Rahsia pendaraban dan pembahagian yang cepat. Min aritmetik beberapa nombor
rahsia pendaraban cepat dan pembahagian
1. Darab dan bahagi dengan 5, 50, 500, dsb.
Pendaraban dengan 5, 50, 500, dsb. digantikan dengan pendaraban dengan 10, 100, 1000, dsb., diikuti dengan pembahagian dengan 2 daripada hasil darab yang terhasil (atau pembahagian dengan 2 dan pendaraban dengan 10, 100, 1000, dsb. = 100:2 dsb.)
54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270).
Untuk membahagi nombor dengan 5.50, 500, dsb., anda perlu membahagikan nombor ini dengan 10,100, 1000, dsb. dan darab dengan 2.
10800: 50 = 10800:100*2 =216
10800: 50 = 10800*2:100 =216
2. Darab dan bahagi dengan 25, 250, 2500, dsb.
Mendarab dengan 25, 250, 2500, dsb. digantikan dengan mendarab dengan 100, 1000, 10000, dsb. dan hasilnya dibahagikan dengan = 100: 4)
542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200)
(jika nombor itu boleh dibahagi dengan 4, maka pendaraban tidak mengambil masa, mana-mana pelajar boleh melakukannya).
Untuk membahagikan nombor dengan 25, 25,250,2500, dsb., nombor ini mesti dibahagikan dengan 100,1000,10000, dsb. dan didarab dengan 4
31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.
3. Darab dan bahagi dengan 125, 1250, 12500, dsb.
Pendaraban dengan 125, 1250, dsb. digantikan dengan pendaraban dengan 1000, 10000, dsb. dan hasil darab mesti dibahagikan dengan = 1000: 8)
72*125=72*1000:8=9000
Jika nombor itu boleh dibahagikan dengan 8, mula-mula kita melakukan pembahagian dengan 8, dan kemudian pendaraban dengan 1000, 10000, dsb.
48*125 = 48:8*1000 = 6000
Untuk membahagikan nombor dengan 125, 1250, dsb., anda perlu membahagikan nombor ini dengan 1000, 10000, dsb. dan darab dengan 8.
7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.
4. Darab dan bahagi dengan 75, 750, dsb.
Untuk mendarab nombor dengan 75, 750, dsb., anda perlu membahagikan nombor ini dengan 4 dan darab dengan 300, 3000, dsb. (75 \u003d 300: 4)
48* 75 = 48:4*300 = 3600
Untuk membahagi nombor dengan 75,750, dsb., anda perlu membahagikan nombor ini dengan 300, 3000, dsb. dan darab dengan 4
7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.
5. Darab dengan 15, 150.
Apabila mendarab dengan 15, jika nombor itu ganjil, darabkannya dengan 10 dan tambah separuh daripada hasil darab:
23x15=23x(10+5)=230+115=345;
jika nombor itu genap, maka kita bertindak lebih mudah - tambah separuh daripada nombor itu dan darabkan hasilnya dengan 10:
18x15=(18+9)x10=27x10=270.
Apabila mendarab nombor dengan 150, kami menggunakan teknik yang sama dan mendarabkan hasilnya dengan 10, kerana 150 = 15x10:
24x150=((24+12)x10)x10=(36x10)x10=3600.
Begitu juga, cepat darab nombor dua digit (terutamanya genap) dengan nombor dua digit berakhir dengan 5:
24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.
6. Pendaraban nombor dua digit kurang daripada 20.
Pada salah satu nombor anda perlu menambah bilangan unit yang lain, darabkan jumlah ini dengan 10 dan tambahkan kepadanya hasil darab unit nombor ini:
18x16=(18+6)x10+8x6= 240+48=288.
Dengan cara yang diterangkan, anda boleh mendarab nombor dua digit kurang daripada 20, serta nombor dengan bilangan puluh yang sama: 23x24 = (23+4)x20+4x6=27x20+12=540+12=562.
Penjelasan:
(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a* b.
7. Mendarab nombor dua digit dengan 101.
Mungkin peraturan paling mudah ialah: tambahkan nombor anda pada dirinya sendiri. Pendaraban selesai.
Contoh:
57 * 101 = 5> 5757
Penjelasan: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Begitu juga, nombor tiga digit didarab dengan 1001, nombor empat digit dengan 10001, dsb.
8. Mendarab nombor dengan 11.
Anda harus "menyebarkan" digit nombor yang didarab dengan 11, dan masukkan jumlah digit ini ke dalam jurang yang terhasil, dan jika jumlah ini lebih besar daripada 9, maka, seperti penambahan biasa, unit hendaklah dialihkan ke digit tertinggi.
Contoh:
34 * 11 \u003d 374, sejak 3 + 4 \u003d 7, kami meletakkan tujuh antara tiga dan empat
68 * 11 \u003d 748, sejak 6 + 8 \u003d 14, kami meletakkan empat antara tujuh (enam ditambah yang dipindahkan) dan lapan
Penjelasan:
10a+b ialah nombor arbitrari, di mana a ialah bilangan puluh, b ialah bilangan satu.
Kami ada:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
di mana kita ada a ratusan a+b berpuluh-puluh dan b unit. iaitu hasilnya mengandungi a*(a+1) ratus, dua puluh dan lima unit.
Kami membuat produk: 5 unit, 5+2=7 puluh, 2+6=8 ratus, 6+3=9 ribu, 3+4=7 puluh ribu, 4 ratus ribu.
43625*11=479875.
Apabila pengganda adalah antara 1000 dan 10000 (contohnya, 7543), maka anda boleh memohon cara seterusnya darab dengan 11. Mula-mula, bahagikan pendarab 7543 kepada muka, dua digit setiap satu, kemudian cari hasil darab muka pertama (75) di sebelah kiri dengan 11, seperti yang ditunjukkan dalam mendarab nombor dua digit dengan 11. Nombor yang terhasil ( 75 * 11 \u003d 725) akan memberikan beratus-ratus produk, jadi kerana mereka mendarabkan ratusan pendaraban. Kemudian kita perlu mendarab muka kedua (43) dengan 11, kita mendapat unit hasil darab: 43*11=473. Akhirnya, kami menambah produk yang terhasil: 825 ratus. +473=82739. Oleh itu, 7543*11=82739.
Pertimbangkan contoh lain: 8324*11.
83`24; 83 sel *11=913 sel.
24*11=264; 913 sel +264=91564. Oleh itu, 8324*11=91564.
9. Darab dengan 22, 33, ..., 99.
Untuk mendarab nombor dua digit 22.33, ..., 99, pengganda ini mesti diwakili sebagai hasil darab nombor satu digit dengan 11. Lakukan pendaraban dahulu dengan nombor satu digit, dan kemudian dengan 11:
15 *33= 15*3*11=45*11=495.
10. Darab nombor dua digit dengan 111.
Mula-mula, mari kita ambil pendaraban dan nombor dua digit sedemikian, jumlah digitnya kurang daripada 10. Mari kita terangkan dengan contoh berangka:
Oleh kerana 111=100+10+1, maka 45*111=45*(100+10+1). Apabila mendarab nombor dua digit, jumlah digit yang kurang daripada 10, dengan 111, adalah perlu untuk memasukkan dua kali jumlah digit (iaitu, nombor yang diwakilinya) puluh dan unitnya 4 + 5 = 9 di tengah antara digit. 4500+450+45=4995. Oleh itu, 45*111=4995. Apabila jumlah digit pengganda dua digit lebih besar daripada atau sama dengan 10, contohnya 68 * 11, anda perlu menambah digit pendaraban (6 + 8) dan memasukkan 2 unit jumlah yang terhasil dalam tengah antara nombor 6 dan 8. Akhir sekali, tambah 1100 kepada nombor terkumpul 6448. Oleh itu, 68*111=7548.
11. Darab dengan 37.
Apabila mendarab nombor dengan 37, jika nombor yang diberi ialah gandaan 3, ia dibahagikan dengan 3 dan didarab dengan 111.
27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999
Jika nombor ini bukan gandaan 3, maka 37 ditolak daripada hasil darab atau 37 ditambah kepada hasil darab.
23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.
12. Kuadratkan sebarang nombor dua digit.
Jika anda mengingati kuasa dua semua nombor dari 1 hingga 25, maka adalah mudah untuk mencari kuasa dua mana-mana nombor dua digit yang lebih besar daripada 25.
Untuk mencari kuasa dua mana-mana nombor dua digit, anda perlu mendarabkan perbezaan antara nombor ini dan 25 dengan 100 dan menambah kepada hasil darab kuasa dua penambahan nombor ini kepada 50 atau kuasa dua lebihannya ke atas ke-50.
Pertimbangkan contoh:
372=12*100+132=1200+169=1369
(M–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .
13. Darab nombor hampir 100.
Apabila menambah (menurun) salah satu faktor dengan beberapa unit, kita mendarabkan integer yang terhasil dan unit yang ditambah (ditolak) dengan faktor lain dan menolak hasil darab kedua daripada produk pertama (menambah hasil yang terhasil)
98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.
Teknik ini mewakili salah satu faktor sebagai perbezaan menjadikannya mudah untuk didarab dengan 9, 99, 999.
Untuk melakukan ini, cukup untuk mendarabkan nombor dengan 1000) dan menolak nombor yang didarab daripada integer yang terhasil: 154x9=154x10-154==1386.
Tetapi lebih mudah untuk membiasakan kanak-kanak dengan peraturan - "untuk mendarab nombor dengan 9 (99, 999) sudah cukup untuk menolak daripada nombor ini bilangan sepuluhnya (ratusan, ribuan) meningkat satu, dan kepada yang terhasil. perbezaan tambahkan penambahan digit unitnya kepada 10 (tambahan sehingga nombor yang dibentuk oleh dua (tiga) digit terakhir nombor ini):
154x9=(154-16)x10+(10-4)=138x10+6=1380+6=1386
14. Pendaraban nombor dua digit, di mana jumlah unit ialah 10.
Biar dua diberi nombor dua digit, yang jumlahnya bersamaan dengan 10:
М=10m + n, K=10a + 10 – n. Mari cipta karya mereka.
M * K= (10m+n) * (10a + 10 - n) =100am + 100m - 10mn + 10an + +10n - n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 - n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).
Mari lihat beberapa contoh:
17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;
33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.
15 . Pendaraban dengan nombor yang ditulis dalam sembilan sahaja.
Untuk mencari hasil darab nombor yang ditulis dalam sembilan dengan nombor yang mempunyai bilangan digit yang sama dengannya, seseorang mesti menolak satu daripada pengganda dan menambah nombor lain pada nombor yang terhasil, semua digitnya melengkapkan digit bagi nombor terhasil yang ditunjukkan sehingga 9.
137 * 999= 136 863;
Kehadiran kaedah sedemikian dilihat dari kaedah berikut untuk menyelesaikan contoh yang diberikan: 8 * 9 = 8 * (10 - 1) = 80 - 8 = 72,
46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.
16. Mengkuadangkan nombor yang berakhir dengan 5.
Darabkan bilangan puluh dengan nombor puluh seterusnya dan tambah 25.
15*15 = 225 = 10*20+ 25 (atau 1*2 dan tetapkan 25 di sebelah kanan)
35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 dan tetapkan 25 di sebelah kanan)
65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 dan tetapkan 25 di sebelah kanan)
Bagaimana untuk mendarab dengan lajur
Pendaraban nombor berbilang digit biasanya dilakukan dalam lajur, menulis nombor di bawah satu sama lain supaya digit digit yang sama berada di bawah satu sama lain (unit di bawah unit, puluh di bawah puluh, dll.). Untuk kemudahan, nombor yang mempunyai lebih banyak digit biasanya ditulis di atas. Tanda tindakan diletakkan di antara nombor di sebelah kiri. Lukis garisan di bawah pengganda. Di bawah baris, tulis nombor kerja semasa ia diterima.
Mari kita pertimbangkan dahulu pendaraban nombor berbilang nilai dengan nombor nilai tunggal. Biarkan ia diperlukan untuk mendarab 846 dengan 5:
Mendarab 846 dengan 5 bermakna menambah 5 nombor, setiap satunya adalah sama dengan 846. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengambil 5 kali 6 unit dahulu, kemudian 5 kali 4 puluh dan akhirnya 5 kali 8 ratus.
5 darab 6 unit = 30 unit, iaitu 3 puluh. Kami menulis 0 di bawah garis sebagai ganti unit, dan ingat 3 puluh. Untuk kemudahan, agar tidak menghafal, anda boleh menulis 3 di atas berpuluh-puluh darab:
5 darab 4 puluh = 20 puluh, tambah 3 puluh lagi kepada mereka = 23 puluh, iaitu 2 ratus dan 3 puluh. Kami menulis 3 puluh di bawah garis sebagai ganti puluh, dan ingat 2 ratus:
5 darab 8 ratus = 40 ratus, tambah 2 ratus lagi = 42 ratus. Kami menulis di bawah baris 42 ratus, iaitu 4 ribu dan 2 ratus. Oleh itu, hasil darab 846 dengan 5 menjadi 4230:
Sekarang pertimbangkan pendaraban nombor berbilang nilai. Biarkan ia diperlukan untuk mendarab 3826 dengan 472:
Mendarab 3826 dengan 472 bermakna menambah 472 nombor yang sama, setiap satunya adalah sama dengan 3826. Untuk melakukan ini, tambah 3826 pertama 2 kali, kemudian 70 kali, kemudian 400 kali, iaitu, darabkan darab secara berasingan dengan digit setiap digit pengganda dan tambah hasil darab menjadi satu jumlah.
2 kali 3826 = 7652. Kami menulis produk yang terhasil di bawah baris:
Ini bukan hasil akhir, selagi kita telah mendarab dengan hanya satu digit pengganda. Nombor yang terhasil dipanggil produk separa. Sekarang tugas kita ialah untuk mendarab darab dengan digit sepuluh. Tetapi sebelum itu, anda perlu ingat satu perkara penting: setiap hasil darab separa mesti ditulis di bawah nombor yang mana pendaraban berlaku.
Darab 3826 dengan 7. Ini akan menjadi hasil separa kedua (26782):
Kami mendarabkan pengganda dengan 4. Ini akan menjadi hasil separa ketiga (15304):
Di bawah produk separa terakhir, kami melukis garisan dan melakukan penambahan semua produk separa yang terhasil. Kita mendapatkan kerja yang lengkap (1 805 872):
Jika sifar berlaku dalam pengganda, maka biasanya ia tidak didarab dengannya, tetapi segera pergi ke digit seterusnya pengganda:
Apabila pendaraban dan (atau) pengganda berakhir dengan sifar, pendaraban boleh dilakukan tanpa memberi perhatian kepadanya, dan pada akhirnya, seberapa banyak sifar ditambah kepada hasil darab seperti yang terdapat dalam pendaraban dan dalam pendarab bersama-sama.
Sebagai contoh, anda perlu mengira 23,000 4500. Mula-mula, darab 23 dengan 45, mengabaikan sifar:
Dan sekarang, di sebelah kanan, kami akan menambah seberapa banyak sifar pada produk yang terhasil seperti yang terdapat dalam darab dan dalam faktor bersama-sama. Ternyata 103,500,000.
Kalkulator Pendaraban Lajur
Kalkulator ini akan membantu anda melakukan pendaraban lajur. Hanya masukkan darab dan darab dan klik butang Kira.
Opsyen No. 3329663
Apabila menyelesaikan tugasan 1-23, jawapannya ialah satu digit, yang sepadan dengan nombor jawapan yang betul atau nombor, urutan huruf atau nombor. Jawapan hendaklah ditulis tanpa ruang atau sebarang aksara tambahan.
Jika pilihan diberikan oleh guru, anda boleh memasukkan jawapan kepada tugasan bahagian C atau memuat naiknya ke sistem dalam salah satu format grafik. Guru akan melihat hasil tugasan bahagian B dan akan dapat menilai jawapan yang dimuat naik bahagian C. Mata yang diberikan oleh guru akan dipaparkan dalam statistik anda.
Versi untuk mencetak dan menyalin dalam MS Word
1. persegi,
2. tambah 1.
Yang pertama menduakan nombor pada skrin, yang kedua meningkatkannya sebanyak 1. Tulis susunan arahan dalam program yang menukar nombor 2 kepada 36 dan mengandungi tidak lebih daripada 4 arahan. Nyatakan nombor arahan sahaja. (Sebagai contoh, program 2122 - Program ini
tambah 1
segi empat sama
tambah 1
tambah 1.
Program ini menukar nombor 1 kepada nombor 6.
Jawapan:
1. tambah 1,
2. darab dengan 5.
Yang pertama daripada mereka meningkatkan nombor pada skrin sebanyak 1, yang kedua mendarabkannya.
Sebagai contoh, program 121 menentukan urutan arahan berikut:
tambah 1
darab dengan 5
tambah 1
Program ini menukar, sebagai contoh, nombor 7 kepada nombor 41.
Tulis dalam jawapan program yang mengandungi tidak lebih daripada lima arahan dan menterjemah nombor 2 kepada nombor 280.
Jawapan:
Input algoritma adalah nombor asli N. Algoritma membina nombor baharu berdasarkannya R dengan cara berikut.
1. Tatatanda binari nombor sedang dibina N.
2. Dua digit lagi ditambahkan pada entri ini di sebelah kanan mengikut peraturan berikut:
a) semua digit tatatanda binari ditambah, dan baki pembahagian hasil tambah dengan 2 ditambah pada penghujung nombor (di sebelah kanan). Sebagai contoh, entri 10000 ditukar kepada masukan 100001;
b) tindakan yang sama dilakukan pada rekod ini - baki membahagikan jumlah digit dengan 2 ditambah ke kanan.
Rekod yang diperoleh dengan cara ini (ia mengandungi dua digit lebih daripada dalam rekod nombor asal N) ialah perwakilan binari bagi nombor yang dikehendaki R.
Nyatakan nombor terkecil N, yang mana keputusan algoritma lebih besar daripada 97. Dalam jawapan, tulis nombor ini dalam sistem perpuluhan hisab.
Jawapan:
Mesin menerima nombor lima digit sebagai input. Berdasarkan nombor ini, nombor baharu dibina mengikut peraturan berikut.
1. Digit pertama, ketiga dan kelima, serta digit kedua dan keempat, ditambah secara berasingan.
2. Dua nombor yang terhasil ditulis satu demi satu dalam susunan tidak menurun tanpa pemisah.
Contoh. Nombor asal: 63,179. Jumlah: 6 + 1 + 9 = 16; 3 + 7 = 10. Keputusan: 1016.
Nyatakan nombor terkecil, semasa pemprosesan mesin menghasilkan keputusan 621.
Jawapan:
1. Digit pertama dan kedua didarab secara berasingan, serta digit kedua dan ketiga.
2. Dua nombor yang terhasil ditulis satu demi satu dalam susunan tidak bertambah tanpa pemisah.
Contoh. Nombor awal: 179. Produk: 1*7 = 7; 7*9 = 63. Keputusan: 637. Nyatakan nombor terkecil, apabila memproses yang mana mesin memberikan hasil 205.
Jawapan:
Mesin menerima nombor empat digit sebagai input. Berdasarkan nombor ini, nombor baharu dibina mengikut peraturan berikut:
1. Yang pertama dan kedua, serta digit ketiga dan keempat nombor asal didarab.
Contoh. Nombor asal: 2466. Produk: 2 × 4 = 8; 6 x 6 = 36.
Keputusan: 368.
Tentukan nombor terkecil, akibatnya mesin akan mengembalikan nombor 124.
Jawapan:
Satu perkataan terbentuk daripada huruf abjad Rusia. Adalah diketahui bahawa perkataan itu dibentuk mengikut peraturan berikut:
a) tiada huruf berulang dalam perkataan;
b) semua huruf perkataan pergi dalam susunan abjad langsung atau terbalik, tidak termasuk, mungkin, yang pertama.
Manakah antara perkataan berikut memenuhi semua syarat berikut?
Jawapan:
Pemain Accord-4 mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
1. tolak 1
2. darab dengan 4
Melakukan yang pertama daripadanya, Chord-4 menolak 1 daripada nombor pada skrin, dan melakukan yang kedua, darabkan nombor ini dengan 4. Tuliskan susunan perintah dalam program yang mengandungi tidak lebih daripada lima arahan dan menukar nombor 5 kepada nombor 62. Jika terdapat lebih daripada satu program sedemikian, maka tuliskan mana-mana daripadanya.
Dalam jawapan, nyatakan hanya nombor pasukan. Ya, untuk program itu
darab dengan 4
anda perlu menulis: 211. Program ini menukar, sebagai contoh, nombor 7 kepada nombor 26.
Jawapan:
Kalkulator pelaku mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
1. tolak 1
2. bahagi dengan 3
Melakukan yang pertama daripadanya, Kalkulator menolak 1 daripada nombor pada skrin, dan melakukan yang kedua, membahagikannya dengan 3 (jika pembahagian adalah mustahil sepenuhnya, Kalkulator dimatikan).
Tulis susunan arahan dalam program untuk mendapatkan dari nombor 37 nombor 1, mengandungi tidak lebih daripada 5 arahan, hanya menunjukkan bilangan arahan.
(Sebagai contoh, program 21121 ialah program
bahagi dengan 3
bahagi dengan 3
Program ini, sebagai contoh, menukar nombor 60 kepada nombor 5.)
Jawapan:
Masha terlupa kata laluan untuk memulakan komputer, tetapi dia teringat algoritma untuk mendapatkannya daripada rentetan gesaan "KBMAM9KBK": jika semua urutan aksara "MAM" digantikan dengan "RP", "KBK" dengan "1212", dan kemudian tiga aksara terakhir dipadamkan daripada rentetan yang terhasil, maka urutan yang terhasil akan menjadi kata laluan. Tentukan kata laluan:
Jawapan:
Anya menjemput rakannya Natasha untuk melawat, tetapi tidak memberitahunya kod dari kunci digital pintu masuknya, tetapi menghantar mesej berikut: "Dalam urutan 4, 1, 9, 3, 7, 5, tolak 3 dari semua nombor yang lebih besar daripada 4, dan kemudian alih keluar semua digit ganjil daripada urutan yang terhasil. Selepas melengkapkan tindakan yang ditunjukkan dalam mesej, Natasha menerima kod berikut untuk kunci digital:
4) 4, 1, 6, 3, 4, 2
Jawapan:
Lyuba terlupa kata laluan untuk memulakan komputer, tetapi dia teringat algoritma untuk mendapatkannya daripada aksara "QWER3QWER1" dalam baris gesaan. Jika semua jujukan aksara "QWER" digantikan dengan "QQ", dan gabungan aksara "3Q" dialih keluar daripada rentetan yang terhasil, maka urutan yang terhasil ialah kata laluan:
Jawapan:
Pemain Three-Five mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
1. tambah 3,
2. darab dengan 5.
Melakukan yang pertama daripadanya, ThreeFive menambah 3 pada nombor pada skrin, dan melakukan yang kedua, mendarabkan nombor ini dengan 5.
Tulis susunan arahan dalam program yang mengandungi tidak lebih daripada 5 arahan dan menterjemah nombor 1 kepada nombor 515.
Dalam jawapan anda, nyatakan hanya nombor pasukan, jangan letakkan ruang antara nombor.
Ya, untuk program itu
darab dengan 5
tambah 3
tambah 3
anda perlu menulis: 211. Program ini menukar, sebagai contoh, nombor 4 kepada nombor 26.
Jawapan:
Kuadrator penghibur mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
1. tambah 1,
2. segi empat sama.
Yang pertama daripada arahan ini meningkatkan nombor pada skrin sebanyak 1, yang kedua - segi empat sama. Program untuk Quadrator pelaksana ialah urutan nombor arahan.
Sebagai contoh, 21211 ialah program
segi empat sama
tambah 1
segi empat sama
tambah 1
tambah 1
Program ini menukar nombor 2 kepada nombor 27.
Tulis program yang menukar nombor 2 kepada nombor 102 dan mengandungi tidak lebih daripada 6 arahan. Jika terdapat lebih daripada satu program sedemikian, maka tuliskan mana-mana daripadanya.
Jawapan:
Mesin menerima nombor tiga digit sebagai input. Berdasarkan nombor ini, nombor baharu dibina mengikut peraturan berikut.
1. Yang pertama dan kedua, serta digit kedua dan ketiga nombor asal ditambah.
2. Dua nombor yang terhasil ditulis satu demi satu dalam tertib menurun (tanpa pemisah).
Contoh. Nombor awal: 348. Jumlah: 3 + 4 = 7; 4 + 8 = 12. Keputusan: 127. Tentukan nombor terkecil, akibatnya mesin akan mengembalikan nombor 1412.
Jawapan:
Mesin menerima nombor perlapanan empat digit sebagai input. Berdasarkan nombor ini, nombor baharu dibina mengikut peraturan berikut.
1. Angka pertama dan kedua, serta digit ketiga dan keempat dijumlahkan.
2. Dua nombor yang terhasil dalam sistem nombor oktal ditulis satu demi satu dalam tertib menaik (tanpa pemisah).
Contoh. Nombor permulaan: 4531. Jumlah: 4+5 = 9; 3+1 = 4. Keputusan: 49. Tentukan yang mana satu nombor berikut mungkin hasil daripada operasi mesin.
Jawapan:
Di sesetengah sistem informasi maklumat dikodkan dalam perkataan binari enam bit. Apabila data dihantar, herotannya mungkin, oleh itu, bit ketujuh (kawalan) ditambah pada akhir setiap perkataan supaya jumlah bit perkataan baharu, mengira kawalan satu, adalah genap. Sebagai contoh, 0 akan ditambahkan di sebelah kanan perkataan 110011, dan 1 akan ditambah di sebelah kanan perkataan 101100.
Selepas perkataan diterima, ia diproses. Pada masa yang sama, jumlah digitnya, termasuk satu kawalan, disemak. Jika ganjil, bermakna penghantaran perkataan ini gagal, dan ia secara automatik digantikan dengan perkataan terpelihara 0000000. Jika genap, bermakna tiada kegagalan atau terdapat lebih daripada satu kegagalan. Dalam kes ini, perkataan yang diterima tidak berubah.
Mesej Asli
1100101 0001001 0011000
telah diambil dalam borang
1100111 0001100 0011000
Apakah rupa mesej yang diterima selepas diproses?
1) 0000000 0001100 0011000
2) 0000000 0000000 0011000
3) 1100111 0000000 0011000
4) 1100111 0001100 0000000
Jawapan:
Kalkulator1 pemain mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
1. tambah 1,
2. darab dengan 5.
Melakukan yang pertama daripadanya, Kalkulator1 menambah 1 pada nombor pada skrin, dan melakukan yang kedua, ia mendarabkannya dengan 5.
Program untuk pelaksana ini ialah urutan nombor arahan. Sebagai contoh, program 121 memberikan urutan arahan berikut:
tambah 1,
darab 5,
tambah 1,
Program ini menukar, sebagai contoh, nombor 7 kepada nombor 41. Tulis dalam jawapan program yang mengandungi tidak lebih daripada enam arahan dan tukar nombor 1 kepada nombor 77.
Jawapan:
Pelaku KALKULATOR hanya mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
2. darab dengan 2
Apabila melaksanakan arahan nombor 1, KALKULATOR menolak 1 daripada nombor pada skrin, dan apabila melaksanakan
nombor arahan 2 mendarab nombor pada skrin dengan 2. Tulis atur cara yang mengandungi no
lebih daripada 4 pasukan, yang daripada nombor 3 mendapat nombor 16. Nyatakan hanya nombor pasukan.
Sebagai contoh, program 21211 ialah program:
darab dengan 2
darab dengan 2
yang menukar nombor 1 kepada nombor 0.
Jawapan:
Vasya terlupa kata laluan untuk Windows XP, tetapi dia teringat algoritma untuk mendapatkannya daripada rentetan gesaan "B265C42GC4": jika semua urutan aksara "C4" digantikan dengan "F16", dan kemudian padamkan segala-galanya daripada rentetan yang dihasilkan nombor tiga digit, maka urutan yang terhasil ialah kata laluan. Tentukan kata laluan:
Jawapan:
Pemain DvaPyat mempunyai dua pasukan yang diberi nombor:
1. tolak 2
2. bahagi dengan 5
Melakukan yang pertama daripadanya, TwoFive menolak 2 daripada nombor pada skrin, dan melakukan yang kedua, membahagikan nombor ini dengan 5 (jika pembahagian itu mustahil sepenuhnya, TwoFive dimatikan).
Tulis susunan arahan dalam atur cara yang mengandungi tidak lebih daripada 5 arahan dan menterjemah nombor 152 kepada nombor 2.
Dalam jawapan anda, nyatakan hanya nombor pasukan, jangan letakkan ruang antara nombor. Ya, untuk program itu
bahagi dengan 5
anda perlu menulis 211. Program ini menukar, sebagai contoh, nombor 55 kepada nombor 7.
Jawapan:
Dalam sesetengah sistem maklumat, maklumat dikodkan dalam perkataan enam-bit binari. Apabila data dihantar, herotannya mungkin, oleh itu, bit ketujuh (kawalan) ditambah pada akhir setiap perkataan supaya jumlah bit perkataan baharu, mengira kawalan satu, adalah genap. Sebagai contoh, 0 akan ditambah di sebelah kanan perkataan 110011, dan 1 akan ditambah pada perkataan 101100. Selepas menerima perkataan, ia diproses. Pada masa yang sama, jumlah digitnya, termasuk satu kawalan, disemak. Jika ganjil, bermakna penghantaran perkataan ini gagal, dan ia secara automatik digantikan dengan perkataan terpelihara 0000000. Jika genap, bermakna tiada kegagalan atau terdapat lebih daripada satu kegagalan. Dalam kes ini, perkataan yang diterima tidak berubah. Mesej asal 1100101 0001001 1111000 telah diterima sebagai 1100111 0001100 1111000. Apakah rupa mesej yang diterima selepas diproses?
1) 0000000 0001100 1111000
2) 0000000 0000000 1111000
3) 1100101 0000000 1111000
4) 1100111 0001100 0000000
Jawapan:
Mitya menjemput rakannya Vasya untuk melawat, tetapi tidak memberitahunya kod dari kunci digital pintu masuknya, tetapi menghantar mesej berikut: "Dalam urutan 4, 1, 8, 2, 6, bahagikan semua nombor yang lebih besar daripada 3 dengan 2, dan kemudian padamkan semua nombor genap daripada jujukan yang terhasil. Selepas menyelesaikan tindakan yang ditunjukkan dalam mesej, Vasya menerima kod berikut untuk kunci digital:
Jawapan:
Juruwang terlupa kata laluan ke peti besi, tetapi dia teringat algoritma untuk mendapatkannya daripada rentetan "AYY1YABC55": jika anda memadamkan rentetan aksara "YY" dan "ABC" secara berurutan daripada rentetan, dan kemudian menukar aksara A dan Y, maka urutan yang terhasil akan menjadi kata laluan. Tentukan kata laluan.
(100-96) - tindakan pertama
320 dibahagikan dengan apa yang berlaku dalam kurungan - tindakan kedua
darab dengan lima - tindakan ketiga
tambah 350 - tindakan keempat
1 350+320=670:4=167.5=837.5
Tugas berkaitan:
1. Isi ruang kosong: 18t 4c = kg
6280g = kg g
48ts = kg
26302kg = t c kg
7350kg = q kg
35kg=g
2. Bandingkan 18c 78kg 1t 878kg
22ts 63kg 2t 263kg
380000g 38kg
5kg 320g 532g
3kg 490g 349g
3. Selesai rakaman:
1/4 tan ialah kg
1/5 kilogram ialah g
1/10 daripada satu pusat ialah kg
4. Nyatakan dalam istilah yang lebih kecil:
86ts =
3t =
25kg =
2t 3ts =
5. Selesaikan masalah.
Setiap satu daripada tiga trak membawa 28 sen bijirin, dan yang keempat - 16 sen. Keempat-empat trak itu membawa banyak bijirin.
6. Selesaikan Masalah.
Kedai itu membawa 3 tan tembikai. Pada hari pertama mereka menjual 900 kg, pada hari kedua mereka menjual dua kali lebih banyak daripada pada hari pertama, dan pada hari ketiga selebihnya. Berapa kilo tembikai telah dijual pada hari ketiga?
Penyelesaian:
7. Selesaikan masalah. Berapa kilogram tepung dalam dua beg, jika satu ialah 1/4 sen, dan satu lagi ialah 1/4 sen?
Jawapan:
8. Selesaikan Masalah 1/2 kg gula-gula berharga 28 rubel. Berapakah harga 1 kg gula-gula?
Jawapan:
9.* Selesaikan masalah.
Gen mempunyai 900 rubel. Dan Valentine mempunyai 9 kali lebih sedikit. Berapa banyak rubel yang perlu Gena berikan kepada Valentin supaya mereka mempunyai wang yang sama?
Jawapan:
10. Selesaikan masalah (secara lisan):
72 kg timun dibahagikan kepada 8 bakul sama banyak. Menjual tiga bakul ini. Berapa kilo timun yang tinggal?
Jawapan:
1. Isikan tempat kosong:
3t 005 kg = kg
3t 5 c = kg
19kg=g
39ts = kg
5830kg = q kg
46500kg = t kg
2. Bandingkan
14t 260kg 14260kg
7670c 76t 7c
73000g 73kg
260000g 26kg
345t 34500c
3. Selesai rakaman:
1/4 daripada satu pusat ialah kg
1/5 daripada satu tan ialah c
1/10 kilogram ialah g
4. Nyatakan dalam istilah yang lebih besar:
73ts =
640 kg =
2830g =
3200kg =
5. Selesaikan masalah.
Setiap daripada tiga pembeli membeli 18kg lobak merah, dan yang keempat - 46kg. Keempat-empat membeli lobak merah
6. Selesaikan masalah. Tiga peserta mengumpul 2 tan lobak merah. 500 kg dikumpulkan dari plot pertama, 2 kali lebih banyak dari plot kedua daripada dari yang pertama, dan selebihnya lobak merah dari yang ketiga. Berapakah kilogram lobak merah yang dikumpul daripada plot ketiga?
Penyelesaian:
Jawapan:
7. Bandingkan
1/4kg 1/2kg
1/2c 1/10c
1/10t 1/2c
8. Selesaikan masalah.
Seekor paus biru betina kehilangan 30 tan berat badan semasa menyusukan anak lembu. Ini adalah 1/4 daripada jumlah jisimnya. Tentukan jisim ibu paus biru itu.
Jawapan:
9. Kira dan tulis jawapan:
816:6
x5
+490
:2
_________
100:2
x7
-250
:100
________
10.* Susun semula digit dalam nombor 810 supaya ia berkurangan sebanyak 630.
Jawab.
Untuk menulis nombor rasional m / n sebagai pecahan perpuluhan, anda perlu membahagikan pengangka dengan penyebut. Dalam kes ini, hasil bagi ditulis sebagai terhingga atau tidak terhingga perpuluhan.
Tulis nombor yang diberi sebagai perpuluhan.
Penyelesaian. Bahagikan pengangka setiap pecahan dengan penyebutnya: A) bahagikan 6 dengan 25; b) bahagi 2 dengan 3; V) bahagikan 1 dengan 2, dan kemudian tambah pecahan yang terhasil kepada perpaduan - bahagian integer nombor bercampur ini.
Pecahan biasa tidak boleh dikurangkan yang penyebutnya tidak mengandungi pembahagi perdana selain daripada 2 Dan 5 , ditulis sebagai pecahan perpuluhan akhir.
DALAM contoh 1 bila A) penyebut 25=5 5; bila V) penyebutnya ialah 2, jadi kami mendapat perpuluhan akhir 0.24 dan 1.5. Bila b) penyebutnya ialah 3, jadi hasilnya tidak boleh ditulis sebagai perpuluhan akhir.
Adakah mungkin untuk menukar pecahan perpuluhan sedemikian tanpa membahagikan kepada lajur pecahan sepunya, penyebut siapa yang tidak mengandungi pembahagi lain, kecuali 2 dan 5? Mari kita fikirkan! Apakah pecahan yang dipanggil perpuluhan dan ditulis tanpa garis pecahan? Jawapan: pecahan dengan penyebut 10; 100; 1000 dll. Dan setiap nombor ini adalah produk sama rata bilangan dua dan lima. Sebenarnya: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 dsb.
Oleh itu, penyebut bagi pecahan biasa tidak boleh dikurangkan perlu diwakili sebagai hasil darab dua dan lima, dan kemudian didarab dengan 2 dan (atau) 5 supaya dua dan lima menjadi sama. Kemudian penyebut pecahan akan sama dengan 10 atau 100 atau 1000, dsb. Supaya nilai pecahan tidak berubah, kita darabkan pengangka pecahan dengan nombor yang sama yang penyebutnya didarabkan.
Nyatakan pecahan berikut sebagai perpuluhan:
Penyelesaian. Setiap pecahan ini tidak boleh dikurangkan. Mari kita uraikan penyebut setiap pecahan menjadi faktor utama.
20=2 2 5. Kesimpulan: satu "lima" hilang.
8=2 2 2. Kesimpulan: tidak cukup tiga "lima".
25=5 5. Kesimpulan: dua "dua" hilang.
Komen. Dalam amalan, mereka selalunya tidak menggunakan pemfaktoran penyebut, tetapi hanya bertanya soalan: berapa banyak penyebut harus didarabkan supaya hasilnya adalah unit dengan sifar (10 atau 100 atau 1000, dsb.). Dan kemudian pengangka didarab dengan nombor yang sama.
Jadi, sekiranya A)(contoh 2) daripada nombor 20 anda boleh mendapat 100 dengan mendarab dengan 5, oleh itu, anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebut dengan 5.
Bila b)(contoh 2) daripada nombor 8, nombor 100 tidak akan berfungsi, tetapi nombor 1000 akan diperoleh dengan mendarab dengan 125. Kedua-dua pengangka (3) dan penyebut (8) pecahan didarab dengan 125.
Bila V)(contoh 2) daripada 25 anda mendapat 100 apabila didarab dengan 4. Ini bermakna pengangka 8 juga mesti didarab dengan 4.
berkala pecahan perpuluhan. Set digit berulang dipanggil tempoh pecahan ini. Untuk ringkasnya, tempoh pecahan ditulis sekali, melampirkannya dalam kurungan.
Bila b)(contoh 1 ) digit berulang ialah satu dan bersamaan dengan 6. Oleh itu, keputusan kami 0.66... akan ditulis seperti ini: 0,(6) . Mereka membaca: sifar integer, enam dalam tempoh itu.
Jika terdapat satu atau lebih digit tidak berulang antara koma dan noktah pertama, maka pecahan berkala sedemikian dipanggil pecahan berkala campuran.
Pecahan sepunya tidak dapat dikurangkan yang penyebutnya bersama-sama dengan orang lain pengganda mengandungi pengganda 2 atau 5 , menjadi bercampur-campur pecahan berkala.
Tulis nombor sebagai perpuluhan:
Sebarang nombor rasional boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan berkala tak terhingga.
Tulis sebagai tidak terhingga pecahan berkala nombor:
Penyelesaian.
Rakan-rakan yang dikasihi!
Rakan-rakan yang dikasihi! Tidak lama lagi anda akan menghadapi (atau telah pun menghadapi) keperluan untuk membuat keputusan tugas minat. Mereka mula menyelesaikan masalah sedemikian dalam gred 5 dan selesai ... tetapi mereka tidak menyelesaikan masalah untuk peratusan! Tugas-tugas ini ditemui dalam kawalan dan dalam peperiksaan: kedua-duanya boleh dipindah milik, dan OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Apa nak buat? Kita perlu belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah ini. Buku saya Cara Menyelesaikan Masalah dengan Peratusan akan membantu anda dalam hal ini.
Penambahan nombor.
- a+b=c, dengan a dan b ialah sebutan, c ialah hasil tambah.
- Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlah.
Penolakan nombor.
- a-b=c, di mana a ialah minuend, b ialah subtrahend, c ialah perbezaan.
- Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.
- Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.
Pendaraban nombor.
- a b=c, di mana a dan b ialah faktor, c ialah hasil darab.
- Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan faktor yang diketahui.
Pembahagian nombor.
- a:b=c, di mana a ialah dividen, b ialah pembahagi, c ialah hasil bagi.
- Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarabkan pembahagi dengan hasil bagi.
- Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan dividen dengan hasil bagi.
Undang-undang penambahan.
- a+b=b+a(anjakan: jumlah tidak berubah daripada penyusunan semula terma).
- (a+b)+c=a+(b+c)(bersekutu: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua sebutan, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama).
Jadual tambahan.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Hukum pendaraban.
- a b=b a(anjakan: pilih atur faktor tidak mengubah produk).
- (a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga).
- (a+b) c=a c+b c(hukum darab taburan berkenaan dengan penambahan: untuk mendarab jumlah dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor ini dan menambah hasilnya).
- (a-b) c=a c-b c(hukum darab taburan berkenaan dengan penolakan: untuk mendarab perbezaan dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab dengan nombor ini dikurangkan dan ditolak secara berasingan dan tolak kedua daripada hasil pertama).
Jadual pendaraban.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Pembahagi dan gandaan.
- pembahagi nombor asli A namakan nombor asli yang digunakan A dibahagikan tanpa baki. (Nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 adalah pembahagi nombor 24, kerana 24 boleh dibahagi oleh setiap daripada mereka tanpa baki) 1-pembahagi sebarang nombor asli. Pembahagi terhebat sebarang nombor ialah nombor itu sendiri.
- Pelbagai nombor asli b ialah nombor asli yang boleh dibahagi tanpa baki dengan b. (Nombor 24, 48, 72, ... ialah gandaan nombor 24, kerana ia boleh dibahagikan dengan 24 tanpa baki). Gandaan terkecil mana-mana nombor ialah nombor itu sendiri.
Tanda-tanda pembahagian nombor asli.
- Nombor yang digunakan semasa mengira objek (1, 2, 3, 4, ...) dipanggil nombor asli. Set nombor asli dilambangkan dengan huruf N.
- Nombor 0, 2, 4, 6, 8 dipanggil malah nombor. Nombor yang berakhir dengan digit genap dipanggil nombor genap.
- Nombor 1, 3, 5, 7, 9 dipanggil ganjil nombor. Nombor yang berakhir dengan digit ganjil dipanggil nombor ganjil.
- Tanda pembahagian mengikut nombor 2 . Semua nombor asli yang berakhir dengan digit genap boleh dibahagi dengan 2.
- Tanda boleh bahagi dengan nombor 5 . Semua nombor asli yang berakhir dengan 0 atau 5 boleh dibahagi dengan 5.
- Tanda boleh bahagi dengan nombor 10 . Semua nombor asli yang berakhir dengan 0 boleh dibahagi dengan 10.
- Tanda pembahagian mengikut nombor 3 . Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 3.
- Tanda boleh bahagi dengan nombor 9 . Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu sendiri boleh dibahagikan dengan 9.
- Tanda pembahagian mengikut nombor 4 . Jika nombor yang terdiri daripada dua digit terakhir nombor yang diberikan boleh dibahagi dengan 4, maka nombor yang diberikan itu sendiri boleh dibahagi dengan 4.
- Tanda boleh bahagi dengan nombor 11. Jika perbezaan antara jumlah digit di tempat ganjil dan jumlah digit di tempat genap boleh dibahagi dengan 11, maka nombor itu sendiri boleh dibahagi dengan 11.
- Nombor perdana ialah nombor yang hanya mempunyai dua pembahagi: satu dan nombor itu sendiri.
- Nombor komposit ialah nombor yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi.
- Nombor 1 bukan nombor perdana mahupun nombor komposit.
- Menulis nombor komposit sebagai produk sahaja nombor perdana dipanggil penguraian nombor komposit kepada faktor perdana. Mana-mana nombor komposit boleh diwakili secara unik sebagai hasil darab faktor perdana.
- Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor asli yang diberikan ialah nombor asli terbesar yang setiap nombor ini boleh dibahagikan.
- Pembahagi Sepunya Terhebat Nombor Diberi adalah sama dengan produk faktor perdana sepunya dalam pengembangan nombor ini. Contoh. GCD(24, 42)=2 3=6, kerana 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, faktor perdana sepunya mereka ialah 2 dan 3.
- Jika nombor asli hanya mempunyai satu pembahagi sepunya - satu, maka nombor ini dipanggil coprime.
- Gandaan sepunya terkecil bagi nombor asli yang diberikan ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan bagi setiap nombor yang diberi. Contoh. LCM(24, 42)=168. Betul-betul ini bilangan kecil, yang boleh dibahagikan dengan 24 dan 42.
- Untuk mencari LCM bagi beberapa nombor asli yang diberikan, adalah perlu: 1) menguraikan setiap nombor yang diberi kepada faktor perdana; 2) tulis pengembangan nombor terbesar dan darab dengan faktor yang hilang daripada pengembangan nombor lain.
- Gandaan terkecil daripada dua nombor koprima adalah sama dengan hasil darab nombor ini.
b Penyebut pecahan menunjukkan berapa banyak bahagian yang sama dibahagikan;
a-pembilang pecahan, menunjukkan berapa banyak bahagian tersebut telah diambil. Bar pecahan bermaksud tanda bahagi.
Kadang-kadang, bukannya garis pecahan mendatar, mereka meletakkan garis miring, dan pecahan biasa ditulis seperti ini: a/b.
- Pada pecahan wajar pengangka lebih kecil daripada penyebut.
- Pada pecahan tak wajar pengangka lebih besar daripada penyebut atau sama dengan penyebut.
Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab atau dibahagikan dengan nombor asli yang sama, maka pecahan yang sama dengannya akan diperolehi.
Membahagi kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan dengan pembahagi sepunya mereka selain daripada satu dipanggil pengurangan pecahan.
- Nombor yang terdiri daripada bahagian integer dan bahagian pecahan dipanggil nombor bercampur.
- Untuk mewakili pecahan tak wajar sebagai nombor bercampur, anda perlu membahagikan pengangka pecahan dengan penyebut, maka hasil bahagi tidak lengkap akan menjadi keseluruhan bahagian nombor bercampur, bakinya ialah pengangka bahagian pecahan, dan penyebutnya tetap sama.
- Untuk mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tak wajar, anda perlu mendarab bahagian integer nombor bercampur dengan penyebut, tambahkan pengangka bahagian pecahan kepada hasil dan tuliskannya dalam pengangka bagi pecahan tak wajar, dan biarkan penyebutnya. sama.
- Ray Oh dengan asal pada titik TENTANG, yang mana potongan tunggal kepada dan arah, dipanggil rasuk koordinat.
- Nombor yang sepadan dengan titik rasuk koordinat, dipanggil menyelaras titik ini. Sebagai contoh , A(3). Baca: titik A dengan koordinat 3.
- Penyebut biasa terendah ( NOZ) daripada pecahan tak dapat dikurangkan ini ialah gandaan sepunya terkecil ( NOC) penyebut pecahan ini.
- Untuk mengurangkan pecahan kepada terkecil penyebut biasa, anda perlu: 1) mencari gandaan sepunya terkecil bagi penyebut pecahan ini, ia akan menjadi penyebut sepunya terkecil. 2) cari faktor tambahan bagi setiap pecahan, yang mana kita bahagikan penyebut baharu dengan penyebut setiap pecahan. 3) darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.
- Daripada dua pecahan penyebut yang sama yang lebih besar adalah yang mempunyai pengangka yang lebih besar, dan yang lebih kecil adalah yang mempunyai pengangka yang lebih kecil.
- Daripada dua pecahan dengan pengangka yang sama, yang mempunyai penyebut yang lebih kecil adalah lebih besar, dan yang mempunyai penyebut yang lebih besar adalah lebih kecil.
- Untuk membandingkan pecahan dengan pengangka yang berbeza dan penyebut yang berbeza, anda perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa terendah, dan kemudian membandingkan pecahan dengan penyebut yang sama.
Operasi pada pecahan biasa.
- Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya, dan biarkan penyebutnya sama.
- Jika anda perlu menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, mula-mula kurangkan pecahan kepada penyebut biasa terendah, dan kemudian tambahkan pecahan dengan penyebut yang sama.
- Untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama, pengangka pecahan kedua ditolak daripada pengangka pecahan pertama, dan penyebutnya dibiarkan sama.
- Jika anda perlu menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza, maka ia mula-mula dibawa ke penyebut biasa, dan kemudian pecahan dengan penyebut yang sama ditolak.
- Semasa menjalankan operasi tambah atau tolak nombor bercampur operasi ini dilakukan secara berasingan untuk bahagian integer dan untuk bahagian pecahan, dan kemudian hasilnya ditulis sebagai nombor bercampur.
- Hasil darab dua pecahan biasa adalah sama dengan pecahan yang pengangkanya sama dengan hasil darab pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut pecahan yang diberi.
- Untuk mendarab pecahan biasa dengan nombor asli, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan dengan nombor ini, dan biarkan penyebutnya sama.
- Dua nombor yang hasil darabnya sama dengan satu dipanggil nombor saling timbal balik.
- Apabila mendarab nombor bercampur, ia mula-mula ditukar kepada pecahan tak wajar.
- Untuk mencari pecahan nombor, anda perlu mendarab nombor itu dengan pecahan itu.
- Untuk membahagi pecahan biasa dengan pecahan biasa, anda perlu mendarabkan dividen dengan salingan pembahagi.
- Apabila membahagi nombor bercampur, mereka mula-mula ditukar kepada pecahan tak wajar.
- Untuk membahagi pecahan biasa dengan nombor asli, anda perlu mendarab penyebut pecahan dengan nombor asli ini, dan biarkan pengangkanya sama. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- Untuk mencari nombor mengikut pecahannya, anda perlu membahagikan dengan pecahan ini nombor yang sepadan dengannya.
- Pecahan perpuluhan ialah nombor yang ditulis dalam sistem perpuluhan dan mempunyai digit kurang daripada satu. (3.25; 0.1457 dsb.)
- Tempat perpuluhan selepas titik perpuluhan dipanggil tempat perpuluhan.
- Pecahan perpuluhan tidak akan berubah jika sifar ditambah atau dibuang pada penghujung pecahan perpuluhan.
Untuk menambah pecahan perpuluhan, anda perlu: 1) menyamakan bilangan tempat perpuluhan dalam pecahan ini; 2) tuliskan satu di bawah satu lagi supaya koma ditulis di bawah koma; 3) lakukan penambahan, abaikan koma, dan letakkan koma di bawah koma dalam pecahan hasil tambah.
Untuk melakukan penolakan pecahan perpuluhan, anda perlu: 1) menyamakan bilangan tempat perpuluhan dalam minuend dan subtrahend; 2) tandatangani tolak di bawah pengurangan supaya koma berada di bawah koma; 3) lakukan penolakan, mengabaikan koma, dan hasilnya, letakkan koma di bawah koma minuend dan subtrahend.
- Untuk mendarab pecahan perpuluhan dengan nombor asli, anda perlu mendarabnya dengan nombor ini, mengabaikan koma, dan dalam hasil darab yang terhasil, pisahkan seberapa banyak digit di sebelah kanan seperti yang terdapat selepas titik perpuluhan dalam pecahan yang diberikan.
- Untuk mendarab satu pecahan perpuluhan dengan yang lain, anda perlu melakukan pendaraban, mengabaikan koma, dan dalam keputusan yang terhasil, pisahkan seberapa banyak digit dengan koma di sebelah kanan seperti yang terdapat selepas koma dalam kedua-dua faktor bersama-sama.
- Untuk mendarab perpuluhan dengan 10, 100, 1000, dsb., anda perlu mengalihkan titik perpuluhan ke kanan dengan digit 1, 2, 3, dsb.
- Untuk mendarab perpuluhan dengan 0.1; 0.01; 0.001, dsb., anda perlu mengalihkan koma ke kiri sebanyak 1, 2, 3, dsb. digit.
- Untuk membahagi pecahan perpuluhan dengan nombor asli, anda perlu membahagikan pecahan dengan nombor ini, kerana nombor asli dibahagikan dan dimasukkan ke dalam koma persendirian apabila pembahagian keseluruhan bahagian itu tamat.
- Untuk membahagikan perpuluhan dengan 10, 100, 1000, dsb., anda perlu mengalihkan koma ke kiri dengan 1, 2, 3, dsb.
- Untuk membahagikan nombor dengan perpuluhan, anda perlu mengalihkan koma dalam dividen dan pembahagi seberapa banyak digit ke kanan seperti selepas titik perpuluhan dalam pembahagi, dan kemudian bahagikan dengan nombor asli.
- Untuk membahagi perpuluhan dengan 0.1; 0.01; 0.001, dsb., anda perlu mengalihkan koma ke kanan sebanyak 1, 2, 3, dsb. digit. (Membahagi perpuluhan dengan 0.1; 0.01; 0.001, dsb. adalah sama dengan mendarab perpuluhan itu dengan 10, 100, 1000, dsb.)
Untuk membundarkan nombor kepada digit tertentu, kami menggariskan digit digit ini, dan kemudian kami menggantikan semua digit di belakang yang bergaris dengan sifar, dan jika ia selepas titik perpuluhan, kami buang. Jika digit pertama yang digantikan atau dibuang sifar ialah 0, 1, 2, 3, atau 4, maka digit yang bergaris bawah dibiarkan tidak berubah. Jika digit pertama digantikan dengan sifar atau dibuang ialah 5, 6, 7, 8 atau 9, maka digit yang digariskan dinaikkan sebanyak 1.
Min aritmetik bagi beberapa nombor.
Purata aritmetik bagi beberapa nombor ialah hasil bagi membahagikan jumlah nombor ini dengan bilangan sebutan.
Julat siri nombor.
Perbezaan antara yang terbesar dan nilai terkecil siri data dipanggil julat siri nombor.
Fesyen siri nombor.
Nombor yang dikaitkan dengan kekerapan tertinggi antara nombor siri yang diberikan, dipanggil mod siri nombor.
- Seperseratus dipanggil peratusan.
- Untuk menyatakan peratusan sebagai pecahan atau nombor asli, anda perlu membahagikan peratusan dengan 100%. (4%=0.04; 32%=0.32).
- Untuk menyatakan nombor sebagai peratusan, anda perlu mendarabnya dengan 100%. (0.65=0.65 100%=65%; 1.5=1.5 100%=150%).
- Untuk mencari peratusan nombor, anda perlu menyatakan peratusan sebagai pecahan biasa atau perpuluhan dan mendarab pecahan yang terhasil dengan nombor yang diberikan.
- Untuk mencari nombor dengan peratusannya, anda perlu menyatakan peratusan sebagai pecahan biasa atau perpuluhan dan membahagikan nombor yang diberikan dengan pecahan ini.
- Untuk mencari peratusan nombor pertama dari yang kedua, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua dan mendarabkan hasilnya dengan 100%.
- Hasil bagi dua nombor dipanggil nisbah nombor ini. a:b atau a/b ialah nisbah nombor a dan b, lebih-lebih lagi, a ialah sebutan sebelumnya, b ialah sebutan seterusnya.
- Jika ahli hubungan yang diberikan ditukar, maka hubungan yang terhasil dipanggil songsang hubungan ini. Hubungan b/a dan a/b adalah saling songsang.
- Nisbah tidak akan berubah jika kedua-dua sebutan nisbah didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama.
- Kesamaan dua nisbah dipanggil perkadaran.
- a:b=c:d. Ini adalah perkadaran. Baca: A jadi terpakai kepada b, Bagaimana c merujuk kepada d. Nombor a dan d dipanggil ahli ekstrem perkadaran, dan nombor b dan c ialah ahli pertengahan perkadaran.
- Hasil darab sebutan melampau bagi sesuatu bahagian adalah sama dengan hasil darab sebutan tengahnya. Untuk perkadaran a:b=c:d atau a/b=c/d harta utama ditulis seperti ini: a d=b c.
- Untuk mencari sebutan ekstrem perkadaran yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab sebutan purata perkadaran dengan istilah ekstrem yang diketahui.
- Untuk mencari sebutan pertengahan perkadaran yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab sebutan melampau perkadaran dengan sebutan pertengahan yang diketahui.
Biarkan nilai y bergantung pada saiz X. Jika dengan peningkatan X beberapa kali ganda saiznya di meningkat dengan faktor yang sama, maka nilai tersebut X Dan di dipanggil berkadar terus.
Jika dua kuantiti adalah berkadar terus, maka nisbah dua nilai arbitrari kuantiti pertama adalah sama dengan nisbah dua nilai sepadan kuantiti kedua.
Nisbah panjang segmen pada peta kepada panjang jarak yang sepadan di atas tanah dipanggil skala peta.
Biarkan nilai di bergantung pada saiz X. Jika dengan peningkatan X beberapa kali ganda saiznya di berkurang dengan faktor yang sama, maka nilai tersebut X Dan di dipanggil berkadar songsang.
Jika dua kuantiti adalah songsang pergantungan berkadar, maka nisbah dua nilai arbitrari satu kuantiti adalah sama dengan nisbah songsang nilai sepadan kuantiti yang lain.
- Set ialah himpunan beberapa objek atau nombor, disusun mengikut beberapa sifat umum atau undang-undang (banyak huruf pada halaman, banyak pecahan wajar dengan penyebut 5, banyak bintang di langit, dll.).
- Set terdiri daripada unsur dan sama ada terhingga atau tak terhingga. Set yang tidak mengandungi sebarang unsur dipanggil set kosong dan dilambangkan Ø.
- Sekumpulan DALAM dipanggil subset bagi set A jika semua elemen set DALAM adalah unsur-unsur set A.
- Tetapkan persimpangan A Dan DALAM ialah set yang unsur-unsurnya tergolong dalam set A dan banyak DALAM.
- Kesatuan set A Dan DALAM ialah set yang unsur-unsurnya tergolong dalam sekurang-kurangnya satu set yang diberikan A Dan DALAM.
Set nombor.
- N– set nombor asli: 1, 2, 3, 4,…
- Z– set integer: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Q ialah set nombor rasional yang boleh diwakili sebagai pecahan m/n, Di mana m- keseluruhan, n- semula jadi (-2; 3/5; √9; √25, dsb.)
- Garis koordinat ialah garis lurus di mana arah positif, titik rujukan (titik O) dan segmen unit diberikan.
- Setiap titik pada garis koordinat sepadan dengan nombor tertentu, yang dipanggil koordinat titik ini. Sebagai contoh, A(5). Baca: titik A dengan koordinat lima. PADA 3). Baca: titik B dengan koordinat tolak tiga.
- Modulus nombor a (tulis |a|) dipanggil jarak dari asal ke titik yang sepadan dengan nombor yang diberi A. Nilai modulus mana-mana nombor adalah bukan negatif. |3|=3; |-3|=3, kerana jarak dari asal ke nombor -3 dan ke nombor 3 adalah sama dengan tiga segmen unit. |0|=0 .
- Mengikut takrif modulus nombor: |a|=a, Jika a≥0 Dan |a|=-a, Jika A<0 .
Operasi dengan nombor rasional.
Jumlah nombor negatif ialah nombor negatif. Modulus jumlah adalah sama dengan jumlah modul istilah (-3-5=-8).
Jumlah dua nombor dengan tanda yang berbeza mempunyai tanda tambah dengan modulus yang besar. Untuk mencari modulus hasil tambah, anda perlu menolak modulus yang lebih kecil daripada yang lebih besar (-4+6=2; -7+3=-4).
Hasil darab dua nombor negatif ialah nombor positif. Modul produk adalah sama dengan hasil darab modul nombor ini (-5 (-6)=30).
Hasil darab dua nombor dengan tanda yang berbeza ialah nombor negatif. Modul produk adalah sama dengan hasil darab modul nombor ini (-3 7=-21; 4 (-7)=-28).
Hasil bagi dua nombor negatif ialah nombor positif. Modulus bagi hasil adalah sama dengan hasil bagi modulus dividen dan pembahagi (-8:(-2)=4).
Hasil bagi dua nombor dengan tanda yang berbeza ialah nombor negatif. Modulus hasil bagi adalah sama dengan hasil bagi modul dividen dan pembahagi (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).
- Untuk menulis nombor rasional m / n sebagai pecahan perpuluhan, anda perlu membahagikan pengangka dengan penyebut. Dalam kes ini, hasil bagi ditulis sama ada sebagai pecahan perpuluhan terhingga atau tak terhingga.
- Pecahan biasa tidak boleh dikurangkan, penyebutnya tidak mengandungi pembahagi mudah lain, kecuali 2 dan 5, ditulis sebagai pecahan perpuluhan akhir (3/2=1.5; 1/5=0.2).
- Pecahan perpuluhan tak terhingga di mana satu atau lebih digit sentiasa berulang dalam urutan yang sama dipanggil berkala pecahan perpuluhan. Set digit berulang dipanggil tempoh pecahan ini. Untuk ringkasnya, tempoh pecahan ditulis sekali, melampirkannya dalam kurungan: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1). Jika terdapat satu atau lebih digit tidak berulang antara koma dan noktah pertama, maka pecahan berkala sedemikian dipanggil pecahan berkala bercampur: 7/15=0.4 (6); 5/12=0.41 (6).
- Pecahan biasa tidak boleh dikurangkan, penyebutnya, bersama-sama dengan faktor lain, mengandungi faktor 2 atau 5, bertukar menjadi pecahan berkala bercampur.
- Sebarang nombor rasional boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan berkala tak terhingga. Contoh: 5=5,(0); 3/5=0.6 (0).
Pecahan perpuluhan berkala tak terhingga adalah sama dengan pecahan biasa, dalam pengangkanya ialah perbezaan antara nombor bulat selepas titik perpuluhan dan nombor selepas titik perpuluhan sebelum titik, dan penyebutnya terdiri daripada "sembilan" dan "sifar. ”, selain itu, terdapat seberapa banyak “sembilan” kerana terdapat digit dalam noktah dan “ sifar” sebanyak digit selepas titik perpuluhan sebelum noktah. Contoh:
1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12
2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75
3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55
4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33
5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.
Set nombor nyata.
- mana-mana perpuluhan tak berkala tak terhingga dipanggil nombor tak rasional. Contoh: π ; √2 ; e dan lain-lain.
- Semua nombor rasional dan tak rasional membentuk set nombor nyata. Set nombor nyata dilambangkan dengan huruf R.
Median bagi siri nombor tertentu.
Untuk mencari median bagi siri tertentu, anda perlu menyusun nombor ini dalam tertib menaik atau menurun. Nombor di tengah-tengah siri yang terhasil akan menjadi median siri nombor ini. Jika bilangan nombor yang diberi adalah genap, maka median siri itu adalah sama dengan min aritmetik bagi dua nombor di tengah-tengah siri yang tertib dalam tertib menaik atau menurun.
- Ungkapan di mana nombor, tanda operasi aritmetik dan kurungan boleh digunakan bersama dengan huruf dipanggil ungkapan algebra.
- Nilai huruf yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai huruf yang sah.
- Jika huruf dalam ungkapan algebra digantikan dengan nilainya dan tindakan yang ditentukan dilakukan, maka nombor yang terhasil dipanggil nilai ungkapan algebra.
- Dua ungkapan dikatakan sama sama jika, untuk mana-mana nilai pembolehubah yang boleh diterima, nilai yang sepadan bagi ungkapan ini adalah sama.
- Formula ialah ungkapan algebra yang ditulis sebagai kesamaan yang menyatakan hubungan antara dua atau lebih pembolehubah. Contoh: formula laluan s=v t(s ialah jarak yang dilalui, v ialah kelajuan, t ialah masa).
- Sekiranya terdapat tanda "+" sebelum kurungan atau tiada tanda, maka apabila membuka kurungan, tanda-tanda istilah algebra dipelihara.
- Jika kurungan didahului dengan " — ”, maka apabila kurungan dibuka, tanda-tanda sebutan algebra bertukar kepada tanda bertentangan.
Istilah yang mempunyai bahagian huruf yang sama dipanggil istilah yang serupa. Mencari jumlah algebra bagi sebutan serupa dipanggil mengurangkan sebutan serupa. Untuk membawa istilah serupa, anda perlu menambah pekalinya dan mendarabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa.
- Kesamaan dengan pembolehubah dipanggil persamaan.
- Menyelesaikan persamaan bermakna mencari set punca-puncanya. Persamaan boleh mempunyai satu, dua, beberapa, banyak punca, atau tiada sama sekali.
- Setiap nilai pembolehubah di mana persamaan yang diberikan bertukar menjadi kesamaan sebenar dipanggil punca persamaan.
- Persamaan yang mempunyai punca yang sama dipanggil persamaan setara.
- Mana-mana istilah persamaan boleh dipindahkan dari satu bahagian kesamaan ke yang lain, sambil menukar tanda istilah kepada sebaliknya.
- Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, maka persamaan diperolehi yang setara dengan persamaan ini.
- a-b – nombor positif, Itu a>b.
- Jika, apabila membandingkan nombor a dan b, perbezaannya a-b – nombor negatif, Itu a
- Jika ketaksamaan ditulis dengan tanda< или >, maka ia dipanggil ketidaksamaan yang ketat.
- Jika ketaksamaan ditulis dengan tanda ≤ atau ≥, maka ia dipanggil ketaksamaan tidak ketat.
Sifat ketaksamaan berangka.
- Jika sebelah kanan ketaksamaan ditukar dengan bahagian kirinya, maka tanda ketaksamaan akan diterbalikkan. (Jika a>b, Itu b ).
- Jika nombor a lebih banyak nombor b, dan nombor b lebih banyak nombor c, kemudian nombor a lebih banyak nombor c. (Jika a> b, b> c, Itu a> c).
- Jika nombor yang sama ditambah kepada kedua-dua belah ketaksamaan, maka tanda ketaksamaan tidak berubah. (Jika a>b, Itu a+c>b+c, dengan c ialah sebarang nombor).
- Mana-mana istilah boleh dipindahkan dari satu bahagian ketaksamaan ke yang lain dengan menukar tanda istilah ini kepada sebaliknya.
- Jika kedua-dua bahagian ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tidak berubah. (Jika a>b; c ialah nombor positif, maka ac>bc; a/c>b/c).
- Jika kedua-dua belah ketaksamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan diterbalikkan. (Jika a>b; c ialah nombor negatif, maka ac
- Jika nombor positif a lebih besar daripada nombor positif b, kemudian nombor 1/ a kurang daripada bilangan 1/ b. (Jika a> b; a>0; b>0 , Itu 1/ a<1/ b).
jurang nombor.
Selang antara titik yang sepadan dengan nombor a dan b yang diberikan pada garis koordinat mewakili selang berangka antara nombor a dan b. Jenis selang berangka: selang waktu, segmen garisan, separuh selang, Ray, buka Ray. Penyelesaian ketaksamaan berangka boleh digambarkan pada selang berangka.
A) b) Ketaksamaan dalam bentuk x≤a. Jawapan: (-∞; a]. V) d) Ketaksamaan dalam bentuk x≥a. Jawapan: . G) Garis lurus di atas kapal terbang. simetri pusat. Fungsi. Fungsi songsang. Peraturan untuk mencari songsang fungsi kepada fungsi tertentu: 1) daripada kesamaan yang diberikan, nyatakan x melalui y; 2) dalam kesamarataan yang terhasil, bukannya x menulis y, tetapi sebaliknya y menulis x. Graf bagi fungsi songsang bersama adalah simetri antara satu sama lain berkenaan dengan garis lurus y=x (pembahagi dua bagi sudut koordinat I dan III). Fungsi linear. perkadaran langsung. Perkadaran langsung ialah fungsi yang diberikan oleh formula bentuk y=kx, di mana x ialah pembolehubah bebas, k- pekali lurus perkadaran. Graf berkadar langsung ialah garis lurus yang melalui asalan. Perkadaran songsang. Perkadaran songsang ialah fungsi yang diberikan oleh formula bentuk y=k/x, di mana x ialah pembolehubah bebas selain daripada sifar, k- pekali terbalik perkadaran. Graf perkadaran songsang ialah hiperbola yang terdiri daripada dua cabang. Untuk k>0, cabang hiperbola terletak di I dan III, dan untuk k<0 – во II и IV координатных четвертях. Persamaan linear dengan dua pembolehubah dan grafnya. Sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Menyelesaikan sistem ketaksamaan linear dengan satu pembolehubah. Kesilapan mutlak dan relatif. Muka surat 1 daripada 1 1
Ketaksamaan dalam bentuk x 
Ketaksamaan dalam bentuk x>a. Jawapan: (a; +∞).
Ketaksamaan berganda dalam bentuk a≤x≤b. Jawapan: .
Komposisi kimia sel
Karbon - ciri unsur dan sifat kimia
Kerja pengesahan "asas doktrin biosfera"