Selesaikan slough dengan kaedah matriks dalam talian. Peraturan Cramer

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa agar matriks songsang wujud, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
Tulis matriks songsang A -1, yang berada dalam jadual terakhir di bawah matriks E jadual asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks. Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama pembentukan sistem penunjuk ekonomi dijalankan dan berdasarkannya matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua jumlah yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai terbesar dan matriks pekali piawai terbentuk.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat nilai penilaian yang ditemui Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, dalam analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta dalam menilai penunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Pertimbangkan sistem persamaan algebra linear(LAMBAT) berkenaan n tidak diketahui x 1 , x 2 , ..., x n :

Sistem ini dalam bentuk "dilipat" boleh ditulis seperti berikut:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Selaras dengan peraturan pendaraban matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan boleh ditulis dalam bentuk matriks ax=b, Di mana

, ,.

Matriks A, yang lajurnya adalah pekali untuk yang tidak diketahui yang sepadan, dan baris adalah pekali untuk yang tidak diketahui dalam persamaan yang sepadan dipanggil matriks sistem. matriks lajur b, yang unsur-unsurnya adalah bahagian kanan persamaan sistem, dipanggil matriks bahagian kanan atau ringkasnya sebelah kanan sistem. matriks lajur x , yang unsur-unsurnya tidak diketahui tidak diketahui, dipanggil penyelesaian sistem.

Sistem persamaan algebra linear yang ditulis sebagai ax=b, ialah persamaan matriks.

Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang, dan kemudian penyelesaian sistem ax=b diberikan oleh formula:

x=A -1 b.

Contoh Selesaikan sistem kaedah matriks.

Penyelesaian cari matriks songsang bagi matriks pekali sistem itu

Kira penentu dengan mengembangkan pada baris pertama:

Kerana ia Δ ≠ 0 , Itu A -1 wujud.

Matriks songsang ditemui dengan betul.

Mari cari penyelesaian kepada sistem

Oleh itu, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Peperiksaan:

7. Teorem Kronecker-Capelli mengenai keserasian sistem persamaan algebra linear.

Sistem persamaan linear kelihatan seperti:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j ialah nombor nyata yang tidak diketahui. Menggunakan konsep hasil darab matriks, kita boleh menulis semula sistem (5.1) dalam bentuk:

di mana A = (a i j) ialah matriks yang terdiri daripada pekali bagi sistem yang tidak diketahui (5.1), yang dipanggil matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vektor lajur masing-masing terdiri daripada x j dan sebutan bebas b i .

Koleksi yang dipesan n nombor nyata (c 1 , c 2 ,..., c n) dipanggil penyelesaian sistem(5.1) jika hasil daripada penggantian nombor ini dan bukannya pembolehubah sepadan x 1 , x 2 ,..., x n setiap persamaan sistem bertukar menjadi identiti aritmetik; dengan kata lain, jika wujud vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T supaya AC  B.

Sistem (5.1) dipanggil sendi, atau boleh diselesaikan jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Sistem itu dipanggil tidak serasi, atau tidak larut jika ia tidak mempunyai penyelesaian.

dibentuk dengan memberikan lajur sebutan bebas kepada matriks A di sebelah kanan, dipanggil sistem matriks lanjutan.

Persoalan keserasian sistem (5.1) diselesaikan dengan teorem berikut.

Teorem Kronecker-Capelli . Sistem persamaan linear adalah konsisten jika dan hanya jika kedudukan matriks A dan A bertepatan, i.e. r(A) = r(A) = r.

Untuk set M penyelesaian kepada sistem (5.1), terdapat tiga kemungkinan:

1) M =  (dalam kes ini sistem tidak konsisten);

2) M terdiri daripada satu unsur, iaitu. sistem mempunyai penyelesaian yang unik (dalam kes ini sistem dipanggil pasti);

3) M terdiri daripada lebih daripada satu elemen (kemudian sistem dipanggil tidak pasti). Dalam kes ketiga, sistem (5.1) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Sistem ini mempunyai penyelesaian unik hanya jika r(A) = n. Dalam kes ini, bilangan persamaan tidak kurang daripada bilangan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n adalah akibat daripada yang lain. Jika 0

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear arbitrari, seseorang mesti dapat menyelesaikan sistem di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, yang dipanggil Sistem jenis cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistem (5.3) diselesaikan dalam salah satu cara berikut: 1) dengan kaedah Gauss, atau dengan kaedah menghapuskan yang tidak diketahui; 2) mengikut formula Cramer; 3) dengan kaedah matriks.

Contoh 2.12. Menyiasat sistem persamaan dan menyelesaikannya jika ia serasi:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Penyelesaian. Kami menulis matriks lanjutan sistem:

 .

Mari kita mengira pangkat matriks utama sistem. Adalah jelas bahawa, sebagai contoh, minor urutan kedua di sudut kiri atas = 7  0; bawah umur peringkat ketiga yang mengandunginya adalah sama dengan sifar:

Oleh itu, pangkat matriks utama sistem ialah 2, i.e. r(A) = 2. Untuk mengira pangkat matriks lanjutan A, pertimbangkan minor bersempadan

maka, pangkat bagi matriks lanjutan ialah r(A) = 3. Oleh kerana r(A)  r(A), sistem itu tidak konsisten.

Topik 2. SISTEM PERSAMAAN ALGEBRA LINEAR.

Konsep asas.

Definisi 1. sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana dan adalah nombor.

Definisi 2. Penyelesaian sistem (I) adalah satu set yang tidak diketahui, di mana setiap persamaan sistem ini bertukar menjadi identiti.

Definisi 3. Sistem (I) dipanggil sendi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dan tidak serasi jika ia tidak mempunyai penyelesaian. Sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak pasti sebaliknya.

Definisi 4. Taip persamaan

dipanggil sifar, dan persamaan bentuk

dipanggil tidak serasi. Jelas sekali, sistem persamaan yang mengandungi persamaan tidak konsisten adalah tidak konsisten.

Definisi 5. Dua sistem persamaan linear dipanggil bersamaan jika setiap penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian yang lain dan, sebaliknya, setiap penyelesaian sistem kedua ialah penyelesaian yang pertama.

Tatatanda matriks untuk sistem persamaan linear.

Pertimbangkan sistem (I) (lihat §1).

Nyatakan:

Matriks pekali untuk yang tidak diketahui

Matriks - lajur ahli percuma

Matriks - lajur yang tidak diketahui

Definisi 1. Matriks dipanggil matriks utama sistem(I), dan matriks ialah matriks tambahan sistem (I).

Dengan takrifan kesamaan matriks, sistem (I) sepadan dengan kesamaan matriks:

Bahagian kanan kesamaan ini mengikut takrif hasil darab matriks ( lihat definisi 3 § 5 bab 1) boleh difaktorkan:

, iaitu

Kesaksamaan (2) dipanggil tatatanda matriks sistem (I).

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n, iaitu bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, dan matriks utama sistem adalah tidak merosot, i.e. . Kemudian sistem (I) dari §1 mempunyai penyelesaian yang unik

di mana ∆ = det A dipanggil utama penentu sistem(I), ∆ i diperoleh daripada penentu Δ dengan menggantikan i-lajur ke lajur ahli bebas sistem (I).

Contoh. Selesaikan sistem dengan kaedah Cramer:

Dengan formula (3) .

Kami mengira penentu sistem:

Untuk mendapatkan penentu, kami telah menggantikan lajur pertama dalam penentu dengan lajur terma bebas; menggantikan lajur ke-2 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh; begitu juga, menggantikan lajur ke-3 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh . Penyelesaian sistem:

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n dan matriks utama sistem adalah tidak merosot. Kami menulis sistem (I) dalam bentuk matriks ( lihat §2):

kerana matriks A tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang ( lihat Teorem 1 §6 Bab 1). Darab kedua-dua belah persamaan (2) ke matriks, kemudian

Mengikut takrifan matriks songsang . Daripada kesamarataan (3) kita ada

Selesaikan sistem menggunakan matriks songsang

Tandakan

Dalam contoh (§ 3) kita mengira penentu , oleh itu, matriks A mempunyai matriks songsang. Kemudian berkuat kuasa (4) , iaitu

. (5)

Cari matriks ( lihat §6 bab 1)

, , ,

Kaedah Gauss.

Biarkan sistem persamaan linear diberikan:

. (saya)

Ia diperlukan untuk mencari semua penyelesaian sistem (I) atau untuk memastikan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Definisi 1.Mari kita panggil transformasi asas sistem(I) mana-mana daripada tiga tindakan:

1) pemadaman persamaan sifar;

2) menambah pada kedua-dua bahagian persamaan bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor l;

3) menukar istilah dalam persamaan sistem supaya yang tidak diketahui dengan nombor yang sama dalam semua persamaan menduduki tempat yang sama, i.e. jika, sebagai contoh, dalam persamaan 1 kita menukar sebutan ke-2 dan ke-3, maka perkara yang sama mesti dilakukan dalam semua persamaan sistem.

Kaedah Gauss terdiri daripada fakta bahawa sistem (I) dengan bantuan transformasi asas dikurangkan kepada sistem yang setara, penyelesaiannya didapati secara langsung atau ketidakbolehlarutannya ditubuhkan.

Seperti yang diterangkan dalam §2, sistem (I) ditentukan secara unik oleh matriks lanjutannya, dan sebarang transformasi asas sistem (I) sepadan dengan transformasi asas matriks lanjutan:

Penjelmaan 1) sepadan dengan pemadaman baris sifar dalam matriks , penjelmaan 2) adalah bersamaan dengan menambah pada baris sepadan matriks baris lainnya didarab dengan nombor l, penjelmaan 3) adalah bersamaan dengan menyusun semula lajur dalam matriks .

Adalah mudah untuk melihat bahawa, sebaliknya, setiap transformasi asas matriks sepadan dengan transformasi asas sistem (I). Memandangkan apa yang telah diperkatakan, bukannya operasi dengan sistem (I), kami akan bekerja dengan matriks tambahan sistem ini.

Dalam matriks, lajur 1 terdiri daripada pekali pada x 1, lajur ke-2 - daripada pekali pada x 2 dan lain-lain. Dalam kes penyusunan semula lajur, ia harus diambil kira bahawa syarat ini dilanggar. Sebagai contoh, jika kita menukar lajur 1 dan 2, maka sekarang dalam lajur 1 akan terdapat pekali pada x 2, dan dalam lajur ke-2 - pekali pada x 1.

Kami akan menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss.

1. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada (iaitu, potong semua persamaan sifar dalam sistem (I).

2. Semak sama ada terdapat baris antara baris matriks di mana semua elemen kecuali yang terakhir adalah sama dengan sifar (mari kita panggil baris sedemikian tidak konsisten). Jelas sekali, garis sedemikian sepadan dengan persamaan yang tidak konsisten dalam sistem (I), oleh itu, sistem (I) tidak mempunyai penyelesaian, dan di sinilah proses itu berakhir.

3. Biarkan matriks tidak mengandungi baris tidak konsisten (sistem (I) tidak mengandungi persamaan tidak konsisten). Jika a 11 =0, maka kita dapati dalam baris pertama beberapa elemen (kecuali yang terakhir) yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya tiada sifar dalam baris pertama di tempat pertama. Kami kini menganggap bahawa (iaitu, kami menukar istilah yang sepadan dalam persamaan sistem (I)).

4. Darabkan baris pertama dengan dan tambahkan hasil pada baris ke-2, kemudian darab baris pertama dengan dan tambahkan hasilnya pada baris ke-3, dsb. Jelas sekali, proses ini bersamaan dengan menghapuskan yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali yang pertama. Dalam matriks baharu, kita mendapat sifar dalam lajur pertama di bawah elemen a 11:

5. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada, semak jika terdapat baris yang tidak konsisten (jika ada, maka sistem tidak konsisten dan penyelesaiannya berakhir di sana). Mari kita semak jika a 22 / =0, jika ya, maka kita dapati elemen dalam baris ke-2 yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya . Seterusnya, kita darabkan unsur-unsur baris ke-2 dengan dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-3, kemudian - elemen baris ke-2 dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-4, dsb., sehingga kita mendapat sifar di bawah a 22 /

Tindakan yang dilakukan adalah bersamaan dengan penghapusan yang tidak diketahui x 2 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali untuk 1 dan 2. Oleh kerana bilangan baris adalah terhingga, oleh itu, selepas bilangan langkah terhingga, kita akan mendapat sama ada sistem itu tidak konsisten, atau kita akan sampai ke matriks langkah ( lihat definisi 2 §7 bab 1) :

Mari kita tuliskan sistem persamaan yang sepadan dengan matriks. Sistem ini bersamaan dengan sistem (I)

Daripada persamaan terakhir kita nyatakan ; kita gantikan ke dalam persamaan sebelumnya, cari, dsb., sehingga kita mendapat .

Catatan 1. Oleh itu, apabila menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss, kita tiba di salah satu daripada kes berikut.

1. Sistem (I) tidak konsisten.

2. Sistem (I) mempunyai penyelesaian yang unik jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui ().

3. Sistem (I) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika bilangan baris dalam matriks kurang daripada bilangan yang tidak diketahui ().

Oleh itu teorem berikut berlaku.

Teorem. Sistem persamaan linear sama ada tidak konsisten, atau mempunyai penyelesaian unik, atau terdapat set penyelesaian tak terhingga.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss atau buktikan ketidaktekalannya:

b) ;

a) Mari kita tulis semula sistem yang diberikan dalam bentuk:

Kami menukar persamaan 1 dan 2 sistem asal untuk memudahkan pengiraan (bukan pecahan, kami akan beroperasi hanya dengan integer menggunakan pilih atur sedemikian).

Kami menyusun matriks yang diperluaskan:

Tiada garisan nol; tiada garisan yang tidak serasi, ; kami mengecualikan yang pertama yang tidak diketahui daripada semua persamaan sistem, kecuali untuk yang pertama. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan unsur-unsur baris pertama matriks dengan "-2" dan menambahnya kepada unsur-unsur yang sepadan pada baris ke-2, yang bersamaan dengan mendarabkan persamaan pertama dengan "-2" dan menambahkannya pada persamaan ke-2. Kemudian kita darabkan unsur-unsur baris pertama dengan "-3" dan tambahkannya kepada unsur-unsur yang sepadan dengan baris ketiga, i.e. darabkan persamaan ke-2 sistem yang diberi dengan "-3" dan tambahkannya pada persamaan ke-3. Dapatkan

Matriks sepadan dengan sistem persamaan). - (lihat Takrif 3 § 7 Bab 1).

Persamaan secara umum, persamaan algebra linear dan sistemnya, serta kaedah untuk menyelesaikannya, menduduki tempat yang istimewa dalam matematik, baik secara teori mahupun gunaan.

Ini disebabkan oleh fakta bahawa sebahagian besar masalah fizikal, ekonomi, teknikal dan juga pedagogi boleh diterangkan dan diselesaikan menggunakan pelbagai persamaan dan sistemnya. Baru-baru ini, pemodelan matematik telah mendapat populariti tertentu di kalangan penyelidik, saintis dan pengamal dalam hampir semua bidang subjek, yang dijelaskan oleh kelebihannya yang jelas berbanding kaedah lain yang terkenal dan terbukti untuk mengkaji objek pelbagai alam, khususnya, kompleks yang dipanggil. sistem. Terdapat pelbagai jenis definisi berbeza bagi model matematik yang diberikan oleh saintis pada masa yang berbeza, tetapi pada pendapat kami, yang paling berjaya ialah pernyataan berikut. Model matematik ialah idea yang dinyatakan oleh persamaan. Oleh itu, keupayaan untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan dan sistemnya adalah ciri penting pakar moden.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, kaedah yang paling biasa digunakan ialah: Cramer, Jordan-Gauss dan kaedah matriks.

Kaedah penyelesaian matriks - kaedah penyelesaian sistem persamaan algebra linear dengan penentu bukan sifar menggunakan matriks songsang.

Jika kita menulis pekali untuk nilai yang tidak diketahui xi ke dalam matriks A, kumpulkan nilai yang tidak diketahui ke dalam vektor lajur X, dan sebutan bebas ke dalam vektor lajur B, maka sistem persamaan algebra linear boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks berikut A X = B, yang mempunyai penyelesaian unik hanya apabila penentu matriks A tidak sama dengan sifar. Dalam kes ini, penyelesaian sistem persamaan boleh didapati dengan cara berikut X = A-1 · B, Di mana A-1 - matriks songsang.

Kaedah penyelesaian matriks adalah seperti berikut.

Biarkan sistem persamaan linear diberikan dengan n tidak diketahui:

Ia boleh ditulis semula dalam bentuk matriks: AX = B, Di mana A- matriks utama sistem, B Dan X- lajur ahli percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing:

Darabkan persamaan matriks di sebelah kiri ini dengan A-1 - matriks songsang kepada matriks A: A -1 (AX) = A -1 B

Kerana A -1 A = E, kita mendapatkan X= A -1 B. Bahagian kanan persamaan ini akan memberikan lajur penyelesaian kepada sistem asal. Syarat untuk kebolehgunaan kaedah ini (serta kewujudan umum penyelesaian kepada sistem persamaan linear yang tidak homogen dengan bilangan persamaan yang sama dengan bilangan yang tidak diketahui) ialah ketakdegenerasi matriks A. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk ini ialah penentu matriks A: det A≠ 0.

Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu, apabila vektor B = 0 , sesungguhnya peraturan yang bertentangan: sistem AX = 0 mempunyai penyelesaian bukan remeh (iaitu, bukan sifar) hanya jika det A= 0. Hubungan sedemikian antara penyelesaian sistem homogen dan tak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif Fredholm.

Contoh penyelesaian sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear.

Mari kita pastikan bahawa penentu matriks, yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui bagi sistem persamaan algebra linear, tidak sama dengan sifar.

Langkah seterusnya ialah mengira pelengkap algebra bagi unsur-unsur matriks yang terdiri daripada pekali bagi yang tidak diketahui. Mereka akan diperlukan untuk mencari matriks songsang.

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman dahulu dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Kaedah matriks membolehkan mencari penyelesaian kepada SLAE (sistem persamaan algebra linear) bagi sebarang kerumitan. Keseluruhan proses menyelesaikan SLAE datang kepada dua langkah utama:

Penentuan matriks songsang berdasarkan matriks utama:

Pendaraban matriks songsang yang terhasil dengan vektor lajur penyelesaian.

Katakan kita diberi SLAE dalam bentuk berikut:

\[\left\(\begin(matriks) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matriks)\kanan.\]

Mari kita mulakan menyelesaikan persamaan ini dengan menulis matriks sistem:

Matriks sebelah kanan:

Mari kita takrifkan matriks songsang. Anda boleh mencari matriks tertib ke-2 seperti berikut: 1 - matriks itu sendiri mestilah bukan tunggal; 2 - unsur-unsurnya yang berada pada pepenjuru utama ditukar ganti, dan untuk unsur-unsur pepenjuru sekunder kita melakukan perubahan tanda kepada yang bertentangan, selepas itu kita membahagikan unsur-unsur yang diperolehi dengan penentu matriks. Kita mendapatkan:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ mula(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matriks dianggap sama jika elemen yang sepadan adalah sama. Akibatnya, kami mempunyai jawapan berikut untuk penyelesaian SLAE:

Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah matriks dalam talian?

Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh mempelajari cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan Vkontakte kami.