Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kalkulator kaedah penambahan. Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah tambah

Dengan menggunakan kaedah penambahan, persamaan sistem ditambah sebutan demi sebutan, dan satu atau kedua-dua (beberapa) persamaan boleh didarab dengan sebarang nombor. Akibatnya, mereka datang kepada SLE yang setara, di mana dalam salah satu persamaan hanya terdapat satu pembolehubah.

Untuk menyelesaikan sistem kaedah penambahan sebutan demi sebutan (tolak) ikuti langkah berikut:

1. Pilih pembolehubah yang mana pekali yang sama akan dibuat.

2. Sekarang anda perlu menambah atau menolak persamaan dan mendapatkan persamaan dengan satu pembolehubah.

Penyelesaian sistem- ini ialah titik persilangan graf fungsi.

Mari lihat contoh.

Contoh 1.

Sistem yang diberikan:

Setelah menganalisis sistem ini, anda dapat melihat bahawa pekali pembolehubah adalah sama dalam magnitud dan berbeza dalam tanda (-1 dan 1). Dalam kes ini, persamaan boleh ditambah dengan mudah mengikut sebutan:

Kami melakukan tindakan yang dilingkari merah dalam fikiran kami.

Hasil penambahan istilah demi sebutan ialah hilangnya pembolehubah y. Ini adalah tepat maksud kaedah - untuk menyingkirkan salah satu pembolehubah.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Dalam bentuk sistem, penyelesaiannya kelihatan seperti ini:

Jawapan: x = -4 , y = 1.

Contoh 2.

Sistem yang diberikan:

Dalam contoh ini, anda boleh menggunakan kaedah "sekolah", tetapi ia mempunyai kelemahan yang agak besar - apabila anda menyatakan sebarang pembolehubah daripada sebarang persamaan, anda akan mendapat penyelesaian dalam pecahan biasa. Tetapi menyelesaikan pecahan mengambil banyak masa dan kemungkinan membuat kesilapan meningkat.

Oleh itu, adalah lebih baik untuk menggunakan penambahan (penolakan) sebutan demi sebutan bagi persamaan. Mari kita analisa pekali pembolehubah yang sepadan:

Anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagikan dengan 3 dan seterusnya 4 , dan adalah perlu bahawa nombor ini adalah minimum yang mungkin. ini gandaan sepunya terkecil. Jika sukar untuk anda mencari nombor yang sesuai, anda boleh mendarabkan pekali: .

Langkah seterusnya:

Kami mendarabkan persamaan 1 dengan ,

Kami mendarabkan persamaan ke-3 dengan ,

Selalunya, pelajar mendapati sukar untuk memilih cara untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Dalam artikel ini kita akan melihat salah satu cara untuk menyelesaikan sistem - kaedah penggantian.

Jika dijumpai penyelesaian umum dua persamaan, maka persamaan ini dikatakan membentuk satu sistem. Dalam sistem persamaan, setiap yang tidak diketahui mewakili nombor yang sama dalam semua persamaan. Untuk menunjukkan bahawa persamaan yang diberikan membentuk sistem, ia biasanya ditulis satu di bawah yang lain dan dicantumkan dengan pendakap kerinting, contohnya

Kami ambil perhatian bahawa untuk x = 15 dan y = 5, kedua-dua persamaan sistem adalah betul. Pasangan nombor ini adalah penyelesaian kepada sistem persamaan. Setiap pasangan nilai yang tidak diketahui yang pada masa yang sama memenuhi kedua-dua persamaan sistem dipanggil penyelesaian kepada sistem.

Sistem boleh mempunyai satu penyelesaian (seperti dalam contoh kami), banyak penyelesaian yang tidak terhingga, atau tiada penyelesaian.

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah penggantian? Jika pekali untuk beberapa yang tidak diketahui dalam kedua-dua persamaan adalah sama dalam nilai mutlak(jika mereka tidak sama, maka kita samakan), kemudian dengan menambah kedua-dua persamaan (atau menolak satu daripada yang lain), anda boleh mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Kemudian kita selesaikan persamaan ini. Kami menentukan satu yang tidak diketahui. Kami menggantikan nilai yang tidak diketahui yang terhasil ke dalam salah satu persamaan sistem (yang pertama atau yang kedua). Kami mencari satu lagi yang tidak diketahui. Mari kita lihat contoh aplikasi kaedah ini.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan

Di sini pekali untuk y nilai mutlak adalah sama antara satu sama lain, tetapi bertentangan dalam tanda. Mari cuba tambahkan persamaan istilah sistem dengan sebutan.

Kami menggantikan nilai x = 4 yang terhasil ke dalam beberapa persamaan sistem (contohnya, kepada yang pertama) dan cari nilai y:

2 *4 +y = 11, y = 11 – 8, y = 3.

Sistem kami mempunyai penyelesaian x = 4, y = 3. Atau jawapan boleh ditulis dalam kurungan sebagai koordinat titik, x di tempat pertama, y ​​di kedua.

Jawapan: (4; 3)

Contoh 2. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari kita samakan pekali untuk pembolehubah x, untuk melakukan ini kita darabkan persamaan pertama dengan 3, dan yang kedua dengan (-2), kita dapat

Berhati-hati semasa menambah persamaan

Kemudian y = - 2. Gantikan nombor (-2) dan bukannya y ke dalam persamaan pertama, dan kita dapat

4x + 3(-2) = - 4. Selesaikan persamaan ini 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½.

Jawapan: (1/2; - 2)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan

Darabkan persamaan pertama dengan (-2)

Menyelesaikan sistem

kita dapat 0 = - 13.

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, kerana 0 tidak sama dengan (-13).

Jawapan: tiada penyelesaian.

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan

Kami perhatikan bahawa semua pekali persamaan kedua boleh dibahagikan dengan 3,

mari kita bahagikan persamaan kedua dengan tiga dan kita mendapat sistem yang terdiri daripada dua persamaan yang sama.

Sistem ini mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, kerana persamaan pertama dan kedua adalah sama (kami hanya mendapat satu persamaan dengan dua pembolehubah). Bagaimanakah kita boleh membayangkan penyelesaian kepada sistem ini? Mari kita ungkapkan pembolehubah y daripada persamaan x + y = 5. Kita dapat y = 5 – x.

Kemudian jawab akan ditulis seperti ini: (x; 5-x), x – sebarang nombor.

Kami melihat penyelesaian sistem persamaan menggunakan kaedah penambahan. Jika anda mempunyai sebarang soalan atau sesuatu yang tidak jelas, daftarlah untuk pelajaran dan kami akan menyelesaikan semua masalah dengan anda.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

OGBOU "Pusat Pendidikan untuk Kanak-Kanak Berkeperluan Khas" keperluan pendidikan Smolensk"

Pusat pendidikan jarak jauh

Pelajaran algebra dalam darjah 7

Topik pelajaran: Kaedah penambahan algebra.

1. 1. Jenis pelajaran: Pelajaran pembentangan awal pengetahuan baharu.

Tujuan pelajaran: mengawal tahap pemerolehan pengetahuan dan kemahiran dalam menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penggantian; membangunkan kemahiran dan kebolehan untuk menyelesaikan sistem persamaan menggunakan penambahan.

Objektif pelajaran:

Subjek: belajar menyelesaikan sistem persamaan dengan dua kaedah pembolehubah tambahan.

Metasubjek: UUD Kognitif: menganalisis (serlahkan perkara utama), mentakrifkan konsep, membuat generalisasi, membuat kesimpulan. UUD kawal selia: tentukan matlamat, masalah dalam aktiviti pendidikan. UUD komunikatif: nyatakan pendapat anda, memberi alasan untuknya. UUD peribadi: f untuk membentuk motivasi positif untuk belajar, mewujudkan positif sikap emosi pelajar kepada pelajaran dan mata pelajaran.

Bentuk kerja: individu

Langkah-langkah pengajaran:

1) Peringkat organisasi.

menyusun hasil kerja pelajar mengenai topik tersebut melalui mewujudkan sikap terhadap integriti pemikiran dan pemahaman topik ini.

2. Menyoal pelajar tentang bahan yang diberikan untuk kerja rumah, mengemaskini pengetahuan.

Tujuan: untuk menguji pengetahuan pelajar yang diperoleh semasa pelaksanaan kerja rumah, kenal pasti ralat, buat kerja pada ralat. Mengkaji semula bahan daripada pelajaran lepas.

3. Mempelajari bahan baharu.

1). membangunkan keupayaan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah penambahan;

2). membangun dan meningkatkan pengetahuan sedia ada dalam situasi baharu;

3). memupuk kemahiran kawalan dan kawalan diri, membangunkan kemerdekaan.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Matlamat: memelihara penglihatan, menghilangkan keletihan mata semasa bekerja di dalam kelas.

5. Pengukuhan bahan yang dipelajari

Tujuan: untuk menguji pengetahuan, kemahiran dan kebolehan yang diperoleh dalam pelajaran

6. Ringkasan pelajaran, maklumat tentang kerja rumah, renungan.

Kemajuan pelajaran (bekerja dalam dokumen elektronik Google):

1. Hari ini saya ingin memulakan pelajaran dengan teka-teki falsafah Walter.

Apakah yang terpantas, tetapi juga yang paling perlahan, yang terbesar, tetapi juga yang paling kecil, yang terpanjang dan terpendek, yang paling mahal, tetapi juga dinilai murah oleh kami?

Masa

Mari kita ingat konsep asas mengenai topik:

Di hadapan kita adalah sistem dua persamaan.

Mari kita ingat bagaimana kita menyelesaikan sistem persamaan dalam pelajaran lepas.

Kaedah penggantian

Sekali lagi, perhatikan sistem yang diselesaikan dan beritahu saya mengapa kita tidak boleh menyelesaikan setiap persamaan sistem tanpa menggunakan kaedah penggantian?

Kerana ini adalah persamaan sistem dengan dua pembolehubah. Kita boleh menyelesaikan persamaan dengan hanya satu pembolehubah.

Hanya dengan mendapatkan persamaan dengan satu pembolehubah kami dapat menyelesaikan sistem persamaan.

3. Kami meneruskan untuk menyelesaikan sistem berikut:

Mari kita pilih persamaan di mana ia adalah mudah untuk menyatakan satu pembolehubah melalui yang lain.

Tidak ada persamaan seperti itu.

Itu. Dalam keadaan ini, kaedah yang dikaji sebelum ini tidak sesuai untuk kita. Apakah jalan keluar dari situasi ini?

Cari kaedah baru.

Mari cuba rumuskan tujuan pelajaran.

Belajar untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah baharu.

Apakah yang perlu kita lakukan untuk mempelajari cara menyelesaikan sistem menggunakan kaedah baharu?

mengetahui peraturan (algoritma) untuk menyelesaikan sistem persamaan, menyelesaikan tugas praktikal

Mari kita mula membangunkan kaedah baru.

Perhatikan kesimpulan yang kami buat selepas menyelesaikan sistem pertama. Ia adalah mungkin untuk menyelesaikan sistem hanya selepas kami memperoleh persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Lihat sistem persamaan dan fikirkan bagaimana untuk mendapatkan satu persamaan dengan satu pembolehubah daripada dua persamaan yang diberikan.

Tambahkan persamaan.

Apakah yang dimaksudkan dengan menambah persamaan?

Susun secara berasingan jumlah sisi kiri, hasil tambah sisi kanan persamaan dan samakan jumlah yang terhasil.

Jom cuba. Kami bekerjasama dengan saya.

13x+14x+17y-17y=43+11

Kami telah memperoleh persamaan linear dengan satu pembolehubah.

Adakah anda telah menyelesaikan sistem persamaan?

Penyelesaian kepada sistem ialah sepasang nombor.

Bagaimana untuk mencari y?

Gantikan nilai x yang ditemui ke dalam persamaan sistem.

Adakah penting persamaan mana kita menggantikan nilai x?

Ini bermakna nilai x yang ditemui boleh digantikan ke...

sebarang persamaan sistem.

Kami berkenalan dengan kaedah baru - kaedah penambahan algebra.

Semasa menyelesaikan sistem, kami membincangkan algoritma untuk menyelesaikan sistem menggunakan kaedah ini.

Kami telah menyemak algoritma. Sekarang mari kita gunakan untuk menyelesaikan masalah.

Keupayaan untuk menyelesaikan sistem persamaan boleh berguna dalam amalan.

Mari kita pertimbangkan masalahnya:

Ladang itu mempunyai ayam dan biri-biri. Berapakah bilangan kedua-duanya jika mereka bersama-sama mempunyai 19 kepala dan 46 kaki?

Mengetahui bahawa terdapat 19 ekor ayam dan biri-biri secara keseluruhan, mari kita buat persamaan pertama: x + y = 19

4x - bilangan kaki biri-biri

2у - bilangan kaki dalam ayam

Mengetahui bahawa hanya terdapat 46 kaki, mari kita buat persamaan kedua: 4x + 2y = 46

Mari kita buat sistem persamaan:

Mari kita selesaikan sistem persamaan menggunakan algoritma penyelesaian menggunakan kaedah tambah.

Masalah! Pekali di hadapan x dan y adalah tidak sama dan tidak bertentangan! Apa yang perlu dilakukan?

Mari lihat contoh lain!

Mari tambah satu lagi langkah pada algoritma kami dan letakkannya di tempat pertama: Jika pekali di hadapan pembolehubah tidak sama dan tidak bertentangan, maka kita perlu menyamakan modul untuk beberapa pembolehubah! Dan kemudian kita akan bertindak mengikut algoritma.

4. Pendidikan jasmani elektronik untuk mata: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Kami menyelesaikan masalah menggunakan kaedah penambahan algebra, penetapan bahan baru dan ketahui berapa banyak ayam dan biri-biri yang terdapat di ladang itu.

Tugas tambahan:

6.

Refleksi.

Saya memberikan gred untuk kerja saya di dalam kelas -...

6. Sumber Internet yang digunakan:

Perkhidmatan Google untuk pendidikan

Guru matematik Sokolova N.N.

Kaedah penambahan algebra

Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam pelbagai cara- kaedah grafik atau kaedah penggantian berubah.

Dalam pelajaran ini kita akan berkenalan dengan kaedah penyelesaian sistem lain yang mungkin anda sukai - ini adalah kaedah penambahan algebra.

Dari mana datangnya idea untuk meletakkan sesuatu dalam sistem? Apabila menyelesaikan sistem masalah utama ialah kehadiran dua pembolehubah, kerana kita tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah. Ini bermakna bahawa salah satu daripada mereka mesti dikecualikan dalam beberapa cara undang-undang. Dan seperti ini dengan cara undang-undang adalah peraturan matematik dan harta benda.

Salah satu sifat ini berbunyi seperti ini: jumlah nombor berlawanan sama dengan sifar. Ini bermakna jika salah satu pembolehubah mempunyai pekali bertentangan, maka jumlahnya akan sama dengan sifar dan kita akan dapat mengecualikan pembolehubah ini daripada persamaan. Adalah jelas bahawa kita tidak mempunyai hak untuk menambah hanya istilah dengan pembolehubah yang kita perlukan. Anda perlu menambah keseluruhan persamaan, i.e. dilipat secara berasingan istilah yang serupa di sebelah kiri, kemudian di sebelah kanan. Akibatnya, kita mendapat persamaan baru yang mengandungi hanya satu pembolehubah. Mari kita lihat apa yang telah dikatakan dengan contoh khusus.

Kita melihat bahawa dalam persamaan pertama terdapat pembolehubah y, dan pada yang kedua terdapat nombor berlawanan -y. Ini bermakna persamaan ini boleh diselesaikan dengan penambahan.

Salah satu persamaan dibiarkan begitu sahaja. Mana-mana yang paling anda suka.

Tetapi persamaan kedua akan diperolehi dengan menambah kedua-dua persamaan ini sebutan demi sebutan. Itu. Kami menambah 3x dengan 2x, kami menambah y dengan -y, kami menambah 8 dengan 7.

Kami memperoleh sistem persamaan

Persamaan kedua sistem ini ialah persamaan mudah dengan satu pembolehubah. Daripadanya kita dapati x = 3. Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan pertama, kita dapati y = -1.

Jawapan: (3; - 1).

Contoh reka bentuk:

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penambahan algebra

Tiada pembolehubah dengan pekali bertentangan dalam sistem ini. Tetapi kita tahu bahawa kedua-dua belah persamaan boleh didarab dengan nombor yang sama. Mari kita darabkan persamaan pertama sistem dengan 2.

Kemudian persamaan pertama akan mengambil bentuk:

Sekarang kita lihat bahawa pembolehubah x mempunyai pekali bertentangan. Ini bermakna bahawa kita akan melakukan perkara yang sama seperti dalam contoh pertama: kita akan meninggalkan salah satu persamaan tidak berubah. Sebagai contoh, 2y + 2x = 10. Dan kita mendapat yang kedua dengan penambahan.

Sekarang kita mempunyai sistem persamaan:

Kita dengan mudah mencari daripada persamaan kedua y = 1, dan kemudian daripada persamaan pertama x = 4.

Contoh reka bentuk:

Mari kita ringkaskan:

Kami belajar bagaimana untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui menggunakan kaedah penambahan algebra. Oleh itu, kita kini mengetahui tiga kaedah utama untuk menyelesaikan sistem sedemikian: grafik, kaedah penggantian berubah dan kaedah penambahan. Hampir semua sistem boleh diselesaikan menggunakan kaedah ini. Dalam lebih kes yang sukar Gabungan teknik ini digunakan.

Senarai kesusasteraan yang digunakan:

1. Mordkovich A.G., Algebra gred ke-7 dalam 2 bahagian, Bahagian 1, Buku Teks untuk institusi pendidikan/ A.G. Mordkovich. – ed. ke-10, disemak – Moscow, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra gred ke-7 dalam 2 bahagian, Bahagian 2, Buku masalah untuk institusi pendidikan / [A.G. Mordkovich dan lain-lain]; disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-10, disemak - Moscow, "Mnemosyne", 2007.
3. DIA. Tulcinskaya, Algebra gred ke-7. Tinjauan Blitz: manual untuk pelajar institusi pendidikan am, edisi ke-4, disemak dan dikembangkan, Moscow, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra gred 7. Bertema kerja ujian V bentuk baru untuk pelajar institusi pendidikan am, disunting oleh A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra darjah 7. Kerja bebas untuk pelajar institusi pendidikan am, disunting oleh A.G. Mordkovich - edisi ke-6, stereotaip, Moscow, "Mnemosyne", 2010.

Dengan video ini saya memulakan satu siri pelajaran khusus untuk sistem persamaan. Hari ini kita akan bercakap tentang menyelesaikan sistem persamaan linear kaedah penambahan- ini adalah salah satu yang paling banyak cara mudah, tetapi pada masa yang sama salah satu yang paling berkesan.

Kaedah penambahan terdiri daripada tiga langkah mudah:

1. Lihat sistem dan pilih pembolehubah yang mempunyai pekali yang sama (atau bertentangan) dalam setiap persamaan;
2. Laksanakan penolakan algebra(untuk nombor bertentangan - penambahan) persamaan antara satu sama lain, dan kemudian membawa istilah yang serupa;
3. Selesaikan persamaan baru yang diperoleh selepas langkah kedua.

Jika semuanya dilakukan dengan betul, maka pada output kita akan mendapat satu persamaan dengan satu pembolehubah- ia tidak akan sukar untuk menyelesaikannya. Kemudian yang tinggal hanyalah menggantikan akar yang ditemui ke dalam sistem asal dan dapatkan jawapan akhir.

Walau bagaimanapun, dalam amalan semuanya tidak begitu mudah. Terdapat beberapa sebab untuk ini:

• Menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah penambahan membayangkan bahawa semua garis mesti mengandungi pembolehubah dengan pekali yang sama/berlawanan. Apa yang perlu dilakukan jika keperluan ini tidak dipenuhi?
• Tidak selalu, selepas menambah/menolak persamaan dengan cara yang ditunjukkan, kita mendapat binaan yang cantik yang boleh diselesaikan dengan mudah. Adakah mungkin untuk memudahkan pengiraan dan mempercepatkan pengiraan?

Untuk mendapatkan jawapan kepada soalan-soalan ini, dan pada masa yang sama memahami beberapa kehalusan tambahan yang gagal oleh ramai pelajar, tonton pelajaran video saya:

Dengan pelajaran ini kita memulakan satu siri kuliah yang dikhaskan kepada sistem persamaan. Dan kita akan bermula dari yang paling mudah, iaitu yang mengandungi dua persamaan dan dua pembolehubah. Setiap daripada mereka akan menjadi linear.

Sistem ialah bahan gred 7, tetapi pelajaran ini juga berguna untuk pelajar sekolah menengah yang ingin menambah pengetahuan mereka tentang topik ini.

Secara umum, terdapat dua kaedah untuk menyelesaikan sistem tersebut:

1. Kaedah penambahan;
2. Kaedah untuk menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain.

Hari ini kita akan berurusan dengan kaedah pertama - kita akan menggunakan kaedah penolakan dan penambahan. Tetapi untuk melakukan ini, anda perlu memahami fakta berikut: sebaik sahaja anda mempunyai dua atau lebih persamaan, anda boleh mengambil mana-mana dua daripadanya dan menambahnya antara satu sama lain. Mereka ditambah ahli oleh ahli, i.e. "X's" ditambah kepada "X's" dan yang serupa diberikan, "Y's" dengan "Y's" adalah serupa lagi, dan apa yang di sebelah kanan tanda sama juga ditambah antara satu sama lain, dan yang serupa juga diberikan di sana. .

Keputusan komplot sedemikian akan menjadi persamaan baru, yang, jika ia mempunyai punca, ia pasti akan menjadi antara punca persamaan asal. Oleh itu, tugas kita ialah melakukan penolakan atau penambahan dengan cara yang sama ada $x$ atau $y$ hilang.

Bagaimana untuk mencapai ini dan alat yang akan digunakan untuk ini - kita akan membincangkan perkara ini sekarang.

Menyelesaikan masalah mudah menggunakan penambahan

Jadi, kita belajar menggunakan kaedah penambahan menggunakan contoh dua ungkapan mudah.

Tugasan No 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Ambil perhatian bahawa $y$ mempunyai pekali $-4$ dalam persamaan pertama, dan $+4$ dalam persamaan kedua. Mereka saling bertentangan, jadi adalah logik untuk mengandaikan bahawa jika kita menjumlahkannya, maka dalam jumlah yang terhasil "permainan" akan dimusnahkan bersama. Tambahkan dan dapatkan:

Mari kita selesaikan pembinaan paling mudah:

Hebat, kami menemui "x". Apa yang perlu kita lakukan dengannya sekarang? Kami mempunyai hak untuk menggantikannya ke dalam mana-mana persamaan. Mari kita gantikan yang pertama:

\[-4y=12\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]

Jawapan: $\left(2;-3 \right)$.

Masalah No 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Keadaan di sini sama sekali, hanya dengan "X". Mari kita tambah mereka:

Kami mempunyai persamaan linear yang paling mudah, mari kita selesaikan:

Sekarang mari cari $x$:

Jawapan: $\left(-3;3 \right)$.

Perkara penting

Jadi, kita baru sahaja menyelesaikan dua sistem persamaan linear mudah menggunakan kaedah penambahan. Perkara penting sekali lagi:

1. Sekiranya terdapat pekali bertentangan untuk salah satu pembolehubah, maka perlu menambah semua pembolehubah dalam persamaan. Dalam kes ini, salah seorang daripada mereka akan dimusnahkan.
2. Kami menggantikan pembolehubah yang ditemui ke dalam mana-mana persamaan sistem untuk mencari yang kedua.
3. Rekod tindak balas akhir boleh dibentangkan dengan cara yang berbeza. Contohnya, seperti ini - $x=...,y=...$, atau dalam bentuk koordinat titik - $\left(...;... \right)$. Pilihan kedua adalah lebih baik. Perkara utama yang perlu diingat ialah koordinat pertama ialah $x$, dan yang kedua ialah $y$.
4. Peraturan menulis jawapan dalam bentuk koordinat titik tidak selalu terpakai. Contohnya, ia tidak boleh digunakan apabila pembolehubah bukan $x$ dan $y$, tetapi, sebagai contoh, $a$ dan $b$.

Dalam masalah berikut kita akan mempertimbangkan teknik penolakan apabila pekali tidak bertentangan.

Menyelesaikan masalah mudah menggunakan kaedah tolak

Tugasan No 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Ambil perhatian bahawa tiada pekali bertentangan di sini, tetapi terdapat pekali yang sama. Oleh itu, kita tolak yang kedua daripada persamaan pertama:

Sekarang kita menggantikan nilai $x$ ke dalam mana-mana persamaan sistem. Jom pergi dulu:

Jawapan: $\left(2;5\right)$.

Masalah No 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Kami sekali lagi melihat pekali yang sama $5$ untuk $x$ dalam persamaan pertama dan kedua. Oleh itu, adalah logik untuk menganggap bahawa anda perlu menolak yang kedua daripada persamaan pertama:

Kami telah mengira satu pembolehubah. Sekarang mari kita cari yang kedua, sebagai contoh, dengan menggantikan nilai $y$ ke dalam pembinaan kedua:

Jawapan: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuansa penyelesaian

Jadi apa yang kita nampak? Pada asasnya, skim ini tidak berbeza daripada penyelesaian sistem sebelumnya. Satu-satunya perbezaan ialah kita tidak menambah persamaan, tetapi menolaknya. Kami sedang melakukan penolakan algebra.

Dalam erti kata lain, sebaik sahaja anda melihat sistem yang terdiri daripada dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui, perkara pertama yang anda perlu lihat ialah pekali. Jika ia sama di mana-mana, persamaan dikurangkan, dan jika ia bertentangan, kaedah penambahan digunakan. Ini sentiasa dilakukan supaya salah satu daripadanya hilang, dan dalam persamaan akhir, yang kekal selepas penolakan, hanya satu pembolehubah kekal.

Sudah tentu, bukan itu sahaja. Sekarang kita akan mempertimbangkan sistem di mana persamaan umumnya tidak konsisten. Itu. Tiada pembolehubah di dalamnya sama ada sama atau bertentangan. Dalam kes ini, untuk menyelesaikan sistem sedemikian, kami menggunakan dos tambahan, iaitu, mendarab setiap persamaan dengan pekali khas. Bagaimana untuk mencarinya dan bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara umum, kita akan membincangkannya sekarang.

Menyelesaikan masalah dengan mendarab dengan pekali

Contoh #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Kami melihat bahawa tidak untuk $x$ mahupun untuk $y$ pekali bukan sahaja saling bertentangan, tetapi juga sama sekali tidak berkorelasi dengan persamaan yang lain. Pekali ini tidak akan hilang dalam apa cara sekalipun, walaupun kita menambah atau menolak persamaan antara satu sama lain. Oleh itu, adalah perlu untuk menggunakan pendaraban. Mari cuba buang pembolehubah $y$. Untuk melakukan ini, kita darabkan persamaan pertama dengan pekali $y$ daripada persamaan kedua, dan persamaan kedua dengan pekali $y$ daripada persamaan pertama, tanpa menyentuh tanda. Kami membiak dan mendapat sistem baharu:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Mari kita lihat: pada $y$ pekali adalah bertentangan. Dalam keadaan sedemikian, perlu menggunakan kaedah penambahan. Mari tambah:

Sekarang kita perlu mencari $y$. Untuk melakukan ini, gantikan $x$ ke dalam ungkapan pertama:

\[-9y=18\kiri| :\kiri(-9 \kanan) \kanan.\]

Jawapan: $\left(4;-2 \right)$.

Contoh No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Sekali lagi, pekali untuk tiada pembolehubah adalah konsisten. Mari kita darab dengan pekali $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

kami sistem baru adalah bersamaan dengan yang sebelumnya, namun, pekali $y$ saling bertentangan, dan oleh itu mudah untuk menggunakan kaedah penambahan di sini:

Sekarang mari kita cari $y$ dengan menggantikan $x$ ke dalam persamaan pertama:

Jawapan: $\left(-2;1 \right)$.

Nuansa penyelesaian

Peraturan utama di sini ialah yang berikut: kita sentiasa darab hanya dengan nombor positif- ini akan menyelamatkan anda daripada kesilapan bodoh dan menyinggung perasaan yang berkaitan dengan perubahan tanda. Secara umum, skema penyelesaiannya agak mudah:

1. Kami melihat sistem dan menganalisis setiap persamaan.
2. Jika kita melihat bahawa pekali $y$ mahupun $x$ tidak konsisten, i.e. mereka tidak sama atau bertentangan, maka kita melakukan perkara berikut: kita memilih pembolehubah yang perlu kita buang, dan kemudian kita melihat pekali persamaan ini. Jika kita mendarabkan persamaan pertama dengan pekali dari yang kedua, dan yang kedua, sepadan, mendarabkan dengan pekali dari yang pertama, maka pada akhirnya kita akan mendapat sistem yang setara sepenuhnya dengan yang sebelumnya, dan pekali $ y$ akan konsisten. Semua tindakan atau transformasi kami hanya bertujuan untuk mendapatkan satu pembolehubah dalam satu persamaan.
3. Kami dapati satu pembolehubah.
4. Kami menggantikan pembolehubah yang ditemui ke dalam salah satu daripada dua persamaan sistem dan mencari yang kedua.
5. Kami menulis jawapan dalam bentuk koordinat titik jika kami mempunyai pembolehubah $x$ dan $y$.

Tetapi algoritma mudah sedemikian mempunyai kehalusannya sendiri, contohnya, pekali $x$ atau $y$ boleh menjadi pecahan dan nombor "hodoh" yang lain. Kami kini akan mempertimbangkan kes ini secara berasingan, kerana di dalamnya anda boleh bertindak agak berbeza daripada mengikut algoritma standard.

Menyelesaikan masalah dengan pecahan

Contoh #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Pertama, perhatikan bahawa persamaan kedua mengandungi pecahan. Tetapi ambil perhatian bahawa anda boleh membahagikan $4$ dengan $0.8$. Kami akan menerima $5$. Mari kita darabkan persamaan kedua dengan $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Kami menolak persamaan antara satu sama lain:

Kami menjumpai $n$, sekarang mari kita mengira $m$:

Jawapan: $n=-4;m=5$

Contoh No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ betul.\]

Di sini, seperti dalam sistem sebelumnya, ada kemungkinan pecahan, walau bagaimanapun, untuk tiada pembolehubah yang pekali muat antara satu sama lain beberapa kali integer. Oleh itu, kami menggunakan algoritma standard. Buang $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Kami menggunakan kaedah penolakan:

Mari cari $p$ dengan menggantikan $k$ ke dalam binaan kedua:

Jawapan: $p=-4;k=-2$.

Nuansa penyelesaian

Itu semua pengoptimuman. Dalam persamaan pertama, kami tidak mendarab dengan apa-apa pun, tetapi mendarabkan persamaan kedua dengan $5$. Akibatnya, kami menerima persamaan yang konsisten dan sama untuk pembolehubah pertama. Dalam sistem kedua kami mengikuti algoritma standard.

Tetapi bagaimana anda mencari nombor untuk mendarab persamaan? Lagipun, jika kita mendarab dengan pecahan, kita mendapat pecahan baru. Oleh itu, pecahan mesti didarab dengan nombor yang akan memberikan integer baharu, dan selepas itu pembolehubah mesti didarab dengan pekali, mengikut algoritma piawai.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menarik perhatian anda kepada format untuk merekodkan respons. Seperti yang telah saya katakan, kerana di sini kita tidak mempunyai $x$ dan $y$, tetapi nilai lain, kami menggunakan notasi bukan standard bagi bentuk:

Menyelesaikan sistem persamaan kompleks

Sebagai nota akhir untuk tutorial video hari ini, mari kita lihat beberapa perkara yang benar-benar sistem yang kompleks. Kerumitan mereka akan terdiri daripada fakta bahawa mereka akan mempunyai pembolehubah di kedua-dua kiri dan kanan. Oleh itu, untuk menyelesaikannya, kita perlu menggunakan prapemprosesan.

Sistem No 1

\[\kiri\( \mula(sejajar)& 3\kiri(2x-y \kanan)+5=-2\kiri(x+3y ​​​​\kanan)+4 \\& 6\kiri(y+1 \kanan )-1=5\kiri(2x-1 \kanan)+8 \\\end(align) \kanan.\]

Setiap persamaan membawa kerumitan tertentu. Oleh itu, mari kita layan setiap ungkapan sebagai pembinaan linear biasa.

Secara keseluruhan, kami mendapat sistem akhir, yang bersamaan dengan yang asal:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Mari kita lihat pekali $y$: $3$ sesuai dengan $6$ dua kali, jadi mari kita darabkan persamaan pertama dengan $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Pekali $y$ kini sama, jadi kita tolak yang kedua daripada persamaan pertama: $$

Sekarang mari cari $y$:

Jawapan: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistem No. 2

\[\kiri\( \mula(sejajar)& 4\kiri(a-3b \kanan)-2a=3\kiri(b+4 \kanan)-11 \\& -3\kiri(b-2a \kanan )-12=2\kiri(a-5 \kanan)+b \\\end(align) \kanan.\]

Mari kita ubah ungkapan pertama:

Mari kita berurusan dengan yang kedua:

\[-3\kiri(b-2a \kanan)-12=2\kiri(a-5 \kanan)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Secara keseluruhan, sistem awal kami akan mengambil bentuk berikut:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Melihat pekali $a$, kita melihat bahawa persamaan pertama perlu didarabkan dengan $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Kurangkan yang kedua daripada pembinaan pertama:

Sekarang mari cari $a$:

Jawapan: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Itu sahaja. Saya harap tutorial video ini akan membantu anda memahami topik yang sukar ini, iaitu menyelesaikan sistem persamaan linear mudah. Akan ada banyak lagi pelajaran mengenai topik ini: kita akan melihat lebih banyak lagi contoh yang kompleks, di mana akan terdapat lebih banyak pembolehubah, dan persamaan itu sendiri sudah pun menjadi tak linear. jumpa lagi!