunyai justifikasi bermakna yang sebenar; nilai purata yang terhasil harus menggantikan nilai individu atribut untuk setiap objek tanpa mengganggu hubungan antara penunjuk individu dan ringkasan. Dalam erti kata lain, nilai purata mesti dikira dengan cara yang apabila setiap nilai individu penunjuk purata digantikan dengan nilai puratanya, beberapa penunjuk ringkasan akhir, disambungkan dalam satu cara atau yang lain dengan penunjuk purata, kekal tidak berubah. Jumlah ini dipanggil mentakrifkan kerana sifat hubungannya dengan nilai individu menentukan formula khusus untuk mengira nilai purata. Mari kita tunjukkan peraturan ini menggunakan contoh min geometri.

Rumus min geometri

digunakan paling kerap apabila mengira nilai purata berdasarkan dinamik relatif individu.

Purata geometri digunakan jika jujukan dinamik relatif rantai diberikan, menunjukkan, sebagai contoh, peningkatan dalam volum pengeluaran berbanding dengan tahap tahun sebelumnya: i 1, i 2, i 3,…, i n. Jelas sekali, jumlah pengeluaran pada tahun lepas ditentukan oleh tahap awalnya (q 0) dan peningkatan seterusnya sepanjang tahun:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Mengambil q n sebagai penunjuk penentu dan menggantikan nilai individu penunjuk dinamik dengan nilai purata, kita sampai pada hubungan

Dari sini

Jenis nilai purata khas - purata struktur - digunakan untuk mengkaji struktur dalaman siri pengedaran nilai atribut, serta untuk menganggarkan nilai purata (jenis kuasa), jika, mengikut data statistik yang tersedia, ia pengiraan tidak boleh dilakukan (contohnya, jika dalam contoh yang dipertimbangkan tidak terdapat data kedua-dua jumlah pengeluaran dan jumlah kos mengikut kumpulan perusahaan).

Penunjuk paling kerap digunakan sebagai purata struktur fesyen - nilai atribut yang paling kerap diulang – dan median – nilai ciri yang membahagikan urutan tertib nilainya kepada dua bahagian yang sama. Akibatnya, untuk separuh daripada unit dalam populasi nilai atribut tidak melebihi tahap median, dan untuk separuh lagi ia tidak kurang daripadanya.

Jika ciri yang dikaji mempunyai nilai diskret, maka tiada kesukaran tertentu dalam mengira mod dan median. Jika data pada nilai atribut X dibentangkan dalam bentuk selang tertib perubahannya (siri selang), pengiraan mod dan median menjadi agak rumit. Oleh kerana nilai median membahagikan keseluruhan populasi kepada dua bahagian yang sama, ia berakhir dalam salah satu selang ciri X. Dengan menggunakan interpolasi, nilai median ditemui dalam selang median ini:

,

di mana X Me ialah had bawah selang median;

h Me – nilainya;

(Jumlah m)/2 – separuh daripada jumlah pemerhatian atau separuh isipadu penunjuk yang digunakan sebagai pemberat dalam formula untuk mengira nilai purata (dalam istilah mutlak atau relatif);

S Me-1 – jumlah pemerhatian (atau isipadu atribut pemberat) terkumpul sebelum permulaan selang median;

m Me – bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang median (juga dalam istilah mutlak atau relatif).

Apabila mengira nilai modal ciri berdasarkan data siri selang, adalah perlu untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa selang adalah sama, kerana penunjuk kebolehulangan nilai ciri X bergantung pada ini siri selang dengan selang yang sama, magnitud mod ditentukan sebagai

,

dengan X Mo ialah nilai yang lebih rendah bagi selang modal;

m Mo – bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang modal (dalam istilah mutlak atau relatif);

m Mo-1 – sama untuk selang sebelum modal satu;

m Mo+1 – sama untuk selang selepas modal satu;

h – nilai selang perubahan ciri dalam kumpulan.

TUGASAN 1

Data berikut tersedia untuk kumpulan perusahaan perindustrian untuk tahun pelaporan

№ perusahaan	Jumlah produk, juta rubel.		Purata bilangan pekerja, orang.	Keuntungan, ribuan rubel
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Ia dikehendaki mengelompokkan perusahaan untuk pertukaran produk, mengambil selang masa berikut:

sehingga 200 juta rubel


dari 200 hingga 400 juta rubel.


1. dari 400 hingga 600 juta rubel.
   

   Untuk setiap kumpulan dan untuk semua bersama, tentukan bilangan perusahaan, volum pengeluaran, purata bilangan pekerja, purata keluaran bagi setiap pekerja. Bentangkan hasil kumpulan dalam bentuk jadual statistik. Merumus kesimpulan.
   

   PENYELESAIAN
   

   Kami akan mengumpulkan perusahaan mengikut pertukaran produk, mengira bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran dan purata bilangan pekerja menggunakan formula purata mudah. Keputusan kumpulan dan pengiraan diringkaskan dalam jadual.
   

   Kumpulan mengikut volum produk	№ perusahaan	Jumlah produk, juta rubel.	Kos tahunan purata aset tetap, juta rubel.	Tidur sederhana bilangan pekerja yang berair, orang.	Keuntungan, ribuan rubel	Purata output bagi setiap pekerja
   1 kumpulan sehingga 200 juta rubel	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Peringkat pertengahan		198,3			24,9
   kumpulan ke-2 dari 200 hingga 400 juta rubel.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Peringkat pertengahan		282,3	37,6	1530	64,0
   3 kumpulan dari 400 hingga 600 juta	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Peringkat pertengahan		512,9	34,4	1421	120,9
   Jumlah secara agregat		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Secara purata		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Kesimpulan. Oleh itu, dalam populasi yang dipertimbangkan, bilangan terbesar perusahaan dari segi jumlah pengeluaran jatuh ke dalam kumpulan ketiga - tujuh, atau separuh daripada perusahaan. Kos tahunan purata aset tetap juga berada dalam kumpulan ini, serta bilangan pekerja purata yang besar - 9974 orang perusahaan kumpulan pertama adalah yang paling tidak menguntungkan.
   

   TUGASAN 2
   

   Data berikut tersedia pada perusahaan syarikat
   

   Bilangan perusahaan yang termasuk dalam syarikat	saya suku		suku II
   	Keluaran produk, ribuan rubel.		Hari manusia dikerjakan oleh pekerja	Purata output setiap pekerja sehari, gosok.
   	59390,13

Min aritmetik mudah ialah sebutan purata, dalam menentukan di mana jumlah isipadu bagi ciri tertentu keseluruhan data diagihkan sama rata antara semua unit yang termasuk dalam populasi ini. Oleh itu, purata keluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah jumlah keluaran yang akan dihasilkan oleh setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata di kalangan semua pekerja organisasi. Nilai mudah purata aritmetik dikira menggunakan formula:

Purata aritmetik mudah- Sama dengan nisbah jumlah nilai individu ciri kepada bilangan ciri dalam agregat

Contoh 1. Satu pasukan 6 pekerja menerima 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ribu rubel sebulan.

Cari gaji purata Penyelesaian: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ribu rubel.

Wajaran purata aritmetik

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dengan harga unit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah kuantiti pengeluaran.

Mari kita bayangkan ini dalam bentuk formula berikut:

Purata aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah hasil bagi nilai ciri kepada kekerapan pengulangan ciri ini) kepada (jumlah frekuensi semua ciri Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji). berlaku bilangan kali yang tidak sama.

Contoh 2. Cari purata gaji pekerja bengkel sebulan

Gaji seorang pekerja seribu rubel; X	Bilangan pekerja F

Gaji purata boleh diperolehi dengan membahagikan jumlah gaji dengan jumlah pekerja:

Jawapan: 3.35 ribu rubel.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, mula-mula tentukan min bagi setiap selang sebagai separuh hasil bagi had atas dan bawah, dan kemudian min bagi keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh saiz selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Contoh 3. Tentukan purata umur pelajar petang.

Umur dalam tahun!!x??	Bilangan pelajar	Nilai purata selang	Hasil darab titik tengah selang (umur) dan bilangan pelajar
		(18 + 20) / 2 =19 18 dalam kes ini, sempadan selang bawah. Dikira sebagai 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 atau lebih		(30 + 34) / 2 = 32

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri taburan seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja nilai mutlak tetapi juga nilai relatif (frekuensi) boleh digunakan sebagai pemberat.