Dosa ialah fungsi genap atau ganjil. Fungsi genap dan ganjil

Malah berfungsi.

Fungsi yang tandanya tidak berubah apabila tanda berubah dipanggil genap. x.

x kesaksamaan dipegang f(–x) = f(x). Tandatangan x tidak menjejaskan tanda y.

Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi koordinat (Rajah 1).

Contoh fungsi genap:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Penjelasan:
Mari kita ambil fungsi y = x 2 atau y = –x 2 .
Untuk sebarang nilai x fungsinya adalah positif. Tandatangan x tidak menjejaskan tanda y. Graf adalah simetri tentang paksi koordinat. Ini adalah fungsi genap.

Fungsi ganjil.

Fungsi yang tandanya berubah apabila tanda berubah dipanggil ganjil. x.

Dengan kata lain, untuk sebarang nilai x kesaksamaan dipegang f(–x) = –f(x).

Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan (Rajah 2).

Contoh fungsi ganjil:

y= dosa x

y = x 3

y = –x 3

Penjelasan:

Mari kita ambil fungsi y = – x 3 .
Semua makna di ia akan mempunyai tanda tolak. Itu adalah satu petanda x mempengaruhi tanda y. Jika pembolehubah bebas adalah nombor positif, maka fungsinya adalah positif, jika pembolehubah bebas adalah nombor negatif, maka fungsinya adalah negatif: f(–x) = –f(x).
Graf fungsi adalah simetri tentang asalan. Ini adalah fungsi ganjil.

Sifat fungsi genap dan ganjil:

NOTA:

Tidak semua fungsi genap atau ganjil. Terdapat fungsi yang tidak mematuhi penggredan tersebut. Sebagai contoh, fungsi akar di = √X tidak terpakai pada fungsi genap atau ganjil (Gamb. 3). Apabila menyenaraikan sifat-sifat fungsi tersebut, penerangan yang sesuai harus diberikan: tidak genap atau ganjil.

Fungsi berkala.

Seperti yang anda ketahui, berkala ialah pengulangan proses tertentu pada selang waktu tertentu. Fungsi yang menerangkan proses ini dipanggil fungsi berkala. Iaitu, ini adalah fungsi yang dalam grafnya terdapat unsur-unsur yang berulang pada selang berangka tertentu.

Bagaimana untuk memasukkan formula matematik di laman web?

Jika anda perlu menambah satu atau dua formula matematik pada halaman web, maka cara paling mudah untuk melakukan ini adalah seperti yang diterangkan dalam artikel: formula matematik mudah dimasukkan ke tapak dalam bentuk gambar yang dijana secara automatik oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaan, kaedah universal ini akan membantu meningkatkan keterlihatan tapak dalam enjin carian. Ia telah berfungsi untuk masa yang lama (dan, saya fikir, akan berfungsi selama-lamanya), tetapi sudah ketinggalan zaman dari segi moral.

Jika anda kerap menggunakan formula matematik di tapak anda, maka saya syorkan anda menggunakan MathJax - perpustakaan JavaScript khas yang memaparkan tatatanda matematik dalam pelayar web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.

Terdapat dua cara untuk mula menggunakan MathJax: (1) menggunakan kod mudah, anda boleh menyambungkan skrip MathJax ke tapak web anda dengan cepat, yang akan dimuatkan secara automatik dari pelayan jauh pada masa yang betul (senarai pelayan); (2) muat turun skrip MathJax dari pelayan jauh ke pelayan anda dan sambungkannya ke semua halaman tapak anda. Kaedah kedua - lebih kompleks dan memakan masa - akan mempercepatkan pemuatan halaman tapak anda, dan jika pelayan MathJax induk menjadi tidak tersedia buat sementara waktu atas sebab tertentu, ini tidak akan menjejaskan tapak anda sendiri dalam apa cara sekalipun. Di sebalik kelebihan ini, saya memilih kaedah pertama kerana ia lebih mudah, cepat dan tidak memerlukan kemahiran teknikal. Ikut contoh saya, dan dalam masa 5 minit sahaja anda akan dapat menggunakan semua ciri MathJax di tapak anda.

Anda boleh menyambungkan skrip perpustakaan MathJax dari pelayan jauh menggunakan dua pilihan kod yang diambil dari tapak web MathJax utama atau pada halaman dokumentasi:

Salah satu daripada pilihan kod ini perlu disalin dan ditampal ke dalam kod halaman web anda, sebaik-baiknya antara teg dan atau sejurus selepas teg. Mengikut pilihan pertama, MathJax memuat lebih cepat dan melambatkan halaman kurang. Tetapi pilihan kedua secara automatik memantau dan memuatkan versi terkini MathJax. Jika anda memasukkan kod pertama, ia perlu dikemas kini secara berkala. Jika anda memasukkan kod kedua, halaman akan dimuatkan dengan lebih perlahan, tetapi anda tidak perlu sentiasa memantau kemas kini MathJax.

Cara paling mudah untuk menyambungkan MathJax ialah dalam Blogger atau WordPress: dalam panel kawalan tapak, tambahkan widget yang direka untuk memasukkan kod JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua kod muat turun yang dibentangkan di atas ke dalamnya dan letakkan widget lebih dekat ke permulaan templat (omong-omong, ini tidak perlu sama sekali, kerana skrip MathJax dimuatkan secara tidak segerak). Itu sahaja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML, dan anda sudah bersedia untuk memasukkan formula matematik ke dalam halaman web tapak anda.

Mana-mana fraktal dibina mengikut peraturan tertentu, yang digunakan secara konsisten dalam bilangan kali yang tidak terhad. Setiap masa sedemikian dipanggil lelaran.

Algoritma lelaran untuk membina span Menger agak mudah: kubus asal dengan sisi 1 dibahagikan dengan satah selari dengan mukanya kepada 27 kubus yang sama. Satu kiub pusat dan 6 kiub bersebelahan dengannya di sepanjang muka dikeluarkan daripadanya. Hasilnya ialah satu set yang terdiri daripada baki 20 kiub yang lebih kecil. Melakukan perkara yang sama dengan setiap kiub ini, kami mendapat satu set yang terdiri daripada 400 kiub yang lebih kecil. Meneruskan proses ini tanpa henti, kami mendapat span Menger.

Kebergantungan pembolehubah y pada pembolehubah x, di mana setiap nilai x sepadan dengan nilai tunggal y dipanggil fungsi. Untuk penetapan gunakan tatatanda y=f(x). Setiap fungsi mempunyai beberapa sifat asas, seperti monotonicity, pariti, periodicity dan lain-lain.

Lihat lebih dekat pada harta pariti.

Fungsi y=f(x) dipanggil walaupun ia memenuhi dua syarat berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x, kepunyaan domain definisi fungsi, mestilah sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Iaitu, untuk mana-mana titik x, kesamaan berikut mesti dipenuhi daripada domain takrifan fungsi: f(x) = f(-x).

Graf fungsi genap

Jika anda memplot graf bagi fungsi genap, ia akan simetri tentang paksi Oy.

Sebagai contoh, fungsi y=x^2 ialah genap. Jom semak. Domain definisi ialah keseluruhan paksi berangka, yang bermaksud ia simetri tentang titik O.

Mari kita ambil sewenang-wenangnya x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Oleh itu f(x) = f(-x). Oleh itu, kedua-dua syarat dipenuhi, yang bermaksud fungsinya adalah sama. Di bawah ialah graf bagi fungsi y=x^2.

Rajah menunjukkan bahawa graf adalah simetri tentang paksi Oy.

Graf bagi fungsi ganjil

Fungsi y=f(x) dipanggil ganjil jika ia memenuhi dua syarat berikut:

1. Domain takrifan fungsi yang diberikan mestilah simetri berkenaan dengan titik O. Iaitu, jika beberapa titik a tergolong dalam domain takrifan fungsi tersebut, maka titik -a yang sepadan juga mesti tergolong dalam domain takrifan. daripada fungsi yang diberikan.

2. Bagi mana-mana titik x, kesamaan berikut mesti dipenuhi daripada domain takrifan fungsi: f(x) = -f(x).

Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri berkenaan dengan titik O - asal koordinat. Sebagai contoh, fungsi y=x^3 adalah ganjil. Jom semak. Domain definisi ialah keseluruhan paksi berangka, yang bermaksud ia simetri tentang titik O.

Mari kita ambil sewenang-wenangnya x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Oleh itu f(x) = -f(x). Oleh itu, kedua-dua syarat dipenuhi, yang bermaksud fungsinya adalah ganjil. Di bawah ialah graf bagi fungsi y=x^3.

Rajah dengan jelas menunjukkan bahawa fungsi ganjil y=x^3 adalah simetri tentang asalan.

Menukar graf.

Penerangan lisan tentang fungsi.

Kaedah grafik.

Kaedah grafik untuk menentukan fungsi adalah yang paling visual dan sering digunakan dalam teknologi. Dalam analisis matematik, kaedah grafik untuk menentukan fungsi digunakan sebagai ilustrasi.

Graf bagi fungsi f ialah set semua titik (x;y) bagi satah koordinat, dengan y=f(x), dan x “melalui” keseluruhan domain takrifan fungsi ini.

Subset bagi satah koordinat ialah graf bagi fungsi jika ia mempunyai tidak lebih daripada satu titik sepunya dengan sebarang garis lurus selari dengan paksi Oy.

Contoh. Adakah rajah yang ditunjukkan di bawah adalah graf fungsi?

Kelebihan tugas grafik ialah kejelasannya. Anda boleh melihat dengan serta-merta bagaimana fungsi berfungsi, di mana ia meningkat dan di mana ia berkurangan. Daripada graf anda boleh segera mengetahui beberapa ciri penting fungsi tersebut.

Secara umum, kaedah analisis dan grafik untuk mentakrifkan fungsi berjalan seiring. Bekerja dengan formula membantu membina graf. Dan graf sering mencadangkan penyelesaian yang anda tidak akan perasan dalam formula.

Hampir mana-mana pelajar mengetahui tiga cara untuk mentakrifkan fungsi yang baru kita lihat.

Mari cuba jawab soalan: "Adakah terdapat cara lain untuk menentukan fungsi?"

Ada cara sedemikian.

Fungsi ini boleh dinyatakan dengan jelas dalam perkataan.

Sebagai contoh, fungsi y=2x boleh ditentukan oleh perihalan lisan berikut: setiap nilai sebenar hujah x dikaitkan dengan nilai bergandanya. Peraturan ditetapkan, fungsi ditentukan.

Selain itu, anda boleh menentukan secara lisan fungsi yang amat sukar, jika tidak mustahil, untuk ditakrifkan menggunakan formula.

Contohnya: setiap nilai hujah asli x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x. Contohnya, jika x=3, maka y=3. Jika x=257, maka y=2+5+7=14. Dan seterusnya. Adalah bermasalah untuk menulis ini dalam formula. Tetapi mudah untuk membuat tanda.

Kaedah penerangan lisan adalah kaedah yang agak jarang digunakan. Tetapi kadang-kadang ia berlaku.

Jika terdapat hukum korespondensi satu dengan satu antara x dan y, maka terdapat fungsi. Undang-undang apa, dalam bentuk apa ia dinyatakan - formula, tablet, graf, perkataan - tidak mengubah intipati perkara itu.

Mari kita pertimbangkan fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asal, i.e. untuk sesiapa sahaja X daripada domain nombor takrifan (- X) juga tergolong dalam domain definisi. Antara fungsi tersebut, genap dan ganjil dibezakan.

Definisi. Fungsi f dipanggil walaupun untuk sebarang X daripada domain definisinya

Contoh. Pertimbangkan fungsinya

Ia adalah genap. Jom semak.

Untuk sesiapa sahaja X persamaan berpuas hati

Oleh itu, kedua-dua syarat dipenuhi, yang bermaksud fungsinya adalah sama. Di bawah ialah graf fungsi ini.

Definisi. Fungsi f dipanggil ganjil jika untuk sebarang X daripada domain definisinya

Contoh. Pertimbangkan fungsinya

Ia adalah ganjil. Jom semak.

Domain definisi ialah keseluruhan paksi berangka, yang bermaksud ia simetri tentang titik (0;0).

Untuk sesiapa sahaja X persamaan berpuas hati

Oleh itu, kedua-dua syarat dipenuhi, yang bermaksud fungsinya adalah ganjil. Di bawah ialah graf fungsi ini.

Graf yang ditunjukkan dalam rajah pertama dan ketiga adalah simetri tentang paksi ordinat, dan graf yang ditunjukkan dalam rajah kedua dan keempat adalah simetri tentang asalan.

Manakah antara fungsi yang grafnya ditunjukkan dalam rajah adalah genap dan yang manakah ganjil?

Keseragaman dan keganjilan fungsi adalah salah satu sifat utamanya, dan pariti mengambil bahagian yang mengagumkan dalam kursus matematik sekolah. Ia sebahagian besarnya menentukan kelakuan fungsi dan sangat memudahkan pembinaan graf yang sepadan.

Mari tentukan pariti fungsi. Secara amnya, fungsi yang dikaji dianggap walaupun untuk nilai yang bertentangan dengan pembolehubah bebas (x) yang terletak dalam domain takrifnya, nilai y (fungsi) yang sepadan ternyata sama.

Mari kita berikan definisi yang lebih ketat. Pertimbangkan beberapa fungsi f (x), yang ditakrifkan dalam domain D. Ia akan menjadi walaupun untuk mana-mana titik x terletak dalam domain definisi:

• -x (titik bertentangan) juga terletak dalam skop ini,

• f(-x) = f(x).

Daripada definisi di atas mengikut syarat yang diperlukan untuk domain definisi fungsi sedemikian, iaitu, simetri berkenaan dengan titik O, yang merupakan asal koordinat, kerana jika beberapa titik b terkandung dalam domain definisi genap. fungsi, maka titik b yang sepadan juga terletak pada domain ini. Daripada perkara di atas, oleh itu, kesimpulan berikut: fungsi genap mempunyai bentuk simetri berkenaan dengan paksi ordinat (Oy).

Bagaimana untuk menentukan pariti fungsi dalam amalan?

Biarkan ia dinyatakan menggunakan formula h(x)=11^x+11^(-x). Mengikuti algoritma yang mengikuti terus daripada definisi, kami mula-mula memeriksa domain definisinya. Jelas sekali, ia ditakrifkan untuk semua nilai hujah, iaitu, syarat pertama dipenuhi.

Langkah seterusnya ialah menggantikan nilai berlawanan (-x) untuk hujah (x).
Kami mendapat:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Oleh kerana penambahan memenuhi undang-undang komutatif (komutatif), adalah jelas bahawa h(-x) = h(x) dan kebergantungan fungsi yang diberikan adalah genap.

Mari kita semak pariti fungsi h(x)=11^x-11^(-x). Mengikuti algoritma yang sama, kita mendapat bahawa h(-x) = 11^(-x) -11^x. Mengambil tolak, pada akhirnya kita ada
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Oleh itu, h(x) adalah ganjil.

Dengan cara ini, perlu diingat bahawa terdapat fungsi yang tidak boleh diklasifikasikan mengikut kriteria ini; ia dipanggil bukan genap atau ganjil.

Malah fungsi mempunyai beberapa sifat menarik:

• hasil daripada menambah fungsi yang serupa, mereka mendapat satu genap;
• hasil penolakan fungsi tersebut, satu genap diperoleh;
• genap, juga genap;
• hasil daripada mendarab dua fungsi sedemikian, satu genap diperoleh;
• hasil daripada mendarab fungsi ganjil dan genap, satu ganjil diperoleh;
• hasil daripada membahagikan fungsi ganjil dan genap, yang ganjil diperolehi;
• terbitan bagi fungsi sedemikian adalah ganjil;
• Jika anda kuasa dua fungsi ganjil, anda akan mendapat satu genap.

Pariti fungsi boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti g(x) = 0, di mana bahagian kiri persamaan adalah fungsi genap, ia akan menjadi cukup untuk mencari penyelesaiannya untuk nilai bukan negatif pembolehubah. Punca-punca yang terhasil bagi persamaan mesti digabungkan dengan nombor yang berlawanan. Salah satunya tertakluk kepada pengesahan.

Ini juga berjaya digunakan untuk menyelesaikan masalah bukan standard dengan parameter.

Sebagai contoh, adakah terdapat sebarang nilai parameter a yang mana persamaan 2x^6-x^4-ax^2=1 akan mempunyai tiga punca?

Jika kita mengambil kira bahawa pembolehubah memasuki persamaan dalam kuasa genap, maka adalah jelas bahawa menggantikan x dengan - x tidak akan mengubah persamaan yang diberikan. Ia berikutan bahawa jika nombor tertentu adalah puncanya, maka nombor yang bertentangan juga adalah punca. Kesimpulannya adalah jelas: punca-punca persamaan yang berbeza daripada sifar dimasukkan ke dalam set penyelesaiannya "berpasangan".

Jelas bahawa nombor itu sendiri bukan 0, iaitu bilangan punca persamaan sedemikian hanya boleh genap dan, secara semula jadi, untuk sebarang nilai parameter ia tidak boleh mempunyai tiga punca.

Tetapi bilangan punca persamaan 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 boleh ganjil, dan untuk sebarang nilai parameter. Sesungguhnya, adalah mudah untuk memeriksa bahawa set punca persamaan ini mengandungi penyelesaian "berpasangan". Mari kita semak sama ada 0 ialah akar. Apabila kita menggantikannya ke dalam persamaan, kita mendapat 2=2. Oleh itu, sebagai tambahan kepada yang "berpasangan", 0 juga merupakan punca, yang membuktikan nombor ganjilnya.