Pada pelajaran ini penambahan dan penolakan akan dipertimbangkan pecahan algebra Dengan penyebut yang berbeza. Kita sudah tahu cara menambah dan menolak pecahan biasa dengan penyebut yang berbeza. Untuk melakukan ini, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa. Ternyata pecahan algebra mengikut peraturan yang sama. Pada masa yang sama, kita sudah tahu cara mengurangkan pecahan algebra kepada penyebut sepunya. Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza adalah salah satu topik yang paling penting dan sukar dalam kursus gred 8. Di mana topik ini akan ditemui dalam banyak topik kursus algebra yang akan anda pelajari pada masa hadapan. Sebagai sebahagian daripada pelajaran, kami akan mengkaji peraturan untuk menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza, dan juga menganalisis keseluruhan baris contoh tipikal.

Pertimbangkan contoh paling mudah untuk pecahan biasa.

Contoh 1 Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Ingat peraturan untuk menambah pecahan. Sebagai permulaan, pecahan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa. Penyebut sepunya bagi pecahan biasa ialah gandaan sepunya terkecil(LCM) penyebut asal.

Definisi

Nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor dan .

Untuk mencari LCM, adalah perlu untuk mengembangkan penyebut menjadi faktor utama, dan kemudian pilih semua faktor perdana yang termasuk dalam pengembangan kedua-dua penyebut.

; . Kemudian LCM nombor mesti termasuk dua 2s dan dua 3s: .

Selepas mencari penyebut sepunya, adalah perlu bagi setiap pecahan untuk mencari faktor tambahan (sebenarnya, bahagikan penyebut sepunya dengan penyebut pecahan yang sepadan).

Kemudian setiap pecahan didarab dengan faktor tambahan yang terhasil. Kami mendapat pecahan dengan penyebut yang sama, yang kami pelajari untuk menambah dan menolak dalam pelajaran sebelumnya.

Kita mendapatkan: .

Jawapan:.

Pertimbangkan sekarang penambahan pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza. Mula-mula pertimbangkan pecahan yang penyebutnya ialah nombor.

Contoh 2 Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Algoritma penyelesaian benar-benar serupa dengan contoh sebelumnya. Adalah mudah untuk mencari penyebut biasa untuk pecahan ini: dan faktor tambahan untuk setiap pecahan ini.

.

Jawapan:.

Jadi mari kita rumuskan algoritma untuk menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza:

1. Cari penyebut sepunya terkecil bagi pecahan.

2. Cari faktor tambahan bagi setiap pecahan (dengan membahagikan penyebut sepunya dengan penyebut pecahan ini).

3. Darabkan pengangka dengan faktor tambahan yang sesuai.

4. Menambah atau menolak pecahan menggunakan peraturan menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sekarang contoh dengan pecahan yang penyebutnya mengandungi ungkapan literal.

Contoh 3 Tambah pecahan: .

Penyelesaian:

Oleh kerana ungkapan literal dalam kedua-dua penyebut adalah sama, anda harus mencari penyebut sepunya untuk nombor. Penyebut biasa akhir akan kelihatan seperti: . Jadi penyelesaiannya contoh ini kelihatan seperti:.

Jawapan:.

Contoh 4 Tolak pecahan: .

Penyelesaian:

Jika anda tidak boleh "menipu" semasa memilih penyebut biasa (anda tidak boleh memfaktorkannya atau menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan), maka anda perlu mengambil hasil darab penyebut kedua-dua pecahan sebagai penyebut biasa.

Jawapan:.

Secara umum, apabila membuat keputusan contoh yang serupa, paling tugas yang susah adalah untuk mencari penyebut biasa.

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 5 Permudahkan: .

Penyelesaian:

Apabila mencari penyebut biasa, anda mesti cuba memfaktorkan penyebut pecahan asal (untuk memudahkan penyebut biasa).

Dalam kes khusus ini:

Maka mudah untuk menentukan penyebut biasa: .

Kami menentukan faktor tambahan dan menyelesaikan contoh ini:

Jawapan:.

Sekarang kita akan menetapkan peraturan untuk menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Contoh 6 Permudahkan: .

Penyelesaian:

Jawapan:.

Contoh 7 Permudahkan: .

Penyelesaian:

.

Jawapan:.

Pertimbangkan sekarang contoh di mana bukan dua, tetapi tiga pecahan ditambah (lagipun, peraturan penambahan dan penolakan untuk lebih pecahan tetap sama).

Contoh 8 Permudahkan: .

Pertimbangkan pecahan $\frac63$. Nilainya ialah 2, kerana $\frac63 =6:3 = 2$. Apakah yang berlaku jika pengangka dan penyebut didarab dengan 2? $\frac63 \kali 2=\frac(12)(6)$. Jelas sekali, nilai pecahan tidak berubah, jadi $\frac(12)(6)$ juga sama dengan 2 sebagai y. darabkan pengangka dan penyebut dengan 3 dan dapatkan $\frac(18)(9)$, atau dengan 27 dan dapatkan $\frac(162)(81)$ atau dengan 101 dan dapatkan $\frac(606)(303)$. Dalam setiap kes ini, nilai pecahan yang kita dapat dengan membahagikan pengangka dengan penyebut ialah 2. Ini bermakna ia tidak berubah.

Corak yang sama diperhatikan dalam kes pecahan lain. Jika pengangka dan penyebut pecahan $\frac(120)(60)$ (sama dengan 2) dibahagikan dengan 2 (hasil $\frac(60)(30)$), atau dengan 3 (hasil $\ frac(40)(20) $), atau dengan 4 (hasil $\frac(30)(15)$) dan seterusnya, maka dalam setiap kes nilai pecahan itu kekal tidak berubah dan sama dengan 2.

Peraturan ini juga digunakan untuk pecahan yang tidak sama. nombor bulat.

Jika pengangka dan penyebut bagi pecahan $\frac(1)(3)$ didarab dengan 2, kita mendapat $\frac(2)(6)$, iaitu nilai pecahan itu tidak berubah. Dan sebenarnya, jika anda membahagikan kek kepada 3 bahagian dan mengambil satu daripadanya, atau membahagikannya kepada 6 bahagian dan mengambil 2 bahagian, anda akan mendapat jumlah pai yang sama dalam kedua-dua kes. Oleh itu, nombor $\frac(1)(3)$ dan $\frac(2)(6)$ adalah sama. Mari kita rumuskan peraturan am.

Pengangka dan penyebut mana-mana pecahan boleh didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama, dan nilai pecahan itu tidak berubah.

Peraturan ini sangat berguna. Sebagai contoh, ia membenarkan dalam beberapa kes, tetapi tidak selalu, untuk mengelakkan operasi dengan jumlah yang besar.

Sebagai contoh, kita boleh membahagikan pengangka dan penyebut bagi pecahan $\frac(126)(189)$ dengan 63 dan dapatkan pecahan $\frac(2)(3)$ yang lebih mudah untuk dikira. Satu lagi contoh. Kita boleh membahagikan pengangka dan penyebut bagi pecahan $\frac(155)(31)$ dengan 31 dan dapatkan pecahan $\frac(5)(1)$ atau 5, sejak 5:1=5.

Dalam contoh ini, kita mula-mula jumpa pecahan yang penyebutnya ialah 1. Pecahan sedemikian bermain peranan penting apabila mengira. Perlu diingat bahawa mana-mana nombor boleh dibahagikan dengan 1 dan nilainya tidak akan berubah. Iaitu, $\frac(273)(1)$ bersamaan dengan 273; $\frac(509993)(1)$ bersamaan dengan 509993 dan seterusnya. Oleh itu, kita tidak perlu membahagi nombor dengan , kerana setiap integer boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut 1.

Dengan pecahan sedemikian, penyebutnya sama dengan 1, adalah mungkin untuk menghasilkan yang sama operasi aritmetik, seperti semua pecahan lain: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Anda mungkin bertanya apakah kegunaan mewakili integer sebagai pecahan, yang akan mempunyai unit di bawah garis, kerana ia lebih mudah untuk bekerja dengan integer. Tetapi hakikatnya ialah perwakilan integer sebagai pecahan membolehkan kita menghasilkan dengan lebih cekap pelbagai aktiviti apabila kita berurusan dengan kedua-dua integer dan nombor pecahan pada masa yang sama. Sebagai contoh, untuk belajar menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza. Katakan kita perlu menambah $\frac(1)(3)$ dan $\frac(1)(5)$.

Kami tahu bahawa anda hanya boleh menambah pecahan yang penyebutnya sama. Jadi, kita perlu belajar bagaimana untuk membawa pecahan kepada bentuk sedemikian apabila penyebutnya adalah sama. Dalam kes ini, kami sekali lagi memerlukan fakta bahawa anda boleh mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama tanpa mengubah nilainya.

Mula-mula, kita darabkan pengangka dan penyebut bagi pecahan $\frac(1)(3)$ dengan 5. Kita dapat $\frac(5)(15)$, nilai pecahan itu tidak berubah. Kemudian kita darabkan pengangka dan penyebut bagi pecahan $\frac(1)(5)$ dengan 3. Kita dapat $\frac(3)(15)$, sekali lagi nilai pecahan itu tidak berubah. Oleh itu, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Sekarang mari cuba gunakan sistem ini untuk penambahan nombor yang mengandungi kedua-dua bahagian integer dan pecahan.

Kita perlu menambah $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Mula-mula, kita tukar semua sebutan kepada pecahan dan dapatkan: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sekarang kita perlu membawa semua pecahan kepada penyebut biasa, untuk ini kita darabkan pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan 12, yang kedua dengan 4, dan yang ketiga dengan 3. Akibatnya, kita mendapat $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, yang sama dengan $\frac(55)(12)$. Jika anda ingin menyingkirkan pecahan tak wajar, ia boleh ditukar menjadi nombor yang terdiri daripada integer dan bahagian pecahan: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ atau $4\frac( 7)( 12)$.

Semua peraturan yang membenarkan operasi dengan pecahan, yang baru kita pelajari, juga sah dalam kes nombor negatif. Jadi, -1: 3 boleh ditulis sebagai $\frac(-1)(3)$, dan 1: (-3) sebagai $\frac(1)(-3)$.

Oleh kerana kedua-duanya membahagi nombor negatif dengan nombor positif dan membahagi nombor positif dengan keputusan negatif dalam nombor negatif, dalam kedua-dua kes kita akan mendapat jawapan dalam bentuk nombor negatif. Itu dia

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ atau $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Tanda tolak apabila ditulis dengan cara ini merujuk kepada keseluruhan pecahan secara keseluruhan, dan bukan secara berasingan kepada pengangka atau penyebut.

Sebaliknya, (-1) : (-3) boleh ditulis sebagai $\frac(-1)(-3)$, dan kerana apabila membahagikan nombor negatif dengan nombor negatif, kita mendapat nombor positif, maka $\frac(-1)(-3)$ boleh ditulis sebagai $+\frac(1)(3)$.

Penambahan dan penolakan pecahan negatif dijalankan dengan cara yang sama seperti penambahan dan penolakan pecahan positif. Sebagai contoh, apakah $1- 1\frac13$? Mari kita wakili kedua-dua nombor sebagai pecahan dan dapatkan $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Mari kita kurangkan pecahan kepada penyebut biasa dan dapatkan $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, iaitu $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, atau $-\frac(1)(3)$.

Kalkulator dalam talian.
Penilaian ungkapan dengan pecahan.
Pendaraban, penolakan, pembahagian, penambahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang berbeza.

Dengan kalkulator dalam talian ini anda boleh darab, tolak, bahagi, tambah dan kurangkan pecahan berangka dengan penyebut yang berbeza.

Program ini berfungsi dengan pecahan berangka yang betul, tidak wajar dan bercampur.

Program ini (kalkulator dalam talian) boleh:
- tambah pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza
- Menolak pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza
- membahagi pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza
- Mendarab pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza
- membawa pecahan kepada penyebut yang sama
- Tukarkan pecahan bercampur kepada tak wajar
- mengurangkan pecahan

Anda juga boleh memasukkan bukan ungkapan dengan pecahan, tetapi satu pecahan tunggal.
Dalam kes ini, pecahan akan dikurangkan dan bahagian integer akan dipilih daripada keputusan.

Kalkulator dalam talian untuk mengira ungkapan dengan pecahan berangka bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, ia memberikan penyelesaian terperinci dengan penjelasan, i.e. memaparkan proses mencari penyelesaian.

Program ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah pendidikan am sebagai persediaan untuk kerja kawalan dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh melaksanakan anda latihan sendiri dan/atau melatih mereka adik-beradik lelaki atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang tugas yang diselesaikan meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan ungkapan dengan pecahan berangka, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan ungkapan dengan pecahan berangka

Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Input: -2/3 + 7/5
Keputusan: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Bahagian integer dipisahkan daripada pecahan oleh ampersand: &
Input: -1&2/3 * 5&8/3
Keputusan: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Pembahagian pecahan diperkenalkan dengan titik bertindih: :
Input: -9&37/12: -3&5/14
Keputusan: \(-9\frac(37)(12) : \kiri(-3\frac(5)(14) \kanan) \)
Ingat bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar!

Tanda kurung boleh digunakan apabila memasukkan ungkapan dengan pecahan berangka.
Input: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Keputusan: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right): 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Masukkan ungkapan dengan pecahan berangka.

Kira

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Anda telah melumpuhkan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
JavaScript mesti didayakan untuk penyelesaian muncul.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda beratur.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, kemudian anda boleh menulis mengenainya dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Pecahan biasa. Bahagian dengan baki

Jika kita perlu membahagi 497 dengan 4, maka apabila membahagi, kita akan melihat bahawa 497 tidak boleh dibahagikan dengan 4, i.e. kekal sebagai baki bahagian. Dalam kes sedemikian, dikatakan bahawa pembahagian dengan baki, dan penyelesaiannya ditulis seperti berikut:
497: 4 = 124 (1 baki).

Komponen bahagian di sebelah kiri kesamaan dipanggil sama seperti dalam bahagian tanpa baki: 497 - dividen, 4 - pembahagi. Hasil pembahagian apabila membahagi dengan baki dipanggil peribadi yang tidak lengkap. Dalam kes kami, nombor ini ialah 124. Dan akhirnya, komponen terakhir, yang bukan dalam bahagian biasa, ialah baki. Apabila tiada baki, satu nombor dikatakan dibahagikan dengan nombor lain. tanpa jejak, atau sepenuhnya. Adalah dipercayai bahawa dengan pembahagian sedemikian, bakinya adalah sifar. Dalam kes kami, bakinya ialah 1.

Baki sentiasa kurang daripada pembahagi.

Anda boleh menyemak apabila membahagi dengan mendarab. Jika, sebagai contoh, terdapat kesamaan 64: 32 = 2, maka semakan boleh dilakukan seperti ini: 64 = 32 * 2.

Selalunya dalam kes di mana pembahagian dengan baki dilakukan, adalah mudah untuk menggunakan kesamaan
a \u003d b * n + r,
di mana a ialah dividen, b ialah pembahagi, n ialah hasil bahagi separa, r ialah baki.

Petikan pembahagian nombor asli boleh ditulis sebagai pecahan.

Pengangka pecahan ialah dividen, dan penyebutnya ialah pembahagi.

Oleh kerana pengangka pecahan ialah dividen dan penyebutnya ialah pembahagi, percaya bahawa garis pecahan bermaksud tindakan pembahagian. Kadang-kadang mudah untuk menulis pembahagian sebagai pecahan tanpa menggunakan tanda ":".

Hasil bagi pembahagian nombor asli m dan n boleh ditulis sebagai pecahan \(\frac(m)(n) \), dengan pengangka m ialah dividen, dan penyebut n ialah pembahagi:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Peraturan berikut adalah betul:

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n) \), anda perlu membahagikan unit dengan n bahagian yang sama(saham) dan mengambil m bahagian tersebut.

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n) \), anda perlu membahagikan nombor m dengan nombor n.

Untuk mencari sebahagian daripada keseluruhan, anda perlu membahagikan nombor yang sepadan dengan keseluruhan dengan penyebut dan mendarabkan hasilnya dengan pengangka bagi pecahan yang menyatakan bahagian ini.

Untuk mencari keseluruhan dengan bahagiannya, anda perlu membahagikan nombor yang sepadan dengan bahagian ini dengan pengangka dan mendarabkan hasilnya dengan penyebut pecahan yang menyatakan bahagian ini.

Jika kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan didarab dengan nombor yang sama (kecuali sifar), nilai pecahan tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jika kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan dibahagikan dengan nombor yang sama (kecuali sifar), nilai pecahan tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Harta ini dipanggil sifat asas pecahan.

Dua transformasi terakhir dipanggil pengurangan pecahan.

Jika pecahan perlu diwakili sebagai pecahan dengan penyebut yang sama, maka tindakan sedemikian dipanggil mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya.

Pecahan wajar dan tidak wajar. nombor bercampur

Anda sudah tahu bahawa pecahan boleh diperoleh dengan membahagikan keseluruhan kepada bahagian yang sama dan mengambil beberapa bahagian tersebut. Sebagai contoh, pecahan \(\frac(3)(4) \) bermaksud tiga perempat daripada satu. Dalam kebanyakan masalah dalam bahagian sebelumnya, pecahan digunakan untuk menandakan sebahagian daripada keseluruhan. Akal mencadangkan bahawa bahagian mestilah sentiasa kurang daripada keseluruhan, tetapi bagaimana pula dengan pecahan seperti \(\frac(5)(5) \) atau \(\frac(8)(5) \)? Adalah jelas bahawa ini bukan lagi sebahagian daripada unit. Inilah sebabnya mengapa pecahan sedemikian, di mana pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya, dipanggil pecahan tak wajar. Pecahan yang tinggal, iaitu pecahan yang pengangkanya kurang daripada penyebut, dipanggil pecahan wajar.

Seperti yang anda tahu, mana-mana pecahan sepunya, betul dan salah, boleh dianggap sebagai hasil pembahagian pengangka dengan penyebut. Oleh itu, dalam matematik, berbeza dengan bahasa biasa, istilah "pecahan tak wajar" tidak bermakna kita melakukan sesuatu yang salah, tetapi hanya pecahan ini mempunyai pengangka yang lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya.

Jika nombor terdiri daripada bahagian integer dan pecahan, maka sedemikian pecahan dipanggil bercampur.

Sebagai contoh:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ialah bahagian integer dan \(\frac(2)(3) \) ialah bahagian pecahan.

Jika pengangka bagi pecahan \(\frac(a)(b) \) boleh dibahagi dengan nombor asli n, maka untuk membahagi pecahan ini dengan n, pengangkanya mesti dibahagikan dengan nombor ini:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jika pengangka bagi pecahan \(\frac(a)(b) \) tidak boleh dibahagikan dengan nombor asli n, maka untuk membahagi pecahan ini dengan n, anda perlu mendarabkan penyebutnya dengan nombor ini:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Perhatikan bahawa peraturan kedua juga sah apabila pengangka boleh dibahagikan dengan n. Oleh itu, kita boleh menggunakannya apabila sukar pada pandangan pertama untuk menentukan sama ada pengangka pecahan boleh dibahagikan dengan n atau tidak.

Tindakan dengan pecahan. Penambahan pecahan.

Dengan nombor pecahan, seperti nombor asli, anda boleh melakukan operasi aritmetik. Mari kita lihat penambahan pecahan dahulu. Mudah untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama. Cari, sebagai contoh, hasil tambah \(\frac(2)(7) \) dan \(\frac(3)(7) \). Adalah mudah untuk memahami bahawa \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama, anda perlu menambah pengangkanya, dan biarkan penyebutnya sama.

Dengan menggunakan huruf, peraturan untuk menambah pecahan dengan penyebut yang sama boleh ditulis seperti berikut:
\(\besar \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jika anda ingin menambah pecahan dengan penyebut yang berbeza, ia mesti dikurangkan terlebih dahulu kepada penyebut biasa. Sebagai contoh:
\(\besar \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Untuk pecahan, serta untuk nombor asli, sifat komutatif dan bersekutu penambahan adalah sah.

Penambahan pecahan bercampur

Rakaman seperti \(2\frac(2)(3) \) dipanggil pecahan bercampur. Nombor 2 dipanggil keseluruhan bahagian pecahan bercampur, dan nombor \(\frac(2)(3) \) ialahnya bahagian pecahan. Entri \(2\frac(2)(3) \) dibaca seperti ini: "dua dan dua pertiga".

Membahagikan nombor 8 dengan nombor 3 memberikan dua jawapan: \(\frac(8)(3) \) dan \(2\frac(2)(3) \). Mereka menyatakan nombor pecahan yang sama, iaitu \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Oleh itu, pecahan tak wajar \(\frac(8)(3) \) diwakili sebagai pecahan bercampur \(2\frac(2)(3) \). Dalam kes sedemikian, mereka mengatakan bahawa daripada pecahan yang tidak wajar dikhususkan keseluruhannya.

Penolakan pecahan (nombor pecahan)

Penolakan nombor pecahan, serta yang semula jadi, ditentukan berdasarkan operasi penambahan: menolak satu lagi daripada satu nombor bermakna mencari nombor yang, apabila ditambah kepada yang kedua, memberikan yang pertama. Sebagai contoh:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) sejak \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Peraturan untuk menolak pecahan dengan penyebut yang sama adalah serupa dengan peraturan untuk menambah pecahan tersebut:
Untuk mencari perbezaan antara pecahan dengan penyebut yang sama, tolak pengangka pecahan kedua daripada pengangka pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya sama.

Menggunakan huruf, peraturan ini ditulis seperti berikut:
\(\besar \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Pendaraban pecahan

Untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarab pengangka dan penyebutnya dan menulis hasil darab pertama sebagai pengangka dan kedua sebagai penyebut.

Dengan menggunakan huruf, peraturan untuk mendarab pecahan boleh ditulis seperti berikut:
\(\besar \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Menggunakan peraturan yang dirumuskan, adalah mungkin untuk mendarab pecahan dengan nombor asli, dengan pecahan bercampur dan juga mendarab pecahan bercampur. Untuk melakukan ini, anda perlu menulis nombor asli sebagai pecahan dengan penyebut 1, pecahan bercampur sebagai pecahan tak wajar.

Hasil pendaraban hendaklah dipermudahkan (jika boleh) dengan mengurangkan pecahan dan menyerlahkan bahagian integer bagi pecahan tak wajar.

Untuk pecahan, dan juga untuk nombor asli, sifat komutatif dan bersekutu bagi pendaraban adalah sah, serta sifat taburan pendaraban berkenaan dengan penambahan.

Pembahagian pecahan

Ambil pecahan \(\frac(2)(3) \) dan “terbalikkan” dengan menukar pengangka dan penyebut. Kami mendapat pecahan \(\frac(3)(2) \). Pecahan ini dipanggil terbalik pecahan \(\frac(2)(3) \).

Jika kita kini "terbalikkan" pecahan \(\frac(3)(2) \), maka kita mendapat pecahan asal \(\frac(2)(3) \). Oleh itu, pecahan seperti \(\frac(2)(3) \) dan \(\frac(3)(2) \) dipanggil saling songsang.

Sebagai contoh, pecahan \(\frac(6)(5) \) dan \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dan \(\frac (18 )(7) \).

Dengan menggunakan huruf, pecahan saling songsang boleh ditulis seperti berikut: \(\frac(a)(b) \) dan \(\frac(b)(a) \)

Ia adalah jelas bahawa hasil darab pecahan salingan ialah 1. Contohnya: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Dengan menggunakan pecahan salingan, pembahagian pecahan boleh dikurangkan kepada pendaraban.

Peraturan untuk membahagi pecahan dengan pecahan:
Untuk membahagi satu pecahan dengan pecahan yang lain, anda perlu mendarabkan dividen dengan salingan pembahagi.

Ungkapan pecahan sukar difahami oleh kanak-kanak. Kebanyakan orang mengalami kesukaran dengan . Apabila mempelajari topik "penambahan pecahan dengan integer", kanak-kanak itu jatuh tertidur, mendapati sukar untuk menyelesaikan tugas itu. Dalam banyak contoh, satu siri pengiraan mesti dilakukan sebelum tindakan boleh dilakukan. Contohnya, tukarkan pecahan atau tukar pecahan tak wajar kepada pecahan wajar.

Terangkan kepada anak dengan jelas. Ambil tiga epal, dua daripadanya akan menjadi keseluruhan, dan yang ketiga akan dipotong menjadi 4 bahagian. Pisahkan satu keping dari epal yang dipotong, dan letakkan baki tiga di sebelah dua buah keseluruhan. Kami mendapat ¼ epal di satu sisi dan 2 ¾ di sebelah yang lain. Jika kita menggabungkan mereka, kita mendapat tiga epal keseluruhan. Mari cuba kurangkan 2 ¾ epal sebanyak ¼, iaitu, keluarkan satu keping lagi, kita dapat 2 2/4 epal.

Mari kita lihat lebih dekat pada tindakan dengan pecahan, yang termasuk integer:

Mula-mula, mari kita ingat peraturan pengiraan untuk ungkapan pecahan dengan penyebut biasa:

Pada pandangan pertama, semuanya mudah dan ringkas. Tetapi ini hanya terpakai kepada ungkapan yang tidak memerlukan penukaran.

Bagaimana untuk mencari nilai ungkapan yang penyebutnya berbeza

Dalam sesetengah tugas, adalah perlu untuk mencari nilai ungkapan yang penyebutnya berbeza. Pertimbangkan kes tertentu:
3 2/7+6 1/3

Cari nilai ungkapan ini, untuk ini kita dapati penyebut sepunya untuk dua pecahan.

Untuk nombor 7 dan 3, ini ialah 21. Kami biarkan bahagian integer sama, dan kurangkan bahagian pecahan kepada 21, untuk ini kita darabkan pecahan pertama dengan 3, yang kedua dengan 7, kita dapat:
6/21+7/21, jangan lupa bahawa keseluruhan bahagian tidak tertakluk kepada penukaran. Akibatnya, kita mendapat dua pecahan dengan satu penyebut dan mengira jumlahnya:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Bagaimana jika hasil penambahan ialah pecahan tak wajar yang sudah mempunyai bahagian integer:
2 1/3+3 2/3
AT kes ini Menambah bahagian integer dan bahagian pecahan, kita dapat:
5 3/3, seperti yang anda tahu, 3/3 ialah satu, jadi 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Dengan mencari jumlah, semuanya jelas, mari analisa penolakan:

Daripada apa yang telah diperkatakan mengikut peraturan tindakan pada nombor bercampur yang bunyinya begini:

• Jika perlu untuk menolak integer daripada ungkapan pecahan, ia tidak perlu untuk mewakili nombor kedua sebagai pecahan, ia cukup untuk beroperasi hanya pada bahagian integer.

Mari kita cuba mengira nilai ungkapan sendiri:

Mari kita lihat contoh lagi di bawah huruf "m":

4 5/11-2 8/11, pengangka pecahan pertama adalah kurang daripada kedua. Untuk melakukan ini, kita mengambil satu integer daripada pecahan pertama, kita dapat,
3 5/11+11/11=3 keseluruhan 16/11, tolak yang kedua daripada pecahan pertama:
3 16/11-2 8/11=1 keseluruhan 8/11

• Berhati-hati semasa menyelesaikan tugas, jangan lupa untuk menukar pecahan tak wajar ke dalam campuran, menyerlahkan keseluruhan bahagian. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk membahagikan nilai pengangka dengan nilai penyebut, maka apa yang berlaku mengambil tempat bahagian integer, selebihnya akan menjadi pengangka, contohnya:

19/4=4 ¾, semak: 4*4+3=19, dalam penyebut 4 kekal tidak berubah.

ringkaskan:

Sebelum meneruskan tugas yang berkaitan dengan pecahan, adalah perlu untuk menganalisis jenis ungkapan itu, apakah transformasi yang perlu dilakukan pada pecahan agar penyelesaiannya betul. Cari penyelesaian yang lebih rasional. jangan pergi cara yang rumit. Rancang semua tindakan, buat keputusan dahulu versi draf, kemudian pindahkan ke buku nota sekolah.

Untuk mengelakkan kekeliruan semasa menyelesaikan ungkapan pecahan, perlu mengikut peraturan jujukan. Tentukan semuanya dengan berhati-hati, tanpa tergesa-gesa.

Dalam artikel, kami akan tunjukkan cara menyelesaikan pecahan pada mudah contoh yang boleh difahami. Mari kita fahami apa itu pecahan dan pertimbangkan menyelesaikan pecahan!

konsep pecahan diperkenalkan ke dalam kursus matematik bermula dari darjah 6 sekolah menengah.

Pecahan kelihatan seperti: ±X / Y, di mana Y ialah penyebut, ia memberitahu berapa banyak bahagian yang keseluruhannya dibahagikan, dan X ialah pengangka, ia memberitahu berapa banyak bahagian tersebut telah diambil. Untuk kejelasan, mari kita ambil contoh dengan kek:

Dalam kes pertama, kek dipotong sama rata dan separuh diambil, i.e. 1/2. Dalam kes kedua, kek dipotong menjadi 7 bahagian, dari mana 4 bahagian diambil, i.e. 4/7.

Jika bahagian membahagi satu nombor dengan yang lain bukan nombor bulat, ia ditulis sebagai pecahan.

Sebagai contoh, ungkapan 4:2 \u003d 2 memberikan integer, tetapi 4:7 tidak boleh dibahagikan sepenuhnya, jadi ungkapan ini ditulis sebagai pecahan 4/7.

Dalam kata lain pecahan ialah ungkapan yang menunjukkan pembahagian dua nombor atau ungkapan, dan yang ditulis dengan garis miring.

Jika pengangka kurang daripada penyebut, pecahan itu betul, jika sebaliknya, ia salah. Pecahan boleh mengandungi integer.

Contohnya, 5 keseluruhan 3/4.

Entri ini bermakna untuk mendapatkan keseluruhan 6, satu bahagian daripada empat tidak mencukupi.

Kalau nak ingat cara menyelesaikan pecahan untuk darjah 6 anda perlu memahami itu menyelesaikan pecahan pada asasnya datang untuk memahami beberapa perkara mudah.

• Pecahan pada asasnya ialah ungkapan untuk pecahan. Itu dia ungkapan angka bahagian apa nilai yang diberikan daripada satu keseluruhan. Sebagai contoh, pecahan 3/5 menyatakan bahawa jika kita membahagikan sesuatu keseluruhan kepada 5 bahagian dan bilangan bahagian atau bahagian keseluruhan ini ialah tiga.
• Satu pecahan boleh kurang daripada 1, contohnya 1/2 (atau pada dasarnya separuh), maka ia betul. Jika pecahan lebih besar daripada 1, contohnya 3/2 (tiga bahagian atau satu setengah), maka ia tidak betul dan untuk memudahkan penyelesaian, lebih baik kita memilih keseluruhan bahagian 3/2= 1 keseluruhan 1 /2.
• Pecahan adalah nombor yang sama seperti 1, 3, 10, dan juga 100, cuma nombornya tidak bulat, tetapi pecahan. Dengan mereka, anda boleh melakukan semua operasi yang sama seperti dengan nombor. Mengira pecahan tidak lebih sukar, dan seterusnya contoh konkrit kami akan tunjukkan.

Cara menyelesaikan pecahan. Contoh.

Pelbagai operasi aritmetik boleh digunakan untuk pecahan.

Membawa pecahan kepada penyebut biasa

Sebagai contoh, anda perlu membandingkan pecahan 3/4 dan 4/5.

Untuk menyelesaikan masalah, kita mula-mula mencari penyebut biasa terendah, i.e. nombor terkecil, yang boleh dibahagikan tanpa baki oleh setiap penyebut pecahan itu

Penyebut sepunya terkecil(4.5) = 20

Kemudian penyebut kedua-dua pecahan dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah

Jawapan: 15/20

Penambahan dan penolakan pecahan

Jika perlu untuk mengira jumlah dua pecahan, mereka mula-mula dibawa ke penyebut biasa, kemudian pengangka ditambah, manakala penyebutnya tetap tidak berubah. Perbezaan pecahan dianggap dengan cara yang sama, satu-satunya perbezaan ialah pengangka ditolak.

Sebagai contoh, anda perlu mencari hasil tambah pecahan 1/2 dan 1/3

Sekarang cari beza antara pecahan 1/2 dan 1/4

Pendaraban dan pembahagian pecahan

Di sini penyelesaian pecahan adalah mudah, semuanya agak mudah di sini:

• Pendaraban - pengangka dan penyebut pecahan didarab antara mereka sendiri;
• Pembahagian - pertama kita mendapat pecahan, timbal balik pecahan kedua, i.e. tukar pengangka dan penyebutnya, selepas itu kita darabkan pecahan yang terhasil.

Sebagai contoh:

Mengenai ini cara menyelesaikan pecahan, semua. Jika anda mempunyai sebarang soalan tentang menyelesaikan pecahan, ada yang tidak jelas, kemudian tulis dalam komen dan kami akan menjawab anda.

Jika anda seorang guru, anda boleh memuat turun pembentangan untuk sekolah rendah(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) akan berguna.