n Contoh 2.3. Cari punca-punca persamaan

x- tg (x)= 0. (2.18)

Peringkat pertama penyelesaian (peringkat pemisahan akar) telah dilaksanakan dalam bahagian 2.1 (contoh 2.2). Punca persamaan yang diperlukan terletak pada segmen xÎ, seperti yang boleh dilihat pada graf (Rajah 2.9).

Rajah 2.9. Peringkat pemisahan akar

Peringkat penghalusan akar Kami melaksanakannya menggunakan Excel. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh kaedah separuh bahagian . Skim pengiraan untuk kaedah tangen Dan kord tidak jauh berbeza dengan rajah di bawah.

Urutan:

1. Sediakan jadual seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.10 dan masukkan nilai a, b, ε masing-masing dalam sel B3, B4, B5.

2. Isikan baris pertama jadual:

D4=0 nombor lelaran;

E4=B3, F4=B4, untuk pengiraan f(a): G4=E4-TAN(E4),

Begitu juga, dalam sel H4, I4, J4 kita masukkan formula untuk mengira, masing-masing f(b), x n=(a+b)/2 dan f(x n);

Dalam sel K4 kita mengira panjang segmen [ a, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, untuk membentuk nombor lelaran.

4. Dalam sel E5, F5 kami memasukkan formula untuk membentuk hujung segmen bersarang mengikut algoritma yang digariskan dalam bahagian 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Pilih sel G4:K4 dan salinnya ke satu garisan.

6. Pilih sel D5:K5 dan salinnya ke hujung jadual.

Rajah.2.10. Skim untuk menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan kaedah pembahagian dua

Kami terus membahagikan segmen sehingga panjang yang terakhir menjadi kurang daripada ε yang diberikan, i.e. sehingga syarat dipenuhi.

Untuk membuat akhir proses lelaran jelas, kami akan menggunakan Pemformatan bersyarat

Pemformatan Bersyarat – Ini ialah pemformatan sel terpilih berdasarkan beberapa kriteria, yang akan menghasilkan pewarnaan sel yang kandungannya memenuhi syarat tertentu (dalam kes kami).

Untuk melakukan ini, lakukan langkah berikut:

Mari kita pilih sel lajur terakhir (K) skema pengiraan (Rajah 2.10), di mana kriteria untuk menamatkan proses lelaran akan ditetapkan;

Mari kita laksanakan arahan

Home\Styles\ Pemformatan Bersyarat;

Rajah.2.11. Tetingkap di pemformatan perkataan

Dalam tetingkap yang muncul (Gamb. 2.11), pilih baris:

Peraturan untuk memilih sel\Kurang;

Di sebelah kiri kotak dialog yang muncul Kurang (Gamb. 2.12) kami menetapkan nilai yang akan digunakan sebagai kriteria (dalam contoh kami ini ialah alamat sel B5, di mana nilai itu terletak ε ).

Rajah.2.12. Tetingkap dialog Kurang

Di sebelah kanan tingkap Kurang pilih warna yang akan digunakan untuk mewarnakan sel yang memenuhi syarat yang ditentukan; dan tekan butang OKEY.

Hasil daripada pemformatan ini, sel dalam lajur K , nilai siapa kurang daripada 0.1, berwarna, Rajah 2.10.

Oleh itu, untuk nilai anggaran punca persamaan x- tg (x)= 0 dengan ketepatan e=0.1, lelaran ke-3 diterima, i.e. x * "4.46875. Untuk e=0.01 - x * » 4.49609(lelaran ke-6).

Penyelesaian Tidak persamaan linear menggunakan alat tambah "Pemilihan Parameter".

Menyelesaikan persamaan tak linear boleh dilaksanakan dalam aplikasi MS Excel menggunakan pemilihan parameter tambahan, di mana beberapa proses berulang dilaksanakan.

Mari kita cari punca-punca persamaan (2.18) yang dibincangkan di atas.

Sebagai penghampiran sifar bagi penyelesaian kepada persamaan, seperti yang boleh dilihat daripada Rajah 2.13, kita boleh mengambil X 0 =4 atau X 0 =4,5.

Sequencing

1. Sediakan jadual seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.13. Ke sel A2 mari kita masukkan beberapa nilai x 0 (Sebagai contoh X 0 =4) daripada fungsi ODZ y=f(x). Ini akan menjadi anggaran awal untuk proses berulang yang dilaksanakan oleh aplikasi Pemilihan parameter.

2. Sel PADA 2 ialah sel berubah-ubah semasa add-on sedang berjalan. Mari masukkan nilai ini ke dalamnya x 0 , dan dalam sel C3 mari kita hitung nilai fungsi tersebut f(x n) untuk anggaran ini.

3. Pilih arahan:

Data\Bekerja dengan data\What-if analysis\Parameter selection.

4. Dalam tetingkap "Pemilihan Parameter", buat tetapan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.13 dan klik OK.

Rajah.2.13. Menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan tambahan "Pemilihan Parameter".

Jika semuanya dilakukan dengan betul, maka dalam sel B2 (Rajah 2.13) nilai anggaran punca persamaan kita akan diperolehi.

Lakukan semua operasi ini sekali lagi dengan nilai tekaan awal yang berbeza, sebagai contoh x 0 =4.5.

Soalan kawalan

1. Persamaan yang manakah dipanggil tak linear. Apakah penyelesaian kepada persamaan tak linear.

2. Tafsiran geometri bagi penyelesaian kepada persamaan tak linear.

3. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear (langsung dan berulang), apakah perbezaannya.

4. Dua peringkat penyelesaian berangka persamaan tak linear. Apakah tugas yang ditetapkan pada peringkat pertama dan kedua.

5. Peringkat pertama menyelesaikan persamaan tak linear. Cara anggaran sifar (lelaran sifar) dipilih.

6. Pembinaan urutan berulang. Konsep penumpuan bagi urutan lelaran. Mencari nilai anggaran punca persamaan tak linear dengan ketepatan ε.

7. Tafsiran geometri kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan tak linear: pembahagian separuh, Newton (tangen), kord.

Bab 3.

Persamaan F(x)=0 diberikan. ini - bentuk umum persamaan tak linear dengan satu yang tidak diketahui. Sebagai peraturan, algoritma untuk mencari akar terdiri daripada dua peringkat:

1. Mencari nilai anggaran punca atau segmen pada paksi-x yang mengandunginya.

2. Penapisan nilai anggaran akar kepada beberapa ketepatan.

Pada peringkat pertama, kaedah pemisahan akar secara berperingkat digunakan, pada peringkat kedua - salah satu kaedah penghalusan (kaedah separuh bahagian, kaedah Newton, kaedah Chord atau kaedah lelaran mudah).

Kaedah langkah

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 11x + 30 = 0. Selang carian, steph = 0.3. Jom selesaikan menggunakan kebolehan istimewa Pakej Excel. Urutan tindakan (lihat Rajah 1):

1. Tetapkan tajuk pada baris 1 " Kaedah berangka penyelesaian persamaan tak linear."

2. Buat tajuk dalam baris 3, "Kaedah langkah demi langkah."

3. Tulis data tentang tugasan ke dalam sel A6 dan C6 dan B6.

4. Tulis tajuk baris dalam sel B9 dan C9, masing-masing x dan F(x).

5. Dalam sel B10 dan B11, masukkan dua nilai pertama hujah - 3 dan 3.3.

6. Pilih sel B5-B6 dan seret siri data ke nilai akhir (3,3), pastikan janjang aritmetik dibentuk dengan betul.

7. Dalam sel C10 masukkan formula"=B10*B10-11*B10+30".

8. Salin formula ke baki elemen baris menggunakan teknik menyeret. Dalam selang C10:C18, beberapa keputusan untuk mengira fungsi F(x) telah diperolehi. Ia boleh dilihat bahawa fungsi bertukar tanda sekali. Punca persamaan terletak dalam selang.

9. Untuk merancang pergantungan F(x) gunakan Sisipkan - Gambar rajah (jenis “Titik”, penanda disambungkan dengan lengkung licin).

Kaedah membahagikan bahagian kepada separuh

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 11x + 30 = 0. Selang carian, dengan ketepatan ε=0.01. Mari kita selesaikannya menggunakan ciri khas pakej Excel.

1. Masukkan tajuk "Kaedah membahagikan dua bahagian" dalam sel B21.

2. Masukkan data tugasan dalam sel A23, C23, E23.

3. Di kawasan B25:H25, buat pengepala jadual (baris B - sempadan kiri segmen "a", baris C - tengah segmen "x", baris D - sempadan kanan segmen "b", baris E - nilai fungsi pada sempadan kiri segmen "F( a)", baris F - nilai fungsi di tengah segmen "F(x)", baris G - produk "F( a)*F(x)", baris H - menyemak sama ada ketepatan telah dicapai "ê F(x)ê<е».

4. Masukkan nilai awal hujung segmen: dalam sel B26 "4.8", dalam sel D26 "5.1".

5. Masukkan formula “=(B26+D26)/2” dalam sel C26.

6. Masukkan formula dalam sel E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Masukkan formula dalam sel F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Masukkan formula “=E26*F26” ke dalam sel G26.

9. Masukkan dalam sel H26 formula “=IF(ABS(F26)<0.01; ²akar²)".

1 0. Pilih kawasan B21:H21 dan seretnya secara menegak sehingga mesej “root” muncul dalam baris H (sel H29, H30).

Kaedah tangen (Newton)

1. Masukkan tajuk "Kaedah Tangensial (Newton)" dalam sel J23.

2. Masukkan teks "e=" dalam sel L23 dan nilai ketepatan "0.00001" dalam sel M23.

3. Dalam kawasan K25:N25, cipta tajuk jadual (baris K - nilai hujah "x", baris L - nilai fungsi "F(x)", baris M - terbitan fungsi "F¢ (x)", baris N - semak untuk mencapai ketepatan "ê F(x)ê<е».

4. Dalam sel K26 masukkan yang pertama nilai awal hujah"-2".

5. Masukkan formula “=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5” ke dalam sel L26.

6. Masukkan formula “=3*K26*K26+4*K26+3” ke dalam sel M26.

7. Masukkan dalam sel N26 formula “=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Masukkan formula dalam sel K27"=K26-L26/M26".

9. Pilih kawasan L27:N27 dan seretnya secara menegak sehingga mesej "root" muncul dalam baris N (sel N30).

Kaedah kord

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Ketepatan ε=0.01. Mari kita selesaikannya menggunakan ciri khas pakej Excel.

1. Masukkan tajuk "Kaedah Kord" dalam sel B32.

2. Masukkan teks "e=" dalam sel C34 dan nilai ketepatan "0.00001" dalam sel E34.

3. Dalam kawasan B36:D36, buat pengepala jadual (baris B - nilai hujah “x”, baris C - nilai fungsi “F(x)”, baris D - semak sama ada ketepatan telah dicapai "ê F(x)ê<е».

4. Dalam sel B37 dan B38 masukkan nilai awal hujah"-2" dan. "-1"

5. Masukkan formula “=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5” ke dalam sel C37.

6. Masukkan formula dalam sel D37"=JIKA(ABS(B38-B37))<$D$34;"корень")».

7. Masukkan formula dalam sel B39“=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37).”

8. Pilih kawasan C39:D39 dan seretnya secara menegak sehingga mesej "root" muncul dalam baris D (sel D43).

Kaedah lelaran mudah

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x 2 - 11x + 30 = 0. Selang carian, dengan ketepatan =0.05.

1. Masukkan tajuk "Kaedah lelaran mudah" dalam sel K32

2. Masukkan teks "e=" dalam sel N34 dan nilai ketepatan "0.05" dalam sel O34.

3. Pilih fungsi j (x) yang memenuhi syarat penumpuan. Dalam kes kami, fungsi sedemikian ialah fungsi S(x)=(x*x+30)/11.

4. Dalam kawasan K38:N38, cipta pengepala jadual (baris K - nilai hujah "x", baris L - nilai fungsi "F(x)", baris M - nilai fungsi tambahan "S( x)", baris N - menyemak sama ada ketepatan telah dicapai "ê F(x)ê<е».

5. Dalam sel K39, masukkan nilai awal argumen "4.8".

6. Masukkan formula dalam sel L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Masukkan formula “=(K39*K39+30)/11” ke dalam sel M39.

8. Masukkan dalam sel N39 formula “=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Masukkan formula “=M39” dalam sel K40.

1 0. Salin sel L39:N39 ke sel L40:N40.

sebelas. Pilih kawasan L40:N40 dan seretnya secara menegak sehingga mesej "root" muncul dalam baris N (sel N53).

Rajah.1 Menyelesaikan persamaan tak linear dalam Excel

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS RF

BAJET NEGERI PERSEKUTUAN

INSTITUSI PENDIDIKAN

PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI

“NEGERI SAMARA

UNIVERSITI SENIBINA DAN PEMBINAAN"

Jabatan Matematik Gunaan dan Sains Komputer

ExcelDanMathcad

ARAHAN METODOLOGI

untuk melaksanakan kerja makmal

dalam disiplin "Matematik Pengiraan"

Menyelesaikan persamaan tak linear dalamExcel danMathcad: Kaedah. dekri. / Komp. , - Samara: SGASU, 20p.

Garis panduan telah dibangunkan mengikut standard pendidikan Negeri untuk mempelajari disiplin "Matematik Pengiraan".

Pelaksanaan kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan tak linear dan sistem persamaan dalam Excel dan MathCad dipertimbangkan. Pilihan untuk tugasan untuk penyelesaian individu dan soalan untuk kawalan diri dan ujian disediakan.

Ditujukan untuk pelajar pengkhususan 230201 - "Sistem dan teknologi maklumat" semua bentuk pendidikan.

Pengulas Ph.D. n.

Ó, kompilasi, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Pemisahan akar
1.5 Kaedah kord
1.6 Kaedah Newton (tangen)
1.7 Kaedah gabungan
1.8 Kaedah lelaran
2.2 Menyelesaikan sistem persamaan tak linear dengan kaedah Newton
3 Tugasan makmal
No. Makmal 1. Pemisahan akar dan alat piawai untuk menyelesaikan persamaan tak linear
No. Makmal 2. Perbandingan kaedah untuk memurnikan punca-punca persamaan tak linear
No. Makmal 3. Menyelesaikan sistem persamaan tak linear
No. Makmal 4. Kaedah pengaturcaraan untuk menyelesaikan persamaan dan sistem tak linear
4 Soalan dan ujian untuk mengawal diri

1 Menyelesaikan persamaan tak linear

1.1 Maklumat am tentang menyelesaikan persamaan tak linear

Sebagai peraturan, persamaan tak linear bentuk am f(x)=0 mustahil untuk diselesaikan secara analitikal. Untuk masalah praktikal sudah cukup untuk mencari nilai anggaran x, dalam erti kata tertentu hampir dengan penyelesaian tepat persamaan xtochn.

Dalam kebanyakan kes, mencari penyelesaian anggaran melibatkan dua peringkat. hidup peringkat pertama berasingan akar, iaitu, mereka mencari segmen di mana terdapat satu akar. hidup peringkat kedua jelaskan akar pada salah satu segmen ini, iaitu, cari nilainya dengan ketepatan yang diperlukan.

Ketepatan yang dicapai boleh dinilai sama ada "mengikut fungsi" (di titik yang ditemui x, fungsi ini cukup hampir dengan 0, iaitu, keadaan | f(x)|≤ef, Di mana ef ketepatan yang diperlukan sepanjang paksi ordinat), atau "dengan hujah" (segmen yang cukup kecil telah ditemui [ a,b], di dalamnya terdapat akar, i.e. | b–a|≤ex, Di mana ex ketepatan yang diperlukan sepanjang paksi-x).

1.2 Pemisahan akar

Pemisahan akar boleh dilakukan dengan gabungan grafik Dan analitikal kajian fungsi. Kajian sedemikian adalah berdasarkan teorem Weierstrass, yang mengikutnya untuk garis berterusan pada selang [ a,b] fungsi f(x) dan sebarang nombor y, memenuhi syarat f(a)≤y≤f(b), ada betulnya segmen ni x, di mana fungsinya adalah sama y. Oleh itu, untuk fungsi berterusan, cukup untuk mencari segmen di hujungnya yang fungsinya mempunyai tanda yang berbeza, dan anda boleh yakin bahawa pada segmen ini terdapat punca persamaan f(x)=0.

Untuk beberapa kaedah penghalusan, adalah wajar bahawa segmen yang ditemui pada peringkat pertama mengandungi hanya satu punca persamaan. Keadaan ini berpuas hati jika fungsi pada segmen adalah monotonik. Kemonotoni boleh disemak sama ada dengan graf fungsi atau dengan tanda terbitan.

Contoh Cari sehingga integer Semua punca persamaan tak linear y(x)=x3 - 10x+7=0 a) dengan membina jadual dan b) dengan membina graf. Cari punca persamaan pada segmen yang dipilih menggunakan pilihan "Pilih parameter" dan "Cari penyelesaian".

Penyelesaian Mari buat jadual dalam Excel yang mengandungi argumen dan nilai fungsi dan gunakannya untuk membina plot bersepah . Rajah 1 menunjukkan syot kilat penyelesaian.

Graf menunjukkan bahawa persamaan mempunyai tiga punca kepunyaan segmen [-4, -3], dan . Segmen ini boleh dikenal pasti dengan memerhatikan perubahan tanda-tanda fungsi dalam jadual. Berdasarkan graf yang diplot, kita boleh membuat kesimpulan bahawa pada segmen yang ditunjukkan fungsinya f(x) adalah monotonik dan, oleh itu, setiap daripada mereka hanya mengandungi satu punca.

Analisis yang sama boleh dilakukan dalam Mathcad. Untuk melakukan ini, hanya taip definisi fungsi f(x) , menggunakan pengendali tugasan (:=) dan tatatanda konvensional semula jadi untuk operasi matematik dan fungsi standard, tentukan gelung untuk menukar hujah, sebagai contoh, dan kemudian memaparkan jadual nilai fungsi (terletak pada satu baris dengan arahan x= f(x)= ) dan jadual. Kitaran boleh ditentukan, sebagai contoh, dengan arahan x:=-5,-4.5…5 . Langkah kitaran dibentuk dengan menentukan nilai awal dan seterusnya bagi pembolehubah, dan koma bertitik diletakkan sebelum nilai akhir pembolehubah, yang akan dipaparkan secara visual pada skrin sebagai elipsis.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Rajah 1 – Jadual dan graf untuk memisahkan punca-punca persamaan tak linear

1.3 Menapis akar menggunakan alat Excel dan Mathcad standard

Dalam semua kaedah untuk menapis akar, adalah perlu untuk menentukan anggaran awal, yang kemudiannya akan diperhalusi. Jika persamaan mempunyai beberapa punca, bergantung pada anggaran awal yang dipilih, salah satu daripadanya akan dijumpai. Jika anggaran awal kurang dipilih, penyelesaiannya mungkin tidak ditemui. Jika, hasil daripada peringkat pertama pengiraan, segmen yang mengandungi punca tunggal persamaan telah dipilih, mana-mana titik segmen ini boleh diambil sebagai anggaran awal.

Dalam Excel, untuk menjelaskan nilai akar, anda boleh menggunakan pilihan "Pemilihan parameter" dan "Cari penyelesaian". Contoh reka bentuk penyelesaian ditunjukkan dalam Rajah 2 dan 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Rajah 3 – Keputusan menggunakan alat penyelesaian persamaan dalamExcel

Dalam Mathcad, untuk menjelaskan punca persamaan, anda boleh menggunakan fungsi tersebut akar(….) atau blok penyelesaian. Contoh penggunaan fungsi root(...) ditunjukkan dalam Rajah 4, dan blok penyelesaian dalam Rajah 5. Sila ambil perhatian bahawa dalam blok penyelesaian (selepas pengepala blok Diberi) antara sisi kiri dan kanan persamaan hendaklah tanda sama tebal(identiti), yang boleh diperolehi dengan memilih daripada palet alat yang sepadan, atau dengan menekan kekunci secara serentak Ctrl Dan = .

243" ketinggian="31">

Rajah 5 – Menyelesaikan persamaan menggunakan blok penyelesaian dalamMathcad

Seperti yang anda lihat, setiap alat standard mencari penyelesaian kepada persamaan dengan ketepatan tertentu. Ketepatan ini bergantung pada kaedah yang digunakan dalam pakej dan, pada tahap tertentu, tetapan pakej. Menguruskan ketepatan keputusan di sini agak sukar, dan selalunya mustahil.

Pada masa yang sama, sangat mudah untuk membina jadual anda sendiri atau menulis program yang melaksanakan salah satu kaedah untuk menapis akar. Di sini anda boleh menggunakan kriteria ketepatan pengiraan yang ditentukan oleh pengguna. Pada masa yang sama, pemahaman tentang proses pengiraan dicapai tanpa bergantung pada prinsip Mitrofanushka: "Ada pemandu teksi, dia akan membawa anda ke sana."

Beberapa kaedah yang paling biasa dibincangkan di bawah. Mari kita perhatikan perkara yang jelas: perkara lain syarat sama rata kaedah itu menapis akar akan menjadi lebih berkesan, di mana hasil dengan ralat yang sama ditemui dengan lebih kecil bilangan penilaian fungsi f(x)(pada masa yang sama, ketepatan maksimum dicapai dengan nombor yang sama pengiraan fungsi).

1.4 Kaedah membahagi dua bahagian

Dalam kaedah ini, pada setiap langkah segmen dibahagikan kepada dua bahagian yang sama. Kemudian tanda-tanda fungsi di hujung setiap dua bahagian dibandingkan (contohnya, dengan tanda hasil darab nilai-nilai fungsi di hujung), yang mengandungi penyelesaian ditentukan (yang tanda-tanda fungsi di hujung mestilah berbeza), dan. sempitkan segmen dengan mengalihkan sempadannya ke titik yang ditemui ( A atau b). Syarat penamatan ialah kekecilan segmen yang mengandungi akar (“ketepatan dalam x"), atau kehampiran kepada 0 nilai fungsi di tengah segmen (“ketepatan dalam y”). Penyelesaian kepada persamaan dianggap sebagai pertengahan segmen yang terdapat pada langkah terakhir.

Contoh. Bina jadual untuk menjelaskan punca persamaan x3 –10 x+7=0 pada segmen [-4, -3] dengan membahagi dua bahagian. Tentukan berapa banyak langkah yang perlu diambil menggunakan kaedah membahagikan segmen kepada separuh dan ketepatan yang dicapai dalam kes ini X, untuk mencapai ketepatan mengikut y, sama dengan 0.1; 0.01; 0.001.

Penyelesaian Untuk menyelesaikannya, anda boleh menggunakan jadual Pemproses Excel, yang membolehkan anda meneruskan baris secara automatik. Pada langkah pertama, kami memasukkan ke dalam jadual nilai hujung kiri dan kanan segmen awal yang dipilih dan mengira nilai tengah segmen Dengan=(a+b)/2, dan kemudian masukkan formula untuk mengira fungsi pada titik a (f(a)) dan regangkan (salin) untuk mengira f(c) Dan f(b). Dalam lajur terakhir kita mengira ungkapan ( b-a)/2, mencirikan tahap ketepatan pengiraan. Semua formula yang ditaip boleh disalin ke baris kedua jadual.

Dalam langkah kedua, anda perlu mengautomasikan proses mencari separuh daripada segmen yang mengandungi akar. Untuk melakukan ini, gunakan fungsi logik IF ( Menu: InsertFunctionBoolean). Untuk bahagian tepi kiri baharu segmen, kami menyemak kebenaran keadaan f(a)*f(c)>0, jika ia benar, maka kami mengambil nombor itu sebagai nilai baharu hujung kiri segmen c a, c a. Begitu juga, untuk tepi kanan baharu segmen kami menyemak kebenaran keadaan f(c)* f(b)>0, jika ia benar, maka kami mengambil nombor itu sebagai nilai baharu hujung kanan segmen c(memandangkan keadaan ini menunjukkan bahawa akar pada segmen [ c, b] tidak), jika tidak, kami meninggalkan nilai b.

Baris kedua jadual boleh diteruskan (disalin) untuk bilangan baris berikutnya yang diperlukan.

Proses lelaran tamat apabila nilai seterusnya dalam lajur terakhir menjadi kurang daripada ketepatan yang ditentukan cth. Dalam kes ini, nilai tengah segmen dalam anggaran terakhir diambil sebagai nilai anggaran punca persamaan tak linear yang dikehendaki. Rajah 6 menunjukkan syot kilat penyelesaian. Untuk membina proses yang serupa dalam Mathcad, anda boleh menggunakan borang yang serupa dengan yang ditunjukkan dalam Rajah 7. Bilangan langkah N boleh berbeza-beza sehingga ketepatan yang diperlukan dicapai dalam jadual keputusan. Dalam kes ini, jadual secara automatik akan memanjangkan atau memendekkan.

Jadi, salah satu daripada tiga punca persamaan tak linear x 3 – 10x+ 7=0, didapati dengan ketepatan e=0.0001, ialah x= - 3.46686. Seperti yang kita lihat, ia benar-benar tergolong dalam segmen [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Rajah 7 – Penapisan akar dengan membahagikan ruas kepada separuhMathcad

1.5 Kaedah kord

Dalam kaedah ini fungsi tak linear f(x) pada selang yang dipisahkan [ a, b] digantikan dengan satu linear - persamaan kord, iaitu garis lurus yang menghubungkan titik sempadan graf pada segmen. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah adalah monotonisitas fungsi pada segmen awal, memastikan keunikan akar pada segmen ini. Pengiraan menggunakan kaedah kord adalah serupa dengan pengiraan menggunakan kaedah membahagikan segmen kepada separuh, tetapi kini pada setiap langkah titik baru x dalam segmen [ a, b] dikira menggunakan mana-mana formula berikut:

(x) > 0), atau sempadan kanannya: x0 = b(Jika f(b) f"(x)>0). Pengiraan anggaran baharu dalam langkah seterusnya i+1 dihasilkan mengikut formula:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Rajah 8 – Penapisan akar menggunakan kaedah tangen dalam Excel

Pengiraan dalam Mathcad dilakukan dengan cara yang sama. Dalam kes ini, kelegaan yang ketara ialah kehadiran dalam pakej pengendali ini yang secara automatik mengira terbitan fungsi.

Elemen pengiraan yang paling memakan masa menggunakan kaedah Newton ialah mengira derivatif pada setiap langkah.

Boleh digunakan dalam keadaan tertentu dipermudahkan kaedah Newton, di mana terbitan dikira sekali sahaja - pada titik permulaan. Dalam kes ini, formula yang diubah suai digunakan

.

Sememangnya, kaedah yang dipermudahkan biasanya memerlukan lebih langkah-langkah.

Jika mengira derivatif melibatkan kesukaran yang serius (contohnya, jika fungsi tidak ditentukan oleh ungkapan analitikal, tetapi oleh atur cara yang mengira nilainya), gunakan kaedah yang diubah suai Newton, dipanggil kaedah secant. Di sini derivatif dikira kira-kira daripada nilai fungsi pada dua titik berturut-turut, iaitu, formula digunakan

.

Dalam kaedah secant, adalah perlu untuk menentukan bukan satu, tetapi dua titik permulaan - x0 Dan x1 . titik x1 biasanya ditentukan oleh syif x0 ke sempadan segmen yang lain dengan jumlah yang kecil, contohnya, sebanyak 0.01.

1.7 Kaedah gabungan

Ia boleh ditunjukkan bahawa jika pada segmen awal fungsi f(x) Jika tanda-tanda terbitan pertama dan kedua kekal tidak berubah, maka kaedah kord dan Newton mendekati punca dari arah yang berbeza. Kaedah gabungan menggunakan kedua-dua algoritma secara serentak pada setiap langkah untuk meningkatkan kecekapan. Dalam kes ini, selang yang mengandungi akar dikurangkan pada kedua-dua belah pihak, yang menentukan syarat lain untuk menamatkan carian. Carian boleh dihentikan sebaik sahaja di tengah-tengah selang yang diperoleh pada langkah seterusnya nilai fungsi menjadi kurang dalam nilai mutlak daripada ralat pratetap ef.

Jika, mengikut peraturan yang dirumuskan di atas, kaedah Newton digunakan pada sempadan kanan segmen, formula digunakan untuk pengiraan:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Jika kaedah Newton digunakan pada sempadan kiri, sebutan dalam formula sebelumnya ditukar a Dan b.

1.8 Kaedah lelaran

Untuk menggunakan kaedah ini, persamaan asal f(x)=0 bertukar kepada bentuk: x=y(X). Kemudian pilih nilai awal x0 dan gantikannya ke sebelah kiri persamaan, mendapat, masuk kes am, x1 = y(x0)¹ x0¹ y(x1), kerana ia x0 diambil sewenang-wenangnya dan bukan punca persamaan. Nilai yang diterima x1 dianggap sebagai satu lagi pendekatan kepada akar. Dia sedang dibingkai lagi sebelah kanan persamaan dan dapatkan nilai seterusnya x2=y(x1)). Pengiraan diteruskan mengikut formula xi+1=y(xi). Urutan yang terhasil ialah: x0, x1, x2, x3 x4,... dalam keadaan tertentu menumpu kepada akar xtochn.

Ia boleh ditunjukkan bahawa proses lelaran menumpu di bawah keadaan
|y’ (x) | < 1 на [a, b].

wujud pelbagai cara persamaan transformasi f(x)= 0 untuk dilihat y(X) = X, dan dalam kes tertentu, sesetengah daripadanya akan membawa kepada penumpuan, dan yang lain kepada proses pengiraan yang berbeza.

Salah satu cara adalah dengan menggunakan formula

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

di mana M= maks | y’ (x)| pada [ a, b].

2 Menyelesaikan sistem persamaan tak linear

2.1 Maklumat am tentang penyelesaian sistem persamaan tak linear

sistem n persamaan tak linear dengan n tidak diketahui x1, x2, ..., xn ditulis dalam bentuk:

di mana F1, F2,…, Fn– fungsi pembolehubah bebas, termasuk yang tidak linear.

Seperti dalam kes sistem persamaan linear, penyelesaian kepada sistem ialah vektor berikut X*, yang, apabila diganti, secara serentak menukar semua persamaan sistem menjadi identiti.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Nilai awal x0 Dan y0 ditentukan secara grafik. Untuk mencari setiap anggaran berikutnya (xi+1 , yi+1 ) gunakan vektor nilai fungsi dan matriks nilai derivatif pertama mereka, dikira pada titik sebelumnya (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Untuk mengira anggaran baru pada satu langkah i+1 formula matriks digunakan

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Formula di atas amat mudah untuk ditulis dalam Mathcad, di mana terdapat pengendali untuk mengira derivatif dan operasi dengan matriks. Namun, apabila penggunaan yang betul operasi matriks Formula ini boleh ditulis dengan mudah dalam Excel. Benar, di sini anda perlu mendapatkan formula untuk mengira derivatif terlebih dahulu. Mathcad juga boleh digunakan untuk pengiraan analisis derivatif.

2.3 Menyelesaikan sistem persamaan tak linear menggunakan kaedah lelaran

Untuk melaksanakan kaedah ini, sistem persamaan asal diperlukan oleh transformasi algebra nyatakan setiap pembolehubah secara eksplisit dari segi yang lain. Untuk kes dua persamaan dengan dua tidak diketahui sistem baru akan kelihatan seperti

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Jika salah satu daripada penyelesaian sistem dan nilai awal x0 Dan y0 berbaring di kawasan itu D, diberikan oleh ketaksamaan: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, kemudian pengiraan menggunakan kaedah lelaran mudah menumpu apabila dilaksanakan di rantau ini D nisbah:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

DALAM Kaedah lelaran Seidel Untuk setiap pengiraan, nilai paling tepat bagi setiap pembolehubah yang telah dijumpai digunakan. Untuk kes dua pembolehubah yang sedang dipertimbangkan, logik ini membawa kepada formula

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Alat (pilihan)

Pengiraan awal

akarx

f(x)

3. Isih keputusan yang diperolehi mengikut ketepatan penyelesaian.

Biarkan nilai anggaran punca persamaan ditemui f(x) = 0, mari kita nyatakan x n. Formula pengiraan Kaedah Newton untuk menentukan pendekatan seterusnya x n+1 boleh diperolehi dalam dua cara.

Cara pertama menyatakan makna geometri Kaedah Newton dan terdiri daripada fakta bahawa bukannya titik persilangan graf fungsi y = f(x) dengan gandar OX, kami sedang mencari titik persilangan dengan paksi OX tangen dilukis pada graf fungsi pada titik ( x n, f(x n)) seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 2.6. Persamaan tangen mempunyai bentuk .

nasi. 2.7. Kaedah Newton (tangen)

Pada titik persilangan tangen dengan paksi OX pembolehubah y = 0. Menyamakan y sifar, mari kita nyatakan x dan kami mendapat formulanya kaedah tangen:

(2.6)

Cara kedua. Mari kembangkan fungsi f(x) ke dalam siri Taylor di sekitar satu titik x = x n:

Mari kita hadkan diri kita kepada linear berkenaan dengan ( x – xn) istilah, kita samakan dengan sifar f(x) dan, menyatakan yang tidak diketahui daripada persamaan yang terhasil x dan menandakannya dengan x n+1 , kami mendapat formula (2.6).

Mari kita kemukakan syarat yang mencukupi untuk penumpuan kaedah Newton.

Teorem 2.3. Biarkan syarat berikut dipenuhi pada segmen:

1) fungsi dan terbitannya adalah berterusan;

2) derivatif dan berbeza daripada sifar dan mengekalkan tanda malar tertentu;

3) (fungsi bertukar tanda pada segmen).

Kemudian terdapat segmen yang mengandungi punca persamaan yang dikehendaki di mana jujukan lelaran menumpu. Jika, sebagai anggaran sifar, kita memilih titik sempadan di mana tanda fungsi itu bertepatan dengan tanda terbitan kedua, i.e. , maka turutan lelaran menumpu secara monoton (Rajah 2.8).

Bukti. Memandangkan ia berterusan, bertukar tanda dan monotonik pada , maka ialah selang pengasingan akar. Mari kita nyatakan akar yang dikehendaki dengan . Pertimbangkan fungsinya dan cari terbitannya. Jadi, berterusan pada , hilang pada titik , kerana pada ketika ini fungsi hilang. Oleh itu, terdapat segmen () seperti itu . Jika kita mengambil bahagian segmen itu di mana , maka, oleh itu, fungsi semakin meningkat, tetapi kemudian urutannya adalah monotonik.

nasi. 2.8. Syarat yang mencukupi penumpuan kaedah Newton

Komen. Ambil perhatian bahawa kaedah kord hanya disertakan sebelah bertentangan, dan kedua-dua kaedah ini boleh melengkapi antara satu sama lain, dan gabungan adalah mungkin kaedah kord-tangen.

Contoh 2.7. Perhalusi punca persamaan kepada 0.000001 menggunakan kaedah Newton
dosa 5 x+ x 2 – 1 = 0. Ambil sebagai nilai awal x 0 = – 0,7.

Penyelesaian. Mari cari derivatif .

DALAM program Excel mari perkenalkan formula pengiraan:

1) Masukkan formula dan tatatanda dalam sel julat A 1:D 3 dan salin ke bawah sel dengan formula dengan penanda isian: B 3 - sehingga B 5,
C 2 - sehingga C 5, D 2 - sehingga D 5;

Jadual 2.9

	A	B	C	D
	k	x	f(x)	f"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

Keputusan pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 2.10. Nilai punca yang diperoleh ialah – 0.726631609 ≈ – 0.726632 dengan ralat 0.000001.

Jadual 2.10

	A	B	C	D	A
	k	x	f(x)	f"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1.00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1.45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

Mari buat fungsi dalam Excel untuk menyelesaikan persamaan daripada Contoh 2.7 menggunakan kaedah Newton.

"Tidak seperti kaedah kord, dalam kaedah tangen, bukannya kord, pada setiap langkah tangen ke lengkung dilukis y=F(x) di x=x n dan titik persilangan tangen dengan paksi-x dicari:

Formula untuk penghampiran (n+1) ialah:

Jika F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, jika tidak x 0 =b.

Proses berulang berterusan sehingga didapati bahawa:

Contoh:

Marilah kita diberikan tugas seperti berikut: Jelaskan punca-punca persamaan cos(2x)+x-5=0 menggunakan kaedah tangen dengan ketepatan 0.00001.

Pada mulanya, anda perlu memutuskan x0 sama dengan: sama ada a atau b. Untuk melakukan ini, anda perlu melakukan perkara berikut:

Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f2(x)=-4cos(2x).

Hasilnya adalah seperti berikut:

Oleh kerana x0=b, anda perlu melakukan langkah berikut:

Isikan sel seperti berikut (perhatikan nama dan nombor lajur semasa mengisi - ia sepatutnya sama seperti dalam rajah):

Dalam sel A6, masukkan formula =D5.

Pilih julat sel B5:E5 dan gunakan kaedah seret dan lepas untuk mengisi julat sel B6:E6.

Pilih julat sel A6:E5 dan, menggunakan kaedah seret dan lepas, isikan julat sel bawah sehingga anda mendapat keputusan dalam salah satu sel lajur E (julat sel A6:E9).

Akibatnya, kami mendapat yang berikut:

4. Kaedah gabungan kord dan tangen

Untuk mencapai ralat yang paling tepat, perlu menggunakan kaedah kord dan tangen secara serentak. "Menggunakan formula kord, seseorang dapati x n+1, dan mengikut formula tangen - z n+1. Proses mencari punca anggaran terhenti sebaik sahaja:

Sebagai punca anggaran, ambil nilai yang sama dengan (11) :"[2 ]

Biarlah perlu untuk menjelaskan punca-punca persamaan cos(2x)+x-5=0 menggunakan kaedah gabungan dengan ketepatan 0.00001.

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan Excel, anda mesti melakukan langkah berikut:

Oleh kerana dalam kaedah gabungan adalah perlu untuk menggunakan salah satu formula kord dan formula tangen, notasi berikut perlu diperkenalkan untuk memudahkan:

Untuk formula kord, nyatakan:

Pembolehubah c akan memainkan peranan a atau b bergantung kepada situasi.

Notasi selebihnya adalah serupa dengan yang diberikan dalam formula kord, hanya mengambil kira pembolehubah yang diperkenalkan di atas.

Untuk formula tangen, nyatakan:

Notasi selebihnya adalah serupa dengan yang diberikan dalam formula tangen, hanya mengambil kira pembolehubah yang diperkenalkan di atas.

Cari terbitan tertib pertama bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Cari terbitan tertib kedua bagi fungsi f(x)=cos(2x)+x-5. Ia akan kelihatan seperti ini: f2(x)=-4cos(2x).

Isikan sel seperti berikut (perhatikan nama dan nombor lajur semasa mengisi - ia sepatutnya sama seperti dalam rajah):

Hasilnya adalah seperti berikut:

Dalam sel G1 masukkan e, dan dalam G2 masukkan nombor 0.00001.

Dalam sel H1 masukkan c, dan dalam H2 masukkan nombor 6, kerana c=b (lihat sel F2).

Dalam sel I1 masukkan f(c), dan dalam I2 masukkan formula =COS(2*H2)+H2-5.

Isikan sel secara berurutan seperti berikut (perhatikan nama dan nombor lajur semasa mengisi - ia sepatutnya sama seperti dalam rajah):

Dalam sel A6, masukkan formula =E5.

Dalam sel F6, masukkan formula =I5.

Pilih julat sel B5:E5 dan gunakan penanda autolengkap untuk mengisi julat sel B6:E6.

Pilih julat sel G5:K5 dan gunakan penanda autolengkap untuk mengisi julat sel G6:K6.

Pilih julat sel A6:K6 dan isikan semua sel bawah menggunakan kaedah seret dan lepas sehingga anda menerima jawapan dalam salah satu sel lajur K (julat sel A6:K9).

Akibatnya, kami mendapat yang berikut:

Jawapan: Punca bagi persamaan cos(2x)+x-5=0 ialah 5.32976.