Penyelesaian persamaan linear mudah. Contoh persamaan yang lebih kompleks

Persamaan ialah ungkapan matematik yang merupakan persamaan yang mengandungi sesuatu yang tidak diketahui. Jika kesamaan adalah benar untuk mana-mana nilai yang boleh diterima daripada yang tidak diketahui termasuk di dalamnya, maka ia dipanggil identiti; sebagai contoh: hubungan seperti (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) berlaku untuk semua nilai x.

Jika persamaan yang melibatkan x tidak diketahui hanya digunakan untuk nilai x tertentu, dan bukan untuk semua nilai x, seperti dalam kes identiti, maka ia mungkin berguna untuk menentukan nilai x yang persamaan itu sah. Nilai x sedemikian dipanggil punca atau penyelesaian persamaan. Sebagai contoh, nombor 5 ialah punca bagi persamaan 2x + 7= 17.

Dalam cabang matematik yang dipanggil teori persamaan, subjek utama kajian ialah kaedah untuk menyelesaikan persamaan. AT kursus sekolah persamaan algebra diberi perhatian yang tinggi.

Sejarah kajian persamaan bermula berabad-abad lamanya. Ahli matematik terkenal yang menyumbang kepada perkembangan teori persamaan ialah:

Archimedes (sekitar 287-212 SM) - Ahli sains, ahli matematik dan mekanik Yunani Purba. Dalam kajian satu masalah, yang mengurangkan kepada persamaan padu, Archimedes mendapati peranan ciri, yang kemudiannya dikenali sebagai diskriminasi.

François Viet hidup pada abad ke-16. Beliau memberikan sumbangan yang besar kepada kajian ini pelbagai masalah matematik. Khususnya, beliau memperkenalkan tatatanda literal untuk pekali persamaan dan mewujudkan hubungan antara punca-punca persamaan kuadratik.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - ahli matematik, mekanik, fizik dan ahli astronomi. Pengarang St. 800 kertas mengenai analisis matematik, persamaan pembezaan, geometri, teori nombor, pengiraan anggaran, mekanik cakerawala, matematik, optik, balistik, pembinaan kapal, teori muzik, dsb. Beliau mempunyai kesan yang besar terhadap perkembangan sains. Dia memperoleh formula (rumus Euler) menyatakan fungsi trigonometri pembolehubah x melalui fungsi eksponen.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), ahli matematik Perancis dan mekanik. Beliau memiliki penyelidikan yang cemerlang, antaranya penyelidikan tentang algebra (fungsi simetri punca persamaan, persamaan pembezaan (teori penyelesaian tunggal, kaedah variasi pemalar).

J. Lagrange dan A. Vandermonde - ahli matematik Perancis. Pada tahun 1771, untuk pertama kalinya, kaedah penyelesaian sistem persamaan (kaedah penggantian) digunakan.

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - ahli matematik Jerman. Menulis buku yang menggariskan teori persamaan pembahagian bulatan (iaitu, persamaan xn - 1 = 0), yang dalam banyak cara adalah prototaip teori Galois. Selain daripada kaedah biasa menyelesaikan persamaan ini, mewujudkan hubungan antara mereka dan pembinaan poligon sekata. Dia, buat pertama kalinya selepas saintis Yunani kuno, membuat langkah ke hadapan yang penting dalam perkara ini, iaitu: dia mendapati semua nilai n yang n-gon biasa boleh dibina dengan kompas dan pembaris. Belajar cara menambah. Dia membuat kesimpulan bahawa sistem persamaan boleh ditambah, dibahagikan, dan didarab antara mereka sendiri.

O. I. Somov - memperkayakan pelbagai bahagian matematik dengan karya penting dan banyak, antaranya teori persamaan algebra tertentu darjah yang lebih tinggi.

Galois Evariste (1811-1832), ahli matematik Perancis. Merit utamanya ialah perumusan satu set idea, yang mana dia datang berkaitan dengan penerusan penyelidikan mengenai kebolehlarutan persamaan algebra, yang dimulakan oleh J. Lagrange, N. Abel dan lain-lain, mencipta teori persamaan algebra yang lebih tinggi. darjah dengan satu yang tidak diketahui.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) - Dalam karyanya, kaedah geometri dikaitkan dengan kaedah analisis teori persamaan pembezaan dengan terbitan separa. Karya-karya beliau juga mempunyai kesan yang besar terhadap teori persamaan pembezaan tak linear.

P. Ruffini - ahli matematik Itali. Dia menumpukan beberapa karya untuk membuktikan ketidakbolehpecahan persamaan darjah ke-5, secara sistematik menggunakan ketertutupan set penggantian.

Walaupun fakta bahawa saintis telah mengkaji persamaan untuk masa yang lama, sains tidak tahu bagaimana dan bila orang mendapat keperluan untuk menggunakan persamaan. Hanya diketahui bahawa masalah yang membawa kepada penyelesaian persamaan paling mudah telah diselesaikan oleh orang sejak mereka menjadi orang. Satu lagi 3 - 4 ribu tahun SM. e. orang Mesir dan Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana ia sampai ke tahap ini.

AT Mesir Purba dan Babylon, kaedah kedudukan palsu telah digunakan. Persamaan darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk ax + b = c, di mana a, b, c ialah integer. Mengikut peraturan operasi aritmetik kapak \u003d c - b,

Jika b > c, maka c b ialah nombor negatif. Nombor negatif tidak diketahui oleh orang Mesir dan ramai orang lain kemudiannya (setaraf dengan nombor positif mereka mula digunakan dalam matematik hanya pada abad ketujuh belas). Untuk menyelesaikan masalah yang kini kita selesaikan dengan persamaan darjah pertama, kaedah kedudukan palsu telah dicipta. Dalam papirus Ahmes, 15 masalah diselesaikan dengan kaedah ini. Orang Mesir mempunyai tanda khas untuk ditunjukkan nombor yang tidak diketahui, yang, sehingga baru-baru ini, dibaca "bagaimana" dan diterjemahkan dengan perkataan "timbunan" ("timbunan" atau "bilangan tidak diketahui" unit). Sekarang mereka membaca sedikit kurang tepat: "aha." Kaedah penyelesaian yang digunakan oleh Ahmes dipanggil kaedah satu kedudukan palsu. Dengan menggunakan kaedah ini, persamaan bentuk ax = b diselesaikan. Kaedah ini terdiri daripada membahagikan setiap sisi persamaan dengan a. Ia digunakan oleh kedua-dua Mesir dan Babylon. Pada bangsa yang berbeza kaedah dua kedudukan palsu digunakan. Orang Arab mekanisasi kaedah ini dan memperoleh bentuk di mana ia dimasukkan ke dalam buku teks orang Eropah, termasuk Aritmetik Magnitsky. Magnitsky memanggil kaedah menyelesaikan "peraturan palsu" dan menulis di bahagian bukunya yang menerangkan kaedah ini:

Zelo bo licik adalah bahagian ini, Seperti anda boleh meletakkan segala-galanya dengannya. Bukan sahaja yang ada dalam kewarganegaraan, Tetapi juga ilmu-ilmu yang lebih tinggi di angkasa, Malah disenaraikan dalam sfera syurga, Seperti orang bijak ada keperluan.

Kandungan puisi Magnitsky boleh diringkaskan seperti berikut: bahagian aritmetik ini sangat rumit. Dengan bantuannya, anda boleh mengira bukan sahaja apa yang diperlukan dalam amalan seharian, tetapi ia juga menyelesaikan soalan "lebih tinggi" yang berhadapan dengan "bijak". Magnitsky menggunakan "peraturan palsu" dalam bentuk yang diberikan oleh orang Arab, memanggilnya "aritmetik dua kesilapan" atau "kaedah pemberat." Ahli matematik India sering memberikan masalah dalam ayat. Cabaran Lotus:

Di atas tasik yang tenang, separuh ukuran di atas air, warna Lotus kelihatan. Dia membesar sendirian, dan angin dalam gelombang membengkokkannya ke tepi, dan tidak lagi

Bunga di atas air. Menemui mata nelayannya Dua ukuran dari tempat dia dibesarkan. Berapa banyak tasik di sini adalah dalam air? Saya akan menawarkan anda satu soalan.

Jenis-jenis persamaan

Persamaan linear

Persamaan linear ialah persamaan dalam bentuk: ax + b = 0, dengan a dan b ialah beberapa pemalar. Jika a tidak sama dengan sifar, maka persamaan mempunyai satu punca tunggal: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Contohnya: selesaikan persamaan linear: 4x + 12 = 0.

Penyelesaian: T. kepada a \u003d 4, dan b \u003d 12, kemudian x \u003d - 12: 4; x = - 3.

Semak: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Oleh kerana k 0 = 0, maka -3 ialah punca bagi persamaan asal.

Jawab. x = -3

Jika a ialah sifar dan b ialah sifar, maka punca bagi persamaan ax + b = 0 ialah sebarang nombor.

Sebagai contoh:

0 = 0. Oleh kerana 0 ialah 0, maka punca bagi persamaan 0x + 0 = 0 ialah sebarang nombor.

Jika a adalah sifar dan b bukan sifar, maka persamaan ax + b = 0 tidak mempunyai punca.

Sebagai contoh:

0 \u003d 6. Oleh kerana 0 tidak sama dengan 6, maka 0x - 6 \u003d 0 tidak mempunyai punca.

Sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linear ialah sistem di mana semua persamaan adalah linear.

Untuk menyelesaikan sistem bermakna mencari semua penyelesaiannya.

Sebelum menyelesaikan sistem persamaan linear, anda boleh menentukan bilangan penyelesaiannya.

Biarkan sistem persamaan diberikan: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Jika a1 dibahagikan dengan a2 tidak sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, maka sistem mempunyai satu penyelesaian unik.

Jika a1 dibahagikan dengan a2 adalah sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, tetapi sama dengan c1 dibahagikan dengan c2, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Jika a1 dibahagikan dengan a2 adalah sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, dan sama dengan c1 dibahagikan dengan c2, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian tak terhingga.

Sistem persamaan yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dipanggil konsisten.

Sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai nombor terhingga penyelesaian, dan tak tentu jika set penyelesaiannya adalah tak terhingga.

Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian tunggal dipanggil tidak konsisten atau tidak konsisten.

Cara untuk menyelesaikan persamaan linear

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear:

1) Kaedah pemilihan. Ini yang paling banyak cara paling mudah. Ia terdiri daripada fakta bahawa mereka memilih semua nilai yang dibenarkan tidak diketahui melalui penghitungan.

Sebagai contoh:

Selesaikan persamaan.

Biarkan x = 1. Kemudian

4 = 6. Oleh kerana 4 tidak sama dengan 6, maka andaian kami bahawa x = 1 adalah salah.

Biarkan x = 2.

6 = 6. Oleh kerana 6 sama dengan 6, maka andaian kami bahawa x = 2 adalah betul.

Jawapan: x = 2.

2) Cara untuk memudahkan

Kaedah ini terletak pada fakta bahawa semua ahli yang mengandungi yang tidak diketahui dipindahkan ke sebelah kiri, dan diketahui ke kanan dengan tanda bertentangan, berikan yang serupa, dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan pekali yang tidak diketahui.

Sebagai contoh:

Selesaikan persamaan.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Jawab. x = 5.

3) Cara grafik.

Ia terdiri daripada fakta bahawa graf fungsi dibina persamaan yang diberikan. Kerana dalam persamaan linear y \u003d 0, maka graf akan selari dengan paksi-y. Titik persilangan graf dengan paksi-x akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini.

Sebagai contoh:

Selesaikan persamaan.

Biarkan y = 7. Kemudian y = 2x + 3.

Mari bina graf fungsi kedua-dua persamaan:

Cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Dalam gred ketujuh, tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan dikaji:

1) Kaedah penggantian.

Kaedah ini terdiri daripada fakta bahawa dalam salah satu persamaan satu yang tidak diketahui dinyatakan dalam istilah yang lain. Ungkapan yang terhasil digantikan ke dalam persamaan lain, yang kemudiannya bertukar menjadi persamaan dengan satu yang tidak diketahui, kemudian ia diselesaikan. Nilai yang terhasil daripada yang tidak diketahui ini digantikan ke dalam mana-mana persamaan sistem asal dan nilai yang tidak diketahui kedua ditemui.

Sebagai contoh.

Selesaikan sistem persamaan.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan lain:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Peperiksaan.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Jawapan: x = 1; y = 1.

2) Kaedah penambahan.

Kaedah ini ialah jika sistem ini terdiri daripada persamaan yang, apabila ditambah sebutan dengan sebutan, membentuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, kemudian dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapat nilai salah satu yang tidak diketahui. Nilai yang terhasil daripada yang tidak diketahui ini digantikan ke dalam mana-mana persamaan sistem asal dan nilai yang tidak diketahui kedua ditemui.

Sebagai contoh:

Selesaikan sistem persamaan.

/ 3t - 2x \u003d 5,

\5x - 3y \u003d 4.

Mari kita selesaikan persamaan yang terhasil.

3x = 9; : (3) x = 3.

Mari kita gantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Jadi x = 3; y = 3 2/3.

Peperiksaan.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Jawab. x = 3; y = 3 2/3

3) Cara grafik.

Kaedah ini adalah berdasarkan fakta bahawa graf persamaan diplot dalam satu sistem koordinat. Jika graf persamaan bersilang, maka koordinat titik persilangan adalah penyelesaian sistem ini. Jika graf persamaan adalah garis selari, maka sistem yang diberikan tidak mempunyai penyelesaian. Jika graf persamaan bergabung menjadi satu garis lurus, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Sebagai contoh.

Selesaikan sistem persamaan.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Kami membina graf fungsi y \u003d 2x - 5 dan y \u003d 3 - 6x pada sistem koordinat yang sama.

Graf fungsi y \u003d 2x - 5 dan y \u003d 3 - 6x bersilang pada titik A (1; -3).

Oleh itu, penyelesaian kepada sistem persamaan ini ialah x = 1 dan y = -3.

Peperiksaan.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Jawab. x = 1; y = -3.

Kesimpulan

Berdasarkan semua perkara di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan diperlukan dalam dunia moden bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah praktikal, tetapi juga sebagai alat saintifik. Oleh itu, begitu ramai saintis telah mengkaji isu ini dan terus mengkaji.

Persamaan yang mewakili trinomial segi empat sama, biasanya dirujuk sebagai persamaan kuadratik. Dari sudut pandangan algebra, ia diterangkan oleh formula a*x^2+b*x+c=0. Dalam formula ini, x ialah yang tidak diketahui untuk ditemui (ia dipanggil pembolehubah bebas); a, b dan c ialah pekali berangka. Berkenaan dengan komponen ini, terdapat beberapa sekatan: sebagai contoh, pekali a tidak boleh sama dengan 0.

Menyelesaikan persamaan: konsep diskriminasi

Nilai x yang tidak diketahui, di mana persamaan kuadratik bertukar menjadi kesamaan sebenar, dipanggil punca persamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, anda mesti mencari nilai pekali khas - diskriminasi, yang akan menunjukkan bilangan punca kesamaan yang dipertimbangkan. Diskriminasi dikira dengan formula D=b^2-4ac. Dalam kes ini, hasil pengiraan boleh menjadi positif, negatif atau sama dengan sifar.

Dalam kes ini, perlu diingat bahawa konsep memerlukan hanya pekali a berbeza dengan 0. Oleh itu, pekali b boleh sama dengan 0, dan persamaan itu sendiri dalam kes ini ialah a * x ^ 2 + c \u003d 0. Dalam keadaan sedemikian, nilai pekali bersamaan dengan 0 harus digunakan dalam formula untuk mengira diskriminasi dan punca. Jadi, diskriminasi dalam kes ini akan dikira sebagai D=-4ac.

Penyelesaian persamaan dengan diskriminasi positif

Jika diskriminasi persamaan kuadratik ternyata positif, kita boleh membuat kesimpulan daripada ini bahawa kesamaan ini mempunyai dua punca. Akar-akar ini boleh dikira menggunakan formula berikut: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Oleh itu, untuk mengira nilai punca-punca persamaan kuadratik bagi nilai positif diskriminasi yang digunakan nilai yang diketahui pekali yang terdapat dalam . Terima kasih kepada penggunaan jumlah dan perbezaan dalam formula untuk mengira punca, hasil pengiraan akan menjadi dua nilai yang menjadikan kesamaan yang dipersoalkan menjadi yang betul.

Penyelesaian persamaan dengan diskriminasi sifar dan negatif

Jika diskriminasi persamaan kuadratik ternyata sama dengan 0, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kata persamaan mempunyai satu akar. Tegasnya, dalam situasi ini, persamaan masih mempunyai dua punca, tetapi disebabkan diskriminasi sifar, mereka akan sama antara satu sama lain. Dalam kes ini x=-b/2a. Jika, semasa pengiraan, nilai diskriminasi ternyata negatif, harus disimpulkan bahawa persamaan kuadratik yang dipertimbangkan tidak mempunyai punca, iaitu, nilai x yang mana ia bertukar menjadi kesamaan sebenar.

Dan seterusnya, adalah logik untuk membiasakan diri dengan persamaan jenis lain. Seterusnya dalam barisan ialah persamaan linear, kajian bertujuan yang bermula dalam pelajaran algebra dalam gred 7.

Adalah jelas bahawa pertama anda perlu menerangkan apa itu persamaan linear, berikan definisi persamaan linear, pekalinya, tunjukkannya bentuk umum. Kemudian anda boleh memikirkan berapa banyak penyelesaian persamaan linear bergantung pada nilai pekali, dan bagaimana punca ditemui. Ini akan membolehkan anda meneruskan untuk menyelesaikan contoh, dan dengan itu menyatukan teori yang dipelajari. Dalam artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membincangkan secara terperinci semua perkara teori dan praktikal mengenai persamaan linear dan penyelesaiannya.

Katakan segera bahawa di sini kita akan mempertimbangkan hanya persamaan linear dengan satu pembolehubah, dan dalam artikel berasingan kita akan mengkaji prinsip penyelesaian persamaan linear dalam dua pembolehubah.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan linear?

Takrifan persamaan linear diberikan melalui bentuk tatatandanya. Selain itu, dalam buku teks matematik dan algebra yang berbeza, rumusan definisi persamaan linear mempunyai beberapa perbezaan yang tidak menjejaskan intipati isu.

Sebagai contoh, dalam buku teks algebra untuk gred 7 oleh Yu. N. Makarycheva dan lain-lain, persamaan linear ditakrifkan seperti berikut:

Definisi.

Taip persamaan ax=b, di mana x ialah pembolehubah, a dan b ialah beberapa nombor, dipanggil persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Mari kita berikan contoh persamaan linear yang sepadan dengan definisi bersuara. Sebagai contoh, 5 x=10 ialah persamaan linear dengan satu pembolehubah x , di sini pekali a ialah 5 , dan nombor b ialah 10 . Contoh lain: −2.3 y=0 juga merupakan persamaan linear, tetapi dengan pembolehubah y , di mana a=−2.3 dan b=0 . Dan dalam persamaan linear x=−2 dan −x=3.33 a tidak hadir secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan −1, manakala dalam persamaan pertama b=−2 dan dalam kedua - b=3.33 .

Setahun sebelumnya, dalam buku teks matematik oleh N. Ya. Vilenkin, persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui, sebagai tambahan kepada persamaan bentuk a x = b, juga dianggap persamaan yang boleh dikurangkan kepada bentuk ini dengan memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan kepada yang lain dengan tanda yang berlawanan, serta dengan mengurangkan sebutan serupa. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x=2 x+6 , dsb. juga linear.

Seterusnya, takrifan berikut diberikan dalam buku teks algebra untuk 7 kelas oleh A. G. Mordkovich:

Definisi.

Persamaan linear dengan satu pembolehubah x ialah persamaan bentuk a x+b=0 , di mana a dan b ialah beberapa nombor, dipanggil pekali persamaan linear.

Sebagai contoh, persamaan linear jenis ini ialah 2 x−12=0, di sini pekali a adalah sama dengan 2, dan b adalah sama dengan -12, dan 0.2 y+4.6=0 dengan pekali a=0.2 dan b =4.6. Tetapi pada masa yang sama, terdapat contoh persamaan linear yang mempunyai bentuk bukan a x+b=0 , tetapi a x=b , contohnya, 3 x=12 .

Mari, supaya kita tidak mempunyai sebarang percanggahan pada masa hadapan, di bawah persamaan linear dengan satu pembolehubah x dan pekali a dan b kita akan memahami persamaan bentuk a x+b=0 . Persamaan linear jenis ini nampaknya paling wajar, kerana persamaan linear adalah persamaan algebra ijazah pertama. Dan semua persamaan lain di atas, serta persamaan yang, menggunakan transformasi yang setara dikurangkan kepada bentuk a x+b=0 , kita akan panggil persamaan dikurangkan kepada persamaan linear. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 ialah persamaan linear, dan 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, dsb. ialah persamaan linear.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan linear?

Kini tiba masanya untuk memikirkan bagaimana persamaan linear a x+b=0 diselesaikan. Dalam erti kata lain, sudah tiba masanya untuk mengetahui sama ada persamaan linear mempunyai punca, dan jika ya, berapa banyak dan bagaimana untuk mencarinya.

Kehadiran punca persamaan linear bergantung kepada nilai pekali a dan b. Dalam kes ini, persamaan linear a x+b=0 mempunyai

satu-satunya punca pada a≠0 ,
tidak mempunyai punca untuk a=0 dan b≠0 ,
mempunyai banyak punca tak terhingga untuk a=0 dan b=0 , dalam hal ini sebarang nombor adalah punca persamaan linear.

Mari kita terangkan bagaimana keputusan ini diperolehi.

Kita tahu bahawa untuk menyelesaikan persamaan, adalah mungkin untuk beralih dari persamaan asal kepada persamaan setara, iaitu, kepada persamaan dengan punca yang sama atau, seperti yang asal, tanpa punca. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan transformasi setara berikut:

pemindahan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan tanda berlawanan,
dan juga mendarab atau membahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar yang sama.

Jadi, dalam persamaan linear dengan satu pembolehubah jenis a x+b=0 kita boleh mengalihkan sebutan b dari sebelah kiri ke sebelah kanan dengan tanda yang bertentangan. Dalam kes ini, persamaan akan mengambil bentuk a x=−b.

Dan kemudian pembahagian kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor a menunjukkan dirinya. Tetapi ada satu perkara: nombor a boleh sama dengan sifar, dalam hal ini pembahagian sedemikian adalah mustahil. Untuk menangani masalah ini, mula-mula kita akan menganggap bahawa nombor a adalah berbeza daripada sifar, dan pertimbangkan kes sifar a secara berasingan sedikit kemudian.

Jadi, apabila a tidak sama dengan sifar, maka kita boleh membahagikan kedua-dua bahagian persamaan a x=−b dengan a , selepas itu ia ditukar kepada bentuk x=(−b):a , hasil ini boleh ditulis menggunakan a garis pepejal sebagai .

Oleh itu, untuk a≠0, persamaan linear a·x+b=0 adalah bersamaan dengan persamaan , dari mana puncanya kelihatan.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa punca ini adalah unik, iaitu, persamaan linear tidak mempunyai punca lain. Ini membolehkan anda melakukan kaedah yang bertentangan.

Mari kita nyatakan punca sebagai x 1 . Katakan terdapat punca lain bagi persamaan linear, yang kita nyatakan x 2, dan x 2 ≠ x 1, yang, disebabkan oleh takrifan nombor yang sama melalui perbezaan adalah bersamaan dengan keadaan x 1 − x 2 ≠0 . Oleh kerana x 1 dan x 2 ialah punca-punca persamaan linear a x+b=0, maka kesamaan berangka a x 1 +b=0 dan a x 2 +b=0 berlaku. Kita boleh menolak bahagian yang sepadan bagi kesamaan ini, yang sifat-sifat kesamaan berangka membenarkan kita lakukan, kita mempunyai x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , dari mana a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 dan kemudian a (x 1 − x 2)=0 . Dan kesamaan ini adalah mustahil, kerana kedua-dua a≠0 dan x 1 − x 2 ≠0. Jadi kita telah mencapai percanggahan, yang membuktikan keunikan punca persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0 .

Jadi kita telah menyelesaikan persamaan linear a x+b=0 dengan a≠0 . Keputusan pertama yang diberikan pada permulaan subseksyen ini adalah wajar. Terdapat dua lagi yang memenuhi syarat a=0 .

Untuk a=0 persamaan linear a·x+b=0 menjadi 0·x+b=0 . Daripada persamaan ini dan sifat mendarab nombor dengan sifar, ia mengikuti bahawa tidak kira apa nombor yang kita ambil sebagai x, apabila kita menggantikannya ke dalam persamaan 0 x+b=0, kita mendapat kesamaan berangka b=0. Kesamaan ini adalah benar apabila b=0 , dan dalam kes lain apabila b≠0 kesamaan ini adalah palsu.

Oleh itu, untuk a=0 dan b=0, sebarang nombor ialah punca persamaan linear a x+b=0, kerana di bawah keadaan ini, menggantikan sebarang nombor dan bukannya x memberikan kesamaan berangka yang betul 0=0. Dan untuk a=0 dan b≠0, persamaan linear a x+b=0 tidak mempunyai punca, kerana di bawah keadaan ini, menggantikan sebarang nombor dan bukannya x membawa kepada kesamaan berangka yang salah b=0.

Justifikasi di atas memungkinkan untuk membentuk urutan tindakan yang membolehkan menyelesaikan sebarang persamaan linear. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear ialah:

Pertama, dengan menulis persamaan linear, kita dapati nilai pekali a dan b.
Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan ini mempunyai banyak punca tak terhingga, iaitu, sebarang nombor ialah punca bagi persamaan linear ini.
Jika a berbeza daripada sifar, maka

pekali b dipindahkan ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, manakala persamaan linear diubah menjadi bentuk a x=−b ,
selepas itu kedua-dua bahagian persamaan yang terhasil dibahagikan dengan nombor bukan sifar a, yang memberikan punca yang dikehendaki bagi persamaan linear asal.

Algoritma bertulis adalah jawapan lengkap kepada persoalan bagaimana menyelesaikan persamaan linear.

Sebagai kesimpulan perenggan ini, patut dikatakan bahawa algoritma yang serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b. Perbezaannya terletak pada fakta bahawa apabila a≠0, kedua-dua bahagian persamaan segera dibahagikan dengan nombor ini, di sini b sudah berada dalam bahagian persamaan yang dikehendaki dan ia tidak perlu dipindahkan.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b, algoritma berikut digunakan:

Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan itu mempunyai banyak punca tak terhingga, iaitu sebarang nombor.
Jika a=0 dan b≠0 , maka persamaan asal tidak mempunyai punca.
Jika a bukan sifar, maka kedua-dua belah persamaan dibahagikan dengan nombor bukan sifar a, dari mana satu-satunya punca persamaan yang sama dengan b / a ditemui.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Mari kita teruskan untuk berlatih. Marilah kita menganalisis bagaimana algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear digunakan. Mari kita kemukakan penyelesaian contoh biasa yang sepadan dengannya makna yang berbeza pekali persamaan linear.

Contoh.

Selesaikan persamaan linear 0 x−0=0 .

Penyelesaian.

Dalam persamaan linear ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh itu, persamaan ini mempunyai banyak punca tak terhingga, sebarang nombor adalah punca persamaan ini.

Jawapan:

x ialah sebarang nombor.

Contoh.

Adakah persamaan linear 0 x+2.7=0 mempunyai penyelesaian?

Penyelesaian.

AT kes ini pekali a adalah sama dengan sifar, dan pekali b persamaan linear ini adalah sama dengan 2.7, iaitu, ia berbeza daripada sifar. Oleh itu, persamaan linear tidak mempunyai punca.

Persamaan linear. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Persamaan linear.

Persamaan linear bukanlah yang terbaik topik yang sukar matematik sekolah. Tetapi terdapat beberapa helah di sana yang boleh membingungkan walaupun pelajar terlatih. Bolehkah kita memikirkannya?)

Persamaan linear biasanya ditakrifkan sebagai persamaan bentuk:

kapak + b = 0 di mana a dan b- sebarang nombor.

2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Di sini a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Di sini a=12, b=1/2

Tidak ada yang rumit, bukan? Terutama jika anda tidak perasan perkataan: "di mana a dan b ialah sebarang nombor"... Dan jika anda perasan, tetapi dengan cuai memikirkannya?) Lagipun, jika a=0, b=0(ada sebarang nombor yang mungkin?), maka kita mendapat ungkapan lucu:

Tetapi bukan itu sahaja! Jika, katakan, a=0, a b=5, ternyata sesuatu yang tidak masuk akal:

Apa yang merenggangkan dan melemahkan keyakinan dalam matematik, ya ...) Terutama dalam peperiksaan. Tetapi daripada ungkapan aneh ini, anda juga perlu mencari X! Yang tidak wujud sama sekali. Dan, yang menghairankan, X ini sangat mudah dicari. Kami akan belajar bagaimana untuk melakukannya. Dalam pelajaran ini.

Bagaimana untuk mengenali persamaan linear dalam rupa? Ia bergantung kepada apa penampilan.) Caranya ialah persamaan linear dipanggil bukan sahaja persamaan bentuk kapak + b = 0 , tetapi juga sebarang persamaan yang dikurangkan kepada bentuk ini melalui penjelmaan dan pemudahan. Dan siapa tahu sama ada ia berkurangan atau tidak?)

Persamaan linear boleh dikenal pasti dalam beberapa kes. Katakan, jika kita mempunyai persamaan di mana hanya ada yang tidak diketahui dalam darjah pertama, ya nombor. Dan persamaan tidak pecahan dibahagikan dengan tidak diketahui , ia penting! Dan pembahagian oleh nombor, atau pecahan berangka - itu sahaja! Sebagai contoh:

Ini adalah persamaan linear. Terdapat pecahan di sini, tetapi tiada x dalam segi empat sama, dalam kubus, dsb., dan tiada x dalam penyebutnya, i.e. Tidak pembahagian dengan x. Dan inilah persamaannya

tidak boleh dipanggil linear. Di sini x semua dalam ijazah pertama, tetapi ada pembahagian dengan ungkapan dengan x. Selepas pemudahan dan transformasi, anda boleh mendapatkan persamaan linear, dan satu kuadratik, dan apa sahaja yang anda suka.

Ternyata mustahil untuk mengetahui persamaan linear dalam beberapa contoh yang rumit sehingga anda hampir menyelesaikannya. Ia menjengkelkan. Tetapi dalam tugasan, sebagai peraturan, mereka tidak bertanya tentang bentuk persamaan, bukan? Dalam tugasan, persamaan disusun memutuskan. Ini membuatkan saya gembira.)

Penyelesaian persamaan linear. Contoh.

Keseluruhan penyelesaian persamaan linear terdiri daripada transformasi persamaan yang sama. Dengan cara ini, transformasi ini (sebanyak dua!) mendasari penyelesaian semua persamaan matematik. Dengan kata lain, keputusan mana-mana Persamaan bermula dengan transformasi yang sama ini. Dalam kes persamaan linear, ia (penyelesaian) pada transformasi ini berakhir dengan jawapan penuh. Ia masuk akal untuk mengikuti pautan, bukan?) Selain itu, terdapat juga contoh penyelesaian persamaan linear.

Mari kita mulakan dengan contoh yang paling mudah. Tanpa sebarang perangkap. Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan berikut.

x - 3 = 2 - 4x

Ini adalah persamaan linear. Xs semuanya kepada kuasa pertama, tiada pembahagian oleh X. Tetapi, sebenarnya, kami tidak peduli apa persamaan itu. Kita perlu menyelesaikannya. Skim di sini adalah mudah. Kumpul semua dengan x di sebelah kiri persamaan, semuanya tanpa x (nombor) di sebelah kanan.

Untuk melakukan ini, anda perlu memindahkan - 4x ke sebelah kiri, dengan perubahan tanda, sudah tentu, tetapi - 3 - ke kanan. By the way, ini adalah transformasi persamaan pertama yang serupa. Terkejut? Jadi, mereka tidak mengikuti pautan, tetapi sia-sia ...) Kami mendapat:

x + 4x = 2 + 3

Kami memberikan yang serupa, kami menganggap:

Untuk apa kita kekurangan kebahagiaan yang lengkap? Ya, supaya terdapat X bersih di sebelah kiri! Lima menghalang. Singkirkan lima dengan transformasi identik kedua bagi persamaan. Iaitu, kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan 5. Kami mendapat jawapan sedia:

Contoh asas, sudah tentu. Ini adalah untuk memanaskan badan.) Tidak begitu jelas mengapa saya teringat perubahan yang serupa di sini? OKEY. Kami mengambil lembu jantan dengan tanduk.) Mari kita tentukan sesuatu yang lebih mengagumkan.

Sebagai contoh, berikut adalah persamaan ini:

Di mana kita bermula? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Boleh jadi begitu. Dalam langkah kecil Jalan yang panjang. Dan anda boleh serta-merta, dengan cara yang universal dan berkuasa. Melainkan, sudah tentu, dalam senjata anda terdapat transformasi persamaan yang sama.

saya tanya awak soalan kunci: Apakah yang paling anda tidak suka tentang persamaan ini?

95 orang daripada 100 akan menjawab: pecahan ! Jawapannya betul. Jadi mari kita singkirkan mereka. Jadi kita mulakan segera dengan transformasi identik kedua. Apakah yang anda perlukan untuk mendarab pecahan di sebelah kiri supaya penyebutnya dikurangkan sepenuhnya? Betul, 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tetapi matematik membolehkan kita mendarab kedua-dua belah dengan nombor yang sama. Macam mana kita nak keluar? Mari kita darab kedua-dua belah dengan 12! Itu. pada penyebut biasa. Kemudian tiga akan dikurangkan, dan empat. Jangan lupa bahawa anda perlu mendarab setiap bahagian sepenuhnya. Inilah rupa langkah pertama:

Memperluas kurungan:

Catatan! Penbilang (x+2) Saya ambil dalam kurungan! Ini kerana apabila mendarab pecahan, pengangka didarab dengan keseluruhan, sepenuhnya! Dan kini anda boleh mengurangkan pecahan dan mengurangkan:

Membuka kurungan yang tinggal:

Bukan contoh, tetapi keseronokan murni!) Sekarang kita ingat mantera dari gred rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan! Dan gunakan transformasi ini:

Berikut adalah beberapa seperti:

Dan kami membahagikan kedua-dua bahagian dengan 25, i.e. gunakan transformasi kedua sekali lagi:

Itu sahaja. Jawapan: X=0,16

Ambil perhatian: untuk membawa persamaan mengelirukan asal kepada bentuk yang menyenangkan, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi yang sama- terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan darab-bahagi persamaan dengan nombor yang sama. ia cara universal! Kami akan bekerja dengan cara ini mana-mana persamaan! sama sekali. Itulah sebabnya saya terus mengulangi transformasi yang serupa ini sepanjang masa.)

Seperti yang anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear adalah mudah. Kami mengambil persamaan dan memudahkannya dengan transformasi yang sama sebelum menerima balasan. Masalah utama di sini adalah dalam pengiraan, dan bukan dalam prinsip penyelesaian.

Tetapi ... Terdapat kejutan sedemikian dalam proses menyelesaikan persamaan linear yang paling asas yang boleh menyebabkan mereka menjadi pingsan yang kuat ...) Nasib baik, hanya terdapat dua kejutan seperti itu. Mari kita panggil mereka kes khas.

Kes khas dalam menyelesaikan persamaan linear.

Kejutan dahulu.

Katakan anda mendapat persamaan asas, sesuatu seperti:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Sedikit bosan, kami memindahkan dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan ... Dengan perubahan tanda, semuanya adalah chin-chinar ... Kami mendapat:

2x-5x+3x=5-2-3

Kami percaya, dan ... oh saya! Kita mendapatkan:

Dengan sendirinya, kesaksamaan ini tidak boleh dipertikaikan. Sifar adalah benar-benar sifar. Tetapi X sudah tiada! Dan kita mesti menulis dalam jawapan, x sama dengan apa. Jika tidak, penyelesaiannya tidak dikira, ya...) Jalan buntu?

Tenang! Dalam kes yang meragukan sedemikian, peraturan yang paling umum menjimatkan. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan? Ini bermaksud, cari semua nilai x yang, apabila digantikan dengan persamaan asal, akan memberi kita kesamaan yang betul.

Tetapi kita mempunyai persamaan yang betul sudah berlaku! 0=0, di mana sebenarnya?! Ia masih perlu memikirkan apa x ini diperolehi. Apakah nilai x yang boleh digantikan permulaan persamaan jika x ini masih mengecil ke sifar? Jom?)

ya!!! Xs boleh diganti mana-mana! Apa yang kamu mahu. Sekurang-kurangnya 5, sekurang-kurangnya 0.05, sekurang-kurangnya -220. Mereka tetap akan mengecut. Jika anda tidak percaya saya, anda boleh menyemaknya.) Gantikan mana-mana nilai x dalam permulaan persamaan dan mengira. Sepanjang masa kebenaran tulen akan diperolehi: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.

Inilah jawapan anda: x ialah sebarang nombor.

Jawapan boleh ditulis dalam simbol matematik yang berbeza, intipati tidak berubah. Ini adalah jawapan yang betul dan lengkap.

Kejutan kedua.

Mari kita ambil persamaan linear asas yang sama dan tukar hanya satu nombor di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Selepas transformasi yang sama, kami mendapat sesuatu yang menarik:

Macam ni. Menyelesaikan persamaan linear, mendapat kesamaan aneh. bercakap bahasa matematik, kami mendapat kesamarataan yang salah. Dan bercakap bahasa biasa, ini tidak benar. Rave. Tetapi bagaimanapun, karut ini adalah alasan yang baik untuk keputusan yang betul persamaan.)

Sekali lagi, kita fikir dari peraturan umum. Apakah x, apabila digantikan ke dalam persamaan asal, akan berikan kepada kita betul kesaksamaan? Ya, tiada! Tidak ada x seperti itu. Apa sahaja yang anda gantikan, semuanya akan berkurangan, karut akan kekal.)

Inilah jawapan anda: tiada penyelesaian.

Ini juga merupakan jawapan yang betul-betul sah. Dalam matematik, jawapan sedemikian sering berlaku.

Macam ni. Sekarang, saya harap, kehilangan Xs dalam proses menyelesaikan sebarang persamaan (bukan sahaja linear) tidak akan mengganggu anda sama sekali. Perkara itu sudah biasa.)

Sekarang bahawa kita telah menangani semua perangkap dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Dalam video ini, kami akan menganalisis satu set keseluruhan persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.

Sebagai permulaan, mari kita tentukan: apakah persamaan linear dan yang mana antara mereka harus dipanggil paling mudah?

Persamaan linear ialah persamaan yang hanya terdapat satu pembolehubah, dan hanya pada darjah pertama.

Persamaan termudah bermaksud pembinaan:

Semua persamaan linear lain dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan algoritma:

kurungan terbuka, jika ada;
Pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah ke satu sisi tanda sama, dan istilah tanpa pembolehubah ke yang lain;
memimpin seperti istilah di sebelah kiri dan kanan tanda sama;
Bahagikan persamaan yang terhasil dengan pekali pembolehubah $x$ .

Sudah tentu, algoritma ini tidak selalu membantu. Hakikatnya kadangkala, selepas semua komplot ini, pekali pembolehubah $x$ ternyata sama dengan sifar. Dalam kes ini, dua pilihan adalah mungkin:

Persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Contohnya, apabila anda mendapat sesuatu seperti $0\cdot x=8$, i.e. di sebelah kiri ialah sifar, dan di sebelah kanan ialah nombor bukan sifar. Dalam video di bawah, kita akan melihat beberapa sebab mengapa keadaan ini mungkin.
Penyelesaiannya ialah semua nombor. Satu-satunya kes apabila ini mungkin adalah apabila persamaan telah dikurangkan kepada pembinaan $0\cdot x=0$. Adalah agak logik bahawa tidak kira apa yang $x$ kita gantikan, ia tetap akan menjadi "sifar bersamaan dengan sifar", i.e. kesamaan berangka yang betul.

Dan sekarang mari kita lihat bagaimana semuanya berfungsi pada contoh masalah sebenar.

Contoh penyelesaian persamaan

Hari ini kita berurusan dengan persamaan linear, dan hanya yang paling mudah. Secara umum, persamaan linear bermaksud sebarang kesamaan yang mengandungi tepat satu pembolehubah, dan ia hanya pergi ke tahap pertama.

Pembinaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang hampir sama:

Pertama sekali, anda perlu membuka kurungan, jika ada (seperti dalam contoh terakhir);
Kemudian bawa yang serupa
Akhir sekali, asingkan pembolehubah, i.e. semua yang berkaitan dengan pembolehubah - syarat di mana ia terkandung - dipindahkan ke satu pihak, dan semua yang kekal tanpanya dipindahkan ke sisi lain.

Kemudian, sebagai peraturan, anda perlu membawa sama pada setiap sisi kesamaan yang terhasil, dan selepas itu ia kekal hanya untuk membahagikan dengan pekali pada "x", dan kami akan mendapat jawapan akhir.

Secara teori, ini kelihatan bagus dan mudah, tetapi dalam praktiknya, pelajar sekolah menengah yang berpengalaman pun boleh membuat kesilapan yang menyinggung perasaan dalam persamaan linear yang agak mudah. Biasanya, kesilapan dibuat sama ada semasa membuka kurungan, atau semasa mengira "tambah" dan "tolak".

Di samping itu, ia berlaku bahawa persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau supaya penyelesaiannya ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sebarang nombor. Kami akan menganalisis kehalusan ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulakan, seperti yang anda sudah faham, dengan yang paling banyak tugasan mudah.

Skema untuk menyelesaikan persamaan linear mudah

Sebagai permulaan, izinkan saya menulis sekali lagi keseluruhan skema untuk menyelesaikan persamaan linear yang paling mudah:

Kembangkan kurungan, jika ada.
Pembolehubah terpencil, i.e. semua yang mengandungi "x" dipindahkan ke satu pihak, dan tanpa "x" - ke yang lain.
Kami membentangkan istilah yang serupa.
Kami membahagikan semuanya dengan pekali pada "x".

Sudah tentu, skim ini tidak selalu berfungsi, ia mempunyai kehalusan dan helah tertentu, dan sekarang kita akan mengenali mereka.

Menyelesaikan contoh sebenar persamaan linear mudah

Tugasan #1

Pada langkah pertama, kita dikehendaki membuka kurungan. Tetapi mereka tidak berada dalam contoh ini, jadi kami langkau peringkat ini. Dalam langkah kedua, kita perlu mengasingkan pembolehubah. Catatan: kita bercakap hanya mengenai istilah individu. Mari menulis:

Kami memberikan istilah yang sama di sebelah kiri dan di sebelah kanan, tetapi ini telah dilakukan di sini. Oleh itu, kami meneruskan ke langkah keempat: bahagikan dengan faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Di sini kami mendapat jawapannya.

Tugasan #2

Dalam tugasan ini, kita boleh melihat kurungan, jadi mari kita kembangkannya:

Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan, kita melihat kira-kira pembinaan yang sama, tetapi mari kita bertindak mengikut algoritma, i.e. pemboleh ubah sequester:

Berikut adalah beberapa seperti:

Pada akar apakah ini berfungsi? Jawapan: untuk mana-mana. Oleh itu, kita boleh menulis bahawa $x$ ialah sebarang nombor.

Tugasan #3

Persamaan linear ketiga sudah lebih menarik:

\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]

Terdapat beberapa kurungan di sini, tetapi mereka tidak didarab dengan apa-apa, mereka hanya berdiri di hadapan mereka pelbagai tanda. Mari pecahkan mereka:

Kami melakukan langkah kedua yang telah kami ketahui:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Mari kita kira:

Kami melakukan langkah terakhir - kami membahagikan semuanya dengan pekali pada "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Perkara yang Perlu Diingati Semasa Menyelesaikan Persamaan Linear

Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu mudah, maka saya ingin mengatakan perkara berikut:

Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linear mempunyai penyelesaian - kadangkala tiada punca;
Walaupun terdapat akar, sifar boleh masuk di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.

Sifar adalah nombor yang sama dengan yang lain, anda tidak sepatutnya mendiskriminasikannya atau menganggap bahawa jika anda mendapat sifar, maka anda melakukan sesuatu yang salah.

Ciri lain adalah berkaitan dengan pengembangan kurungan. Sila ambil perhatian: apabila terdapat "tolak" di hadapannya, kami mengeluarkannya, tetapi dalam kurungan kami menukar tanda itu kepada bertentangan. Dan kemudian kita boleh membukanya mengikut algoritma standard: kita akan mendapat apa yang kita lihat dalam pengiraan di atas.

Memahami ini fakta mudah akan menghalang anda daripada membuat kesilapan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah apabila melakukan perkara sebegitu dianggap remeh.

Menyelesaikan persamaan linear kompleks

Mari kita beralih kepada lebih banyak lagi persamaan kompleks. Kini pembinaan akan menjadi lebih rumit dan fungsi kuadratik akan muncul apabila melakukan pelbagai transformasi. Walau bagaimanapun, anda tidak perlu takut tentang ini, kerana jika, mengikut niat pengarang, kami menyelesaikan persamaan linear, maka dalam proses transformasi semua monomial yang mengandungi fungsi kuadratik semestinya akan dikurangkan.

Contoh #1

Jelas sekali, langkah pertama ialah membuka kurungan. Mari lakukan ini dengan berhati-hati:

Sekarang mari ambil privasi:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Berikut adalah beberapa seperti:

Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi dalam jawapan kami menulis seperti berikut:

\[\pelbagai \]

atau tiada akar.

Contoh #2

Kami melakukan langkah yang sama. Langkah pertama:

Mari kita gerakkan segala-galanya dengan pembolehubah ke kiri, dan tanpanya - ke kanan:

Berikut adalah beberapa seperti:

Jelas sekali, persamaan linear ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami menulisnya seperti ini:

\[\varnothing\],

atau tiada akar.

Nuansa penyelesaian

Kedua-dua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Pada contoh kedua-dua ungkapan ini, kami sekali lagi memastikan bahawa walaupun dalam persamaan linear yang paling mudah, semuanya boleh menjadi tidak begitu mudah: boleh ada sama ada satu, atau tiada, atau banyak tak terhingga. Dalam kes kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, dalam kedua-duanya tiada punca.

Tetapi saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta lain: cara bekerja dengan kurungan dan cara mengembangkannya jika terdapat tanda tolak di hadapannya. Pertimbangkan ungkapan ini:

Sebelum membuka, anda perlu mendarabkan semuanya dengan "x". Sila ambil perhatian: darab setiap istilah individu. Di dalamnya terdapat dua sebutan - masing-masing, dua sebutan dan didarab.

Dan hanya selepas transformasi yang kelihatan asas, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, kurungan boleh dibuka dari sudut pandangan bahawa terdapat tanda tolak selepasnya. Ya, ya: hanya sekarang, apabila transformasi dilakukan, kami ingat bahawa terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, yang bermaksud bahawa semua di bawah hanya menukar tanda. Pada masa yang sama, kurungan itu sendiri hilang dan, yang paling penting, "tolak" depan juga hilang.

Kami melakukan perkara yang sama dengan persamaan kedua:

Bukan kebetulan saya memberi perhatian kepada fakta-fakta kecil yang kelihatan tidak penting ini. Kerana menyelesaikan persamaan sentiasa urutan transformasi asas di mana ketidakupayaan untuk melaksanakan dengan jelas dan cekap langkah mudah membawa kepada fakta bahawa pelajar sekolah menengah datang kepada saya dan belajar menyelesaikan persamaan mudah itu semula.

Sudah tentu, harinya akan tiba apabila anda akan mengasah kemahiran ini kepada automatisme. Anda tidak lagi perlu melakukan begitu banyak transformasi setiap kali, anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Tetapi semasa anda baru belajar, anda perlu menulis setiap tindakan secara berasingan.

Menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks

Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak boleh dipanggil tugas yang paling mudah, tetapi maknanya tetap sama.

Tugasan #1

\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

Mari kita darabkan semua unsur dalam bahagian pertama:

Mari lakukan retret:

Berikut adalah beberapa seperti:

Mari lakukan langkah terakhir:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Inilah jawapan terakhir kami. Dan, walaupun fakta bahawa dalam proses penyelesaian kita mempunyai pekali dengan fungsi kuadratik, bagaimanapun, ia saling membatalkan, yang menjadikan persamaan itu betul-betul linear, bukan persegi.

Tugasan #2

\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]

Mari lakukan langkah pertama dengan berhati-hati: darab setiap elemen dalam kurungan pertama dengan setiap elemen dalam kedua. Secara keseluruhan, empat istilah baharu perlu diperolehi selepas transformasi:

Dan kini berhati-hati melakukan pendaraban dalam setiap sebutan:

Mari alihkan istilah dengan "x" ke kiri, dan tanpa - ke kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Berikut adalah istilah yang serupa:

Kami telah menerima jawapan yang pasti.

Nuansa penyelesaian

Kenyataan yang paling penting mengenai kedua-dua persamaan ini ialah ini: sebaik sahaja kita mula mendarab kurungan yang terdapat lebih daripada satu sebutan, maka ini dilakukan mengikut peraturan berikut: kita mengambil sebutan pertama daripada yang pertama dan mendarab dengan setiap elemen dari yang kedua; kemudian kita mengambil elemen kedua dari yang pertama dan sama darab dengan setiap elemen dari yang kedua. Hasilnya, kita mendapat empat penggal.

Pada jumlah algebra

Dalam contoh terakhir, saya ingin mengingatkan pelajar apa itu jumlah algebra. Dalam matematik klasik, dengan $1-7$ kita maksudkan pembinaan mudah: kita tolak tujuh daripada satu. Dalam algebra, kami maksudkan perkara berikut: kepada nombor "satu" kami menambah nombor lain, iaitu "tolak tujuh." Jumlah algebra ini berbeza daripada jumlah aritmetik biasa.

Sebaik sahaja semasa melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan pendaraban, anda mula melihat pembinaan yang serupa dengan yang diterangkan di atas, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah dalam algebra apabila bekerja dengan polinomial dan persamaan.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa lagi contoh yang akan menjadi lebih kompleks daripada yang baru kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita perlu mengembangkan sedikit algoritma standard kami.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Untuk menyelesaikan tugasan tersebut, satu langkah lagi perlu ditambahkan pada algoritma kami. Tetapi pertama-tama, saya akan mengingatkan algoritma kami:

Buka kurungan.
Pembolehubah berasingan.
Bawa serupa.
Bahagikan dengan faktor.

Malangnya, algoritma yang hebat ini, untuk semua kecekapannya, tidak sepenuhnya sesuai apabila kita mempunyai pecahan di hadapan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita mempunyai pecahan di sebelah kiri dan di sebelah kanan dalam kedua-dua persamaan.

Bagaimana untuk bekerja dalam kes ini? Ya, ia sangat mudah! Untuk melakukan ini, anda perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma, yang boleh dilakukan sebelum tindakan pertama dan selepasnya, iaitu, untuk menyingkirkan pecahan. Oleh itu, algoritma adalah seperti berikut:

Buang pecahan.
Buka kurungan.
Pembolehubah berasingan.
Bawa serupa.
Bahagikan dengan faktor.

Apakah yang dimaksudkan dengan "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa mungkin untuk melakukan ini selepas dan sebelum langkah standard pertama? Malah, dalam kes kami, semua pecahan adalah berangka dari segi penyebutnya, i.e. di mana-mana penyebutnya hanyalah nombor. Oleh itu, jika kita mendarab kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor ini, maka kita akan menyingkirkan pecahan.

Contoh #1

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Mari kita hapuskan pecahan dalam persamaan ini:

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot empat\]

Sila ambil perhatian: semuanya didarab dengan "empat" sekali, i.e. hanya kerana anda mempunyai dua kurungan tidak bermakna anda perlu mendarab setiap satunya dengan "empat". Mari menulis:

\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sekarang mari buka:

Kami melakukan pengasingan pembolehubah:

Kami melaksanakan pengurangan syarat yang sama:

\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Kami mendapat keputusan terakhir, kita pergi ke persamaan kedua.

Contoh #2

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]

Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Masalah selesai.

Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin beritahu hari ini.

Perkara utama

Penemuan utama adalah seperti berikut:

Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
Keupayaan untuk membuka kurungan.
Jangan risau jika anda ada di tempat lain fungsi kuadratik, kemungkinan besar, dalam proses transformasi selanjutnya, mereka akan dikurangkan.
Punca-punca dalam persamaan linear, walaupun yang paling mudah, terdiri daripada tiga jenis: satu punca tunggal, keseluruhan garis nombor ialah punca, tiada punca sama sekali.

Saya harap pelajaran ini akan membantu anda menguasai topik yang mudah tetapi sangat penting untuk pemahaman lanjut tentang semua matematik. Jika ada yang tidak jelas, pergi ke tapak, selesaikan contoh yang dibentangkan di sana. Nantikan, banyak lagi perkara menarik menanti anda!