Jarak antara garis selari adalah sama. Susunan bersama dua garis lurus

Bukti.

Mari kita ambil satu perkara , yang terletak pada talian a, kemudian koordinat titik M1 memenuhi persamaan, iaitu kesaksamaan, dari mana kita ada .

Sekiranya font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b mempunyai bentukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> dan jika, kemudian persamaan biasa lurus b mempunyai bentukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Kemudian pada font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">jarak dari titikkepada lurus b dikira dengan formula, dan pada - mengikut formula

Iaitu, untuk sebarang nilai C2 jarak dari titik kepada lurus b boleh dikira menggunakan formula. Dan diberi persamaan, yang diperoleh di atas, maka formula terakhir akan mengambil bentukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Teorem dibuktikan.

2. Menyelesaikan masalah mencari jarak antara garis selari

Contoh #1.

Cari jarak antara garis selari dan Penyelesaian.

Kami memperoleh persamaan am bagi garis selari yang diberikan.

Untuk lurus saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">sepadan dengan persamaan umum garis. Mari kita lulus dari persamaan parametrik bentuk langsungfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">kepada persamaan umum baris ini:

saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Pekali Pembolehubah x dan y dalam persamaan umum yang diperoleh, garis selari adalah sama, jadi kita boleh segera menggunakan formula untuk mengira jarak antara garis selari dalam satah:.

Jawapan: saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Contoh #2.

Sistem koordinat segi empat tepat diperkenalkan pada satah Oxy dan diberi persamaan dua garis selari dan . Cari jarak antara garis selari yang diberi.

Penyelesaian:

Penyelesaian pertama.

Persamaan kanonik bagi garis lurus pada satah bentuksaiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> membolehkan anda merekodkan koordinat titik dengan segera M1 berbohong pada baris ini:saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Jarak dari titik ini ke garisansama dengan jarak yang dikehendaki antara garis selari. Persamaanialah persamaan normal bagi garis lurus, oleh itu, kita boleh segera mengira jarak dari titik itu kepada lurus font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Penyelesaian kedua.

Persamaan umum salah satu garis selari yang diberikan telah diberikan kepada kitafont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Berikut ialah persamaan kanonik gariskepada persamaan am garis lurus:. Pekali boleh ubah x dalam persamaan umum, garis selari yang diberikan adalah sama (dengan pembolehubah y pekali juga sama - ia sama dengan sifar), jadi anda boleh menggunakan formula yang membolehkan anda mengira jarak antara garis selari yang diberikan:.

Jawapan: 8

3. Kerja rumah

Tugasan untuk ujian kendiri

1. Cari jarak antara dua garis selari

4. KESIMPULAN

Semua matlamat dan objektif yang ditetapkan telah tercapai sepenuhnya. Dua pengajaran daripada bahagian " Susunan bersama objek di atas satah" mengenai topik "Jarak dari titik ke garisan. Jarak antara garis selari” menggunakan kaedah koordinat. Bahan dipilih pada tahap yang boleh diakses untuk pelajar, yang akan membolehkan menyelesaikan masalah dalam geometri dengan kaedah yang lebih mudah dan lebih cantik.

5. SENARAI LITERATUR

1) , Yudina. Darjah 7 - 9: buku teks untuk institusi pendidikan.

2) , Poznyak. Buku teks untuk 10-11 darjah sekolah menengah.

3) , Matematik Nikolsky. Jilid Satu: Elemen Algebra Linear dan Geometri Analitik.

4) , geometri Poznyak.

6.APLIKASI

Bahan rujukan

Persamaan am garis lurus:

Ah + Wu + C = 0 ,

di mana TAPI dan AT tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.

Kemungkinan TAPI dan AT ialah koordinat vektor biasa garis lurus (iaitu, vektor yang berserenjang dengan garis lurus). Pada A = 0 garis lurus selari dengan paksi OH, pada B = 0 garis lurus selari dengan paksi O Y .

Pada AT0 dapat persamaan garis lurus dengan faktor cerun :

Persamaan garis lurus yang melalui suatu titik ( X 0 , di 0) dan tidak selari dengan paksiOY, kelihatan seperti:

di – di 0 = m (x – X 0) ,

di mana m – cerun , tangen sudut yang dibentuk oleh garis tertentu dan arah positif paksi OH .

Pada TAPI font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

di mana a = – C / A , b = – C / B . Garis ini melalui titik-titik (a, 0) dan (0, b), iaitu memotong segmen panjang paksi koordinata dan b .

Persamaan garis lurus yang melalui dua pelbagai mata (X 1, di 1) dan ( X 2, di 2):

Persamaan parametrik garis lurus melalui titik ( X 0 , di 0) dan selari vektor arah lurus (a, b) :

Keadaan garis selari:

1) untuk garis lurus Ax + Vy + C = 0 danDx+Ey+F = 0: AE – BD = 0 ,

2) untuk garis lurus di = m x+ k dan di= hlm x+ q : m = hlm .

Dalam bahan artikel ini, kami akan menganalisis persoalan mencari jarak antara dua garis selari, khususnya, menggunakan kaedah koordinat. Analisis contoh tipikal akan membantu untuk menyatukan pengetahuan teori yang diperolehi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Jarak antara dua garis selari adalah jarak dari beberapa titik sewenang-wenangnya satu daripada garis selari dengan garis yang satu lagi.

Berikut adalah ilustrasi untuk kejelasan:

Lukisan menunjukkan dua garisan selari. a dan b. Titik M 1 tergolong dalam garis a, serenjang dengan garis digugurkan daripadanya b. Segmen M 1 H 1 yang terhasil ialah jarak antara dua garis selari a dan b.

Takrifan yang ditentukan bagi jarak antara dua garis selari adalah sah pada satah dan untuk garisan masuk ruang tiga dimensi. selain itu, takrifan ini berkaitan dengan teorem berikut.

Teorem

Apabila dua garis selari, semua titik salah satu daripadanya adalah sama jarak dari garis yang satu lagi.

Bukti

Marilah kita diberikan dua garis selari a dan b. Tetapkan pada garis lurus a titik M 1 dan M 2, kita lepaskan serenjang dari mereka ke garisan b, menandakan tapaknya, masing-masing, sebagai H 1 dan H 2. M 1 H 1 ialah jarak antara dua garis selari mengikut takrifan, dan kita perlu membuktikan bahawa | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

Biarkan juga terdapat beberapa sekan yang memotong dua garis selari yang diberikan. Keadaan garis selari, yang dipertimbangkan dalam artikel yang sepadan, memberi kita hak untuk menegaskan bahawa dalam kes ini sudut letak silang dalam yang terbentuk pada persilangan sekan garis yang diberi adalah sama: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Garis M 2 H 2 berserenjang dengan garis b dengan pembinaan, dan, tentu saja, berserenjang dengan garis a. Segitiga yang terhasil M 1 H 1 H 2 dan M 2 M 1 H 2 adalah segi empat tepat dan sama antara satu sama lain dari segi hipotenus dan sudut akut: M 1 H 2 ialah hipotenus sepunya, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Berdasarkan kesamaan segi tiga, kita boleh bercakap tentang kesamaan sisinya, iaitu: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Teorem telah terbukti.

Perhatikan bahawa jarak antara dua garis selari adalah jarak terkecil dari titik pada satu garis ke titik yang lain.

Mencari jarak antara garis selari

Kami telah mengetahui bahawa, sebenarnya, untuk mencari jarak antara dua garis selari, adalah perlu untuk menentukan panjang serenjang yang dijatuhkan dari titik tertentu pada satu baris ke garis lain. Terdapat beberapa cara untuk melakukan ini. Dalam beberapa masalah adalah mudah untuk menggunakan teorem Pythagoras; yang lain melibatkan penggunaan tanda kesamaan atau persamaan segi tiga, dsb. Dalam kes di mana garisan diberikan sistem segi empat tepat koordinat, adalah mungkin untuk mengira jarak antara dua garis selari menggunakan kaedah koordinat. Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci.

Mari kita tetapkan syarat. Katakan sistem koordinat segi empat tepat ditetapkan, di mana dua garis selari a dan b diberikan. Ia adalah perlu untuk menentukan jarak antara garisan yang diberikan.

Kami akan membina penyelesaian masalah untuk menentukan jarak antara garis selari: untuk mencari jarak antara dua garis selari yang diberikan, adalah perlu:

Cari koordinat beberapa titik M 1 kepunyaan salah satu garis yang diberikan;

Hitung jarak dari titik M 1 ke garis lurus tertentu yang mana titik ini bukan miliknya.

Berdasarkan kemahiran bekerja dengan persamaan garis lurus dalam satah atau dalam ruang, adalah mudah untuk menentukan koordinat titik M 1. Apabila mencari jarak dari titik M 1 ke garis lurus, bahan artikel mencari jarak dari titik ke garis lurus adalah berguna.

Mari kita kembali kepada contoh. Biarkan garis a diterangkan oleh persamaan am A x + B y + C 1 = 0 , dan garis b diterangkan oleh persamaan A x + B y + C 2 = 0 . Kemudian jarak antara dua garis selari yang diberikan boleh dikira menggunakan formula:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Mari kita dapatkan formula ini.

Kami menggunakan beberapa titik М 1 (x 1 , y 1) kepunyaan garis a . Dalam kes ini, koordinat titik M 1 akan memenuhi persamaan A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Oleh itu, kesamaan adalah adil: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; daripadanya kita dapat: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Apabila C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

Dengan C 2 ≥ 0, persamaan normal garis lurus b akan kelihatan seperti ini:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

Dan kemudian untuk kes apabila C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

Dan untuk C 2 ≥ 0, jarak yang dikehendaki ditentukan oleh formula M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Oleh itu, untuk sebarang nilai nombor C 2, panjang segmen | M 1 H 1 | (dari titik M 1 hingga garis b) dikira dengan formula: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Di atas kita dapat: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, maka kita boleh mengubah formula: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 +B2. Jadi kami, sebenarnya, menerima formula yang dinyatakan dalam algoritma kaedah koordinat.

Mari analisa teori dengan contoh.

Contoh 1

Diberi dua garis selari y = 2 3 x - 1 dan x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Ia adalah perlu untuk menentukan jarak antara mereka.

Penyelesaian

Persamaan parametrik awal memungkinkan untuk menetapkan koordinat titik yang melaluinya garis lurus, diterangkan oleh persamaan parametrik. Oleh itu, kita mendapat titik M 1 (4, - 5) . Jarak yang diperlukan ialah jarak antara titik M 1 (4, - 5) ke garis lurus y = 2 3 x - 1, mari kita hitungkannya.

Persamaan yang diberi bagi garis lurus dengan kecerunan y = 2 3 x - 1 ditukarkan kepada persamaan normal bagi garis lurus. Untuk tujuan ini, kita mula-mula membuat peralihan kepada persamaan umum garis lurus:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Mari kita hitung faktor penormalan: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Kita darabkan kedua-dua bahagian persamaan terakhir dengannya dan, akhirnya, kita mendapat peluang untuk menulis persamaan normal garis lurus: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

Untuk x = 4, dan y = - 5, kita mengira jarak yang dikehendaki sebagai modulus nilai kesamaan melampau:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

Jawapan: 20 13 .

Contoh 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat tetap O x y, dua garis selari diberikan, ditakrifkan oleh persamaan x - 3 = 0 dan x + 5 0 = y - 1 1 . Ia adalah perlu untuk mencari jarak antara garis selari yang diberikan.

Penyelesaian

Keadaan masalah mentakrifkan satu persamaan am, diberikan oleh salah satu garis asal: x-3=0. Mari kita tukar persamaan kanonik asal menjadi persamaan umum: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . Untuk pembolehubah x, pekali dalam kedua-dua persamaan adalah sama (juga sama untuk y - sifar), dan oleh itu kita mempunyai peluang untuk menggunakan formula untuk mencari jarak antara garis selari:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

Jawab: 8 .

Akhir sekali, pertimbangkan masalah mencari jarak antara dua garis selari dalam ruang tiga dimensi.

Contoh 3

Dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z, dua garis selari diberi, diterangkan oleh persamaan kanonik garis lurus dalam ruang: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 dan x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Cari jarak antara garisan ini.

Penyelesaian

Daripada persamaan x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, koordinat titik yang dilalui garis lurus, yang diterangkan oleh persamaan ini, boleh ditentukan dengan mudah: M 1 (3, 0, - 2 ). Jom kira jarak | M 1 H 1 | dari titik M 1 ke garis x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Garis lurus x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 melalui titik M 2 (- 5, 1, 2). Kami menulis vektor arah garis lurus x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 sebagai b → dengan koordinat (1 , - 1 , 4) . Mari kita tentukan koordinat bagi vektor M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Mari kita hitung hasil silang vektor:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( ​​8, 36 , 7)

Mari gunakan formula untuk mengira jarak dari titik ke garis lurus dalam ruang:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Jawapan: 1409 3 2 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Jajaran selari ialah segiempat dengan sisi bertentangan selari, iaitu terletak pada garis selari (Rajah 1).

Teorem 1. Mengenai sifat sisi dan sudut segi empat selari. Dalam segi empat selari, sisi bertentangan adalah sama, sudut bertentangan adalah sama, dan jumlah sudut yang bersebelahan dengan satu sisi segi empat selari ialah 180°.

Bukti. Dalam segi empat selari ABCD ini, lukiskan AC pepenjuru dan dapatkan dua segi tiga ABC dan ADC (Rajah 2).

Segitiga ini adalah sama, kerana ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (sudut silang pada garis selari), dan AC sisi adalah biasa. Daripada kesamaan Δ ABC = Δ ADC ia mengikuti bahawa AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Jumlah sudut yang bersebelahan dengan satu sisi, contohnya, sudut A dan D, adalah sama dengan 180 ° sebagai satu. -bersisi dengan garis selari. Teorem telah terbukti.

Komen. Kesamaan sisi bertentangan bagi segi empat selari bermakna bahawa segmen selari yang dipotong oleh selari adalah sama.

Akibat 1. Jika dua garis selari, maka semua titik satu garis berada pada jarak yang sama dari garis yang satu lagi.

Bukti. Sesungguhnya, biarkan || b (Gamb. 3).

Mari kita lukis dari beberapa dua titik B dan C garis b serenjang BA dan CD ke garis a. Sejak AB || CD, maka angka ABCD ialah segi empat selari, dan oleh itu AB = CD.

Jarak antara dua garis selari ialah jarak dari titik sewenang-wenang pada salah satu garis ke garis lain.

Dengan apa yang telah dibuktikan, ia adalah sama dengan panjang serenjang yang dilukis dari beberapa titik salah satu garis selari ke garis lain.

Contoh 1 Perimeter segi empat selari ialah 122 cm Satu daripada sisinya adalah 25 cm lebih panjang daripada sisi yang lain Cari sisi segi empat selari itu.

Penyelesaian. Mengikut Teorem 1, sisi bertentangan sebuah segiempat selari adalah sama. Mari kita nyatakan satu sisi segiempat selari sebagai x, yang lain sebagai y. Kemudian dengan syarat $$\left\(\begin(matriks) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matriks)\kanan.$$ Menyelesaikan sistem ini, kita dapat x = 43, y = 18. Oleh itu, sisi segiempat selari ialah 18, 43, 18 dan 43 cm.

Contoh 2

Penyelesaian. Biarkan rajah 4 sepadan dengan keadaan masalah.

Nyatakan AB dengan x dan BC dengan y. Mengikut keadaan, perimeter segi empat selari ialah 10 cm, iaitu 2(x + y) = 10, atau x + y = 5. Perimeter segi tiga ABD ialah 8 cm. Dan sejak AB + AD = x + y = 5 , maka BD = 8 - 5 = 3 . Jadi BD = 3 cm.

Contoh 3 Cari sudut selari, dengan mengetahui bahawa salah satu daripadanya adalah 50° lebih besar daripada yang lain.

Penyelesaian. Biarkan rajah 5 sepadan dengan keadaan masalah.

Mari kita nyatakan ukuran darjah sudut A sebagai x. Kemudian ukuran darjah sudut D ialah x + 50°.

Sudut BAD dan ADC adalah dalaman satu sisi dengan garis selari AB dan DC dan sekan AD. Maka jumlah sudut yang dinamakan ini ialah 180°, i.e.
x + x + 50° = 180°, atau x = 65°. Oleh itu, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Contoh 4 Sisi segiempat selari ialah 4.5 dm dan 1.2 dm. Dari atas sudut akut pembahagi dua telah dilukis. Apakah bahagian yang membahagikan sisi panjang segi empat selari?

Penyelesaian. Biarkan rajah 6 sepadan dengan keadaan masalah.

AE ialah pembahagi bagi sudut akut segi empat selari. Oleh itu, ∠ 1 = ∠ 2.

Dalam artikel ini, menggunakan contoh penyelesaian masalah C2 daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu, kaedah mencari koordinat menggunakan kaedah dianalisis. Ingat bahawa garisan condong jika ia tidak terletak dalam satah yang sama. Khususnya, jika satu garis terletak dalam satah, dan garisan kedua memotong satah ini pada titik yang tidak terletak pada baris pertama, maka garisan tersebut condong (lihat rajah).

Untuk mencari jarak antara garis bersilang perlu:

1. Lukis satah melalui salah satu garis pencong yang selari dengan garis pencong yang satu lagi.
2. Jatuhkan serenjang dari mana-mana titik garis lurus kedua ke satah yang terhasil. Panjang serenjang ini akan menjadi jarak yang dikehendaki antara garisan.

Mari analisa algoritma ini dengan lebih terperinci tentang contoh penyelesaian masalah C2 daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Jarak antara garisan dalam ruang

Satu tugas. dalam satu kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cari jarak antara garisan BA 1 dan D.B. 1 .

nasi. 1. Melukis untuk tugasan

Penyelesaian. Melalui titik tengah pepenjuru kubus D.B. 1 (titik O) lukis garisan selari dengan garisan itu A 1 B. Titik persilangan garis tertentu dengan tepi BC dan A 1 D 1 menandakan masing-masing N dan M. Lurus MN terletak di dalam kapal terbang MNB 1 dan selari dengan garisan A 1 B, yang tidak terletak di dalam pesawat ini. Ini bermakna bahawa langsung A 1 B selari dengan kapal terbang MNB 1 berdasarkan keselarian garis lurus dan satah (Rajah 2).

nasi. 2. Jarak yang dikehendaki antara garisan lintasan adalah sama dengan jarak dari mana-mana titik garisan yang dipilih ke satah yang digambarkan

Kami kini sedang mencari jarak dari beberapa titik pada garis lurus A 1 B sehingga ke kapal terbang MNB satu. Jarak ini, mengikut definisi, akan menjadi jarak yang diingini antara garis condong.

Untuk mencari jarak ini, kami menggunakan kaedah koordinat. Kami memperkenalkan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat supaya asalnya bertepatan dengan titik B, paksi X diarahkan ke tepi BA, paksi Y- sepanjang rusuk BC, paksi Z- sepanjang rusuk BB 1 (Gamb. 3).

nasi. 3. Kami memilih sistem koordinat Cartesian segi empat tepat seperti yang ditunjukkan dalam rajah

Kami mencari persamaan satah itu MNB 1 dalam sistem koordinat ini. Untuk melakukan ini, kami mula-mula menentukan koordinat titik M, N dan B 1: Kami menggantikan koordinat yang diperoleh ke dalam persamaan umum garis lurus dan dapatkan sistem seterusnya persamaan:

Daripada persamaan kedua sistem, kita perolehi daripada yang ketiga, dan kemudian daripada yang pertama kita perolehi. Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan umum garis lurus:

Perhatikan bahawa sebaliknya pesawat MNB 1 akan melalui asal. Kami membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan dan kami mendapat:

Jarak dari satu titik ke satah ditentukan oleh formula.

Oh-oh-oh-oh-oh ... baik, ia adalah tinny, seolah-olah anda membaca ayat untuk diri sendiri =) Namun, kemudian kelonggaran akan membantu, terutamanya kerana saya membeli aksesori yang sesuai hari ini. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Susunan bersama dua garis lurus

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" sedemikian sehingga kesamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan karang tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , oleh itu, sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Ngomong-ngomong, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep pergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan penunjuk di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti, terus ke Kashchei the Deathless =)

b) Cari vektor arah garis:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak diperlukan.

Jelas sekali, pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Faktor perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(ia sesuai dengan mana-mana nombor secara umum).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak nampak sebab untuk menawarkan apa-apa penyelesaian bebas, adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Atas kejahilan ini tugas yang paling mudah menghukum berat Nightingale si Perompak.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan syarat mengenainya? Garisan melalui titik. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "te".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Jawab:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat dua persamaan dan ramai di antara anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit kerja dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik minat, jadi pertimbangkan masalah yang anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Ini untuk anda deria geometri dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui ialah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian sistem. Malah, kami mempertimbangkan cara grafik untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri boleh berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan dengan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang berkaitan, lawati pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan masalah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan memberi tumpuan kepada perkara ini berulang kali.

Penyelesaian Lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran:

Sepasang kasut belum lagi haus, kerana kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garisan

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang diberikan, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Adalah baik untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kita buka lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab titik bagi vektor kita menyimpulkan bahawa garisan itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

kami perjalanan yang lucu berterusan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kita adalah jalur lurus sungai dan tugas kita adalah untuk mencapainya dengan cara yang paling singkat. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah pergerakan sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: semua yang anda perlukan adalah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan melakukan pengiraan:

Jawab:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menetapkan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat tengah segmen cari .

Ia tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahawa jarak juga sama dengan 2.2 unit.

Kesukaran di sini mungkin timbul dalam pengiraan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Telah menasihati banyak kali dan akan mengesyorkan lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk penyelesaian bebas. Sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk diselesaikan. Taklimat di akhir pelajaran, tetapi lebih baik cuba teka sendiri, saya rasa anda berjaya menyuraikan kepintaran anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Walau apa pun sudutnya, maka tiangnya:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut lembayung.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah keputusan negatif dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Dalam lukisan untuk sudut negatif, adalah penting untuk menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua baris diberikan oleh persamaan dalam Pandangan umum:

Jika lurus tidak berserenjang, kemudian berorientasikan sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Paling perhatian rapat beralih kepada penyebut - ini betul-betul produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut formula itu hilang, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketakserenjangan garisan dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira produk skalar vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka (lihat Rajah. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama . Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .