Sistem ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Keadaan keserasian sistem persamaan linear

1. Sistem persamaan linear dengan parameter

Sistem persamaan linear dengan parameter diselesaikan dengan kaedah asas yang sama seperti sistem persamaan konvensional: kaedah penggantian, kaedah menambah persamaan, dan kaedah grafik. Mengetahui tafsiran grafik sistem linear memudahkan untuk menjawab soalan tentang bilangan punca dan kewujudannya.

Contoh 1

Cari semua nilai untuk parameter a yang sistem persamaannya tidak mempunyai penyelesaian.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Penyelesaian.

Mari lihat beberapa cara untuk menyelesaikan masalah ini.

1 cara. Kami menggunakan sifat: sistem tidak mempunyai penyelesaian jika nisbah pekali di hadapan x adalah sama dengan nisbah pekali di hadapan y, tetapi tidak sama dengan nisbah sebutan bebas (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Kemudian kami mempunyai:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 atau sistem

(dan 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Daripada persamaan pertama a 2 \u003d 4, oleh itu, dengan mengambil kira syarat bahawa a ≠ 2, kita mendapat jawapannya.

Jawapan: a = -2.

2 cara. Kami menyelesaikan dengan kaedah penggantian.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Selepas mengambil faktor sepunya y daripada kurungan dalam persamaan pertama, kita dapat:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sistem tidak mempunyai penyelesaian jika persamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, iaitu

(dan 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Adalah jelas bahawa a = ±2, tetapi dengan mengambil kira syarat kedua, hanya jawapan dengan tolak diberikan.

Jawapan: a = -2.

Contoh 2

Cari semua nilai untuk parameter a yang sistem persamaannya mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Penyelesaian.

Dengan harta, jika nisbah pekali pada x dan y adalah sama, dan sama dengan nisbah ahli bebas sistem, maka ia mempunyai set penyelesaian tak terhingga (iaitu, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Oleh itu 8/a = a/2 = 2/1. Menyelesaikan setiap persamaan yang diperoleh, kami mendapati bahawa a \u003d 4 ialah jawapan dalam contoh ini.

Jawapan: a = 4.

2. Sistem persamaan rasional dengan parameter

Contoh 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Penyelesaian.

Darabkan persamaan pertama sistem dengan 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Kurangkan persamaan kedua daripada yang pertama, kita dapat 5|x| = 4 – a. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian unik untuk a = 4. Dalam kes lain, persamaan ini akan mempunyai dua penyelesaian (untuk< 4) или ни одного (при а > 4).

Jawapan: a = 4.

Contoh 4

Cari semua nilai parameter a yang mana sistem persamaan mempunyai penyelesaian unik.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Penyelesaian.

Kami akan menyelesaikan sistem ini menggunakan kaedah grafik. Jadi, graf bagi persamaan kedua sistem ialah parabola, diangkat ke atas sepanjang paksi Oy oleh satu segmen unit. Persamaan pertama mentakrifkan set garisan yang selari dengan garis y = -x (gambar 1). Angka itu jelas menunjukkan bahawa sistem mempunyai penyelesaian jika garis lurus y \u003d -x + a adalah tangen kepada parabola pada titik dengan koordinat (-0.5; 1.25). Menggantikan koordinat ini ke dalam persamaan garis lurus dan bukannya x dan y, kita dapati nilai parameter a:

1.25 = 0.5 + a;

Jawapan: a = 0.75.

Contoh 5

Menggunakan kaedah penggantian, ketahui pada nilai parameter a, sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Penyelesaian.

Ungkapkan y daripada persamaan pertama dan gantikan kepada persamaan kedua:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Kami membawa persamaan kedua ke bentuk kx = b, yang akan mempunyai penyelesaian unik untuk k ≠ 0. Kami mempunyai:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Trinomial segi empat sama a 2 + 3a + 2 boleh diwakili sebagai hasil darab kurungan

(a + 2)(a + 1), dan di sebelah kiri kita ambil x daripada kurungan:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Jelas sekali, 2 + 3a mestilah tidak sama dengan sifar, oleh itu,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, yang bermaksud a ≠ 0 dan ≠ -3.

Jawapan: a ≠ 0; ≠ -3.

Contoh 6

Menggunakan kaedah penyelesaian grafik, tentukan pada nilai parameter a, sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Penyelesaian.

Berdasarkan keadaan, kita membina bulatan dengan pusat pada asal koordinat dan jejari 3 segmen unit, bulatan inilah yang menetapkan persamaan pertama sistem

x 2 + y 2 = 9. Persamaan kedua sistem (y = |x| + a) ialah garis putus-putus. Dengan menggunakan rajah 2 kami menganggap semua kemungkinan kes lokasinya berbanding dengan bulatan. Adalah mudah untuk melihat bahawa a = 3.

Jawapan: a = 3.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

apabila sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian? dan mendapat jawapan yang terbaik

Jawapan daripada CBETAET[guru]
1) apabila terdapat lebih banyak yang tidak diketahui dalam sistem daripada persamaan
2) apabila satu daripada persamaan sistem boleh dikurangkan kepada yang lain menggunakan operasi +, -*, /, tanpa membahagi dan mendarab dengan 0.
3) apabila terdapat 2 atau lebih persamaan yang sama dalam sistem (ini adalah kes khas 2 mata).
4) apabila terdapat ketidakpastian dalam sistem selepas beberapa transformasi.
contohnya, x + y \u003d x + y, iaitu 0 \u003d 0.
Semoga berjaya!
p.s. jangan lupa ucap terima kasih... ini adalah perkara yang sangat bagus =))
RS-232
Guru
(4061)
Hanya pangkat matriks sistem persamaan linear akan membantu di sini.

Jawapan daripada Tanpa Nama[pakar]
bolehkah anda lebih tepat?

Jawapan daripada Vladimir[orang baru]
Apabila pangkat matriks pekali adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.

Jawapan daripada Pelawat dari masa lalu[guru]
Jika kita bercakap tentang sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui, maka lihat angka itu.

Jawapan daripada RS-232[guru]
Apabila pangkat matriks sistem persamaan linear kurang daripada bilangan pembolehubah.

Jawapan daripada Pengguna dipadamkan[guru]

Jawapan daripada Artem kurguzov[orang baru]
Sistem sambungan persamaan linear adalah tidak tentu, iaitu, ia mempunyai banyak penyelesaian jika pangkat sistem sambungan kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Untuk keserasian sistem adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks sistem ini adalah sama dengan pangkat matriks lanjutannya. (Teorem Kronecker-Capelli)

Jawapan daripada 2 jawapan[guru]

hello! Berikut ialah pilihan topik dengan jawapan kepada soalan anda: bilakah sistem persamaan mempunyai banyak penyelesaian?

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAE) sudah pasti topik paling penting dalam kursus algebra linear. Sebilangan besar masalah daripada semua cabang matematik dikurangkan kepada penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor ini menerangkan sebab untuk mencipta artikel ini. Bahan artikel dipilih dan disusun supaya dengan bantuannya anda boleh

pilih kaedah optimum untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear anda,
mengkaji teori kaedah yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linear anda, setelah mempertimbangkan secara terperinci penyelesaian contoh dan masalah biasa.

Penerangan ringkas tentang bahan artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan beberapa notasi.

Seterusnya, kami mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan yang mempunyai penyelesaian unik. Pertama, mari kita fokus pada kaedah Cramer, kedua, kita akan menunjukkan kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis kaedah Gauss (kaedah penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui). Untuk menyatukan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dalam pelbagai cara.

Selepas itu, kita beralih kepada menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam bentuk umum, di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem itu merosot. Kami merumuskan teorem Kronecker-Capelli, yang membolehkan kami mewujudkan keserasian SLAE. Marilah kita menganalisis penyelesaian sistem (dalam kes keserasian mereka) menggunakan konsep asas minor bagi matriks. Kami juga akan mempertimbangkan kaedah Gauss dan menerangkan secara terperinci penyelesaian contoh.

Pastikan anda memikirkan struktur penyelesaian umum sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan algebra linear. Mari kita berikan konsep sistem asas penyelesaian dan tunjukkan bagaimana penyelesaian umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem asas penyelesaian. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Kesimpulannya, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang dikurangkan kepada yang linear, serta pelbagai masalah, dalam penyelesaian yang mana SLAE timbul.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui (p mungkin sama dengan n ) dalam bentuk

Pembolehubah tidak diketahui, - pekali (beberapa nombor nyata atau kompleks), - ahli bebas (juga nombor nyata atau kompleks).

Bentuk SLAE ini dipanggil menyelaras.

AT bentuk matriks sistem persamaan ini mempunyai bentuk ,
di mana - matriks utama sistem, - matriks-lajur pembolehubah yang tidak diketahui, - matriks-lajur ahli bebas.

Jika kita menambah pada matriks A sebagai lajur (n + 1)-ke-matriks-lajur sebutan bebas, maka kita mendapat apa yang dipanggil matriks yang diperluaskan sistem persamaan linear. Biasanya, matriks tambahan dilambangkan dengan huruf T, dan lajur ahli bebas dipisahkan oleh garis menegak dari seluruh lajur, iaitu,

Dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dipanggil satu set nilai pembolehubah yang tidak diketahui, yang menjadikan semua persamaan sistem menjadi identiti. Persamaan matriks untuk nilai yang diberikan bagi pembolehubah yang tidak diketahui juga bertukar menjadi identiti.

Jika sistem persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka ia dipanggil sendi.

Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka ia dipanggil tidak serasi.

Jika SLAE mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia dipanggil pasti; jika terdapat lebih daripada satu penyelesaian, maka - tidak pasti.

Jika sebutan bebas semua persamaan sistem adalah sama dengan sifar , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Penyelesaian sistem asas persamaan algebra linear.

Jika bilangan persamaan sistem adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utamanya tidak sama dengan sifar, maka kita akan memanggil SLAE tersebut rendah. Sistem persamaan sedemikian mempunyai penyelesaian yang unik, dan dalam kes sistem homogen, semua pembolehubah yang tidak diketahui adalah sama dengan sifar.

Kami mula belajar SLAE sebegitu di sekolah menengah. Apabila menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu pembolehubah yang tidak diketahui dari segi yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian mengambil persamaan seterusnya, menyatakan pembolehubah yang tidak diketahui seterusnya dan menggantikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan kaedah penambahan, iaitu, mereka menambah dua atau lebih persamaan untuk menghapuskan beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Kami tidak akan membincangkan kaedah ini secara terperinci, kerana ia pada dasarnya adalah pengubahsuaian kaedah Gauss.

Kaedah utama untuk menyelesaikan sistem asas persamaan linear ialah kaedah Cramer, kaedah matriks dan kaedah Gauss. Mari kita selesaikan mereka.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Mari kita perlu menyelesaikan sistem persamaan algebra linear

di mana bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui dan penentu matriks utama sistem adalah berbeza daripada sifar, iaitu, .

Biarkan menjadi penentu matriks utama sistem, dan adalah penentu matriks yang diperoleh daripada A dengan menggantikan 1, 2, …, nth lajur masing-masing ke lajur ahli percuma:

Dengan tatatanda sedemikian, pembolehubah yang tidak diketahui dikira dengan formula kaedah Cramer sebagai . Beginilah cara penyelesaian sistem persamaan algebra linear ditemui dengan kaedah Cramer.

Contoh.

Kaedah Cramer .

Penyelesaian.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk . Kira penentunya (jika perlu, lihat artikel):

Oleh kerana penentu matriks utama sistem adalah bukan sifar, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati dengan kaedah Cramer.

Karang dan hitung penentu yang diperlukan (penentu diperoleh dengan menggantikan lajur pertama dalam matriks A dengan lajur ahli bebas, penentu - dengan menggantikan lajur kedua dengan lajur ahli bebas, - dengan menggantikan lajur ketiga matriks A dengan lajur ahli bebas ):

Mencari pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan formula :

Jawapan:

Kelemahan utama kaedah Cramer (jika ia boleh dipanggil kelemahan) ialah kerumitan pengiraan penentu apabila bilangan persamaan sistem lebih daripada tiga.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).

Biarkan sistem persamaan algebra linear diberikan dalam bentuk matriks , di mana matriks A mempunyai dimensi n dengan n dan penentunya ialah bukan sifar.

Oleh kerana , maka matriks A adalah boleh terbalik, iaitu, terdapat matriks songsang. Jika kita mendarab kedua-dua bahagian kesamaan dengan di sebelah kiri, maka kita mendapat formula untuk mencari matriks lajur pembolehubah yang tidak diketahui. Jadi kami mendapat penyelesaian sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear kaedah matriks.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Kerana

maka SLAE boleh diselesaikan dengan kaedah matriks. Menggunakan matriks songsang, penyelesaian kepada sistem ini boleh didapati sebagai .

Mari bina matriks songsang menggunakan matriks pelengkap algebra bagi unsur matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Ia kekal untuk mengira - matriks pembolehubah yang tidak diketahui dengan mendarab matriks songsang pada lajur matriks ahli percuma (jika perlu, lihat artikel):

Jawapan:

atau dalam tatatanda lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari penyelesaian kepada sistem persamaan algebra linear dengan kaedah matriks ialah kerumitan mencari matriks songsang, terutamanya untuk matriks kuasa dua yang lebih tinggi daripada yang ketiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss.

Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem n persamaan linear dengan n pembolehubah yang tidak diketahui
penentu matriks utama yang berbeza daripada sifar.

Intipati kaedah Gauss terdiri dalam pengecualian berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikecualikan daripada semua persamaan sistem, bermula dari kedua, kemudian x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari ketiga, dan seterusnya, sehingga hanya pembolehubah yang tidak diketahui. x n kekal dalam persamaan terakhir. Proses mengubah persamaan sistem untuk penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui dipanggil kaedah Gauss langsung. Selepas selesai larian hadapan kaedah Gaussian, x n didapati daripada persamaan terakhir, x n-1 dikira daripada persamaan kedua terakhir menggunakan nilai ini, dan seterusnya, x 1 ditemui daripada persamaan pertama. Proses pengiraan pembolehubah yang tidak diketahui apabila berpindah dari persamaan terakhir sistem kepada yang pertama dipanggil kaedah Gauss terbalik.

Mari kita terangkan secara ringkas algoritma untuk menghapuskan pembolehubah yang tidak diketahui.

Kami akan menganggap bahawa , kerana kita sentiasa boleh mencapai ini dengan menyusun semula persamaan sistem. Kami mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem, bermula dari yang kedua. Untuk melakukan ini, tambahkan persamaan pertama yang didarab dengan persamaan kedua sistem, tambahkan yang pertama didarab dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan yang pertama didarab dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a .

Kita akan mendapat keputusan yang sama jika kita menyatakan x 1 dari segi pembolehubah lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ungkapan yang terhasil ke dalam semua persamaan lain. Oleh itu, pembolehubah x 1 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang kedua.

Seterusnya, kami bertindak sama, tetapi hanya dengan sebahagian daripada sistem yang terhasil, yang ditandakan dalam rajah

Untuk melakukan ini, tambahkan kedua didarab dengan persamaan ketiga sistem, tambah kedua didarab dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambah kedua didarab dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan selepas penjelmaan sedemikian akan mengambil bentuk

di mana, a . Oleh itu, pembolehubah x 2 dikecualikan daripada semua persamaan, bermula dari yang ketiga.

Seterusnya, kami meneruskan ke penghapusan x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak sama dengan bahagian sistem yang ditandakan dalam rajah

Oleh itu, kami meneruskan kursus terus kaedah Gauss sehingga sistem mengambil bentuk

Dari saat ini, kita memulakan laluan terbalik kaedah Gauss: kita mengira x n daripada persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperolehi x n kita dapati x n-1 daripada persamaan kedua, dan seterusnya, kita dapati x 1 daripada yang pertama persamaan.

Contoh.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kaedah Gaussian.

Penyelesaian.

Mari kita mengecualikan pembolehubah yang tidak diketahui x 1 daripada persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, kepada kedua-dua bahagian persamaan kedua dan ketiga, kami menambah bahagian yang sepadan bagi persamaan pertama, masing-masing didarab dengan dan dengan:

Sekarang kita mengecualikan x 2 daripada persamaan ketiga dengan menambah bahagian kiri dan kanannya bahagian kiri dan kanan persamaan kedua, didarab dengan:

Mengenai ini, kursus ke hadapan kaedah Gauss selesai, kita memulakan kursus terbalik.

Daripada persamaan terakhir sistem persamaan yang terhasil, kita dapati x 3:

Daripada persamaan kedua kita dapat .

Daripada persamaan pertama kita dapati pembolehubah tidak diketahui yang selebihnya dan ini melengkapkan laluan terbalik kaedah Gauss.

Jawapan:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Dalam kes umum, bilangan persamaan sistem p tidak bertepatan dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n:

SLAE sedemikian mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Pernyataan ini juga terpakai kepada sistem persamaan yang matriks utamanya adalah segi empat sama dan merosot.

Teorem Kronecker-Capelli.

Sebelum mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear, adalah perlu untuk mewujudkan keserasiannya. Jawapan kepada soalan apabila SLAE serasi, dan apabila ia tidak serasi, memberikan Teorem Kronecker–Capelli:
untuk sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p boleh sama dengan n ) untuk konsisten adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks utama sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, iaitu, Pangkat( A)=Pangkat(T) .

Mari kita pertimbangkan aplikasi teorem Kronecker-Cappelli untuk menentukan keserasian sistem persamaan linear sebagai contoh.

Contoh.

Ketahui jika sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian.

Penyelesaian.

. Marilah kita menggunakan kaedah sempadan bawah umur. Kecil daripada perintah kedua berbeza dengan sifar. Mari kita bincangkan golongan bawah umur peringkat ketiga yang mengelilinginya:

Oleh kerana semua kanak-kanak bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan adalah sama dengan sifar, pangkat matriks utama ialah dua.

Sebaliknya, pangkat matriks tambahan adalah bersamaan dengan tiga, sejak yang kecil bagi urutan ketiga

berbeza dengan sifar.

Dengan cara ini, Rang(A) , oleh itu, mengikut teorem Kronecker-Capelli, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem asal persamaan linear adalah tidak konsisten.

Jawapan:

Tiada sistem penyelesaian.

Jadi, kami telah belajar untuk mewujudkan ketidakkonsistenan sistem menggunakan teorem Kronecker-Capelli.

Tetapi bagaimana untuk mencari penyelesaian SLAE jika keserasiannya diwujudkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep asas minor bagi matriks dan teorem pada pangkat matriks.

Orde minor tertinggi bagi matriks A, selain sifar, dipanggil asas.

Ia mengikuti daripada takrif asas minor bahawa susunannya adalah sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks bukan sifar A, boleh terdapat beberapa minor asas; sentiasa ada satu minor asas.

Sebagai contoh, pertimbangkan matriks .

Semua minor peringkat ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana unsur-unsur baris ketiga matriks ini ialah hasil tambah unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama dan kedua.

Anak bawah umur berikut bagi urutan kedua adalah asas, kerana mereka bukan sifar

bawah umur bukan asas, kerana ia sama dengan sifar.

Teorem pangkat matriks.

Jika pangkat matriks tertib p dengan n ialah r, maka semua elemen baris (dan lajur) matriks yang tidak membentuk asas minor yang dipilih dinyatakan secara linear dalam sebutan elemen sepadan baris (dan lajur). ) yang membentuk asas minor.

Apakah yang diberikan oleh teorem pangkat matriks kepada kita?

Jika, dengan teorem Kronecker-Capelli, kita telah menetapkan keserasian sistem, maka kita memilih mana-mana minor asas matriks utama sistem (tertibnya bersamaan dengan r), dan mengecualikan daripada sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor asas yang dipilih. SLAE yang diperolehi dengan cara ini akan bersamaan dengan yang asal, kerana persamaan yang dibuang masih berlebihan (mengikut teorem kedudukan matriks, ia adalah gabungan linear bagi persamaan yang tinggal).

Akibatnya, selepas membuang persamaan berlebihan sistem, dua kes adalah mungkin.

Jika bilangan persamaan r dalam sistem yang terhasil adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka ia akan menjadi pasti dan satu-satunya penyelesaian boleh didapati dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Contoh.

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem adalah sama dengan dua, kerana minor bagi urutan kedua berbeza dengan sifar. Kedudukan matriks lanjutan juga bersamaan dengan dua, kerana satu-satunya kecil bagi susunan ketiga adalah sama dengan sifar

dan minor bagi susunan kedua yang dipertimbangkan di atas adalah berbeza daripada sifar. Berdasarkan teorem Kronecker-Capelli, seseorang boleh menegaskan keserasian sistem asal persamaan linear, kerana Rank(A)=Rank(T)=2 .

Sebagai asas minor, kita ambil . Ia dibentuk oleh pekali persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas, jadi kami mengecualikannya daripada sistem berdasarkan teorem pangkat matriks:

Oleh itu kita telah memperoleh sistem asas persamaan algebra linear. Mari kita selesaikan dengan kaedah Cramer:

Jawapan:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jika bilangan persamaan r dalam SLAE yang terhasil adalah kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui n , maka kita tinggalkan sebutan yang membentuk minor asas di bahagian kiri persamaan, dan pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan persamaan. sistem dengan tanda yang bertentangan.

Pembolehubah yang tidak diketahui (terdapat r daripadanya) yang tinggal di sebelah kiri persamaan dipanggil utama.

Pembolehubah tidak diketahui (terdapat n - r daripadanya) yang berakhir di sebelah kanan dipanggil percuma.

Sekarang kita menganggap bahawa pembolehubah bebas yang tidak diketahui boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, manakala pembolehubah tidak diketahui utama r akan dinyatakan dari segi pembolehubah tidak diketahui bebas dengan cara yang unik. Ungkapan mereka boleh didapati dengan menyelesaikan SLAE yang terhasil dengan kaedah Cramer, kaedah matriks, atau kaedah Gauss.

Mari kita ambil contoh.

Contoh.

Selesaikan Sistem Persamaan Algebra Linear .

Penyelesaian.

Cari pangkat matriks utama sistem dengan kaedah sempadan bawah umur. Marilah kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor pesanan pertama bukan sifar. Mari mulakan mencari kanak-kanak bawah perintah bukan sifar kedua yang mengelilingi kanak-kanak bawah umur ini:

Oleh itu, kami menjumpai anak bawah umur bukan sifar bagi urutan kedua. Mari kita mula mencari minor sempadan bukan sifar bagi urutan ketiga:

Oleh itu, pangkat matriks utama adalah tiga. Kedudukan matriks tambahan juga sama dengan tiga, iaitu, sistemnya konsisten.

Yang didapati bukan sifar bawah perintah ketiga akan diambil sebagai yang asas.

Untuk kejelasan, kami menunjukkan unsur-unsur yang membentuk asas kecil:

Kami meninggalkan istilah yang mengambil bahagian dalam minor asas di sebelah kiri persamaan sistem, dan memindahkan yang lain dengan tanda yang bertentangan ke bahagian kanan:

Kami memberikan pembolehubah tidak diketahui percuma x 2 dan x 5 nilai arbitrari, iaitu, kami ambil , di mana nombor arbitrari. Dalam kes ini, SLAE mengambil borang

Kami menyelesaikan sistem asas persamaan algebra linear yang diperoleh dengan kaedah Cramer:

Akibatnya, .

Dalam jawapan, jangan lupa untuk menunjukkan pembolehubah tidak diketahui percuma.

Jawapan:

Di mana nombor sewenang-wenangnya.

ringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bagi bentuk am, kita mula-mula mengetahui keserasiannya menggunakan teorem Kronecker-Capelli. Jika pangkat matriks utama tidak sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Jika pangkat matriks utama adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan, maka kami memilih minor asas dan membuang persamaan sistem yang tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas yang dipilih.

Jika susunan asas minor adalah sama dengan bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati dengan mana-mana kaedah yang kami ketahui.

Jika susunan asas minor kurang daripada bilangan pembolehubah yang tidak diketahui, maka kita tinggalkan istilah dengan pembolehubah tidak diketahui utama di sebelah kiri persamaan sistem, pindahkan sebutan yang tinggal ke bahagian kanan dan tetapkan nilai arbitrari kepada pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Daripada sistem persamaan linear yang terhasil, kita dapati pembolehubah utama yang tidak diketahui dengan kaedah Cramer, kaedah matriks atau kaedah Gauss.

Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Menggunakan kaedah Gauss, seseorang boleh menyelesaikan sistem persamaan algebra linear dalam apa jua bentuk tanpa penyiasatan awal mereka untuk keserasian. Proses penghapusan berturut-turut pembolehubah yang tidak diketahui memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang kedua-dua keserasian dan ketidakkonsistenan SLAE, dan jika penyelesaian wujud, ia memungkinkan untuk mencarinya.

Dari sudut pandangan kerja pengiraan, kaedah Gaussian adalah lebih baik.

Lihat penerangan terperinci dan contoh yang dianalisis dalam artikel kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear bentuk am.

Merekod penyelesaian umum sistem algebra linear homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem asas penyelesaian.

Dalam bahagian ini, kita akan menumpukan pada sistem homogen dan tak homogen bersama persamaan algebra linear yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Mari kita berurusan dengan sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem keputusan asas Sistem homogen persamaan algebra linear p dengan n pembolehubah tidak diketahui ialah set (n – r) penyelesaian bebas linear bagi sistem ini, dengan r ialah susunan minor asas bagi matriks utama sistem.

Jika kita menetapkan penyelesaian bebas linear bagi SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ialah lajur matriks dimensi n dengan 1 ), maka penyelesaian umum sistem homogen ini diwakili sebagai gabungan linear vektor sistem asas penyelesaian dengan pekali malar arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), iaitu, .

Apakah yang dimaksudkan dengan istilah penyelesaian am bagi sistem homogen persamaan algebra linear (oroslau)?

Maksudnya mudah: formula menentukan semua penyelesaian yang mungkin kepada SLAE asal, dengan kata lain, mengambil sebarang set nilai pemalar sewenang-wenang C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , mengikut formula yang kami akan mendapat salah satu daripada penyelesaian SLAE homogen asal.

Oleh itu, jika kita menemui sistem penyelesaian asas, maka kita boleh menetapkan semua penyelesaian SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membina sistem asas penyelesaian untuk SLAE homogen.

Kami memilih minor asas bagi sistem persamaan linear asal, mengecualikan semua persamaan lain daripada sistem, dan memindahkan ke sebelah kanan persamaan sistem dengan tanda bertentangan semua istilah yang mengandungi pembolehubah bebas yang tidak diketahui. Mari kita berikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,…,0 dan hitungkan yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem asas persamaan linear yang terhasil dalam apa jua cara, contohnya, dengan kaedah Cramer. Oleh itu, X (1) akan diperolehi - penyelesaian pertama sistem asas. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui percuma 0,1,0,0,…,0 dan mengira yang tidak diketahui utama, maka kita mendapat X (2) . Dan sebagainya. Jika kita memberikan pembolehubah tidak diketahui bebas nilai 0,0,…,0,1 dan mengira yang tidak diketahui utama, maka kita mendapat X (n-r) . Beginilah cara sistem asas penyelesaian SLAE homogen akan dibina dan penyelesaian amnya boleh ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan algebra linear yang tidak homogen, penyelesaian umum diwakili sebagai

Mari lihat contoh.

Contoh.

Cari sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum sistem homogen persamaan algebra linear .

Penyelesaian.

Kedudukan matriks utama sistem homogen persamaan linear sentiasa sama dengan pangkat matriks lanjutan. Mari kita cari pangkat matriks utama dengan kaedah pinggir bawah umur. Sebagai minor bukan sifar bagi susunan pertama, kita mengambil elemen a 1 1 = 9 daripada matriks utama sistem. Cari sempadan bukan sifar minor bagi susunan kedua:

A minor daripada urutan kedua, berbeza daripada sifar, ditemui. Mari kita lihat di bawah umur peringkat ketiga yang bersempadan dengannya untuk mencari yang bukan sifar:

Semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dari urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks utama dan lanjutan ialah dua. Mari ambil bahagian bawah umur asas. Untuk kejelasan, kami perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asal tidak mengambil bahagian dalam pembentukan minor asas, oleh itu, ia boleh dikecualikan:

Kami meninggalkan istilah yang mengandungi tidak diketahui utama di sebelah kanan persamaan, dan memindahkan istilah dengan tidak diketahui bebas ke sebelah kanan:

Mari kita bina satu sistem asas penyelesaian kepada sistem homogen asal persamaan linear. Sistem asas penyelesaian SLAE ini terdiri daripada dua penyelesaian, kerana SLAE asal mengandungi empat pembolehubah yang tidak diketahui, dan susunan minor asasnya ialah dua. Untuk mencari X (1), kami memberikan pembolehubah bebas yang tidak diketahui nilai x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, kemudian kami mencari yang tidak diketahui utama dari sistem persamaan
.