Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan penggantian 7. Kalkulator dalam talian

Moto pelajaran

"Aktiviti adalah satu-satunya cara untuk pengetahuan" (slaid nombor 1)
J. Bernard Shaw

Objektif pelajaran: Untuk mengajar pelajar menyelesaikan sistem persamaan dengan penggantian; mengarang algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan; membentuk pendekatan peribadi terhadap topik yang dikaji.

Pembentukan kecekapan dalam bidang mempelajari topik ini; kemahiran pemprosesan maklumat secara bebas; pembentukan literasi matematik, minat dalam subjek; pendidikan tanggungjawab untuk kerja yang dimulakan; rasa kolektivisme.

Semasa kelas

Org. momen (slaid nombor 2)

Kawan akan sentiasa membantu anda
Mereka bersama anda, anda tidak bersendirian.
Percaya pada diri sendiri -
Dan anda boleh melakukan segala-galanya
Teruskan dan menang!

Perbualan pengenalan. Kemas kini pengetahuan:

Ia akan menjadi sangat sukar bagi kita untuk menguasai pengetahuan baru tanpa keupayaan untuk menyelesaikan persamaan termudah dengan cepat dan betul dengan satu pembolehubah dan keupayaan untuk menyatakan satu pembolehubah melalui pembolehubah yang lain.

Kerja lisan:

1. Adakah sepasang nombor (3; 1) penyelesaian kepada persamaan: (slaid nombor 3)

a) 3x + y = 10;

b) x 2 - 2y \u003d 1;

c) x / y + 2 \u003d - 5y.

(slaid nombor 4)

2. Adakah penyelesaian sistem sepasang nombor:

(- 1; 1), (2; - 1), (6; 2,5)?

3. Apakah graf bagi persamaan linear dengan dua pembolehubah?

a) parabola

b) parabola padu

c) lurus

(slaid nombor 5)

4. Berikan contoh persamaan dengan pembolehubah x dan y yang setara dengan persamaan linear:

a) x - y \u003d 3;

b) 2x + y = o.

Motivasi: (slaid nombor 6)

Kawan-kawan, mari selesaikan sistem dengan anda:

a) Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem?

b) Bagaimanakah sistem boleh diselesaikan? (grafik)

c) Persamaan manakah yang perlu diplotkan? (3x - y = 5; 2x + y = 7)

d) Apakah graf persamaan:

3x - y \u003d 5? (lurus)

2x + y = 7? (lurus)

e) Untuk membina garis lurus, berapakah titik yang perlu diambil?

f) Apakah penyelesaian sistem tersebut? (koordinat titik persilangan graf). Apakah kesukaran kaedah ini?

g) Adakah anda fikir adalah mungkin untuk menyelesaikan sistem ini tanpa merancang, menggunakan keupayaan kami untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain? (Ya)

h) Bagaimana? (nyatakan pembolehubah x daripada yang pertama dan gantikan dalam persamaan kedua. Kemudian selesaikan persamaan untuk y dan kemudian cari x)

i) Apakah pendapat anda - apakah yang akan kita panggil kaedah ini? (penggantian)

j) Tulis tajuk pelajaran: "Kaedah Penggantian" (slaid nombor 7)

k) Apakah yang anda tahu tentang kaedah penggantian? Apa yang kamu mahu tahu? (ganti; pelajari dan pelajari cara menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penggantian)

Ini akan menjadi kami matlamat kepada pelajaran . (slaid nombor 8)

Pembelajaran bahan baharu:

Mari cuba mengarang algoritma menyelesaikan sistem dengan kaedah penggantian

Algoritma: (slaid nombor 9)

Ungkapkan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain daripada beberapa persamaan sistem. x = 3+y

Gantikan dalam persamaan lain sistem dan bukannya pembolehubah ini dengan ungkapan yang terhasil:

Selesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah:

Cari nilai yang sepadan bagi pembolehubah kedua:

Jawapan: (1; -2).

MIX - FREEZE - GROUP (slaid nombor 10)

1. Berapakah bilangan koordinat yang ada pada suatu titik pada satah? (dua)

2. Berapakah bilangan persamaan yang termasuk dalam sistem dengan dua pembolehubah? (dua)

3. Berapakah bilangan langkah yang dimasukkan dalam algoritma untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah penggantian? (empat)

4. Apakah bulan semasa? (keempat)

5. Berapa banyak penyelesaian yang ada pada sistem jika k 1 \u003d k 2 dan dalam 1 \u003d dalam 2? (sekumpulan)

Penyatuan bahan yang dipelajari: (nombor slaid 11)

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penggantian:

MEJA BULAT SIMALTINIUS (slaid №12)

(kerja bebas pada pilihan dalam bulatan)

Kerja rumah: (slaid nombor 13)

Perkara 42 No. 1134, 1136.

Refleksi (slaid nombor 14)

Seorang lelaki bijak sedang berjalan, dan tiga orang berjalan ke arahnya, yang membawa kereta dengan batu untuk pembinaan di bawah matahari yang terik. Orang bijak berhenti dan bertanya soalan kepada semua orang. Dia bertanya kepada yang pertama: "Apa yang kamu lakukan sepanjang hari?". Dan dia menjawab dengan senyuman bahawa dia telah membawa batu terkutuk sepanjang hari. Orang bijak bertanya kepada yang kedua: "Apa yang kamu lakukan sepanjang hari?" dan dia menjawab: "Saya melakukan pekerjaan saya dengan teliti." Dan yang ketiga tersenyum, wajahnya bersinar dengan kegembiraan dan keseronokan: "Dan saya mengambil bahagian dalam pembinaan kuil!"

kawan-kawan! Mari cuba menilai setiap kerja kita untuk pelajaran.

Siapa yang bekerja sebagai orang pertama?

Siapa yang bekerja dengan niat baik?

Siapa yang mengambil bahagian dalam pembinaan kuil?

(Slaid nombor 15)

Kadang-kadang masalah tidak selesai
Tetapi secara umum, ia tidak penting.
Matahari masih tersenyum
Jangan pernah berkecil hati.

Terima kasih atas pengajaran! (slaid nombor 16).

sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui - ini adalah dua atau lebih persamaan linear yang perlu mencari kesemuanya penyelesaian umum. Kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui. Borang am satu sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ditunjukkan dalam rajah di bawah:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Di sini x dan y ialah pembolehubah yang tidak diketahui, a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa nombor nyata. Penyelesaian kepada sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ialah sepasang nombor (x, y) supaya jika nombor ini digantikan ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem bertukar menjadi kesamaan sebenar. Pertimbangkan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, iaitu kaedah penggantian.

Algoritma untuk penyelesaian dengan kaedah penggantian

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penggantian:

1. Pilih satu persamaan (lebih baik pilih yang nombornya lebih kecil) dan nyatakan satu pembolehubah daripadanya melalui yang lain, contohnya, x hingga y. (anda juga boleh y melalui x).

2. Gantikan ungkapan yang terhasil dan bukannya pembolehubah yang sepadan dalam persamaan lain. Oleh itu, kita mendapat persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui.

3. Kami menyelesaikan persamaan linear yang terhasil dan mendapatkan penyelesaiannya.

4. Kami menggantikan penyelesaian yang diperolehi ke dalam ungkapan yang diperolehi dalam perenggan pertama, kami memperoleh penyelesaian kedua yang tidak diketahui daripada penyelesaian itu.

5. Sahkan penyelesaian yang terhasil.

Contoh

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita selesaikan contoh kecil.

Contoh 1 Selesaikan sistem persamaan:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Keputusan:

1. Daripada persamaan pertama sistem ini, kami menyatakan pembolehubah x. Kami mempunyai x= (12 -2*y);

2. Gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua, kita dapat 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Kami menyelesaikan persamaan linear yang terhasil: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Kami menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam ungkapan yang diperoleh dalam perenggan pertama. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Kami menyemak penyelesaian yang diperoleh, untuk ini kami menggantikan nombor yang terdapat dalam sistem asal.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Kami mendapat kesamaan yang betul, oleh itu, kami menemui penyelesaian dengan betul.

Pelajaran mengenai topik: "Kaedah penggantian untuk menyelesaikan sistem persamaan linear"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda. Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 7
Manual elektronik "Lima untuk tahun ini. Kursus ekspres dalam geometri. Gred 7-9"
1C: "Tugas pembinaan interaktif untuk gred 7-10"

Apakah sistem persamaan?

Sistem persamaan ialah dua persamaan linear yang mana terdapat sepasang nombor yang memenuhi kedua-dua persamaan. Sistem persamaan ditulis seperti berikut:
$\mulakan(kes)a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\tamat(kes)$

Untuk menyelesaikan sistem persamaan bermakna mencari nombor x dan y, di mana kedua-dua persamaan bertukar menjadi kesamaan sebenar, atau untuk menentukan bahawa tiada penyelesaian untuk sistem persamaan ini.

Anda boleh menetapkan pasangan nombor ini secara grafik jika anda membina graf untuk setiap persamaan sistem. Penyelesaian sistem akan menjadi titik persilangan graf ini.

Kaedah ini tidak begitu mudah, kerana memerlukan grafik.

Kaedah Penggantian

Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah kaedah penggantian.

Contoh.
Cari dua nombor yang perbezaannya ialah 12 dan hasil tambahnya ialah 36.

Keputusan.
Kami menandakan dengan x dan y nombor yang perlu dicari dan menyusun sistem persamaan linear.
$\mulakan(kes)x - y = 12\\x + y = 36\tamat(kes)$

Mari kita wakili persamaan pertama sebagai y = x - 12, dan wakilkan persamaan kedua sebagai y = 36 - x.

Kemudian sistem persamaan boleh ditulis sebagai $\begin(cases)y = x - 12\\y = 36 - x\end(cases)$
Mari kita gabungkan kedua-dua persamaan.
x - 12 = 36 - x
2x = 48
x=24
Kemudian, y = 12.

Jawapan: x = 24, y = 12.

Kami mendapat sepasang nombor, yang merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan, tanpa merancang.

Jom tulis algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua pembolehubah menggunakan kaedah penggantian:
1. Dalam persamaan pertama sistem, kita menyatakan y dalam sebutan x.
2. Dalam persamaan kedua, bukannya y, kita menggantikan ungkapan yang kita terima pada langkah pertama.
3. Kami menyelesaikan persamaan kedua dan mencari x.
4. Kami menggantikan nilai x yang ditemui ke dalam persamaan pertama sistem.
5. Tuliskan jawapan sebagai pasangan nombor (x, y).

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah penggantian

Ingat apa itu sistem persamaan.

Sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah ialah dua persamaan yang ditulis satu di bawah yang lain, disatukan oleh kurungan kerinting. Menyelesaikan sistem bermakna mencari sepasang nombor yang akan menjadi penyelesaian kepada kedua-dua persamaan pertama dan kedua pada masa yang sama.

Dalam pelajaran ini, kita akan membiasakan diri dengan cara menyelesaikan sistem seperti kaedah penggantian.

Mari kita lihat sistem persamaan:

Anda boleh menyelesaikan sistem ini secara grafik. Untuk melakukan ini, kita perlu membina graf bagi setiap persamaan dalam satu sistem koordinat, menukarnya kepada bentuk:

Kemudian cari koordinat titik persilangan graf, yang akan menjadi penyelesaian sistem. Tetapi cara grafik jauh dari sentiasa selesa, kerana berbeza dalam ketepatan yang rendah, malah tidak boleh diakses sama sekali. Mari kita lihat lebih dekat sistem kami. Sekarang ia kelihatan seperti:

Ia boleh dilihat bahawa bahagian kiri persamaan adalah sama, yang bermaksud bahawa bahagian kanan juga mesti sama. Kemudian kita mendapat persamaan:

Ini ialah persamaan satu pembolehubah biasa yang kita tahu bagaimana untuk menyelesaikannya. Mari kita pindahkan istilah yang tidak diketahui ke sebelah kiri, dan yang diketahui - ke kanan, tidak lupa untuk menukar tanda +, - apabila memindahkan. Kita mendapatkan:

Sekarang kita gantikan nilai x yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan sistem dan cari nilai y. Dalam sistem kami, lebih mudah untuk menggunakan persamaan kedua y \u003d 3 - x, selepas penggantian kami mendapat y \u003d 2. Sekarang mari analisa kerja yang dilakukan. Pertama, dalam persamaan pertama, kami menyatakan pembolehubah y dalam sebutan pembolehubah x. Kemudian ungkapan yang terhasil - 2x + 4 telah digantikan ke dalam persamaan kedua dan bukannya pembolehubah y. Kemudian kami menyelesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah x dan mendapati nilainya. Dan sebagai kesimpulan, kami menggunakan nilai x yang ditemui untuk mencari pembolehubah y yang lain. Di sini timbul persoalan: adakah perlu untuk menyatakan pembolehubah y daripada kedua-dua persamaan sekaligus? Sudah tentu tidak. Kita boleh menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain hanya dalam satu persamaan sistem dan menggunakannya dan bukannya pembolehubah yang sepadan dalam kedua. Selain itu, sebarang pembolehubah daripada sebarang persamaan boleh dinyatakan. Di sini pilihan bergantung semata-mata pada kemudahan akaun. Ahli matematik memanggil prosedur ini sebagai algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah menggunakan kaedah penggantian. Begini rupanya.

1. Ungkapkan salah satu pembolehubah dalam sebutan yang lain dalam salah satu persamaan sistem.

2. Gantikan ungkapan yang terhasil dan bukannya pembolehubah yang sepadan dalam persamaan sistem yang lain.

3. Selesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah.

4. Gantikan nilai pembolehubah yang ditemui ke dalam ungkapan yang diperolehi dalam perenggan pertama dan cari nilai pembolehubah lain.

5. Tuliskan jawapan sebagai pasangan nombor yang terdapat pada langkah ketiga dan keempat.

Mari kita lihat satu lagi contoh. Selesaikan sistem persamaan:

Di sini adalah lebih mudah untuk menyatakan pembolehubah y daripada persamaan pertama. Kami mendapat y \u003d 8 - 2x. Ungkapan yang terhasil mesti digantikan dengan y dalam persamaan kedua. Kita mendapatkan:

Kami menulis persamaan ini secara berasingan dan menyelesaikannya. Kita buka kurungan dahulu. Kami mendapat persamaan 3x - 16 + 4x \u003d 5. Mari kumpulkan istilah yang tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan yang diketahui di sebelah kanan dan berikan seperti istilah. Kami mendapat persamaan 7x \u003d 21, maka x \u003d 3.

Sekarang, menggunakan nilai x yang ditemui, anda boleh mencari:

Jawapan: sepasang nombor (3; 2).

Oleh itu, dalam pelajaran ini, kita telah belajar untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui secara analitikal, tepat, tanpa menggunakan kaedah grafik yang meragukan.

Senarai literatur yang digunakan:

Mordkovich A.G., Algebra gred 7 dalam 2 bahagian, Bahagian 1, Buku Teks untuk institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. - ed. ke-10, disemak - Moscow, "Mnemosyne", 2007.
Mordkovich A.G., Algebra gred 7 dalam 2 bahagian, Bahagian 2, Buku tugas untuk institusi pendidikan / [A.G. Mordkovich dan lain-lain]; disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, disemak - Moscow, Mnemosyne, 2007.
DIA. Tulcinskaya, Algebra Gred 7. Tinjauan Blitz: panduan untuk pelajar institusi pendidikan, edisi ke-4, disemak dan ditambah, Moscow, Mnemozina, 2008.
Alexandrova L.A., Algebra Gred 7. Bertema kerja pengesahan dalam bentuk baru untuk pelajar institusi pendidikan, disunting oleh A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011.
Alexander L.A. Algebra darjah 7. Kerja bebas untuk pelajar institusi pendidikan, disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-6, stereotaip, Moscow, "Mnemosyne", 2010.