Sekolah menengah luar bandar Kop'evsk

10 penyelesaian persamaan kuadratik

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematik

kampung Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon Purba

1.2 Bagaimana Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik

1.3 Persamaan kuadratik di India

1.4 Persamaan kuadratik oleh al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadratik dalam Eropah XIII- abad XVII

1.6 Mengenai teorem Vieta

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kesimpulan

kesusasteraan

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon Purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan. plot tanah dan dengan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta dengan perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan sekitar 2000 SM. e. orang Babylon.

Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dibentangkan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk tentang bagaimana ia ditemui.

Walaupun tahap tinggi perkembangan algebra di Babylon, teks cuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum menyelesaikan persamaan kuadratik.

1.2 Bagaimana Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Aritmetik Diophantus tidak mengandungi pembentangan sistematik algebra, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan membina persamaan pelbagai darjah.

Semasa mengarang persamaan, Diophantus dengan mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Cari dua nombor dengan mengetahui jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96”

Diophantus beralasan seperti berikut: dari syarat-syarat masalah ia mengikuti bahawa nombor yang diperlukan tidak sama, kerana jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi kepada 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu. 10 + x, yang lain kurang, i.e. 10-an. Perbezaan antara mereka 2x .

Oleh itu persamaan:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu nombor yang diperlukan adalah sama dengan 12 , lain-lain 8 . Penyelesaian x = -2 kerana Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika kita menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu daripada nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, maka kita akan mendapatkan penyelesaian kepada persamaan

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Adalah jelas bahawa dengan memilih separuh perbezaan nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, Diophantus memudahkan penyelesaian; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (1) yang tidak lengkap.

1.3 Persamaan Kuadratik di India

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bersatu bentuk kanonik:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), pekali, kecuali A, juga boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita.

DALAM India Purba Pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Salah satu buku India lama mengatakan perkara berikut tentang pertandingan seperti itu: "Sebagaimana matahari gerhana bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga lelaki terpelajar mengatasi kegemilangan orang lain dalam perhimpunan popular dengan mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet lincah Dan dua belas di sepanjang pokok anggur...

Pihak berkuasa, setelah makan, berseronok. Mereka mula melompat, tergantung...

Terdapat mereka di dataran, bahagian lapan berapa banyak monyet yang ada?

Saya berseronok di kawasan lapang. Beritahu saya, dalam pek ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai (Rajah 3).

Persamaan yang sepadan dengan masalah 13 ialah:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan berselindung:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada kuasa dua, tambah kepada kedua-dua belah 32 2 , kemudian mendapat:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadratik dalam al - Khorezmi

Dalam risalah algebra al-Khorezmi, klasifikasi persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan akar," i.e. ax 2 + c = b X.

2) "Petak sama dengan nombor", i.e. ax 2 = c.

3) "Akar adalah sama dengan nombor," i.e. ah = s.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," i.e. ax 2 + c = b X.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor," i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," i.e. bx + c = ax 2 .

Bagi al-Khorezmi, yang mengelakkan penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah dan bukan boleh ditolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menggariskan penyelesaian persamaan di atas, menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana dalam masalah praktikal khusus ia tidak penting. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap al-Khorezmi pada separa contoh berangka membentangkan peraturan untuk penyelesaian dan kemudian pembuktian geometri.

Masalah 14.“Kuadrat dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari akarnya" (menyiratkan punca persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian penulis adalah seperti ini: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, yang tinggal ialah 4. Ambil punca daripada 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5 , anda mendapat 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang memberikan 7, ini juga akar.

Risalah al-Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, yang secara sistematik menetapkan klasifikasi persamaan kuadratik dan memberikan formula untuk penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah XIII - XVII bb

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di sepanjang garis al-Khwarizmi di Eropah mula-mula ditetapkan dalam Kitab Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, kedua-dua negara Islam dan Yunani Purba, dibezakan dengan kesempurnaan dan kejelasan pembentangan. Pengarang secara bebas membangunkan beberapa yang baru contoh algebra menyelesaikan masalah dan merupakan yang pertama di Eropah memperkenalkan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Kitab Abakus digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b , Dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam pandangan umum Viet memilikinya, tetapi Viet hanya mengenalinya akar positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Selain yang positif, akar negatif juga diambil kira. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan lain-lain cara saintis menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

1.6 Mengenai teorem Vieta

Teorem yang menyatakan hubungan antara pekali persamaan kuadratik dan puncanya, dinamakan sempena Vieta, telah dirumuskan oleh beliau buat kali pertama pada tahun 1591 seperti berikut: “Jika B + D, didarab dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DALAM dan sama rata D ».

Untuk memahami Vieta, kita harus ingat itu A, seperti mana-mana huruf vokal, bermaksud yang tidak diketahui (kami X), vokal DALAM, D- pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika ada

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan formula am, ditulis menggunakan simbol, Viet mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, simbolisme Viet masih jauh dari rupa moden. Dia tidak mengenali nombor negatif dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes di mana semua punca adalah positif.

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan agung algebra terletak. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Kita semua tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah (gred 8) sehingga tamat pengajian.

Persamaan kuadratik.

Persamaan kuadratik- persamaan algebra pandangan umum

di mana x ialah pembolehubah bebas,

a, b, c, ialah pekali, dan

Ungkapan dipanggil trinomial segi empat sama.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

1. KAEDAH : Memfaktorkan bahagian kiri persamaan.

Mari kita selesaikan persamaan x 2 + 10x - 24 = 0. Mari kita memfaktorkan bahagian kiri:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh itu, persamaan boleh ditulis semula seperti berikut:

(x + 12)(x - 2) = 0

Oleh kerana produk adalah sifar, sekurang-kurangnya satu daripada faktornya adalah sifar. Oleh itu, bahagian kiri persamaan menjadi sifar pada x = 2, dan juga bila x = - 12. Ini bermakna bahawa nombor 2 Dan - 12 adalah punca-punca persamaan x 2 + 10x - 24 = 0.

2. KAEDAH : Kaedah untuk memilih petak lengkap.

Mari kita selesaikan persamaan x 2 + 6x - 7 = 0. Pilih di sebelah kiri segi empat tepat.

Untuk melakukan ini, tulis ungkapan x 2 + 6x in borang berikut:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Dalam ungkapan yang terhasil, sebutan pertama ialah kuasa dua bagi nombor x, dan yang kedua ialah produk berganda x dengan 3. Oleh itu, untuk mendapatkan petak lengkap, anda perlu menambah 3 2, kerana

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Sekarang mari kita ubah bahagian kiri persamaan

x 2 + 6x - 7 = 0,

menambah dan menolak 3 2. Kami ada:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Oleh itu, persamaan yang diberikan boleh ditulis seperti ini:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Oleh itu, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, atau x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. KAEDAH :Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula.

Mari kita darab kedua-dua belah persamaan

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

pada 4a dan secara berurutan kita mempunyai:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Contoh.

A) Mari kita selesaikan persamaan: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dua akar yang berbeza;

Oleh itu, dalam kes diskriminasi positif, i.e. di

b 2 - 4ac >0, persamaan ax 2 + bx + c = 0 mempunyai dua pelbagai akar.

b) Mari kita selesaikan persamaan: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, satu akar;

Jadi, jika diskriminasi adalah sifar, i.e. b 2 - 4ac = 0, kemudian persamaan

ax 2 + bx + c = 0 mempunyai satu akar

V) Mari kita selesaikan persamaan: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Persamaan ini tidak mempunyai punca.

Jadi, jika diskriminasi adalah negatif, i.e. b 2 - 4ac< 0 , persamaan

ax 2 + bx + c = 0 tidak mempunyai akar.

Formula (1) punca-punca persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 membolehkan anda mencari akar mana-mana persamaan kuadratik (jika ada), termasuk terkurang dan tidak lengkap. Formula (1) dinyatakan secara lisan seperti berikut: punca-punca persamaan kuadratik adalah sama dengan pecahan yang pengangkanya sama dengan pekali kedua yang diambil daripada tanda bertentangan, tambah tolak punca kuasa dua kuasa dua pekali ini tanpa empat kali ganda hasil darab pekali pertama dengan sebutan bebas, dan penyebutnya ialah dua kali ganda pekali pertama.

4. KAEDAH: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorem Vieta.

Seperti yang diketahui, persamaan kuadratik terkurang mempunyai bentuk

x 2 + px + c = 0.(1)

Akarnya memenuhi teorem Vieta, yang, apabila a =1 nampak macam

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan berikut (daripada pekali p dan q kita boleh meramalkan tanda-tanda akar).

a) Jika separuh ahli q persamaan (1) yang diberi adalah positif ( q > 0), maka persamaan mempunyai dua punca tanda yang sama dan ini bergantung kepada pekali kedua hlm. Jika r< 0 , maka kedua-dua punca adalah negatif jika r< 0 , maka kedua-dua punca adalah positif.

Sebagai contoh,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Dan x 2 = 1, sebab q = 2 > 0 Dan p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Dan x 2 = - 1, sebab q = 7 > 0 Dan p= 8 > 0.

b) Jika ahli bebas q persamaan yang diberi (1) adalah negatif ( q< 0 ), maka persamaan mempunyai dua punca tanda yang berbeza, dan punca yang lebih besar akan menjadi positif jika hlm< 0 , atau negatif jika p > 0 .

Sebagai contoh,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Dan x 2 = 1, sebab q= - 5< 0 Dan p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Dan x 2 = - 1, sebab q = - 9< 0 Dan p = - 8< 0.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaan 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Penyelesaian. Kerana a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Itu

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Jawapan: 1; -208/345.

2) Selesaikan persamaan 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Penyelesaian. Kerana a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Itu

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Jawapan: 1; 115/132.

B. Jika pekali kedua b = 2k ialah nombor genap, kemudian formula akar

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan 3x2 - 14x + 16 = 0.

Penyelesaian. Kami ada: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, dua akar yang berbeza;

Jawapan: 2; 8/3

DALAM. Persamaan dikurangkan

x 2 + px + q= 0

bertepatan dengan persamaan am di mana a = 1, b = p Dan c = q. Oleh itu, untuk persamaan kuadratik terkurang, rumus punca ialah

Mengambil borang:

Formula (3) amat mudah digunakan apabila r- nombor genap.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaan x 2 – 14x – 15 = 0.

Penyelesaian. Kami ada: x 1.2 =7±

Jawapan: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. KAEDAH: Menyelesaikan persamaan secara grafik.

Contoh. Selesaikan persamaan x2 - 2x - 3 = 0.

Mari kita plot fungsi y = x2 - 2x - 3

1) Kami mempunyai: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Ini bermakna bahawa puncak parabola ialah titik (1; -4), dan paksi parabola ialah garis lurus x = 1.

2) Ambil dua titik pada paksi-x yang simetri terhadap paksi parabola, contohnya titik x = -1 dan x = 3.

Kita ada f(-1) = f(3) = 0. Mari kita mulakan satah koordinat mata (-1; 0) dan (3; 0).

3) Melalui titik (-1; 0), (1; -4), (3; 0) kita melukis parabola (Rajah 68).

Punca-punca persamaan x2 - 2x - 3 = 0 ialah absis bagi titik persilangan parabola dengan paksi-x; Ini bermakna punca-punca persamaan ialah: x1 = - 1, x2 - 3.

Dengan program matematik ini anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan sebagai tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\) jawapan dipaparkan dalam bentuk berikut:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dan bukan seperti ini: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah

dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci. Dengan cara ini anda boleh membelanjakan anda latihan sendiri dan/atau melatih mereka adik-beradik lelaki

atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik
Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.

Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dsb.
Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan. Lebih-lebih lagi, nombor pecahan

boleh dimasukkan bukan sahaja sebagai perpuluhan, tetapi juga sebagai pecahan biasa.
Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan bahagian sama ada dengan noktah atau koma. Sebagai contoh, anda boleh masuk perpuluhan

seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.

Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif. /
Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: Seluruh bahagian &
dipisahkan daripada pecahan dengan ampersand:
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan
. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.

=0

buat keputusan

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

jika anda perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
nampak macam
\(ax^2+bx+c=0, \)
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
Persamaan kuadratik dipanggil persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan \(a \neq 0 \).

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b ialah pekali kedua, dan nombor c ialah sebutan bebas.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, dengan \(a\neq 0\), kuasa terbesar pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu namanya: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali x 2 adalah sama dengan 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Oleh itu, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b=0, dalam kedua c=0, dalam ketiga b=0 dan c=0.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
1) ax 2 +c=0, dengan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dengan \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), sebutan bebasnya dipindahkan ke sebelah kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Oleh kerana \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0\), maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 \) faktorkan sisi kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (susun)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan.

Ini bermakna persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0 dan oleh itu mempunyai punca tunggal 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita memperoleh formula untuk punca-punca. Formula ini kemudiannya boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0

Membahagikan kedua-dua belah dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuasa dua binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \left(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Anak panah kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Anak panah kanan \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Anak panah kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ungkapan radikal dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Ia ditetapkan oleh huruf D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Adalah jelas bahawa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D > 0), satu punca (untuk D = 0) atau tidak mempunyai punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan ini formula, adalah dinasihatkan untuk melakukan cara berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi adalah positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar; jika diskriminasi adalah negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x+10=0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan sebaliknya tanda, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik terkecil yang mempunyai punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Tahap kemasukan

Persamaan kuadratik. Panduan yang komprehensif (2019)

Dalam istilah "persamaan kuadratik," kata kuncinya ialah "kuadrat." Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak sepatutnya ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan datang kepada menyelesaikan persamaan kuadratik.

Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.

Contoh 1.

Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan

Mari kita gerakkan segala-galanya ke sebelah kiri dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa X

Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan ini adalah kuadratik!

Contoh 2.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!

Contoh 3.

Mari kita darabkan semuanya dengan:

menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:

Contoh 4.

Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:

Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Contoh:

Jawapan:

1. segi empat sama;
2. segi empat sama;
3. bukan persegi;
4. bukan persegi;
5. bukan persegi;
6. segi empat sama;
7. bukan persegi;
8. segi empat sama.

Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut:

• Lengkapkan persamaan kuadratik- persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!)

• Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

  Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi X kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.

Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!

Terdapat jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.
2. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
3. , dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

1. i. Kerana kita tahu cara mengekstrak punca kuasa dua, maka mari kita ungkapkan daripada persamaan ini

Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.

Mari cuba selesaikan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaan

Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 7:

Selesaikan persamaan

Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar!

Untuk persamaan yang tidak mempunyai akar, ahli matematik menghasilkan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:

Jawapan:

Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:

Selesaikan persamaan

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Oleh itu,

Persamaan ini mempunyai dua punca.

Jawapan:

Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Kami akan mengetepikan contoh di sini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap

Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.

Ingat Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.

1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.

Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini adalah sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.

Jika, maka persamaan itu mempunyai punca. perhatian khusus ambil langkah. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.

• Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
• Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaan

Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.

Langkah 3.

Jawapan:

Contoh 10:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.

Jawapan:

Contoh 11:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.

Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.

Jawapan: tiada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.

Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):

Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:

Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaan

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .

Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Jawapan: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 14:

Selesaikan persamaan

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jawapan:

PERSAMAAN KUADRAT. PERINGKAT TENGAH

Apakah persamaan kuadratik?

Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.

Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.

kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.

Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.

Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:

Mula-mula, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.

Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.

III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.

Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.

Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:

jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;

jika kita mempunyai dua akar

Tidak perlu menghafal formula ini. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!

Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar.

Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.

Jawapan:

Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.

Jawapan:

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:

Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:

Jawapan:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:

1. Diskriminasi

Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Adakah anda perasan akar daripada diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa yang perlu dilakukan? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.

• Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
• Jika, maka persamaan mempunyai punca yang sama, dan sebenarnya, satu punca:

  Akar sedemikian dipanggil akar berganda.

• Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Kenapa boleh kuantiti yang berbeza akar? Mari beralih kepada deria geometri persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:

Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.

Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jawapan: .

Jawapan:

Ini bermakna tiada penyelesaian.

Jawapan: .

2. Teorem Vieta

Sangat mudah untuk menggunakan teorem Vieta: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan.

Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().

Mari lihat beberapa contoh:

Contoh #1:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .

Jumlah punca-punca persamaan ialah:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:

• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya adalah sama dengan;
• Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.

Jawapan: ; .

Contoh #2:

Penyelesaian:

Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara keseluruhan.

dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.

Jawapan:

Contoh #3:

Penyelesaian:

Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar-akarnya ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.

Marilah kita memilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:

dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:

Jawapan:

Contoh #4:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:

Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:

Jawapan:

Contoh #5:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya satu daripada akar adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.

Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.

Jawapan:

Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.

Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada keautomasian. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:

Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:

Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorem Vieta:

Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:

Tidak sesuai kerana jumlahnya;

: jumlahnya adalah apa yang anda perlukan.

Jawapan: ; .

Tugasan 2.

Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.

Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).

Jawapan: ; .

Tugasan 3.

Hmm... Mana tu?

Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:

Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.

Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:

Hebat. Maka jumlah akar adalah sama dengan dan hasil darab.

Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf untuk tautologi).

Jawapan: ; .

Tugasan 4.

Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.

Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.

Jawapan: ; .

Tugasan 5.

Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:

Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.

Jawapan: ; .

Biar saya ringkaskan:

1. Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
2. Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tiada pasangan faktor yang sesuai bagi istilah bebas ditemui, maka tiada punca keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).

3. Kaedah untuk memilih petak lengkap

Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.

Contohnya:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

Secara umum, transformasi akan kelihatan seperti ini:

Ia berikut: .

Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.

PERSAMAAN KUADRAT. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.

Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.

Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .

Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

• jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
• jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
• jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Semak tanda ungkapan:

• jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
• jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

1.2. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,

2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:

1.3. Persamaan kuadratik bentuk yang tidak lengkap, di mana:

Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi

1) Mari kita kurangkan persamaan kepada pandangan standard: ,

2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:

3) Cari punca-punca persamaan:

• jika, maka persamaan mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
• jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
• jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.

2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.

2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap

Persamaan kuadratik dikaji dalam gred 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Keupayaan untuk menyelesaikannya sangat diperlukan.

Persamaan kuadratik ialah persamaan dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana pekali a, b dan c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0.

Sebelum belajar kaedah tertentu penyelesaian, ambil perhatian bahawa semua persamaan kuadratik boleh dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Mempunyai tepat satu akar;
3. Mereka mempunyai dua akar yang berbeza.

Ini adalah perbezaan penting antara persamaan kuadratik dan persamaan linear, di mana punca sentiasa wujud dan unik. Bagaimana untuk menentukan berapa banyak punca persamaan? Terdapat perkara yang menarik untuk ini - diskriminasi.

Diskriminasi

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 diberi maka pendiskriminasi hanyalah nombor D = b 2 − 4ac.

Anda perlu tahu formula ini dengan hati. Dari mana ia datang tidak penting sekarang. Perkara lain yang penting: dengan tanda diskriminasi anda boleh menentukan berapa banyak punca persamaan kuadratik. Iaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat betul-betul satu punca;
3. Jika D > 0, akan ada dua punca.

Sila ambil perhatian: diskriminasi menunjukkan bilangan akar, dan bukan sama sekali tandanya, kerana atas sebab tertentu ramai orang percaya. Lihat contoh dan anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugasan. Berapa banyak punca persamaan kuadratik mempunyai:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tulis pekali untuk persamaan pertama dan cari diskriminasi:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminasi adalah positif, jadi persamaan mempunyai dua punca yang berbeza. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminasi adalah negatif, tidak ada akar. Persamaan terakhir yang tinggal ialah:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminasi adalah sifar - akarnya akan menjadi satu.

Sila ambil perhatian bahawa pekali telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, ia panjang, ya, ia membosankan, tetapi anda tidak akan mencampur-adukkan kemungkinan dan membuat kesilapan bodoh. Pilih sendiri: kelajuan atau kualiti.

Dengan cara ini, jika anda memahaminya, selepas beberapa ketika anda tidak perlu menulis semua pekali. Anda akan melakukan operasi sedemikian di kepala anda. Kebanyakan orang mula melakukan ini di suatu tempat selepas 50-70 persamaan diselesaikan - secara umum, tidak begitu banyak.

Punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita beralih kepada penyelesaian itu sendiri. Jika diskriminasi D > 0, akar boleh didapati menggunakan formula:

Formula asas untuk punca-punca persamaan kuadratik

Apabila D = 0, anda boleh menggunakan mana-mana formula ini - anda akan mendapat nombor yang sama, yang akan menjadi jawapannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua punca. Mari cari mereka:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan itu sekali lagi mempunyai dua punca. Jom cari mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu punca. Apa-apa formula boleh digunakan. Sebagai contoh, yang pertama:

Seperti yang anda lihat dari contoh, semuanya sangat mudah. Jika anda tahu formula dan boleh mengira, tidak akan ada masalah. Selalunya, ralat berlaku apabila menggantikan pekali negatif ke dalam formula. Di sini sekali lagi, teknik yang diterangkan di atas akan membantu: lihat formula secara literal, tulis setiap langkah - dan tidak lama lagi anda akan menyingkirkan ralat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Ia berlaku bahawa persamaan kuadratik berbeza sedikit daripada apa yang diberikan dalam definisi. Contohnya:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan ini kehilangan salah satu istilah. Persamaan kuadratik sedemikian adalah lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang standard: ia tidak memerlukan pengiraan diskriminasi. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baharu:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, i.e. pekali pembolehubah x atau unsur bebas adalah sama dengan sifar.

Sudah tentu, kes yang sangat sukar adalah mungkin apabila kedua-dua pekali ini sama dengan sifar: b = c = 0. Dalam kes ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 = 0. Jelas sekali, persamaan sedemikian mempunyai punca tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kes yang selebihnya. Biarkan b = 0, maka kita memperoleh persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 + c = 0. Mari kita ubah sedikit:

Oleh kerana punca kuasa dua aritmetik hanya wujud daripada nombor bukan negatif, kesamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika dalam persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c = 0 ketaksamaan (−c /a) ≥ 0 dipenuhi, akan ada dua punca. Formula diberikan di atas;
2. Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang anda lihat, diskriminasi tidak diperlukan—tiada pengiraan yang rumit sama sekali dalam persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Malah, adalah tidak perlu untuk mengingati ketaksamaan (−c /a) ≥ 0. Ia cukup untuk menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain tanda sama. Jika terdapat nombor positif, akan ada dua punca. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana unsur bebas adalah sama dengan sifar. Segala-galanya mudah di sini: akan sentiasa ada dua akar. Ia cukup untuk memfaktorkan polinomial:

Mengambil faktor sepunya daripada kurungan

Hasil darab adalah sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sifar. Di sinilah asal usulnya. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan ini:

Tugasan. Selesaikan persamaan kuadratik:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Tiada akar, kerana segi empat sama tidak boleh sama dengan nombor negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.