Teorem Pythagoras lanjutan. Cara Berbeza untuk Membuktikan Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras ialah pernyataan geometri yang paling penting. Teorem ini dirumuskan seperti berikut: luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus segi tiga tepat adalah sama dengan jumlah luas segi empat yang dibina pada kakinya.

Biasanya penemuan kenyataan ini dikaitkan dengan ahli falsafah Yunani kuno dan ahli matematik Pythagoras (abad VI SM). Tetapi kajian tentang tablet cuneiform Babylon dan manuskrip Cina kuno (salinan manuskrip yang lebih tua) menunjukkan bahawa pernyataan ini diketahui jauh sebelum Pythagoras, mungkin satu milenium sebelum dia. Kelebihan Pythagoras ialah dia menemui bukti teorem ini.

Mungkin, fakta yang dinyatakan dalam teorem Pythagoras mula-mula ditubuhkan untuk segi tiga tegak isosceles. Ia cukup untuk melihat mozek segitiga hitam dan terang yang ditunjukkan dalam rajah. 1 untuk mengesahkan kesahihan teorem segi tiga: segi empat yang dibina pada hipotenus mengandungi 4 segi tiga, dan segi empat sama yang mengandungi 2 segi tiga dibina pada setiap kaki. Untuk bukti kes am dalam india purba disusun dalam dua cara: dalam segi empat sama dengan sisi, empat segi tiga bersudut tepat dengan kaki panjang dan digambarkan (Rajah 2, a dan 2, b), selepas itu mereka menulis satu perkataan "Lihat!". Dan sesungguhnya, melihat angka-angka ini, kita melihat bahawa di sebelah kiri adalah angka yang bebas daripada segi tiga, yang terdiri daripada dua segi empat sama dengan sisi dan, masing-masing, luasnya adalah sama, dan di sebelah kanan - segi empat sama dengan sisi - kawasannya adalah sama rata. Oleh itu, , yang merupakan pernyataan teorem Pythagoras.

Walau bagaimanapun, selama dua milenium, bukan bukti visual ini yang digunakan, tetapi bukti yang lebih kompleks yang dicipta oleh Euclid, yang diletakkan dalam buku terkenalnya "Permulaan" (lihat Euclid dan "Permulaan"), Euclid menurunkan ketinggian dari bahagian atas sudut tepat pada hipotenus dan membuktikan bahawa kesinambungannya membahagikan segi empat sama yang dibina pada hipotenus kepada dua segi empat tepat, yang luasnya adalah sama dengan luas segi empat sama yang dibina pada kaki (Rajah 3). Lukisan yang digunakan dalam pembuktian teorem ini secara berseloroh dipanggil "seluar Pythagoras". Untuk masa yang lama dia dianggap sebagai salah satu simbol sains matematik.

Hari ini terdapat beberapa dozen pelbagai bukti Teorem Pythagoras. Sebahagian daripadanya adalah berdasarkan sekatan segi empat sama, di mana segi empat yang dibina pada hipotenus terdiri daripada bahagian-bahagian yang termasuk dalam sekatan segi empat sama yang dibina di atas kaki; yang lain - pada pelengkap kepada angka yang sama; yang ketiga - pada hakikat bahawa ketinggian, diturunkan dari puncak sudut tepat ke hipotenus, membahagikan segi tiga tepat kepada dua segi tiga yang serupa dengannya.

Teorem Pythagoras paling mendasari pengiraan geometri. Malah di Babylon purba, ia digunakan untuk mengira panjang ketinggian segi tiga sama kaki mengikut panjang tapak dan sisi, anak panah segmen mengikut diameter bulatan dan panjang kord, nisbah antara unsur-unsur beberapa poligon biasa telah ditubuhkan. Dengan bantuan teorem Pythagoras, generalisasinya dibuktikan, yang memungkinkan untuk mengira panjang sisi yang terletak bertentangan dengan sudut akut atau tumpul:

Daripada generalisasi ini, kehadiran sudut tepat dalam bukan sahaja mencukupi, tetapi juga syarat yang diperlukan untuk pemenuhan kesaksamaan. Formula (1) membayangkan hubungan antara panjang pepenjuru dan sisi segi empat selari, yang dengannya mudah untuk mencari panjang median segitiga daripada panjang sisinya.

Berdasarkan teorem Pythagoras, formula juga diperoleh yang menyatakan luas mana-mana segitiga dari segi panjang sisinya (lihat formula Heron). Sudah tentu, teorem Pythagoras juga digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah praktikal.

Daripada segi empat sama pada sisi segi tiga tepat, anda boleh membina sebarang bentuk yang serupa antara satu sama lain (segi tiga sama, separuh bulatan, dll.). Dalam kes ini, luas rajah yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah kawasan rajah yang dibina pada kaki. Satu lagi generalisasi berkaitan dengan peralihan dari satah ke angkasa. Ia dirumuskan seperti berikut: segi empat sama panjang pepenjuru segi empat selari. adalah sama dengan jumlah segi empat sama ukurannya (panjang, lebar dan tinggi). Teorem yang serupa juga berlaku dalam kes multidimensi dan juga dimensi tak terhingga.

Teorem Pythagoras hanya wujud dalam geometri Euclidean. Ia tidak berlaku sama ada dalam geometri Lobachevsky atau dalam geometri bukan Euclidean yang lain. Tiada analog teorem Pythagoras pada sfera sama ada. Dua meridian membentuk sudut 90° dan khatulistiwa mengikat segitiga sfera sama sisi pada sfera, ketiga-tiganya adalah sudut tegak. Baginya, bukan seperti dalam kapal terbang.

Dengan menggunakan teorem Pythagoras, hitung jarak antara titik dan satah koordinat mengikut formula

.

Selepas teorem Pythagoras ditemui, persoalan timbul tentang bagaimana untuk mencari semua tiga kali ganda nombor asli yang boleh menjadi sisi segi tiga tepat (lihat teorem besar Fermat). Mereka ditemui oleh Pythagoreans, tetapi beberapa kaedah umum untuk mencari bilangan tiga kali ganda seperti itu diketahui oleh orang Babylon. Salah satu tablet cuneiform mengandungi 15 triplet. Antaranya terdapat kembar tiga yang terdiri daripada jadi nombor besar bahawa tidak ada persoalan untuk mencari mereka melalui pemilihan.

NERAKA HIPPOCRATE

Lubang Hippocratic - angka yang dibatasi oleh lengkok dua bulatan, dan, lebih-lebih lagi, sedemikian rupa sehingga dalam jejari dan panjang kord biasa daripada bulatan ini, dengan bantuan kompas dan garis lurus, anda boleh membina segi empat sama dengan luas yang sama dengan mereka.

Daripada generalisasi teorem Pythagoras kepada separuh bulatan, ia berikutan bahawa jumlah kawasan lubang merah jambu yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah kiri adalah sama dengan luas segi tiga biru. Oleh itu, jika kita mengambil segitiga tegak sama kaki, maka kita mendapat dua lubang, luasnya yang setiap satu akan sama dengan separuh luas segi tiga. Mencuba menyelesaikan masalah mengkuadratkan bulatan (lih. Masalah klasik zaman purba), ahli matematik Yunani purba Hippocrates (abad ke-5 SM) menemui beberapa lagi lubang, yang kawasannya dinyatakan dari segi kawasan angka rectilinear.

Senarai lengkap lubang hippomarginal diperoleh hanya pada abad ke-19-20. melalui penggunaan kaedah teori Galois.

Teorem Pythagoras

Nasib teorem dan masalah lain adalah pelik... Bagaimanakah seseorang boleh menjelaskan, sebagai contoh, perhatian yang luar biasa daripada ahli matematik dan ahli matematik kepada teorem Pythagoras? Mengapa ramai daripada mereka tidak berpuas hati dengan bukti yang telah diketahui, tetapi menemui bukti mereka sendiri, menjadikan bilangan bukti kepada beberapa ratus dalam dua puluh lima abad yang boleh dilihat secara perbandingan?
Bila kita bercakap tentang teorem Pythagoras, yang luar biasa sudah bermula dengan namanya. Adalah dipercayai bahawa bukan Pythagoras yang merumuskannya buat kali pertama. Ia juga meragukan bahawa dia memberikan bukti kepadanya. Jika Pythagoras - muka sebenar(ada juga yang meragui ini!), maka kemungkinan besar dia hidup pada abad ke-6-5. BC e. Dia sendiri tidak menulis apa-apa, dia memanggil dirinya seorang ahli falsafah, yang bermaksud, dalam pemahamannya, "bercita-cita untuk kebijaksanaan", mengasaskan Kesatuan Pythagorean, yang ahlinya terlibat dalam muzik, gimnastik, matematik, fizik dan astronomi. Rupa-rupanya, dia juga seorang pemidato yang hebat, seperti yang dibuktikan oleh legenda berikut yang berkaitan dengan tinggalnya di kota Croton: menggariskan tugas-tugas para pemuda, bahawa para penatua di kota itu meminta untuk tidak meninggalkan mereka tanpa mengajar. Dalam ucapan kedua ini, beliau menunjukkan keabsahan dan kesucian akhlak, sebagai asas keluarga; dalam dua seterusnya dia bercakap kepada kanak-kanak dan wanita. Akibat ucapan terakhir di mana dia terutama mengutuk kemewahan adalah bahawa beribu-ribu pakaian berharga telah dihantar ke kuil Hera, kerana tidak seorang wanita pun berani menunjukkan diri mereka di jalanan lagi ... "Namun begitu, pada abad kedua era kita, iaitu selepas 700 tahun, mereka hidup dan bekerja sepenuhnya orang sebenar, saintis cemerlang yang jelas dipengaruhi oleh kesatuan Pythagorean dan dengan sangat menghormati apa yang, menurut legenda, dicipta oleh Pythagoras.
Ia juga tidak dinafikan bahawa minat dalam teorem disebabkan oleh fakta bahawa ia menduduki salah satu tempat utama dalam matematik, dan oleh kepuasan pengarang bukti yang mengatasi kesukaran, yang mana penyair Rom Quintus Horace Flaccus , yang hidup sebelum zaman kita, berkata dengan baik: “Sukar untuk menyatakan fakta yang diketahui umum” .
Pada mulanya, teorem mewujudkan hubungan antara luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus dan kaki segi tiga tegak:
.
Perumusan algebra:
AT segi tiga tepat kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki.
Iaitu, menandakan panjang hipotenus segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui a dan b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua lebih asas, ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.
Teorem Pythagoras songsang. Untuk setiap trio nombor positif a, b dan c sedemikian rupa
a 2 + b 2 = c 2 , terdapat segi tiga tegak dengan kaki a dan b serta hipotenus c.

Bukti

hidup masa ini dalam sastera saintifik 367 bukti teorem ini telah direkodkan. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Variasi sedemikian hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konsep, kesemuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal daripada mereka: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).

Melalui segi tiga yang serupa

Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.
Biarkan ABC ialah segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Lukis ketinggian dari C dan nyatakan tapaknya dengan H. Segitiga ACH serupa dengan segitiga ABC dalam dua sudut.
Begitu juga, segi tiga CBH adalah serupa dengan ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara

Menambah, kita dapat

atau

Bukti kawasan

Bukti-bukti berikut, walaupun nampak sederhana, tidak begitu mudah sama sekali. Kesemua mereka menggunakan sifat-sifat kawasan, buktinya lebih rumit daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

1. Susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
2. Sisi empat dengan sisi c ialah segi empat sama, kerana hasil tambah dua sudut tajam 90° dan sudut lurus ialah 180°.
3. Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, dengan jumlah empat segi tiga dan segi empat sama dalam.



Q.E.D.

Bukti melalui Kesetaraan

Contoh salah satu daripada bukti ini ditunjukkan dalam lukisan di sebelah kanan, di mana segi empat sama yang dibina pada hipotenus ditukar dengan pilih atur kepada dua petak yang dibina pada kaki.

Bukti Euclid

Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina pada kaki, dan kemudian luas segi empat sama besar dan dua petak kecil adalah sama. Pertimbangkan lukisan di sebelah kiri. Kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga bersudut tegak di atasnya dan melukis sinar s dari bucu sudut tegak C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina pada hipotenus, kepada dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ , masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama persis dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan. Mari kita cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama seperti yang diberikan segi empat tepat sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberikan. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini, ia mengikuti bahawa luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan), yang, seterusnya, adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK. Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat dengan harta di atas). Kesamaan ini jelas, segi tiga adalah sama dalam dua sisi dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: mari kita putar segitiga CAK 90 ° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi dua segi tiga yang sedang dipertimbangkan akan bertepatan (disebabkan oleh fakta bahawa sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°). Hujah tentang kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya. Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa luas segi empat sama yang dibina di atas hipotenus ialah jumlah luas segi empat yang dibina di atas kaki.

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian ialah simetri dan pergerakan.

Pertimbangkan lukisan, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CI memotong segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (kerana segi tiga ABC dan JHI adalah sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJI dan GDAB. Kini jelas bahawa luas rajah yang dilorek oleh kami adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Pastikan segi tiga yang anda berikan ialah segi tiga tegak, kerana teorem Pythagoras hanya terpakai kepada segi tiga tegak. Dalam segi tiga tegak, salah satu daripada tiga sudut sentiasa 90 darjah.

• Sudut tegak dalam segi tiga tegak ditunjukkan oleh segi empat sama bukannya lengkung, yang mewakili sudut bukan tegak.

Labelkan sisi segi tiga itu. Tentukan kaki sebagai "a" dan "b" (kaki adalah sisi yang bersilang pada sudut tepat), dan hipotenus sebagai "c" (hipottenus ialah sisi terbesar segitiga tegak yang terletak bertentangan dengan sudut tegak).

Tentukan sisi segi tiga yang anda ingin cari. Teorem Pythagoras membolehkan anda mencari mana-mana sisi segi tiga tepat (jika dua sisi yang lain diketahui). Tentukan sisi (a, b, c) yang perlu ditemui.

• Sebagai contoh, diberi hipotenus sama dengan 5, dan diberi kaki sama dengan 3. Dalam kes ini, anda perlu mencari kaki kedua. Kami akan kembali kepada contoh ini kemudian.
• Jika dua sisi yang lain tidak diketahui, adalah perlu untuk mencari panjang salah satu sisi yang tidak diketahui untuk dapat menggunakan teorem Pythagoras. Untuk melakukan ini, gunakan asas fungsi trigonometri(jika anda diberi nilai salah satu sudut bukan tegak).

Gantikan dalam formula a 2 + b 2 \u003d c 2 nilai-nilai yang diberikan kepada anda (atau nilai-nilai yang anda temui). Ingat bahawa a dan b ialah kaki, dan c ialah hipotenus.

• Dalam contoh kami, tulis: 3² + b² = 5².

Square setiap sisi yang diketahui. Atau tinggalkan darjah - anda boleh kuasa dua nombor kemudian.

• Dalam contoh kami, tulis: 9 + b² = 25.

Asingkan sisi yang tidak diketahui pada satu sisi persamaan. Untuk melakukan ini, bergerak nilai yang diketahui ke sisi lain persamaan. Jika anda menemui hipotenus, maka dalam teorem Pythagoras ia sudah diasingkan pada satu sisi persamaan (jadi tiada apa yang perlu dilakukan).

• Dalam contoh kami, gerakkan 9 ke sebelah kanan persamaan untuk mengasingkan b² yang tidak diketahui. Anda akan mendapat b² = 16.

Ekstrak Punca kuasa dua daripada kedua-dua belah persamaan selepas yang tidak diketahui (kuadrat) hadir pada satu sisi persamaan, dan sebutan bebas (nombor) hadir pada sisi yang lain.

• Dalam contoh kita, b² = 16. Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan dan dapatkan b = 4. Jadi kaki kedua ialah 4.

Gunakan teorem Pythagoras dalam Kehidupan seharian, kerana ia boleh digunakan dalam bilangan yang besar situasi praktikal. Untuk melakukan ini, belajar mengenali segi tiga tegak dalam kehidupan seharian - dalam sebarang situasi di mana dua objek (atau garis) bersilang pada sudut tepat, dan objek ketiga (atau garis) menghubungkan (menjurus) bahagian atas dua objek pertama (atau baris), anda boleh menggunakan teorem Pythagoras untuk mencari sisi yang tidak diketahui (jika dua sisi yang lain diketahui).

• Contoh: Diberi tangga bersandar pada bangunan. Bahagian bawah tangga terletak 5 meter dari dasar dinding. Bahagian atas tangga terletak 20 meter dari tanah (naik dinding). Berapakah panjang tangga itu?
  • "5 meter dari dasar dinding" bermakna a = 5; "adalah 20 meter dari tanah" bermakna b = 20 (iaitu, anda diberi dua kaki segi tiga tepat, kerana dinding bangunan dan permukaan Bumi bersilang pada sudut tepat). Panjang tangga ialah panjang hipotenus, yang tidak diketahui.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Oleh itu, anggaran panjang tangga ialah 20.6 meter.

Bukti animasi teorem Pythagoras adalah salah satu daripada asas teorem geometri Euclidean, mewujudkan hubungan antara sisi segi tiga tepat. Adalah dipercayai bahawa ia telah dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, yang selepasnya ia dinamakan (terdapat versi lain, khususnya, pendapat alternatif bahawa teorem ini dalam Pandangan umum telah dirumuskan oleh ahli matematik Pythagoras Hippasus).
Teorem mengatakan:

Dalam segi tiga tepat, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat yang dibina pada kaki.

Menyatakan panjang hipotenus segi tiga c, dan panjang kaki sebagai a dan b, kita mendapat formula berikut:

Oleh itu, teorem Pythagoras mewujudkan hubungan yang membolehkan anda menentukan sisi segi tiga tepat, mengetahui panjang dua yang lain. Teorem Pythagoras ialah kes khas teorem kosinus, yang menentukan hubungan antara sisi segi tiga sewenang-wenangnya.
Pernyataan sebaliknya juga dibuktikan (juga dipanggil teorem terbalik Pythagoras):

Bagi mana-mana tiga nombor positif a, b dan c supaya a ? +b? = c ?, terdapat segi tiga tegak dengan kaki a dan b serta hipotenus c.

Bukti visual untuk segi tiga (3, 4, 5) dari Chu Pei 500-200 SM. Sejarah teorem boleh dibahagikan kepada empat bahagian: pengetahuan tentang nombor Pythagoras, pengetahuan tentang nisbah sisi dalam segi tiga tepat, pengetahuan tentang nisbah sudut bersebelahan dan bukti teorem.
Struktur megalitik sekitar 2500 SM di Mesir dan Eropah Utara, mengandungi segi tiga bersudut tegak dengan sisi integer. Barthel Leendert van der Waerden menjangkakan bahawa pada zaman itu nombor Pythagoras ditemui secara algebra.
Ditulis antara 2000 dan 1876 SM papirus dari Kerajaan Tengah Mesir Berlin 6619 mengandungi masalah yang penyelesaiannya ialah nombor Pythagoras.
Semasa pemerintahan Hammurabi the Great, sebuah tablet Vibylonian Plimpton 322, ditulis antara 1790 dan 1750 SM mengandungi banyak entri yang berkait rapat dengan nombor Pythagoras.
Dalam sutra Budhayana, yang bertarikh dari versi berbeza abad ke-8 atau ke-2 SM di India, mengandungi nombor Pythagoras yang diterbitkan secara algebra, rumusan teorem Pythagoras, dan bukti geometri untuk segi tiga sama kaki.
Sutra Apastamba (sekitar 600 SM) mengandungi bukti berangka Teorem Pythagoras menggunakan pengiraan luas. Van der Waerden percaya bahawa ia adalah berdasarkan tradisi pendahulunya. Menurut Albert Burko, ini adalah bukti asal teorem dan dia mencadangkan Pythagoras melawat Arakoni dan menyalinnya.
Pythagoras, yang tahun hidupnya biasanya ditunjukkan 569 - 475 SM. kegunaan kaedah algebra pengiraan nombor Pythagoras, menurut komen Proklov pada Euclid. Proclus, bagaimanapun, hidup antara 410 dan 485 AD. Menurut Thomas Giese, tiada petunjuk pengarang teorem selama lima abad selepas Pythagoras. Walau bagaimanapun, apabila pengarang seperti Plutarch atau Cicero mengaitkan teorem itu kepada Pythagoras, mereka berbuat demikian seolah-olah kepengarangannya diketahui secara meluas dan pasti.
Sekitar 400 SM Menurut Proclus, Plato memberikan kaedah untuk mengira nombor Pythagoras, menggabungkan algebra dan geometri. Sekitar 300 SM, dalam Permulaan Euclid, kami mempunyai bukti aksiomatik tertua yang telah bertahan hingga ke hari ini.
Ditulis antara 500 B.C. dan 200 SM, Cina buku matematik"Chu Pei" (? ? ? ?), memberikan bukti visual teorem Pythagoras, yang di China dipanggil teorem gugu (????), untuk segi tiga dengan sisi (3, 4, 5). Semasa pemerintahan Dinasti Han, dari 202 SM. sebelum 220 Masihi Nombor Pythagoras muncul dalam buku "Sembilan Bahagian Seni Matematik" bersama-sama dengan sebutan segi tiga tepat.
Penggunaan teorem pertama kali didokumenkan di China, di mana ia dikenali sebagai teorem gugu (????) dan di India, di mana ia dikenali sebagai teorem Baskar.
Ramai yang berdebat sama ada teorem Pythagoras ditemui sekali atau berulang kali. Boyer (1991) percaya bahawa pengetahuan yang terdapat dalam Shulba Sutra mungkin berasal dari Mesopotamia.
Bukti algebra
Segi empat dibentuk daripada empat segi tiga tepat. Lebih daripada seratus bukti teorem Pythagoras diketahui. Di sini bukti adalah berdasarkan teorem kewujudan untuk luas rajah:

Letakkan empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
Segiempat dengan sisi c ialah segi empat sama, kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah , dan sudut diluruskan ialah .
Luas keseluruhan rajah adalah sama, di satu pihak, dengan luas segi empat sama dengan sisi "a + b", dan di sisi lain, dengan jumlah luas empat segi tiga dan segi empat sama dalam. .

Itu yang perlu dibuktikan.
Dengan persamaan segi tiga
Penggunaan segi tiga yang serupa. biarlah ABC ialah segi tiga tegak yang mempunyai sudut C lurus, seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Mari kita lukis ketinggian dari satu titik c, dan panggil H titik persilangan dengan sisi AB. Segi tiga terbentuk ACH seperti segi tiga abc, kerana kedua-duanya adalah segi empat tepat (mengikut takrifan ketinggian) dan mereka berkongsi sudut A, jelas sudut ketiga akan sama dalam segi tiga ini juga. Begitu juga mirkuyuyuchy, segi tiga CBH juga serupa dengan segi tiga ABC. Daripada persamaan segi tiga: Jika

Ini boleh ditulis sebagai

Jika kita menambah dua kesamaan ini, kita dapat

HB + c kali AH = c kali (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Dengan kata lain, teorem Pythagoras:

Bukti Euclid
Bukti Euclid dalam "Prinsip" Euclidean, teorem Pythagoras dibuktikan dengan kaedah selari. biarlah A, B, C bucu segi tiga tegak, dengan sudut tegak A. Jatuhkan serenjang dari satu titik A ke sisi bertentangan hipotenus dalam segi empat sama yang dibina di hipotenus. Garisan tersebut membahagikan segi empat sama kepada dua segi empat tepat, setiap satunya mempunyai luas yang sama dengan segi empat sama yang dibina di atas kaki. idea utama buktinya ialah petak-petak atas diubah menjadi segi empat selari bagi kawasan yang sama, dan kemudian kembali dan bertukar menjadi segi empat tepat di petak bawah dan sekali lagi dengan kawasan yang sama.

Mari kita lukis segmen CF dan AD, kita mendapat segitiga BCF dan BDA.
sudut TEKSI dan BEG- lurus; mata C, A dan G adalah kolinear. Juga B, A dan H.
sudut CBD dan FBA- kedua-duanya lurus, kemudian sudut ABD sama dengan sudut fbc, kerana kedua-duanya adalah hasil tambah sudut tegak dan sudut ABC.
Segi tiga ABD dan FBC aras pada dua sisi dan sudut di antara mereka.
Kerana titik-titik A, K dan L– kolinear, luas segi empat tepat BDLK adalah sama dengan dua kawasan segi tiga ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Begitu juga, kita dapat CKLE = ACIH = AC 2
Di satu sisi kawasan CBDE sama dengan jumlah luas segi empat tepat BDLK dan CKLE, sebaliknya, luas dataran BC2, atau AB 2 + AC 2 = BC 2.

Menggunakan Pembezaan
Penggunaan pembezaan. Teorem Pythagoras boleh dicapai dengan mengkaji bagaimana kenaikan sisi mempengaruhi panjang hipotenus seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah kanan dan menggunakan sedikit pengiraan.
Akibat pertumbuhan sebelah a, daripada segi tiga yang serupa untuk kenaikan yang tidak terhingga

Mengintegrasikan kita dapat

Jika a= 0 kemudian c = b, jadi "malar" adalah b 2. Kemudian

Seperti yang dapat dilihat, segi empat sama adalah disebabkan oleh perkadaran antara kenaikan dan sisi, manakala jumlahnya adalah hasil sumbangan bebas kenaikan sisi, tidak jelas daripada bukti geometri. Dalam persamaan ini da dan dc adalah, masing-masing, kenaikan tak terhingga bagi sisi a dan c. Tetapi bukannya mereka yang kita gunakan? a dan? c, maka had nisbah jika mereka cenderung kepada sifar ialah da / dc, derivatif, dan juga sama dengan c / a, nisbah panjang sisi segi tiga, hasilnya kita dapat persamaan pembezaan.
Dalam kes sistem vektor ortogon, kesamaan berlaku, yang juga dipanggil teorem Pythagoras:

Jika - Ini adalah unjuran vektor ke paksi koordinat, maka formula ini bertepatan dengan jarak Euclidean dan bermakna panjang vektor adalah sama dengan punca jumlah persegi segi empat sama komponennya.
Analog persamaan ini dalam kes itu sistem yang tidak berkesudahan vektor dipanggil kesamaan Parseval.

Setiap pelajar tahu bahawa kuasa dua hipotenus sentiasa sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua. Pernyataan ini dipanggil teorem Pythagoras. Dia adalah antara yang paling banyak teorem yang diketahui trigonometri dan matematik secara amnya. Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci.

Konsep segi tiga tepat

Sebelum meneruskan pertimbangan teorem Pythagoras, di mana kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki yang kuasa dua, kita harus mempertimbangkan konsep dan sifat segi tiga tepat, yang mana teorem itu sah.

Segitiga - angka rata, yang mempunyai tiga sudut dan tiga sisi. Segi tiga tegak, seperti namanya, mempunyai satu sudut tegak, iaitu, sudut ini ialah 90 o.

daripada sifat biasa bagi semua segi tiga diketahui bahawa jumlah ketiga-tiga sudut rajah ini ialah 180 o , yang bermaksud bahawa bagi segi tiga tegak jumlah dua sudut yang tidak tepat ialah 180 o - 90 o = 90 o . Fakta terakhir bermakna mana-mana sudut dalam segi tiga tegak yang bukan sudut tegak akan sentiasa kurang daripada 90o.

Sisi yang bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Dua sisi yang lain ialah kaki segi tiga, mereka boleh sama antara satu sama lain, atau mereka boleh berbeza. Dari trigonometri diketahui bahawa semakin besar sudut terhadap mana sisi terletak dalam segitiga, semakin besar panjang sisi ini. Ini bermakna dalam segi tiga tepat, hipotenus (bertentang dengan sudut 90 o) akan sentiasa lebih besar daripada mana-mana kaki (bertentang dengan sudut< 90 o).

Tatatanda matematik teorem Pythagoras

Teorem ini menyatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua sebelumnya. Untuk menulis rumusan ini secara matematik, pertimbangkan segi tiga tepat di mana sisi a, b, dan c ialah dua kaki dan hipotenus, masing-masing. Dalam kes ini, teorem, yang dirumuskan sebagai kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki, boleh diwakili oleh formula berikut: c 2 \u003d a 2 + b 2. Dari sini, formula lain yang penting untuk amalan boleh diperolehi: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) dan c \u003d √ (a 2 + b 2).

Perhatikan bahawa dalam kes segi empat tepat segi tiga sama sisi, iaitu, a \u003d b, perkataan: kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua, ditulis secara matematik seperti berikut: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2 , dari mana kesamaan berikut: c \u003d a√2.

Rujukan sejarah

Teorem Pythagoras, yang menyatakan bahawa jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua, adalah sama dengan kuasa dua hipotenus, telah diketahui lama sebelum ahli falsafah Yunani terkenal itu menarik perhatian kepadanya. Banyak papirus Mesir kuno, serta tablet tanah liat orang Babylon, mengesahkan bahawa orang-orang ini menggunakan sifat tercatat pada sisi segi tiga tepat. Sebagai contoh, salah satu yang pertama Piramid Mesir, piramid Khafre, yang pembinaannya bermula pada abad ke-26 SM (2000 tahun sebelum hayat Pythagoras), dibina berdasarkan pengetahuan nisbah bidang dalam segi tiga tepat 3x4x5.

Mengapa, kemudian, teorem itu kini membawa nama Yunani? Jawapannya mudah: Pythagoras adalah yang pertama membuktikan secara matematik teorem ini. Di Babylonia dan Mesir yang masih ada sumber bertulis ia hanya bercakap tentang penggunaannya, tetapi tidak memberikan sebarang bukti matematik.

Adalah dipercayai bahawa Pythagoras membuktikan teorem yang sedang dipertimbangkan dengan menggunakan sifat segi tiga yang serupa, yang diperolehinya dengan melukis ketinggian dalam segi tiga tepat dari sudut 90 o ke hipotenus.

Contoh penggunaan teorem Pythagoras

Pertimbangkan satu tugas yang mudah: adalah perlu untuk menentukan panjang tangga condong L, jika diketahui bahawa ia mempunyai ketinggian H \u003d 3 meter, dan jarak dari dinding di mana tangga itu terletak di kakinya ialah P \u003d 2.5 meter.

AT kes ini H dan P ialah kaki, dan L ialah hipotenus. Oleh kerana panjang hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki, kita dapat: L 2 \u003d H 2 + P 2, dari mana L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 meter atau 3 m dan 90, 5 cm