kecil. Oleh kerana dengan saiz fon:14.0pt">~ (lihat ), maka ~ .

Memandangkan ini, kami mendapat:

jadi sirinya menyimpang.

D) saiz fon:14.0pt">,

maka siri itu menyimpang.

keadaan ialah perlu, Tetapi tidak cukup keadaan penumpuan siri: terdapat satu set siri untuknya, tetapi yang bagaimanapun menyimpang.

Contoh 3 Terokai penumpuan siri font-size:14.0pt"> Penyelesaian. perasan, itu https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , iaitu, syarat penumpuan yang diperlukan dipenuhi. jumlah separa

kiri">

- sekali

jadi font-size:14.0pt"> yang bermaksud siri itu menyimpang mengikut takrifan.

Keadaan yang mencukupi untuk penumpuan siri tanda-positif

biarlah . Kemudian sirisaiz fon:14.0pt"> Tanda perbandingan

biarlah dan merupakan siri tanda-positif. Jika ketaksamaan dipuaskan untuk semua, maka penumpuan siri mengikuti dari penumpuan siri, dan dari penyimpangan siri

Tanda ini kekal sah jika ketaksamaan https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, tetapi hanya bermula dari beberapa nombor . Ia boleh ditafsirkan seperti berikut: jika siri yang lebih besar menumpu, maka siri yang lebih kecil akan menumpu lebih banyak; jika siri yang lebih kecil mencapah, maka yang lebih besar juga mencapah.

Contoh 4 Teroka penumpuan baris 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Penyelesaian.

A) Ambil perhatian bahawa saiz fon:14.0pt"> untuk semua . Siri dengan istilah biasa

B) Bandingkan baris dengan baris ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> menyimpang, jadi siri juga menyimpang.

Walaupun kesederhanaan perumusan kriteria perbandingan, dalam praktiknya teorem berikut, yang merupakan akibatnya, adalah lebih mudah.

Hadkan tanda perbandingan

biarlah https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – siri positif. Jika wujud terhingga Dan bukan sifar had , kemudian kedua-dua baris dan

bertumpu pada masa yang sama atau bercapah pada masa yang sama.

Sebagai satu siri yang digunakan untuk perbandingan dengan data, satu siri borang . Siri sedemikian dipanggil berhampiran Dirichlet. Dalam contoh 3 dan 4, ditunjukkan bahawa siri Dirichlet dengan dan mencapah. Boleh buat masa ini-

katakan bahawa baris itu ialah saiz fon:14.0pt"> .

Jika , maka baris dipanggil harmonik. Siri harmonik menyimpang.

Contoh 5 Menyiasat siri penumpuanmenggunakan kriteria perbandingan had, jika

Penyelesaian. a) Oleh kerana untuk https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" yang cukup besar" width="31" height="23 src=">, dan

~ , kemudian ~ font-size:14.0pt">perbandingan dengan siri harmonik yang diberikan saiz fon:14.0pt">, iaitu .

font-size:14.0pt"> Memandangkan had adalah terhingga dan bukan sifar dan siri harmonik mencapah, siri ini juga mencapah.

B) Untuk https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" yang cukup besar" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> ialah ahli biasa siri untuk membandingkan siri ini dengan:

Font-size:14.0pt">Siri menumpu ( Baris Dirichlet dengan saiz fon:16.0pt">), jadi siri ini juga menumpu.

DALAM) , sangat kecil font-size:14.0pt"> anda boleh

digantikan dengan nilai yang setara dengannya di(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> dengan saiz fon: 20.0pt">). ;

;

;

G )

;

.

Jumlah sedemikian dipanggil barisan yang tidak berkesudahan, dan syaratnya ialah syarat siri. (Elipsis bermakna bilangan istilah adalah tidak terhingga.) Penyelesaian kepada masalah matematik yang kompleks jarang boleh diwakili dalam bentuk yang tepat menggunakan formula. Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes penyelesaian ini boleh ditulis sebagai siri. Selepas penyelesaian sedemikian ditemui, kaedah teori siri membolehkan kita menganggarkan berapa banyak istilah siri yang perlu diambil untuk pengiraan tertentu atau cara menulis jawapan dalam bentuk yang paling mudah. Bersama-sama dengan siri berangka, kita boleh mempertimbangkan apa yang dipanggil. baris berfungsi, yang istilahnya ialah fungsi . Banyak fungsi boleh diwakili menggunakan siri fungsi. Kajian siri berangka dan fungsi adalah bahagian penting dalam kalkulus.

Dalam contoh (1) dan (2) agak mudah untuk meneka dengan apakah istilah berturut-turut undang-undang yang dibentuk. Undang-undang pembentukan ahli siri mungkin kurang jelas. Sebagai contoh, untuk siri (3) akan menjadi jelas jika siri ini ditulis dalam bentuk berikut:

Menumpu baris.

Oleh kerana penambahan bilangan tak terhingga bagi suatu siri adalah mustahil secara fizikal, adalah perlu untuk menentukan apa sebenarnya yang harus difahami oleh hasil tambah siri tak terhingga. Boleh dibayangkan bahawa operasi tambah dan tolak ini dilakukan secara berurutan, satu demi satu, contohnya, pada komputer. Jika jumlah yang terhasil (jumlah separa) semakin hampir kepada nombor tertentu, maka adalah munasabah untuk memanggil nombor ini sebagai jumlah siri tak terhingga. Oleh itu, jumlah siri tak terhingga boleh ditakrifkan sebagai had bagi jujukan jumlah separa. Lebih-lebih lagi, siri sedemikian dipanggil konvergen.

Mencari jumlah siri (3) tidak sukar jika anda perasan bahawa siri yang diubahsuai (4) boleh ditulis sebagai

Hasil tambah separa siri (5) adalah

dan lain-lain.; anda boleh melihat bahawa jumlah separa cenderung kepada 1. Oleh itu, siri ini menumpu dan hasil tambahnya ialah 1.

Sebagai contoh siri tak terhingga, pertimbangkan pecahan perpuluhan tak terhingga. Jadi, 0.353535... ialah pecahan perpuluhan berulang tak terhingga, yang merupakan cara padat untuk menulis siri

Undang-undang pembentukan ahli berturut-turut jelas di sini. Begitu juga, 3.14159265... bermakna

tetapi undang-undang pembentukan ahli siri berikutnya tidak jelas di sini: digit membentuk pengembangan perpuluhan nombor hlm, dan sukar untuk segera menyatakan apakah, sebagai contoh, angka ke-100,000, walaupun secara teorinya angka ini boleh dikira.

Mencapah baris.

Siri tak terhingga yang tidak menumpu dikatakan mencapah (siri sedemikian dipanggil mencapah). Sebagai contoh, satu baris

menyimpang, kerana jumlah separanya ialah 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,.... Jumlah ini tidak cenderung kepada sebarang nombor sebagai had, kerana dengan mengambil terma siri yang mencukupi, kita boleh membuat separa jumlah tidak kira berapa besar. baris

juga menyimpang, tetapi atas sebab yang berbeza: jumlah separa siri ini bertukar kepada 1, kemudian kepada 0 dan tidak cenderung kepada had.

Penjumlahan.

Untuk mencari jumlah siri penumpuan (dengan ketepatan yang diberikan) dengan menjumlahkan istilahnya secara berturut-turut, walaupun secara teorinya mungkin, ia secara praktikalnya sukar untuk dilaksanakan. Sebagai contoh, satu baris

menumpu, dan hasil tambahnya dalam sepuluh tempat perpuluhan ialah 1.6449340668, tetapi untuk mengiranya dengan ketepatan ini, adalah perlu untuk mengambil lebih kurang. 20 bilion ahli. Siri sedemikian biasanya diringkaskan dengan terlebih dahulu mengubahnya menggunakan pelbagai teknik. Dalam kes ini, kaedah algebra atau pengiraan digunakan; sebagai contoh, seseorang boleh menunjukkan bahawa jumlah siri (8) adalah sama dengan hlm 2 /6.

Notasi.

Apabila bekerja dengan siri tak terhingga, adalah berguna untuk mempunyai notasi yang mudah. Sebagai contoh, jumlah akhir siri (8) boleh ditulis sebagai

Entri ini menunjukkan bahawa n berturut-turut ditetapkan kepada 1, 2, 3, 4, dan 5, dan hasilnya ditambah:

Begitu juga, siri (4) boleh ditulis sebagai

di mana simbol Ґ menunjukkan bahawa kita sedang berhadapan dengan siri tak terhingga, dan bukan dengan bahagian terhingganya. Simbol S (sigma) dipanggil tanda penjumlahan.

Janjang geometri tak terhingga.

Kami dapat menjumlahkan siri (4) kerana terdapat formula mudah untuk jumlah separanya. Begitu juga, seseorang boleh mencari jumlah siri (2), atau secara umum,

Jika r mengambil nilai antara –1 dan 1. Dalam kes ini, jumlah siri (9) adalah sama dengan 1/(1 – r); untuk nilai lain r siri (9) mencapah.

Anda boleh memikirkan perpuluhan berkala seperti 0.353535... sebagai cara lain untuk menulis janjang geometri tak terhingga.

Ungkapan ini juga boleh ditulis sebagai

di mana siri (9) dengan r= 0.01; oleh itu, hasil tambah siri (10) adalah sama dengan

Dengan cara yang sama, sebarang pecahan perpuluhan berkala boleh diwakili sebagai pecahan biasa.

Tanda-tanda penumpuan.

Dalam kes umum, tiada formula mudah untuk jumlah separa siri tak terhingga, jadi kaedah khas digunakan untuk mewujudkan penumpuan atau perbezaan siri. Sebagai contoh, jika semua sebutan siri adalah positif, maka ia boleh ditunjukkan bahawa siri itu menumpu jika setiap sebutannya tidak melebihi sebutan yang sepadan bagi siri lain, yang diketahui menumpu. Dalam notasi yang diterima, ini boleh ditulis seperti berikut: jika a n i 0 dan menumpu, kemudian menumpu jika 0 j b n Ј a n. Contohnya, kerana siri (4) menumpu dan

maka kita boleh membuat kesimpulan bahawa siri (8) juga menumpu. Perbandingan ialah kaedah utama untuk mewujudkan penumpuan banyak siri dengan membandingkannya dengan siri penumpu termudah. Kadangkala lebih banyak kriteria penumpuan khas digunakan (ia boleh didapati dalam literatur tentang teori siri.) Berikut ialah beberapa lagi contoh siri penumpuan dengan istilah positif:

Perbandingan juga boleh digunakan untuk mewujudkan perbezaan siri. Jika siri itu menyimpang, maka siri itu juga menyimpang jika 0 J b n Ј a n.

Contoh siri divergen ialah siri

dan, khususnya, sejak siri harmonik

Perbezaan siri ini boleh disahkan dengan mengira jumlah separa berikut:

dan lain-lain. Oleh itu, jumlah separa yang berakhir dengan sebutan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j melebihi jumlah separa siri mencapah (6), dan oleh itu siri (14) mesti mencapah.

Penumpuan mutlak dan bersyarat.

Untuk baris seperti

kaedah perbandingan tidak boleh digunakan, kerana syarat siri ini mempunyai tanda yang berbeza. Jika semua sebutan siri (15) adalah positif, maka kita akan mendapat siri (3), yang diketahui bertumpu. Ia boleh ditunjukkan bahawa ini juga membayangkan penumpuan siri (15). Apabila dengan menukar tanda-tanda sebutan negatif siri kepada yang bertentangan ia boleh bertukar menjadi satu konvergen, mereka mengatakan bahawa siri asal menumpu secara mutlak.

Siri harmonik berselang-seli (1) tidak menumpu sepenuhnya, kerana siri (14), yang terdiri daripada sebutan yang sama tetapi hanya positif, tidak bertumpu. Walau bagaimanapun, dengan bantuan kriteria penumpuan khas untuk siri berselang-seli, seseorang boleh menunjukkan bahawa siri (1) sebenarnya menumpu. Siri penumpu yang tidak menumpu secara mutlak dipanggil konvergen bersyarat.

Operasi dengan baris.

Berdasarkan takrifan siri penumpu, adalah mudah untuk menunjukkan bahawa penumpuannya tidak dilanggar dengan memadam atau memberikan bilangan sebutan terhingga kepadanya, serta dengan mendarab atau membahagi semua sebutan siri dengan nombor yang sama (daripada kursus, pembahagian dengan 0 dikecualikan). Untuk sebarang penyusunan semula terma siri penumpuan mutlak, penumpuannya tidak dilanggar, dan jumlahnya tidak berubah. Sebagai contoh, kerana hasil tambah siri (2) ialah 1, jumlah siri itu

juga sama dengan 1, kerana siri ini diperoleh daripada siri (2) dengan menukar sebutan jiran (sebutan pertama dengan yang ke-2, dsb.). Anda boleh sewenang-wenangnya menukar susunan terma siri yang benar-benar menumpu, selagi semua ahli siri asal hadir dalam siri baharu. Sebaliknya, penyusunan semula terma siri penumpuan bersyarat boleh mengubah jumlahnya dan juga menjadikannya berbeza. Selain itu, syarat bagi siri penumpuan bersyarat sentiasa boleh disusun semula supaya ia menumpu kepada sebarang jumlah yang telah ditetapkan.

Dua siri penumpu S a n dan S b n boleh ditambah (atau ditolak) sebutan demi sebutan, supaya jumlah siri baharu (yang juga menumpu) ditambah kepada jumlah siri asal, dalam tatatanda kami

Di bawah syarat tambahan, sebagai contoh, jika kedua-dua siri bertumpu secara mutlak, ia boleh didarab dengan satu sama lain, seperti yang dilakukan untuk jumlah terhingga, dan siri berganda yang terhasil ( lihat di bawah) akan menumpu kepada hasil tambah siri asal.

Kebolehjumlahan.

Walaupun hakikat bahawa takrifan penumpuan siri tak terhingga kami kelihatan semula jadi, ia bukanlah satu-satunya yang mungkin. Jumlah siri tak terhingga boleh ditentukan dengan cara lain. Pertimbangkan, sebagai contoh, siri (7), yang boleh ditulis padat sebagai

Seperti yang telah kami katakan, jumlah separanya mengambil nilai 1 dan 0 secara bergilir-gilir, dan oleh itu siri itu tidak menumpu. Tetapi jika kita membentuk secara bergilir-gilir purata berpasangan daripada jumlah separanya (purata semasa), i.e. Jika kita mengira terlebih dahulu purata jumlah separa pertama dan kedua, kemudian purata kedua dan ketiga, ketiga dan keempat, dsb., maka setiap purata itu akan sama dengan 1/2, dan oleh itu had purata berpasangan akan juga sama dengan 1/2. Dalam kes ini, siri itu dikatakan boleh dijumlahkan dengan kaedah yang ditentukan dan jumlahnya adalah sama dengan 1/2. Banyak kaedah penjumlahan telah dicadangkan, yang memungkinkan untuk mengaitkan jumlah kepada kelas siri mencapah yang agak besar dan dengan itu menggunakan beberapa siri mencapah dalam pengiraan. Untuk kebanyakan tujuan, kaedah penjumlahan berguna, bagaimanapun, hanya jika, digunakan pada siri penumpuan, ia memberikan jumlah terakhirnya.

Siri dengan istilah yang kompleks.

Setakat ini, kami secara diam-diam menganggap bahawa kami hanya berurusan dengan nombor nyata, tetapi semua definisi dan teorem digunakan untuk siri dengan nombor kompleks (kecuali jumlah yang boleh diperolehi dengan menyusun semula terma siri penumpuan bersyarat tidak boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya).

baris berfungsi.

Seperti yang telah kita nyatakan, ahli siri tak terhingga boleh bukan sahaja nombor, tetapi juga berfungsi, sebagai contoh,

Jumlah siri sedemikian juga merupakan fungsi yang nilainya pada setiap titik diperoleh sebagai had jumlah separa yang dikira pada titik itu. Pada rajah. 1 menunjukkan graf beberapa jumlah separa dan jumlah siri (dengan x, berbeza dari 0 hingga 1); s n(x) bermaksud jumlah yang pertama n ahli. Hasil tambah siri itu ialah fungsi yang sama dengan 1 pada 0 J x x = 1. Siri berfungsi boleh menumpu untuk nilai yang sama x dan tidak bersetuju dengan orang lain; dalam contoh kami, siri itu menumpu pada –1J x x.

Jumlah siri berfungsi boleh difahami dengan cara yang berbeza. Dalam sesetengah kes, adalah lebih penting untuk mengetahui bahawa jumlah separa adalah hampir (dalam satu pengertian atau yang lain) dengan beberapa fungsi pada keseluruhan selang ( a, b) daripada membuktikan penumpuan atau perbezaan siri pada titik individu. Sebagai contoh, menandakan jumlah separa n-perintah ke- melalui s n(x), kita mengatakan bahawa siri itu menumpu dalam kuadrat min kepada jumlah s(x), Jika

Satu siri boleh menumpu dalam kuasa dua min walaupun ia tidak menumpu pada mana-mana titik tunggal. Terdapat juga takrifan lain bagi penumpuan siri berfungsi.

Beberapa siri fungsi dinamakan sempena fungsi yang disertakan. Sebagai contoh, kita boleh memberikan siri kuasa dan jumlahnya:

Siri pertama ini menumpu untuk semua x. Baris kedua menumpu untuk | x| r x r x| Ј 1 jika r> 0 (kecuali apabila r ialah integer bukan negatif; dalam kes kedua, siri ini ditamatkan selepas bilangan sebutan yang terhad). Formula (17) dipanggil pengembangan binomial untuk darjah arbitrari.

Siri Dirichlet.

Siri Dirichlet ialah siri berfungsi dalam bentuk S (1/ a n x), di mana nombor a n meningkat selama-lamanya; Contoh siri Dirichlet ialah fungsi Riemann zeta

Siri Dirichlet sering digunakan dalam teori nombor.

siri trigonometri.

Ini adalah nama siri fungsian yang mengandungi fungsi trigonometri; siri trigonometri jenis khas yang digunakan dalam analisis harmonik dipanggil siri Fourier. Contoh siri Fourier ialah siri

F( x), yang mempunyai sifat berikut: jika kita mengambil jumlah separa siri tertentu (18), sebagai contoh, jumlah tiga sebutan pertamanya, maka perbezaan antara f(x) dan jumlah separa ini dikira untuk beberapa nilai x, akan menjadi kecil untuk semua nilai x berhampiran 0. Dalam erti kata lain, walaupun kita tidak dapat mencapai penghampiran yang baik bagi fungsi tersebut f(x) pada mana-mana titik tertentu x, jauh daripada sifar, mengambil walaupun sangat banyak istilah siri, tetapi untuk x hampir dengan 0, hanya beberapa istilahnya memberikan anggaran yang sangat baik. Barisan sedemikian dipanggil asimptotik. Dalam pengiraan berangka, siri asimptotik biasanya lebih berguna daripada siri konvergen, kerana ia memberikan penghampiran yang agak baik dengan bantuan sebilangan kecil istilah. Siri asimptotik digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian dan fizik matematik.

Dua baris.

Kadangkala anda perlu menjumlahkan tatasusunan dua dimensi nombor

Kita boleh menjumlahkan baris demi baris dan kemudian menambah jumlah baris. Secara umumnya, kami tidak mempunyai sebab tertentu untuk memilih baris berbanding lajur, tetapi jika penjumlahan dilakukan ke atas lajur terlebih dahulu, hasilnya mungkin berbeza. Sebagai contoh, pertimbangkan baris berganda

Di sini, setiap baris menumpu kepada jumlah yang sama dengan 0, dan oleh itu jumlah jumlah baris juga sama dengan sifar. Sebaliknya, jumlah ahli lajur pertama ialah 1 dan semua lajur lain ialah 0, jadi jumlah hasil tambah di atas lajur ialah 1. Satu-satunya siri berganda penumpu yang "mudah" ialah siri ganda bertumpu mutlak. : mereka boleh dijumlahkan dengan baris atau lajur, serta dalam apa-apa cara lain, dan jumlahnya sentiasa sama. Tiada definisi semula jadi bagi penumpuan bersyarat siri berganda.

Definisi asas.

Definisi. Jumlah sebutan bagi urutan nombor tak terhingga dipanggil siri berangka.

Pada masa yang sama, nombor
akan dipanggil ahli siri, dan u n adalah ahli biasa siri ini.

Definisi. Jumlah
,n = 1, 2, … dipanggil jumlah persendirian (sebahagian). barisan.

Oleh itu, adalah mungkin untuk mempertimbangkan urutan jumlah separa siri itu S 1 , S 2 , …, S n , …

Definisi. baris
dipanggil menumpu jika urutan jumlah separanya menumpu. Jumlah siri penumpu ialah had bagi jujukan jumlah separanya.

Definisi. Jika urutan jumlah separa siri itu mencapah, i.e. tidak mempunyai had, atau mempunyai had tak terhingga, maka siri itu dipanggil mencapah dan tiada amaun yang ditetapkan kepadanya.

sifat baris.

1) Penumpuan atau pencapahan siri tidak akan dilanggar jika anda menukar, membuang atau menambah bilangan sebutan terhingga dalam siri.

2) Pertimbangkan dua baris
Dan
, dengan C ialah nombor tetap.

Teorem. Jika baris
menumpu dan hasil tambahnya ialahS, kemudian baris
juga menumpu, dan hasil tambahnya ialah CS. (C  0)

3) Pertimbangkan dua baris
Dan
.jumlah atau beza baris ini akan dipanggil baris
, di mana unsur-unsur diperoleh hasil daripada penambahan (penolakan) unsur-unsur asal dengan nombor yang sama.

Teorem. Jika baris
Dan
bertumpu dan jumlahnya adalah sama, masing-masing.SDan , kemudian baris
juga menumpu dan hasil tambahnya adalah sama denganS +  .

Perbezaan dua siri penumpu juga akan menjadi siri penumpu.

Hasil tambah siri tumpu dan siri mencapah akan menjadi siri mencapah.

Adalah mustahil untuk membuat pernyataan umum tentang jumlah dua siri mencapah.

Apabila mengkaji siri, dua masalah diselesaikan terutamanya: kajian penumpuan dan mencari jumlah siri.

Kriteria Cauchy.

(syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk penumpuan siri)

Untuk urutan
adalah konvergen, adalah perlu dan mencukupi untuk mana-mana
ada nomborN, yang padan > Ndan mana-manahlm> 0, di mana p ialah integer, ketaksamaan berikut akan berlaku:

.

Bukti. (keperluan)

biarlah
, kemudian untuk sebarang nombor
terdapat nombor N sedemikian sehingga ketaksamaan

dilakukan untuk n>N. Untuk n>N dan sebarang integer p>0, ketaksamaan juga berlaku
. Mempertimbangkan kedua-dua ketaksamaan, kita dapat:

Keperluan itu telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.

Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk siri ini.

Untuk mendapatkan nombor
adalah konvergen perlu dan mencukupi untuk mana-mana
ada nomborNsedemikian rupa sehingga din> Ndan mana-manahlm>0 akan memuaskan ketidaksamaan

.

Walau bagaimanapun, dalam amalan, ia tidak begitu mudah untuk menggunakan kriteria Cauchy secara langsung. Oleh itu, sebagai peraturan, kriteria penumpuan yang lebih mudah digunakan:

1) Jika baris
bertumpu, adalah perlu bahawa istilah biasa u n digraviti ke arah sifar. Walau bagaimanapun, syarat ini tidak mencukupi. Kita hanya boleh mengatakan bahawa jika istilah biasa tidak cenderung kepada sifar, maka siri itu betul-betul menyimpang. Sebagai contoh, siri harmonik yang dipanggil adalah berbeza, walaupun istilah lazimnya cenderung kepada sifar.

Contoh. Menyiasat penumpuan siri

Jom cari
- kriteria penumpuan yang diperlukan tidak dipenuhi, jadi siri itu menyimpang.

2) Jika siri itu menumpu, maka jujukan jumlah separanya adalah terhad.

Walau bagaimanapun, ciri ini juga tidak mencukupi.

Sebagai contoh, siri 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… menyimpang kerana urutan jumlah separanya menyimpang disebabkan oleh fakta bahawa

Walau bagaimanapun, dalam kes ini urutan jumlah separa adalah terhad, kerana
bagi apa apa n.

Siri dengan ahli bukan negatif.

Apabila mempelajari siri dengan tanda malar, kami menghadkan diri kami untuk mempertimbangkan siri dengan istilah bukan negatif, kerana apabila hanya didarab dengan -1, siri ini boleh digunakan untuk mendapatkan siri dengan sebutan negatif.

Teorem. Untuk penumpuan siri
dengan istilah bukan negatif adalah perlu dan mencukupi bahawa jumlah separa siri itu dihadkan.

Tanda perbandingan siri dengan istilah bukan negatif.

Biar ada dua baris
Dan
di u n , v n  0 .

Teorem. Jika u n  v n bagi apa apa n, kemudian daripada penumpuan siri
mengikuti penumpuan siri
, dan daripada perbezaan siri
mengikuti perbezaan siri
.

Bukti. Nyatakan dengan S n Dan  n jumlah separa siri
Dan
. Kerana mengikut teorem, siri
menumpu, maka jumlah separanya dibatasi, iaitu, untuk semua n n  M, dengan M ialah beberapa nombor. Tetapi sejak u n  v n, Itu S n   n kemudian hasil tambah separa siri itu
juga terikat, dan ini mencukupi untuk penumpuan.

Contoh. Menyiasat siri penumpuan

Kerana
, dan siri harmonik menyimpang, maka sirinya menyimpang
.

Contoh.

Kerana
, dan baris
menumpu (sebagai janjang geometri yang menurun), kemudian siri itu
bertumpu juga.

Kriteria penumpuan berikut juga digunakan:

Teorem. Jika
dan ada hadnya
, Di manahialah nombor bukan sifar, kemudian siri
Dan
berkelakuan dengan cara yang sama dari segi penumpuan.

Tanda d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - ahli matematik Perancis)

Jika untuk satu siri
dengan istilah positif, terdapat nomborq<1, что для всех достаточно больших nketidaksamaan itu

kemudian baris
menumpu jika untuk semua cukup besarnsyarat itu

kemudian baris
menyimpang.

Tanda mengehadkan d'Alembert.

Ujian mengehadkan d'Alembert adalah akibat daripada ujian d'Alembert di atas.

Jika ada had
, kemudian pada < 1 ряд сходится, а при  > 1 - menyimpang. Jika = 1, maka persoalan penumpuan tidak dapat dijawab.

Contoh. Tentukan penumpuan bagi suatu siri .

Kesimpulan: siri itu menumpu.

Contoh. Tentukan penumpuan bagi suatu siri

Kesimpulan: siri itu menumpu.

Tanda Cauchy. (ciri radikal)

Jika untuk satu siri
dengan istilah bukan negatif, terdapat nomborq<1, что для всех достаточно больших nketidaksamaan itu

,

kemudian baris
menumpu jika untuk semua cukup besarnketidaksamaan itu

kemudian baris
menyimpang.

Akibat. Jika ada had
, kemudian pada <1 ряд сходится, а при >1 baris menyimpang.

Contoh. Tentukan penumpuan bagi suatu siri
.

Kesimpulan: siri itu menumpu.

Contoh. Tentukan penumpuan bagi suatu siri
.

Itu. Kriteria Cauchy tidak menjawab soalan tentang penumpuan siri. Marilah kita semak pemenuhan syarat penumpuan yang diperlukan. Seperti yang dinyatakan di atas, jika siri itu menumpu, maka istilah sepunya siri itu cenderung kepada sifar.

,

oleh itu, syarat yang diperlukan untuk penumpuan tidak dipenuhi, yang bermaksud bahawa siri itu menyimpang.

Ujian Cauchy Integral.

Jika (x) ialah fungsi positif berterusan menurun pada selang Dan
kemudian kamiran
Dan
berkelakuan sama dari segi penumpuan.

Baris boleh ubah.

Barisan bergantian.

Siri berselang-seli boleh ditulis sebagai:

di mana

tanda Leibniz.

Jika siri berselang-seli nilai mutlaku i berkurangan
dan istilah biasa cenderung kepada sifar
, maka siri itu menumpu.

Penumpuan mutlak dan bersyarat bagi siri.

Pertimbangkan beberapa siri berselang-seli (dengan syarat tanda sewenang-wenangnya).

(1)

dan siri yang terdiri daripada nilai mutlak syarat siri (1):

(2)

Teorem. Penumpuan siri (2) membayangkan penumpuan siri (1).

Bukti. Siri (2) bersebelahan dengan istilah bukan negatif. Jika siri (2) menumpu, maka mengikut kriteria Cauchy untuk sebarang >0 terdapat nombor N supaya untuk n>N dan sebarang integer p>0 ketaksamaan berikut adalah benar:

Mengikut sifat nilai mutlak:

Iaitu, mengikut kriteria Cauchy, penumpuan siri (2) membayangkan penumpuan siri (1).

Definisi. baris
dipanggil konvergen secara mutlak jika siri itu menumpu
.

Jelas sekali, untuk siri tanda malar, konsep penumpuan dan penumpuan mutlak bertepatan.

Definisi. baris
dipanggil konvergen bersyarat, jika ia menumpu, dan siri
menyimpang.

ujian d'Alembert dan Cauchy untuk siri berselang-seli.

biarlah
- siri berselang-seli.

Tanda d'Alembert. Jika ada had
, kemudian pada <1 ряд
akan benar-benar menumpu, dan apabila >

Tanda Cauchy. Jika ada had
, kemudian pada <1 ряд
akan benar-benar menumpu, dan apabila >1 siri akan berbeza. Apabila =1, tanda tidak memberikan jawapan tentang penumpuan siri itu.

Sifat siri penumpuan mutlak.

1) Teorem. Untuk penumpuan mutlak siri
adalah perlu dan mencukupi bahawa ia boleh diwakili sebagai perbezaan dua siri penumpu dengan sebutan bukan negatif.

Akibat. Siri penumpuan bersyarat ialah perbezaan dua siri mencapah dengan sebutan bukan negatif cenderung kepada sifar.

2) Dalam siri penumpuan, mana-mana kumpulan terma siri yang tidak mengubah susunannya mengekalkan penumpuan dan magnitud siri itu.

3) Jika suatu siri menumpu secara mutlak, maka siri yang diperoleh daripadanya melalui sebarang pilihatur sebutan juga menumpu secara mutlak dan mempunyai jumlah yang sama.

Dengan menyusun semula terma bagi siri penumpuan bersyarat, seseorang boleh mendapatkan siri penumpuan bersyarat yang mempunyai sebarang jumlah yang telah ditetapkan, dan juga siri mencapah.

4) Teorem. Dengan mana-mana pengelompokan ahli siri penumpuan mutlak (dalam kes ini, bilangan kumpulan boleh sama ada terhingga atau tak terhingga, dan bilangan ahli dalam kumpulan boleh sama ada terhingga atau tak terhingga), siri penumpuan diperolehi, jumlah yang sama dengan jumlah siri asal.

5) Jika baris Dan bertumpu secara mutlak dan jumlahnya adalah sama. S dan , kemudian satu siri yang terdiri daripada semua hasil darab bentuk
diambil dalam sebarang susunan, juga menumpu secara mutlak dan jumlahnya adalah sama dengan S - hasil tambah siri darab.

Jika, walau bagaimanapun, untuk mendarab siri penumpuan bersyarat, maka hasilnya boleh menjadi siri mencapah.

Urutan berfungsi.

Definisi. Jika ahli siri bukan nombor, tetapi berfungsi daripada X, maka siri itu dipanggil berfungsi.

Kajian penumpuan siri fungsian adalah lebih sukar daripada kajian siri berangka. Siri berfungsi yang sama boleh, untuk nilai pembolehubah yang sama X menumpu, dan dalam yang lain - mencapah. Oleh itu, persoalan penumpuan siri fungsian dikurangkan kepada penentuan nilai pembolehubah tersebut X yang mana siri itu menumpu.

Set nilai tersebut dipanggil rantau penumpuan.

Memandangkan had bagi setiap fungsi yang termasuk dalam kawasan penumpuan siri adalah nombor tertentu, maka had jujukan fungsi akan menjadi fungsi tertentu:

Definisi. Susulan ( f n (x) } menumpu untuk berfungsi f(x) pada segmen , jika untuk sebarang nombor >0 dan sebarang titik X daripada segmen yang dipertimbangkan terdapat nombor N = N(, x) supaya ketaksamaan

dilakukan untuk n>N.

Dengan nilai yang dipilih >0, setiap titik segmen sepadan dengan nombornya sendiri dan, oleh itu, akan terdapat bilangan nombor tak terhingga sepadan dengan semua titik segmen . Jika anda memilih yang terbesar daripada semua nombor ini, maka nombor ini akan sesuai untuk semua titik segmen , i.e. akan menjadi perkara biasa kepada semua mata.

Definisi. Susulan ( f n (x) } menumpu secara seragam untuk berfungsi f(x) pada selang jika untuk sebarang nombor >0 terdapat nombor N = N() supaya ketaksamaan

dilakukan untuk n>N untuk semua titik segmen .

Contoh. Pertimbangkan urutannya

Urutan ini menumpu pada keseluruhan paksi nombor kepada fungsi f(x)=0 , kerana

Mari kita plot urutan ini:

sinx

Seperti yang dapat dilihat, apabila bilangannya bertambah n graf jujukan menghampiri paksi X.

baris berfungsi.

Definisi. Jumlah peribadi (sebahagian). julat berfungsi
fungsi dipanggil

Definisi. Julat fungsi
dipanggil menumpu pada titik ( x=x 0 ) jika jujukan jumlah separanya menumpu pada titik ini. Had urutan
dipanggil jumlah barisan
pada titik X 0 .

Definisi. Set semua nilai X, yang mana siri itu menumpu
dipanggil rantau penumpuan barisan.

Definisi. baris
dipanggil konvergen seragam pada segmen jika jujukan jumlah separa siri ini menumpu seragam pada segmen ini.

Teorem. (Kriteria Cauchy untuk penumpuan seragam siri)

Untuk penumpuan seragam siri
perlu dan mencukupi untuk sebarang nombor >0 terdapat nombor sedemikianN( ), yang padan> Ndan mana-mana keseluruhanhlm>0 ketaksamaan

akan bertahan untuk semua x pada selang [a, b].

Teorem. (Ujian penumpuan seragam Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - ahli matematik Jerman)

baris
menumpu secara seragam dan mutlak pada segmen [a, b], jika modul ahlinya pada segmen yang sama tidak melebihi ahli sepadan siri berangka bertumpu dengan ahli positif:

mereka. terdapat ketidaksamaan:

.

Mereka juga mengatakan bahawa dalam kes ini siri berfungsi
diutamakan siri berangka
.

Contoh. Menyiasat siri penumpuan
.

Kerana
sentiasa, ia adalah jelas bahawa
.

Adalah diketahui bahawa siri harmonik am menumpu apabila =3>1, maka, mengikut ujian Weierstrass, siri yang dikaji menumpu secara seragam dan, lebih-lebih lagi, dalam sebarang selang.

Contoh. Menyiasat siri penumpuan .

Pada segmen [-1,1] ketaksamaan
mereka. mengikut ujian Weierstrass, siri yang dikaji menumpu pada segmen ini, dan mencapah pada selang (-, -1)  (1, ).

Sifat siri penumpuan seragam.

1) Teorem tentang kesinambungan hasil tambah siri.

Jika ahli siri
- berterusan pada selang [a, b] dan siri itu menumpu secara seragam, kemudian hasil tambahnyaS(x) ialah fungsi berterusan pada segmen [a, b].

2) Teorem mengenai pengamiran sebutan demi sebutan bagi suatu siri.

Bertumpu seragam pada segmen [a, b] siri dengan sebutan berterusan boleh disepadukan istilah demi sebutan pada segmen ini, i.e. satu siri yang terdiri daripada kamiran sebutannya sepanjang selang [a, b] , menumpu kepada kamiran hasil tambah siri ke atas segmen ini.

3) Teorem mengenai pembezaan sebutan demi sebutan bagi suatu siri.

Jika ahli siri
menumpu pada segmen [a, b] ialah fungsi berterusan dengan terbitan berterusan, dan siri itu terdiri daripada terbitan ini
menumpu secara seragam pada selang ini, maka siri yang diberikan juga menumpu secara seragam dan boleh dibezakan sebutan demi sebutan.

Berdasarkan fakta bahawa jumlah siri adalah beberapa fungsi pembolehubah X, anda boleh melaksanakan operasi mewakili fungsi sebagai satu siri (mengembangkan fungsi menjadi satu siri), yang digunakan secara meluas dalam penyepaduan, pembezaan dan operasi lain dengan fungsi.

Dalam amalan, pengembangan fungsi dalam siri kuasa sering digunakan.

Siri kuasa.

Definisi. kuasa seterusnya dipanggil siri

.

Untuk mengkaji penumpuan siri kuasa, adalah mudah untuk menggunakan ujian d'Alembert.

Contoh. Menyiasat siri penumpuan

Kami menggunakan tanda d'Alembert:

.

Kami mendapati bahawa siri ini menumpu pada
dan menyimpang pada
.

Sekarang mari kita takrifkan penumpuan pada titik sempadan 1 dan –1.

Untuk x = 1:
Siri ini menumpu mengikut ujian Leibniz (lihat Rajah. tanda Leibniz.).

Untuk x = -1:
siri mencapah (siri harmonik).

Teorem Abel.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - ahli matematik Norway)

Teorem. Jika siri kuasa
menumpu padax = x 1 , kemudian ia menumpu dan, lebih-lebih lagi, benar-benar untuk semua
.

Bukti. Dengan syarat teorem, oleh kerana terma siri adalah terhad, maka

di mana k ialah beberapa nombor tetap. Ketaksamaan berikut adalah benar:

Ia boleh dilihat daripada ketidaksamaan ini bahawa x< x 1 nilai berangka ahli siri kami akan kurang (dalam apa jua keadaan, tidak lebih) daripada ahli siri yang sepadan di sebelah kanan ketaksamaan yang ditulis di atas, yang membentuk janjang geometri. Penyebut janjang ini dengan keadaan teorem adalah kurang daripada satu, oleh itu, janjang ini adalah siri penumpuan.

Oleh itu, berdasarkan ujian perbandingan, kami membuat kesimpulan bahawa siri
menumpu, yang bermaksud siri
menumpu secara mutlak.

Oleh itu, jika siri kuasa
menumpu pada satu titik X 1 , maka ia menumpu secara mutlak pada mana-mana titik selang panjang 2 berpusat pada satu titik X = 0.

Akibat. Jika di x = x 1 siri menyimpang, maka ia menyimpang untuk semua
.

Oleh itu, bagi setiap siri kuasa terdapat nombor positif R supaya, untuk semua X seperti itu
siri menumpu secara mutlak, dan untuk semua
barisan menyimpang. Dalam kes ini, nombor R dipanggil jejari penumpuan. Selang (-R, R) dipanggil selang penumpuan.

Ambil perhatian bahawa selang ini boleh ditutup pada satu atau dua sisi, dan tidak ditutup.

Jejari penumpuan boleh didapati menggunakan formula:

Contoh. Cari luas penumpuan bagi suatu siri

Mencari jejari penumpuan
.

Oleh itu, siri ini menumpu untuk sebarang nilai X. Istilah biasa siri ini cenderung kepada sifar.

Teorem. Jika siri kuasa
menumpu kepada nilai positif x=x 1 , maka ia menumpu secara seragam dalam sebarang selang di dalamnya
.

Tindakan dengan siri kuasa.

Barisan untuk teko. Contoh penyelesaian

Semua mangsa selamat datang ke tahun kedua! Dalam pelajaran ini, atau sebaliknya, dalam satu siri pelajaran, kita akan belajar cara mengurus baris. Topik ini tidak begitu sukar, tetapi untuk menguasainya anda memerlukan pengetahuan dari kursus pertama, khususnya, anda perlu faham apakah hadnya, dan dapat mencari had yang paling mudah. Walau bagaimanapun, tidak mengapa, semasa penjelasan saya akan memberikan pautan yang sesuai kepada pelajaran yang diperlukan. Bagi sesetengah pembaca, topik siri matematik, kaedah penyelesaian, tanda, teorem mungkin kelihatan pelik, malah megah, tidak masuk akal. Dalam kes ini, anda tidak perlu "memuat" banyak, kami menerima fakta sebagaimana adanya, dan hanya belajar menyelesaikan tugas biasa yang biasa.

1) Barisan untuk teko, dan untuk samovar kandungan segera :)

Untuk penyediaan ultra cepat mengenai topik terdapat kursus ekspres dalam format pdf, dengan bantuan yang benar-benar mungkin untuk "meningkatkan" amalan hanya dalam sehari.

Konsep siri nombor

Secara umum siri nombor boleh ditulis seperti ini:
di sini:
- ikon matematik jumlah;
– istilah biasa siri ini(ingat istilah mudah ini);
- pembolehubah - "kaunter". Rekod bermakna penjumlahan dijalankan daripada 1 hingga “tambah infiniti”, iaitu, mula-mula kita ada , kemudian , kemudian , dan seterusnya - hingga infiniti. Pembolehubah atau kadangkala digunakan bukannya pembolehubah. Penjumlahan tidak semestinya bermula dari satu, dalam beberapa kes ia boleh bermula dari sifar, dari dua, atau dari mana-mana nombor asli.

Selaras dengan pembolehubah "kaunter", sebarang siri boleh dicat secara terperinci:
– dan seterusnya ad infinitum.

Syarat - Ini NOMBOR, yang dipanggil ahli barisan. Jika kesemuanya bukan negatif (lebih besar daripada atau sama dengan sifar), maka siri sedemikian dipanggil garis nombor positif.

Contoh 1

Ngomong-ngomong, ini sudah menjadi tugas "pertempuran" - dalam praktiknya, selalunya diperlukan untuk merakam beberapa ahli siri.

Pertama kemudian:
Kemudian, kemudian:
Kemudian, kemudian:

Proses ini boleh diteruskan selama-lamanya, tetapi mengikut syarat, ia diperlukan untuk menulis tiga istilah pertama siri, jadi kami menulis jawapannya:

Perhatikan perbezaan asas dari urutan nombor,
di mana terma tidak dijumlahkan, tetapi dianggap sedemikian.

Contoh 2

Tulis tiga sebutan pertama siri itu

Ini adalah contoh penyelesaian diri, jawapannya ada di akhir pelajaran.

Walaupun untuk siri yang kelihatan rumit, tidak sukar untuk menerangkannya dalam bentuk yang diperluaskan:

Contoh 3

Tulis tiga sebutan pertama siri itu

Malah, tugas itu dilakukan secara lisan: menggantikan secara mental dalam istilah biasa siri itu pertama , kemudian dan . Akhirnya:

Tinggalkan jawapan seperti ini adalah lebih baik untuk tidak memudahkan syarat yang diperolehi bagi siri tersebut, itu dia tidak mematuhi tindakan: , , . kenapa? Jawab dalam borang lebih mudah dan senang untuk disemak oleh guru.

Kadang-kadang ada yang terbalik

Contoh 4

Tiada algoritma penyelesaian yang jelas di sini. anda hanya perlu melihat corak.
Dalam kes ini:

Untuk pengesahan, siri yang terhasil boleh "dicat kembali" dalam bentuk dikembangkan.

Tetapi contohnya sedikit lebih sukar untuk penyelesaian bebas:

Contoh 5

Tulis jumlah dalam bentuk runtuh dengan sebutan sepunya siri

Semak semula dengan menulis siri dalam bentuk yang diperluaskan

Penumpuan siri nombor

Salah satu objektif utama topik tersebut ialah pemeriksaan siri untuk penumpuan. Dalam kes ini, dua kes adalah mungkin:

1) barismenyimpang. Ini bermakna jumlah tak terhingga adalah sama dengan tak terhingga: sama ada jumlah secara umum tidak wujud, seperti, sebagai contoh, dalam siri
(by the way, berikut adalah contoh siri dengan istilah negatif). Contoh yang baik bagi siri nombor mencapah ditemui pada permulaan pelajaran: . Di sini agak jelas bahawa setiap penggal seterusnya bagi siri ini adalah lebih besar daripada yang sebelumnya, oleh itu dan oleh itu siri itu menyimpang. Contoh yang lebih remeh: .

2) barismenumpu. Ini bermakna jumlah tak terhingga adalah sama dengan beberapa nombor akhir: . Tolong: Siri ini menumpu dan hasil tambahnya ialah sifar. Contoh yang lebih bermakna ialah semakin berkurangan janjang geometri, yang kita ketahui sejak sekolah: . Jumlah ahli janjang geometri berkurangan tak terhingga dikira dengan formula: , di mana ialah ahli pertama janjang itu, dan ialah tapaknya, yang, sebagai peraturan, ditulis sebagai betul pecahan. Dalam kes ini: , . Oleh itu: Nombor terhingga diperoleh, yang bermaksud siri itu menumpu, yang diperlukan untuk dibuktikan.

Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes cari hasil tambah siri itu tidak begitu mudah, dan oleh itu, dalam amalan, untuk mengkaji penumpuan siri, tanda-tanda khas digunakan, yang telah terbukti secara teori.

Terdapat beberapa tanda penumpuan siri: kriteria yang diperlukan untuk penumpuan siri, kriteria perbandingan, kriteria d'Alembert, kriteria Cauchy, tanda Leibniz dan beberapa tanda lain. Bila hendak menggunakan tanda apa? Ia bergantung pada istilah biasa siri, secara kiasan - pada "pemadat" siri itu. Dan tidak lama lagi kami akan meletakkan segala-galanya di rak.

! Untuk pembelajaran lanjut, anda perlukan faham dengan baik, apakah had dan adalah baik untuk dapat mendedahkan ketidakpastian bentuk. Untuk pengulangan atau kajian bahan, rujuk artikel had. Contoh penyelesaian.

Kriteria yang diperlukan untuk penumpuan siri

Jika siri itu menumpu, maka sebutan sepunyanya cenderung kepada sifar: .

Sebaliknya tidak benar dalam kes umum, iaitu, jika , maka siri boleh menumpu dan mencapah. Jadi tanda ini digunakan untuk membenarkan perbezaan baris:

Jika istilah biasa siri tidak pergi ke sifar, maka siri itu menyimpang

Atau ringkasnya: jika , maka siri itu menyimpang. Khususnya, situasi mungkin berlaku apabila had tidak wujud sama sekali, sebagai contoh, had. Di sini mereka segera membuktikan perbezaan satu siri :)

Tetapi lebih kerap had siri mencapah adalah sama dengan infiniti, manakala bukannya "x" ia bertindak sebagai pembolehubah "dinamik". Mari segarkan pengetahuan kita: had dengan "x" dipanggil had fungsi, dan had dengan pembolehubah "en" - had jujukan berangka. Perbezaan yang jelas ialah pembolehubah "en" mengambil nilai semula jadi diskret (tidak selanjar): 1, 2, 3, dsb. Tetapi fakta ini mempunyai sedikit kesan ke atas kaedah untuk menyelesaikan had dan kaedah untuk mendedahkan ketidakpastian.

Mari kita buktikan bahawa siri dari contoh pertama menyimpang.
Ahli biasa siri ini:

Kesimpulan: baris menyimpang

Ciri yang diperlukan sering digunakan dalam tugas praktikal sebenar:

Contoh 6

Kami mempunyai polinomial dalam pengangka dan penyebut. Orang yang membaca dan memahami dengan teliti kaedah pendedahan ketidakpastian dalam artikel itu had. Contoh penyelesaian, sudah tentu menangkapnya apabila kuasa tertinggi pengangka dan penyebut sama rata, maka hadnya ialah nombor akhir .

Bahagikan pengangka dan penyebut dengan

Siri Pengajian menyimpang, kerana kriteria yang diperlukan untuk penumpuan siri tidak dipenuhi.

Contoh 7

Periksa siri untuk penumpuan

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran

Jadi, apabila kita diberi SEBARANG siri nombor, Pertama sekali kita semak (secara mental atau pada draf): adakah istilah biasanya cenderung kepada sifar? Jika ia tidak berusaha, kami merangka penyelesaian mengikut contoh contoh No. 6, 7 dan memberikan jawapan bahawa siri itu menyimpang.

Apakah jenis siri yang nampaknya berbeza yang telah kami pertimbangkan? Ia serta-merta jelas bahawa baris suka atau menyimpang. Siri daripada contoh No. 6, 7 juga berbeza: apabila pengangka dan penyebut mengandungi polinomial, dan darjah tertinggi pengangka adalah lebih besar daripada atau sama dengan darjah tertinggi penyebut. Dalam semua kes ini, apabila menyelesaikan dan mereka bentuk contoh, kami menggunakan kriteria yang diperlukan untuk penumpuan siri.

Mengapa tanda itu dipanggil perlu? Fahami dengan cara yang paling semula jadi: agar siri itu menumpu, perlu supaya istilah lazimnya cenderung kepada sifar. Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi ini tidak cukup. Dalam kata lain, jika istilah sepunya siri cenderung kepada sifar, INI TIDAK BERMAKSUD siri itu menumpu- ia boleh menumpu dan mencapah!

Bertemu:

Baris ini dipanggil siri harmonik. Tolong ingat! Di antara siri berangka, dia adalah ballerina prima. Lebih tepat lagi, ballerina =)

Ia adalah mudah untuk melihatnya , TETAPI. Dalam teori analisis matematik, terbukti bahawa siri harmonik mencapah.

Anda juga harus ingat konsep siri harmonik umum:

1) Baris ini menyimpang di . Contohnya, siri mencapah, , .
2) Baris ini menumpu di . Contohnya, siri , , . Saya menekankan sekali lagi bahawa dalam hampir semua tugas praktikal tidak penting bagi kita sama sekali apa jumlahnya, sebagai contoh, sirinya, hakikat penumpuannya adalah penting.

Ini adalah fakta asas daripada teori siri yang telah pun dibuktikan, dan apabila menyelesaikan beberapa contoh praktikal, seseorang boleh merujuk dengan selamat, sebagai contoh, kepada perbezaan siri atau penumpuan siri.

Secara umum, bahan yang sedang dipertimbangkan sangat serupa dengan kajian kamiran tak wajar, dan mereka yang telah mempelajari topik ini akan lebih mudah. Nah, bagi yang belum belajar, lebih mudah berganda :)

Jadi, apa yang perlu dilakukan jika istilah biasa siri itu MENJADI sifar? Dalam kes sedemikian, untuk menyelesaikan contoh, anda perlu menggunakan yang lain, mencukupi tanda-tanda penumpuan / perbezaan:

Kriteria perbandingan untuk siri nombor positif

Saya menarik perhatian anda bahawa di sini kita hanya bercakap tentang siri berangka positif (dengan ahli bukan negatif).

Terdapat dua tanda perbandingan, salah satunya saya akan panggil sahaja tanda perbandingan, satu lagi - tanda membatasi perbandingan.

Pertimbangkan dahulu tanda perbandingan, atau sebaliknya, bahagian pertamanya:

Pertimbangkan dua siri berangka positif dan . Jika diketahui, bahawa baris itu adalah menumpu, dan, bermula dari beberapa nombor , ketaksamaan berlaku, kemudian siri bertumpu juga.

Dalam kata lain: Penumpuan siri dengan sebutan yang lebih besar membayangkan penumpuan siri dengan sebutan yang lebih kecil. Dalam amalan, ketidaksamaan sering berpuas hati secara umum untuk semua nilai:

Contoh 8

Periksa siri untuk penumpuan

Pertama, kita semak(secara mental atau pada draf) pelaksanaan:
, yang bermaksud bahawa tidak mungkin untuk "turun dengan sedikit darah".

Kami melihat ke dalam "pakej" siri harmonik umum dan, memfokuskan pada tahap tertinggi, kami mendapati siri yang serupa: Dari teori diketahui bahawa ia menumpu.

Untuk semua nombor asli, ketidaksamaan yang jelas berlaku:

dan penyebut yang lebih besar sepadan dengan pecahan yang lebih kecil:
, yang bermaksud bahawa, mengikut kriteria perbandingan, siri yang dikaji menumpu bersama dengan sebelah .

Jika anda mempunyai sebarang keraguan, maka ketidaksamaan sentiasa boleh dicat secara terperinci! Mari kita tuliskan ketaksamaan yang dibina untuk beberapa nombor "en":
Jika , maka
Jika , maka
Jika , maka
Jika , maka
….
dan kini ia agak jelas bahawa ketidaksamaan memegang untuk semua nombor asli "en".

Marilah kita menganalisis kriteria perbandingan dan contoh yang diselesaikan dari sudut pandangan tidak formal. Namun, mengapa siri itu bertumpu? Inilah sebabnya. Jika siri itu menumpu, maka ia mempunyai beberapa muktamad jumlah: . Dan sejak semua ahli siri kurang ahli siri yang sepadan, maka tunggul adalah jelas bahawa jumlah siri tidak boleh lebih besar daripada nombor , dan lebih-lebih lagi, tidak boleh sama dengan infiniti!

Begitu juga, kita boleh membuktikan penumpuan siri "serupa": , , dan lain-lain.

! Nota bahawa dalam semua kes kita mempunyai "tambah" dalam penyebut. Kehadiran sekurang-kurangnya satu tolak boleh merumitkan penggunaan yang dipertimbangkan ciri perbandingan. Sebagai contoh, jika siri itu dibandingkan dengan cara yang sama dengan siri penumpu (tulis beberapa ketaksamaan untuk sebutan pertama), maka syarat itu tidak akan dipenuhi sama sekali! Di sini anda boleh mengelak dan memilih untuk perbandingan siri penumpu lain, contohnya, , tetapi ini akan melibatkan tempahan yang tidak perlu dan kesukaran lain yang tidak perlu. Oleh itu, untuk membuktikan penumpuan siri, ia adalah lebih mudah untuk digunakan kriteria perbandingan marginal(lihat perenggan seterusnya).

Contoh 9

Periksa siri untuk penumpuan

Dan dalam contoh ini, saya cadangkan anda pertimbangkan sendiri bahagian kedua ciri perbandingan:

Jika diketahui, bahawa baris itu adalah menyimpang, dan bermula dari beberapa nombor (selalunya dari yang pertama) ketidaksamaan berlaku, kemudian sirinya juga menyimpang.

Dalam kata lain: Perbezaan siri dengan istilah yang lebih kecil membayangkan perbezaan siri dengan istilah yang lebih besar.

Apa yang patut dibuat?
Adalah perlu untuk membandingkan siri yang dikaji dengan siri harmonik yang berbeza. Untuk pemahaman yang lebih baik, bina beberapa ketaksamaan khusus dan pastikan ketaksamaan itu benar.

Reka bentuk penyelesaian dan contoh pada akhir pelajaran.

Seperti yang telah dinyatakan, dalam amalan ciri perbandingan yang baru dipertimbangkan jarang digunakan. "Kuda kerja" sebenar siri nombor ialah kriteria perbandingan marginal, dan dari segi kekerapan penggunaan, sahaja tanda d'Alembert.

Had tanda perbandingan siri positif berangka

Pertimbangkan dua siri berangka positif dan . Jika had nisbah ahli biasa siri ini adalah sama dengan nombor bukan sifar terhingga: , kemudian kedua-dua siri menumpu atau mencapah pada masa yang sama.

Bilakah kriteria perbandingan had digunakan? Tanda had perbandingan digunakan apabila "pemadat" siri adalah polinomial. Sama ada satu polinomial dalam penyebut, atau polinomial dalam kedua-dua pengangka dan penyebut. Secara pilihan, polinomial boleh berada di bawah akar.

Mari kita berurusan dengan siri yang tanda perbandingan sebelumnya terhenti.

Contoh 10

Periksa siri untuk penumpuan

Bandingkan siri ini dengan siri penumpu . Kami menggunakan ujian had perbandingan. Adalah diketahui bahawa siri itu menumpu. Jika kita boleh menunjukkan bahawa ia adalah akhir bukan sifar nombor, ia akan dibuktikan bahawa siri itu juga menumpu.

Nombor terhingga, bukan sifar diperoleh, yang bermaksud bahawa siri yang sedang dikaji menumpu bersama dengan sebelah .

Mengapakah siri ini dipilih untuk perbandingan? Jika kami telah memilih mana-mana siri lain daripada "klip" siri harmonik umum, maka kami tidak akan berjaya dalam had akhir bukan sifar nombor (anda boleh mencuba).

Catatan: apabila kita menggunakan ciri perbandingan marginal, tidak mengapa, dalam susunan bagaimana untuk mengarang perhubungan ahli biasa, dalam contoh yang dipertimbangkan, perhubungan itu boleh dibuat secara terbalik: - ini tidak akan mengubah intipati perkara itu.