Kelajuan apabila bergerak dengan pecutan berterusan. Pergerakan rectilinear dengan pecutan malar

Pada pelajaran ini, topiknya ialah: “Persamaan gerakan dengan pecutan berterusan. Pergerakan progresif”, kita akan ingat apa itu pergerakan, bagaimana ia berlaku. Kami juga mengingati apa itu pecutan, pertimbangkan persamaan gerakan dengan pecutan malar dan cara menggunakannya untuk menentukan koordinat jasad yang bergerak. Mari kita pertimbangkan contoh masalah untuk membetulkan bahan.

tugas utama kinematik - tentukan kedudukan badan pada bila-bila masa. Badan boleh berehat, maka kedudukannya tidak akan berubah (lihat Rajah 1).

nasi. 1. Badan dalam keadaan rehat

Jasad boleh bergerak dalam garis lurus pada kelajuan tetap. Kemudian anjakannya akan berubah secara seragam, iaitu, sama dalam selang masa yang sama (lihat Rajah 2).

nasi. 2. Pergerakan badan apabila bergerak pada kelajuan yang tetap

Pergerakan, kelajuan didarab dengan masa, kita telah dapat melakukan ini untuk masa yang lama. Badan boleh bergerak dengan pecutan berterusan, pertimbangkan kes sedemikian (lihat Rajah 3).

nasi. 3. Pergerakan badan dengan pecutan yang berterusan

Pecutan

Pecutan ialah perubahan kelajuan per unit masa(lihat rajah 4) : nasi. 4. Pecutan Kelajuan ialah kuantiti vektor, oleh itu, perubahan dalam kelajuan, iaitu, perbezaan antara vektor kelajuan akhir dan awal, adalah vektor. Pecutan juga merupakan vektor yang diarahkan ke arah yang sama dengan vektor beza halaju (lihat Rajah 5). Kami menganggap gerakan rectilinear, jadi kami boleh memilih paksi koordinat sepanjang garis lurus di mana pergerakan berlaku, dan pertimbangkan unjuran halaju dan vektor pecutan pada paksi ini:

Kemudian kelajuannya berubah secara seragam: (jika kelajuan awalnya sama dengan sifar). Bagaimana untuk mencari langkah sekarang? Mendarab kelajuan dengan masa adalah mustahil: kelajuan sentiasa berubah; yang mana satu untuk diambil? Bagaimana untuk menentukan di mana badan akan berada pada bila-bila masa semasa pergerakan sedemikian - hari ini kita akan menyelesaikan masalah ini.

Mari segera tentukan model: kita sedang mempertimbangkan gerakan translasi rectilinear badan. Dalam kes ini, kita boleh menggunakan model titik material. Pecutan diarahkan sepanjang garis lurus yang sama di mana titik bahan bergerak (lihat Rajah 6).

pergerakan translasi

Gerakan translasi ialah satu gerakan di mana semua titik badan bergerak dengan cara yang sama: pada kelajuan yang sama, membuat pergerakan yang sama (lihat Rajah 7). nasi. 7. Pergerakan ke hadapan Macam mana lagi boleh jadi? Lambai tangan anda dan ikuti: jelas bahawa tapak tangan dan bahu bergerak secara berbeza. Lihat roda Ferris: titik berhampiran paksi sukar bergerak, dan gerai bergerak pada kelajuan yang berbeza dan sepanjang trajektori yang berbeza (lihat Rajah 8). nasi. 8. Pergerakan mata terpilih pada roda Ferris Lihat kereta yang bergerak: jika anda tidak mengambil kira putaran roda dan pergerakan bahagian motor, semua titik kereta bergerak dengan cara yang sama, kami menganggap pergerakan kereta sebagai translasi (lihat Rajah 9). nasi. 9. Pergerakan kenderaan Maka tidak masuk akal untuk menerangkan pergerakan setiap titik, anda boleh menerangkan pergerakan satu. Kereta itu dianggap sebagai titik material. Sila ambil perhatian bahawa apabila pergerakan ke hadapan garisan yang menghubungkan mana-mana dua titik badan semasa pergerakan kekal selari dengan dirinya (lihat Rajah 10). nasi. 10. Kedudukan garisan yang menghubungkan dua titik

Kereta itu dipandu terus selama sejam. Pada permulaan jam, kelajuannya ialah 10 km/j, dan pada penghujungnya - 100 km/j (lihat Rajah 11).

nasi. 11. Melukis untuk masalah

Kelajuan berubah seragam. Berapa kilometer telah ditempuh oleh kereta itu?

Mari analisa keadaan masalah.

Kelajuan kereta itu berubah secara seragam, iaitu pecutannya tetap sepanjang perjalanan. Pecutan mengikut takrifan sama dengan:

Kereta itu memandu dalam garis lurus, jadi kita boleh mempertimbangkan pergerakannya dalam unjuran pada satu paksi koordinat:

Mari kita cari langkah.

Contoh Meningkatkan Kelajuan

Kacang diletakkan di atas meja, satu kacang seminit. Sudah jelas: berapa minit berlalu, begitu banyak kacang akan berada di atas meja. Sekarang mari kita bayangkan bahawa kelajuan meletakkan kacang meningkat sama rata dari sifar: tiada kacang diletakkan pada minit pertama, satu kacang dimasukkan ke dalam kedua, kemudian dua, tiga, dan seterusnya. Berapa biji kacang akan berada di atas meja selepas beberapa waktu? Adalah jelas bahawa kurang daripada jika kelajuan maksimum sentiasa disokong. Selain itu, jelas dilihat bahawa ia adalah kurang daripada 2 kali (lihat Rajah 12). nasi. 12. Bilangan kacang pada kelajuan peletakan yang berbeza Ia adalah sama dengan gerakan dipercepatkan secara seragam: katakan pada mulanya kelajuan adalah sama dengan sifar, pada akhirnya ia menjadi sama (lihat Rajah 13). nasi. 13. Perubahan kelajuan Jika jasad itu sentiasa bergerak pada kelajuan sedemikian, anjakannya akan sama, tetapi oleh kerana kelajuan meningkat secara seragam, ia akan menjadi 2 kali kurang.

Kami dapat mencari anjakan dengan gerakan UNIFORM: . Bagaimana untuk mengatasi masalah ini? Sekiranya kelajuan tidak banyak berubah, maka pergerakan itu boleh dianggap seragam. Perubahan dalam kelajuan akan menjadi kecil dalam tempoh masa yang singkat (lihat Rajah 14).

nasi. 14. Perubahan kelajuan

Oleh itu, kami membahagikan masa perjalanan T kepada N segmen kecil tempoh (lihat Rajah 15).

nasi. 15. Membahagikan segmen masa

Mari kita hitung anjakan pada setiap selang masa. Kelajuan meningkat pada setiap selang dengan:

Pada setiap segmen, kita akan menganggap pergerakan itu seragam dan kelajuan lebih kurang sama dengan kelajuan awal pada selang masa yang diberikan. Mari kita lihat jika anggaran kita tidak membawa kepada ralat jika kita menganggap bahawa gerakan itu seragam dalam selang waktu yang kecil. Ralat maksimum ialah:

dan jumlah ralat untuk keseluruhan perjalanan -> . Untuk N besar, kami mengandaikan bahawa ralat adalah hampir kepada sifar. Kita akan melihat ini pada graf (lihat Rajah 16): akan terdapat ralat pada setiap selang, tetapi jumlah ralat untuk dalam jumlah yang banyak selang akan diabaikan.

nasi. 16. Ralat pada selang waktu

Jadi masing-masing nilai seterusnya kelajuan dengan nilai yang sama lebih daripada yang sebelumnya. Kita tahu daripada algebra bahawa ini ialah janjang aritmetik dengan perbezaan janjang:

Laluan pada bahagian (dengan gerakan rectilinear seragam (lihat Rajah 17) adalah sama dengan:

nasi. 17. Pertimbangan kawasan pergerakan badan

Pada bahagian kedua:

Pada segmen ke- jalannya ialah:

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik dipanggil sedemikian turutan berangka, di mana setiap nombor seterusnya berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama. Janjang aritmetik diberikan oleh dua parameter: istilah awal janjang dan perbezaan janjang . Kemudian urutannya ditulis seperti ini: Jumlah sebutan pertama janjang aritmetik dikira dengan formula:

Mari kita rumuskan semua laluan. Ini akan menjadi jumlah N ahli pertama janjang aritmetik:

Oleh kerana kita telah membahagikan pergerakan kepada banyak selang, kita boleh mengandaikan bahawa , maka:

Kami mempunyai banyak formula, dan untuk tidak mengelirukan, kami tidak menulis indeks x setiap kali, tetapi menganggap segala-galanya dalam unjuran ke paksi koordinat.

Jadi kami dapat formula utama gerakan dipercepatkan secara seragam: pergerakan dengan gerakan dipercepat secara seragam dalam masa T, yang akan kita gunakan bersama dengan takrifan pecutan (perubahan kelajuan per unit masa) untuk menyelesaikan masalah:

Kami sedang mengusahakan masalah kereta. Gantikan nombor ke dalam penyelesaian dan dapatkan jawapan: kereta itu memandu sejauh 55.4 km.

Bahagian matematik penyelesaian masalah

Kami telah berurusan dengan pergerakan. Dan bagaimana untuk menentukan koordinat badan pada bila-bila masa?

Secara takrifan, pergerakan badan dalam masa ialah vektor yang permulaannya berada di titik permulaan pergerakan, dan penghujungnya berada di titik akhir di mana jasad akan berada dalam masa. Kita perlu mencari koordinat badan, jadi kita menulis ungkapan untuk unjuran anjakan ke paksi koordinat (lihat Rajah 18):

nasi. 18. Unjuran pergerakan

Mari kita nyatakan koordinat:

Iaitu, koordinat badan pada saat masa adalah sama dengan koordinat awal ditambah dengan unjuran pergerakan yang dibuat oleh badan pada masa itu. Kami telah menemui unjuran anjakan semasa gerakan dipercepatkan secara seragam, ia kekal untuk menggantikan dan menulis:

Ini ialah persamaan gerakan dengan pecutan malar. Ia membolehkan anda mengetahui koordinat titik bahan bergerak pada bila-bila masa. Adalah jelas bahawa kita memilih momen masa dalam selang apabila model berfungsi: pecutan adalah malar, pergerakan adalah rectilinear.

Mengapa persamaan gerakan tidak boleh digunakan untuk mencari laluan

Dalam kes apakah kita boleh menganggap pergerakan modulo sama dengan laluan? Apabila jasad bergerak sepanjang garis lurus dan tidak berubah arah. Sebagai contoh, dengan gerakan rectilinear seragam, kita tidak selalu menetapkan dengan jelas sama ada kita mencari laluan atau pergerakan, ia masih bertepatan. Dengan gerakan dipercepatkan secara seragam, kelajuan berubah. Jika kelajuan dan pecutan dihalakan ke arah sisi bertentangan(lihat Rajah 19), kemudian modulus halaju berkurangan, dan pada satu ketika ia akan menjadi sama dengan sifar dan halaju akan berubah arah, iaitu, jasad akan mula bergerak ke arah yang bertentangan. nasi. 19. Modulus halaju berkurangan Dan kemudian, jika dalam masa ini masa jasad berada pada jarak 3 m dari awal pemerhatian, maka sesarannya ialah 3 m, tetapi jika jasad mula-mula melepasi 5 m, kemudian berpusing dan melepasi 2 m lagi, maka laluan akan menjadi 7 m. Dan bagaimana untuk mencarinya jika anda tidak mengetahui nombor ini? Anda hanya perlu mencari saat apabila kelajuan sifar, iaitu, apabila badan berpusing, dan mencari laluan ke dan dari titik ini (lihat Rajah 20). nasi. 20. Momen apabila kelajuan adalah 0

Bibliografi

1. Sokolovich Yu.A., Bogdanova GS Physics: Buku Panduan dengan Contoh Penyelesaian Masalah. - Pengedaran semula edisi ke-2. - X .: Vesta: Rumah penerbitan "Ranok", 2005. - 464 p.
2. Landsberg G.S. Buku teks asas fizik; v.1. Mekanik. Haba. Fizik molekul- M.: Rumah penerbitan "Sains", 1985.

1. Portal Internet "kaf-fiz-1586.narod.ru" ()
2. Portal Internet "Study - Easy" ()
3. Portal Internet "Knowledge Hypermarket" ()

Kerja rumah

1. Apakah janjang aritmetik?
2. Apakah jenis pergerakan yang progresif?
3. Apakah kuantiti vektor?
4. Tuliskan formula untuk pecutan dari segi perubahan kelajuan.
5. Apakah persamaan gerakan dengan pecutan malar?
6. Vektor pecutan diarahkan ke arah pergerakan badan. Bagaimanakah badan akan mengubah kelajuannya?

Di antara pelbagai pergerakan dengan pecutan berterusan, yang paling mudah ialah pergerakan rectilinear. Jika pada masa yang sama modulus halaju meningkat, maka pergerakan itu kadang-kadang dipanggil seragam dipercepatkan, dan jika modulus halaju berkurangan, ia diperlahankan secara seragam. Pergerakan seperti ini dibuat oleh kereta api yang berlepas dari stesen atau menghampirinya. Batu yang dibaling secara menegak ke bawah dipercepatkan secara seragam, dan batu yang dibaling secara menegak ke atas adalah sama perlahan.
Untuk menerangkan gerakan rectilinear dengan pecutan malar, satu paksi koordinat (contohnya, paksi X) boleh diketepikan, yang diarahkan dengan pantas di sepanjang trajektori gerakan. Dalam kes ini, sebarang masalah diselesaikan menggunakan dua persamaan:
(1.20.1)

dan
2? Unjuran anjakan dan laluan semasa gerakan rectilinear dengan pecutan malar
M2
Ax = v0xt +(1.20.3)
Jika kelajuan badan (titik) tidak berubah arah, maka laluan sama dengan modulo unjuran anjakan
.2
s = |Ax| =
(1.20.4)
axt
VoJ+-o
Jika kelajuan berubah arah, maka laluan itu lebih sukar untuk dikira. Dalam kes ini, ia terdiri daripada modulus anjakan sehingga saat menukar arah kelajuan dan modulus anjakan selepas detik ini.
Purata kelajuan dalam garis lurus dengan pecutan malar
Daripada formula (1.19.1) ia mengikutinya
+ ^ = Ax 2 t"
Oh
Tetapi - - ia adalah unjuran kelajuan purata pada paksi-X (lihat § 1.12),
iaitu ^ = v. Oleh itu, semasa gerakan rectilinear dengan t
pecutan malar, unjuran kelajuan purata pada paksi X ialah:
!)ar + Vr
vx=0x2 . (1.20.5)
Ia boleh ditunjukkan bahawa jika ada yang lain kuantiti fizikal adalah dalam pergantungan linear dari masa, maka nilai purata masa bagi kuantiti ini adalah sama dengan separuh jumlah terkecilnya dan nilai tertinggi dalam tempoh masa ini.
Jika semasa gerakan rectilinear dengan pecutan malar arah halaju tidak berubah, maka modul purata halaju adalah sama dengan separuh jumlah modul halaju awal dan akhir, i.e.
K* + vx\ v0 + v
Hubungan antara unjuran halaju awal dan akhir, pecutan dan sesaran
Mengikut formula (1.19.1)
Lx \u003d ° * 2 xt. (1.20.7)
Masa t dinyatakan daripada formula (1.20.1)
Vx~V0x ah
dan gantikan kepada (1.20.7). Kita mendapatkan:
Vx + V0x Vx - v0x V2X - i>jj
= 2ST" --257-
Dari sini
v2x \u003d v Іx + 2a3Lx. (1.20.8)
Adalah berguna untuk mengingati formula (1.20.8) dan ungkapan (1.20.6) untuk kelajuan purata. Formula ini mungkin diperlukan untuk menyelesaikan banyak masalah.
? 1. Bagaimanakah pecutan diarahkan apabila kereta api meninggalkan stesen (pecutan)? Apabila menghampiri stesen (brek)?
Lukiskan graf laluan semasa pecutan dan brek.
Buktikan diri anda bahawa dengan gerakan rectilinear dipercepat secara seragam tanpa kelajuan awal, laluan yang dilalui oleh badan dalam tempoh masa berturut-turut yang sama adalah berkadar dengan nombor ganjil berturut-turut:
Sj: S2* Sg ... = 1: 3: 5: ... . Ini pertama kali dibuktikan oleh Galileo.

Lebih lanjut mengenai topik §1.20. GERAKAN RECTILINEAR DENGAN PECUTAN MAHAL:

1. § 4.3. SISTEM RUJUKAN BUKAN INTERIAL BERGERAK SECARA TEPAT DENGAN PECUTAN MAHAL
2. §1.18. GRAF PERGANTUNGAN MODULAR DAN Unjuran PECUTAN DAN MODULAR DAN UJIAN HALAJ PADA MASA DALAM PERGERAKAN DENGAN PECUTAN MAHAL

Pecutan. Pergerakan rectilinear dengan pecutan yang berterusan. Kelajuan segera.

Pecutan menunjukkan betapa cepatnya kelajuan badan berubah.

t 0 \u003d 0c v 0 \u003d 0 m / s Kelajuan diubah oleh v \u003d v 2 - v 1 semasa

t 1 \u003d 5c v 1 \u003d 2 m / s selang masa \u003d t 2 - t 1. Jadi untuk 1 s kelajuan

t 2 \u003d 10c v 2 \u003d 4 m / s badan akan meningkat sebanyak \u003d.

t 3 \u003d 15c v 3 \u003d 6 m / s \u003d atau \u003d. (1 m/s 2)

Pecutan- kuantiti vektor yang sama dengan nisbah perubahan kelajuan kepada tempoh masa perubahan ini berlaku.

makna fizikal: a \u003d 3 m / s 2 - ini bermakna dalam 1 s modulus kelajuan berubah sebanyak 3 m / s.

Jika badan memecut a > 0, jika ia perlahan a

Pada = ; = + at ialah kelajuan serta-merta badan pada bila-bila masa. (Fungsi v(t)).

Pergerakan dengan gerakan dipercepatkan secara seragam. Persamaan gerakan

D
la gerakan seragam S=v*t dengan v dan t ialah sisi segi empat tepat di bawah graf kelajuan. Itu. anjakan = luas rajah di bawah graf kelajuan.

Begitu juga, anda boleh mencari anjakan dengan gerakan dipercepatkan secara seragam. Anda hanya perlu mencari secara berasingan kawasan segi empat tepat, segi tiga dan tambahkannya. Luas segi empat tepat ialah v 0 t, luas segi tiga ialah (v-v 0) t/2, di mana kita membuat penggantian v - v 0 = pada . Kami mendapat s = v 0 t + pada 2/2

s \u003d v 0 t + pada 2 / 2

Formula pergerakan untuk gerakan dipercepatkan secara seragam

Memandangkan vektor s \u003d x-x 0, kita mendapat x-x 0 \u003d v 0 t + pada 2/2 atau gerakkan koordinat awal ke kanan x \u003d x 0 + v 0 t + pada 2/2

x \u003d x 0 + v 0 t + pada 2/2

Menggunakan formula ini, anda boleh mencari koordinat badan bergerak dipercepat pada bila-bila masa

Dengan gerakan perlahan seragam di hadapan huruf "a" dalam formula, tanda + boleh digantikan dengan -

Gerakan dengan pecutan malar ialah gerakan di mana vektor pecutan kekal malar dalam kedua-dua magnitud dan dalam arah. Contoh pergerakan jenis ini ialah pergerakan titik dalam medan graviti (kedua-dua menegak dan pada sudut ke ufuk).

Dengan menggunakan takrifan pecutan, kita memperoleh hubungan berikut

Selepas integrasi, kita mempunyai kesaksamaan
.

Memandangkan bahawa vektor kelajuan serta merta terdapat
, kita akan mempunyai ungkapan berikut

Penyepaduan ungkapan terakhir memberikan hubungan berikut

. Dari mana kita mendapat persamaan gerakan titik dengan pecutan malar

.

Contoh persamaan vektor bagi pergerakan titik bahan

gerakan rectilinear seragam (
):

. (1.7)

Pergerakan dengan pecutan malar (
):

. (1.8)

Kebergantungan kelajuan pada masa apabila titik bergerak dengan pecutan malar mempunyai bentuk:

. (1.9)

Soalan untuk mengawal diri.

Merumus definisi pergerakan mekanikal.

Tentukan titik material.

Bagaimanakah kedudukan titik bahan dalam ruang ditentukan dalam cara vektor untuk menerangkan gerakan?

Apakah intipatinya kaedah vektor penerangan tentang pergerakan mekanikal? Apakah ciri-ciri yang digunakan untuk menggambarkan pergerakan ini?

Berikan takrifan vektor bagi kelajuan purata dan serta-merta. Bagaimanakah arah vektor ini ditentukan?

Takrifkan min dan vektor pecutan segera.

Antara hubungan yang manakah merupakan persamaan gerakan titik dengan pecutan malar? Apakah hubungan yang menentukan pergantungan vektor halaju pada masa?

§1.2. Selaraskan cara menerangkan gerakan

Dalam kaedah koordinat, sistem koordinat (contohnya, Cartesian) dipilih untuk menerangkan pergerakan. Titik rujukan ditetapkan secara tegar dengan badan yang dipilih ( badan rujukan). biarlah
vektor unit diarahkan ke sisi positif paksi OX, OY dan OZ, masing-masing. Kedudukan titik diberikan oleh koordinat
.

Vektor halaju serta-merta ditakrifkan seperti berikut:

di mana
unjuran vektor halaju pada paksi koordinat, dan
terbitan koordinat berkenaan dengan masa.

Panjang vektor halaju dikaitkan dengan unjurannya dengan hubungan:

. (1.11)

Untuk vektor pecutan serta-merta, hubungannya adalah benar:

di mana
unjuran vektor pecutan pada paksi koordinat, dan
terbitan masa bagi unjuran vektor halaju.

Panjang vektor pecutan serta-merta didapati dengan formula:

. (1.13)

Contoh persamaan gerakan titik dalam sistem koordinat Cartesan

. (1.14)

Persamaan gerakan:
. (1.15)

Kebergantungan unjuran vektor halaju pada paksi koordinat pada masa:

(1.16)

Soalan untuk mengawal diri.

Apakah intipatinya kaedah koordinat penerangan pergerakan?

Apakah nisbah yang menentukan vektor halaju serta-merta? Apakah formula yang digunakan untuk mengira magnitud vektor halaju?

Apakah nisbah yang menentukan vektor pecutan serta-merta? Apakah formula yang digunakan untuk mengira magnitud vektor pecutan serta-merta?

Apakah hubungan yang dipanggil persamaan gerakan seragam titik?

Apakah hubungan yang dipanggil persamaan gerakan dengan pecutan malar? Apakah formula yang digunakan untuk mengira unjuran halaju serta-merta suatu titik pada paksi koordinat?