Segitiga ialah poligon primitif yang dibatasi pada satah dengan tiga titik dan tiga ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini secara berpasangan. Sudut-sudut dalam segitiga ialah lancip, tumpul dan tegak. Jumlah sudut dalam segitiga adalah selanjar dan sama dengan 180 darjah.

Anda perlu

• Pengetahuan asas dalam geometri dan trigonometri.

Arahan

1. Mari kita nyatakan panjang sisi segi tiga a=2, b=3, c=4, dan sudutnya u, v, w, setiap satunya terletak pada sisi bertentangan satu sisi. Mengikut hukum kosinus, kuasa dua panjang sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang 2 sisi yang lain tolak dua kali hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka. Iaitu, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). Kami menggantikan panjang sisi ke dalam ungkapan ini dan dapatkan: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).

2. Mari kita nyatakan cos(u) daripada kesamaan yang diperolehi. Kami mendapat yang berikut: cos(u) = 7/8. Seterusnya, kita dapati sudut sebenar u. Untuk melakukan ini, kami mengira arccos(7/8). Iaitu, sudut u = arccos(7/8).

3. Begitu juga, menyatakan sisi lain dari segi selebihnya, kita dapati sudut yang tinggal.

Catatan!
Nilai satu sudut tidak boleh melebihi 180 darjah. Tanda arccos() tidak boleh mengandungi nombor yang lebih besar daripada 1 dan lebih kecil daripada -1.

Nasihat yang berguna
Untuk mengesan ketiga-tiga sudut, tidak perlu untuk menyatakan ketiga-tiga sisi, ia dibenarkan untuk mengesan hanya 2 sudut, dan yang ke-3 boleh didapati dengan menolak nilai baki 2 daripada 180 darjah. Ini berikutan fakta bahawa jumlah semua sudut segitiga adalah selanjar dan sama dengan 180 darjah.

Dalam geometri, sudut ialah rajah yang dibentuk oleh dua sinar yang terpancar dari satu titik (puncak sudut). Selalunya, sudut diukur dalam darjah, dengan sudut penuh, atau revolusi, sama dengan 360 darjah. Anda boleh mengira sudut poligon jika anda mengetahui jenis poligon dan magnitud sudut lain, atau, dalam kes segi tiga tepat, panjang dua sisinya.

Langkah-langkah

Mengira bucu poligon

Kira bilangan bucu dalam poligon itu.

Cari hasil tambah semua sudut poligon itu. Formula untuk mencari hasil tambah semua sudut pedalaman poligon ialah (n - 2) x 180, dengan n ialah bilangan sisi dan sudut poligon itu. Berikut ialah jumlah sudut beberapa poligon sepunya:

• Jumlah sudut segitiga (poligon tiga sisi) ialah 180 darjah.
• Jumlah sudut bagi segi empat (poligon empat sisi) ialah 360 darjah.
• Jumlah sudut pentagon (poligon lima sisi) ialah 540 darjah.
• Jumlah sudut heksagon (poligon enam sisi) ialah 720 darjah.
• Jumlah sudut oktagon (poligon oktagon) ialah 1080 darjah.

1. Tentukan sama ada poligon itu sekata. Poligon sekata ialah poligon di mana semua sisi dan semua sudut adalah sama antara satu sama lain. Contoh poligon sekata ialah segi tiga sama sisi dan segi empat sama, manakala bangunan Pentagon di Washington DC dibina dalam bentuk pentagon sekata, dan tanda berhenti adalah dalam bentuk oktagon sekata.

   Jumlahkan sudut poligon yang diketahui, dan kemudian tolak jumlah ini daripada jumlah keseluruhan semua sudutnya. Kebanyakan masalah geometri seperti ini berurusan dengan segi tiga atau segi empat kerana ia memerlukan input yang kurang, jadi kami akan melakukan perkara yang sama.

   • Jika dua sudut segitiga ialah 60 darjah dan 80 darjah, tambahkan nombor tersebut. Dapatkan 140 darjah. Kemudian tolak jumlah ini daripada jumlah keseluruhan semua sudut segi tiga, iaitu daripada 180 darjah: 180 - 140 = 40 darjah. (Segitiga, semua sudutnya tidak sama antara satu sama lain, dipanggil tidak sama sisi.)
   • Anda boleh menulis penyelesaian ini sebagai a = 180 - (b + c), dengan a ialah sudut yang anda ingin cari, b dan c ialah sudut yang diketahui. Untuk poligon dengan lebih daripada tiga sisi, gantikan 180 dengan hasil tambah sudut bagi jenis poligon yang diberikan, dan tambahkan satu sebutan kepada jumlah dalam kurungan untuk setiap sudut yang diketahui.
   • Sesetengah poligon mempunyai "helah" mereka sendiri untuk membantu anda mengira sudut yang tidak diketahui. Sebagai contoh, segitiga sama kaki ialah segi tiga dengan dua sisi yang sama dan dua sudut yang sama. Jajaran selari ialah segiempat yang sisi bertentangan dan sudut bertentangan adalah sama.

   Mengira sudut segi tiga tegak

   1. Tentukan data yang anda ketahui. Segitiga tegak dipanggil sedemikian kerana salah satu sudutnya adalah tegak. Anda boleh mencari nilai salah satu daripada dua sudut yang tinggal jika anda mengetahui salah satu daripada nilai berikut:

      Tentukan fungsi trigonometri yang hendak digunakan. Fungsi trigonometri menyatakan nisbah dua daripada tiga sisi segitiga. Terdapat enam fungsi trigonometri, tetapi yang berikut adalah yang paling biasa digunakan:

Dalam kehidupan, kita sering perlu menghadapi masalah matematik: di sekolah, di universiti, dan kemudian membantu anak kita membuat kerja rumah. Orang dari profesion tertentu akan menghadapi matematik setiap hari. Oleh itu, adalah berguna untuk menghafal atau mengingat kembali peraturan matematik. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis salah satu daripadanya: mencari kaki segi tiga tepat.

Apakah segi tiga tepat

Pertama, mari kita ingat apa itu segi tiga tepat. Segitiga tepat ialah rajah geometri tiga segmen yang menghubungkan titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan salah satu sudut rajah ini ialah 90 darjah. Sisi yang membentuk sudut tegak dipanggil kaki, dan sisi yang terletak bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus.

Mencari kaki segi tiga tepat

Terdapat beberapa cara untuk mengetahui panjang kaki. Saya ingin mempertimbangkan mereka dengan lebih terperinci.

Teorem Pythagoras untuk mencari kaki segi tiga tepat

Jika kita mengetahui hipotenus dan kaki, maka kita boleh mencari panjang kaki yang tidak diketahui menggunakan teorem Pythagoras. Bunyinya seperti ini: "Kuasa dua sisi miring adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki." Formula: c²=a²+b², dengan c ialah hipotenus, a dan b ialah kaki. Kami mengubah formula dan mendapat: a²=c²-b².

Contoh. Hipotenus ialah 5 cm, dan kaki ialah 3 cm. Kami mengubah formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Seterusnya, kami memutuskan: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Hubungan trigonometri untuk mencari kaki segi tiga tepat

Ia juga mungkin untuk mencari kaki yang tidak diketahui jika mana-mana sisi lain dan mana-mana sudut akut segi tiga tepat diketahui. Terdapat empat pilihan untuk mencari kaki menggunakan fungsi trigonometri: dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen. Untuk menyelesaikan masalah, jadual di bawah akan membantu kami. Mari kita pertimbangkan pilihan ini.

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan sinus

Sinus sudut (sin) ialah nisbah kaki bertentangan dengan hipotenus. Formula: sin \u003d a / c, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Seterusnya, kita mengubah formula dan mendapat: a=sin*c.

Contoh. Hipotenus ialah 10 cm dan sudut A ialah 30 darjah. Menurut jadual, kami mengira sinus sudut A, ia sama dengan 1/2. Kemudian, menggunakan formula yang diubah, kita selesaikan: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kosinus

Kosinus sudut (cos) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus. Formula: cos \u003d b / c, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut yang diberikan, dan c ialah hipotenus. Mari kita ubah formula dan dapatkan: b=cos*c.

Contoh. Sudut A ialah 60 darjah, hipotenus ialah 10 cm. Menurut jadual, kita mengira kosinus sudut A, ia bersamaan dengan 1/2. Seterusnya, kita selesaikan: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan tangen

Tangen bagi sudut (tg) ialah nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan. Formula: tg \u003d a / b, dengan a ialah kaki bertentangan dengan sudut, dan b bersebelahan. Mari kita ubah formula dan dapatkan: a=tg*b.

Contoh. Sudut A ialah 45 darjah, hipotenus ialah 10 cm Menurut jadual, kita mengira tangen sudut A, ia adalah sama dengan Selesaikan: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Cari kaki segi tiga tepat menggunakan kotangen

Kotangen bagi sudut (ctg) ialah nisbah kaki bersebelahan dengan kaki bertentangan. Formula: ctg \u003d b / a, dengan b ialah kaki bersebelahan dengan sudut, dan bertentangan. Dalam erti kata lain, kotangen ialah "tangen terbalik". Kami dapat: b=ctg*a.

Contoh. Sudut A ialah 30 darjah, kaki bertentangan ialah 5 cm.Menurut jadual, tangen bagi sudut A ialah √3. Kira: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Jadi, sekarang anda tahu bagaimana untuk mencari kaki dalam segi tiga tepat. Seperti yang anda lihat, ia tidak begitu sukar, perkara utama adalah untuk mengingati formula.

Dalam geometri, selalunya terdapat masalah yang berkaitan dengan sisi segi tiga. Sebagai contoh, selalunya perlu mencari sisi segitiga jika dua yang lain diketahui.

Segi tiga ialah sama kaki, sama sisi dan sama sisi. Dari semua varieti, untuk contoh pertama, kami memilih segi empat tepat (dalam segitiga sedemikian, salah satu sudut adalah 90 °, sisi yang bersebelahan dengannya dipanggil kaki, dan yang ketiga adalah hipotenus).

Navigasi artikel pantas

Panjang sisi segi tiga tegak

Penyelesaian masalah itu mengikuti teorem ahli matematik hebat Pythagoras. Ia mengatakan bahawa jumlah segi empat sama kaki segi tiga tepat adalah sama dengan kuasa dua hipotenusnya: a²+b²=c²

• Cari segi empat sama panjang kaki a;
• Cari segi empat sama kaki b;
• Kami meletakkan mereka bersama-sama;
• Daripada hasil yang diperoleh, kami mengekstrak akar darjah kedua.

Contoh: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Iaitu, panjang hipotenus segitiga ini ialah 5.

Jika segi tiga tidak mempunyai sudut tegak, maka panjang kedua-dua sisi tidak mencukupi. Ini memerlukan parameter ketiga: ia boleh menjadi sudut, ketinggian, kawasan segitiga, jejari bulatan yang tertulis di dalamnya, dsb.

Jika perimeter diketahui

Dalam kes ini, tugas itu lebih mudah. Perimeter (P) ialah hasil tambah semua sisi segitiga: P=a+b+c. Oleh itu, dengan menyelesaikan persamaan matematik mudah, kita mendapat hasilnya.

Contoh: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Kami menyelesaikan persamaan, memindahkan semua parameter yang diketahui ke satu sisi tanda sama:

2) Gantikan nilai dan hitung bahagian ketiga:

c=18-7-6=5, jumlah: sisi ketiga segi tiga ialah 5.

Jika sudut diketahui

Untuk mengira sisi ketiga segitiga diberi sudut dan dua sisi yang lain, penyelesaiannya dikurangkan untuk mengira persamaan trigonometri. Mengetahui hubungan sisi segitiga dan sinus sudut, mudah untuk mengira sisi ketiga. Untuk melakukan ini, anda perlu segi empat sama kedua-dua belah dan tambah hasilnya bersama-sama. Kemudian tolak daripada hasil darab sisi, didarab dengan kosinus sudut: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Jika kawasan itu diketahui

Dalam kes ini, satu formula tidak mencukupi.

1) Pertama, kita mengira sin γ dengan menyatakannya daripada formula untuk luas segi tiga:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Menggunakan formula berikut, kita mengira kosinus sudut yang sama:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Dan sekali lagi kita menggunakan teorem sinus:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Menggantikan nilai pembolehubah ke dalam persamaan ini, kami memperoleh jawapan kepada masalah itu.

yang panjang sisi (a, b, c) diketahui, gunakan teorem kosinus. Dia menyatakan bahawa kuasa dua panjang kedua-dua sisi adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang dua yang lain, yang daripadanya hasil darab dua panjang dua sisi yang sama dan kosinus sudut di antara mereka ditolak. . Anda boleh menggunakan teorem ini untuk mengira sudut pada mana-mana bucu, adalah penting untuk mengetahui hanya lokasinya berbanding dengan sisi. Contohnya, untuk mencari sudut α yang terletak di antara sisi b dan c, teorem mesti ditulis seperti berikut: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

Ungkapkan kosinus bagi sudut yang dikehendaki daripada formula: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). Gunakan fungsi kosinus songsang pada kedua-dua bahagian persamaan - kosinus lengkok. Ia membolehkan anda memulihkan nilai sudut dalam darjah dengan nilai kosinus: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Bahagian kiri boleh dipermudahkan dan pengiraan sudut antara sisi b dan c akan mengambil bentuk akhir: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

Apabila mencari magnitud sudut akut dalam segi tiga tepat, mengetahui panjang semua sisi tidak perlu, dua daripadanya sudah mencukupi. Jika kedua-dua sisi ini ialah kaki (a dan b), bahagikan panjang sisi yang terletak bertentangan dengan sudut yang dikehendaki (α) dengan panjang sisi yang lain. Oleh itu, anda mendapat nilai tangen sudut yang dikehendaki tg(α) = a/b, dan menggunakan fungsi songsang - arctangent - pada kedua-dua bahagian kesamaan dan memudahkan bahagian kiri, seperti dalam langkah sebelumnya, dapatkan hasil akhir formula: α = arctg(a/b ).

Jika sisi yang diketahui ialah kaki (a) dan hipotenus (c), untuk mengira sudut (β) yang dibentuk oleh sisi ini, gunakan fungsi kosinus dan songsangnya - kosinus lengkok. Kosinus ditentukan oleh nisbah panjang kaki kepada hipotenus, dan formula akhir boleh ditulis seperti berikut: β = arccos(a/c). Untuk mengira sudut akut awal yang sama (α) terletak bertentangan dengan kaki yang diketahui, gunakan nisbah yang sama, menggantikan arccosine dengan arcsine: α = arcsin(a/c).

Sumber:

• formula segitiga dengan 2 sisi

Petua 2: Bagaimana untuk mencari sudut segitiga dengan panjang sisinya

Terdapat beberapa pilihan untuk mencari nilai semua sudut dalam segitiga, jika panjang tiganya diketahui. pihak. Satu cara ialah menggunakan dua formula luas yang berbeza segi tiga. Untuk memudahkan pengiraan, anda juga boleh menggunakan teorem sinus dan teorem pada jumlah sudut segi tiga.

Arahan

Gunakan, sebagai contoh, dua formula untuk mengira luas segi tiga, satu daripadanya hanya melibatkan tiga orang yang dikenalinya pihak s (Gerona), dan dalam yang lain - dua pihak s dan sinus sudut di antara mereka. Menggunakan pasangan yang berbeza dalam formula kedua pihak, anda boleh menentukan magnitud setiap sudut segi tiga.

Selesaikan masalah secara umum. Formula Heron menentukan kawasan segi tiga, sebagai punca kuasa dua hasil darab semiperimeter (separuh daripada semua pihak) pada perbezaan antara semiperimeter dan setiap satu pihak. Jika kita menggantikan jumlah pihak, maka formula boleh ditulis seperti berikut: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C satu lagi pihak kawasan s segi tiga boleh dinyatakan sebagai separuh hasil darab duanya pihak oleh sinus sudut di antara mereka. Sebagai contoh, untuk pihak a dan b dengan sudut γ di antara mereka, formula ini boleh ditulis seperti berikut: S=a∗b∗sin(γ). Gantikan bahagian kiri persamaan dengan formula Heron: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Terbitkan daripada persamaan ini formula untuk