Definisi 7. Persamaan bentuk dipanggil persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Persamaan ini boleh dikurangkan kepada bentuk dengan membahagikan semua sebutan persamaan dengan hasil darab.

Sebagai contoh, selesaikan persamaan

Penyelesaian. Derivatifnya adalah sama, yang bermaksud

Mengasingkan pembolehubah, kita dapat:

.

Sekarang mari kita integrasikan:

Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian. Ini ialah persamaan tertib pertama dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Untuk memisahkan pembolehubah persamaan ini dalam bentuk dan bahagikannya mengikut istilah ke dalam produk. Hasilnya kita dapat atau

mengintegrasikan kedua-dua belah persamaan terakhir, kita memperoleh penyelesaian umum

arcsin y = arcsin x + C

Mari kita cari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal. Menggantikan keadaan awal ke dalam penyelesaian umum, kami memperoleh

; dari mana C=0

Akibatnya, penyelesaian tertentu mempunyai bentuk arka sin y=arka sin x, tetapi sinus lengkok yang sama adalah sama antara satu sama lain.

sin(arcsin y) = sin(arcsin x).

Daripada mana, mengikut takrifan arcsine, ia mengikuti bahawa y = x.

Persamaan pembezaan homogen

Definisi 8. Persamaan pembezaan bentuk yang boleh dikurangkan kepada bentuk dipanggil homogen.

Untuk menyepadukan persamaan tersebut, perubahan pembolehubah dibuat, dengan andaian . Penggantian ini menghasilkan persamaan pembezaan untuk x dan t di mana pembolehubah dipisahkan, selepas itu persamaan boleh disepadukan. Untuk mendapatkan jawapan akhir, pembolehubah t mesti digantikan dengan .

Sebagai contoh, selesaikan persamaan

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan seperti ini:

kita mendapatkan:

Selepas membatalkan sebanyak x 2 kami mempunyai:

Gantikan t dengan:

Ulangkaji soalan

1 Persamaan yang manakah dipanggil pembezaan?

2 Namakan jenis persamaan pembezaan.

3 Terangkan algoritma untuk menyelesaikan semua persamaan yang dinamakan.

Contoh 3

Penyelesaian: Kami menulis semula derivatif dalam bentuk yang kami perlukan:

Kami menilai sama ada mungkin untuk memisahkan pembolehubah? boleh. Kami memindahkan istilah kedua ke sebelah kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami memindahkan pengganda mengikut peraturan perkadaran:

Pembolehubah dipisahkan, mari kita sepadukan kedua-dua bahagian:

Saya mesti memberi amaran kepada anda, hari penghakiman semakin hampir. Jika anda belum belajar dengan baik kamiran tak tentu, telah menyelesaikan beberapa contoh, maka tiada tempat untuk pergi - anda perlu menguasainya sekarang.

Kamiran sebelah kiri mudah dicari; kami berurusan dengan kamiran kotangen menggunakan teknik standard yang kami lihat dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri tahun lepas:

Di sebelah kanan kita mempunyai logaritma, mengikut cadangan teknikal pertama saya, dalam kes ini pemalar juga harus ditulis di bawah logaritma.

Sekarang kita cuba permudahkan kamiran am. Oleh kerana kita hanya mempunyai logaritma, adalah agak mungkin (dan perlu) untuk menyingkirkannya. Kami "membungkus" logaritma sebanyak mungkin. Pembungkusan dijalankan menggunakan tiga sifat:

Sila salin ketiga-tiga formula ini ke dalam buku kerja anda; ia sangat kerap digunakan semasa menyelesaikan diffuses.

Saya akan menerangkan penyelesaian dengan terperinci:

Pembungkusan selesai, keluarkan logaritma:

Adakah mungkin untuk menyatakan "permainan"? boleh. Ia adalah perlu untuk mengkuadratkan kedua-dua bahagian. Tetapi anda tidak perlu melakukan ini.

Petua teknikal ketiga: Jika untuk mendapatkan penyelesaian umum adalah perlu untuk meningkatkan kuasa atau mengambil akar, maka Dalam kebanyakan kes anda harus menahan diri daripada tindakan ini dan meninggalkan jawapan dalam bentuk kamiran am. Hakikatnya ialah penyelesaian umum akan kelihatan megah dan mengerikan - dengan akar yang besar, tanda-tanda.

Oleh itu, kami menulis jawapan dalam bentuk kamiran am. Ia dianggap amalan yang baik untuk mengemukakan kamiran am dalam bentuk , iaitu, di sebelah kanan, jika boleh, tinggalkan hanya pemalar. Ia tidak perlu untuk melakukan ini, tetapi ia sentiasa bermanfaat untuk menggembirakan profesor ;-)

Jawapan: kamiran am:

Catatan: Kamiran am bagi mana-mana persamaan boleh ditulis dalam lebih daripada satu cara. Oleh itu, jika keputusan anda tidak bertepatan dengan jawapan yang diketahui sebelum ini, ini tidak bermakna anda menyelesaikan persamaan dengan salah.

Kamiran am juga agak mudah untuk diperiksa, perkara utama adalah untuk dapat dicari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Mari bezakan jawapannya:

Kami mendarab kedua-dua istilah dengan:

Dan bahagikan dengan:

Persamaan pembezaan asal telah diperolehi dengan tepat, yang bermaksud kamiran am telah ditemui dengan betul.

Contoh 4

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Biar saya ingatkan anda bahawa masalah Cauchy terdiri daripada dua peringkat:
1) Mencari penyelesaian umum.
2) Mencari penyelesaian tertentu.

Semakan juga dijalankan dalam dua peringkat (lihat juga Contoh 2), anda perlu:
1) Pastikan penyelesaian tertentu yang ditemui benar-benar memenuhi syarat awal.
2) Semak bahawa penyelesaian tertentu secara amnya memenuhi persamaan pembezaan.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Contoh 5

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan , memenuhi syarat awal. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Mula-mula, mari kita cari penyelesaian umum. Persamaan ini sudah mengandungi pembezaan siap pakai dan, oleh itu, penyelesaiannya dipermudahkan. Kami memisahkan pembolehubah:

Mari kita sepadukan persamaan:

Kamiran di sebelah kiri adalah jadual, kamiran di sebelah kanan diambil kaedah memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan:

Kamiran am telah diperoleh; adakah mungkin untuk menyatakan penyelesaian am dengan jayanya? boleh. Kami menggantung logaritma:

(Saya harap semua orang faham transformasi, perkara sebegini sepatutnya sudah diketahui)

Jadi, penyelesaian umum ialah:

Mari cari penyelesaian tertentu yang sepadan dengan keadaan awal yang diberikan. Dalam penyelesaian umum, bukannya "X" kita menggantikan sifar, dan bukannya "Y" kita menggantikan logaritma dua:

Reka bentuk yang lebih biasa:

Kami menggantikan nilai yang ditemui pemalar ke dalam penyelesaian am.

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Semak: Mula-mula, mari semak sama ada syarat awal dipenuhi:
- segala-galanya adalah baik.

Sekarang mari kita semak sama ada penyelesaian tertentu yang ditemui memenuhi persamaan pembezaan sama sekali. Mencari terbitan:

Mari kita lihat persamaan asal: – ia dibentangkan dalam pembezaan. Terdapat dua cara untuk menyemak. Adalah mungkin untuk menyatakan pembezaan daripada terbitan yang ditemui:

Mari kita gantikan penyelesaian tertentu yang ditemui dan pembezaan yang terhasil ke dalam persamaan asal :

Kami menggunakan identiti logaritma asas:

Kesamaan yang betul diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian tertentu ditemui dengan betul.

Kaedah pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih biasa: dari persamaan Mari kita nyatakan derivatif, untuk melakukan ini kita bahagikan semua bahagian dengan:

Dan ke dalam DE yang diubah kita menggantikan penyelesaian separa yang diperolehi dan terbitan yang ditemui. Hasil daripada pemudahan, kesaksamaan yang betul juga harus diperolehi.

Contoh 6

Selesaikan persamaan pembezaan. Kemukakan jawapan dalam bentuk kamiran am.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apakah kesukaran yang menanti apabila menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan?

1) Tidak selalunya jelas (terutama pada teko) bahawa pembolehubah boleh diasingkan. Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini anda perlu mengambil faktor daripada kurungan: dan memisahkan akar: . Ia jelas apa yang perlu dilakukan seterusnya.

2) Kesukaran dengan integrasi itu sendiri. Kamiran selalunya bukan yang paling mudah, dan jika terdapat kelemahan dalam kemahiran mencari kamiran tak tentu, maka ia akan menjadi sukar dengan banyak peresap. Di samping itu, logik "memandangkan persamaan pembezaan adalah mudah, maka biarkan kamiran menjadi lebih rumit" adalah popular di kalangan penyusun koleksi dan manual latihan.

3) Transformasi dengan pemalar. Seperti yang semua orang perasan, anda boleh melakukan hampir semua perkara dengan pemalar dalam persamaan pembezaan. Dan transformasi sedemikian tidak selalu dapat difahami oleh pemula. Mari kita lihat satu lagi contoh bersyarat: . Adalah dinasihatkan untuk mendarab semua sebutan dengan 2: . Pemalar yang terhasil juga adalah sejenis pemalar, yang boleh dilambangkan dengan: . Ya, dan kerana terdapat logaritma di sebelah kanan, maka adalah dinasihatkan untuk menulis semula pemalar dalam bentuk pemalar lain: .

Masalahnya ialah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Dan akibatnya, rekod penyelesaian mengambil bentuk berikut:

Apa kejadahnya ini? Terdapat juga kesilapan. Secara rasmi, ya. Tetapi secara tidak rasmi - tidak ada ralat; difahami bahawa apabila menukar pemalar, beberapa pemalar lain masih diperoleh.

Atau contoh ini, andaikan bahawa semasa menyelesaikan persamaan, kamiran am diperolehi. Jawapan ini kelihatan hodoh, jadi dinasihatkan untuk menukar tanda-tanda semua faktor: . Secara rasmi, mengikut rakaman, terdapat lagi kesilapan, ia sepatutnya ditulis. Tetapi secara tidak rasmi difahami bahawa ia masih merupakan pemalar lain (lebih-lebih lagi, ia boleh mengambil sebarang nilai), jadi menukar tanda pemalar tidak masuk akal dan anda boleh menggunakan huruf yang sama.

Saya akan cuba mengelakkan pendekatan cuai, dan masih menetapkan indeks yang berbeza kepada pemalar apabila menukarnya.

Contoh 7

Selesaikan persamaan pembezaan. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Persamaan ini membenarkan pemisahan pembolehubah. Kami memisahkan pembolehubah:

Mari kita integrasikan:

Ia tidak perlu untuk mentakrifkan pemalar di sini sebagai logaritma, kerana tiada yang berguna akan datang daripada ini.

Jawapan: kamiran am:

Semak: Bezakan jawapan (fungsi tersirat):

Kami menyingkirkan pecahan dengan mendarab kedua-dua sebutan dengan:

Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud kamiran am telah ditemui dengan betul.

Contoh 8

Cari penyelesaian tertentu bagi DE.
,

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Satu-satunya komen ialah di sini anda mendapat kamiran am, dan, lebih tepat lagi, anda perlu berusaha untuk mencari bukan penyelesaian tertentu, tetapi kamiran separa. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Seperti yang telah dinyatakan, dalam penyebaran dengan pembolehubah boleh dipisahkan, bukan kamiran termudah yang sering muncul. Dan berikut adalah beberapa lagi contoh sedemikian untuk anda selesaikan sendiri. Saya mengesyorkan semua orang untuk menyelesaikan contoh No. 9-10, tanpa mengira tahap penyediaan mereka, ini akan membolehkan mereka mengemas kini kemahiran mereka dalam mencari kamiran atau mengisi jurang dalam pengetahuan.

Contoh 9

Selesaikan persamaan pembezaan

Contoh 10

Selesaikan persamaan pembezaan

Ingat bahawa terdapat lebih daripada satu cara untuk menulis kamiran am, dan rupa jawapan anda mungkin berbeza daripada rupa jawapan saya. Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Selamat promosi!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 4:Penyelesaian: Mari cari penyelesaian umum. Kami memisahkan pembolehubah:


Mari kita sepadukan:



Kamiran am telah diperoleh; kami cuba memudahkannya. Mari kita bungkus logaritma dan hapuskannya:

Kami menyatakan fungsi secara eksplisit menggunakan .
Keputusan bersama:

Mari cari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal .
Kaedah satu, bukannya "X" kita gantikan 1, bukannya "Y" kita gantikan "e":
.
Kaedah kedua:

Gantikan nilai yang ditemui bagi pemalar menjadi penyelesaian umum.
Jawapan: penyelesaian peribadi:

Semak: Kami menyemak sama ada keadaan awal benar-benar dipenuhi:
, ya, syarat awal selesai.
Kami menyemak sama ada penyelesaian tertentu memuaskan persamaan pembezaan. Mula-mula kita mencari derivatif:

Marilah kita menggantikan penyelesaian tertentu yang terhasil dan terbitan yang ditemui ke dalam persamaan asal :

Kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa penyelesaian ditemui dengan betul.

Contoh 6:Penyelesaian: Persamaan ini membenarkan pemisahan pembolehubah. Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan:




Jawapan: kamiran am:

Nota: di sini anda boleh mendapatkan penyelesaian umum:

Tetapi menurut petua teknikal saya yang ketiga, ia tidak digalakkan untuk melakukan ini kerana ia kelihatan seperti jawapan yang agak buruk.

Contoh 8:Penyelesaian: Alat kawalan jauh ini membolehkan pengasingan pembolehubah. Kami memisahkan pembolehubah:



Mari kita sepadukan:


Kamiran am:
Mari kita cari penyelesaian tertentu (kamiran separa) yang sepadan dengan keadaan awal yang diberikan . Gantikan ke dalam penyelesaian umum Dan:

Jawapan: Kamiran separa:
Pada dasarnya, jawapannya boleh disikat dan anda mendapat sesuatu yang lebih padat. .

Persamaan pembezaan.

Konsep asas tentang persamaan pembezaan biasa.

Definisi 1. Persamaan pembezaan biasa n– perintah ke- untuk fungsi itu y hujah x dipanggil hubungan bentuk

di mana F – fungsi tertentu bagi hujahnya. Atas nama kelas persamaan matematik ini, istilah "pembezaan" menekankan bahawa ia termasuk derivatif (fungsi yang terbentuk hasil daripada pembezaan); istilah "biasa" menunjukkan bahawa fungsi yang dikehendaki bergantung pada hanya satu hujah sebenar.

Persamaan pembezaan biasa mungkin tidak mengandungi hujah yang jelas x, fungsi yang dikehendaki dan mana-mana derivatifnya, tetapi terbitan tertinggi mesti dimasukkan dalam persamaan n- pesanan ke. Sebagai contoh

a) – persamaan tertib pertama;

b) – persamaan tertib ketiga.

Apabila menulis persamaan pembezaan biasa, notasi untuk terbitan dari segi pembezaan sering digunakan:

V) – persamaan tertib kedua;

d) – persamaan tertib pertama,

penjana selepas pembahagian oleh dx bentuk setara untuk menyatakan persamaan: .

Suatu fungsi dipanggil penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa jika, apabila digantikan dengannya, ia bertukar menjadi identiti.

Contohnya, persamaan tertib ke-3

Mempunyai penyelesaian .

Mencari dengan satu kaedah atau yang lain, sebagai contoh, pemilihan, satu fungsi yang memenuhi persamaan tidak bermakna menyelesaikannya. Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa bermakna mencari Semua fungsi yang membentuk identiti apabila digantikan ke dalam persamaan. Untuk persamaan (1.1), satu keluarga fungsi sedemikian dibentuk menggunakan pemalar arbitrari dan dipanggil penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan biasa. n tertib ke-, dan bilangan pemalar bertepatan dengan susunan persamaan: Penyelesaian umum mungkin, tetapi tidak diselesaikan secara eksplisit berkenaan dengan y(x): Dalam kes ini, penyelesaian biasanya dipanggil kamiran am bagi persamaan (1.1).

Sebagai contoh, penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan ialah ungkapan berikut: , dan sebutan kedua boleh ditulis sebagai , kerana pemalar arbitrari dibahagikan dengan 2 boleh digantikan dengan pemalar arbitrari baharu.

Dengan memberikan beberapa nilai yang boleh diterima kepada semua pemalar arbitrari dalam penyelesaian am atau dalam kamiran am, kita memperoleh fungsi tertentu yang tidak lagi mengandungi pemalar arbitrari. Fungsi ini dipanggil penyelesaian separa atau kamiran separa persamaan (1.1). Untuk mencari nilai pemalar arbitrari, dan oleh itu penyelesaian tertentu, pelbagai syarat tambahan kepada persamaan (1.1) digunakan. Sebagai contoh, apa yang dipanggil syarat awal boleh dinyatakan pada (1.2)

Di sebelah kanan keadaan awal (1.2) nilai berangka fungsi dan derivatif ditentukan, dan jumlah bilangan keadaan awal adalah sama dengan bilangan pemalar arbitrari yang ditentukan.

Masalah mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan (1.1) berdasarkan keadaan awal dipanggil masalah Cauchy.

§ 2. Persamaan pembezaan biasa tertib pertama - konsep asas.

Persamaan pembezaan biasa bagi urutan pertama ( n=1) mempunyai bentuk: atau, jika ia boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan: . Keputusan bersama y=y(x,С) atau kamiran am bagi persamaan tertib pertama mengandungi satu pemalar arbitrari. Satu-satunya syarat awal untuk persamaan tertib pertama membolehkan anda menentukan nilai pemalar daripada penyelesaian am atau daripada kamiran am. Oleh itu, penyelesaian tertentu akan ditemui atau, yang sama, masalah Cauchy akan diselesaikan. Persoalan kewujudan dan keunikan penyelesaian kepada masalah Cauchy adalah salah satu persoalan utama dalam teori umum persamaan pembezaan biasa. Untuk persamaan tertib pertama, khususnya, teorem adalah sah, yang diterima di sini tanpa bukti.

Teorem 2.1. Jika dalam persamaan fungsi dan terbitan separanya adalah selanjar di sesetengah kawasan D kapal terbang XOY , dan satu titik diberikan dalam kawasan ini, maka terdapat penyelesaian unik yang memenuhi kedua-dua persamaan dan keadaan awal.

Secara geometri, penyelesaian umum bagi persamaan tertib pertama ialah keluarga lengkung pada satah XOY, tidak mempunyai titik sepunya dan berbeza antara satu sama lain dalam satu parameter - nilai pemalar C. Lengkung ini dipanggil lengkung kamiran untuk persamaan tertentu. Lengkung persamaan kamiran mempunyai sifat geometri yang jelas: pada setiap titik tangen tangen kepada lengkung adalah sama dengan nilai sebelah kanan persamaan pada titik ini: . Dalam erti kata lain, persamaan diberikan dalam satah XOY medan arah tangen kepada lengkung kamiran. Ulasan: Perlu diingatkan bahawa kepada Pers. persamaan dan persamaan yang dipanggil diberikan dalam bentuk simetri .

Persamaan pembezaan tertib pertama dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Definisi. Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan ialah persamaan bentuk (3.1)

atau persamaan bentuk (3.2)

Untuk memisahkan pembolehubah dalam persamaan (3.1), i.e. kurangkan persamaan ini kepada apa yang dipanggil persamaan pembolehubah dipisahkan, lakukan yang berikut:

;

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan g(y)= 0. Jika ia mempunyai penyelesaian sebenar y=a, Itu y=a juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan (3.1).

Persamaan (3.2) dikurangkan kepada persamaan yang dipisahkan dengan membahagikan dengan hasil:

, yang membolehkan kita mendapatkan kamiran am persamaan (3.2): . (3.3)

Lengkung kamiran (3.3) akan ditambah dengan penyelesaian jika penyelesaian sedemikian wujud.

Selesaikan persamaan: .

Kami memisahkan pembolehubah:

.

Mengintegrasikan, kita dapat

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan dipertimbangkan. Contoh penyelesaian terperinci bagi persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan diberikan.

Kandungan

Definisi

Mari s (x), q (x)- fungsi pembolehubah x;
hlm (y), r (y)- fungsi pembolehubah y.

Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan ialah persamaan bentuk

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan

Pertimbangkan persamaan:
(i) .
Mari kita ungkapkan terbitan y′ dalam sebutan pembezaan.
;
.
Mari darab dengan dx.
(ii)
Bahagikan persamaan dengan s (x)r(y). Ini boleh dilakukan jika s (x) r(y) ≠ 0. Apabila s (x) r(y) ≠ 0 kita ada
.
Menyepadukan, kita memperoleh kamiran am dalam kuadratur
(iii) .

Oleh kerana kita dibahagikan dengan s (x)r(y), maka kami memperoleh kamiran persamaan untuk s (x) ≠ 0 dan r (y) ≠ 0. Seterusnya anda perlu menyelesaikan persamaan
r (y) = 0.
Jika persamaan ini mempunyai punca, maka ia juga merupakan penyelesaian kepada persamaan (i). Biarkan persamaan r (y) = 0. mempunyai n punca a i, r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , n. Maka pemalar y = a i ialah penyelesaian kepada persamaan (i). Sebahagian daripada penyelesaian ini mungkin sudah terkandung dalam kamiran am (iii).

Perhatikan bahawa jika persamaan asal diberikan dalam bentuk (ii), maka kita juga mesti menyelesaikan persamaan itu
s (x) = 0.
Akarnya b j, s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. berikan penyelesaian x = b j .

Contoh penyelesaian persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan

Selesaikan persamaan

Mari kita ungkapkan terbitan melalui pembezaan:


Darab dengan dx dan bahagi dengan . Untuk y ≠ 0 kita ada:

Mari kita sepadukan.

Kami mengira kamiran menggunakan formula.



Menggantikan, kita memperoleh kamiran am persamaan
.

Sekarang pertimbangkan kes itu, y = 0 .
Jelas sekali y = 0 ialah penyelesaian kepada persamaan asal. Ia tidak termasuk dalam kamiran am.
Oleh itu, kami akan menambahnya pada hasil akhir.

; y = 0 .

Rujukan:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksi masalah dalam matematik yang lebih tinggi, "Lan", 2003.

Persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan ditulis sebagai: (1). Dalam persamaan ini, satu sebutan hanya bergantung pada x, dan satu lagi hanya bergantung pada y. Mengintegrasikan istilah persamaan ini mengikut sebutan, kita dapat:
adalah kamiran amnya.

Contoh: cari kamiran am bagi persamaan:
.

Penyelesaian: Persamaan ini ialah persamaan pembezaan yang dipisahkan. sebab tu
atau
Mari kita nyatakan
. Kemudian
– kamiran am bagi persamaan pembezaan.

Persamaan boleh dipisahkan mempunyai bentuk (2). Persamaan (2) dengan mudah boleh dikurangkan kepada persamaan (1) dengan membahagikannya dengan sebutan
. Kita mendapatkan:

– kamiran am.

Contoh: Selesaikan persamaan .

Penyelesaian: ubah bahagian kiri persamaan: . Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan


Penyelesaiannya ialah ungkapan:
mereka.

Persamaan pembezaan homogen. Persamaan Bernoulli. Persamaan pembezaan linear bagi urutan pertama.

Persamaan bentuk dipanggil homogen, Jika
Dan
– fungsi homogen dari susunan yang sama (dimensi). Fungsi
dipanggil fungsi homogen tertib pertama (ukuran) jika, apabila setiap hujahnya didarab dengan faktor arbitrari keseluruhan fungsi didarab dengan , iaitu
=
.

Persamaan homogen boleh dikurangkan kepada bentuk
. Menggunakan penggantian
(
) persamaan homogen dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan berkenaan dengan fungsi baru .

Persamaan pembezaan tertib pertama dipanggil linear, jika boleh ditulis dalam bentuk
.

kaedah Bernoulli

Menyelesaikan persamaan
dicari sebagai hasil daripada dua fungsi lain, i.e. menggunakan penggantian
(
).

Contoh: mengintegrasikan persamaan
.

Kami percaya
. Kemudian, i.e. . Mula-mula kita selesaikan persamaan
=0:


.

Sekarang kita selesaikan persamaan
mereka.


. Jadi, penyelesaian umum untuk persamaan ini ialah
mereka.

Persamaan J. Bernoulli

Persamaan bentuk , di mana
dipanggil Persamaan Bernoulli. Persamaan ini diselesaikan menggunakan kaedah Bernoulli.

Persamaan pembezaan tertib kedua homogen dengan pekali malar

Persamaan pembezaan linear homogen tertib kedua ialah persamaan bentuk (1) , Di mana Dan kekal.

Kami akan mencari penyelesaian separa persamaan (1) dalam bentuk
, Di mana Kepada- nombor tertentu. Membezakan fungsi ini dua kali dan menggantikan ungkapan untuk
ke dalam persamaan (1), kita perolehi iaitu, atau
(2) (
).

Persamaan 2 dipanggil persamaan ciri bagi persamaan pembezaan.

Apabila menyelesaikan persamaan ciri (2), tiga kes adalah mungkin.

Kes 1. Akar Dan persamaan (2) adalah nyata dan berbeza:

Dan

.

Kes 2. Akar Dan persamaan (2) adalah nyata dan sama:
. Dalam kes ini, penyelesaian separa persamaan (1) ialah fungsi
Dan
. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (1) mempunyai bentuk
.

Kes 3. Akar Dan persamaan (2) adalah kompleks:
,
. Dalam kes ini, penyelesaian separa persamaan (1) ialah fungsi
Dan
. Oleh itu, penyelesaian am kepada persamaan (1) mempunyai bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan
.

Penyelesaian: Mari kita buat persamaan ciri:
. Kemudian
. Penyelesaian umum untuk persamaan ini
.

Ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah. Ekstrem bersyarat.

Ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah

Definisi.Titik M (x O ,y O ) dipanggiltitik maksimum (minimum). fungsiz= f(x, y), jika terdapat kejiranan titik M supaya untuk semua titik (x, y) dari kejiranan ini ketaksamaan
(
)

Dalam Rajah. 1 mata A
- terdapat titik minimum, dan titik DALAM
- titik maksimum.

Perlukeadaan ekstrem ialah analog berbilang dimensi bagi teorem Fermat.

Teorem.Biarkan titik
– ialah titik ekstrem bagi fungsi boleh dibezakanz= f(x, y). Kemudian terbitan separa
Dan
Vpada ketika ini adalah sama dengan sifar.

Titik di mana syarat yang diperlukan untuk ekstrem fungsi dipenuhi z= f(x, y), mereka. terbitan separa z" x Dan z" y adalah sama dengan sifar dipanggil kritikal atau pegun.

Kesamaan derivatif separa kepada sifar hanya menyatakan syarat yang perlu, tetapi tidak mencukupi untuk ekstrem fungsi beberapa pembolehubah.

Dalam Rajah. yang dipanggil titik pelana M (x O ,y O ). Derivatif separa
Dan
adalah sama dengan sifar, tetapi jelas tiada ekstrem pada titik itu M(x O ,y O ) Tidak.

Titik pelana sedemikian adalah analog dua dimensi bagi titik infleksi fungsi satu pembolehubah. Cabarannya adalah untuk memisahkan mereka dari titik ekstrem. Dalam erti kata lain, anda perlu tahu mencukupi keadaan melampau.

Teorem (keadaan yang mencukupi untuk ekstrem fungsi dua pembolehubah).Biarkan fungsiz= f(x, y): A) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik kritikal (x O ,y O ), di mana
=0 dan
=0 ;

b) mempunyai terbitan separa berterusan bagi urutan kedua pada ketika ini
;

;
Kemudian, jika ∆=AC-B 2 >0, kemudian pada titik (x O ,y O ) fungsiz= f(x, y) mempunyai ekstrem, dan jika A<0 - maksimum jika A>0 - minimum. Dalam kes ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(x, y) tidak mempunyai ekstrem. Jika ∆=AC-B 2 =0, maka persoalan kehadiran ekstrem tetap terbuka.

Kajian fungsi dua pembolehubah pada ekstrem adalah disyorkan untuk melaksanakan perkara berikut gambar rajah:

Cari terbitan separa bagi suatu fungsi z" x Dan z" y .

Menyelesaikan sistem persamaan z" x =0, z" y =0 dan cari titik kritikal fungsi itu.

Cari derivatif separa tertib kedua, hitung nilainya pada setiap titik kritikal dan, menggunakan keadaan yang mencukupi, buat kesimpulan tentang kehadiran extrema.

Cari extrema (nilai ekstrem) bagi fungsi tersebut.

Contoh. Cari ekstrem bagi fungsi tersebut

Penyelesaian. 1. Mencari terbitan separa

2. Kami mencari titik kritikal fungsi daripada sistem persamaan:

mempunyai empat penyelesaian (1; 1), (1; -1), (-1; 1) dan (-1; -1).

3. Cari derivatif separa tertib kedua:

;
;
, kami mengira nilai mereka pada setiap titik kritikal dan menyemak pemenuhan syarat ekstrem yang mencukupi padanya.

Sebagai contoh, pada titik (1; 1) A= z"(1; 1)= -1; B=0; C= -1. Kerana ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 dan A=-1<0, maka titik (1; 1) ialah titik maksimum.

Begitu juga, kami menetapkan bahawa (-1; -1) ialah titik minimum, dan pada titik (1; -1) dan (-1; 1), di mana ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Cari ekstrem bagi fungsi z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Ekstrem bersyarat. Kaedah pengganda Lagrange.

Mari kita pertimbangkan masalah khusus untuk fungsi beberapa pembolehubah, apabila ekstremnya dicari bukan pada keseluruhan domain definisi, tetapi pada set yang memenuhi syarat tertentu.

Mari kita pertimbangkan fungsi z = f(x, y), hujah X Dan di yang memenuhi syarat g(x,y)= DENGAN, dipanggil persamaan sambungan.

Definisi.titik
dipanggil titikmaksimum bersyarat (minimum), jika terdapat kejiranan titik ini supaya untuk semua titik (x,y) dari kejiranan ini memenuhi syaratg (x, y) = C, ketaksamaan berlaku

(
).

Dalam Rajah. titik maksimum bersyarat ditunjukkan
. Jelas sekali, ia bukan titik ekstrem tanpa syarat bagi fungsi z = f(x, y) (dalam rajah ini adalah titik
).

Cara paling mudah untuk mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah adalah untuk mengurangkan masalah kepada mencari ekstrem fungsi satu pembolehubah. Mari kita anggap persamaan sambungan g (x, y) = DENGAN berjaya menyelesaikan berkenaan dengan salah satu pembolehubah, sebagai contoh, untuk menyatakan di melalui X:
. Menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam fungsi dua pembolehubah, kita memperoleh z = f(x, y) =
, mereka. fungsi satu pembolehubah. Extremumnya akan menjadi extremum bersyarat bagi fungsi tersebut z = f(x, y).

Contoh. X 2 + y 2 memandangkan itu 3x +2y = 11.

Penyelesaian. Daripada persamaan 3x + 2y = 11, kita menyatakan pembolehubah y melalui pembolehubah x dan menggantikan yang terhasil
untuk berfungsi z. Kita mendapatkan z= x 2 +2
atau z =
. Fungsi ini mempunyai minimum unik di = 3. Nilai fungsi yang sepadan
Oleh itu, (3; 1) ialah titik ekstrem (minimum) bersyarat.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, persamaan gandingan g(x, y) = C ternyata linear, jadi ia mudah diselesaikan berkenaan dengan salah satu pembolehubah. Walau bagaimanapun, dalam kes yang lebih kompleks ini tidak boleh dilakukan.

Untuk mencari ekstrem bersyarat dalam kes umum, kami gunakan Kaedah pengganda Lagrange.

Pertimbangkan fungsi tiga pembolehubah

Fungsi ini dipanggil Fungsi Lagrange, A - Pengganda Lagrange. Teorem berikut adalah benar.

Teorem.Jika titik
ialah titik ekstrem bersyarat bagi fungsiz = f(x, y) memandangkan itug (x, y) = C, maka terdapat nilai seperti itu
ialah titik ekstrem fungsiL{ x, y, ).

Oleh itu, untuk mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi itu z = f(x,y) memandangkan itu g(x, y) = C perlu mencari penyelesaian kepada sistem

Dalam Rajah. maksud geometri bagi keadaan Lagrange ditunjukkan. Talian g(x,y)= C bertitik, garisan aras g(x, y) = Q fungsi z = f(x, y) padu.

Daripada Rajah. mengikuti itu pada titik ekstrem bersyarat garis tahap fungsi z = f(x, y) menyentuh garisang(x, y) = S.

Contoh. Cari titik maksimum dan minimum bagi fungsi z = X 2 + y 2 memandangkan itu 3x +2y = 11 menggunakan kaedah pengganda Lagrange.

Penyelesaian. Menyusun fungsi Lagrange L= x 2 + 2у 2 +

Menyamakan terbitan separanya kepada sifar, kita memperoleh sistem persamaan

Satu-satunya penyelesaiannya (x=3, y=1, =-2). Oleh itu, titik ekstrem bersyarat hanya boleh menjadi titik (3;1). Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa pada ketika ini fungsi z= f(x, y) mempunyai minimum bersyarat.

Persamaan pembezaan tertib pertama. Contoh penyelesaian.
Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan

Persamaan pembezaan (DE). Kedua-dua perkataan ini biasanya menakutkan orang biasa. Persamaan pembezaan seolah-olah menjadi sesuatu yang melarang dan sukar untuk dikuasai oleh ramai pelajar. Uuuuuu... persamaan pembezaan, macam mana aku boleh bertahan dengan semua ni?!

Pendapat ini dan sikap ini pada asasnya salah, kerana sebenarnya PERSAMAAN BERBEZA - IA MUDAH DAN SENANG. Apakah yang anda perlu tahu dan boleh lakukan untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan pembezaan? Untuk berjaya mengkaji diffuses, anda mesti pandai menyepadukan dan membezakan. Lebih baik topik itu dipelajari Terbitan bagi fungsi satu pembolehubah Dan Kamiran tak tentu, semakin mudah untuk memahami persamaan pembezaan. Saya akan mengatakan lebih lanjut, jika anda mempunyai kemahiran integrasi yang lebih atau kurang baik, maka topik itu telah hampir dikuasai! Lebih banyak kamiran pelbagai jenis yang anda boleh selesaikan, lebih baik. kenapa? Anda perlu menyepadukan banyak perkara. Dan membezakan. Juga sangat mengesyorkan belajar mencari.

Dalam 95% kes, kertas ujian mengandungi 3 jenis persamaan pembezaan tertib pertama: persamaan yang boleh dipisahkan yang akan kita lihat dalam pelajaran ini; persamaan homogen Dan persamaan tak homogen linear. Bagi mereka yang mula mempelajari peresap, saya menasihati anda untuk membaca pelajaran dalam susunan ini, dan selepas mempelajari dua artikel pertama, tidak ada salahnya untuk menyatukan kemahiran anda dalam bengkel tambahan - persamaan dikurangkan kepada homogen.

Terdapat jenis persamaan pembezaan yang lebih jarang: persamaan pembezaan jumlah, persamaan Bernoulli dan beberapa yang lain. Yang paling penting daripada dua jenis terakhir ialah persamaan dalam jumlah pembezaan, kerana sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan ini saya sedang mempertimbangkan bahan baharu - integrasi separa.

Jika anda hanya mempunyai satu atau dua hari lagi, Itu untuk penyediaan ultra cepat Terdapat kursus kilat dalam format pdf.

Jadi, tanda tempat telah ditetapkan - mari kita pergi:

Mula-mula, mari kita ingat persamaan algebra biasa. Ia mengandungi pembolehubah dan nombor. Contoh paling mudah: . Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan biasa? Ini bermakna mencari set nombor, yang memenuhi persamaan ini. Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan kanak-kanak mempunyai punca tunggal: . Hanya untuk keseronokan, mari kita semak dan gantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan kita:

– kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa penyelesaian ditemui dengan betul.

Peresap direka dengan cara yang sama!

Persamaan pembezaan Susunan pertama secara umum mengandungi:
1) pembolehubah bebas;
2) pembolehubah bersandar (fungsi);
3) terbitan pertama bagi fungsi: .

Dalam beberapa persamaan tertib pertama mungkin tiada "x" dan/atau "y", tetapi ini tidak penting - penting untuk pergi ke bilik kawalan adalah terbitan pertama, dan tidak mempunyai terbitan tertib yang lebih tinggi – , dsb.

Apa maksudnya? Menyelesaikan persamaan pembezaan bermakna mencari set semua fungsi, yang memenuhi persamaan ini. Set fungsi sedemikian selalunya mempunyai bentuk (– pemalar arbitrari), yang dipanggil penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Contoh 1

Selesaikan persamaan pembezaan

Penuh peluru. Di mana untuk bermula penyelesaian?

Pertama sekali, anda perlu menulis semula derivatif dalam bentuk yang sedikit berbeza. Kami masih ingat sebutan yang menyusahkan, yang mungkin ramai di antara anda kelihatan tidak masuk akal dan tidak perlu. Ini adalah peraturan dalam penyebar!

Dalam langkah kedua, mari kita lihat sama ada ia boleh pembolehubah berasingan? Apakah yang dimaksudkan untuk memisahkan pembolehubah? Secara kasarnya, di sebelah kiri kita perlu pergi hanya "orang Yunani", A di sebelah kanan menyusun hanya "X". Pembahagian pembolehubah dilakukan menggunakan manipulasi "sekolah": meletakkannya keluar dari kurungan, memindahkan istilah dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, memindahkan faktor dari bahagian ke bahagian mengikut peraturan perkadaran, dll.

Perbezaan dan merupakan pengganda penuh dan peserta aktif dalam permusuhan. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, pembolehubah mudah dipisahkan dengan melambungkan faktor mengikut peraturan perkadaran:

Pembolehubah diasingkan. Di sebelah kiri hanya terdapat "Y", di sebelah kanan - hanya "X".

Tahap seterusnya - penyepaduan persamaan pembezaan. Ia mudah, kami meletakkan kamiran pada kedua-dua belah:

Sudah tentu, kita perlu mengambil kamiran. Dalam kes ini, ia adalah jadual:

Seperti yang kita ingat, pemalar diberikan kepada sebarang antiderivatif. Terdapat dua kamiran di sini, tetapi cukup untuk menulis pemalar sekali (memandangkan pemalar + pemalar masih sama dengan pemalar lain). Dalam kebanyakan kes ia diletakkan di sebelah kanan.

Tegasnya, selepas kamiran diambil, persamaan pembezaan dianggap diselesaikan. Satu-satunya perkara ialah "y" kami tidak dinyatakan melalui "x", iaitu, penyelesaiannya dibentangkan secara tersirat bentuk. Penyelesaian kepada persamaan pembezaan dalam bentuk tersirat dipanggil kamiran am bagi persamaan pembezaan. Iaitu, ini adalah kamiran umum.

Jawapan dalam borang ini agak boleh diterima, tetapi adakah terdapat pilihan yang lebih baik? Jom cuba dapatkan keputusan bersama.

tolong, ingat teknik pertama, ia sangat biasa dan sering digunakan dalam tugas praktikal: jika logaritma muncul di sebelah kanan selepas penyepaduan, maka dalam banyak kes (tetapi tidak selalu!) adalah dinasihatkan untuk menulis pemalar juga di bawah logaritma. Dan PASTI untuk menulis jika hasilnya hanya logaritma (seperti dalam contoh yang sedang dipertimbangkan).

Itu dia, BUKANNYA entri biasanya ditulis .

Mengapa ini perlu? Dan untuk menjadikannya lebih mudah untuk menyatakan "permainan". Menggunakan sifat logaritma . Dalam kes ini:

Kini logaritma dan modul boleh dialih keluar:

Fungsi dibentangkan secara eksplisit. Ini adalah penyelesaian umum.

Jawab: keputusan bersama: .

Jawapan kepada banyak persamaan pembezaan agak mudah untuk diperiksa. Dalam kes kami, ini dilakukan dengan mudah, kami mengambil penyelesaian yang ditemui dan membezakannya:

Kemudian kita menggantikan derivatif ke dalam persamaan asal:

– kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa penyelesaian umum memenuhi persamaan, iaitu apa yang perlu diperiksa.

Dengan memberikan nilai yang berbeza yang berterusan, anda boleh mendapatkan nombor yang tidak terhingga penyelesaian peribadi persamaan pembezaan. Adalah jelas bahawa mana-mana fungsi , , dsb. memenuhi persamaan pembezaan.

Kadang-kadang penyelesaian umum dipanggil keluarga fungsi. Dalam contoh ini, penyelesaian umum ialah keluarga fungsi linear, atau lebih tepat lagi, keluarga berkadar langsung.

Selepas semakan menyeluruh terhadap contoh pertama, adalah wajar untuk menjawab beberapa soalan naif tentang persamaan pembezaan:

1)Dalam contoh ini, kami dapat memisahkan pembolehubah. Bolehkah ini selalu dilakukan? Tidak tidak selalu. Dan lebih kerap, pembolehubah tidak boleh dipisahkan. Contohnya, dalam persamaan tertib pertama homogen, anda mesti menggantikannya dahulu. Dalam jenis persamaan lain, contohnya, dalam persamaan tak homogen linear urutan pertama, anda perlu menggunakan pelbagai teknik dan kaedah untuk mencari penyelesaian umum. Persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, yang kita pertimbangkan dalam pelajaran pertama, adalah jenis persamaan pembezaan yang paling mudah.

2) Adakah selalu mungkin untuk menyepadukan persamaan pembezaan? Tidak tidak selalu. Sangat mudah untuk menghasilkan persamaan "mewah" yang tidak boleh disepadukan; di samping itu, terdapat kamiran yang tidak boleh diambil. Tetapi DE sedemikian boleh diselesaikan kira-kira menggunakan kaedah khas. D’Alembert dan Cauchy menjamin... ...ugh, lurkmore.untuk membaca banyak tadi, saya hampir menambah "dari dunia lain."

3) Dalam contoh ini, kami memperoleh penyelesaian dalam bentuk kamiran am . Adakah selalu mungkin untuk mencari penyelesaian umum daripada kamiran am, iaitu, untuk menyatakan "y" secara eksplisit? Tidak tidak selalu. Sebagai contoh: . Nah, bagaimana anda boleh menyatakan "Greek" di sini?! Dalam kes sedemikian, jawapan hendaklah ditulis sebagai kamiran am. Di samping itu, kadang-kadang adalah mungkin untuk mencari penyelesaian umum, tetapi ia ditulis dengan sangat rumit dan kekok sehingga lebih baik meninggalkan jawapan dalam bentuk kamiran am

4) ...mungkin itu sudah cukup buat masa ini. Dalam contoh pertama yang kami temui satu lagi perkara penting, tetapi untuk tidak menutup "boneka" dengan runtuhan maklumat baharu, saya akan meninggalkannya sehingga pelajaran seterusnya.

Kami tidak akan tergesa-gesa. Satu lagi alat kawalan jauh mudah dan satu lagi penyelesaian biasa:

Contoh 2

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal

Penyelesaian: mengikut syarat, anda perlu mencari penyelesaian peribadi DE yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Rumusan soalan ini juga dipanggil Masalah cauchy.

Mula-mula kita mencari penyelesaian umum. Tiada pembolehubah "x" dalam persamaan, tetapi ini tidak sepatutnya mengelirukan, perkara utama ialah ia mempunyai derivatif pertama.

Kami menulis semula derivatif dalam bentuk yang diperlukan:

Jelas sekali, pembolehubah boleh dipisahkan, lelaki ke kiri, perempuan ke kanan:

Mari kita sepadukan persamaan:

Kamiran am diperolehi. Di sini saya telah melukis pemalar dengan asterisk, hakikatnya tidak lama lagi ia akan berubah menjadi pemalar lain.

Sekarang kita cuba mengubah kamiran am kepada penyelesaian umum (nyatakan "y" secara eksplisit). Mari kita ingat perkara-perkara lama yang baik dari sekolah: . Dalam kes ini:

Pemalar dalam penunjuk kelihatan entah bagaimana tidak halal, jadi ia biasanya diturunkan ke bumi. Secara terperinci, ini adalah bagaimana ia berlaku. Menggunakan sifat darjah, kami menulis semula fungsi seperti berikut:

Jika ialah pemalar, maka juga beberapa pemalar, mari kita bentuk semula dengan huruf :
– dalam kes ini, kami mengalih keluar modul, selepas itu pemalar "ce" boleh mengambil kedua-dua nilai positif dan negatif

Ingat "merobohkan" pemalar adalah teknik kedua, yang sering digunakan semasa menyelesaikan persamaan pembezaan. Pada versi bersih anda boleh pergi darinya dengan segera kepada, tetapi sentiasa bersedia untuk menerangkan peralihan ini.

Jadi, penyelesaian umum ialah: . Ini adalah keluarga fungsi eksponen yang bagus.

Pada peringkat akhir, anda perlu mencari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Ini juga mudah.

Apakah tugasnya? Perlu ambil sebegitu nilai pemalar supaya keadaan itu dipenuhi.

Ia boleh diformatkan dengan cara yang berbeza, tetapi ini mungkin cara yang paling jelas. Dalam penyelesaian umum, bukannya "X" kita menggantikan sifar, dan bukannya "Y" kita menggantikan dua:



Itu dia,

Versi reka bentuk standard:

Sekarang kita menggantikan nilai yang dijumpai pemalar ke dalam penyelesaian umum:
– ini adalah penyelesaian khusus yang kami perlukan.

Jawab: penyelesaian peribadi:

Jom semak. Menyemak penyelesaian peribadi termasuk dua peringkat:

Mula-mula anda perlu menyemak sama ada penyelesaian tertentu yang ditemui benar-benar memenuhi syarat awal? Daripada "X" kami menggantikan sifar dan melihat apa yang berlaku:
- ya, memang, dua telah diterima, yang bermaksud bahawa syarat awal dipenuhi.

Tahap kedua sudah biasa. Kami mengambil penyelesaian tertentu yang terhasil dan mencari derivatif:

Kami menggantikan ke dalam persamaan asal:

– persamaan yang betul diperolehi.

Kesimpulan: penyelesaian tertentu didapati dengan betul.

Mari kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 3

Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian: Kami menulis semula derivatif dalam bentuk yang kami perlukan:

Kami menilai sama ada mungkin untuk memisahkan pembolehubah? boleh. Kami memindahkan istilah kedua ke sebelah kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami memindahkan pengganda mengikut peraturan perkadaran:

Pembolehubah dipisahkan, mari kita sepadukan kedua-dua bahagian:

Saya mesti memberi amaran kepada anda, hari penghakiman semakin hampir. Jika anda belum belajar dengan baik kamiran tak tentu, telah menyelesaikan beberapa contoh, maka tiada tempat untuk pergi - anda perlu menguasainya sekarang.

Kamiran sebelah kiri mudah dicari; kami berurusan dengan kamiran kotangen menggunakan teknik standard yang kami lihat dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri tahun lepas:

Akibatnya, kami hanya mendapat logaritma, dan, menurut cadangan teknikal pertama saya, kami juga mentakrifkan pemalar sebagai logaritma.

Sekarang kita cuba permudahkan kamiran am. Oleh kerana kita hanya mempunyai logaritma, adalah agak mungkin (dan perlu) untuk menyingkirkannya. Dengan menggunakan sifat yang diketahui Kami "membungkus" logaritma sebanyak mungkin. Saya akan menulisnya dengan terperinci:

Pembungkusan itu siap untuk dikoyak secara biadab:
, dan segera kami hadirkan kamiran am Dengan cara ini, selagi ini mungkin:

Secara umumnya, ia tidak perlu melakukan ini, tetapi ia sentiasa bermanfaat untuk menggembirakan profesor ;-)

Pada dasarnya, karya ini boleh ditulis sebagai jawapan, tetapi di sini masih sesuai untuk mengkuadangkan kedua-dua bahagian dan menetapkan semula pemalar:

Jawapan: kamiran am:

! Catatan: Kamiran am selalunya boleh ditulis dalam lebih daripada satu cara. Oleh itu, jika keputusan anda tidak bertepatan dengan jawapan yang diketahui sebelum ini, ini tidak bermakna anda menyelesaikan persamaan dengan salah.

Adakah mungkin untuk menyatakan "permainan"? boleh. Mari nyatakan penyelesaian umum:

Sudah tentu, hasil yang diperoleh adalah sesuai untuk jawapan, tetapi ambil perhatian bahawa kamiran am kelihatan lebih padat, dan penyelesaiannya lebih pendek.

Petua teknikal ketiga:jika untuk mendapatkan penyelesaian umum anda perlu melakukan sejumlah besar tindakan, maka dalam kebanyakan kes adalah lebih baik untuk menahan diri daripada tindakan ini dan meninggalkan jawapan dalam bentuk kamiran umum. Perkara yang sama berlaku untuk tindakan "buruk", apabila anda perlu menyatakan fungsi songsang, menaikkan kepada kuasa, mengekstrak akar, dsb. Hakikatnya ialah penyelesaian umum akan kelihatan megah dan menyusahkan - dengan akar besar, tanda dan sampah matematik lain.

Bagaimana untuk menyemak? Semakan boleh dilakukan dalam dua cara. Kaedah satu: ambil penyelesaian umum , kita dapati terbitan dan menggantikannya ke dalam persamaan asal. Cubalah sendiri!

Cara kedua ialah membezakan kamiran am. Ia agak mudah, perkara utama adalah untuk dapat mencari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat:

bahagikan setiap istilah dengan:

dan pada:

Persamaan pembezaan asal telah diperolehi dengan tepat, yang bermaksud kamiran am telah ditemui dengan betul.

Contoh 4

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Biar saya ingatkan anda bahawa algoritma terdiri daripada dua peringkat:
1) mencari penyelesaian umum;
2) mencari penyelesaian tertentu yang diperlukan.

Semakan juga dijalankan dalam dua langkah (lihat contoh dalam Contoh No. 2), anda perlu:
1) pastikan bahawa penyelesaian tertentu yang ditemui memenuhi syarat awal;
2) semak bahawa penyelesaian tertentu secara amnya memenuhi persamaan pembezaan.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Contoh 5

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan , memenuhi syarat awal. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Mula-mula, mari kita cari penyelesaian umum. Persamaan ini sudah mengandungi pembezaan siap pakai dan, oleh itu, penyelesaiannya dipermudahkan. Kami memisahkan pembolehubah:

Mari kita sepadukan persamaan:

Kamiran di sebelah kiri adalah jadual, kamiran di sebelah kanan diambil kaedah memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan:

Kamiran am telah diperoleh; adakah mungkin untuk menyatakan penyelesaian am dengan jayanya? boleh. Kami menggantung logaritma pada kedua-dua belah pihak. Oleh kerana ia positif, tanda modulus tidak diperlukan:

(Saya harap semua orang faham transformasi, perkara sebegini sepatutnya sudah diketahui)

Jadi, penyelesaian umum ialah:

Mari cari penyelesaian tertentu yang sepadan dengan keadaan awal yang diberikan.
Dalam penyelesaian umum, bukannya "X" kita menggantikan sifar, dan bukannya "Y" kita menggantikan logaritma dua:

Reka bentuk yang lebih biasa:

Kami menggantikan nilai yang ditemui pemalar ke dalam penyelesaian am.

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Semak: Mula-mula, mari semak sama ada syarat awal dipenuhi:
- segala-galanya adalah baik.

Sekarang mari kita semak sama ada penyelesaian tertentu yang ditemui memenuhi persamaan pembezaan sama sekali. Mencari terbitan:

Mari kita lihat persamaan asal: – ia dibentangkan dalam pembezaan. Terdapat dua cara untuk menyemak. Adalah mungkin untuk menyatakan pembezaan daripada terbitan yang ditemui:

Mari kita gantikan penyelesaian tertentu yang ditemui dan pembezaan yang terhasil ke dalam persamaan asal :

Kami menggunakan identiti logaritma asas:

Kesamaan yang betul diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian tertentu ditemui dengan betul.

Kaedah pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih biasa: dari persamaan Mari kita nyatakan derivatif, untuk melakukan ini kita bahagikan semua bahagian dengan:

Dan ke dalam DE yang diubah kita menggantikan penyelesaian separa yang diperolehi dan terbitan yang ditemui. Hasil daripada pemudahan, kesaksamaan yang betul juga harus diperolehi.

Contoh 6

Cari kamiran am bagi persamaan, kemukakan jawapan dalam bentuk.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apakah kesukaran yang menanti apabila menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan?

1) Tidak selalunya jelas (terutamanya kepada "teko") bahawa pembolehubah boleh diasingkan. Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini anda perlu mengambil faktor daripada kurungan: dan memisahkan akar: . Ia jelas apa yang perlu dilakukan seterusnya.

2) Kesukaran dengan integrasi itu sendiri. Kamiran selalunya bukan yang paling mudah, dan jika terdapat kelemahan dalam kemahiran mencari kamiran tak tentu, maka ia akan menjadi sukar dengan banyak peresap. Di samping itu, logik "memandangkan persamaan pembezaan adalah mudah, maka sekurang-kurangnya biarkan kamiran menjadi lebih rumit" adalah popular di kalangan penyusun koleksi dan manual latihan.

3) Transformasi dengan pemalar. Seperti yang semua orang perhatikan, pemalar dalam persamaan pembezaan boleh dikendalikan dengan agak bebas, dan beberapa transformasi tidak selalunya jelas kepada pemula. Mari kita lihat satu lagi contoh bersyarat: . Adalah dinasihatkan untuk mendarab semua sebutan dengan 2: . Pemalar yang terhasil juga adalah sejenis pemalar, yang boleh dilambangkan dengan: . Ya, dan kerana kita hanya mempunyai logarim, adalah dinasihatkan untuk menulis semula pemalar dalam bentuk pemalar lain: .

Masalahnya ialah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Akibatnya, rekod keputusan mengambil bentuk berikut:

Apa kejadahnya?! Terdapat kesilapan di sana! Tegasnya, ya. Walau bagaimanapun, dari sudut pandangan substantif, tidak ada ralat, kerana hasil daripada mengubah pemalar pembolehubah, pemalar pembolehubah setara diperolehi.

Atau contoh lain, andaikan bahawa semasa menyelesaikan persamaan kamiran am diperolehi. Jawapan ini kelihatan hodoh, jadi dinasihatkan untuk menukar tanda setiap istilah: . Secara rasmi, terdapat satu lagi kesilapan di sini - ia harus ditulis di sebelah kanan. Tetapi secara tidak rasmi difahami bahawa "tolak ce" masih tetap, yang juga mengambil set nilai yang sama, dan oleh itu tidak masuk akal untuk meletakkan "tolak".

Saya akan cuba mengelakkan pendekatan cuai, dan masih menetapkan indeks yang berbeza kepada pemalar apabila menukarnya. Itulah yang saya nasihatkan anda lakukan.

Contoh 7

Selesaikan persamaan pembezaan. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Persamaan ini membenarkan pemisahan pembolehubah. Kami memisahkan pembolehubah:

Mari kita integrasikan:

Ia tidak perlu untuk mentakrifkan pemalar di sini sebagai logaritma, kerana tiada yang berguna akan datang daripada ini.

Jawapan: kamiran am:

Dan, sudah tentu, tidak perlu menyatakan "y" di sini secara eksplisit, kerana ia akan menjadi sampah (ingat petua teknikal ketiga).

Peperiksaan: Bezakan jawapan (fungsi tersirat):

Kami menyingkirkan pecahan dengan mendarab kedua-dua sebutan dengan:

Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud kamiran am telah ditemui dengan betul.

Contoh 8

Cari penyelesaian tertentu bagi DE.
,