Menyelesaikan persamaan linear algebra dengan kaedah matriks. Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang adalah kes khas persamaan matriks

Selesaikan sistem dengan kaedah matriks

Penyelesaian: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks. Kami mencari penyelesaian sistem dengan formula (lihat formula terakhir)

Kami mencari matriks songsang dengan formula:
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita berurusan dengan penentu:

Di sini penentu dikembangkan oleh baris pertama.

Perhatian! Jika, maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan dengan penghapusan kaedah yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Sekarang anda perlu mengira 9 kanak-kanak dan menulisnya ke dalam matriks kanak-kanak di bawah umur

Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak:

Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada di baris pertama, lajur ketiga, manakala, sebagai contoh, elemen berada di baris ke-3, lajur ke-2.

Dalam proses penyelesaian, adalah lebih baik untuk menerangkan pengiraan kanak-kanak di bawah umur secara terperinci, walaupun, dengan pengalaman tertentu, mereka boleh diselaraskan untuk mengira dengan kesilapan secara lisan.

Susunan pengiraan kanak-kanak bawah umur sama sekali tidak penting, di sini saya mengira mereka dari kiri ke kanan baris demi baris. Adalah mungkin untuk mengira kanak-kanak bawah umur mengikut lajur (ini lebih mudah).

Dengan cara ini:

ialah matriks minor bagi unsur matriks yang sepadan.

ialah matriks penambahan algebra.

ialah matriks terpindah bagi penambahan algebra.

Saya ulangi, langkah-langkah yang kami lakukan telah dianalisis secara terperinci dalam pelajaran. Bagaimana untuk mencari matriks songsang?

Sekarang kita tulis matriks songsang:

Walau apa pun kita dimasukkan ke dalam matriks, ini akan merumitkan pengiraan selanjutnya. Pembahagian perlu dilakukan jika semua nombor dalam matriks boleh dibahagi dengan 60 tanpa baki. Tetapi untuk menambah tolak kepada matriks dalam kes ini adalah sangat diperlukan, sebaliknya, ia akan memudahkan pengiraan selanjutnya.

Ia kekal untuk menjalankan pendaraban matriks. Anda boleh belajar cara mendarab matriks dalam pelajaran Tindakan dengan matriks. By the way, terdapat contoh yang sama.

Perhatikan bahawa pembahagian dengan 60 telah dilakukan terakhir.
Kadang-kadang ia mungkin tidak dibahagikan sepenuhnya, i.e. boleh mendapat pecahan "buruk". Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian, saya sudah memberitahu apabila kami menganalisis peraturan Cramer.

Jawab:

Contoh 12

Selesaikan sistem menggunakan matriks songsang.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian kendiri (sampel penamat dan jawapan pada akhir pelajaran).

Cara paling universal untuk menyelesaikan sistem ialah kaedah penghapusan yang tidak diketahui (kaedah Gauss). Ia tidak begitu mudah untuk menerangkan algoritma dengan cara yang boleh diakses, tetapi saya cuba!.

Semoga berjaya!

Jawapan:

Contoh 3:

Contoh 6:

Contoh 8: , . Anda boleh melihat atau memuat turun contoh penyelesaian untuk contoh ini (pautan di bawah).

Contoh 10, 12:

Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah yang ketiga mengenai topik ini. Jika anda mempunyai idea yang samar-samar tentang sistem persamaan linear secara umum, anda berasa seperti teko, maka saya cadangkan bermula dengan asas pada halaman Seterusnya, adalah berguna untuk mengkaji pelajaran.

Kaedah Gauss adalah mudah! kenapa? Ahli matematik Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hayatnya, menerima pengiktirafan sebagai ahli matematik terhebat sepanjang zaman, genius, dan juga gelaran "Raja Matematik". Dan segala-galanya yang bijak, seperti yang anda tahu, adalah mudah! By the way, bukan sahaja penghisap, tetapi juga genius jatuh ke dalam wang - potret Gauss telah dipamerkan pada bil 10 Deutschmarks (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih secara misteri tersenyum kepada orang Jerman dari setem pos biasa.

Kaedah Gauss adalah mudah kerana ia CUKUP PENGETAHUAN PELAJAR DARJAH LIMA untuk menguasainya. Mesti boleh tambah dan darab! Bukan kebetulan bahawa kaedah penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui sering dipertimbangkan oleh guru di elektif matematik sekolah. Ia adalah satu paradoks, tetapi kaedah Gauss menyebabkan kesukaran yang paling besar untuk pelajar. Tiada apa yang menghairankan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan cuba memberitahu dalam bentuk yang boleh diakses tentang algoritma kaedah.

Pertama, kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:

1) Mempunyai penyelesaian yang unik.
2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi tidak serasi).

Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui bagaimanapun membawa kami kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel dikhaskan untuk situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi dengan cara yang sama dalam ketiga-tiga kes.

Mari kita kembali kepada sistem yang paling mudah dari pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?
dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.

Langkah pertama ialah menulis sistem matriks lanjutan:
. Dengan prinsip apa pekali direkodkan, saya fikir semua orang boleh melihat. Garis menegak di dalam matriks tidak membawa apa-apa makna matematik - ia hanya coretan untuk memudahkan reka bentuk.

Rujukan: Saya mengesyorkan untuk mengingatisyarat algebra linear.Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini, matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan ialah matriks sistem yang sama ditambah lajur ahli percuma, dalam kes ini: . Mana-mana matriks boleh dipanggil hanya matriks untuk ringkasnya.

Selepas sistem matriks lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.

Terdapat transformasi asas berikut:

1) rentetan matriks boleh disusun semula tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua dengan selamat:

2) Jika terdapat (atau muncul) baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) dalam matriks, maka ia mengikuti padam daripada matriks, semua baris ini kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: .

3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga mengikuti padam. Saya tidak akan menarik, sudah tentu, garis sifar adalah garis di mana hanya sifar.

4) Barisan matriks boleh darab (bahagi) untuk sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan -3, dan darab baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna, kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.

5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Ke baris matriks, anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Pertimbangkan matriks kami dari contoh praktikal: . Pertama, saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darab baris pertama dengan -2: , dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan -2: . Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan -2: . Seperti yang anda lihat, baris yang DITAMBAH LI – tidak berubah. Adakah sentiasa baris ditukar, KE MANA TAMBAH UT.

Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak melukis dengan terperinci, tetapi menulis lebih pendek:

Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan -2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, manakala pengiraan mental adalah seperti ini:

"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama:"

Lajur pertama dahulu. Di bawah saya perlu mendapatkan sifar. Oleh itu, saya mendarab unit di atas dengan -2:, dan menambah yang pertama pada baris kedua: 2 + (-2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Sekarang ruangan kedua. Di atas -1 kali -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: "

“Dan lajur ketiga. Di atas -5 kali -2: . Saya menambah baris pertama ke baris kedua: -7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

Sila fikirkan dengan teliti tentang contoh ini dan fahami algoritma pengiraan berjujukan, jika anda memahami ini, maka kaedah Gauss boleh dikatakan "di dalam poket anda". Tetapi, sudah tentu, kami masih mengusahakan transformasi ini.

Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh guna, jika anda ditawarkan tugasan di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" matriks jangan sekali-kali anda menyusun semula sesuatu di dalam matriks!

Mari kembali ke sistem kami. Dia hampir selesai.

Mari kita tulis matriks tambahan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambah ke baris kedua, didarab dengan -2. By the way, kenapa kita darab baris pertama dengan -2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua.

(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.

Tujuan transformasi asas– tukar matriks kepada bentuk langkah: . Dalam reka bentuk tugas, mereka terus mengeluarkan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga melingkari nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berperingkat" itu sendiri tidak sepenuhnya teori; dalam kesusasteraan saintifik dan pendidikan, ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.

Hasil daripada transformasi asas, kami telah memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:

Kini sistem perlu "tidak berpusing" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil kaedah Gauss terbalik.

Dalam persamaan yang lebih rendah, kita sudah mempunyai hasil selesai: .

Pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian diperlukan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss:

Mari kita tulis matriks tambahan sistem:

Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kita perolehi dalam penyelesaiannya:

Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana untuk mula mengambil tindakan?

Pertama, lihat nombor kiri atas:

Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) juga sesuai, tetapi entah bagaimana secara tradisinya, unit biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.

Unit di bahagian atas sebelah kiri disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini:

Sifar diperoleh hanya dengan bantuan transformasi "sukar". Pertama, kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambahkan baris pertama didarab dengan -2. Secara mental atau pada draf, kami mendarabkan baris pertama dengan -2: (-2, -4, 2, -18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan -2:

Hasilnya ditulis dalam baris kedua:

Begitu juga, kita berurusan dengan baris ketiga (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan -3. Secara mental atau pada draf, kita darab baris pertama dengan -3: (-3, -6, 3, -27). Dan ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan -3:

Hasilnya ditulis dalam baris ketiga:

Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah:

Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "penyisipan" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan senyap-senyap - SECARA KONSISTEN dan BERHATI-HATI:

Dan saya telah pun mempertimbangkan perjalanan mental pengiraan itu sendiri di atas.

Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan, kami membahagikan baris kedua dengan -5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan -2, kerana semakin kecil nombornya, semakin mudah penyelesaiannya:

Pada peringkat akhir transformasi asas, satu sifar lagi mesti diperoleh di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua, didarab dengan -2:

Cuba huraikan tindakan ini sendiri - darabkan baris kedua secara mental dengan -2 dan lakukan penambahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.

Hasil daripada penjelmaan asas, sistem awal persamaan linear yang setara telah diperolehi:

Sejuk.

Sekarang laluan terbalik kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.

Dalam persamaan ketiga, kita sudah mempunyai hasil selesai:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "z" sudah diketahui, oleh itu:

Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Y" dan "Z" diketahui, perkaranya kecil:

Jawapan:

Seperti yang telah berulang kali dinyatakan, untuk mana-mana sistem persamaan, adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini tidak sukar dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh untuk penyelesaian kendiri, sampel penamat dan jawapan pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa anda tindakan mungkin tidak bertepatan dengan tindakan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk langkah:

Kami melihat "langkah" di sebelah kiri atas. Di sana kita sepatutnya mempunyai satu unit. Masalahnya ialah tidak ada sama sekali dalam lajur pertama, jadi tiada apa yang boleh diselesaikan dengan menyusun semula baris. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Pada baris pertama kita tambah baris kedua, didarab dengan -1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

Kini di bahagian atas kiri -1, yang sesuai dengan kami. Siapa yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan gerak isyarat tambahan: darab baris pertama dengan -1 (tukar tandanya).

(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah ke baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 ditambah ke baris ketiga.

(3) Baris pertama didarab dengan -1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan dipindahkan ke tempat kedua, oleh itu, pada "langkah kedua, kami mempunyai unit yang dikehendaki.

(4) Baris kedua didarab dengan 2 telah ditambah pada baris ketiga.

(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Tanda buruk yang menunjukkan ralat pengiraan (kurang kerap kesilapan menaip) ialah garis bawah "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti di bawah, dan, dengan itu, , maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi boleh dikatakan bahawa ralat telah dibuat dalam perjalanan transformasi asas.

Kami mengenakan langkah terbalik, dalam reka bentuk contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis semula, dan persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan". Langkah terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas:
Ya, inilah hadiahnya:

Jawapan: .

Contoh 4

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, ia agak lebih rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Contoh penyelesaian dan reka bentuk penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada saya.

Pada bahagian terakhir, kami mempertimbangkan beberapa ciri algoritma Gauss.
Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang dalam persamaan sistem, contohnya:

Bagaimana untuk menulis matriks tambahan sistem dengan betul? Saya sudah bercakap tentang detik ini dalam pelajaran. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks sistem yang diperluas, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang:

Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana sudah ada satu sifar dalam lajur pertama, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.

Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: .

Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai deuce. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan dua dan enam lagi. Dan deuce di kiri atas akan sesuai dengan kita! Pada langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan -1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan -3. Oleh itu, kita akan mendapat sifar yang dikehendaki dalam lajur pertama.

Atau contoh hipotesis lain: . Di sini, tiga kali ganda pada "anak tangga" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: ke baris ketiga, tambah baris kedua, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.

Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar bagaimana untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal dari kali pertama - terdapat algoritma yang sangat tegar. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gauss, anda harus "mengisi tangan anda" dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sepuluh sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan, kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap .... Oleh itu, untuk semua orang, contoh yang lebih kompleks untuk penyelesaian bebas:

Contoh 5

Selesaikan sistem 4 persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss.

Tugas sedemikian dalam amalan tidak begitu jarang berlaku. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini secara terperinci memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya sama - hanya lebih banyak tindakan.

Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dipertimbangkan dalam pelajaran. Sistem dan sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gauss yang dipertimbangkan.

Semoga berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Mari kita tuliskan matriks tambahan sistem dan dengan bantuan transformasi asas kita membawanya ke bentuk langkah.

Transformasi asas yang dilakukan:
(1) Baris pertama ditambah ke baris kedua, didarab dengan -2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1.Perhatian! Di sini mungkin menarik untuk menolak yang pertama dari baris ketiga, saya sangat tidak mengesyorkan menolak - risiko ralat sangat meningkat. Kami hanya lipat!
(2) Tanda baris kedua telah diubah (didarab dengan -1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar.catatan bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah.
(3) Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, didarab dengan 5.
(4) Tanda baris kedua telah diubah (didarab dengan -1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.

Pergerakan terbalik:

Jawapan: .

Contoh 4: Kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kami membawanya ke bentuk langkah:

Penukaran dilakukan:
(1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah".
(2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah ke baris kedua. Baris pertama didarab dengan 6 ditambah ke baris ketiga.

Dengan "langkah" kedua semuanya lebih teruk , "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau -1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki

(3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1.
(4) Baris ketiga, didarab dengan -3, telah ditambah pada baris kedua.
Perkara yang perlu pada langkah kedua diterima .
(5) Pada baris ketiga ditambah yang kedua, didarab dengan 6.
(6) Baris kedua didarab dengan -1, baris ketiga dibahagikan dengan -83..Jelas sekali, pesawat itu ditentukan secara unik oleh tiga titik berbeza yang tidak terletak pada satu garis lurus. Oleh itu, sebutan tiga huruf pesawat agak popular - mengikut mata kepunyaan mereka, sebagai contoh,; .Jika ahli percuma

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa agar matriks songsang wujud, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
Tulis matriks songsang A -1, yang berada dalam jadual terakhir di bawah matriks E jadual asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks. Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama pembentukan sistem penunjuk ekonomi dijalankan dan berdasarkannya matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua jumlah yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai terbesar dan matriks pekali piawai terbentuk.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat nilai penilaian yang ditemui Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, dalam analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta dalam menilai penunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Kalkulator dalam talian ini menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah matriks. Penyelesaian yang sangat terperinci diberikan. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, pilih bilangan pembolehubah. Pilih kaedah untuk mengira matriks songsang. Kemudian masukkan data dalam sel dan klik pada butang "Kira".

Amaran

Kosongkan semua sel?

Tutup Kosong

Arahan kemasukan data. Nombor dimasukkan sebagai nombor bulat (contoh: 487, 5, -7623, dsb.), nombor perpuluhan (cth. 67., 102.54, dsb.) atau pecahan. Pecahan mesti ditaip sebagai a/b, dengan a dan b ialah nombor bulat atau perpuluhan. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dsb.

Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Pertimbangkan sistem persamaan linear berikut:

Dengan mengambil kira definisi matriks songsang, kita ada A −1 A=E, di mana E ialah matriks identiti. Oleh itu, (4) boleh ditulis seperti berikut:

Oleh itu, untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (1) (atau (2)), ia memadai untuk mendarab songsang kepada A matriks setiap vektor kekangan b.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan kaedah matriks

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan kaedah matriks:

Mari cari songsang kepada matriks A dengan kaedah Jordan-Gauss. Di sebelah kanan matriks A tulis matriks identiti:

Mari kita mengecualikan unsur-unsur lajur pertama matriks di bawah pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, masing-masing didarab dengan -1/3, -1/3:

Mari kita mengecualikan elemen lajur ke-2 matriks di bawah pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 3 dengan baris 2 didarab dengan -24/51:

Mari kita mengecualikan elemen lajur ke-2 matriks di atas pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 1 dengan baris 2, didarab dengan -3/17:

Pisahkan bahagian kanan matriks. Matriks yang terhasil adalah songsang daripada A :

Bentuk matriks untuk menulis sistem persamaan linear: ax=b, di mana

Hitung semua pelengkap algebra bagi matriks A:

Matriks songsang dikira daripada ungkapan berikut.

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman dahulu dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Kaedah matriks membolehkan mencari penyelesaian kepada SLAE (sistem persamaan algebra linear) bagi sebarang kerumitan. Keseluruhan proses menyelesaikan SLAE datang kepada dua langkah utama:

Penentuan matriks songsang berdasarkan matriks utama:

Pendaraban matriks songsang yang terhasil dengan vektor lajur penyelesaian.

Katakan kita diberi SLAE dalam bentuk berikut:

\[\left\(\begin(matriks) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matriks)\kanan.\]

Mari kita mulakan menyelesaikan persamaan ini dengan menulis matriks sistem:

Matriks sebelah kanan:

Mari kita takrifkan matriks songsang. Anda boleh mencari matriks tertib ke-2 seperti berikut: 1 - matriks itu sendiri mestilah bukan tunggal; 2 - unsur-unsurnya yang berada pada pepenjuru utama ditukar ganti, dan untuk unsur pepenjuru sekunder kita melakukan perubahan tanda kepada yang bertentangan, selepas itu kita membahagikan unsur-unsur yang diperolehi dengan penentu matriks. Kita mendapatkan:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ mula(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matriks dianggap sama jika elemen yang sepadan adalah sama. Akibatnya, kami mempunyai jawapan berikut untuk penyelesaian SLAE:

Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah matriks dalam talian?

Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh mempelajari cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan Vkontakte kami.

Topik 2. SISTEM PERSAMAAN ALGEBRA LINEAR.

Konsep asas.

Definisi 1. sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana dan adalah nombor.

Definisi 2. Penyelesaian sistem (I) adalah satu set yang tidak diketahui, di mana setiap persamaan sistem ini bertukar menjadi identiti.

Definisi 3. Sistem (I) dipanggil sendi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dan tidak serasi jika ia tidak mempunyai penyelesaian. Sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak pasti sebaliknya.

Definisi 4. Taip persamaan

dipanggil sifar, dan persamaan bentuk

dipanggil tidak serasi. Jelas sekali, sistem persamaan yang mengandungi persamaan tidak konsisten adalah tidak konsisten.

Definisi 5. Dua sistem persamaan linear dipanggil bersamaan jika setiap penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian yang lain dan, sebaliknya, setiap penyelesaian sistem kedua ialah penyelesaian yang pertama.

Tatatanda matriks untuk sistem persamaan linear.

Pertimbangkan sistem (I) (lihat §1).

Nyatakan:

Matriks pekali untuk yang tidak diketahui

Matriks - lajur ahli percuma

Matriks - lajur yang tidak diketahui

Definisi 1. Matriks dipanggil matriks utama sistem(I), dan matriks ialah matriks tambahan sistem (I).

Dengan takrifan kesamaan matriks, sistem (I) sepadan dengan kesamaan matriks:

Bahagian kanan kesamaan ini mengikut takrif hasil darab matriks ( lihat definisi 3 § 5 bab 1) boleh difaktorkan:

, iaitu

Kesaksamaan (2) dipanggil tatatanda matriks sistem (I).

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n, iaitu bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, dan matriks utama sistem adalah tidak merosot, i.e. . Kemudian sistem (I) dari §1 mempunyai penyelesaian yang unik

di mana ∆ = det A dipanggil utama penentu sistem(I), ∆ i diperoleh daripada penentu Δ dengan menggantikan i-lajur ke lajur ahli bebas sistem (I).

Contoh. Selesaikan sistem dengan kaedah Cramer:

Dengan formula (3) .

Kami mengira penentu sistem:

Untuk mendapatkan penentu, kami telah menggantikan lajur pertama dalam penentu dengan lajur ahli bebas; menggantikan lajur ke-2 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh; begitu juga, menggantikan lajur ke-3 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh . Penyelesaian sistem:

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n dan matriks utama sistem adalah tidak merosot. Kami menulis sistem (I) dalam bentuk matriks ( lihat §2):

kerana matriks A tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang ( lihat Teorem 1 §6 Bab 1). Darab kedua-dua belah persamaan (2) ke matriks, kemudian

Mengikut takrifan matriks songsang . Daripada kesamarataan (3) kita ada

Selesaikan sistem menggunakan matriks songsang

Menandakan

Dalam contoh (§ 3) kita mengira penentu , oleh itu, matriks A mempunyai matriks songsang. Kemudian berkuat kuasa (4) , iaitu

. (5)

Cari matriks ( lihat §6 bab 1)

, , ,

Kaedah Gauss.

Biarkan sistem persamaan linear diberikan:

. (saya)

Ia diperlukan untuk mencari semua penyelesaian sistem (I) atau untuk memastikan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Definisi 1.Mari kita panggil transformasi asas sistem(I) mana-mana daripada tiga tindakan:

1) pemadaman persamaan sifar;

2) menambah pada kedua-dua bahagian persamaan bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor l;

3) menukar istilah dalam persamaan sistem supaya yang tidak diketahui dengan nombor yang sama dalam semua persamaan menduduki tempat yang sama, i.e. jika, sebagai contoh, dalam persamaan 1 kita menukar sebutan ke-2 dan ke-3, maka perkara yang sama mesti dilakukan dalam semua persamaan sistem.

Kaedah Gauss terdiri daripada fakta bahawa sistem (I) dengan bantuan transformasi asas dikurangkan kepada sistem yang setara, penyelesaiannya didapati secara langsung atau ketidakbolehlarutannya ditubuhkan.

Seperti yang diterangkan dalam §2, sistem (I) ditentukan secara unik oleh matriks lanjutannya, dan sebarang transformasi asas sistem (I) sepadan dengan transformasi asas matriks lanjutan:

Penjelmaan 1) sepadan dengan pemadaman baris sifar dalam matriks , penjelmaan 2) adalah bersamaan dengan menambah pada baris sepadan matriks baris lainnya didarab dengan nombor l, penjelmaan 3) adalah bersamaan dengan menyusun semula lajur dalam matriks .

Adalah mudah untuk melihat bahawa, sebaliknya, setiap transformasi asas matriks sepadan dengan transformasi asas sistem (I). Memandangkan apa yang telah diperkatakan, bukannya operasi dengan sistem (I), kami akan bekerja dengan matriks tambahan sistem ini.

Dalam matriks, lajur 1 terdiri daripada pekali pada x 1, lajur ke-2 - daripada pekali pada x 2 dan lain-lain. Dalam kes penyusunan semula lajur, ia harus diambil kira bahawa syarat ini dilanggar. Sebagai contoh, jika kita menukar lajur 1 dan 2, maka sekarang dalam lajur 1 akan terdapat pekali pada x 2, dan dalam lajur ke-2 - pekali pada x 1.

Kami akan menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss.

1. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada (iaitu, potong semua persamaan sifar dalam sistem (I).

2. Semak sama ada terdapat baris antara baris matriks di mana semua elemen kecuali yang terakhir adalah sama dengan sifar (mari kita panggil baris sedemikian tidak konsisten). Jelas sekali, garis sedemikian sepadan dengan persamaan yang tidak konsisten dalam sistem (I), oleh itu, sistem (I) tidak mempunyai penyelesaian, dan di sinilah proses itu berakhir.

3. Biarkan matriks tidak mengandungi baris tidak konsisten (sistem (I) tidak mengandungi persamaan tidak konsisten). Sekiranya a 11 =0, maka kita dapati dalam baris pertama beberapa elemen (kecuali yang terakhir) yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya tiada sifar dalam baris pertama di tempat pertama. Kami kini menganggap bahawa (iaitu, kami menukar istilah yang sepadan dalam persamaan sistem (I)).

4. Darabkan baris pertama dengan dan tambahkan hasil pada baris ke-2, kemudian darab baris pertama dengan dan tambahkan hasilnya pada baris ke-3, dsb. Jelas sekali, proses ini bersamaan dengan menghapuskan yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali yang pertama. Dalam matriks baharu, kita mendapat sifar dalam lajur pertama di bawah elemen a 11:

5. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada, semak jika terdapat baris yang tidak konsisten (jika ada, maka sistem tidak konsisten dan penyelesaiannya berakhir di sana). Mari kita semak jika a 22 / =0, jika ya, maka kita dapati elemen dalam baris ke-2 yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya . Seterusnya, kita darabkan unsur-unsur baris ke-2 dengan dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-3, kemudian - elemen baris ke-2 dihidupkan dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-4, dsb., sehingga kita mendapat sifar di bawah a 22 /

Tindakan yang dilakukan adalah bersamaan dengan penghapusan yang tidak diketahui x 2 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali untuk 1 dan 2. Oleh kerana bilangan baris adalah terhingga, oleh itu, selepas bilangan langkah terhingga, kita akan mendapat sama ada sistem itu tidak konsisten, atau kita akan sampai ke matriks langkah ( lihat definisi 2 §7 bab 1) :

Mari kita tuliskan sistem persamaan yang sepadan dengan matriks. Sistem ini bersamaan dengan sistem (I)

Daripada persamaan terakhir kita nyatakan ; kita gantikan ke dalam persamaan sebelumnya, cari, dsb., sehingga kita mendapat .

Catatan 1. Oleh itu, apabila menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss, kita tiba di salah satu daripada kes berikut.

1. Sistem (I) tidak konsisten.

2. Sistem (I) mempunyai penyelesaian yang unik jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui ().

3. Sistem (I) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika bilangan baris dalam matriks kurang daripada bilangan yang tidak diketahui ().

Oleh itu teorem berikut berlaku.

Teorem. Sistem persamaan linear sama ada tidak konsisten, atau mempunyai penyelesaian unik, atau terdapat set penyelesaian tak terhingga.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss atau buktikan ketidaktekalannya:

b) ;

a) Mari kita tulis semula sistem yang diberikan dalam bentuk:

Kami menukar persamaan 1 dan 2 sistem asal untuk memudahkan pengiraan (bukan pecahan, kami akan beroperasi hanya dengan integer menggunakan pilih atur sedemikian).

Kami menyusun matriks yang diperluaskan:

Tiada garisan nol; tiada garisan yang tidak serasi, ; kami mengecualikan yang pertama yang tidak diketahui daripada semua persamaan sistem, kecuali untuk yang pertama. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan unsur-unsur baris pertama matriks dengan "-2" dan menambahnya kepada unsur-unsur yang sepadan pada baris ke-2, yang bersamaan dengan mendarabkan persamaan pertama dengan "-2" dan menambahkannya pada persamaan ke-2. Kemudian kita darabkan unsur-unsur baris pertama dengan "-3" dan tambahkannya kepada unsur-unsur yang sepadan dengan baris ketiga, i.e. darabkan persamaan ke-2 sistem yang diberi dengan "-3" dan tambahkannya pada persamaan ke-3. Dapatkan

Matriks sepadan dengan sistem persamaan). - (lihat Takrif 3 § 7 Bab 1).