Penyelesaian persamaan logaritma mudah. Menyelesaikan persamaan logaritma

pengenalan

Peningkatan beban mental dalam pelajaran matematik membuatkan kita berfikir bagaimana untuk mengekalkan minat pelajar terhadap bahan yang dipelajari, aktiviti mereka sepanjang pelajaran. Dalam hal ini, carian sedang dijalankan untuk kaedah pengajaran baru yang berkesan dan teknik metodologi sedemikian yang akan mengaktifkan pemikiran pelajar, akan merangsang mereka untuk memperoleh pengetahuan secara bebas.

Kemunculan minat dalam matematik di kalangan sebilangan besar pelajar bergantung pada tahap yang lebih besar pada metodologi pengajarannya, pada seberapa mahir kerja pendidikan itu akan dibina. Menepati masa menarik perhatian pelajar kepada perkara yang dipelajari oleh matematik sifat umum objek dan fenomena dunia sekeliling, tidak berurusan dengan objek, tetapi dengan konsep abstrak, seseorang dapat mencapai pemahaman bahawa matematik tidak memutuskan hubungan dengan realiti, tetapi, sebaliknya, memungkinkan untuk mempelajarinya dengan lebih mendalam, untuk membuat generalisasi. kesimpulan teori yang digunakan secara meluas dalam amalan.

Mengambil bahagian dalam perayaan idea pedagogi "Pelajaran Terbuka" 2004-2005 tahun sekolah, saya menyampaikan syarahan pelajaran mengenai topik "Fungsi logaritma" (diploma No. 204044). Saya fikir kaedah ini adalah yang paling berjaya dalam kes ini. Hasil daripada kajian tersebut, pelajar mempunyai rumusan terperinci dan rangka ringkas mengenai topik tersebut, yang akan memudahkan mereka membuat persediaan untuk pelajaran seterusnya. Khususnya, mengenai topik "Keputusan persamaan logaritma yang bergantung sepenuhnya kepada kajian fungsi logaritma dan sifat-sifatnya.

Apabila membentuk konsep asas matematik, adalah penting untuk mencipta idea di kalangan pelajar tentang kesesuaian memperkenalkan setiap satu daripada mereka dan kemungkinan aplikasinya. Untuk ini, adalah perlu apabila merumuskan definisi konsep, bekerja pada struktur logiknya, soalan tentang sejarah kemunculan konsep ini. Pendekatan ini akan membantu pelajar untuk menyedari bahawa konsep baru berfungsi sebagai generalisasi fakta realiti.

Sejarah kemunculan logaritma dibentangkan secara terperinci dalam kerja tahun lepas.

Dengan mengambil kira kepentingan kesinambungan dalam pengajaran matematik di institusi pendidikan khusus menengah dan di universiti dan keperluan untuk mematuhi keperluan seragam untuk pelajar, saya menganggap adalah wajar untuk memperkenalkan kaedah berikut untuk membiasakan pelajar dengan penyelesaian persamaan logaritma.

Persamaan yang mengandungi pembolehubah di bawah tanda logaritma (khususnya, dalam asas logaritma) dipanggil logaritma. Pertimbangkan persamaan logaritma bentuk:

Penyelesaian persamaan ini adalah berdasarkan teorem berikut.

Teorem 1. Persamaan adalah setara dengan sistem

(2)

Untuk menyelesaikan persamaan (1), sudah memadai untuk menyelesaikan persamaan

dan penyelesaiannya digantikan ke dalam sistem ketaksamaan

mentakrifkan domain takrifan persamaan (1).

Punca-punca persamaan (1) hanyalah penyelesaian persamaan (3) yang memenuhi sistem (4), i.e. tergolong dalam domain takrifan persamaan (1).

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, pengembangan domain definisi mungkin berlaku (pemerolehan akar luar) atau penyempitan (kehilangan akar). Oleh itu, penggantian punca persamaan (3) ke dalam sistem (4), i.e. pengesahan penyelesaian diperlukan.

Contoh 1: selesaikan persamaan

Penyelesaian:

Kedua-dua maksud X memenuhi syarat sistem.

Jawapan:

Pertimbangkan persamaan bentuk:

Penyelesaian mereka adalah berdasarkan teorem berikut

Teorem 2: Persamaan (5) adalah bersamaan dengan sistem

(6)

Punca-punca persamaan (5) hanyalah punca-punca persamaan itu

tergolong dalam domain definisi yang diberikan oleh syarat .

Persamaan logaritma dalam bentuk (5) boleh diselesaikan dengan pelbagai cara. Mari kita pertimbangkan yang utama.

1. POTENIFIKASI (menggunakan sifat logaritma).

Contoh 2: selesaikan persamaan

Penyelesaian: Berdasarkan Teorem 2 persamaan yang diberikan adalah bersamaan dengan sistem:

Mari kita selesaikan persamaan:

Hanya satu punca yang memenuhi semua syarat sistem. Jawapan:

2. MENGGUNAKAN DEFINISI LOGARITMA .

Contoh 3: Cari X, jika

Penyelesaian:

Maknanya X= 3 tergolong dalam domain persamaan. Jawab X = 3

3. PENGURANGAN KEPADA PERSAMAAN KUADRATIK.

Contoh 4: selesaikan persamaan

Kedua-dua maksud X adalah punca-punca persamaan.

Jawapan:

4. LOGARITH.

Contoh 5: selesaikan persamaan

Penyelesaian: Kami mengambil logaritma kedua-dua belah persamaan dalam asas 10 dan menggunakan sifat "logaritma darjah".

Kedua-dua akar tergolong dalam julat nilai yang dibenarkan bagi fungsi logaritma.

Jawapan: X = 0,1; X = 100

5. PENGURANGAN KEPADA SATU ASAS.

Contoh 6: selesaikan persamaan

Jom guna formula dan hantar dalam semua sebutan kepada logaritma dalam asas 2:

Kemudian persamaan ini akan mengambil bentuk:

Oleh kerana , maka ini adalah punca persamaan.

Jawapan: X = 16

Kita semua biasa dengan persamaan. sekolah rendah. Malah di sana kami belajar untuk menyelesaikan contoh paling mudah, dan mesti diakui bahawa mereka mendapati permohonan mereka walaupun dalam matematik yang lebih tinggi. Semuanya mudah dengan persamaan, termasuk persamaan segi empat sama. Jika anda menghadapi masalah dengan tema ini, kami amat mengesyorkan anda mencubanya semula.

Logaritma yang anda mungkin sudah lulus juga. Walau bagaimanapun, kami menganggap penting untuk memberitahu apa itu untuk mereka yang belum tahu. Logaritma bersamaan dengan kuasa yang asasnya mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor di sebelah kanan tanda logaritma. Mari kita berikan contoh, berdasarkan yang, semuanya akan menjadi jelas kepada anda.

Jika anda menaikkan 3 kepada kuasa keempat, anda mendapat 81. Sekarang gantikan nombor dengan analogi, dan anda akhirnya akan memahami bagaimana logaritma diselesaikan. Kini ia kekal hanya untuk menggabungkan dua konsep yang dipertimbangkan. Pada mulanya, keadaan kelihatan sangat sukar, tetapi apabila diperiksa lebih dekat, beratnya jatuh ke tempatnya. Kami pasti bahawa selepas artikel pendek ini anda tidak akan menghadapi masalah dalam bahagian peperiksaan ini.

Hari ini, terdapat banyak cara untuk menyelesaikan struktur sedemikian. Kami akan bercakap tentang yang paling mudah, paling berkesan dan paling sesuai dalam kes tugas USE. Menyelesaikan persamaan logaritma mesti bermula dari awal lagi. contoh mudah. Persamaan logaritma termudah terdiri daripada fungsi dan satu pembolehubah di dalamnya.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa x berada di dalam hujah. A dan b mestilah nombor. Dalam kes ini, anda hanya boleh menyatakan fungsi dari segi nombor dalam kuasa. Ia kelihatan seperti ini.

Sudah tentu, menyelesaikan persamaan logaritma dengan cara ini akan membawa anda kepada jawapan yang betul. Tetapi masalah sebahagian besar pelajar dalam kes ini ialah mereka tidak faham apa dan dari mana asalnya. Akibatnya, anda perlu bersabar dengan kesilapan dan tidak mendapat mata yang diingini. Kesilapan yang paling menyakitkan adalah jika anda mencampurkan huruf di tempat. Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, anda perlu menghafal formula sekolah standard ini, kerana sukar untuk memahaminya.

Untuk memudahkan, anda boleh menggunakan kaedah lain - bentuk kanonik. Idea ini sangat mudah. Beri perhatian kepada tugas semula. Ingat bahawa huruf a ialah nombor, bukan fungsi atau pembolehubah. A tidak sama dengan satu dan Di atas sifar. Tiada sekatan ke atas b. Sekarang daripada semua formula, kami ingat satu. B boleh dinyatakan seperti berikut.

Daripada ini, semua persamaan asal dengan logaritma boleh diwakili sebagai:

Sekarang kita boleh membuang logaritma. Hasilnya adalah pembinaan yang mudah, yang telah kita lihat sebelum ini.

Kemudahan formula ini terletak pada hakikat bahawa ia boleh digunakan paling banyak majlis yang berbeza dan bukan hanya untuk reka bentuk yang paling mudah.

Jangan risau tentang OOF!

Ramai ahli matematik berpengalaman akan menyedari bahawa kita tidak memberi perhatian kepada domain definisi. Peraturan ini berpunca daripada fakta bahawa F(x) semestinya lebih besar daripada 0. Tidak, kami tidak terlepas perkara ini. Sekarang kita bercakap tentang satu lagi kelebihan serius bentuk kanonik.

Tidak akan ada akar tambahan di sini. Jika pembolehubah hanya akan berlaku di satu tempat, maka skop tidak diperlukan. Ia berjalan secara automatik. Untuk mengesahkan penghakiman ini, pertimbangkan untuk menyelesaikan beberapa contoh mudah.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma dengan asas yang berbeza

Ini adalah persamaan logaritma yang kompleks, dan pendekatan kepada penyelesaiannya haruslah istimewa. Di sini jarang sekali mungkin untuk menghadkan diri kita kepada bentuk kanonik yang terkenal. Mari kita mulakan cerita terperinci. Kami mempunyai pembinaan berikut.

Perhatikan pecahan. Ia mengandungi logaritma. Jika anda melihat ini dalam tugas, ia patut mengingati satu helah yang menarik.

Apakah maksudnya? Setiap logaritma boleh dinyatakan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan asas mudah. Dan formula ini mempunyai kes istimewa, yang boleh digunakan dengan contoh ini (bermaksud jika c=b).

Inilah yang kita lihat dalam contoh kita. Dengan cara ini.

Malah, mereka membalikkan pecahan itu dan mendapat ungkapan yang lebih mudah. Ingat algoritma ini!

Sekarang kita memerlukan persamaan logaritma tidak mengandungi asas yang berbeza. Mari kita wakili asas sebagai pecahan.

Dalam matematik, terdapat peraturan, berdasarkan mana, anda boleh mengambil ijazah dari pangkalan. Ternyata pembinaan berikut.

Nampaknya sekarang apa yang menghalang kita daripada mengubah ekspresi kita menjadi bentuk kanonik dan asas untuk menyelesaikannya? Tidak begitu mudah. Tidak boleh ada pecahan sebelum logaritma. Mari kita betulkan keadaan ini! Satu pecahan dibenarkan dikeluarkan sebagai ijazah.

Masing-masing.

Jika asas adalah sama, kita boleh mengeluarkan logaritma dan menyamakan ungkapan itu sendiri. Jadi keadaan akan menjadi berkali-kali lebih mudah daripada sebelumnya. akan kekal persamaan asas, yang setiap daripada kita tahu bagaimana untuk menyelesaikannya pada gred ke-8 atau bahkan ke-7. Anda boleh membuat pengiraan sendiri.

Kami mendapat satu-satunya punca sebenar persamaan logaritma ini. Contoh penyelesaian persamaan logaritma agak mudah, bukan? Kini anda akan dapat menangani secara bebas walaupun yang paling banyak tugasan yang mencabar untuk penyediaan dan penyampaian peperiksaan.

Apakah keputusannya?

Dalam kes mana-mana persamaan logaritma, kita bermula dari satu sangat peraturan penting. Ia adalah perlu untuk bertindak sedemikian rupa untuk membawa ekspresi ke tahap maksimum penglihatan biasa. Dalam kes ini, anda akan mempunyai lebih banyak peluang bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah dengan betul, tetapi juga untuk melakukannya dengan cara yang paling mudah dan logik. Itulah cara ahli matematik sentiasa bekerja.

Kami amat mengesyorkan agar anda tidak mencari cara yang rumit, terutamanya dalam kes ini. Ingat beberapa peraturan mudah, yang akan membolehkan anda mengubah sebarang ungkapan. Contohnya, bawa dua atau tiga logaritma ke pangkalan yang sama, atau ambil kuasa dari pangkalan dan menanginya.

Perlu diingat juga bahawa dalam menyelesaikan persamaan logaritma anda perlu sentiasa berlatih. Secara beransur-ansur, anda akan beralih kepada struktur yang lebih kompleks, dan ini akan membawa anda untuk menyelesaikan semua pilihan untuk masalah pada peperiksaan dengan yakin. Bersedia untuk peperiksaan anda lebih awal, dan semoga berjaya!

Persamaan logaritma persamaan dipanggil di mana yang tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya berada di bawah tanda fungsi logaritma. Menyelesaikan persamaan logaritma mengandaikan bahawa anda sudah biasa dengan dan .
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma?

Persamaan yang paling mudah ialah log a x = b, di mana a dan b ialah beberapa nombor, x ialah tidak diketahui.
Menyelesaikan persamaan logaritma ialah x = a b disediakan: a > 0, a 1.

Perlu diingatkan bahawa jika x berada di luar logaritma, contohnya log 2 x \u003d x-2, maka persamaan sedemikian sudah dipanggil bercampur dan pendekatan khas diperlukan untuk menyelesaikannya.

Kes yang ideal ialah apabila anda menjumpai persamaan di mana hanya nombor berada di bawah tanda logaritma, contohnya x + 2 \u003d log 2 2. Di sini sudah cukup untuk mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Tetapi nasib seperti itu tidak selalu berlaku, jadi bersiaplah untuk perkara yang lebih sukar.

Tetapi pertama, mari kita mulakan dengan persamaan mudah. Untuk menyelesaikannya, adalah wajar untuk mempunyai yang paling banyak idea umum tentang logaritma.

Menyelesaikan persamaan logaritma mudah

Ini termasuk persamaan seperti log 2 x \u003d log 2 16. Ia boleh dilihat dengan mata kasar bahawa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapat x \u003d 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, ia biasanya membawa kepada penyelesaian biasa persamaan algebra atau kepada penyelesaian persamaan logaritma termudah log a x = b. Dalam persamaan yang paling mudah, ini berlaku dalam satu pergerakan, itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.

Kaedah menjatuhkan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Dalam matematik, operasi ini dipanggil potentiation. Terdapat peraturan atau sekatan tertentu untuk operasi jenis ini:

• logaritma mempunyai asas berangka yang sama
• logaritma dalam kedua-dua bahagian persamaan adalah bebas, i.e. tanpa sebarang pekali dan lain-lain jenis yang berbeza ungkapan.

Katakan dalam persamaan log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potensiasi tidak terpakai - pekali 2 di sebelah kanan tidak membenarkan. Dalam contoh berikut, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) salah satu sekatan juga tidak berpuas hati - terdapat dua logaritma di sebelah kiri. Itu akan menjadi satu - perkara yang sama sekali berbeza!

Secara umum, anda boleh mengalih keluar logaritma hanya jika persamaan mempunyai bentuk:

log a(...) = log a(...)

Sememangnya apa-apa ungkapan boleh berada dalam kurungan, ini sama sekali tidak menjejaskan operasi potensiasi. Dan selepas penghapusan logaritma, persamaan yang lebih mudah akan kekal - linear, kuadratik, eksponen, dll., yang anda sudah, saya harap, tahu bagaimana untuk menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Menggunakan potensiasi, kami mendapat:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan takrifan logaritma, iaitu logaritma ialah nombor yang mesti dinaikkan asasnya untuk mendapatkan ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma, i.e. (4x-1), kita dapat:

Sekali lagi, kami mendapat jawapan yang bagus. Di sini kita lakukan tanpa penghapusan logaritma, tetapi potensiasi juga boleh digunakan di sini, kerana logaritma boleh dibuat daripada sebarang nombor, dan tepat yang kita perlukan. Kaedah ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan terutamanya ketaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritma kita log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Mari kita wakili nombor 2 sebagai logaritma, contohnya, log 3 9, kerana 3 2 =9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan sekali lagi kita mendapat persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Oleh itu, kami melihat bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang paling mudah, yang sebenarnya sangat penting, kerana penyelesaian persamaan logaritma, walaupun yang paling dahsyat dan berpintal, pada akhirnya sentiasa datang untuk menyelesaikan persamaan yang paling mudah.

Dalam semua yang telah kami lakukan di atas, kami telah terlepas pandang perkara penting, yang kemudiannya akan mempunyai peranan yang menentukan. Hakikatnya ialah penyelesaian sebarang persamaan logaritma, walaupun yang paling asas, terdiri daripada dua bahagian yang setara. Yang pertama ialah penyelesaian persamaan itu sendiri, yang kedua bekerja dengan kawasan nilai yang dibenarkan(ODZ). Itu baru bahagian pertama yang kami kuasai. Dalam contoh di atas, ODD tidak menjejaskan jawapan dalam apa cara sekalipun, jadi kami tidak menganggapnya.

Mari kita ambil contoh lain:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Secara luaran, persamaan ini tidak berbeza dengan persamaan asas, yang sangat berjaya diselesaikan. Tetapi ia tidak begitu. Tidak, sudah tentu kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar ia akan salah, kerana terdapat serangan hendap kecil di dalamnya, di mana kedua-dua pelajar C dan pelajar cemerlang serta-merta jatuh ke dalamnya. Mari kita lihat dengan lebih dekat.

Katakan anda perlu mencari punca persamaan atau jumlah punca, jika terdapat beberapa:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kami menggunakan potentiation, di sini ia dibenarkan. Hasilnya, kita mendapat persamaan kuadratik biasa.

Kami mencari punca-punca persamaan:

Terdapat dua akar.

Jawapan: 3 dan -1

Sekali pandang, semuanya betul. Tetapi mari kita semak keputusan dan gantikannya ke dalam persamaan asal.

Mari kita mulakan dengan x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Semakan berjaya, kini baris gilir x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Ya, berhenti! Secara luaran, semuanya sempurna. Sekejap - tiada logaritma daripada nombor negatif! Dan ini bermakna bahawa punca x \u003d -1 tidak sesuai untuk menyelesaikan persamaan kami. Oleh itu, jawapan yang betul ialah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peranannya yang membawa maut, yang kami lupakan.

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa di bawah bidang nilai yang boleh diterima, nilai x tersebut diterima yang dibenarkan atau masuk akal untuk contoh asal.

Tanpa ODZ, sebarang penyelesaian, walaupun yang betul-betul betul, bagi mana-mana persamaan bertukar menjadi loteri - 50/50.

Bagaimana kita boleh terperangkap dalam keputusan itu, nampaknya, contoh asas? Dan di sini ia adalah pada saat potentiation. Logaritma telah hilang, dan dengan mereka semua batasan.

Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Enggan menghapuskan logaritma? Dan meninggalkan sepenuhnya penyelesaian persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti wira sebenar dari satu lagu terkenal, akan pergi bersiar-siar!

Sebelum meneruskan penyelesaian sebarang persamaan logaritma, kami akan menuliskan ODZ. Tetapi selepas itu, anda boleh melakukan apa sahaja yang anda kehendaki dengan persamaan kami. Setelah menerima jawapannya, kami hanya membuang akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami, dan menulis versi akhir.

Sekarang mari kita putuskan cara menulis ODZ. Untuk melakukan ini, kami memeriksa dengan teliti persamaan asal dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti membahagi dengan x, punca walaupun ijazah dan lain-lain. Sehingga kita telah menyelesaikan persamaan, kita tidak tahu x sama dengan apa, tetapi kita tahu pasti bahawa x tersebut, yang, apabila menggantikan, akan memberikan pembahagian dengan 0 atau pengekstrakan punca kuasa dua bagi nombor negatif, jelas dalam jawapan tidak sesuai. Oleh itu, x seperti itu tidak boleh diterima, manakala selebihnya akan membentuk ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama sekali lagi:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Seperti yang anda lihat, tiada pembahagian dengan 0, punca kuasa dua juga tidak, tetapi terdapat ungkapan dengan x dalam badan logaritma. Kami segera ingat bahawa ungkapan di dalam logaritma mestilah sentiasa > 0. Keadaan ini ditulis dalam bentuk ODZ:

Itu. kami belum menyelesaikan apa-apa lagi, tetapi kami telah mencatatkan syarat wajib untuk keseluruhan ungkapan sublogaritma. Pendakap kerinting bermakna syarat-syarat ini mesti dipenuhi pada masa yang sama.

ODZ ditulis, tetapi ia juga perlu untuk menyelesaikan sistem ketidaksamaan yang terhasil, yang akan kami lakukan. Kami mendapat jawapan x > v3. Sekarang kita tahu pasti yang mana x tidak sesuai dengan kita. Dan kemudian kita mula menyelesaikan persamaan logaritma itu sendiri, yang kita lakukan di atas.

Setelah menerima jawapan x 1 \u003d 3 dan x 2 \u003d -1, mudah untuk melihat bahawa hanya x1 \u003d 3 yang sesuai untuk kami, dan kami menuliskannya sebagai jawapan akhir.

Untuk masa depan, adalah sangat penting untuk mengingati perkara berikut: kita menyelesaikan sebarang persamaan logaritma dalam 2 peringkat. Yang pertama - kita menyelesaikan persamaan itu sendiri, yang kedua - kita menyelesaikan keadaan ODZ. Kedua-dua peringkat dilakukan secara bebas antara satu sama lain dan dibandingkan hanya semasa menulis jawapan, i.e. kami buang semua yang tidak perlu dan tulis jawapan yang betul.

Untuk menyatukan bahan, kami amat mengesyorkan menonton video:

Dalam video, contoh lain untuk menyelesaikan log. persamaan dan mengusahakan kaedah selang dalam amalan.

Untuk perkara ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma sehingga semuanya. Jika sesuatu mengikut keputusan log. persamaan masih tidak jelas atau tidak dapat difahami, tulis soalan anda dalam ulasan.

Nota: Akademi Pendidikan Sosial (KSUE) sedia menerima pelajar baharu.

Persamaan logaritma. Dari yang mudah kepada yang kompleks.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Apakah persamaan logaritma?

Ini adalah persamaan dengan logaritma. Saya terkejut, kan?) Kemudian saya akan menjelaskan. Ini ialah persamaan di mana tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya logaritma dalam. Dan hanya di sana! Ia penting.

Berikut adalah beberapa contoh persamaan logaritma:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nah, anda mendapat idea... )

Catatan! Ungkapan yang paling pelbagai dengan x terletak secara eksklusif dalam logaritma. Jika, tiba-tiba, x ditemui dalam persamaan di suatu tempat luar, sebagai contoh:

log 2 x = 3+x,

ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka buat masa ini. By the way, terdapat persamaan di mana di dalam logaritma nombor sahaja. Sebagai contoh:

Apa yang boleh saya katakan? Anda bertuah jika anda terjumpa ini! Logaritma dengan nombor ialah beberapa nombor. Dan itu sahaja. cukup tahu sifat logaritma, untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Pengetahuan peraturan khas, teknik yang disesuaikan khusus untuk penyelesaian persamaan logaritma, tidak diperlukan di sini.

Jadi, apakah persamaan logaritma- terfikir.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan logaritma?

Penyelesaian persamaan logaritma- sesuatu, secara amnya, tidak begitu mudah. Jadi bahagian yang kami ada adalah untuk empat ... Bekalan pengetahuan yang baik mengenai semua jenis topik berkaitan diperlukan. Di samping itu, terdapat ciri khas dalam persamaan ini. Dan ciri ini sangat penting sehingga ia boleh dipanggil dengan selamat masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Kami akan menangani masalah ini secara terperinci dalam pelajaran seterusnya.

Sekarang, jangan risau. Kami akan pergi ke jalan yang betul daripada mudah kepada kompleks. Pada contoh konkrit. Perkara utama adalah untuk menyelidiki perkara yang mudah dan jangan malas untuk mengikuti pautan, saya meletakkannya untuk alasan... Dan anda akan berjaya. Semestinya.

Mari kita mulakan dengan persamaan yang paling asas dan paling mudah. Untuk menyelesaikannya, adalah wajar untuk mempunyai idea tentang logaritma, tetapi tidak lebih. Cuma tiada idea logaritma ambil keputusan logaritma persamaan - entah bagaimana walaupun memalukan ... Sangat berani, saya akan katakan).

Persamaan logaritma termudah.

Ini adalah persamaan bentuk:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proses penyelesaian sebarang persamaan logaritma terdiri daripada peralihan daripada persamaan dengan logaritma kepada persamaan tanpanya. Dalam persamaan yang paling mudah, peralihan ini dijalankan dalam satu langkah. Itulah sebabnya ia mudah.)

Dan persamaan logaritma tersebut diselesaikan secara mengejutkan dengan mudah. Lihatlah sendiri.

Mari selesaikan contoh pertama:

log 3 x = log 3 9

Untuk menyelesaikan contoh ini, anda tidak perlu mengetahui hampir apa-apa, ya ... Intuisi tulen!) Apa yang kita lakukan terutamanya tidak suka contoh ini? Sesuatu... Saya tidak suka logaritma! dengan betul. Di sini kita menyingkirkan mereka. Kami melihat dengan teliti contoh itu, dan kami ada keinginan semula jadi... Benar-benar tidak dapat dinafikan! Ambil dan buang logaritma secara umum. Dan yang berkenan ialah boleh buat! Matematik membenarkan. Logaritma hilang jawapannya ialah:

Ia hebat, bukan? Ini boleh (dan harus) sentiasa dilakukan. Menghapuskan logaritma dengan cara ini adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan. Dalam matematik, operasi ini dipanggil potensiasi. Terdapat, sudah tentu, peraturan mereka sendiri untuk pembubaran itu, tetapi mereka sedikit. Ingat:

Anda boleh menghapuskan logaritma tanpa rasa takut jika ia mempunyai:

a) asas berangka yang sama

c) logaritma kiri-kanan adalah bersih (tanpa sebarang pekali) dan berada dalam pengasingan yang sangat baik.

Biar saya jelaskan perkara terakhir. Dalam persamaan, katakan

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

logaritma tidak boleh dialih keluar. Deuce di sebelah kanan tidak membenarkan. Pekali, anda tahu ... Dalam contoh

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

persamaan tidak boleh dipotensikan sama ada. Tiada logaritma tunggal di sebelah kiri. Terdapat dua daripada mereka.

Ringkasnya, anda boleh mengalih keluar logaritma jika persamaan kelihatan seperti ini dan hanya ini:

log a (.....) = log a (.....)

Dalam kurungan, di mana elipsis boleh berada apa-apa jenis ungkapan. Mudah, sangat kompleks, apa sahaja. Apa-apa sahajalah. Yang penting ialah selepas menghapuskan logaritma, kita ditinggalkan persamaan yang lebih mudah. Sudah tentu, diandaikan bahawa linear, persegi, pecahan, demonstrasi dan persamaan lain tanpa logaritma yang anda sudah tahu.)

Kini anda boleh menyelesaikan contoh kedua dengan mudah:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Sebenarnya, ia ada dalam fikiran. Kita kuatkan, kita dapat:

Nah, adakah ia sangat sukar?) Seperti yang anda lihat, logaritma sebahagian daripada penyelesaian persamaan ialah hanya dalam penghapusan logaritma... Dan kemudian datang penyelesaian persamaan yang tinggal tanpa mereka. Perniagaan pembaziran.

Kami menyelesaikan contoh ketiga:

log 7 (50x-1) = 2

Kami melihat bahawa logaritma berada di sebelah kiri:

Kami ingat bahawa logaritma ini ialah beberapa nombor yang asasnya (iaitu tujuh) mesti dinaikkan untuk mendapatkan ungkapan sublogaritma, i.e. (50x-1).

Tetapi nombor itu adalah dua! Mengikut persamaan. Itu dia:

Itu, pada dasarnya, adalah semua. Logaritma hilang persamaan tidak berbahaya kekal:

Kami telah menyelesaikan persamaan logaritma ini hanya berdasarkan makna logaritma. Adakah lebih mudah untuk menghapuskan logaritma?) Saya bersetuju. Dengan cara ini, jika anda membuat logaritma daripada dua, anda boleh menyelesaikan contoh ini melalui pembubaran. Anda boleh mengambil logaritma daripada sebarang nombor. Dan seperti yang kita perlukan. sangat teknik yang berguna dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan (terutamanya!) ketaksamaan.

Adakah anda tahu cara membuat logaritma daripada nombor !? Tidak mengapa. AT seksyen 555 teknik ini diterangkan secara terperinci. Anda boleh menguasai dan mengaplikasikannya sepenuhnya! Ia sangat mengurangkan bilangan ralat.

Persamaan keempat diselesaikan dengan cara yang sama (mengikut definisi):

Itu sahaja yang ada.

Mari kita ringkaskan pelajaran ini. Kami mempertimbangkan penyelesaian persamaan logaritma termudah menggunakan contoh. Ianya sangat penting. Dan bukan sahaja kerana persamaan tersebut adalah pada peperiksaan kawalan. Hakikatnya ialah persamaan yang paling jahat dan keliru semestinya dikurangkan kepada yang paling mudah!

Sebenarnya, persamaan yang paling mudah adalah bahagian akhir penyelesaian mana-mana persamaan. Dan bahagian penamat ini mesti difahami secara ironi! Dan seterusnya. Pastikan anda membaca halaman ini hingga akhir. Ada kejutan...

Mari buat keputusan sendiri. Kami mengisi tangan, kononnya ...)

Cari punca (atau jumlah punca, jika terdapat beberapa) persamaan:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Jawapan (sudah tentu berantakan): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Apa yang tidak berjaya? Ia berlaku. Jangan bersedih! AT seksyen 555 penyelesaian semua contoh ini dicat dengan jelas dan terperinci. Anda pasti akan mengetahuinya di sana. Dan juga berguna teknik praktikal tuan.

Semuanya berjaya!? Semua contoh "tinggal satu"?) Tahniah!

Sudah tiba masanya untuk mendedahkan kebenaran pahit kepada anda. Penyelesaian Berjaya Contoh-contoh ini sama sekali tidak menjamin kejayaan dalam menyelesaikan semua persamaan logaritma lain. Malah yang sederhana seperti ini. Malangnya.

Intinya ialah penyelesaian bagi mana-mana persamaan logaritma (walaupun yang paling asas!) terdiri daripada dua bahagian yang sama. Penyelesaian persamaan, dan bekerjasama dengan ODZ. Satu bahagian - penyelesaian persamaan itu sendiri - telah kita kuasai. Ia tidak begitu sukar betul tak?

Untuk pelajaran ini, saya secara khusus memilih contoh sedemikian di mana ODZ tidak menjejaskan jawapan dalam apa jua cara. Tetapi tidak semua orang baik seperti saya, bukan?...)

Oleh itu, adalah perlu untuk menguasai bahagian lain juga. ODZ. Itulah yang berlaku masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Dan bukan kerana ia sukar - bahagian ini lebih mudah daripada yang pertama. Tetapi kerana mereka lupa tentang ODZ. Atau mereka tidak tahu. Atau kedua-duanya). Dan mereka jatuh rata...

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan menangani masalah ini. Kemudian ia akan menjadi mungkin untuk membuat keputusan dengan yakin mana-mana persamaan logaritma mudah dan mendekati tugasan yang agak kukuh.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.