Menyelesaikan ketaksamaan sinus-kosinus. Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah dan mengenal pasti kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri

Kebanyakan pelajar ketaksamaan trigonometri tidak suka. Tetapi sia-sia. Seperti yang pernah dikatakan oleh seorang watak,

"Anda tidak tahu cara memasaknya"

Jadi bagaimana untuk "memasak" dan dengan apa yang perlu dikemukakan ketidaksamaan dengan sinus kita akan memikirkan dalam artikel ini. Kami akan membuat keputusan dengan cara yang mudah- dengan menggunakan bulatan unit.

Jadi, pertama sekali, kita memerlukan algoritma berikut.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan sinus:

pada paksi sinus kita plotkan nombor $a$ dan lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus sehingga ia bersilang dengan bulatan;
titik persilangan garis ini dengan bulatan akan berlorek jika ketaksamaan tidak ketat, dan tidak berlorek jika ketaksamaan adalah ketat;
kawasan penyelesaian ketaksamaan akan terletak di atas garisan dan sehingga bulatan jika ketaksamaan mengandungi tanda “$>$”, dan di bawah garisan dan sehingga bulatan jika ketaksamaan mengandungi tanda “$<$”;
untuk mencari titik persilangan, kita selesaikan persamaan trigonometri $\sin(x)=a$, kita dapat $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
menetapkan $n=0$, kita dapati titik persilangan pertama (ia terletak sama ada pada suku pertama atau keempat);
untuk mencari titik kedua, kita melihat ke arah mana kita melalui kawasan ke titik persimpangan kedua: jika dalam arah positif, maka kita harus mengambil $n=1$, dan jika dalam arah negatif, maka $n=- 1$;
sebagai tindak balas, selang dikurangkan daripada titik persilangan yang lebih kecil $+ 2\pi n$ kepada yang lebih besar $+ 2\pi n$.

Had algoritma

Penting: d algoritma yang diberikan tidak berfungsi untuk ketaksamaan dalam bentuk $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Kes khas apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan sinus

Ia juga penting untuk diperhatikan kes berikut, yang lebih mudah untuk diselesaikan secara logik tanpa menggunakan algoritma di atas.

Kes khas 1. Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)\leq 1.$

Disebabkan oleh fakta bahawa julat nilai fungsi trigonometri$y=\sin(x)$ tidak lebih besar daripada modulo $1$, maka bahagian kiri ketaksamaan pada mana-mana$x$ daripada domain takrifan (dan domain takrif sinus adalah semua nombor nyata) tidak lebih daripada $1. Ini bermakna kita menulis jawapan: $x \dalam R$.

Akibat:

$\sin(x)\geq -1.$

Kes khas 2. Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)< 1.$

Menggunakan penaakulan yang serupa dengan kes khas 1, kami mendapati bahawa bahagian kiri ketaksamaan adalah kurang daripada $1$ untuk semua $x \dalam R$, kecuali untuk titik yang merupakan penyelesaian kepada persamaan $\sin(x) = 1$. Menyelesaikan persamaan ini, kita akan mempunyai:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Dan, oleh itu, dalam jawapan kita tulis: $x \in R \backslash \left$(-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right$$.

Akibat: ketidaksamaan diselesaikan dengan cara yang sama

$\sin(x) > -1.$

Contoh penyelesaian ketaksamaan menggunakan algoritma.

Contoh 1: Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

Mari kita tandakan koordinat $\frac(1)(2)$ pada paksi sinus.
Mari kita lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus dan melalui titik ini.
Mari tandakan titik persimpangan. Mereka akan teduh kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.
Tanda ketidaksamaan ialah $\geq$, yang bermaksud kita melukis kawasan di atas garisan, i.e. separuh bulatan yang lebih kecil.
Kami mencari titik persimpangan pertama. Untuk melakukan ini, kami menukar ketaksamaan kepada kesamaan dan menyelesaikannya: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Kami selanjutnya menetapkan $n=0$ dan mencari titik persilangan pertama: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
Kami mencari titik kedua. Kawasan kami menuju ke arah positif dari titik pertama, yang bermaksud kami menetapkan $n$ sama dengan $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Oleh itu, penyelesaiannya akan mengambil bentuk:

$x \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$

Contoh 2: Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Mari tandakan koordinat $-\frac(1)(2)$ pada paksi sinus dan lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus dan melalui titik ini. Mari tandakan titik persimpangan. Mereka tidak akan teduh, kerana ketidaksamaan adalah ketat. Tanda ketaksamaan $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\kiri(-\frac(1)(2)\kanan))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Dengan mengandaikan lagi $n=0$, kita dapati titik persilangan pertama: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Kawasan kami pergi ke arah negatif dari titik pertama, yang bermaksud kami menetapkan $n$ sama dengan $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Jadi, penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah selang:

$x \dalam \kiri(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\kanan), \n \dalam Z.$

Contoh 3: Selesaikan ketaksamaan:

$1 – 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq 0.$

Contoh ini tidak boleh diselesaikan dengan segera menggunakan algoritma. Mula-mula anda perlu mengubahnya. Kami melakukan apa yang kami akan lakukan dengan persamaan, tetapi jangan lupa tentang tanda itu. Membahagi atau mendarab dengan nombor negatif membalikkannya!

Jadi, mari kita alihkan semua yang tidak mengandungi fungsi trigonometri ke sebelah kanan. Kami mendapat:

$- 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq -1.$

Mari bahagikan bahagian kiri dan kanan dengan $-2$ (jangan lupa tentang tanda!). Kami akan mempunyai:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \geq \frac(1)(2).$

Sekali lagi kita mempunyai ketidaksamaan yang tidak dapat kita selesaikan menggunakan algoritma. Tetapi di sini sudah cukup untuk menukar pembolehubah:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Kami memperoleh ketaksamaan trigonometri yang boleh diselesaikan menggunakan algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ketaksamaan ini telah diselesaikan dalam Contoh 1, jadi mari kita meminjam jawapan dari sana:

$t \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$

Bagaimanapun, keputusan itu masih belum berakhir. Kita perlu kembali kepada pembolehubah asal.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \dalam \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$

Mari kita bayangkan selang sebagai sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n

Di sebelah kiri sistem terdapat ungkapan ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), yang tergolong dalam selang. Sempadan kiri selang bertanggungjawab untuk ketaksamaan pertama, dan sempadan kanan bertanggungjawab untuk yang kedua. Selain itu, kurungan memainkan peranan penting: jika kurungan adalah persegi, maka ketidaksamaan akan dilonggarkan, dan jika ia bulat, maka ia akan menjadi ketat. tugas kita ialah mendapatkan $x$ dari kiri dalam kedua-dua ketidaksamaan.

Mari kita alihkan $\frac(\pi)(6)$ dari sebelah kiri ke sebelah kanan, kita dapat:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \kanan.$.

Memudahkan, kami mempunyai:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

Mendarabkan sisi kiri dan kanan dengan $4$, kita dapat:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Memasang sistem ke dalam selang, kami mendapat jawapan:

$x \dalam \kiri[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$

Apabila menyelesaikan ketaksamaan yang mengandungi fungsi trigonometri, ia dikurangkan kepada ketaksamaan termudah dalam bentuk cos(t)>a, sint(t)=a dan yang serupa. Dan sudah pun ketidaksamaan yang paling mudah diselesaikan. Jom tengok pelbagai contoh cara untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah.

Contoh 1. Selesaikan ketaksamaan sin(t) > = -1/2.

Lukis bulatan unit. Oleh kerana sin(t) mengikut takrifan ialah koordinat y, kita menandakan titik y = -1/2 pada paksi Oy. Kami melukis garis lurus melaluinya selari dengan paksi Lembu. Pada persilangan garis lurus dengan graf bulatan unit, tandakan titik Pt1 dan Pt2. Kami menyambungkan asal koordinat dengan titik Pt1 dan Pt2 dengan dua segmen.

Penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah semua titik bulatan unit yang terletak di atas titik ini. Dalam erti kata lain, penyelesaiannya akan menjadi arka l.. Sekarang adalah perlu untuk menunjukkan keadaan di mana titik sewenang-wenangnya akan tergolong dalam arka l.

Pt1 terletak pada separuh bulatan kanan, ordinatnya ialah -1/2, kemudian t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Untuk menerangkan titik Pt1, anda boleh menulis formula berikut:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Akibatnya, kita memperoleh ketaksamaan berikut untuk t:

Kami mengekalkan ketidaksamaan. Dan kerana fungsi sinus adalah berkala, ini bermakna bahawa penyelesaian akan diulang setiap 2*pi. Kami menambah syarat ini kepada ketaksamaan yang terhasil untuk t dan menulis jawapannya.

Jawapan: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Contoh 2. Selesaikan ketaksamaan cos(t).<1/2.

Mari lukis bulatan unit. Oleh kerana, mengikut takrifan, cos(t) ialah koordinat x, kita tandakan titik x = 1/2 pada graf pada paksi Lembu.
Kami melukis garis lurus melalui titik ini selari dengan paksi Oy. Pada persilangan garis lurus dengan graf bulatan unit, tandakan titik Pt1 dan Pt2. Kami menyambungkan asal koordinat dengan titik Pt1 dan Pt2 dengan dua segmen.

Penyelesaiannya ialah semua titik bagi bulatan unit yang tergolong dalam lengkok l Mari kita cari titik t1 dan t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Kami mendapat ketaksamaan untuk t: pi/3

Oleh kerana kosinus ialah fungsi berkala, penyelesaian akan diulang setiap 2*pi. Kami menambah syarat ini kepada ketaksamaan yang terhasil untuk t dan menulis jawapannya.

Jawapan: pi/3+2*pi*n

Contoh 3. Selesaikan ketaksamaan tg(t)< = 1.

Tempoh tangen adalah sama dengan pi. Mari cari penyelesaian yang tergolong dalam selang (-pi/2;pi/2) separuh bulatan kanan. Seterusnya, dengan menggunakan keberkalaan tangen, kami menulis semua penyelesaian kepada ketaksamaan ini. Mari kita lukis bulatan unit dan tandakan garis tangen di atasnya.

Jika t ialah penyelesaian kepada ketaksamaan, maka ordinat bagi titik T = tg(t) mestilah kurang daripada atau sama dengan 1. Set titik tersebut akan membentuk sinar AT. Set titik Pt yang akan sepadan dengan titik sinar ini ialah lengkok l. Selain itu, titik P(-pi/2) tidak tergolong dalam lengkok ini.

Semasa pelajaran praktikal, kami akan mengulangi jenis tugas utama dari topik "Trigonometri", di samping menganalisis masalah peningkatan kerumitan dan mempertimbangkan contoh menyelesaikan pelbagai ketaksamaan trigonometri dan sistemnya.

Pelajaran ini akan membantu anda bersedia untuk salah satu jenis tugasan B5, B7, C1 dan C3.

Mari kita mulakan dengan mengkaji jenis tugas utama yang kami bincangkan dalam topik "Trigonometri" dan menyelesaikan beberapa masalah bukan standard.

Tugasan No 1. Tukar sudut kepada radian dan darjah: a) ; b) .

a) Mari kita gunakan formula untuk menukar darjah kepada radian

Mari kita gantikan nilai yang ditentukan ke dalamnya.

b) Gunakan formula untuk menukar radian kepada darjah

Mari kita lakukan penggantian .

Jawab. A); b) .

Tugasan No. 2. Kira: a); b) .

a) Oleh kerana sudut melangkaui jadual, kita akan mengurangkannya dengan menolak tempoh sinus. Kerana Sudut ditunjukkan dalam radian, maka kita akan menganggap tempoh sebagai .

b) Dalam kes ini keadaannya adalah serupa. Oleh kerana sudut ditunjukkan dalam darjah, kita akan menganggap tempoh tangen sebagai .

Sudut yang terhasil, walaupun lebih kecil daripada noktah, adalah lebih besar, yang bermaksud bahawa ia tidak lagi merujuk kepada utama, tetapi kepada bahagian lanjutan jadual. Untuk tidak sekali lagi melatih ingatan anda dengan menghafal jadual lanjutan nilai trigofungsi, mari kita tolak tempoh tangen sekali lagi:

Kami mengambil kesempatan daripada keganjilan fungsi tangen.

Jawab. a) 1; b) .

Tugasan No. 3. Kira , Jika .

Mari kita kurangkan keseluruhan ungkapan kepada tangen dengan membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan . Pada masa yang sama, kita tidak boleh takut itu, kerana dalam kes ini, nilai tangen tidak akan wujud.

Tugasan No. 4. Permudahkan ungkapan.

Ungkapan yang ditentukan ditukar menggunakan formula pengurangan. Mereka hanya ditulis secara luar biasa menggunakan darjah. Ungkapan pertama secara amnya mewakili nombor. Mari kita permudahkan semua trigofungsi satu demi satu:

Kerana , kemudian fungsi bertukar kepada kofungsi, i.e. kepada kotangen, dan sudut jatuh ke suku kedua, di mana tangen asal mempunyai tanda negatif.

Atas sebab yang sama seperti dalam ungkapan sebelumnya, fungsi berubah kepada kofungsi, i.e. kepada kotangen, dan sudut jatuh ke suku pertama, di mana tangen asal mempunyai tanda positif.

Mari kita gantikan semuanya ke dalam ungkapan yang dipermudahkan:

Masalah #5. Permudahkan ungkapan.

Mari kita tulis tangen sudut dua dengan menggunakan formula yang sesuai dan ringkaskan ungkapan:

Identiti terakhir ialah salah satu formula penggantian universal untuk kosinus.

Masalah #6. Kira.

Perkara utama adalah tidak membuat kesilapan standard dengan tidak memberikan jawapan yang ungkapan itu sama dengan . Anda tidak boleh menggunakan sifat asas arctangent selagi terdapat faktor dalam bentuk dua di sebelahnya. Untuk menyingkirkannya, kami akan menulis ungkapan mengikut formula untuk tangen sudut berganda, sambil menganggap , sebagai hujah biasa.

Sekarang kita boleh menggunakan sifat asas arctangent; ingat bahawa tiada sekatan pada hasil berangkanya.

Masalah No 7. Selesaikan persamaan.

Apabila menyelesaikan persamaan pecahan yang sama dengan sifar, ia sentiasa ditunjukkan bahawa pengangka adalah sama dengan sifar, tetapi penyebutnya tidak, kerana Anda tidak boleh membahagi dengan sifar.

Persamaan pertama ialah kes khas persamaan termudah yang boleh diselesaikan menggunakan bulatan trigonometri. Ingat penyelesaian ini sendiri. Ketaksamaan kedua diselesaikan sebagai persamaan termudah menggunakan formula am untuk akar tangen, tetapi hanya dengan tanda tidak sama.

Seperti yang kita lihat, satu keluarga akar mengecualikan keluarga lain yang mempunyai jenis akar yang sama yang tidak memenuhi persamaan. Itu. tiada akar.

Jawab. Tiada akar.

Masalah No 8. Selesaikan persamaan.

Mari kita segera ambil perhatian bahawa kita boleh mengambil faktor biasa dan mari kita lakukannya:

Persamaan telah dikurangkan kepada salah satu bentuk piawai, di mana hasil darab beberapa faktor bersamaan dengan sifar. Kita sudah tahu bahawa dalam kes ini, salah satu daripadanya adalah sama dengan sifar, atau yang lain, atau yang ketiga. Mari kita tulis ini dalam bentuk satu set persamaan:

Dua persamaan pertama adalah kes khas yang paling mudah; kita telah menemui persamaan yang serupa berkali-kali, jadi kami akan segera menunjukkan penyelesaiannya. Kami mengurangkan persamaan ketiga kepada satu fungsi menggunakan formula sinus sudut berganda.

Mari kita selesaikan persamaan terakhir secara berasingan:

Persamaan ini tidak mempunyai punca, kerana nilai sinus tidak boleh melampaui .

Oleh itu, penyelesaiannya hanyalah dua keluarga akar pertama; mereka boleh digabungkan menjadi satu, yang mudah ditunjukkan pada bulatan trigonometri:

Ini adalah keluarga semua bahagian, i.e.

Mari kita beralih kepada menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Pertama, kami akan menganalisis pendekatan untuk menyelesaikan contoh tanpa menggunakan formula untuk penyelesaian umum, tetapi menggunakan bulatan trigonometri.

Masalah No 9. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita lukis garis bantu pada bulatan trigonometri yang sepadan dengan nilai sinus bersamaan dengan , dan tunjukkan julat sudut yang memenuhi ketaksamaan.

Adalah sangat penting untuk memahami dengan tepat bagaimana untuk menunjukkan selang sudut yang terhasil, i.e. apakah permulaannya dan apakah pengakhirannya. Permulaan selang akan menjadi sudut yang sepadan dengan titik yang akan kita masukkan pada awal selang jika kita bergerak melawan arah jam. Dalam kes kami, ini adalah titik yang berada di sebelah kiri, kerana bergerak lawan jam dan melepasi titik yang betul, kami, sebaliknya, meninggalkan julat sudut yang diperlukan. Oleh itu, titik yang betul akan sepadan dengan penghujung jurang.

Sekarang kita perlu memahami sudut permulaan dan akhir selang penyelesaian kita kepada ketaksamaan. Kesilapan biasa adalah dengan segera menunjukkan bahawa titik yang betul sepadan dengan sudut, yang kiri dan memberikan jawapan. Ini tidak benar! Sila ambil perhatian bahawa kami baru sahaja menunjukkan selang yang sepadan dengan bahagian atas bulatan, walaupun kami berminat dengan bahagian bawah, dengan kata lain, kami telah mencampurkan permulaan dan akhir selang penyelesaian yang kami perlukan.

Agar selang bermula dari sudut titik kanan dan berakhir dengan sudut titik kiri, adalah perlu bahawa sudut yang ditentukan pertama adalah kurang daripada yang kedua. Untuk melakukan ini, kita perlu mengukur sudut titik kanan dalam arah negatif rujukan, i.e. mengikut arah jam dan ia akan sama dengan . Kemudian, mula bergerak daripadanya mengikut arah jam positif, kita akan sampai ke titik kanan selepas titik kiri dan mendapatkan nilai sudut untuknya. Sekarang permulaan selang sudut kurang daripada akhir, dan kita boleh menulis selang penyelesaian tanpa mengambil kira tempoh:

Memandangkan selang tersebut akan diulang beberapa kali tidak terhingga selepas sebarang nombor bulat putaran, kami memperoleh penyelesaian umum dengan mengambil kira tempoh sinus:

Kami meletakkan tanda kurung kerana ketaksamaan adalah ketat, dan kami memilih titik pada bulatan yang sepadan dengan hujung selang.

Bandingkan jawapan yang anda terima dengan formula untuk penyelesaian umum yang kami berikan dalam kuliah.

Jawab. .

Kaedah ini bagus untuk memahami dari mana datangnya formula untuk penyelesaian umum bagi ketaksamaan trigon termudah. Di samping itu, ia berguna untuk mereka yang terlalu malas untuk mempelajari semua formula yang menyusahkan ini. Walau bagaimanapun, kaedah itu sendiri juga tidak mudah; pilih pendekatan yang paling sesuai untuk anda.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, anda juga boleh menggunakan graf fungsi di mana garis bantu dibina, serupa dengan kaedah yang ditunjukkan menggunakan bulatan unit. Jika anda berminat, cuba fikirkan sendiri pendekatan penyelesaian ini. Dalam perkara berikut kita akan menggunakan formula am untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah.

Masalah No 10. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita gunakan formula untuk penyelesaian umum, dengan mengambil kira bahawa ketidaksamaan tidak ketat:

Dalam kes kami, kami mendapat:

Jawab.

Masalah No 11. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita gunakan formula penyelesaian am untuk ketaksamaan yang sepadan:

Jawab. .

Masalah No 12. Selesaikan ketaksamaan: a) ; b) .

Dalam ketidaksamaan ini, tidak perlu tergesa-gesa menggunakan formula untuk penyelesaian umum atau bulatan trigonometri cukup untuk mengingati julat nilai sinus dan kosinus.

a) Sejak , maka ketidaksamaan itu tidak masuk akal. Oleh itu, tiada penyelesaian.

b) Kerana begitu juga, sinus sebarang hujah sentiasa memenuhi ketaksamaan yang dinyatakan dalam keadaan. Oleh itu, ketidaksamaan itu dipenuhi oleh semua nilai sebenar hujah.

Jawab. a) tiada penyelesaian; b) .

Masalah 13. Selesaikan ketidaksamaan .

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah dan mengenali kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Guru kategori kelayakan tertinggi:

Shirko F.M. hlm. Kemajuan, MOBU-sekolah menengah No

Sankina L.S. Armavir, sekolah menengah swasta "Jalan Baru"

Tiada kaedah universal untuk mengajar disiplin sains dan matematik. Setiap guru mencari cara pengajarannya sendiri yang hanya boleh diterima olehnya.

Pengalaman mengajar kami selama bertahun-tahun menunjukkan bahawa pelajar lebih mudah mempelajari bahan yang memerlukan penumpuan dan pengekalan sejumlah besar maklumat dalam ingatan jika mereka diajar menggunakan algoritma dalam aktiviti mereka pada peringkat awal mempelajari topik yang kompleks. Pada pendapat kami, topik sedemikian adalah topik menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Jadi, sebelum kita mulakan dengan pelajar untuk mengenal pasti teknik dan kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kita berlatih dan menyatukan algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah

Tandakan titik pada paksi yang sepadan ( Untuk dosa x– paksi OA, untukcos x– paksi OX)

Kami memulihkan serenjang dengan paksi yang akan bersilang bulatan pada dua titik.

Titik pertama pada bulatan ialah titik yang tergolong dalam selang julat fungsi arka mengikut definisi.

Bermula dari titik berlabel, lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian paksi yang berlorek.

Kami memberi perhatian khusus kepada arah lencongan. Jika traversal dilakukan mengikut arah jam (iaitu terdapat peralihan melalui 0), maka titik kedua pada bulatan akan menjadi negatif, jika lawan jam ia akan menjadi positif.

Kami menulis jawapan dalam bentuk selang, dengan mengambil kira periodicity fungsi.

Mari kita lihat operasi algoritma menggunakan contoh.

1) dosa ≥ 1/2;

Penyelesaian:

Kami menggambarkan bulatan unit.;

Kami menandakan titik ½ pada paksi OU.

Kami memulihkan serenjang dengan paksi,

yang memotong bulatan pada dua titik.

Dengan definisi arcsine, kita mula-mula perhatikan

titik π/6.

Lorekkan bahagian paksi yang sepadan dengannya

diberi ketaksamaan, di atas titik ½.

Lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian berlorek paksi.

Traversal dilakukan mengikut arah lawan jam, kita mendapat titik 5π/6.

Kami menulis jawapan dalam bentuk selang, dengan mengambil kira periodicity fungsi;

Jawapan:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Ketaksamaan termudah diselesaikan menggunakan algoritma yang sama jika rekod jawapan tidak mengandungi nilai jadual.

Pelajar, apabila menyelesaikan ketaksamaan di papan dalam pelajaran pertama mereka, menyebut setiap langkah algoritma dengan kuat.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R penyelesaian:di

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Lukis bulatan unit.

Kami menandakan titik dengan koordinat 1/5 pada paksi OX.

Kami memulihkan serenjang dengan paksi, yang

memotong bulatan pada dua titik.

Titik pertama pada bulatan ialah titik yang tergolong dalam selang julat kosinus lengkok mengikut takrifan (0;π).

Kami menaungi bahagian paksi yang sepadan dengan ketaksamaan ini.

Bermula dari titik yang ditandatangani arccos 1/5, lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian berlorek paksi.

Traversal dilakukan mengikut arah jam (iaitu terdapat peralihan melalui 0), yang bermaksud bahawa titik kedua pada bulatan akan menjadi negatif - arccos 1/5.

Kami menulis jawapan dalam bentuk selang, dengan mengambil kira periodicity fungsi, dari nilai yang lebih kecil kepada yang lebih besar.

Jawapan: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Meningkatkan keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri difasilitasi oleh soalan berikut: "Bagaimana kita akan menyelesaikan sekumpulan ketaksamaan?"; “Bagaimanakah satu ketidaksamaan berbeza daripada yang lain?”; "Bagaimana satu ketidaksamaan serupa dengan yang lain?"; Bagaimanakah jawapan akan berubah jika ketidaksamaan yang ketat diberikan?"; Bagaimanakah jawapan akan berubah jika bukannya tanda "" terdapat tanda "

Tugas menganalisis senarai ketidaksamaan dari sudut pandangan kaedah untuk menyelesaikannya membolehkan anda mempraktikkan pengiktirafannya.

Pelajar diberi ketidaksamaan yang perlu diselesaikan dalam kelas.

soalan: Serlahkan ketaksamaan yang memerlukan penggunaan penjelmaan setara apabila mengurangkan ketaksamaan trigonometri kepada bentuk termudahnya?

Jawab 1, 3, 5.

soalan: Apakah ketaksamaan yang anda perlukan untuk menganggap hujah yang kompleks sebagai hujah yang mudah?

Jawapan: 1, 2, 3, 5, 6.

soalan: Apakah ketaksamaan di mana formula trigonometri boleh digunakan?

Jawapan: 2, 3, 6.

soalan: Namakan ketaksamaan di mana kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu boleh digunakan?

Jawapan: 6.

Tugas menganalisis senarai ketidaksamaan dari sudut pandangan kaedah untuk menyelesaikannya membolehkan anda mempraktikkan pengiktirafannya. Apabila membangunkan kemahiran, adalah penting untuk mengenal pasti peringkat pelaksanaannya dan merumuskannya dalam bentuk umum, yang dibentangkan dalam algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah.

Ketaksamaan ialah hubungan dalam bentuk a › b, di mana a dan b ialah ungkapan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah. Ketaksamaan boleh menjadi ketat - ‹, › dan tidak ketat - ≥, ≤.

Ketaksamaan trigonometri ialah ungkapan dalam bentuk: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, di mana F(x) diwakili oleh satu atau lebih fungsi trigonometri. .

Contoh ketaksamaan trigonometri termudah ialah: sin x ‹ 1/2. Adalah menjadi kebiasaan untuk menyelesaikan masalah sedemikian secara grafik; dua kaedah telah dibangunkan untuk ini.

Kaedah 1 - Menyelesaikan ketaksamaan dengan membuat grafik fungsi

Untuk mencari selang yang memenuhi syarat ketaksamaan sin x ‹ 1/2, anda mesti melakukan langkah berikut:

Pada paksi koordinat, bina sinusoid y = sin x.
Pada paksi yang sama, lukiskan graf bagi hujah berangka bagi ketaksamaan, iaitu, garis lurus yang melalui titik ½ ordinat OY.
Tandakan titik persilangan kedua-dua graf.
Lorekkan segmen yang merupakan penyelesaian kepada contoh.

Apabila tanda ketat hadir dalam ungkapan, titik persilangan bukanlah penyelesaian. Oleh kerana tempoh positif terkecil sinusoid ialah 2π, kami menulis jawapannya seperti berikut:

Jika tanda-tanda ungkapan tidak ketat, maka selang penyelesaian mesti disertakan dalam kurungan segi empat sama - . Jawapan kepada masalah juga boleh ditulis sebagai ketidaksamaan berikut:

Kaedah 2 - Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri menggunakan bulatan unit

Masalah yang sama boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan bulatan trigonometri. Algoritma untuk mencari jawapan adalah sangat mudah:

Mula-mula anda perlu melukis bulatan unit.
Kemudian anda perlu perhatikan nilai fungsi arka hujah sebelah kanan ketaksamaan pada arka bulatan.
Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus yang melalui nilai fungsi arka selari dengan paksi absis (OX).
Selepas itu, yang tinggal hanyalah memilih lengkok bulatan, iaitu set penyelesaian kepada ketaksamaan trigonometri.
Tulis jawapan dalam borang yang dikehendaki.

Mari kita menganalisis peringkat penyelesaian menggunakan contoh ketaksamaan sin x › 1/2. Titik α dan β ditandakan pada bulatan - nilai

Titik-titik lengkok yang terletak di atas α dan β ialah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan yang diberikan.

Jika anda perlu menyelesaikan contoh untuk cos, maka arka jawapan akan terletak secara simetri kepada paksi OX, bukan OY. Anda boleh mempertimbangkan perbezaan antara selang penyelesaian untuk sin dan cos dalam rajah di bawah dalam teks.

Penyelesaian grafik untuk ketaksamaan tangen dan kotangen akan berbeza daripada kedua-dua sinus dan kosinus. Ini disebabkan oleh sifat-sifat fungsi.

Arctangent dan arccotangent ialah tangen kepada bulatan trigonometri, dan tempoh positif minimum untuk kedua-dua fungsi ialah π. Untuk menggunakan kaedah kedua dengan cepat dan betul, anda perlu ingat pada paksi mana nilai sin, cos, tg dan ctg diplot.

Tangen tangen berjalan selari dengan paksi OY. Jika kita memplot nilai arctan a pada bulatan unit, maka titik kedua yang diperlukan akan terletak pada suku pepenjuru. Sudut

Ia adalah titik putus untuk fungsi, kerana graf cenderung kepada mereka, tetapi tidak pernah mencapainya.

Dalam kes kotangen, tangen berjalan selari dengan paksi OX, dan fungsi itu terganggu pada titik π dan 2π.

Ketaksamaan trigonometri kompleks

Jika hujah fungsi ketaksamaan diwakili bukan sahaja oleh pembolehubah, tetapi oleh keseluruhan ungkapan yang mengandungi tidak diketahui, maka kita bercakap tentang ketaksamaan kompleks. Proses dan prosedur untuk menyelesaikannya agak berbeza daripada kaedah yang diterangkan di atas. Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan berikut:

Penyelesaian grafik melibatkan pembinaan sinusoid biasa y = sin x menggunakan nilai x yang dipilih secara sewenang-wenangnya. Mari kita hitung jadual dengan koordinat untuk titik kawalan graf:

Hasilnya mestilah lengkung yang cantik.

Untuk memudahkan pencarian penyelesaian, mari gantikan hujah fungsi kompleks