Penyelesaian persamaan linear dengan kaedah matriks. Kaedah Penyelesaian Slough Matriks: Contoh Penyelesaian Menggunakan Matriks Songsang

Kaedah matriks Penyelesaian SLAU digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan di mana bilangan persamaan sepadan dengan bilangan yang tidak diketahui. Kaedah ini paling baik digunakan untuk menyelesaikan sistem pesanan rendah. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah berdasarkan aplikasi sifat pendaraban matriks.

Dengan cara ini, dengan kata lain kaedah matriks songsang, dipanggil begitu, kerana penyelesaian dikurangkan kepada persamaan matriks biasa, untuk penyelesaian yang anda perlukan untuk mencari matriks songsang.

Kaedah penyelesaian matriks SLAE dengan penentu lebih besar daripada atau kurang daripada sifar adalah seperti berikut:

Katakan terdapat SLE (sistem persamaan linear) dengan n tidak diketahui (melalui medan sewenang-wenangnya):

Jadi, mudah untuk menterjemahkannya ke dalam bentuk matriks:

AX=B, di mana A ialah matriks utama sistem, B dan X- lajur ahli percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing:

Darabkan persamaan matriks di sebelah kiri ini dengan A -1- matriks songsang kepada matriks A: A −1 (AX)=A −1 B.

Kerana A −1 A=E, bermakna, X=A −1 B. Bahagian kanan persamaan memberikan lajur penyelesaian kepada sistem awal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah matriks ialah ketakdegenerasi matriks A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks A:

detA≠0.

Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu jika vektor B=0, peraturan bertentangan memegang: sistem AX=0 ialah penyelesaian bukan remeh (iaitu, tidak sama dengan sifar) hanya apabila detA=0. Hubungan antara penyelesaian sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif kepada Fredholm.

Oleh itu, penyelesaian SLAE dengan kaedah matriks dibuat mengikut formula . Atau, penyelesaian SLAE didapati menggunakan matriks songsang A -1.

Adalah diketahui bahawa matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n terdapat matriks songsang A -1 hanya jika penentunya bukan sifar. Oleh itu sistem n persamaan algebra linear dengan n tidak diketahui diselesaikan dengan kaedah matriks hanya jika penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar.

Walaupun fakta bahawa terdapat batasan kemungkinan menggunakan kaedah sedemikian dan terdapat kesukaran pengiraan untuk nilai besar pekali dan sistem pesanan tinggi, kaedah ini boleh dilaksanakan dengan mudah pada komputer.

Contoh penyelesaian SLAE yang tidak homogen.

Mula-mula, mari kita semak sama ada penentu matriks pekali untuk SLAE yang tidak diketahui adalah tidak sama dengan sifar.

Sekarang kita dapati matriks pakatan, alihkan dan gantikannya ke dalam formula untuk menentukan matriks songsang.

Kami menggantikan pembolehubah dalam formula:

Sekarang kita mencari yang tidak diketahui dengan mendarabkan matriks songsang dan lajur sebutan bebas.

Jadi, x=2; y=1; z=4.

Apabila beralih daripada bentuk biasa SLAE ke bentuk matriks, berhati-hati dengan susunan pembolehubah yang tidak diketahui dalam persamaan sistem. Sebagai contoh:

JANGAN tulis sebagai:

Ia adalah perlu, pertama, untuk memerintahkan pembolehubah yang tidak diketahui dalam setiap persamaan sistem dan hanya selepas itu meneruskan ke notasi matriks:

Di samping itu, anda perlu berhati-hati dengan penetapan pembolehubah yang tidak diketahui, bukannya x 1 , x 2 , …, x n mungkin ada surat lain. Sebagai contoh:

dalam bentuk matriks, kami menulis:

Menggunakan kaedah matriks, adalah lebih baik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di mana bilangan persamaan bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar. Apabila terdapat lebih daripada 3 persamaan dalam sistem, ia akan mengambil lebih banyak usaha pengiraan untuk mencari matriks songsang, oleh itu, dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah Gauss untuk menyelesaikannya.

Persamaan secara umum, persamaan algebra linear dan sistemnya, serta kaedah untuk menyelesaikannya, menduduki tempat yang istimewa dalam matematik, baik secara teori mahupun gunaan.

Ini disebabkan oleh fakta bahawa sebahagian besar masalah fizikal, ekonomi, teknikal dan juga pedagogi boleh diterangkan dan diselesaikan menggunakan pelbagai persamaan dan sistemnya. Baru-baru ini, pemodelan matematik telah mendapat populariti tertentu di kalangan penyelidik, saintis dan pengamal dalam hampir semua bidang subjek, yang dijelaskan oleh kelebihannya yang jelas berbanding kaedah lain yang terkenal dan terbukti untuk mengkaji objek pelbagai alam, khususnya, kompleks yang dipanggil. sistem. Terdapat pelbagai jenis definisi berbeza bagi model matematik yang diberikan oleh saintis pada masa yang berbeza, tetapi pada pendapat kami, yang paling berjaya ialah pernyataan berikut. Model matematik ialah idea yang dinyatakan oleh persamaan. Oleh itu, keupayaan untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan dan sistem mereka adalah ciri penting pakar moden.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, kaedah yang paling biasa digunakan ialah: Cramer, Jordan-Gauss dan kaedah matriks.

Kaedah penyelesaian matriks - kaedah penyelesaian sistem persamaan algebra linear dengan penentu bukan sifar menggunakan matriks songsang.

Jika kita menulis pekali untuk nilai yang tidak diketahui xi ke dalam matriks A, kumpulkan nilai yang tidak diketahui ke dalam vektor lajur X, dan sebutan bebas ke dalam vektor lajur B, maka sistem persamaan algebra linear boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks berikut A X = B, yang mempunyai penyelesaian unik hanya apabila penentu matriks A tidak sama dengan sifar. Dalam kes ini, penyelesaian sistem persamaan boleh didapati dengan cara berikut X = A-satu · B, di mana A-1 - matriks songsang.

Kaedah penyelesaian matriks adalah seperti berikut.

Biarkan sistem persamaan linear diberikan dengan n tidak diketahui:

Ia boleh ditulis semula dalam bentuk matriks: AX = B, di mana A- matriks utama sistem, B dan X- lajur ahli percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing:

Darabkan persamaan matriks di sebelah kiri ini dengan A-1 - matriks songsang kepada matriks A: A -1 (AX) = A -1 B

Kerana A -1 A = E, kita mendapatkan X= A -1 B. Bahagian kanan persamaan ini akan memberikan lajur penyelesaian kepada sistem asal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah ini (serta kewujudan umum penyelesaian kepada sistem persamaan linear yang tidak homogen dengan bilangan persamaan yang sama dengan bilangan yang tidak diketahui) ialah ketakdegenerasi matriks A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks A: det A≠ 0.

Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu, apabila vektor B = 0 , sesungguhnya peraturan yang bertentangan: sistem AX = 0 mempunyai penyelesaian bukan remeh (iaitu, bukan sifar) hanya jika det A= 0. Hubungan sedemikian antara penyelesaian sistem homogen dan tak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif Fredholm.

Contoh penyelesaian sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear.

Mari kita pastikan bahawa penentu matriks, yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui bagi sistem persamaan algebra linear, tidak sama dengan sifar.

Langkah seterusnya ialah mengira pelengkap algebra bagi unsur-unsur matriks yang terdiri daripada pekali bagi yang tidak diketahui. Mereka akan diperlukan untuk mencari matriks songsang.

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa agar matriks songsang wujud, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
Tulis matriks songsang A -1, yang berada dalam jadual terakhir di bawah matriks E jadual asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks. Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama pembentukan sistem penunjuk ekonomi dijalankan dan berdasarkannya matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua jumlah yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai terbesar dan matriks pekali piawai terbentuk.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat nilai penilaian yang ditemui Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, dalam analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta dalam menilai penunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Pertimbangkan sistem persamaan algebra linear(LAMBAT) berkenaan n tidak diketahui x 1 , x 2 , ..., x n :

Sistem ini dalam bentuk "dilipat" boleh ditulis seperti berikut:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Selaras dengan peraturan pendaraban matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan boleh ditulis dalam bentuk matriks ax=b, di mana

Matriks A, yang lajurnya adalah pekali untuk yang tidak diketahui yang sepadan, dan baris adalah pekali untuk yang tidak diketahui dalam persamaan yang sepadan dipanggil matriks sistem. matriks lajur b, yang unsur-unsurnya adalah bahagian kanan persamaan sistem, dipanggil matriks bahagian kanan atau ringkasnya sebelah kanan sistem. matriks lajur x , yang unsur-unsurnya tidak diketahui tidak diketahui, dipanggil penyelesaian sistem.

Sistem persamaan algebra linear yang ditulis sebagai ax=b, ialah persamaan matriks.

Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang, dan kemudian penyelesaian sistem ax=b diberikan oleh formula:

x=A -1 b.

Contoh Selesaikan sistem kaedah matriks.

Penyelesaian cari matriks songsang bagi matriks pekali sistem itu

Kira penentu dengan mengembangkan pada baris pertama:

Kerana ia Δ ≠ 0 , kemudian A -1 wujud.

Matriks songsang ditemui dengan betul.

Mari cari penyelesaian kepada sistem

Akibatnya, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Peperiksaan:

7. Teorem Kronecker-Capelli mengenai keserasian sistem persamaan algebra linear.

Sistem persamaan linear kelihatan seperti:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j ialah nombor nyata yang tidak diketahui. Menggunakan konsep hasil darab matriks, kita boleh menulis semula sistem (5.1) dalam bentuk:

di mana A = (a i j) ialah matriks yang terdiri daripada pekali bagi sistem yang tidak diketahui (5.1), yang dipanggil matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vektor lajur masing-masing terdiri daripada x j dan sebutan bebas b i .

Koleksi yang dipesan n nombor nyata (c 1 , c 2 ,..., c n) dipanggil penyelesaian sistem(5.1) jika hasil daripada penggantian nombor ini dan bukannya pembolehubah sepadan x 1 , x 2 ,..., x n setiap persamaan sistem bertukar menjadi identiti aritmetik; dengan kata lain, jika wujud vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T supaya AC  B.

Sistem (5.1) dipanggil sendi, atau boleh diselesaikan jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem itu dipanggil tidak serasi, atau tidak larut jika ia tidak mempunyai penyelesaian.

dibentuk dengan memberikan lajur sebutan bebas kepada matriks A di sebelah kanan, dipanggil sistem matriks lanjutan.

Persoalan keserasian sistem (5.1) diselesaikan dengan teorem berikut.

Teorem Kronecker-Capelli . Sistem persamaan linear adalah konsisten jika dan hanya jika kedudukan matriks A dan A bertepatan, i.e. r(A) = r(A) = r.

Untuk set M penyelesaian kepada sistem (5.1), terdapat tiga kemungkinan:

1) M =  (dalam kes ini sistem tidak konsisten);

2) M terdiri daripada satu unsur, iaitu. sistem mempunyai penyelesaian yang unik (dalam kes ini sistem dipanggil pasti);

3) M terdiri daripada lebih daripada satu elemen (kemudian sistem dipanggil tidak pasti). Dalam kes ketiga, sistem (5.1) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Sistem ini mempunyai penyelesaian unik hanya jika r(A) = n. Dalam kes ini, bilangan persamaan tidak kurang daripada bilangan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n adalah akibat daripada yang lain. Jika 0

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear arbitrari, seseorang mesti dapat menyelesaikan sistem di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, yang dipanggil Sistem jenis cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistem (5.3) diselesaikan dalam salah satu cara berikut: 1) dengan kaedah Gauss, atau dengan kaedah menghapuskan yang tidak diketahui; 2) mengikut formula Cramer; 3) dengan kaedah matriks.

Contoh 2.12. Menyiasat sistem persamaan dan menyelesaikannya jika ia serasi:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Penyelesaian. Kami menulis matriks lanjutan sistem:

 .

Mari kita mengira pangkat matriks utama sistem. Adalah jelas bahawa, sebagai contoh, minor urutan kedua di sudut kiri atas = 7  0; bawah umur peringkat ketiga yang mengandunginya adalah sama dengan sifar:

Oleh itu, pangkat matriks utama sistem ialah 2, i.e. r(A) = 2. Untuk mengira pangkat matriks lanjutan A, pertimbangkan minor bersempadan

maka, pangkat bagi matriks lanjutan ialah r(A) = 3. Oleh kerana r(A)  r(A), sistem itu tidak konsisten.