Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pecahan melalui diskriminasi. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi

Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap.

Tetapi pertama, mari kita ulang apa persamaan yang dipanggil kuadratik. Persamaan bentuk ax 2 + bx + c \u003d 0, di mana x ialah pembolehubah, dan pekali a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ≠ 0, dipanggil segi empat sama. Seperti yang kita dapat lihat, pekali pada x 2 tidak sama dengan sifar, dan oleh itu pekali pada x atau sebutan bebas boleh sama dengan sifar, dalam kes ini kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1) Jika b \u003d 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c \u003d 0;

2) Jika b ≠ 0, c \u003d 0, maka ax 2 + bx \u003d 0;

3) Jika b \u003d 0, c \u003d 0, maka ax 2 \u003d 0.

• Mari lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan, kami memindahkan sebutan bebas dari kepada sebelah kanan persamaan, kita dapat

ax 2 = ‒s. Oleh kerana a ≠ 0, maka kita bahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan a, kemudian x 2 \u003d -c / a.

Jika ‒с/а > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca

x = ±√(–c/a) .

Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari kita cuba memahami dengan contoh bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 - 32 = 0.

Jawapan: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawapan: Persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

• Mari lihat bagaimana mereka menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx \u003d 0, kami menguraikannya menjadi faktor, iaitu, kami mengambil x daripada kurungan, kami mendapat x (ax + b) \u003d 0. Hasilnya adalah sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sifar. Kemudian sama ada х = 0 atau ах + b = 0. Menyelesaikan persamaan ах + b = 0, kita memperoleh ах = – b, dari mana х = – b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx \u003d 0 sentiasa mempunyai dua punca x 1 \u003d 0 dan x 2 \u003d - b / a. Lihat bagaimana penyelesaian persamaan jenis ini kelihatan pada rajah.

Mari kita satukan pengetahuan kita pada contoh konkrit.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 atau 3x - 12 \u003d 0

Jawapan: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Persamaan jenis ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat mudah.

Jika ax 2 \u003d 0, maka x 2 \u003d 0. Persamaan mempunyai dua punca yang sama x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Untuk kejelasan, pertimbangkan rajah.

Apabila menyelesaikan Contoh 4, kami akan memastikan bahawa persamaan jenis ini diselesaikan dengan sangat mudah.

Contoh 4 Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.

Jawapan: x 1, 2 = 0.

Ia tidak selalu jelas dengan segera jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang perlu kita selesaikan. Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 5 selesaikan persamaan

Darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut biasa, iaitu 30

Jom potong

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Jom buka kurungan

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Berikut adalah serupa

Mari kita gerakkan 99 dari sebelah kiri persamaan ke kanan, menukar tanda ke sebaliknya

Jawapan: tiada akar.

Kami telah menganalisis bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Saya harap sekarang anda tidak akan menghadapi kesukaran dengan tugasan sedemikian. Berhati-hati apabila menentukan jenis persamaan kuadratik yang tidak lengkap, maka anda akan berjaya.

Jika anda mempunyai sebarang soalan mengenai topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah bersama-sama.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Beberapa masalah dalam matematik memerlukan kebolehan untuk mengira nilai punca kuasa dua. Masalah ini termasuk menyelesaikan persamaan tertib kedua. Dalam artikel ini, kami membentangkan kaedah yang berkesan mengira punca kuasa dua dan menggunakannya apabila bekerja dengan formula punca-punca persamaan kuadratik.

Apakah punca kuasa dua?

Dalam matematik, konsep ini sepadan dengan simbol √. Data sejarah mengatakan bahawa ia mula digunakan buat kali pertama sekitar separuh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama mengenai algebra oleh Christoph Rudolf). Para saintis percaya bahawa simbol ini adalah berubah huruf latin r (radix bermaksud "akar" dalam bahasa Latin).

Punca sebarang nombor adalah sama dengan nilai sedemikian, kuasa duanya sepadan dengan ungkapan akar. Dalam bahasa matematik, definisi ini akan kelihatan seperti ini: √x = y jika y 2 = x.

Punca nombor positif (x > 0) juga adalah nombor positif (y > 0), tetapi jika anda mengambil punca nombor negatif (x< 0), то его результатом уже будет nombor kompleks, termasuk unit khayalan i.

Berikut adalah dua contoh mudah:

√9 = 3 kerana 3 2 = 9; √(-9) = 3i kerana i 2 = -1.

Formula lelaran Heron untuk mencari nilai punca kuasa dua

Contoh di atas sangat mudah, dan pengiraan akar di dalamnya tidak sukar. Kesukaran mula muncul apabila mencari nilai akar untuk sebarang nilai yang tidak boleh diwakili sebagai segi empat sama nombor asli, contohnya √10, √11, √12, √13, apatah lagi fakta bahawa dalam praktiknya adalah perlu untuk mencari punca bagi nombor bukan integer: contohnya √(12.15), √(8.5) dan sebagainya.

Dalam semua kes di atas, mohon kaedah khas mengira punca kuasa dua. Pada masa ini, beberapa kaedah sedemikian diketahui: contohnya, pengembangan dalam siri Taylor, pembahagian dengan lajur, dan beberapa yang lain. Daripada semua kaedah yang diketahui, mungkin yang paling mudah dan paling berkesan adalah menggunakan formula berulang Bangau, yang juga dikenali sebagai kaedah Babylon untuk menentukan punca kuasa dua (terdapat bukti bahawa orang Babylon kuno menggunakannya dalam pengiraan praktikal mereka).

Biarlah perlu untuk menentukan nilai √x. Mencari formula punca kuasa dua mempunyai bentuk berikut:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), dengan lim n->∞ (a n) => x.

Mari kita tafsirkan tatatanda matematik ini. Untuk mengira √x, anda harus mengambil beberapa nombor a 0 (ia boleh sewenang-wenangnya, tetapi untuk mendapatkan keputusan dengan cepat, anda harus memilihnya supaya (a 0) 2 sedekat mungkin dengan x. Kemudian gantikannya ke dalam formula yang ditetapkan hitung punca kuasa dua dan dapatkan nombor baru a 1 yang sudah lebih dekat dengan nilai yang dikehendaki. Selepas itu, anda perlu menggantikan 1 ke dalam ungkapan dan mendapatkan 2 . Prosedur ini perlu diulang sehingga ketepatan yang diperlukan diperolehi.

Contoh penggunaan formula lelaran Heron

Bagi kebanyakan orang, algoritma untuk mendapatkan punca kuasa dua nombor tertentu mungkin terdengar agak rumit dan mengelirukan, tetapi pada hakikatnya semuanya ternyata lebih mudah, kerana formula ini menumpu dengan sangat cepat (terutamanya jika nombor yang baik 0 dipilih).

Mari kita berikan contoh mudah: adalah perlu untuk mengira √11. Kami memilih 0 \u003d 3, sejak 3 2 \u003d 9, yang lebih dekat dengan 11 daripada 4 2 \u003d 16. Menggantikan ke dalam formula, kami mendapat:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

a 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

a 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

Tidak ada gunanya meneruskan pengiraan, kerana kami mendapati bahawa 2 dan 3 mula berbeza hanya di tempat perpuluhan ke-5. Oleh itu, cukup untuk menggunakan formula hanya 2 kali untuk mengira √11 dengan ketepatan 0.0001.

Pada masa ini, kalkulator dan komputer digunakan secara meluas untuk mengira punca, bagaimanapun, adalah berguna untuk mengingati formula yang ditanda agar dapat mengira nilai tepatnya secara manual.

Persamaan tertib kedua

Memahami apa itu punca kuasa dua dan keupayaan untuk mengiranya digunakan semasa menyelesaikan persamaan kuadratik. Persamaan ini adalah persamaan dengan satu yang tidak diketahui, bentuk umum yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Di sini c, b dan a ialah beberapa nombor, dan a tidak boleh sama dengan sifar, dan nilai c dan b boleh menjadi sewenang-wenangnya, termasuk sama dengan sifar.

Sebarang nilai x yang memenuhi kesamaan yang ditunjukkan dalam rajah dipanggil puncanya (konsep ini tidak boleh dikelirukan dengan punca kuasa dua √). Oleh kerana persamaan yang sedang dipertimbangkan mempunyai susunan ke-2 (x 2), maka tidak boleh terdapat lebih banyak punca untuknya daripada dua nombor. Kami akan mempertimbangkan kemudian dalam artikel cara mencari akar ini.

Mencari punca-punca persamaan kuadratik (rumus)

Kaedah menyelesaikan jenis kesamaan yang sedang dipertimbangkan ini juga dipanggil universal, atau kaedah melalui diskriminasi. Ia boleh digunakan untuk mana-mana persamaan kuadratik. Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik adalah seperti berikut:

Ia dapat dilihat daripadanya bahawa punca bergantung kepada nilai setiap tiga pekali persamaan. Selain itu, pengiraan x 1 berbeza daripada pengiraan x 2 hanya dengan tanda di hadapan punca kuasa dua. Ungkapan radikal, yang sama dengan b 2 - 4ac, tidak lebih daripada diskriminasi kesamaan yang dianggap. Diskriminasi dalam formula untuk punca-punca persamaan kuadratik dimainkan peranan penting, kerana ia menentukan bilangan dan jenis penyelesaian. Jadi, jika ia adalah sifar, maka hanya akan ada satu penyelesaian, jika ia positif, maka persamaan mempunyai dua punca nyata, dan akhirnya, diskriminasi negatif membawa kepada dua punca kompleks x 1 dan x 2.

Teorem Vieta atau beberapa sifat punca persamaan tertib kedua

DALAM lewat XVI abad, salah seorang pengasas algebra moden, seorang Perancis, yang mengkaji persamaan tertib kedua, dapat memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematik, mereka boleh ditulis seperti ini:

x 1 + x 2 = -b / a dan x 1 * x 2 = c / a.

Kedua-dua persamaan boleh diperolehi dengan mudah oleh semua orang, kerana ini hanya perlu untuk memenuhi yang sepadan operasi matematik dengan akar yang diperolehi melalui formula dengan diskriminasi.

Gabungan kedua-dua ungkapan ini boleh dipanggil formula kedua bagi punca-punca persamaan kuadratik, yang memungkinkan untuk meneka penyelesaiannya tanpa menggunakan diskriminasi. Di sini perlu diperhatikan bahawa walaupun kedua-dua ungkapan sentiasa sah, ia adalah mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika ia boleh difaktorkan.

Tugas menyatukan pengetahuan yang diperoleh

Kami akan membuat keputusan masalah matematik, di mana kami akan menunjukkan semua teknik yang dibincangkan dalam artikel. Syarat masalah adalah seperti berikut: anda perlu mencari dua nombor yang produknya ialah -13, dan jumlahnya ialah 4.

Keadaan ini segera mengingatkan teorem Vieta, menggunakan formula untuk jumlah punca kuasa dua dan hasil mereka, kami menulis:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Andaikan a = 1, maka b = -4 dan c = -13. Pekali ini membolehkan kita menyusun persamaan tertib kedua:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Kami menggunakan formula dengan diskriminasi, kami mendapat akar berikut:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Iaitu, tugas itu dikurangkan kepada mencari nombor √68. Perhatikan bahawa 68 = 4 * 17, maka, dengan menggunakan sifat punca kuasa dua, kita dapat: √68 = 2√17.

Sekarang kita menggunakan formula punca kuasa dua yang dipertimbangkan: a 0 \u003d 4, kemudian:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

a 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

Tidak perlu mengira 3 kerana nilai yang ditemui berbeza hanya 0.02. Oleh itu, √68 = 8.246. Menggantikannya ke dalam formula untuk x 1,2, kita dapat:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 dan x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

Seperti yang anda lihat, jumlah nombor yang ditemui adalah benar-benar sama dengan 4, tetapi jika anda menemui produk mereka, maka ia akan sama dengan -12.999, yang memenuhi keadaan masalah dengan ketepatan 0.001.

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman dahulu dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Diskriminasi membolehkan anda menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik menggunakan formula am, yang mempunyai bentuk berikut:

Formula diskriminasi bergantung pada tahap polinomial. Formula di atas sesuai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik jenis berikut:

Yang diskriminasi telah sifat berikut anda perlu tahu:

* "D" ialah 0 apabila polinomial mempunyai berbilang punca ( akar yang sama);

* "D" ialah polinomial simetri berkenaan dengan punca polinomial dan oleh itu ialah polinomial dalam pekalinya; lebih-lebih lagi, pekali polinomial ini adalah integer, tanpa mengira lanjutan di mana akar diambil.

Katakan kita diberi persamaan kuadratik dalam bentuk berikut:

1 persamaan

Mengikut formula yang kami ada:

Oleh kerana \, maka persamaan mempunyai 2 punca. Mari kita tentukan mereka:

Di manakah saya boleh menyelesaikan persamaan melalui penyelesai dalam talian yang diskriminasi?

Anda boleh menyelesaikan persamaan di laman web kami https: // tapak. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.

Saya berharap untuk belajar artikel ini, anda akan belajar cara mencari punca bagi persamaan kuadratik lengkap.

Dengan bantuan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap".

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, anda perlu mengira diskriminasi D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Bergantung pada nilai yang ada pada diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi nombor negatif(D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x \u003d (-b) / 2a. Apabila diskriminasi nombor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Sebagai contoh. selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Jawapan: - 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap mengikut skema dalam Rajah 1.

Formula ini boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial pandangan standard

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat contoh 2 penyelesaian di atas).

Oleh itu, jika persamaan itu tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (pertama-tama harus ada monomial dengan eksponen terbesar, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx, dan kemudian istilah percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik di atas dan persamaan kuadratik dengan pekali genap untuk sebutan kedua, formula lain juga boleh digunakan. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik penuh dengan sebutan kedua pekali adalah genap (b = 2k), maka persamaan itu boleh diselesaikan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 sama dengan satu dan persamaan akan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk menyelesaikan, atau diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan gambar rajah larutan kuasa dua terkecil
persamaan. Pertimbangkan contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. selesaikan persamaan

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam Rajah 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Jawapan: -1 - √3; –1 + √3

Anda boleh melihat bahawa pekali pada x dalam persamaan ini ialah nombor genap, iaitu, b \u003d 6 atau b \u003d 2k, dari mana k \u003d 3. Kemudian mari kita cuba menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah rajah D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Jawapan: -1 - √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan membahagikan, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x - 2 = 0 Kami menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang
persamaan rajah 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Jawapan: -1 - √3; –1 + √3.

Seperti yang anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami mendapat jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah Rajah 1, anda sentiasa boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap.

blog.site, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.