Menyelesaikan persamaan dengan lelaran mudah excel. Penapisan Akar Persamaan

Contoh 3.1 . Cari penyelesaian kepada sistem linear persamaan algebra(3.1) dengan kaedah Jacobi.

Kaedah Berulang boleh digunakan untuk sistem yang diberikan, kerana syarat itu "kedominasian pekali pepenjuru", yang memastikan penumpuan kaedah ini.

Skema reka bentuk kaedah Jacobi ditunjukkan dalam Rajah (3.1).

Bawa sistem (3.1). kepada paparan biasa:

, (3.2)

atau dalam bentuk matriks

, (3.3)

Rajah.3.1.

Untuk menentukan bilangan lelaran yang diperlukan untuk mencapai ketepatan yang diberikan e, dan penyelesaian anggaran sistem berguna dalam lajur H pasang Format Bersyarat. Hasil daripada pemformatan tersebut boleh dilihat dalam Rajah 3.1. Sel lajur H, yang nilainya memenuhi syarat (3.4) dilorekkan.

(3.4)

Menganalisis keputusan, kami mengambil lelaran keempat sebagai penyelesaian anggaran sistem asal dengan ketepatan yang diberikan e=0.1,

mereka. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Menukar nilai e dalam sel H5 adalah mungkin untuk mendapatkan penyelesaian anggaran baharu bagi sistem asal dengan ketepatan baharu.

Menganalisis penumpuan proses lelaran dengan memplot perubahan dalam setiap komponen penyelesaian SLAE bergantung pada nombor lelaran.

Untuk melakukan ini, pilih blok sel A10:D20 dan menggunakan Wizard Carta, bina graf yang mencerminkan penumpuan proses lelaran, Rajah.3.2.

Sistem persamaan algebra linear diselesaikan dengan cara yang sama dengan kaedah Seidel.

Kerja makmal №4

Topik. Kaedah berangka untuk menyelesaikan biasa linear persamaan pembezaan dengan syarat sempadan. Kaedah perbezaan terhingga

Senaman. Selesaikan masalah nilai sempadan dengan kaedah perbezaan terhingga dengan membina dua penghampiran (dua lelaran) dengan langkah h dan langkah h/2.

Menganalisis keputusan. Pilihan tugas diberikan dalam Lampiran 4.

Arahan kerja

1. Membina secara manual anggaran perbezaan terhingga masalah nilai sempadan (SLAE perbezaan terhingga) dengan langkah h , pilihan yang diberikan.

2. Menggunakan kaedah perbezaan terhingga, bentuk dalam cemerlang sistem persamaan beza terhingga algebra linear untuk langkah itu h pecahan segmen . Catatkan SLAE ini pada lembaran kerja buku. cemerlang. Skim reka bentuk ditunjukkan dalam Rajah 4.1.

3. Selesaikan SLAE yang terhasil dengan kaedah sapuan.

4. Semak ketepatan penyelesaian SLAE menggunakan alat tambah Excel Cari penyelesaian.

5. Kurangkan langkah grid sebanyak 2 kali dan selesaikan masalah itu semula. Bentangkan hasilnya secara grafik.

6. Bandingkan keputusan anda. Buat kesimpulan tentang keperluan untuk meneruskan atau menamatkan akaun.

Penyelesaian masalah nilai sempadan menggunakan hamparan Microsoft Excel.

Contoh 4.1. Menggunakan kaedah perbezaan terhingga untuk mencari penyelesaian kepada masalah nilai sempadan , y(1)=1, y’(2)=0.5 pada segmen xО dengan langkah h=0.2 dan dengan langkah h=0.1. Bandingkan keputusan dan buat kesimpulan tentang keperluan untuk meneruskan atau menamatkan akaun.

Skim pengiraan untuk langkah h=0.2 ditunjukkan dalam Rajah.4.1.

Penyelesaian yang terhasil (fungsi grid) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, X (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2) dalam lajur L dan B boleh diambil sebagai lelaran pertama (anggaran pertama) tugas asal.

Untuk mencari lelaran kedua jadikan grid dua kali lebih tebal (n=10, langkah h=0.1) dan ulangi algoritma di atas.

Ini boleh dilakukan pada helaian yang sama atau pada helaian buku yang lain. cemerlang. Penyelesaian (penghampiran kedua) ditunjukkan dalam Rajah 4.2.

Bandingkan penyelesaian anggaran yang diperolehi. Untuk kejelasan, anda boleh membina graf bagi kedua-dua anggaran ini (dua fungsi grid), Rajah.4.3.

Prosedur untuk membina graf penyelesaian anggaran kepada masalah nilai sempadan

1. Bina graf untuk menyelesaikan masalah bagi grid perbezaan dengan langkah h=0.2 (n=5).

2. Aktifkan carta yang telah dibina dan pilih arahan menu Carta\Tambah Data

3. Dalam tingkap Data baharu masukkan data x i , y i untuk grid perbezaan dengan langkah h/2 (n=10).

4. Dalam tingkap Sisipan khas tandakan kotak dalam medan:

Ø baris baharu,

Seperti yang dapat dilihat daripada data yang dibentangkan, dua penyelesaian anggaran masalah nilai sempadan (dua fungsi grid) berbeza antara satu sama lain tidak lebih daripada 5%. Oleh itu, kami mengambil lelaran kedua sebagai penyelesaian anggaran masalah asal, i.e.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Makmal #5

Anggaran kaedah berangka

PENYELESAIAN PERSAMAAN BUKAN LINEAR dengan satu yang tidak diketahui.

Persamaan dengan satu yang tidak diketahui boleh ditulis dalam bentuk kanonik

Penyelesaian persamaan ialah mencari punca-punca, i.e. nilai x yang menjadikan persamaan menjadi identiti. Bergantung pada fungsi mana yang termasuk dalam persamaan, dua kelas besar persamaan dibahagikan - algebra dan transendental. Sesuatu fungsi dipanggil algebra jika, untuk mendapatkan nilai fungsi daripada nilai yang diberi x perlu melakukan operasi aritmetik dan eksponen. Fungsi transendental termasuk eksponen, logaritma, trigonometri langsung dan songsang, dsb.

Anda boleh mencari nilai sebenar akar hanya dalam kes luar biasa. Sebagai peraturan, kaedah pengiraan anggaran akar dengan darjah ketepatan tertentu E digunakan. Ini bermakna jika ditentukan bahawa akar yang dikehendaki terletak di dalam selang , di mana a ialah sempadan kiri, dan b ialah sempadan kanan bagi selang, dan panjang selang (b-a)<= E, то за приближенное значение корня можно принять любое число, находящееся внутри этого интервала.

Proses mencari nilai anggaran akar dibahagikan kepada dua peringkat: 1) pemisahan akar dan 2) penghalusan akar ke tahap ketepatan tertentu. Mari kita pertimbangkan peringkat ini dengan lebih terperinci.

1.1 Pengasingan akar.

Mana-mana punca persamaan dianggap dipisahkan pada segmen jika persamaan yang dikaji tidak mempunyai punca lain pada segmen ini.

Untuk memisahkan akar bermakna membahagikan keseluruhan julat nilai x yang boleh diterima kepada segmen, setiap satunya mengandungi hanya satu punca. Operasi ini boleh dijalankan dalam dua cara - grafik dan jadual.

Jika fungsi f (x) adalah sedemikian sehingga mudah untuk membina graf kualitatif perubahannya, maka menurut graf ini, dua nombor didapati secara kasar, di antaranya terletak satu titik persilangan fungsi dengan paksi-x. Kadang-kadang, untuk memudahkan pembinaan, adalah dinasihatkan untuk mewakili persamaan kanonik asal dalam bentuk f 1 (x) = f 2 (x), kemudian plotkan graf fungsi ini, dan absis persilangan graf berfungsi sebagai punca persamaan ini.

Dengan kehadiran komputer, kaedah jadual untuk memisahkan akar adalah yang paling biasa. Ia terdiri daripada menjadualkan fungsi f(x) apabila menukar x daripada nilai awal x tertentu kepada nilai x akhir dengan langkah dx. Tugasnya adalah untuk mencari dalam jadual ini dua nilai x bersebelahan yang mana fungsinya mempunyai tanda yang berbeza. Katakan bahawa dua nilai tersebut a dan b=a+dx ditemui, i.e. f(a)*f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка , если функция f(x) непрерывна, существует точка с, в которой f(c)=0. EXCEL позволяет легко реализовать оба способа отделения корней. Рассмотрим их на примере.

Contoh 1.1.

Ia diperlukan untuk memisahkan punca-punca persamaan

Untuk melakukan ini, anda perlu menjadualkan fungsi f (X) \u003d exp (X) - 10 * X, ditulis mengikut peraturan EXCEL, dan membina grafnya apabila X berubah daripada beberapa X mula ke X berakhir dengan langkah dX . Biarkan nilai ini dahulu seperti berikut: X mula = 0, X tamat = 5, dX = 0.5. Jika, dalam had perubahan dalam X ini, kita gagal untuk memisahkan satu punca, maka adalah perlu untuk menetapkan nilai awal dan akhir baru bagi x dan, mungkin, menukar langkah.

Untuk membina jadual, adalah dinasihatkan untuk menggunakan JADUAL subrutin khas. Untuk melakukan ini, pada lembaran kerja baharu dalam sel B1, masukkan teks: JABATAN AKAR. Kemudian, dalam sel A2, masukkan teks: x, dan dalam sel B2 bersebelahan dengannya, masukkan teks: f (x). Seterusnya, kita biarkan sel A3 kosong, tetapi dalam sel B3 kita masukkan formula fungsi yang dikaji mengikut peraturan EXCEL, iaitu

Kemudian isikan siri nombor perubahan X dalam baris A4:A14 dari 0 hingga 5 dengan langkah 0.5.

Pilih blok sel A3:B14. Sekarang mari kita berikan arahan menu Data- Jadual. Keputusan penjadualan akan diletakkan dalam blok sel B4:B14. Untuk menjadikannya lebih visual, anda perlu memformat blok B4:B14 supaya nombor negatif diwarnakan merah. Dalam kes ini, adalah mudah untuk mencari dua nilai bersebelahan X yang mana nilai fungsi mempunyai tanda yang berbeza. Mereka harus diambil sebagai hujung selang pemisahan akar. Dalam kes kami, terdapat dua selang sedemikian, seperti yang boleh dilihat dari jadual - dan [3.5;4].

Seterusnya, kita harus merancang fungsi kita dengan memilih blok A4:B14 dan memanggil Guru Carta. Akibatnya, kita mendapat pada skrin gambar rajah perubahan dalam f (X), dari mana selang berikut untuk memisahkan akar dan kelihatan.

Jika anda kini menukar nilai berangka x dalam blok A4:A14, maka nilai fungsi dalam sel B4:B14 dan graf akan berubah secara automatik.

1.2 Penapisan akar: kaedah lelaran.

Untuk memperhalusi akar menggunakan kaedah lelaran, perkara berikut harus dinyatakan:

Kaedah itu sendiri boleh dibahagikan kepada dua peringkat:
a) peralihan daripada bentuk kanonik penulisan persamaan f(X)=0 kepada bentuk lelaran X = g(X),
b) prosedur lelaran pengiraan untuk mengemas kini akar.

Anda boleh pergi dari bentuk kanonik persamaan kepada yang berulang dalam pelbagai cara, hanya penting dalam kes ini keadaan yang mencukupi untuk penumpuan kaedah: çg’(X)ç<1 на , iaitu modulus terbitan pertama bagi fungsi lelaran mestilah kurang daripada 1 pada selang . Lebih-lebih lagi, lebih kecil modulus ini, lebih besar kadar penumpuan.

Prosedur pengiraan kaedah adalah seperti berikut. Kami memilih anggaran awal, biasanya sama dengan X 0 = (a+b)/2. Kemudian kita mengira X 1 =g(X 0) dan D= X 1 - X 0 . Jika modul D<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 =g(X 1) и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если g(X) выбрано правильно и удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура сойдется к корню. Следует отметить, что от знака g’(X) зависит характер сходимости: untuk g’(X)>0 penumpuan akan menjadi monotonik, iaitu dengan peningkatan lelaran, D akan menghampiri E secara monoton (tanpa mengubah tanda), manakala untuk g'(X)<0 сходимость будет колебательной , iaitu D akan menghampiri E modulo, menukar tanda pada setiap lelaran.

Pertimbangkan pelaksanaan kaedah lelaran dalam EXCEL menggunakan contoh.

Contoh 1.2

Mari kita perhalusi dengan lelaran nilai akar yang dipisahkan dalam Contoh 2.1. Jadi biarkan f(X)= exp(X) - 10*X, untuk punca pertama a=0 dan b=0.5. Biarkan E=0.00001. Bagaimana untuk memilih fungsi yang boleh diulang? Contohnya, jadi g(X)=0.1*exp(X). Pada selang çg’(X)ç<1 и достаточное условие сходимости выполняется. Кроме того, эта производная >1 pada selang dan watak penumpuan akan menjadi monotonik.

Mari atur cara kaedah lelaran untuk contoh ini pada lembaran kerja yang sama di mana kita melakukan pemisahan akar. Dalam sel A22, masukkan nombor yang sama dengan 0. Dalam sel B22, tulis formula =0.1*EXP(A22), dan dalam sel C22, formula =A22-B22. Oleh itu, baris 22 mengandungi data untuk lelaran pertama. Untuk mendapatkan data pada lelaran kedua dalam baris 23, kami menyalin kandungan sel B22 ke dalam sel A23, menulis formula =B22 dalam A23. Seterusnya, anda perlu menyalin formula sel B22 dan C22 ke dalam sel B23 dan C23. Untuk mendapatkan data daripada semua lelaran lain, pilih sel A23, B23, C23 dan salin kandungannya untuk menyekat A24:C32. Selepas itu, anda harus menganalisis perubahan D \u003d X - g (X) dalam lajur C, cari D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня.

Untuk lebih jelas, anda boleh membina gambar rajah untuk kaedah lelaran. Memilih blok A22:C32 dan menggunakan Wizard Carta, kita mendapat tiga graf perubahan dalam X, g (X) dan D bergantung pada bilangan lelaran, yang mana langkah 3 daripada 5 pilih format 2 dan seterusnya langkah 4 daripada 5 Untuk membina rajah, anda perlu menetapkan lajur sifar untuk label paksi X. Kini sifat monotonik penumpuan D jelas kelihatan.

Untuk memperhalusi punca kedua persamaan ini pada selang , anda perlu memilih fungsi lelaran lain, supaya terbitan pertamanya kurang daripada satu dalam nilai mutlak. Pilih g(X)= LN(X)+LN(10). Dalam sel A22 kita akan memasukkan X0 baru = 3.75, dan dalam sel B22 - formula baharu =LN(A22)+LN(10). Mari salin formula daripada B22 untuk menyekat B23:B32 dan segera dapatkan data baharu dan carta terbina semula. Mari kita tentukan nilai anggaran punca kedua.

1.3 Penapisan akar: Kaedah Newton.

Untuk memperhalusi akar dengan kaedah Newton, perkara berikut harus diberikan:

1) persamaan f(X) = 0, dan f(X) mesti diberikan dalam bentuk formula,

2) nombor a - sempadan kiri dan b - sempadan kanan selang, di dalamnya terletak satu akar,

3) nombor E ialah ketepatan yang diberikan untuk mendapatkan punca,

4) fungsi f(X) mestilah dua kali boleh dibezakan, dan formula f’(X) dan f”(X) mesti diketahui.

Kaedah ini terdiri daripada pengiraan berulang urutan

X i+1 = X i - f(X i)/f’(X i), dengan i=0,1,2, ...,

meneruskan dari anggaran awal Х 0 kepunyaan selang dan memenuhi syarat f(X 0)*f”(X 0)>0. Keadaan yang Mencukupi untuk Penumpuan kaedah ialah terbitan pertama dan kedua bagi fungsi yang dikaji mesti mengekalkan tandanya pada selang. Sebagai anggaran awal, sama ada a atau b biasanya dipilih, bergantung pada yang mana antaranya sepadan dengan formula pemilihan X 0.

Kaedah Newton membolehkan tafsiran geometri yang mudah. Jika tangen kepada lengkung f(X) dilukis melalui titik dengan koordinat (X i ;f(X i)) maka absis titik persilangan tangen ini dengan paksi 0X ialah anggaran seterusnya bagi punca Х i+1 .

Kaedah Newton boleh dianggap sebagai beberapa pengubahsuaian kaedah lelaran yang memberikan fungsi lelaran terbaik g(X) pada setiap langkah lelaran. Mari kita jalankan penjelmaan berikut dengan persamaan kanonik asal f(X)=0. Mari kita darab bahagian kiri dan kanannya dengan beberapa nombor bukan sifar l. Kemudian kita tambah di sebelah kiri dan di sebelah kanan sepanjang X. Kemudian kita akan mempunyai

X \u003d g (X) \u003d X + l * f (X).

Membezakan g(X), kita dapat g'(X) = 1 + l*f'(X). Daripada keadaan yang mencukupi untuk penumpuan kaedah lelaran çg’(X)ç<1. Потребуем, чтобы на i-том шаге итерации сходимость была самой быстрой, т.е. çg’(X i)ç =0. Тогда l=-1/ f’(X i) и мы пришли к методу Ньютона.

Prosedur pengiraan kaedah adalah seperti berikut. Kami memilih anggaran awal X 0 , biasanya sama dengan a atau b. Kemudian hitung X 1 = X 0 - f(X 0)/f’(X 0) dan D= X 1 - X 0 . Jika modul D<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если X 0 выбрано правильно, а функция удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура быстро сойдется к корню.

Contoh 1.3.

Mari kita perhalusi nilai punca yang dipisahkan dalam Contoh 1.1 dengan kaedah Newton. Jadi biarkan f(X)= exp(X) - 10*X, untuk punca pertama a=0 dan b=0.5. Biarkan E=0.00001. Formula bagi terbitan pertama dan kedua bagi f(X) adalah seperti berikut

f’(X) = exp(X) - 10 dan f”(X) = exp(X).

Jelas sekali, X 0 = a = 0, kerana f(0)*f”(0) = 1 >0.

Untuk mendapatkan data pada lelaran kedua dalam baris 43, kami menyalin kandungan sel D42 ke sel A43, menulis formula =D42 dalam A43. Seterusnya, anda perlu menyalin formula sel B42, C42, D42, E42 ke dalam sel B43, C43, D43, E43. Untuk mendapatkan data semua lelaran lain, adalah perlu untuk memilih sel dalam baris 43 dan menyalin kandungannya untuk menyekat A44:E47. Selepas itu, anda harus menganalisis perubahan dalam D dalam lajur E, cari D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня. При правильно введенных формулах метод Ньютона сходится за 3 или 4 итерации. Поэтому строить диаграмму для этого метода нет необходимости.

1.4. Penghalusan akar: kaedah belah dua (membahagikan bahagian separuh).

Untuk memperhalusi akar dengan kaedah belah dua, perkara berikut harus diberikan:

1) persamaan f(X) = 0, dan f(X) mesti diberikan dalam bentuk formula,

2) nombor a - sempadan kiri dan b - sempadan kanan selang, di dalamnya terletak satu akar,

3) nombor E - ketepatan yang diberikan untuk mendapatkan punca.

Ingat bahawa fungsi f(X) mempunyai tanda yang berbeza di hujung selang. Prosedur pengiraan kaedah ialah pada setiap langkah lelaran pada selang, titik perantaraan c dipilih supaya ia adalah tengah selang, iaitu c=(a+b)/2. Kemudian selang akan dibahagikan dengan titik ini kepada dua segmen yang sama dan , yang panjangnya adalah sama dengan (b-a)/2. Daripada dua segmen yang diperoleh, kami memilih satu di hujungnya yang mana fungsi f(X) mengambil nilai tanda yang bertentangan. Mari kita nyatakan sekali lagi sebagai . Ini menamatkan lelaran pertama. Seterusnya, kami membahagikan segmen baharu kepada separuh lagi dan menjalankan lelaran kedua dan seterusnya. Proses membahagikan segmen kepada separuh dijalankan sehingga, pada beberapa langkah K-th, segmen yang baru diperolehi menjadi kurang daripada atau sama dengan nilai ketepatan E. Nilai langkah K boleh dikira dengan mudah daripada formula

(b-a)/2k<=E,

di mana a dan b ialah nilai awal bagi sempadan kiri dan kanan selang.

Kaedah pembahagian dua menumpu untuk sebarang fungsi berterusan, termasuk yang tidak boleh dibezakan.

Contoh 1.4.

Mari kita perhalusi nilai punca yang dipisahkan dalam Contoh 1.1 dengan kaedah pembahagian dua. Jadi biarkan f(X)= exp(X) - 10*X, untuk punca pertama a=0 dan b=0.5. Biarkan E=0.00001.

Mari atur cara kaedah pembahagian dua untuk contoh ini pada lembaran kerja yang sama di mana kita melakukan pemisahan akar. Dalam sel A52 dan B52, anda mesti memasukkan nilai berangka a dan b, dalam sel C52 - formula \u003d (A52 + B52) / 2. Seterusnya, dalam sel D52, masukkan formula =EXP(A52)-10*A52, dalam sel E52 - formula =EXP(C52)-10*C52, dalam sel F52 - formula =D52*E52, dan, akhirnya, dalam sel G52, tulis formula =B52-A52. Pada baris 52, kami telah menghasilkan lelaran pertama. Pada lelaran kedua, nilai dalam sel A53 dan B53 bergantung pada tanda nombor dalam sel F52. Jika F52>0, maka nilai A53 adalah sama dengan C52. Jika tidak, ia mestilah sama dengan A52. Dalam sel B53, sebaliknya adalah benar: jika F52<0, то значение В53 равно С52, иначе В52.

Fungsi EXCEL terbina dalam, yang dipanggil IF, akan membantu menyelesaikan masalah ini. Mari buat sel semasa A53. Dalam bar formula, di sebelah tanda semak hijau, klik pada butang dengan imej f(x). Jadi dipanggil Guru Fungsi. Dalam dialog yang muncul, pilih dalam medan Fungsi Kategori kategori pengusik otak, dan di lapangan Nama Fungsi- nama JIKA. Pada langkah kedua dialog, isikan tiga medan percuma seperti berikut: dalam medan Ungkapan_Boolean masukkan “F52>0” (sudah tentu, tanpa petikan!), dalam medan nilai_jika_benar masukkan C52, dan dalam medan nilai_jika_salah- A52. Jom klik pada butang selesai. Itu sahaja.

Perkara yang sama mesti dilakukan dengan sel B53. Sahaja ungkapan boolean akan menjadi “F52<0”, nilai_jika_benar akan menjadi C52, dan nilai_jika_salah masing-masing B52.

Seterusnya, anda perlu menyalin formula dalam blok sel C52:G52 ke blok C53:G53. Selepas itu, lelaran kedua akan dijalankan dalam baris 53. Untuk mendapatkan lelaran seterusnya, cukup dengan menyalin formula dari baris 53 dalam blok A53:E53 ke blok A54:E68. Kemudian, seperti biasa, anda harus mencari baris dalam lajur E di mana nilai D akan kurang daripada E. Kemudian nombor dalam lajur C dalam baris ini ialah nilai anggaran punca.

Anda boleh merancang perubahan dalam nilai dalam lajur A, B, dan C dari lelaran pertama hingga lelaran terakhir. Untuk melakukan ini, pilih blok sel A52:C68. Lihat contoh 1.2 untuk arahan selanjutnya.

Mari tentukan nilai akar yang dipisahkan dalam contoh 1.1. Jadi biarkan f(X)= exp(X) - 10*X. Mari kita cari akar yang terletak pada selang . Mari kita biarkan sel A70 kosong. Dalam sel B70, tulis formula =EXP(A70)-10*A70. Pilih arahan menu Perkhidmatan- Pemilihan parameter. Dialog akan dibuka Pemilihan parameter, di mana dalam bidang Ditetapkan dalam sel tulis B70, di lapangan Maknanya masukkan 0 (sifar) dalam medan Menukar sel katakan A70. Klik pada butang OK dan dialog baharu akan muncul menunjukkan hasil operasi. Di tingkap Keadaan keputusan nilai yang ditemui akan ditunjukkan. Sekarang jika anda mengklik pada butang OK, nilai akar yang ditemui akan dimasukkan ke dalam sel A70, dan nilai fungsi akan dimasukkan ke dalam sel B70.

Untuk mencari akar lain yang terletak pada selang, adalah perlu untuk menukar anggaran awal, yang dalam jadual kami berada dalam sel A70. Mari kita tulis dalam sel ini salah satu sempadan selang, sebagai contoh, 4, dan sekali lagi melaksanakan prosedur pemilihan parameter. Kandungan sel A70 dan B70 akan berubah, kini koordinat akar yang lebih besar akan muncul dalam sel ini.

2. SISTEM PERSAMAAN ALGEBRA LINEAR

Secara umumnya, sistem persamaan algebra linear ditulis seperti berikut: a 11 x 1 +a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2

......................

a n1 x n +a n2 x 2 +... +a nn x n = b n

Kami menulis set pekali sistem ini dalam bentuk matriks persegi A daripada n garisan dan n lajur

a 11 a 12 ... a 1n

a 21 a 22 ... a 2n

a n1 a n2 ... a nn

Menggunakan kalkulus matriks, sistem persamaan asal boleh ditulis sebagai

A * X \u003d B,

di mana X- vektor lajur dimensi yang tidak diketahui n, a AT- vektor-lajur ahli percuma, juga dimensi n.

Sistem ini dipanggil sendi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, dan pasti jika ia mempunyai penyelesaian tunggal. Jika semua istilah bebas adalah sama dengan sifar, maka sistem dipanggil homogen.

Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk kewujudan penyelesaian unik kepada sistem ialah keadaan DET=0, di mana DET ialah penentu matriks TAPI. Dalam amalan, apabila mengira pada komputer, tidak selalu mungkin untuk mendapatkan kesamaan tepat DET kepada sifar. Apabila DET hampir kepada sifar, sistem dikatakan tidak bersyarat. Apabila ia diselesaikan pada komputer, ralat kecil dalam data awal boleh membawa kepada ralat yang ketara dalam penyelesaian. Syarat DET~0 adalah perlu untuk sistem tidak berhawa dingin, tetapi tidak mencukupi. Oleh itu, apabila menyelesaikan sistem pada komputer, adalah perlu untuk menganggarkan ralat yang berkaitan dengan had grid bit komputer.

Terdapat dua kuantiti yang mencirikan tahap sisihan penyelesaian yang diperoleh daripada yang tepat. biarlah Hk adalah penyelesaian sebenar sistem, Xc- penyelesaian yang diperolehi oleh satu kaedah atau yang lain pada komputer, maka ralat penyelesaian:
E \u003d Xk - Xc. Nilai kedua ialah percanggahan yang sama dengan R = B - A*Xc. Dalam pengiraan praktikal, ketepatan dikawal menggunakan sisa, walaupun ini tidak betul sepenuhnya.

2.1. kaedah matriks.

EXCEL memungkinkan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks, i.e.

X \u003d A -1 * B.

Oleh itu, algoritma untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah matriks boleh diwakili sebagai urutan prosedur pengiraan berikut:

1) dapatkan matriks A -1, songsangan matriks TAPI;

2) dapatkan penyelesaian sistem dengan formula Xc \u003d A -1 * B;

3) hitung vektor baharu istilah bebas Matahari \u003d A * Xs;

4) kira baki R=B-Bc;

5) dapatkan penyelesaian sistem dengan formula dXc \u003d A -1 * R;

6) bandingkan semua komponen vektor dXc modulo dengan ralat E yang diberikan: jika kesemuanya kurang daripada E, maka selesaikan pengiraan, jika tidak, ulangi pengiraan dari item 2, di mana Xc = Xc + dXc.

Pertimbangkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem menggunakan EXCEL menggunakan contoh.

Contoh 2.1.

Menyelesaikan sistem persamaan

20.9x1 + 1.2x2 + 2.1x3 + 0.9x4 = 21.7

1.2x1 +21.2x2 + 1.5x3 + 2.5x4 = 27.46

2.1x1 + 1.5x2 +19.8x3 + 1.3x4 = 28.76

0.9x1 + 2.5x2 + 1.3x3 +32.1x4 = 49.72

EXCEL mempunyai fungsi terbina dalam berikut yang melaksanakan pengiraan matriks:

a) MOBR - penyongsangan matriks,

b) DARAB - pendaraban dua matriks,

c) MOPRED - pengiraan penentu matriks.

Apabila menggunakan fungsi ini, adalah penting untuk menyusun dengan betul dan padat blok sel pada lembaran kerja yang sepadan dengan sumber dan matriks kerja dan vektor lajur. Buka lembaran kerja baharu dengan mengklik pada tab pilihan anda. Ambil di bawah matriks TAPI blok sel A3:D6. Untuk kejelasan, kami melampirkannya dalam bingkai hitam. Untuk melakukan ini, pilih blok A3:D6, berikan arahan menu Format - Sel dan dalam dialog yang terbuka, pilih tab Bingkai. Dialog baharu akan dibuka, di mana kita klik pada medan Bingkai - Rangka dan pilih dalam medan Bingkai- Gaya lebar garisan paling tebal. Sahkan keputusan anda dengan mengklik butang OK. Sekarang pilih blok A8:D11 untuk matriks A -1 dan sertakan juga dalam bingkai hitam, mengikut langkah yang serupa dengan blok matriks TAPI. Seterusnya, pilih blok sel untuk vektor lajur (menggariskannya dengan bingkai hitam): blok F8:F11 - untuk vektor AT, blok H8:H11 - di bawah vektor Xs A -1 *B, blok H3:H6 - di bawah vektor matahari terhasil daripada pendaraban A*Xs, dan untuk kejelasan, kami memilih blok tambahan F3:F6, di mana kami menyalin komponen vektor Xs daripada blok H8:H11. Dan akhirnya, kami akan memasukkan tanda pendaraban * dalam sel E4 dan E9, dan tanda sama = dalam sel G4 dan G9, kemudian, memilih lajur E dan G pula, kami akan memberikan arahan menu Format - Lajur - Muat Lebar. Oleh itu, kami telah menyediakan lembaran kerja untuk menyelesaikan masalah kami.

Mari kita masukkan data awal: nombor matriks TAPI ke dalam sel blok A3:D6, dan nombor vektor ahli bebas AT- dalam sel blok F8:F11.

Kami memulakan algoritma dengan menyongsangkan matriks TAPI. Untuk melakukan ini, pilih blok A8:D11, di mana keputusan operasi harus diletakkan. Blok ini akan bertukar menjadi hitam, kecuali sel A8. Jom klik pada butang f x pada panel Standard dengan membuat panggilan Wizard Fungsi. Dialog akan dibuka di mana dari medan Kategori ciri pilih satu baris Mat. dan trigonometri, dan dari padang Nama fungsi- baris MOBR. Mari kita teruskan ke langkah kedua dialog dengan mengklik pada butang Langkah>. Di sini di padang tatasusunan anda perlu menaip A3: D6 dari papan kekunci, yang sepadan dengan blok sel yang diduduki oleh matriks TAPI. Dengan mengklik pada butang selesai, anda boleh melihat bahawa dalam blok A8:D11 hanya sel A8 diisi. Untuk melengkapkan operasi panggilan, EXCEL memerlukan dua langkah lagi. Mula-mula anda perlu menjadikan bar formula aktif dengan mengklik padanya (di mana-mana sahaja dalam baris!) - kursor tetikus kemudian akan mengambil bentuk I. Memeriksa ketepatan tindakan anda akan menjadi penampilan empat butang di sebelah kiri formula bar, termasuk dengan tanda semak hijau. Selepas itu, tekan kekunci "Ctrl" pada papan kekunci, kemudian tanpa melepaskannya - kekunci "Shift", dan tanpa melepaskannya - kekunci "Enter", i.e. akibatnya, ketiga-tiga kekunci mesti ditekan pada masa yang sama! Kini keseluruhan blok A8:D11 akan diisi dengan nombor dan anda boleh memilih blok H8:H11 untuk memulakan operasi pendaraban A -1 *B.

Dengan blok ini dipilih, panggil semula Wizard Fungsi dan di padang Nama fungsi- pilih fungsi MULTIP. Dengan mengklik pada butang Langkah>, mari kita teruskan ke langkah kedua dialog, di mana dalam medan Tatasusunan1 masukkan alamat А8:D11, dan dalam medan Susunan2- alamat F8:F11. Jom klik pada butang selesai dan mendapati bahawa dalam blok H8:H11 hanya sel H8 diisi. Aktifkan bar formula (tanda semak hijau akan muncul!) Dan, menggunakan kaedah yang diterangkan di atas, tekan tiga kekunci "Ctrl"-"Shift"-"Enter" serentak. Hasil pendaraban akan muncul dalam blok H8:H11.

Untuk memeriksa ketepatan penyelesaian sistem yang diperoleh, kami melakukan operasi pengiraan Matahari=A*Hs. Untuk tujuan ini, kami hanya akan menyalin nilai angka (dan bukan formula!) sel daripada blok H8:H11 ke sel F3:F6. Ini mesti dilakukan dengan cara berikut. Pilih blok H8:H11. Berikan arahan menu Sunting- Salinan. Pilih blok F3:F6. Berikan arahan menu Sunting- Sisipan khas. Dialog akan dibuka di mana, dalam medan Sisipkan mod mesti dipilih Nilai. Sahkan keputusan anda dengan mengklik butang OK.

Selepas operasi ini, blok A3:D6 dan F3:F6 diisi dengan nombor. Mari kita mulakan dengan pendaraban matriks. TAPI setiap vektor Xs. Untuk melakukan ini, pilih blok H3:H6, panggil Guru Fungsi dan, meneruskan dengan cara yang sama seperti dalam pengiraan Xc \u003d A -1 * B, dapatkan matahari. Seperti yang dapat dilihat dari jadual, nilai berangka vektor AT dan matahari bertepatan, yang menunjukkan ketepatan pengiraan yang baik, i.e. baki dalam contoh kita ialah sifar.

Kami mengesahkan keadaan matriks yang baik TAPI mengira penentunya. Untuk melakukan ini, mari jadikan sel D13 aktif. Dengan menggunakan Wizard Fungsi panggil fungsi MOPRED. Dalam medan tatasusunan, masukkan alamat blok A3:D6. Dengan mengklik pada butang selesai, kita mendapat dalam sel D13 nilai berangka penentu matriks TAPI. Seperti yang dapat dilihat, ia adalah lebih besar daripada sifar, yang menunjukkan keadaan matriks yang baik.

2.2. Kaedah pengiraan anggaran.

Salah satu kaedah lelaran yang paling biasa untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, yang dicirikan oleh kesederhanaan dan kemudahan pengaturcaraan, ialah kaedah pengiraan anggaran atau kaedah Jacobi.

Biar sistem diselesaikan

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

Katakan unsur pepenjuru a 11, a 22, a 33 adalah bukan sifar. Jika tidak, anda boleh menyusun semula persamaan. Kami menyatakan pembolehubah dari persamaan pertama, kedua dan ketiga, masing-masing. Kemudian

x 1 = / a 11

x 2 \u003d / a 22

x 3 = / a 33

Mari kita tetapkan anggaran awal yang tidak diketahui

Menggantikannya ke bahagian kanan sistem yang diubah, kami memperoleh anggaran pertama yang baharu

Mencari punca-punca persamaan

Cara grafik untuk mencari punca adalah dengan memplot fungsi f (x) pada segmen. Titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis memberikan nilai anggaran punca persamaan.

Nilai anggaran akar yang ditemui dengan cara ini memungkinkan untuk memilih segmen yang, jika perlu, adalah mungkin untuk memperhalusi akar.

Apabila mencari punca dengan pengiraan untuk fungsi berterusan f(x), pertimbangan berikut digunakan:

- jika fungsi mempunyai tanda yang berbeza di hujung segmen, maka terdapat bilangan akar ganjil antara titik a dan b pada paksi-x;

- jika fungsi mempunyai tanda yang sama di hujung selang, maka antara a dan b terdapat bilangan punca genap atau tiada langsung;

- jika di hujung segmen fungsi mempunyai tanda yang berbeza dan sama ada derivatif pertama atau derivatif kedua tidak mengubah tanda pada segmen ini, maka persamaan mempunyai punca tunggal pada segmen.

Cari semua punca nyata bagi persamaan x 5 –4x–2=0 pada ruas [–2,2]. Mari buat hamparan.

Jadual 1

Jadual 2 menunjukkan keputusan pengiraan.

jadual 2

Begitu juga, penyelesaian ditemui pada selang [-2,-1], [-1,0].

Penapisan punca-punca persamaan

Menggunakan mod "Cari penyelesaian".

Untuk persamaan yang diberikan di atas, semua punca persamaan x 5 –4x–2=0 hendaklah dijelaskan dengan ralat E = 0.001.

Untuk menjelaskan punca dalam selang [-2,-1], kami akan menyusun hamparan.

Jadual 3

Kami memulakan mod "Cari penyelesaian" dalam menu "Alat". Laksanakan arahan mod. Mod paparan akan memaparkan akar yang ditemui. Begitu juga, kami memperhalusi akar pada selang lain.

Penapisan Akar Persamaan

Menggunakan mod "Lelaran".

Kaedah lelaran mudah mempunyai dua mod "Manual" dan "Automatik". Untuk memulakan mod "Lelaran" dalam menu "Alat", buka tab "Parameter". Berikut ialah arahan mod. Pada tab Pengiraan, anda boleh memilih mod automatik atau manual.

Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian sistem persamaan dalam Excel dijalankan dengan kaedah matriks songsang. Selesaikan sistem persamaan:

Mari buat hamparan.

Jadual 4

A	B	C	D	E
Penyelesaian sistem persamaan.

	ax=b

Matriks awal A		Sebelah kanan b
-8
		-3
		-2		-2

Matriks Songsang (1/A)		Vektor penyelesaian x=(1/A)/b
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13,E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13,E6:E8)
=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)	=MOBR(A6:C8)		=MULTI(A11:C13,E6:E8)

Fungsi MIN mengembalikan tatasusunan nilai yang dimasukkan ke dalam keseluruhan lajur sel sekaligus.

Jadual 5 membentangkan keputusan pengiraan.

Jadual 5

A	B	C	D	E
Penyelesaian sistem persamaan.

	ax=b

Matriks awal A		Sebelah kanan b
-8
		-3
		-2		-2

Matriks Songsang (1/A)		Vektor penyelesaian x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Senarai sumber sastera yang digunakan

1. Turchak L.I. Asas kaedah berangka: Proc. elaun untuk universiti / ed. V.V. Shchennikov.–M.: Nauka, 1987.–320p.

2. Bundy B. Kaedah pengoptimuman. Kursus pengenalan.–M.: Radio dan komunikasi, 1988.–128s.

3. Evseev A.M., Nikolaeva L.S. Pemodelan matematik keseimbangan kimia.–M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988.–192p.

4. Bezdenezhnykh A.A. Kaedah kejuruteraan untuk menyusun persamaan kadar tindak balas dan mengira pemalar kinetik.–L.: Chemistry, 1973.–256p.

5. Stepanova N.F., Erlykina M.E., Filippov G.G. Kaedah algebra linear dalam kimia fizik.–M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1976.–359p.

6. Bakhvalov N.S. dan lain-lain.Kaedah berangka dalam tugasan dan latihan: Proc. manual untuk universiti / Bakhvalov N.S., Lapin A.V., Chizhonkov E.V. - M.: Lebih tinggi. sekolah., 2000.-190an. - (Matematik yang lebih tinggi / Sadovnichiy V.A.)

7. Aplikasi Matematik Pengiraan dalam Kinetik Kimia dan Fizikal, ed. L.S. Polak, M.: Nauka, 1969, 279 pp.

8. Algoritma pengiraan dalam teknologi kimia B.A. Zhidkov, A.G. Cooper

9. Kaedah pengiraan untuk jurutera kimia. H. Rosenbrock, S. Cerita

10. Orvis V.D. Excel untuk saintis, jurutera dan pelajar. - Kyiv: Junior, 1999.

11. Yu.Yu. Kaedah berangka Tarasevich di Mathcade - Universiti Pedagogi Negeri Astrakhan: Astrakhan, 2000.

Sistem yang diberi n persamaan algebra dengan n tidak diketahui:

Sistem ini boleh ditulis dalam bentuk matriks:
,

;;.

di mana A - matriks pekali persegi, X - vektor lajur yang tidak diketahui, B - vektor lajur istilah percuma.

Kaedah berangka untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dibahagikan kepada langsung dan berulang. Yang pertama menggunakan nisbah terhingga untuk mengira yang tidak diketahui. Contohnya ialah kaedah Gauss. Yang terakhir adalah berdasarkan anggaran berturut-turut. Contohnya ialah kaedah lelaran mudah dan kaedah Seidel.

Kaedah Gauss

Kaedah ini adalah berdasarkan membawa matriks sistem kepada bentuk segi tiga. Ini dicapai dengan penyingkiran berurutan yang tidak diketahui daripada persamaan sistem. Pertama, menggunakan persamaan pertama, kita hapuskan x 1 daripada semua persamaan seterusnya. Kemudian, dengan bantuan persamaan kedua, x 2 daripada yang seterusnya, dsb. Proses ini dipanggil larian hadapan kaedah Gaussian dan berterusan sehingga sebelah kiri yang terakhir n persamaan ke, hanya satu sebutan dengan yang tidak diketahui x n. Hasil daripada pergerakan langsung, sistem mengambil bentuk:

(2)

Perjalanan terbalik kaedah Gauss terdiri dalam pengiraan berurutan bagi yang tidak diketahui yang diperlukan, bermula dari x n dan berakhir x 1 .

Kaedah lelaran mudah dan kaedah Seidel

Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah lelaran dikurangkan kepada yang berikut. Anggaran awal bagi vektor yang tidak diketahui ditetapkan, yang biasanya merupakan vektor sifar:

Kemudian proses pengiraan kitaran dianjurkan, setiap kitaran adalah satu lelaran. Hasil daripada setiap lelaran, nilai baharu bagi vektor yang tidak diketahui diperolehi. Proses berulang berakhir jika bagi setiap i komponen ke atas vektor yang tidak diketahui, keadaan

(3)

di mana k- nombor lelaran,  - ketepatan yang ditentukan.

Kelemahan kaedah lelaran ialah syarat penumpuan yang ketat. Untuk penumpuan kaedah, adalah perlu dan mencukupi bahawa dalam matriks A nilai mutlak semua elemen pepenjuru adalah lebih besar daripada jumlah modul semua elemen lain dalam baris yang sepadan:

(4)

Sekiranya keadaan penumpuan dipenuhi, maka proses lelaran boleh disusun dengan sistem penulisan (1) dalam bentuk terkurang. Dalam kes ini, istilah pada pepenjuru utama dinormalisasi dan kekal di sebelah kiri tanda sama, manakala selebihnya dipindahkan ke sebelah kanan. Untuk kaedah lelaran mudah, sistem persamaan terkurang mempunyai bentuk:

(5)

Perbezaan antara kaedah Seidel dan kaedah lelaran mudah ialah apabila mengira anggaran seterusnya bagi vektor yang tidak diketahui, nilai yang telah ditapis digunakan pada langkah lelaran yang sama. Ini memastikan penumpuan kaedah Seidel yang lebih cepat. Sistem persamaan yang diberikan mempunyai bentuk:

(6)

3.4. Pelaksanaan dalam Excel

Sebagai contoh, pertimbangkan sistem persamaan:

Sistem ini memenuhi syarat penumpuan dan boleh diselesaikan dengan kaedah langsung dan berulang. Urutan tindakan (Gamb. 7):

Buat tajuk dalam baris 1 "Kaedah berangka untuk menyelesaikan sistem persamaan linear."

Dalam kawasan D3:H6, masukkan data awal, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

Masukkan dalam sel F8 teks tajuk "Kaedah Gauss" (penjajaran tengah).

Salin data asal E4:H6 ke kawasan B10:E12. Ini adalah data awal untuk laluan langsung kaedah Gauss. Mari kita nyatakan baris A1, A2 dan A3 yang sepadan.

Sediakan tempat untuk hantaran pertama dengan menandakan di kawasan G10:G12 nama garisan B1, B2 dan B3.

Masukkan formula "=B10/$B$10" ke dalam sel H10. Salin formula ini ke sel I10:K10. Ini ialah penormalan kepada pekali 11 .

Masukkan formula "=B11-H10*$B$11" ke dalam sel H11. Salin formula ini ke sel I11:K11.

Masukkan formula "=B12-H10*$B$12" ke dalam sel H12. Salin formula ini ke sel I12:K12.

Sediakan tempat untuk hantaran kedua dengan menandakan di kawasan A14:A16 nama garisan C1, C2 dan C3.

Masukkan formula "=H10" dalam sel B14. Salin formula ini ke sel C14:E14.

Masukkan formula "=H11/$I$11" ke dalam sel B15. Salin formula ini ke sel C15:E15.

12. Masukkan formula "=H12-B15*$I$12" ke dalam sel B16. Salin formula ini ke sel C16:E16.

13. Sediakan tempat untuk hantaran ketiga dengan menandakan di kawasan G14:G16 nama garisan D1, D2 dan D3.

14. Masukkan formula "=B14" dalam sel H14. Salin formula ini ke sel I14:K14.

15. Masukkan formula "=B15" dalam sel H15. Salin formula ini ke sel I15:K15.

16. Masukkan formula "=B16/$D$16" ke dalam sel H16. Salin formula ini ke sel I16:K16.

17. Sediakan tempat untuk pergerakan terbalik kaedah Gaussian dengan memasukkan teks "x3=", "x2=" dan "x1=" yang sesuai ke dalam sel B18, E18 dan H18.

18. Masukkan formula "=K16" dalam sel C18. Dapatkan nilai pembolehubah X 3.

19. Masukkan formula "=K15-J15*K16" dalam sel F18. Dapatkan nilai pembolehubah X 2.

20. Masukkan formula "=K10-I10*F18-J10*C18" ke dalam sel I18. Dapatkan nilai pembolehubah X 1.

21. Masukkan dalam sel F21 teks tajuk "Kaedah lelaran mudah" (penjajaran tengah).

22. Masukkan dalam sel J21 teks "e =" (penjajaran kanan).

23. Masukkan nilai ketepatan e (0.0001) ke dalam sel K21.

24. Tentukan nama pembolehubah dalam kawasan A23:A25.

25. Dalam kawasan B23:B25, tetapkan nilai awal pembolehubah (sifar).

26. Masukkan formula "=($H$4-$F$4*B24-$G$4*B25)/$E$4" ke dalam sel C23. Dapatkan nilai pembolehubah X 1 pada lelaran pertama.

27. Masukkan formula "=($H$5-$E$5*B23-$G$5*B25)/$F$5" ke dalam sel C24. Dapatkan nilai pembolehubah X 2 pada lelaran pertama.

28. Masukkan formula "=($H$6-$E$6*B23-$F$6*B24)/$G$6" ke dalam sel C25. Dapatkan nilai pembolehubah X 3 pada lelaran pertama.

29. Masukkan dalam sel C26 formula "=IF(ABS(C23-B23)>$K$21;" "; IF(ABS(C24-B24)>$K$21;" ";IF(ABS(C25-B25) > $К$21;" "; ""akar")))".

30. Pilih julat C23:C26 dan salin ke lajur K menggunakan teknik seret. Apabila mesej "roots" muncul dalam baris 26, lajur yang sepadan akan mengandungi nilai anggaran pembolehubah X 1,x 2, x 3, yang merupakan penyelesaian sistem persamaan dengan ketepatan tertentu.

31. Di kawasan A27:K42, bina gambar rajah yang menunjukkan proses menghampiri nilai pembolehubah X 1,X 2,x 3 kepada penyelesaian sistem. Gambar rajah dibina dalam mod "Graf", di mana nombor lelaran diplot di sepanjang abscissa.

32. Masukkan dalam sel F43 teks tajuk "Kaedah Seidel" (penjajaran tengah).

33. Masukkan dalam sel J43 teks "e =" (penjajaran kanan).

34. Masukkan dalam sel K43 nilai ketepatan e (0.0001).

35. Tentukan dalam kawasan A45: A47 nama-nama pembolehubah.

36. Dalam kawasan B45:B47, tetapkan nilai awal pembolehubah (sifar).

37. Masukkan formula "=($H$4-$F$4*B46-$G$4*B47)/$E$4" ke dalam sel C45. Dapatkan nilai pembolehubah X 1 pada lelaran pertama.

38. Masukkan formula "=($H$5-$E$5*C45-$G$5*B47)/$F$5" ke dalam sel C46. Dapatkan nilai pembolehubah X 2 pada lelaran pertama.

39. Masukkan formula "=($H$6-$E$6*C45-$F$6*C46)/$G$6" ke dalam sel C47. Dapatkan nilai pembolehubah x 3 pada lelaran pertama.

40. Masukkan dalam sel C48 formula "=IF(AB5(C45-B45)>$K$43;" "; IF(ABS(C46-B46)>$K$43;" ";IF(ABS(C47-B47) > $K$43;" ";"roots")))".

41. Pilih julat C45:C48 dan salin ke lajur K menggunakan teknik seret. Apabila mesej "roots" muncul dalam baris 26, lajur yang sepadan akan mengandungi nilai anggaran pembolehubah X 1,X 2,x 3, yang merupakan penyelesaian sistem persamaan dengan ketepatan yang diberikan. Ia boleh dilihat bahawa kaedah Seidel menumpu lebih cepat daripada kaedah lelaran mudah, iaitu, ketepatan yang ditentukan dicapai di sini dalam lelaran yang lebih sedikit.

42. Di kawasan A49:K62, bina gambar rajah yang menunjukkan proses menghampiri nilai pembolehubah x1, x2, x3 kepada penyelesaian sistem. Gambar rajah dibina dalam mod "Graf", di mana nombor lelaran diplot di sepanjang abscissa.

Excel mempunyai pelbagai alat untuk menyelesaikan pelbagai jenis persamaan menggunakan kaedah yang berbeza.

Mari lihat beberapa contoh penyelesaian.

Menyelesaikan persamaan dengan kaedah memilih parameter Excel

Alat Parameter Seek digunakan dalam situasi di mana hasilnya diketahui, tetapi hujah tidak diketahui. Excel memilih nilai sehingga pengiraan menghasilkan jumlah yang dikehendaki.

Laluan ke arahan: "Data" - "Bekerja dengan data" - "Bagaimana jika analisis" - "Pemilihan parameter".

Pertimbangkan, sebagai contoh, penyelesaian persamaan kuadratik x 2 + 3x + 2 = 0. Urutan mencari punca menggunakan Excel:

Program ini menggunakan proses kitaran untuk memilih parameter. Untuk menukar bilangan lelaran dan ralat, anda perlu pergi ke pilihan Excel. Pada tab "Formula", tetapkan bilangan maksimum lelaran, ralat relatif. Tandai kotak "dayakan pengiraan lelaran".

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah matriks dalam Excel

Sistem persamaan diberikan:

Akar persamaan diperolehi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Cramer dalam Excel

Mari kita ambil sistem persamaan dari contoh sebelumnya:

Untuk menyelesaikannya dengan kaedah Cramer, kami mengira penentu matriks yang diperoleh dengan menggantikan satu lajur dalam matriks A dengan lajur-matriks B.

Untuk mengira penentu, kami menggunakan fungsi MOPRED. Hujah ialah julat dengan matriks yang sepadan.

Kami juga mengira penentu matriks A (tatasusunan - julat matriks A).

Penentu sistem lebih besar daripada 0 - penyelesaian boleh didapati menggunakan formula Cramer (D x / |A|).

Untuk mengira X 1: \u003d U2 / $ U $ 1, di mana U2 - D1. Untuk mengira X 2: =U3/$U$1. Dan lain-lain. Kami mendapat punca persamaan:

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dalam Excel

Sebagai contoh, mari kita ambil sistem persamaan yang paling mudah:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Kami menulis pekali dalam matriks A. Sebutan bebas - dalam matriks B.

Untuk kejelasan, kami menyerlahkan ahli percuma dengan mengisi. Jika sel pertama matriks A ialah 0, anda perlu menukar baris supaya terdapat nilai selain daripada 0.

Contoh penyelesaian persamaan mengikut lelaran dalam Excel

Pengiraan dalam buku kerja mesti disediakan seperti berikut:

Ini dilakukan pada tab "Formula" dalam "Pilihan Excel". Mari cari punca persamaan x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) secara lelaran menggunakan rujukan kitaran. Formula:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M ialah nilai maksimum derivatif modulo. Untuk mencari M, mari kita lakukan pengiraan:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Nilai yang terhasil adalah kurang daripada 0. Oleh itu, fungsi akan menjadi dengan tanda bertentangan: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Dalam sel A3, masukkan nilai: a = 1. Ketepatan - tiga tempat perpuluhan. Untuk mengira nilai semasa x dalam sel bersebelahan (B3), masukkan formula: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).