Selesaikan slough cari sistem asas penyelesaian biasa. Menyelesaikan sistem persamaan linear homogen

Sistem persamaan linear, yang mana semua istilah bebas adalah sama dengan sifar dipanggil homogen :

Mana-mana sistem homogen sentiasa konsisten, kerana ia sentiasa ada sifar (remeh temeh ) penyelesaian. Persoalannya timbul dalam keadaan apakah sistem homogen akan mempunyai penyelesaian bukan remeh.

Teorem 5.2.Sistem homogen mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika pangkat matriks utama kurang bilangan dia tidak diketahui.

Akibat. Sistem homogen persegi mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu matriks utama sistem itu tidak sama dengan sifar.

Contoh 5.6. Tentukan nilai parameter l di mana sistem mempunyai penyelesaian bukan remeh, dan cari penyelesaian ini:

Penyelesaian. Sistem ini akan mempunyai penyelesaian bukan remeh apabila penentu matriks utama adalah sama dengan sifar:

Oleh itu, sistem ini bukan remeh apabila l=3 atau l=2. Untuk l=3, pangkat matriks utama sistem ialah 1. Kemudian, tinggalkan hanya satu persamaan dan andaikan bahawa y=a Dan z=b, kita dapat x=b-a, iaitu

Untuk l=2, pangkat matriks utama sistem ialah 2. Kemudian, pilih minor sebagai asas:

kita mendapat sistem yang dipermudahkan

Dari sini kita dapati itu x=z/4, y=z/2. Percaya z=4a, kita dapat

Set semua penyelesaian sistem homogen mempunyai yang sangat penting sifat linear : jika lajur X 1 dan X 2 - penyelesaian kepada sistem homogen AX = 0, maka sebarang kombinasi linear daripadanya a X 1 + b X 2 juga akan menjadi penyelesaian kepada sistem ini. Memang sejak AX 1 = 0 Dan AX 2 = 0 , Itu A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Kerana sifat ini, jika sistem linear mempunyai lebih daripada satu penyelesaian, maka akan terdapat nombor tak terhingga bagi penyelesaian ini.

Lajur bebas linear E 1 , E 2 , E k, yang merupakan penyelesaian sistem homogen, dipanggil sistem asas penyelesaian sistem persamaan linear homogen jika penyelesaian umum sistem ini boleh ditulis sebagai gabungan linear lajur ini:

Jika sistem homogen mempunyai n pembolehubah, dan pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan r, Itu k = n-r.

Contoh 5.7. Cari sistem penyelesaian asas sistem seterusnya persamaan linear:

Penyelesaian. Mari cari pangkat matriks utama sistem:

Oleh itu, set penyelesaian kepada sistem persamaan ini membentuk subruang linear dimensi n-r= 5 - 2 = 3. Mari kita pilih minor sebagai asas

.

Kemudian, meninggalkan hanya persamaan asas (selebihnya akan menjadi gabungan linear persamaan ini) dan pembolehubah asas (kita memindahkan selebihnya, yang dipanggil pembolehubah bebas ke kanan), kita memperoleh sistem persamaan yang dipermudahkan:

Percaya x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, kami dapati

, .

Percaya a= 1, b = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas pertama; beriman b= 1, a = c= 0, kita memperoleh penyelesaian asas kedua; beriman c= 1, a = b= 0, kita memperoleh penyelesaian asas ketiga. Akibatnya, sistem asas penyelesaian biasa akan terbentuk

menggunakan sistem asas penyelesaian umum sistem homogen boleh ditulis dalam bentuk

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Mari kita perhatikan beberapa sifat penyelesaian kepada sistem persamaan linear yang tidak homogen AX=B dan hubungannya dengan sistem persamaan homogen yang sepadan AX = 0.

Penyelesaian umum sistem tidak homogensama dengan jumlah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX = 0 dan penyelesaian tertentu arbitrari sistem tidak homogen. Sesungguhnya, biarkan Y 0 ialah penyelesaian tertentu arbitrari bagi sistem tidak homogen, i.e. AY 0 = B, Dan Y- penyelesaian umum sistem heterogen, i.e. AY=B. Menolak satu kesamaan daripada yang lain, kita dapat
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ialah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan AX=0. Oleh itu, Y-Y 0 = X, atau Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Biarkan sistem tidak homogen mempunyai bentuk AX = B 1 + B 2 . Kemudian penyelesaian umum sistem sedemikian boleh ditulis sebagai X = X 1 + X 2 , di mana AX 1 = B 1 dan AX 2 = B 2. Sifat ini menyatakan sifat universal mana-mana sistem linear secara umum (algebra, pembezaan, fungsian, dsb.). Dalam fizik sifat ini dipanggil prinsip superposisi, dalam kejuruteraan elektrik dan radio - prinsip superposisi. Contohnya, dalam teori linear litar elektrik arus dalam mana-mana litar boleh diperolehi sebagai jumlah algebra arus yang disebabkan oleh setiap sumber tenaga secara berasingan.

Contoh 1. Cari penyelesaian umum dan beberapa sistem asas penyelesaian untuk sistem

Penyelesaian cari menggunakan kalkulator. Algoritma penyelesaian adalah sama seperti untuk sistem linear not persamaan homogen.
Beroperasi hanya dengan baris, kami dapati pangkat matriks, asas kecil; Kami mengisytiharkan tidak diketahui bergantung dan bebas dan mencari penyelesaian umum.

Baris pertama dan kedua adalah berkadar, mari kita potong salah satu daripadanya:

.
Pembolehubah bersandar – x 2, x 3, x 5, bebas – x 1, x 4. Daripada persamaan pertama 10x 5 = 0 kita dapati x 5 = 0, kemudian
; .
Penyelesaian umum ialah:

Kami mendapati sistem asas penyelesaian, yang terdiri daripada (n-r) penyelesaian. Dalam kes kami, n=5, r=3, oleh itu, sistem asas penyelesaian terdiri daripada dua penyelesaian, dan penyelesaian ini mestilah bebas linear. Untuk baris bebas linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks yang terdiri daripada unsur-unsur baris adalah sama dengan bilangan baris, iaitu, 2. Ia cukup untuk memberikan tak diketahui percuma x 1 dan x 4 nilai daripada baris penentu tertib kedua, bukan sifar, dan hitung x 2 , x 3 , x 5 . Penentu bukan sifar yang paling mudah ialah .
Jadi penyelesaian pertama ialah: , kedua - .
Kedua-dua keputusan ini membentuk sistem keputusan asas. Ambil perhatian bahawa sistem asas tidak unik (anda boleh mencipta seberapa banyak penentu bukan sifar yang anda suka).

Contoh 2. Cari penyelesaian umum dan sistem asas penyelesaian sistem
Penyelesaian.



,
ia berikutan bahawa pangkat matriks ialah 3 dan sama dengan nombor tidak diketahui. Ini bermakna bahawa sistem tidak mempunyai yang tidak diketahui percuma, dan oleh itu mempunyai penyelesaian yang unik - yang remeh.

Bersenam . Meneroka dan menyelesaikan sistem persamaan linear.
Contoh 4

Bersenam . Cari penyelesaian umum dan khusus bagi setiap sistem.
Penyelesaian. Mari kita tuliskan matriks utama sistem:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Mari kita kurangkan matriks kepada pandangan segi tiga. Kami akan bekerja hanya dengan baris, kerana mendarabkan baris matriks dengan nombor selain daripada sifar dan menambahkannya ke baris lain untuk sistem bermakna mendarabkan persamaan dengan nombor yang sama dan menambahnya dengan persamaan lain, yang tidak mengubah penyelesaian bagi sistem.
Darab baris ke-2 dengan (-5). Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Mari kita darab baris ke-2 dengan (6). Darab baris ke-3 dengan (-1). Mari tambah baris ke-3 ke baris ke-2:
Mari cari pangkat matriks.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Anak bawah umur yang ditonjolkan telah perintah tertinggi(kemungkinan kanak-kanak bawah umur) dan bukan sifar (ia sama dengan produk unsur pada pepenjuru terbalik), maka kedudukan(A) = 2.
Bawah umur ini adalah asas. Ia termasuk pekali untuk yang tidak diketahui x 1 , x 2 , yang bermaksud bahawa yang tidak diketahui x 1 , x 2 adalah bergantung (asas), dan x 3 , x 4 , x 5 adalah bebas.
Mari kita ubah matriks, hanya tinggalkan asas minor di sebelah kiri.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Sistem dengan pekali matriks ini adalah setara dengan sistem asal dan mempunyai bentuk:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Menggunakan kaedah menghapuskan yang tidak diketahui, kami dapati penyelesaian yang tidak remeh:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan pembolehubah bersandar x 1 , x 2 melalui yang bebas x 3 , x 4 , x 5 , iaitu, kami dapati penyelesaian umum:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Kami mendapati sistem asas penyelesaian, yang terdiri daripada (n-r) penyelesaian.
Dalam kes kami, n=5, r=2, oleh itu, sistem asas penyelesaian terdiri daripada 3 penyelesaian, dan penyelesaian ini mestilah bebas linear.
Untuk baris bebas linear, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks yang terdiri daripada elemen baris adalah sama dengan bilangan baris, iaitu, 3.
Ia cukup untuk memberikan nilai x 3 , x 4, x 5 percuma yang tidak diketahui daripada baris penentu tertib ke-3, bukan sifar, dan hitung x 1 , x 2 .
Penentu bukan sifar yang paling mudah ialah matriks identiti.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Tugasan . Cari set asas penyelesaian kepada sistem persamaan linear homogen.

Anda boleh memesan penyelesaian terperinci tugas anda!!!

Untuk memahami apa itu sistem keputusan asas anda boleh menonton tutorial video untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih kepada penerangan sebenar semua kerja yang diperlukan. Ini akan membantu anda memahami intipati isu ini dengan lebih terperinci.

Bagaimana untuk mencari sistem asas penyelesaian kepada persamaan linear?

Mari kita ambil contoh sistem persamaan linear berikut:

Mari cari penyelesaian untuk ini sistem linear persamaan Sebagai permulaan, kita anda perlu menuliskan matriks pekali sistem.

Mari kita ubah matriks ini kepada segi tiga. Kami menulis semula baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ mesti dijadikan sifar. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(21)$, anda perlu menolak yang pertama daripada baris kedua, dan menulis perbezaan pada baris kedua. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(31)$, anda perlu menolak yang pertama daripada baris ketiga dan menulis perbezaan dalam baris ketiga. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(41)$, anda perlu menolak yang pertama didarab dengan 2 daripada baris keempat dan menulis perbezaan pada baris keempat. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(31)$, anda perlu menolak yang pertama didarab dengan 2 daripada baris kelima dan menulis perbezaan pada baris kelima.

Kami menulis semula baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ mesti dijadikan sifar. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(32)$, anda perlu menolak yang kedua didarab dengan 2 daripada baris ketiga dan menulis perbezaan dalam baris ketiga. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(42)$, anda perlu menolak yang kedua didarab dengan 2 daripada baris keempat dan menulis perbezaan pada baris keempat. Untuk membuat sifar menggantikan elemen $a_(52)$, anda perlu menolak kedua didarab dengan 3 daripada baris kelima dan menulis perbezaan pada baris kelima.

Kita nampak itu tiga baris terakhir adalah sama, jadi jika anda menolak yang ketiga daripada yang keempat dan kelima, ia akan menjadi sifar.

Mengikut matriks ini tuliskan sistem baru persamaan.

Kita melihat bahawa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linear, dan lima tidak diketahui, jadi sistem asas penyelesaian akan terdiri daripada dua vektor. Jadi kita kita perlu mengalihkan dua yang tidak diketahui terakhir ke kanan.

Sekarang, kita mula menyatakan perkara yang tidak diketahui yang berada di sebelah kiri melalui yang berada di sebelah kanan. Kita mulakan dengan persamaan terakhir, mula-mula kita nyatakan $x_3$, kemudian kita gantikan hasil yang terhasil ke dalam persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, dan kemudian ke dalam persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Oleh itu, kami menyatakan semua yang tidak diketahui yang berada di sebelah kiri melalui yang tidak diketahui yang berada di sebelah kanan.

Kemudian, bukannya $x_4$ dan $x_5$, kita boleh menggantikan sebarang nombor dan mencari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Setiap lima nombor ini akan menjadi punca sistem persamaan asal kita. Untuk mencari vektor yang disertakan dalam FSR kita perlu menggantikan 1 bukannya $x_4$, dan menggantikan 0 bukannya $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, dan kemudian sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.

biarlah M 0 – set penyelesaian kepada sistem homogen (4) persamaan linear.

Definisi 6.12. vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p, yang merupakan penyelesaian sistem homogen persamaan linear dipanggil set penyelesaian asas(disingkat FNR), jika

1) vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p bebas linear (iaitu, tiada satu pun daripada mereka boleh dinyatakan dalam sebutan yang lain);

2) sebarang penyelesaian lain kepada sistem persamaan linear homogen boleh dinyatakan dalam sebutan penyelesaian Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p.

Perhatikan bahawa jika Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan p– mana-mana f.n.r., kemudian ungkapan k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + … + k p× dengan p anda boleh menerangkan keseluruhan set M 0 penyelesaian kepada sistem (4), jadi ia dipanggil pandangan umum penyelesaian sistem (4).

Teorem 6.6. Mana-mana sistem persamaan linear homogen tak tentu mempunyai set asas penyelesaian.

Cara untuk mencari set penyelesaian asas adalah seperti berikut:

Cari penyelesaian umum kepada sistem persamaan linear homogen;

bina ( n – r) penyelesaian separa sistem ini, manakala nilai-nilai yang tidak diketahui bebas mesti terbentuk matriks identiti;

Tulis pandangan umum penyelesaian termasuk dalam M 0 .

Contoh 6.5. Cari satu set penyelesaian asas kepada sistem berikut:

Penyelesaian. Mari cari penyelesaian umum untuk sistem ini.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Terdapat lima yang tidak diketahui dalam sistem ini ( n= 5), yang mana terdapat dua perkara utama yang tidak diketahui ( r= 2), terdapat tiga percuma yang tidak diketahui ( n – r), iaitu set penyelesaian asas mengandungi tiga vektor penyelesaian. Mari kita bina mereka. Kami ada x 1 dan x 3 – tidak diketahui utama, x 2 , x 4 , x 5 – tidak diketahui percuma

Nilai yang tidak diketahui percuma x 2 , x 4 , x 5 membentuk matriks identiti E pesanan ketiga. Dapat vektor itu Dengan 1 ,Dengan 2 , Dengan 3 borang f.n.r. sistem ini. Maka set penyelesaian sistem homogen ini akan menjadi M 0 = {k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + k 3× Dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Sekarang mari kita ketahui syarat untuk kewujudan penyelesaian bukan sifar bagi sistem persamaan linear homogen, dengan kata lain, syarat untuk kewujudan set penyelesaian asas.

Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar, iaitu, tidak pasti jika

1) pangkat matriks utama sistem adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui;

2) dalam sistem persamaan linear homogen, bilangan persamaan adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui;

3) jika dalam sistem persamaan linear homogen bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, dan penentu matriks utama adalah sama dengan sifar (iaitu | A| = 0).

Contoh 6.6. Pada nilai parameter apa a sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian bukan sifar?

Penyelesaian. Mari kita susun matriks utama sistem ini dan cari penentunya: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Penentu matriks ini adalah sama dengan sifar pada a = –4.

Jawab: –4.

7. Aritmetik n-berdimensi ruang vektor

Konsep Asas

Dalam bahagian sebelumnya kita telah pun menemui konsep set nombor nyata yang disusun dalam susunan tertentu. Ini ialah matriks baris (atau matriks lajur) dan penyelesaian kepada sistem persamaan linear dengan n tidak diketahui. Maklumat ini boleh diringkaskan.

Definisi 7.1. n-vektor aritmetik dimensi dipanggil set tertib n nombor nyata.

Bermakna A= (a 1 , a 2 , …, a n), di mana a iО R, i = 1, 2, …, n– pandangan umum vektor. Nombor n dipanggil dimensi vektor, dan nombor a i dipanggil miliknya koordinat.

Contohnya: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor lima dimensi.

Semua siap n-vektor dimensi biasanya dilambangkan sebagai Rn.

Definisi 7.2. Dua vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) Dan b= (b 1 , b 2 , …, b n) daripada dimensi yang sama sama rata jika dan hanya jika koordinat yang sepadan adalah sama, iaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definisi 7.3.Jumlah dua n-vektor berdimensi A= (a 1 , a 2 , …, a n) Dan b= (b 1 , b 2 , …, b n) dipanggil vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definisi 7.4. kerja nombor sebenar k kepada vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) dipanggil vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Definisi 7.5. vektor O= (0, 0, …, 0) dipanggil sifar(atau vektor nol).

Adalah mudah untuk menyemak bahawa tindakan (operasi) menambah vektor dan mendarabkannya dengan nombor sebenar mempunyai sifat-sifat berikut: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definisi 7.6. banyak Rn dengan operasi menambah vektor dan mendarabnya dengan nombor nyata yang diberikan padanya dipanggil ruang vektor n-dimensi aritmetik.

Sistem persamaan homogen linear- mempunyai bentuk ∑a k i x i = 0. dengan m > n atau m Sistem persamaan linear homogen sentiasa konsisten, kerana rangA = rangB. Ia jelas mempunyai penyelesaian yang terdiri daripada sifar, yang dipanggil remeh temeh.

Tujuan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian direka bentuk untuk mencari penyelesaian yang tidak remeh dan asas kepada SLAE. Penyelesaian yang terhasil disimpan dalam fail Word (lihat contoh penyelesaian).

Arahan. Pilih dimensi matriks:

bilangan pembolehubah: 2 3 4 5 6 7 8 dan bilangan baris 2 3 4 5 6

Sifat sistem persamaan homogen linear

Agar sistem mempunyai penyelesaian yang tidak remeh, adalah perlu dan memadai bahawa pangkat matriksnya kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Teorem. Sistem dalam kes m=n mempunyai penyelesaian bukan remeh jika dan hanya jika penentu sistem ini sama dengan sifar.

Teorem. Mana-mana kombinasi linear penyelesaian kepada sistem juga merupakan penyelesaian kepada sistem itu.
Definisi. Set penyelesaian kepada sistem persamaan homogen linear dipanggil sistem asas penyelesaian, jika set ini terdiri daripada penyelesaian bebas linear dan sebarang penyelesaian kepada sistem adalah gabungan linear penyelesaian ini.

Teorem. Jika pangkat r bagi matriks sistem adalah kurang daripada bilangan n yang tidak diketahui, maka wujud sistem asas penyelesaian yang terdiri daripada (n-r) penyelesaian.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan homogen linear

1. Mencari pangkat matriks.
2. Kami memilih bawah umur asas. Kami membezakan bergantung (asas) dan bebas yang tidak diketahui.
3. Kami memotong persamaan sistem yang pekalinya tidak disertakan bawah umur asas, kerana ia adalah akibat daripada yang lain (oleh teorem berdasarkan kecil).
4. Kami memindahkan syarat persamaan yang mengandungi tidak diketahui percuma kepada sebelah kanan. Akibatnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r tidak diketahui, bersamaan dengan yang diberikan, penentunya bukan sifar.
5. Kami menyelesaikan sistem yang terhasil dengan menghapuskan yang tidak diketahui. Kami mendapati hubungan menyatakan pembolehubah bersandar melalui pembolehubah bebas.
6. Jika pangkat matriks tidak sama dengan bilangan pembolehubah, maka kita dapati penyelesaian asas sistem.
7. Dalam kes rang = n kita mempunyai penyelesaian yang remeh.

Contoh. Cari asas sistem vektor (a 1, a 2,...,a m), pangkat dan ungkapkan vektor berdasarkan asas. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:

Darab baris ke-3 dengan (-3). Mari tambah baris ke-4 kepada baris ke-3:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Darab baris ke-4 dengan (-2). Mari kita darab baris ke-5 dengan (3). Mari tambah baris ke-5 kepada baris ke-4:
Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:
Mari cari pangkat matriks.
Sistem dengan pekali matriks ini adalah setara dengan sistem asal dan mempunyai bentuk:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Menggunakan kaedah menghapuskan yang tidak diketahui, kami mencari penyelesaian yang tidak remeh:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan pembolehubah bersandar x 1 , x 2 , x 3 melalui yang percuma x 4 , iaitu, kami menemui penyelesaian umum:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4