Lukisan pembahagi dua serenjang. Pembahagi dua serenjang

Dalam pelajaran sebelumnya, kita telah melihat sifat pembahagi dua sudut, kedua-duanya tertutup dalam segi tiga dan bebas. Segitiga termasuk tiga sudut dan bagi setiap satu daripadanya sifat-sifat yang dipertimbangkan bagi pembahagi dua itu dipelihara.

Teorem:

Pembelah dua AA 1, BB 1, СС 1 segi tiga bersilang pada satu titik O (Rajah 1).

nasi. 1. Ilustrasi untuk teorem

Bukti:

Mari kita pertimbangkan dahulu dua pembahagi dua BB 1 dan CC 1. Mereka bersilang, titik persimpangan O wujud. Untuk membuktikan ini, mari kita anggap sebaliknya: biarkan pembahagi dua yang diberikan tidak bersilang, dalam hal ini mereka selari. Maka garis lurus BC ialah sekan dan hasil tambah sudutnya ialah , ini bercanggah dengan fakta bahawa dalam keseluruhan segi tiga jumlah sudut ialah .

Jadi, titik O persilangan dua pembahagi dua wujud. Mari kita pertimbangkan sifatnya:

Titik O terletak pada pembahagi dua sudut, yang bermaksud ia adalah sama jarak dari sisinya BA dan BC. Jika OK berserenjang dengan BC, OL berserenjang dengan BA, maka panjang serenjang ini adalah sama - . Juga, titik O terletak pada pembahagi dua sudut dan adalah sama jarak dari sisinya CB dan CA, serenjang OM dan OK adalah sama.

Kami memperoleh persamaan berikut:

, iaitu, ketiga-tiga serenjang yang dijatuhkan dari titik O ke sisi segi tiga adalah sama antara satu sama lain.

Kami berminat dengan kesamaan serenjang OL dan OM. Kesamaan ini mengatakan bahawa titik O adalah sama jarak dari sisi sudut, maka ia terletak pada pembahagi duanya AA 1.

Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa ketiga-tiga pembahagi dua segi tiga bersilang pada satu titik.

Di samping itu, segitiga terdiri daripada tiga segmen, yang bermaksud kita harus mempertimbangkan sifat-sifat segmen individu.

Segmen AB diberi. Mana-mana segmen mempunyai titik tengah, dan serenjang boleh dilukis melaluinya - mari kita nyatakan sebagai p. Oleh itu, p ialah pembahagi dua serenjang.

nasi. 2. Ilustrasi untuk teorem

Mana-mana titik yang terletak pada pembahagi dua serenjang adalah sama jarak dari hujung segmen.

Buktikan bahawa (Gamb. 2).

Bukti:

Pertimbangkan segi tiga dan . Mereka adalah segi empat tepat dan sama, kerana mereka mempunyai kaki sepunya OM, dan kaki AO dan OB adalah sama mengikut keadaan, oleh itu kita mempunyai dua segi tiga tepat, sama dalam dua kaki. Ia berikutan bahawa hipotenus bagi segi tiga juga sama, iaitu, apa yang diperlukan untuk dibuktikan.

Teorem terbalik adalah benar.

Setiap titik yang sama jaraknya dari hujung segmen terletak pada pembahagi dua serenjang dengan segmen ini.

Diberi suatu ruas AB, pembahagi dua serenjangnya p, dan satu titik M sama jarak dari hujung ruas itu. Buktikan bahawa titik M terletak pada pembahagi dua serenjang dengan segmen (Rajah 3).

nasi. 3. Ilustrasi untuk teorem

Bukti:

Pertimbangkan segitiga. Ia adalah sama kaki, mengikut keadaan. Pertimbangkan median segitiga: titik O ialah tengah tapak AB, OM ialah median. Mengikut sifat segi tiga sama kaki, median yang dilukis ke tapaknya ialah ketinggian dan pembahagi dua. Ia berikutan itu. Tetapi garis p juga berserenjang dengan AB. Kita tahu bahawa pada titik O adalah mungkin untuk melukis satu serenjang dengan segmen AB, yang bermaksud garis OM dan p bertepatan, ia berikutan bahawa titik M tergolong dalam garis lurus p, yang mana kita perlu buktikan.

Teorem langsung dan berbalik boleh digeneralisasikan.

Satu titik terletak pada pembahagi dua serenjang bagi suatu segmen jika dan hanya jika jaraknya sama dari hujung segmen ini.

Jadi, mari kita ulangi bahawa terdapat tiga segmen dalam segi tiga dan sifat pembahagi dua serenjang terpakai kepada setiap satu daripadanya.

Teorem:

Pembahagi dua serenjang bagi segi tiga bersilang pada satu titik.

Segi tiga diberi. Serenjang dengan sisinya: P 1 ke sisi BC, P 2 ke sisi AC, P 3 ke sisi AB.

Buktikan bahawa serenjang P 1, P 2 dan P 3 bersilang pada titik O (Rajah 4).

nasi. 4. Ilustrasi untuk teorem

Bukti:

Mari kita pertimbangkan dua pembahagi dua serenjang P 2 dan P 3, ia bersilang, titik persilangan O wujud. Mari kita buktikan fakta ini dengan percanggahan - biarkan serenjang P 2 dan P 3 selari. Kemudian sudut itu diterbalikkan, yang bercanggah dengan fakta bahawa jumlah tiga sudut segitiga ialah . Jadi, terdapat titik O bagi persilangan dua daripada tiga pembahagi dua serenjang. Sifat titik O: ia terletak pada pembahagi dua serenjang dengan sisi AB, yang bermaksud ia adalah sama jarak dari hujung segmen AB: . Ia juga terletak pada pembahagi dua serenjang dengan AC sisi, yang bermaksud . Kami memperoleh persamaan berikut.

Glosari istilah planimetri- Takrif istilah daripada planimetri dikumpul di sini. Rujukan kepada istilah dalam glosari ini (pada halaman ini) adalah dalam huruf condong. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Titik kolinear

Langsung kompetitif- Takrif istilah daripada planimetri dikumpul di sini. Rujukan kepada istilah dalam glosari ini (pada halaman ini) adalah dalam huruf condong. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Bulatan Apollonia- Takrif istilah daripada planimetri dikumpul di sini. Rujukan kepada istilah dalam glosari ini (pada halaman ini) adalah dalam huruf condong. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Transformasi satah- Takrif istilah daripada planimetri dikumpul di sini. Rujukan kepada istilah dalam glosari ini (pada halaman ini) adalah dalam huruf condong. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Ceviana- Takrif istilah daripada planimetri dikumpul di sini. Rujukan kepada istilah dalam glosari ini (pada halaman ini) adalah dalam huruf condong. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Glosari planimetri- Halaman ini ialah glosari. Lihat juga rencana utama: Planimetri Takrif istilah daripada planimetri dikumpulkan di sini. Pautan kepada istilah dalam kamus ini (di halaman ini) adalah dalam huruf condong... Wikipedia

masalah Apollonius- Masalah Apollonius ialah membina bulatan tangen kepada tiga bulatan menggunakan kompas dan pembaris. Menurut legenda, masalah ini dirumuskan oleh Apollonius dari Perga sekitar 220 SM. e. dalam buku "Sentuh", yang telah hilang ... Wikipedia

masalah Apollonius- Masalah Apollonius ialah membina bulatan tangen kepada tiga bulatan menggunakan kompas dan pembaris. Menurut legenda, masalah ini dirumuskan oleh Apollonius dari Perga sekitar 220 SM. e. dalam buku "Menyentuh", yang telah hilang, tetapi adalah... ... Wikipedia

Gambar rajah Voronoi- set rawak titik pada satah Gambar rajah Voronoi set terhingga titik S pada satah mewakili partition satah supaya ... Wikipedia

Pembahagi dua serenjang (median berserenjang atau mediatrix) - garis lurus berserenjang dengan segmen tertentu dan melalui bahagian tengahnya.

Hartanah

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ di mana subskrip menunjukkan sisi yang dilukis serenjang, $S$ ialah luas segi tiga, dan ia juga diandaikan bahawa sisi berkaitan dengan ketaksamaan $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ Dan $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Dalam erti kata lain, pembahagi dua serenjang terkecil bagi segitiga tergolong dalam segmen tengah.

Tulis ulasan tentang artikel "Pembahagi dua serenjang"

Nota

Petikan mencirikan pembahagi dua serenjang

Kutuzov, berhenti untuk mengunyah, merenung Wolzogen dengan terkejut, seolah-olah tidak memahami apa yang dikatakan kepadanya. Wolzogen, melihat keseronokan des alten Herrn, [lelaki tua (Jerman)] berkata sambil tersenyum:
– Saya tidak menganggap diri saya berhak untuk menyembunyikan apa yang saya lihat daripada tuanku... Pasukan dalam keadaan huru-hara...
- Adakah anda melihat? Adakah anda melihat?.. – Kutuzov menjerit, mengerutkan kening, cepat bangun dan mara ke arah Wolzogen. “Macam mana awak... beraninya awak!..”, jeritnya, membuat isyarat mengancam dengan berjabat tangan dan tercekik. - Beraninya awak, tuan, katakan ini kepada saya? Anda tidak tahu apa-apa. Beritahu Jeneral Barclay daripada saya bahawa maklumatnya tidak betul dan perjalanan sebenar pertempuran itu diketahui oleh saya, ketua komander, lebih baik daripada dia.
Wolzogen mahu membantah, tetapi Kutuzov mengganggunya.
- Musuh diusir di sebelah kiri dan dikalahkan di sayap kanan. Sekiranya anda tidak melihat dengan baik, tuan, maka jangan biarkan diri anda mengatakan apa yang anda tidak tahu. Sila pergi ke Jeneral Barclay dan sampaikan kepadanya pada hari berikutnya niat mutlak saya untuk menyerang musuh,” kata Kutuzov dengan tegas. Semua orang diam, dan yang kedengaran hanyalah nafas berat jeneral tua itu yang kehabisan nafas. "Mereka ditolak di mana-mana, yang saya berterima kasih kepada Tuhan dan tentera kami yang berani." Musuh telah dikalahkan, dan esok kita akan menghalaunya keluar dari tanah suci Rusia,” kata Kutuzov, melintasi dirinya; dan tiba-tiba menangis teresak-esak dari air mata yang keluar. Wolzogen, mengangkat bahu dan mencebikkan bibirnya, diam-diam berjalan pergi ke tepi, tertanya-tanya uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [pada kezaliman lelaki tua ini. (Jerman)]
"Ya, inilah dia, wira saya," kata Kutuzov kepada jeneral yang gemuk, kacak, berambut hitam, yang sedang memasuki busut pada masa itu. Ia adalah Raevsky, yang menghabiskan sepanjang hari di titik utama padang Borodino.
Raevsky melaporkan bahawa tentera berada di tempat mereka dengan tegas dan Perancis tidak berani menyerang lagi. Selepas mendengarnya, Kutuzov berkata dalam bahasa Perancis:
– Adakah anda tidak boleh bersara kerana anda perlu bersara? [Anda tidak fikir, seperti orang lain, bahawa kita harus berundur?]

Dalam pelajaran sebelumnya, kita telah melihat sifat pembahagi dua sudut, kedua-duanya tertutup dalam segi tiga dan bebas. Segitiga termasuk tiga sudut dan bagi setiap satu daripadanya sifat-sifat yang dipertimbangkan bagi pembahagi dua itu dipelihara.

Teorem:

Pembelah dua AA 1, BB 1, СС 1 segi tiga bersilang pada satu titik O (Rajah 1).

nasi. 1. Ilustrasi untuk teorem

Bukti:

Mari kita pertimbangkan dahulu dua pembahagi dua BB 1 dan CC 1. Mereka bersilang, titik persimpangan O wujud. Untuk membuktikan ini, mari kita anggap sebaliknya: biarkan pembahagi dua yang diberikan tidak bersilang, dalam hal ini mereka selari. Maka garis lurus BC ialah sekan dan hasil tambah sudutnya ialah , ini bercanggah dengan fakta bahawa dalam keseluruhan segi tiga jumlah sudut ialah .

Jadi, titik O persilangan dua pembahagi dua wujud. Mari kita pertimbangkan sifatnya:

Titik O terletak pada pembahagi dua sudut, yang bermaksud ia adalah sama jarak dari sisinya BA dan BC. Jika OK berserenjang dengan BC, OL berserenjang dengan BA, maka panjang serenjang ini adalah sama - . Juga, titik O terletak pada pembahagi dua sudut dan adalah sama jarak dari sisinya CB dan CA, serenjang OM dan OK adalah sama.

Kami memperoleh persamaan berikut:

, iaitu, ketiga-tiga serenjang yang dijatuhkan dari titik O ke sisi segi tiga adalah sama antara satu sama lain.

Kami berminat dengan kesamaan serenjang OL dan OM. Kesamaan ini mengatakan bahawa titik O adalah sama jarak dari sisi sudut, maka ia terletak pada pembahagi duanya AA 1.

Oleh itu, kami telah membuktikan bahawa ketiga-tiga pembahagi dua segi tiga bersilang pada satu titik.

Di samping itu, segitiga terdiri daripada tiga segmen, yang bermaksud kita harus mempertimbangkan sifat-sifat segmen individu.

Segmen AB diberi. Mana-mana segmen mempunyai titik tengah, dan serenjang boleh dilukis melaluinya - mari kita nyatakan sebagai p. Oleh itu, p ialah pembahagi dua serenjang.

nasi. 2. Ilustrasi untuk teorem

Mana-mana titik yang terletak pada pembahagi dua serenjang adalah sama jarak dari hujung segmen.

Buktikan bahawa (Gamb. 2).

Bukti:

Pertimbangkan segi tiga dan . Mereka adalah segi empat tepat dan sama, kerana mereka mempunyai kaki sepunya OM, dan kaki AO dan OB adalah sama mengikut keadaan, oleh itu kita mempunyai dua segi tiga tepat, sama dalam dua kaki. Ia berikutan bahawa hipotenus bagi segi tiga juga sama, iaitu, apa yang diperlukan untuk dibuktikan.

Teorem terbalik adalah benar.

Setiap titik yang sama jaraknya dari hujung segmen terletak pada pembahagi dua serenjang dengan segmen ini.

Diberi suatu ruas AB, pembahagi dua serenjangnya p, dan satu titik M sama jarak dari hujung ruas itu. Buktikan bahawa titik M terletak pada pembahagi dua serenjang dengan segmen (Rajah 3).

nasi. 3. Ilustrasi untuk teorem

Bukti:

Pertimbangkan segitiga. Ia adalah sama kaki, mengikut keadaan. Pertimbangkan median segitiga: titik O ialah tengah tapak AB, OM ialah median. Mengikut sifat segi tiga sama kaki, median yang dilukis ke tapaknya ialah ketinggian dan pembahagi dua. Ia berikutan itu. Tetapi garis p juga berserenjang dengan AB. Kita tahu bahawa pada titik O adalah mungkin untuk melukis satu serenjang dengan segmen AB, yang bermaksud garis OM dan p bertepatan, ia berikutan bahawa titik M tergolong dalam garis lurus p, yang mana kita perlu buktikan.

Teorem langsung dan berbalik boleh digeneralisasikan.

Satu titik terletak pada pembahagi dua serenjang bagi suatu segmen jika dan hanya jika jaraknya sama dari hujung segmen ini.

Jadi, mari kita ulangi bahawa terdapat tiga segmen dalam segi tiga dan sifat pembahagi dua serenjang terpakai kepada setiap satu daripadanya.

Teorem:

Pembahagi dua serenjang bagi segi tiga bersilang pada satu titik.

Segi tiga diberi. Serenjang dengan sisinya: P 1 ke sisi BC, P 2 ke sisi AC, P 3 ke sisi AB.

Buktikan bahawa serenjang P 1, P 2 dan P 3 bersilang pada titik O (Rajah 4).

nasi. 4. Ilustrasi untuk teorem

Bukti:

Mari kita pertimbangkan dua pembahagi dua serenjang P 2 dan P 3, ia bersilang, titik persilangan O wujud. Mari kita buktikan fakta ini dengan percanggahan - biarkan serenjang P 2 dan P 3 selari. Kemudian sudut itu diterbalikkan, yang bercanggah dengan fakta bahawa jumlah tiga sudut segitiga ialah . Jadi, terdapat titik O bagi persilangan dua daripada tiga pembahagi dua serenjang. Sifat titik O: ia terletak pada pembahagi dua serenjang dengan sisi AB, yang bermaksud ia adalah sama jarak dari hujung segmen AB: . Ia juga terletak pada pembahagi dua serenjang dengan AC sisi, yang bermaksud . Kami memperoleh persamaan berikut.