Penyelesaian sistem dua ketaksamaan linear. Sistem ketaksamaan linear

Mari kita lihat contoh cara menyelesaikan sistem ketaksamaan linear.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Untuk menyelesaikan sistem, setiap ketaksamaan konstituennya diperlukan. Hanya keputusan dibuat untuk menulis bukan secara berasingan, tetapi bersama-sama, menggabungkannya dengan kurungan kerinting.

Dalam setiap ketaksamaan sistem, kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu pihak, yang diketahui ke yang lain dengan tanda yang bertentangan:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Selepas dipermudahkan, kedua-dua bahagian ketaksamaan mesti dibahagikan dengan nombor sebelum x. Kami membahagikan ketidaksamaan pertama dengan nombor positif, jadi tanda ketidaksamaan tidak berubah. Kami membahagikan ketaksamaan kedua dengan nombor negatif, jadi tanda ketaksamaan mesti diterbalikkan:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kami menandakan penyelesaian ketaksamaan pada garis nombor:

Sebagai tindak balas, kami menulis persilangan penyelesaian, iaitu bahagian di mana teduhan berada pada kedua-dua garisan.

Jawapan: x∈[-2;1).

Mari kita hapuskan pecahan dalam ketaksamaan pertama. Untuk melakukan ini, kami mendarab kedua-dua bahagian bahagian dengan sebutan dengan penyebut sepunya terkecil 2. Apabila didarab dengan nombor positif, tanda ketaksamaan tidak berubah.

Buka kurungan dalam ketaksamaan kedua. Hasil tambah dan perbezaan dua ungkapan adalah sama dengan perbezaan kuasa dua ungkapan ini. Di sebelah kanan ialah kuasa dua perbezaan antara kedua-dua ungkapan.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu pihak, yang diketahui ke yang lain dengan tanda yang bertentangan dan memudahkan:

Bahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor sebelum x. Dalam ketaksamaan pertama, kita bahagikan dengan nombor negatif, jadi tanda ketidaksamaan itu diterbalikkan. Pada yang kedua, kita bahagikan dengan nombor positif, tanda ketidaksamaan tidak berubah:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kedua-dua ketaksamaan ditandakan "kurang daripada" (tidak penting bahawa satu tanda adalah "kurang daripada", yang lain tidak ketat, "kurang daripada atau sama dengan"). Kami tidak boleh menandakan kedua-dua penyelesaian, tetapi gunakan peraturan "". Yang terkecil ialah 1, oleh itu, sistem berkurangan kepada ketaksamaan

Kami menandakan penyelesaiannya pada garis nombor:

Jawapan: x∈(-∞;1].

Kami membuka kurungan. Dalam ketaksamaan pertama - . Ia sama dengan jumlah kubus bagi ungkapan ini.

Dalam kedua - hasil tambah dan perbezaan dua ungkapan, yang sama dengan perbezaan segi empat sama. Oleh kerana terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, lebih baik membukanya dalam dua peringkat: pertama gunakan formula, dan kemudian buka kurungan, menukar tanda setiap istilah ke sebaliknya.

Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu pihak, yang diketahui ke yang lain dengan tanda yang bertentangan:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kedua-duanya lebih besar daripada tanda-tanda. Menggunakan peraturan "lebih daripada lebih", kami mengurangkan sistem ketaksamaan kepada satu ketaksamaan. Yang lebih besar daripada dua nombor ialah 5, jadi

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Kami menandakan penyelesaian ketaksamaan pada garis nombor dan menulis jawapannya:

Jawapan: x∈(5;∞).

Memandangkan sistem ketaksamaan linear berlaku dalam algebra bukan sahaja sebagai tugas bebas, tetapi juga semasa menyelesaikan pelbagai jenis persamaan, ketaksamaan, dsb., adalah penting untuk mempelajari topik ini tepat pada masanya.

Kali seterusnya kita akan mempertimbangkan contoh penyelesaian sistem ketaksamaan linear dalam kes khas apabila salah satu ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian atau sebarang nombor adalah penyelesaiannya.

Rubrik: |

lihat juga Menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear secara grafik, bentuk kanonik masalah pengaturcaraan linear

Sistem kekangan untuk masalah sedemikian terdiri daripada ketaksamaan dalam dua pembolehubah:
dan fungsi objektif mempunyai bentuk F = C 1 x + C 2 y, yang hendak dimaksimumkan.

Mari jawab soalan: apakah pasangan nombor ( x; y) adalah penyelesaian kepada sistem ketaksamaan, iaitu, adakah mereka memenuhi setiap ketaksamaan secara serentak? Dengan kata lain, apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem secara grafik?
Mula-mula anda perlu memahami apakah penyelesaian satu ketaksamaan linear dengan dua yang tidak diketahui.
Untuk menyelesaikan ketaksamaan linear dengan dua tidak diketahui bermakna untuk menentukan semua pasangan nilai yang tidak diketahui yang mana ketaksamaan itu dipenuhi.
Contohnya, ketidaksamaan 3 x – 5y≥ 42 memuaskan pasangan ( x , y) : (100, 2); (3, –10), dsb. Masalahnya ialah untuk mencari semua pasangan tersebut.
Pertimbangkan dua ketaksamaan: kapak + oleh≤ c, kapak + oleh≥ c. Lurus kapak + oleh = c membahagikan satah kepada dua setengah satah supaya koordinat titik salah satu daripadanya memenuhi ketaksamaan kapak + oleh >c, dan ketidaksamaan yang lain kapak + +oleh <c.
Sesungguhnya, ambil satu titik dengan koordinat x = x 0; kemudian satu titik terletak pada garis lurus dan mempunyai absis x 0 , mempunyai ordinat

Biarkan untuk kepastian a<0, b>0, c>0. Semua mata dengan abscissa x 0 di atas P(cth. titik M), mempunyai y M>y 0 , dan semua titik di bawah titik P, dengan absis x 0 , mempunyai yN<y 0 . Kerana ia x 0 ialah titik arbitrari, maka akan sentiasa ada titik pada satu sisi garisan yang mana kapak+ oleh > c, membentuk separuh satah, dan sebaliknya, mata yang kapak + oleh< c.

Gambar 1

Tanda ketaksamaan dalam separuh satah bergantung pada nombor a, b , c.
Ini membayangkan kaedah berikut untuk penyelesaian grafik sistem ketaksamaan linear dalam dua pembolehubah. Untuk menyelesaikan sistem, anda perlu:

1. Bagi setiap ketaksamaan, tuliskan persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan yang diberikan.
2. Bina garis yang merupakan graf bagi fungsi yang diberikan oleh persamaan.
3. Bagi setiap garis lurus, tentukan separuh satah, yang diberikan oleh ketaksamaan. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenangnya yang tidak terletak pada garis lurus, gantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan. jika ketaksamaan adalah benar, maka satah separuh yang mengandungi titik yang dipilih adalah penyelesaian kepada ketaksamaan asal. Jika ketaksamaan adalah palsu, maka separuh satah pada sisi lain garis ialah set penyelesaian kepada ketaksamaan ini.
4. Untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan, adalah perlu untuk mencari luas persilangan semua separuh satah yang merupakan penyelesaian kepada setiap ketaksamaan dalam sistem.

Kawasan ini mungkin menjadi kosong, maka sistem ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian, ia tidak konsisten. Jika tidak, sistem itu dikatakan konsisten.
Penyelesaian boleh menjadi nombor terhingga dan set tak terhingga. Kawasan itu boleh menjadi poligon tertutup atau ia boleh tidak terhad.

Mari kita lihat tiga contoh yang relevan.

Contoh 1. Selesaikan sistem secara grafik:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

• pertimbangkan persamaan x+y–1=0 dan –2x–2y+5=0 sepadan dengan ketaksamaan;
• mari kita bina garis lurus yang diberikan oleh persamaan ini.

Rajah 2

Mari kita takrifkan separuh satah yang diberikan oleh ketaksamaan. Ambil titik sewenang-wenangnya, biarkan (0; 0). Pertimbangkan x+ y– 1 0, kita gantikan titik (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. maka, dalam setengah satah di mana titik (0; 0) terletak, x + y – 1 ≤ 0, iaitu. satah separuh yang terletak di bawah garis lurus ialah penyelesaian kepada ketaksamaan pertama. Menggantikan titik ini (0; 0) kepada yang kedua, kita dapat: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. dalam setengah satah di mana titik (0; 0) terletak, -2 x – 2y+ 5≥ 0, dan kami ditanya di mana -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, oleh itu, dalam separuh satah lain - dalam satu di atas garis lurus.
Cari persilangan kedua-dua satah separuh ini. Garisan adalah selari, jadi satah tidak bersilang di mana-mana, yang bermaksud bahawa sistem ketaksamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, ia tidak konsisten.

Contoh 2. Cari penyelesaian secara grafik kepada sistem ketaksamaan:

Rajah 3
1. Tuliskan persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan dan bina garis lurus.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Setelah memilih titik (0; 0), kami menentukan tanda-tanda ketaksamaan dalam separuh satah:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, i.e. x + 2y– 2 ≤ 0 dalam separuh satah di bawah garis lurus;
0 – 0 – 1 ≤ 0, iaitu. y –x– 1 ≤ 0 dalam separuh satah di bawah garis lurus;
0 + 2 =2 ≥ 0, i.e. y+ 2 ≥ 0 dalam separuh satah di atas garisan.
3. Persilangan ketiga-tiga satah separuh ini akan menjadi kawasan yang berbentuk segi tiga. Tidak sukar untuk mencari bucu rantau sebagai titik persilangan garis yang sepadan


Dengan cara ini, TAPI(–3; –2), AT(0; 1), DARI(6; –2).

Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh, di mana domain yang terhasil bagi penyelesaian sistem tidak terhad.

Definisi 1 . set titik dalam ruang R n , yang koordinatnya memenuhi persamaan a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, dipanggil ( n - 1 )-satah berdimensi dalam n-ruang dimensi.

Teorem 1. Hyperplane membahagikan semua ruang kepada dua separuh ruang. Ruang separuh ialah set cembung.

Persilangan bagi bilangan separuh ruang terhingga ialah set cembung.

Teorem 2 . Menyelesaikan ketaksamaan linear dengan n tidak diketahui

a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b

ialah salah satu daripada separuh ruang di mana seluruh ruang dibahagikan dengan hyperplane

a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+a n x n= b.

Pertimbangkan sistem daripada m ketaksamaan linear dengan n tidak diketahui.

Penyelesaian setiap ketaksamaan sistem ialah separuh ruang tertentu. Penyelesaian sistem akan menjadi persilangan semua ruang separuh. Set ini akan tertutup dan cembung.

Menyelesaikan sistem ketaksamaan linear

dengan dua pembolehubah

Biar satu sistem diberikan m ketaksamaan linear dalam dua pembolehubah.

Penyelesaian setiap ketaksamaan akan menjadi salah satu daripada separuh satah di mana keseluruhan satah dibahagikan dengan garis yang sepadan. Penyelesaian sistem akan menjadi persilangan separuh satah ini. Masalah ini boleh diselesaikan secara grafik di dalam pesawat X 1 0 X 2 .

37. Perwakilan polihedron cembung

Definisi 1. tertutup cembung set terhad R n mempunyai nombor terhingga titik sudut, dipanggil cembung n-polihedron berdimensi.

Definisi 2 . Satu set cembung tertutup tanpa sempadan R n , yang mempunyai bilangan titik sudut terhingga, dipanggil kawasan polihedral cembung.

Definisi 3 . Banyak TAPIR n dipanggil bersempadan jika ada n-bola dimensi yang mengandungi set ini.

Definisi 4. Gabungan titik linear cembung ialah ungkapan di mana t i , .

Teorem (teorem perwakilan untuk polihedron cembung). Mana-mana titik polihedron cembung boleh diwakili sebagai gabungan linear cembung titik sudutnya.

38. Luas penyelesaian yang boleh diterima bagi sistem persamaan dan ketaksamaan.

Biar satu sistem diberikan m persamaan linear dan ketaksamaan dengan n tidak diketahui.

Definisi 1 . titik R n dipanggil penyelesaian yang mungkin bagi sistem jika koordinatnya memenuhi persamaan dan ketaksamaan sistem. Keseluruhan semua penyelesaian yang mungkin dipanggil domain penyelesaian yang mungkin (ROA) sistem.

Definisi 2. Penyelesaian yang mungkin yang koordinatnya bukan negatif dipanggil penyelesaian sistem yang boleh diterima. Set semua penyelesaian yang boleh diterima dipanggil kawasan penyelesaian yang boleh diterima (DDR) sistem.

Teorem 1 . ODE ialah subset tertutup, cembung, bersempadan (atau tidak terbatas). R n.

Teorem 2. Penyelesaian sistem yang boleh diterima adalah rujukan jika dan hanya jika titik ini adalah titik sudut ODS.

Teorem 3 (teorem mengenai perwakilan ODT). Jika ODE ialah set terikat, maka sebarang penyelesaian yang boleh diterima boleh diwakili sebagai gabungan linear cembung bagi titik sudut ODE (dalam bentuk gabungan linear cembung bagi penyelesaian sokongan sistem).

Teorem 4 (teorem tentang kewujudan penyelesaian sokongan sistem). Jika sistem mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian yang boleh diterima (ODR), maka antara penyelesaian yang boleh diterima terdapat sekurang-kurangnya satu penyelesaian rujukan.

Hanya terdapat "X" dan hanya paksi abscissa, kini "Ys" ditambah dan medan aktiviti mengembang ke seluruh satah koordinat. Selanjutnya dalam teks, frasa "ketaksamaan linear" difahami dalam erti kata dua dimensi, yang akan menjadi jelas dalam beberapa saat.

Sebagai tambahan kepada geometri analitik, bahan tersebut relevan untuk beberapa masalah analisis matematik, pemodelan ekonomi dan matematik, jadi saya mengesyorkan agar anda mempelajari kuliah ini dengan penuh kesungguhan.

Ketaksamaan linear

Terdapat dua jenis ketaksamaan linear:

1) Tegas ketidaksamaan: .

2) Tidak ketat ketidaksamaan: .

Apakah maksud geometri bagi ketaksamaan ini? Jika persamaan linear mentakrifkan garis lurus, maka ketaksamaan linear mentakrifkan separuh satah.

Untuk memahami maklumat di bawah, anda perlu mengetahui jenis garisan pada satah dan boleh membina garisan. Jika anda mengalami sebarang kesulitan dalam bahagian ini, baca bantuan Graf dan sifat fungsi– perenggan tentang fungsi linear.

Mari kita mulakan dengan ketaksamaan linear yang paling mudah. Mimpi biru mana-mana yang kalah adalah pesawat koordinat yang tidak ada apa-apa:

Seperti yang anda ketahui, paksi absis diberikan oleh persamaan - "y" sentiasa (untuk sebarang nilai "x") sama dengan sifar

Mari kita pertimbangkan ketidaksamaan. Bagaimana untuk memahaminya secara tidak formal? "Y" sentiasa (untuk sebarang nilai "x") positif. Adalah jelas bahawa ketidaksamaan ini menentukan satah separuh atas, kerana semua mata dengan "permainan" positif terletak di sana.

Sekiranya ketidaksamaan itu tidak ketat, ke atas separuh satah tambahan pula paksi ditambah.

Begitu juga: ketaksamaan dipenuhi oleh semua titik satah separuh bawah, ketaksamaan tidak ketat sepadan dengan satah separuh bawah + paksi .

Dengan paksi-y, cerita prosaik yang sama:

– ketaksamaan mentakrifkan separuh satah kanan;
– ketaksamaan mentakrifkan separuh satah kanan, termasuk paksi-y;
– ketidaksamaan mentakrifkan separuh satah kiri;
– ketaksamaan mentakrifkan separuh satah kiri, termasuk paksi-y.

Pada langkah kedua, kami mempertimbangkan ketaksamaan di mana salah satu pembolehubah hilang.

Tiada "y":

Atau tiada "x":

Ketidaksamaan ini boleh diatasi dengan dua cara. sila pertimbangkan kedua-dua pendekatan. Di sepanjang jalan, mari kita ingat dan satukan tindakan sekolah dengan ketidaksamaan yang telah dibincangkan dalam pelajaran Skop fungsi.

Contoh 1

Selesaikan ketaksamaan linear:

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan ketaksamaan linear?

Untuk menyelesaikan ketaksamaan linear bermakna mencari separuh satah, yang matanya memenuhi ketaksamaan yang diberikan (ditambah garis itu sendiri, jika ketaksamaan itu tidak ketat). Penyelesaian, biasanya, grafik.

Adalah lebih mudah untuk melaksanakan lukisan dengan segera, dan kemudian mengulas segala-galanya:

a) Selesaikan ketaksamaan

Kaedah satu

Kaedah ini sangat serupa dengan cerita dengan paksi koordinat, yang kami bincangkan di atas. Ideanya adalah untuk mengubah ketaksamaan - untuk meninggalkan satu pembolehubah di sebelah kiri tanpa sebarang pemalar, dalam kes ini, pembolehubah x.

peraturan: Dalam ketidaksamaan, istilah dipindahkan dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, manakala tanda ketidaksamaan itu sendiri tidak berubah(contohnya, jika terdapat tanda "kurang daripada", maka ia akan kekal "kurang").

Kami memindahkan "lima" ke sebelah kanan dengan perubahan tanda:

peraturan POSITIF tidak berubah.

Sekarang lukis garis lurus (garisan biru putus-putus). Garis lurus putus-putus kerana ketaksamaan tegas, dan mata kepunyaan baris ini pastinya tidak akan disertakan dalam penyelesaian.

Apakah maksud ketidaksamaan? "X" sentiasa (untuk sebarang nilai "y") kurang daripada . Jelas sekali, pernyataan ini dipenuhi oleh semua titik separuh satah kiri. Separuh satah ini, pada dasarnya, boleh dilorek, tetapi saya akan mengehadkan diri saya kepada anak panah biru kecil supaya tidak menjadikan lukisan itu menjadi palet artistik.

Kaedah kedua

Ini adalah cara universal. BACA DENGAN TELITI!

Pertama, lukis garis lurus. Untuk kejelasan, dengan cara ini, adalah dinasihatkan untuk mewakili persamaan dalam bentuk .

Sekarang pilih mana-mana titik pesawat, tidak tergolong dalam garis lurus. Dalam kebanyakan kes, titik yang paling lazat, sudah tentu. Gantikan koordinat titik ini ke dalam ketaksamaan:

Menerima ketidaksamaan yang salah(dalam kata mudah, ini tidak boleh), yang bermaksud bahawa perkara itu tidak memenuhi ketaksamaan .

Peraturan utama tugas kami:
tidak memuaskan ketidaksamaan, maka SEMUA titik separuh satah tertentu tidak memuaskan kepada ketidaksamaan ini.
– Jika mana-mana titik separuh satah (bukan kepunyaan garisan) memuaskan ketidaksamaan, maka SEMUA titik separuh satah tertentu memuaskan kepada ketidaksamaan ini.

Anda boleh menguji: mana-mana titik di sebelah kanan garisan tidak akan memenuhi ketaksamaan .

Apakah kesimpulan daripada eksperimen dengan titik itu? Tiada tempat untuk pergi, ketidaksamaan dipenuhi oleh semua mata yang lain - separuh satah kiri (anda juga boleh menyemak).

b) Selesaikan ketaksamaan

Kaedah satu

Mari kita ubah ketidaksamaan:

peraturan: Kedua-dua belah ketaksamaan boleh didarab (dibahagi) dengan NEGATIF nombor, manakala tanda ketaksamaan BERUBAH kepada sebaliknya (contohnya, jika terdapat tanda "lebih besar daripada atau sama dengan", maka ia akan menjadi "kurang daripada atau sama dengan").

Darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan:

Mari kita lukis garis lurus (warna merah), lebih-lebih lagi, lukis garis pepejal, kerana kita mempunyai ketidaksamaan tidak ketat, dan garis itu pastinya tergolong dalam penyelesaian.

Selepas menganalisis ketidaksamaan yang terhasil, kami membuat kesimpulan bahawa penyelesaiannya ialah satah separuh bawah (+ garis itu sendiri).

Satah separuh yang sesuai ditetas atau ditanda dengan anak panah.

Kaedah kedua

Mari kita lukis garis lurus. Mari kita pilih titik arbitrari satah (bukan milik garis lurus), sebagai contoh, dan gantikan koordinatnya ke dalam ketidaksamaan kita:

Menerima ketidaksamaan yang betul, maka titik itu memenuhi ketaksamaan , dan secara amnya, SEMUA titik separuh satah bawah memenuhi ketaksamaan ini.

Di sini, dengan titik percubaan, kami "memukul" separuh satah yang dikehendaki.

Penyelesaian kepada masalah ditunjukkan oleh garis lurus merah dan anak panah merah.

Secara peribadi, saya lebih suka penyelesaian pertama, kerana penyelesaian kedua lebih formal.

Contoh 2

Selesaikan ketaksamaan linear:

Ini adalah contoh buat sendiri. Cuba selesaikan masalah dalam dua cara (by the way, ini adalah cara yang baik untuk menyemak penyelesaian). Dalam jawapan pada akhir pelajaran hanya akan ada lukisan akhir.

Saya fikir selepas semua tindakan yang dilakukan dalam contoh, anda perlu berkahwin dengan mereka, tidak sukar untuk menyelesaikan ketidaksamaan yang paling mudah, seperti, dll.

Kami beralih kepada pertimbangan kes umum ketiga, apabila kedua-dua pembolehubah hadir dalam ketaksamaan:

Sebagai alternatif, istilah bebas "ce" mungkin sifar.

Contoh 3

Cari separuh satah sepadan dengan ketaksamaan berikut:

Penyelesaian: Ini menggunakan kaedah penggantian titik universal.

a) Mari kita bina persamaan garis lurus, manakala garis harus dilukis dengan garis putus-putus, kerana ketaksamaan adalah ketat dan garis lurus itu sendiri tidak akan dimasukkan ke dalam penyelesaian.

Kami memilih titik percubaan satah yang bukan milik garis yang diberikan, sebagai contoh, dan menggantikan koordinatnya ke dalam ketaksamaan kami:

Menerima ketidaksamaan yang salah, jadi titik dan SEMUA titik separuh satah ini tidak memenuhi ketaksamaan . Penyelesaian kepada ketidaksamaan akan menjadi satu lagi separuh satah, kami mengagumi kilat biru:

b) Mari kita selesaikan ketaksamaan. Mari kita lukis garis lurus dahulu. Ini mudah dilakukan, kami mempunyai perkadaran langsung kanonik. Garis dilukis padat, kerana ketidaksamaan tidak ketat.

Kami memilih titik sewenang-wenangnya satah yang tidak tergolong dalam garisan. Saya ingin menggunakan asal semula, tetapi, sayangnya, sekarang ia tidak sesuai. Oleh itu, anda perlu bekerja dengan teman wanita lain. Adalah lebih menguntungkan untuk mengambil mata dengan nilai koordinat kecil, sebagai contoh, . Gantikan koordinatnya ke dalam ketidaksamaan kami:

Menerima ketidaksamaan yang betul, jadi titik dan semua titik separuh satah yang diberikan memenuhi ketaksamaan . Satah separuh yang dikehendaki ditandakan dengan anak panah merah. Di samping itu, penyelesaiannya termasuk garis itu sendiri.

Contoh 4

Cari separuh satah sepadan dengan ketaksamaan:

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian lengkap, sampel kasar penamat dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita lihat masalah terbalik:

Contoh 5

a) Diberi garis lurus. takrifkan separuh satah di mana titik itu terletak, manakala garis itu sendiri mesti dimasukkan ke dalam penyelesaian.

b) Diberi garis lurus. takrifkan separuh satah di mana titik itu terletak. Garis itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian.

Penyelesaian: tidak perlu lukisan di sini dan penyelesaiannya adalah analitikal. Tiada yang sukar:

a) Susun polinomial tambahan dan hitung nilainya pada titik :
. Oleh itu, ketidaksamaan yang dikehendaki adalah dengan tanda "kurang daripada". Mengikut syarat, garisan dimasukkan dalam penyelesaian, jadi ketidaksamaan tidak akan ketat:

b) Susun polinomial dan hitung nilainya pada titik :
. Oleh itu, ketidaksamaan yang dikehendaki adalah dengan tanda "lebih besar daripada". Mengikut syarat, garisan tidak termasuk dalam penyelesaian, oleh itu, ketidaksamaan akan menjadi ketat: .

Jawab:

Contoh kreatif untuk belajar sendiri:

Contoh 6

Diberi titik dan garis. Di antara titik-titik yang disenaraikan, cari titik-titik yang, bersama-sama dengan asal, terletak pada sisi yang sama pada garisan yang diberikan.

Sedikit petunjuk: mula-mula anda perlu menulis ketaksamaan yang mentakrifkan separuh satah tempat asalnya terletak. Penyelesaian analitikal dan jawapan pada akhir pelajaran.

Sistem ketaksamaan linear

Sistem ketaksamaan linear ialah, seperti yang anda faham, sistem yang terdiri daripada beberapa ketaksamaan. Lol, baik, saya memberikan definisi =) Landak adalah landak, pisau adalah pisau. Tetapi sebenarnya - ternyata mudah dan berpatutan! Tidak, serius, saya tidak mahu memberikan beberapa contoh secara umum, jadi mari segera beralih kepada isu-isu mendesak:

Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan linear?

Selesaikan sistem ketaksamaan linear- ini bermaksud cari set titik dalam satah itu yang memuaskan kepada setiap ketidaksamaan sistem.

Sebagai contoh paling mudah, pertimbangkan sistem ketaksamaan yang menentukan suku koordinat sistem koordinat segi empat tepat ("lukisan dua-dua" adalah pada permulaan pelajaran):

Sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat pertama (kanan atas). Koordinat mana-mana titik suku pertama, contohnya, dan lain-lain. memuaskan kepada setiap ketidaksamaan sistem ini.

Begitu juga:
– sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat kedua (kiri atas);
– sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat ketiga (kiri bawah);
– sistem ketaksamaan mentakrifkan suku koordinat keempat (kanan bawah).

Sistem ketaksamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian, iaitu, menjadi tidak serasi. Sekali lagi, contoh paling mudah: . Agak jelas bahawa "x" tidak boleh lebih daripada tiga dan kurang daripada dua pada masa yang sama.

Penyelesaian kepada sistem ketaksamaan boleh menjadi garis lurus, contohnya: . Angsa, udang karang, tanpa pike, menarik kereta ke dua arah berbeza. Ya, perkara masih ada - penyelesaian kepada sistem ini adalah garis lurus.

Tetapi kes yang paling biasa, apabila penyelesaian sistem adalah beberapa kawasan kapal terbang. Bidang keputusan mungkin tidak terhad(contohnya, kuarters koordinat) atau terhad. Domain terhad penyelesaian dipanggil sistem penyelesaian poligon.

Contoh 7

Selesaikan sistem ketaksamaan linear

Dalam amalan, dalam kebanyakan kes, anda perlu berurusan dengan ketidaksamaan yang tidak ketat, jadi mereka akan menari sepanjang pelajaran.

Penyelesaian: hakikat bahawa terdapat terlalu banyak ketidaksamaan tidak sepatutnya menakutkan. Berapa banyak ketaksamaan yang boleh terdapat dalam sistem? Ya, seberapa banyak yang anda mahu. Perkara utama adalah mematuhi algoritma rasional untuk membina kawasan penyelesaian:

1) Pertama, kita berurusan dengan ketidaksamaan yang paling mudah. Ketaksamaan menentukan suku koordinat pertama, termasuk sempadan paksi koordinat. Sudah lebih mudah, kerana kawasan carian telah mengecil dengan ketara. Dalam lukisan, kami segera menandakan separuh satah yang sepadan dengan anak panah (anak panah merah dan biru)

2) Ketaksamaan kedua termudah - tidak ada "y" di sini. Pertama, kami membina garisan itu sendiri, dan, kedua, selepas mengubah ketaksamaan kepada bentuk , ia serta-merta menjadi jelas bahawa semua "x" adalah kurang daripada 6. Kami menandakan separuh satah yang sepadan dengan anak panah hijau. Nah, kawasan carian telah menjadi lebih kecil - segi empat tepat yang tidak terhad dari atas.

3) Pada langkah terakhir, kami menyelesaikan ketaksamaan "dengan peluru penuh": . Kami membincangkan algoritma penyelesaian secara terperinci dalam bahagian sebelumnya. Pendek kata: mula-mula kita membina garis lurus, kemudian dengan bantuan titik eksperimen kita dapati separuh satah yang kita perlukan.

Berdirilah, anak-anak, berdiri dalam bulatan:


Kawasan penyelesaian sistem adalah poligon, dalam lukisan itu dibulatkan dengan garis merah dan berlorek. Saya berlebihan sedikit =) Dalam buku nota, sudah cukup untuk sama ada menaungi kawasan penyelesaian, atau menggariskannya dengan lebih berani dengan pensil mudah.

Mana-mana titik poligon ini memenuhi SETIAP ketidaksamaan sistem (untuk kepentingan, anda boleh menyemak).

Jawab: penyelesaian sistem ialah poligon.

Apabila membuat salinan bersih, adalah baik untuk menerangkan secara terperinci pada titik yang anda bina garis lurus (lihat pelajaran Graf dan sifat fungsi), dan bagaimana separuh satah ditentukan (lihat perenggan pertama pelajaran ini). Walau bagaimanapun, dalam amalan, dalam kebanyakan kes, anda akan dikreditkan hanya dengan lukisan yang betul. Pengiraan itu sendiri boleh dilakukan pada draf atau secara lisan.

Sebagai tambahan kepada poligon penyelesaian sistem, dalam amalan, walaupun kurang kerap, terdapat kawasan terbuka. Cuba huraikan sendiri contoh berikut. Walaupun, demi ketepatan, tidak ada penyeksaan di sini - algoritma pembinaan adalah sama, cuma kawasan itu akan menjadi tidak terhad.

Contoh 8

Selesaikan sistem

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran. Anda kemungkinan besar akan mempunyai sebutan huruf lain untuk bucu kawasan yang terhasil. Ini tidak penting, perkara utama ialah mencari bucu dengan betul dan membina kawasan dengan betul.

Ia bukan sesuatu yang luar biasa apabila dalam tugas ia diperlukan bukan sahaja untuk membina domain penyelesaian sistem, tetapi juga untuk mencari koordinat bucu domain. Dalam dua contoh sebelumnya, koordinat titik ini jelas, tetapi dalam praktiknya semuanya jauh dari ais:

Contoh 9

Selesaikan sistem dan cari koordinat bucu bagi kawasan yang terhasil

Penyelesaian: kami akan menggambarkan kawasan penyelesaian sistem ini dalam lukisan. Ketaksamaan menetapkan separuh satah kiri dengan paksi-y, dan tiada lagi hadiah percuma di sini. Selepas pengiraan pada proses bersih / draf atau pemikiran mendalam, kami mendapat kawasan keputusan berikut: