Penambahan dan pendaraban kebarangkalian kebarangkalian bersyarat. Teorem penambahan bagi kebarangkalian kejadian tidak serasi

Kebarangkalian sesuatu peristiwa A ialah nisbah bilangan m hasil ujian yang memihak kepada permulaan peristiwa A kepada jumlah bilangan n semua hasil tidak serasi yang sama mungkin: P(A)=m/n.

Kebarangkalian bersyarat bagi sesuatu peristiwa A (atau kebarangkalian peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah berlaku), ialah nombor P B (A) \u003d P (AB) / P (B), di mana A dan B ialah dua peristiwa rawak ujian yang sama .

Jumlah bilangan peristiwa terhingga dipanggil peristiwa yang terdiri daripada berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya. Jumlah dua peristiwa dilambangkan dengan A+B.

Peraturan penambahan kebarangkalian :

acara bersama A dan B:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), di mana P(A) ialah kebarangkalian kejadian A, P(B) ialah kebarangkalian kejadian B, P(A+B) ) ialah kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa, P(AB) ialah kebarangkalian kejadian bersama dua peristiwa.
peraturan penambahan peristiwa yang tidak serasi A dan B:
P(A+B) = P(A)+P(B), dengan P(A) ialah kebarangkalian kejadian A, P(B) ialah kebarangkalian kejadian B.

Hasil daripada bilangan peristiwa yang terhad dipanggil peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa setiap daripada mereka akan berlaku. Hasil darab dua peristiwa ditandakan AB.

Peraturan pendaraban kebarangkalian :

peristiwa bergantung A dan B:
Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), dengan Р А (В) ialah kebarangkalian bersyarat kejadian B, jika peristiwa A telah berlaku, Р В (А ) ialah kebarangkalian bersyarat bagi kejadian A, jika peristiwa B telah berlaku;
peraturan pendaraban kebarangkalian acara bebas A dan B:
P(AB) = P(A)*P(B), dengan P(A) ialah kebarangkalian kejadian A, P(B) ialah kebarangkalian kejadian B.

Contoh penyelesaian masalah mengenai topik “Operasi pada acara. Peraturan untuk penambahan dan pendaraban kebarangkalian"

Tugasan 1 . Kotak itu mengandungi 250 mentol lampu, di mana 100 ialah 90W, 50 ialah 60W, 50 ialah 25W dan 50 ialah 15W. Tentukan kebarangkalian bahawa kuasa mana-mana mentol yang diambil secara rawak tidak akan melebihi 60 watt.

Penyelesaian.

A \u003d (kuasa mentol lampu ialah 90 W), kebarangkalian P (A) \u003d 100/250 \u003d 0.4;
B \u003d (kuasa mentol lampu ialah 60W);
C \u003d (kuasa mentol lampu ialah 25W);
D = (kuasa mentol lampu ialah 15W).

2. Peristiwa A, B, C, D bentuk sistem lengkap , kerana kesemuanya tidak serasi dan salah satu daripadanya pasti akan berlaku dalam eksperimen ini (memilih mentol lampu). Kebarangkalian berlakunya salah satu daripadanya ialah peristiwa yang boleh dipercayai, maka Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.

3. Peristiwa (kuasa mentol lampu tidak lebih daripada 60W) (iaitu kurang daripada atau sama dengan 60W), dan (kuasa mentol lampu lebih daripada 60W) (dalam kes ini - 90W) adalah bertentangan. Dengan sifat nombor berlawanan P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Memandangkan P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), kita dapat P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0.6.

Tugasan 2 . Kebarangkalian untuk mencapai sasaran oleh penembak pertama dengan satu pukulan ialah 0.7, dan oleh penembak kedua - 0.9. Cari kebarangkalian itu
a) sasaran akan dipukul oleh hanya seorang penembak;
b) sasaran akan dipukul oleh sekurang-kurangnya seorang penembak.

Penyelesaian.
1. Pertimbangkan peristiwa berikut:
А1 = (penembak pertama mencapai sasaran), Р(А1)=0.7 daripada keadaan masalah;
А1 = (penembak pertama terlepas), manakala Р(А1)+Р(А̄1) = 1, kerana А1 dan А̄1 adalah acara bertentangan. Oleh itu Р(А̄1)=1-0.7=0.3;
А2 = (penembak kedua mencapai sasaran), Р(А2)=0.9 daripada keadaan masalah;
А2 = (penembak kedua terlepas), manakala Р(А̄2)=1-0.9=0.1.

2. Peristiwa A=(sasaran terkena hanya seorang penembak) bermakna satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi telah berlaku: sama ada A1А2 atau А1А2.
Mengikut peraturan penambahan kebarangkalian Р(А)= Р(А1А2) + Р(А1А2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0.7*0.1=0.07;
Р(А̄1А2)= Р(А̄1)*Р(А2)=0.3*0.9=0.27.
Kemudian Р(А)= Р(А1А2)+Р(А±1А2)=0.07+0.27=0.34.

3. Peristiwa B=(sasaran terkena sekurang-kurangnya seorang penembak) bermakna sama ada penembak pertama mengenai sasaran, atau penembak kedua terkena sasaran, atau kedua-dua penembak mencapai sasaran.

Acara B̄=(sasaran tidak terkena mana-mana penembak) adalah bertentangan dengan acara B, yang bermaksud P(B)=1-P(B̄).
Peristiwa B̄ bermaksud kemunculan serentak peristiwa bebas Ā1 dan Ā2, oleh itu P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0.3*0.1=0.3.
Kemudian Р(В)=1-Р(B̄)=1-0.3=0.7.

Tugasan 3 . Kertas peperiksaan mengandungi tiga soalan. Kebarangkalian pelajar akan menjawab soalan pertama ialah 0.7; pada kedua - 0.9; pada yang ketiga - 0.6. Cari kebarangkalian bahawa pelajar itu, memilih tiket, akan menjawab:
a) semua soalan
d) sekurang-kurangnya dua soalan.

Penyelesaian. 1. Pertimbangkan peristiwa berikut:
А1 = (pelajar menjawab soalan pertama), Р(А1)=0.7 daripada keadaan masalah;
A1 = (murid tidak menjawab soalan pertama), manakala P(A1) + P(Ā1) = 1, memandangkan A1 dan Ā1 adalah peristiwa berlawanan. Oleh itu Р(А̄1)=1-0.7=0.3;
А2 = (pelajar menjawab soalan kedua), Р(А2)=0.9 daripada keadaan masalah;
А2 = (pelajar tidak menjawab soalan kedua), manakala Р(А̄2)=1-0.9=0.1;
А3 = (pelajar menjawab soalan ketiga), Р(А3)=0.6 daripada keadaan masalah;
А3 = (pelajar tidak menjawab soalan ketiga), manakala Р(А̄3)=1-0.6=0.4.

2. Peristiwa A = (murid menjawab semua soalan) bermaksud kemunculan serentak peristiwa bebas A1, A2 dan A3, i.e. Р(А)= Р(А1А2А3).Mengikut peraturan pendaraban kebarangkalian kejadian bebas: Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0.7*0.9*0.6=0.378 .
Kemudian P(A)=P(A1A2A3)=0.378.

3. Peristiwa D = (pelajar menjawab sekurang-kurangnya dua soalan) bermakna jawapan diberikan kepada mana-mana dua soalan atau kepada ketiga-tiga, i.e. satu daripada empat peristiwa yang tidak serasi telah berlaku: sama ada A1A2Ā3, atau A1Ā2A3, atau А1А2А3, atau А1А2А3.
Mengikut peraturan penambahan kebarangkalian kejadian tidak serasi: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1Ā2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Mengikut peraturan pendaraban kebarangkalian peristiwa bebas:
Р(A1A2Ā3)= Р(A1)*Р(A2)*Р(Ā3)= 0.7*0.9*0.4=0.252;
Р(А1Ā2А3)= Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)= 0.7*0.1*0.6=0.042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.3*0.9*0.6=0.162;
P (A1A2A3) \u003d P (A1) * P (A2) * P (A3) \u003d 0.7 * 0.9 * 0.6 \u003d 0.378.
Maka Р(D)= 0.252+0.042+0.162+0.378= 0.834.

Teorem penambahan

Pertimbangkan peristiwa rawak yang tidak serasi.

Adalah diketahui bahawa peristiwa rawak yang tidak serasi $A$ dan $B$ dalam percubaan yang sama mempunyai kebarangkalian $P\kiri(A\kanan)$ dan $P\kiri(B\kanan)$ masing-masing. Mari kita cari kebarangkalian jumlah $A+B$ peristiwa ini, iaitu kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya.

Katakan dalam ujian ini bilangan semua peristiwa asas yang sama mungkin ialah $n$. Daripada jumlah ini, acara $A$ dan $B$ digemari oleh acara asas $m_(A)$ dan $m_(B)$. Memandangkan acara $A$ dan $B$ tidak serasi, acara $A+B$ digemari oleh $m_(A) +m_(B)$ acara asas. Kami mempunyai $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\kiri(A\kanan)+P\kiri(B\kanan)$.

Teorem 1

Kebarangkalian jumlah dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka.

Nota 1

Akibat 1. Kebarangkalian jumlah sebarang bilangan peristiwa tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Akibat 2. Jumlah kebarangkalian kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi (jumlah kebarangkalian semua peristiwa asas) adalah sama dengan satu.

Akibat 3. Jumlah kebarangkalian peristiwa bertentangan adalah sama dengan satu, kerana ia membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi.

Contoh 1

Kebarangkalian bahawa hujan tidak akan turun di bandar untuk beberapa waktu ialah $p=0.7$. Cari kebarangkalian $q$ bahawa pada masa yang sama hujan akan turun di bandar sekurang-kurangnya sekali.

Peristiwa "untuk beberapa waktu tidak pernah hujan di bandar" dan "untuk beberapa waktu hujan di bandar sekurang-kurangnya sekali" adalah bertentangan. Oleh itu $p+q=1$, dari mana $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Pertimbangkan peristiwa rawak bersama.

Adalah diketahui bahawa peristiwa rawak bersama $A$ dan $B$ dalam percubaan yang sama mempunyai kebarangkalian $P\kiri(A\kanan)$ dan $P\kiri(B\kanan)$ masing-masing. Mari kita cari kebarangkalian jumlah $A+B$ peristiwa ini, iaitu kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya.

Katakan dalam ujian ini bilangan semua peristiwa asas yang sama mungkin ialah $n$. Daripada jumlah ini, acara $A$ dan $B$ digemari oleh acara asas $m_(A)$ dan $m_(B)$. Oleh kerana peristiwa $A$ dan $B$ adalah bersama, maka daripada jumlah bilangan $m_(A) +m_(B) $ acara asas, nombor tertentu $m_(AB) $ memihak kepada kedua-dua acara $A$ dan peristiwa $B$, iaitu kejadian bersama mereka (hasil daripada peristiwa $A\cdot B$). Kuantiti $m_(AB)$ ini memasukkan kedua-dua $m_(A)$ dan $m_(B)$. Jadi acara $A+B$ digemari oleh $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ peristiwa asas. Kami ada: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\kiri(A\kanan)+P\kiri(B\kanan)-P\kiri(A\cdot B\ betul)$.

Teorem 2

Kebarangkalian jumlah dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tolak kebarangkalian hasil darabnya.

Komen. Jika peristiwa $A$ dan $B$ tidak serasi, maka produknya $A\cdot B$ ialah peristiwa mustahil yang kebarangkaliannya ialah $P\left(A\cdot B\right)=0$. Oleh itu, formula untuk menambah kebarangkalian peristiwa tidak serasi ialah kes khas formula untuk menambah kebarangkalian peristiwa bersama.

Contoh 2

Cari kebarangkalian bahawa apabila dua dadu dilempar pada masa yang sama, nombor 5 akan muncul sekurang-kurangnya sekali.

Apabila membaling dua dadu pada masa yang sama, bilangan semua acara asas yang sama mungkin adalah sama dengan $n=36$, kerana enam digit dadu kedua boleh jatuh pada setiap digit dadu pertama. Daripada jumlah ini, peristiwa $A$ - nombor 5 yang digulung pada mata pertama - berlaku 6 kali, peristiwa $B$ - nombor 5 yang digulung pada mata kedua - juga berlaku 6 kali. Daripada kesemua dua belas kali, nombor 5 muncul sekali pada kedua-dua dadu. Jadi $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Teorem pendaraban kebarangkalian

Pertimbangkan acara bebas.

Peristiwa $A$ dan $B$ yang berlaku dalam dua percubaan berturut-turut dipanggil bebas jika kebarangkalian kejadian $B$ tidak bergantung pada sama ada peristiwa $A$ berlaku atau tidak berlaku.

Sebagai contoh, katakan terdapat 2 bola putih dan 2 bola hitam di dalam sebuah tempayan. Ujiannya adalah untuk mengeluarkan bola. Acara $A$ ialah "bola putih ditarik dalam percubaan pertama". Kebarangkalian $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Selepas ujian pertama, bola diletakkan semula dan ujian kedua dijalankan. Acara $B$ -- ``bola putih ditarik dalam percubaan kedua''. Kebarangkalian $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Kebarangkalian $P\left(B\right)$ tidak bergantung pada sama ada peristiwa $A$ berlaku atau tidak, justeru peristiwa $A$ dan $B$ adalah bebas.

Adalah diketahui bahawa peristiwa rawak bebas $A$ dan $B$ daripada dua percubaan berturut-turut mempunyai kebarangkalian $P\kiri(A\kanan)$ dan $P\kiri(B\kanan)$ masing-masing. Mari kita cari kebarangkalian hasil darab $A\cdot B$ kejadian ini, iaitu kebarangkalian kejadian bersamanya.

Katakan bahawa dalam percubaan pertama bilangan semua peristiwa asas yang sama mungkin ialah $n_(1) $. Daripada jumlah ini, $A$ digemari oleh $m_(1)$ acara asas. Marilah kita juga menganggap bahawa dalam ujian kedua bilangan semua peristiwa asas yang sama mungkin ialah $n_(2) $. Daripada jumlah ini, acara $B$ digemari oleh $m_(2)$ acara asas. Sekarang pertimbangkan acara asas baharu, yang terdiri daripada kejadian berturut-turut daripada percubaan pertama dan kedua. Jumlah bilangan kejadian asas yang sama berkemungkinan adalah sama dengan $n_(1) \cdot n_(2) $. Memandangkan peristiwa $A$ dan $B$ adalah bebas, daripada nombor ini kejadian bersama acara $A$ dan acara $B$ (hasil daripada peristiwa $A\cdot B$) digemari oleh $m_( 1) \cdot m_(2) $ acara . Kami ada: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\kiri(A\kanan)\cdot P\kiri(B\kanan)$.

Teorem 3

Kebarangkalian hasil darab dua peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini.

Pertimbangkan peristiwa bergantung.

Dalam dua percubaan berturut-turut, peristiwa $A$ dan $B$ berlaku. Sesuatu peristiwa $B$ dikatakan bergantung kepada peristiwa $A$ jika kebarangkalian kejadian $B$ bergantung kepada sama ada peristiwa $A$ itu berlaku atau tidak. Kemudian kebarangkalian kejadian $B$, yang dikira di bawah syarat peristiwa $A$ berlaku, dipanggil kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa $B$ di bawah keadaan $A$ dan ditandakan dengan $P\left (B/A\kanan)$.

Sebagai contoh, katakan terdapat 2 bola putih dan 2 bola hitam di dalam sebuah tempayan. Ujian ialah pengekstrakan bola. Acara $A$ ialah "bola putih ditarik dalam percubaan pertama". Kebarangkalian $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Selepas ujian pertama, bola tidak diletakkan semula dan ujian kedua dilakukan. Acara $B$ -- ``bola putih ditarik dalam percubaan kedua''. Jika bola putih dilukis dalam percubaan pertama, maka kebarangkalian ialah $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Jika bola hitam ditarik dalam percubaan pertama, maka kebarangkalian ialah $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Oleh itu, kebarangkalian acara $B$ bergantung kepada sama ada acara $A$ berlaku atau tidak, oleh itu, acara $B$ bergantung kepada acara $A$.

Andaikan bahawa peristiwa $A$ dan $B$ berlaku dalam dua percubaan berturut-turut. Adalah diketahui bahawa peristiwa $A$ mempunyai kebarangkalian kejadian $P\left(A\right)$. Ia juga diketahui bahawa acara $B$ adalah bergantung pada acara $A$ dan kebarangkalian bersyaratnya di bawah syarat $A$ adalah sama dengan $P\left(B/A\right)$.

Teorem 4

Kebarangkalian hasil darab peristiwa $A$ dan peristiwa $B$ bergantung padanya, iaitu kebarangkalian kejadian bersamanya, boleh didapati dengan formula $P\left(A\cdot B\right)= P\kiri(A\kanan)\cdot P\kiri(B/A\kanan)$.

Formula simetri $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ juga sah, di mana peristiwa $A$ diandaikan bergantung pada acara $ B$.

Untuk syarat contoh terakhir, kita dapati kebarangkalian bahawa bola putih akan dilukis dalam kedua-dua percubaan. Acara sedemikian adalah hasil daripada acara $A$ dan $B$. Kebarangkaliannya ialah $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Artikel ini akan memberi tumpuan kepada penyelesaian masalah dalam teori kebarangkalian. Terdahulu, kami telah menganalisis beberapa tugas yang paling mudah, untuk menyelesaikannya cukup untuk mengetahui dan memahami formula (saya menasihati anda untuk mengulanginya).

Terdapat tugas yang sedikit lebih rumit, untuk penyelesaiannya anda perlu tahu dan faham: peraturan penambahan kebarangkalian, peraturan pendaraban kebarangkalian, konsep peristiwa bergantung dan bebas, peristiwa bertentangan, peristiwa bersama dan tidak serasi. Jangan takut dengan definisi, semuanya mudah)).Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan tugas sedemikian sahaja.

Beberapa teori penting dan mudah:

tidak serasi jika kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian yang lain. Iaitu, hanya satu peristiwa tertentu boleh berlaku, atau yang lain.

Contoh klasik: apabila membaling dadu (dadu), hanya satu yang boleh jatuh, atau hanya dua, atau hanya tiga, dsb. Setiap peristiwa ini tidak serasi dengan yang lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian yang lain (dalam satu ujian). Begitu juga dengan duit syiling - kehilangan "helang" menghapuskan kemungkinan kehilangan "ekor".

Ini juga terpakai kepada kombinasi yang lebih kompleks. Contohnya, dua lampu lampu dinyalakan. Setiap daripada mereka mungkin atau mungkin tidak terbakar untuk beberapa waktu. Terdapat pilihan:

Yang pertama terbakar dan yang kedua terbakar
Yang pertama hangus dan yang kedua tidak hangus
Yang pertama tidak hangus dan yang kedua hangus
Yang pertama tidak hangus dan yang kedua hangus.

Kesemua 4 varian acara ini tidak serasi - ia tidak boleh berlaku bersama-sama dan tiada satu pun daripadanya dengan mana-mana ...

Definisi: Peristiwa dipanggil sendi jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain.

Contoh: seorang ratu akan diambil dari dek kad dan kad spade akan diambil dari dek kad. Dua peristiwa dipertimbangkan. Peristiwa ini tidak saling eksklusif - anda boleh melukis Queen of Spades dan dengan itu kedua-dua acara akan berlaku.

Mengenai jumlah kebarangkalian

Jumlah dua peristiwa A dan B dipanggil peristiwa A + B, yang terdiri daripada fakta bahawa sama ada peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya akan berlaku pada masa yang sama.

Jika berlaku tidak serasi peristiwa A dan B, maka kebarangkalian jumlah peristiwa ini adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa:

Contoh dadu:

Kita baling dadu. Apakah kebarangkalian mendapat nombor kurang daripada empat?

Nombor kurang daripada empat ialah 1,2,3. Kita tahu bahawa kebarangkalian mendapat 1 ialah 1/6, a 2 ialah 1/6, dan a 3 ialah 1/6. Ini adalah peristiwa yang tidak serasi. Kita boleh menggunakan peraturan penambahan. Kebarangkalian mendapat nombor kurang daripada empat ialah:

Sesungguhnya, jika kita meneruskan dari konsep kebarangkalian klasik: maka bilangan hasil yang mungkin ialah 6 (bilangan semua muka kubus), bilangan hasil yang menggalakkan ialah 3 (satu, dua atau tiga). Kebarangkalian yang diingini ialah 3 hingga 6 atau 3/6 = 0.5.

* Kebarangkalian jumlah dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tanpa mengambil kira kejadian bersamanya: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB )

Mengenai pendaraban kebarangkalian

Biarkan dua peristiwa yang tidak serasi A dan B berlaku, kebarangkalian mereka masing-masing adalah P(A) dan P(B). Hasil darab dua peristiwa A dan B dipanggil peristiwa sedemikian A B, yang terdiri daripada fakta bahawa peristiwa ini akan berlaku bersama-sama, iaitu, kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B akan berlaku. Kebarangkalian peristiwa sedemikian adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian kejadian A dan B.Dikira mengikut formula:

Seperti yang telah anda perhatikan, penghubung logik "DAN" bermaksud pendaraban.

Contoh dengan dadu yang sama:Lempar dadu dua kali. Apakah kebarangkalian untuk melancarkan dua berenam?

Kebarangkalian untuk melancarkan enam untuk kali pertama ialah 1/6. Kali kedua juga sama dengan 1/6. Kebarangkalian mendapat enam pada kali pertama dan kali kedua adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian:

Secara ringkas: apabila sesuatu peristiwa berlaku dalam satu ujian, DAN kemudian satu lagi (yang lain) berlaku, maka kebarangkalian ia akan berlaku bersama-sama adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini.

Kami menyelesaikan masalah dengan dadu, tetapi kami hanya menggunakan alasan logik, kami tidak menggunakan formula produk. Dalam masalah yang dipertimbangkan di bawah, seseorang tidak boleh melakukannya tanpa formula, atau sebaliknya, lebih mudah dan lebih cepat untuk mendapatkan hasilnya dengan mereka.

Perlu disebutkan satu lagi nuansa. Apabila membuat penaakulan dalam menyelesaikan masalah, konsep SERENTAK kejadian digunakan. Peristiwa berlaku SERENTAK - ini tidak bermakna ia berlaku dalam satu saat (pada satu saat dalam masa). Ini bermakna ia berlaku dalam tempoh masa tertentu (dengan satu ujian).

Sebagai contoh:

Dua lampu terbakar dalam masa setahun (boleh dikatakan - serentak dalam masa setahun)

Dua automata rosak dalam masa sebulan (boleh dikatakan - serentak dalam masa sebulan)

Dadu dilempar tiga kali (mata jatuh pada masa yang sama, yang bermaksud dalam satu ujian)

Biathlete membuat lima pukulan. Peristiwa (tembakan) berlaku semasa satu ujian.

Peristiwa A dan B adalah bebas jika kebarangkalian salah satu daripadanya tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa lain.

Pertimbangkan tugas:

Dua kilang menghasilkan kaca yang sama untuk lampu kereta. Kilang pertama menghasilkan 35% daripada cermin mata ini, yang kedua - 65%. Kilang pertama menghasilkan 4% daripada cermin mata yang rosak, dan yang kedua - 2%. Cari kebarangkalian bahawa gelas yang dibeli secara tidak sengaja di kedai akan rosak.

Kilang pertama mengeluarkan 0.35 produk (cermin mata). Kebarangkalian untuk membeli kaca yang rosak dari kilang pertama ialah 0.04.

Kilang kedua mengeluarkan 0.65 gelas. Kebarangkalian untuk membeli kaca yang rosak dari kilang kedua ialah 0.02.

Kebarangkalian kaca itu dibeli di kilang pertama DAN pada masa yang sama ia akan rosak ialah 0.35∙0.04 = 0.0140.

Kebarangkalian gelas itu dibeli di kilang kedua DAN pada masa yang sama ia akan rosak ialah 0.65∙0.02 = 0.0130.

Membeli kaca yang rosak di kedai membayangkan bahawa ia (kaca yang rosak) telah dibeli SAMA ADA dari kilang pertama ATAU dari yang kedua. Ini adalah peristiwa yang tidak serasi, iaitu, kami menambah kebarangkalian yang terhasil:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Jawapan: 0.027

Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia menang grandmaster B. dengan kebarangkalian 0.62. Jika A. bermain hitam, maka A. mengalahkan B. dengan kebarangkalian 0.2. Grandmasters A. dan B. bermain dua permainan, dan dalam permainan kedua mereka menukar warna kepingan. Cari kebarangkalian bahawa A. menang kedua-dua kali.

Peluang untuk memenangi perlawanan pertama dan kedua adalah bebas antara satu sama lain. Dikatakan bahawa grandmaster mesti menang kedua-dua kali, iaitu menang kali pertama DAN pada masa yang sama menang kali kedua. Dalam kes apabila peristiwa bebas mesti berlaku bersama, kebarangkalian peristiwa ini didarabkan, iaitu, peraturan pendaraban digunakan.

Kebarangkalian untuk menghasilkan peristiwa ini akan bersamaan dengan 0.62∙0.2 = 0.124.

Jawapan: 0.124

Dalam peperiksaan geometri, pelajar mendapat satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan bulatan bertulis ialah 0.3. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan Paralelogram ialah 0.25. Tiada soalan yang berkaitan dengan dua topik ini pada masa yang sama. Cari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan.

Iaitu, adalah perlu untuk mencari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan SAMA ADA mengenai topik "Bulatan tersurat", ATAU pada topik "Paralelogram". Dalam kes ini, kebarangkalian disimpulkan, kerana peristiwa ini tidak serasi dan mana-mana peristiwa ini boleh berlaku: 0.3 + 0.25 = 0.55.

*Peristiwa berpisah ialah peristiwa yang tidak boleh berlaku pada masa yang sama.

Jawapan: 0.55

Biathlete menembak lima kali ke arah sasaran. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa atlet biathlet itu mencapai sasaran empat kali pertama dan terlepas sasaran terakhir. Bundarkan keputusan kepada perseratus terdekat.

Oleh kerana biathlete mencapai sasaran dengan kebarangkalian 0.9, dia tersasar dengan kebarangkalian 1 - 0.9 = 0.1

*Terlepas dan pukulan ialah peristiwa yang tidak boleh berlaku serentak dengan satu pukulan, jumlah kebarangkalian peristiwa ini ialah 1.

Kita bercakap tentang pentauliahan beberapa acara (bebas). Jika sesuatu peristiwa berlaku dan pada masa yang sama satu lagi (seterusnya) berlaku pada masa yang sama (ujian), maka kebarangkalian peristiwa ini didarabkan.

Kebarangkalian untuk menghasilkan peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya.

Oleh itu, kebarangkalian peristiwa "pukul, pukul, pukul, pukul, terlepas" adalah bersamaan dengan 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561.

Membundarkan kepada perseratus, kita mendapat 0.07

Jawapan: 0.07

Kedai itu mempunyai dua mesin pembayaran. Setiap daripada mereka boleh rosak dengan kebarangkalian 0.07, tanpa mengira automaton yang lain. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu automata boleh diservis.

Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua automata rosak.

Peristiwa ini adalah bebas, jadi kebarangkalian akan sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini: 0.07∙0.07 = 0.0049.

Ini bermakna kebarangkalian bahawa kedua-dua automata berfungsi atau salah satu daripadanya akan bersamaan dengan 1 - 0.0049 = 0.9951.

* Kedua-duanya boleh digunakan dan ada yang sepenuhnya - memenuhi syarat "sekurang-kurangnya satu".

Seseorang boleh membentangkan kebarangkalian semua peristiwa (bebas) untuk diuji:

1. “faulty-faulty” 0.07∙0.07 = 0.0049

2. “Baik-Rapat” 0.93∙0.07 = 0.0651

3. "Faulty-Faulty" 0.07∙0.93 = 0.0651

4. “sihat-sihat” 0.93∙0.93 = 0.8649

Untuk menentukan kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu automaton berada dalam keadaan baik, adalah perlu untuk menambah kebarangkalian peristiwa bebas 2,3 dan 4: sesuatu peristiwa Peristiwa dipanggil peristiwa yang pasti berlaku hasil daripada pengalaman. Peristiwa itu dipanggil mustahil jika ia tidak pernah berlaku hasil daripada pengalaman.

Sebagai contoh, jika satu bola diambil secara rawak dari kotak yang mengandungi hanya bola merah dan hijau, maka penampilan bola putih di antara bola yang ditarik adalah peristiwa yang mustahil. Kemunculan merah dan kemunculan bola hijau membentuk kumpulan acara yang lengkap.

Definisi: Peristiwa itu dipanggil sama mungkin , jika tiada sebab untuk mempercayai bahawa salah satu daripadanya akan muncul sebagai hasil daripada eksperimen dengan kebarangkalian yang lebih besar.

Dalam contoh di atas, kemunculan bola merah dan hijau adalah kejadian yang sama berkemungkinan jika kotak itu mengandungi bilangan bola merah dan hijau yang sama. Jika terdapat lebih banyak bola merah di dalam kotak daripada bola hijau, maka penampilan bola hijau kurang berkemungkinan daripada penampilan bola merah.

Dalam kita akan mempertimbangkan lebih banyak masalah di mana jumlah dan hasil kebarangkalian kejadian digunakan, jangan ketinggalan!

Itu sahaja. Semoga anda berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

Maria Ivanovna memarahi Vasya:
Petrov, kenapa awak tidak ke sekolah semalam?!
Ibu saya mencuci seluar saya semalam.
- Jadi apa?
- Dan saya sedang berjalan melepasi rumah dan melihat rumah anda tergantung. Saya fikir awak tidak akan datang.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu tentang laman web dalam rangkaian sosial.

Pada Untuk menganggarkan kebarangkalian berlakunya sebarang peristiwa rawak, adalah sangat penting untuk mempunyai idea yang baik terlebih dahulu sama ada kebarangkalian () kejadian peristiwa yang menarik minat kita bergantung pada bagaimana peristiwa lain berkembang.

Dalam kes skema klasik, apabila semua hasil berkemungkinan sama, kita sudah boleh menganggarkan nilai kebarangkalian peristiwa individu yang menarik minat kita sendiri. Kita boleh melakukan ini walaupun acara itu merupakan koleksi kompleks beberapa hasil asas. Dan jika beberapa peristiwa rawak berlaku secara serentak atau berurutan? Bagaimanakah ini mempengaruhi kebarangkalian peristiwa yang menarik minat kita?

Jika saya membaling dadu beberapa kali dan saya mahu mendapat enam dan saya sentiasa tidak bernasib baik, adakah itu bermakna saya perlu meningkatkan pertaruhan kerana, mengikut teori kebarangkalian, saya akan bertuah? Malangnya, teori kebarangkalian tidak mengatakan perkara itu. Tiada dadu, tiada kad, tiada syiling tak ingat apa yang mereka tunjukkan kepada kita kali terakhir. Tidak kira bagi mereka sama ada kali pertama atau kesepuluh hari ini saya menguji nasib saya. Setiap kali saya bergolek lagi, saya hanya tahu satu perkara: dan kali ini kebarangkalian untuk melancarkan "enam" sekali lagi ialah satu per enam. Sudah tentu, ini tidak bermakna bahawa nombor yang saya perlukan tidak akan pernah jatuh. Ini bermakna kerugian saya selepas lambungan pertama dan selepas lambungan lain adalah acara bebas.

Peristiwa A dan B dipanggil bebas, jika pelaksanaan salah satu daripadanya tidak menjejaskan kebarangkalian peristiwa lain dalam apa jua cara. Sebagai contoh, kebarangkalian mengenai sasaran dengan yang pertama daripada dua senapang tidak bergantung pada sama ada senapang lain mengenai sasaran, jadi peristiwa "pistol pertama mengenai sasaran" dan "pistol kedua mengenai sasaran" adalah bebas.

Jika dua peristiwa A dan B adalah bebas, dan kebarangkalian setiap satu daripadanya diketahui, maka kebarangkalian kejadian serentak bagi kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B (ditandakan dengan AB) boleh dikira menggunakan teorem berikut.

Teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas

P(AB) = P(A)*P(B)- kebarangkalian serentak dua bebas peristiwa adalah kerja kebarangkalian kejadian ini.

Contoh.Kebarangkalian untuk terkena sasaran apabila menembak pistol pertama dan kedua adalah sama: p 1 =0.7; p 2 =0.8. Cari kebarangkalian untuk memukul dengan satu voli oleh kedua-dua senjata secara serentak.

Penyelesaian: Seperti yang telah kita lihat, peristiwa A (dipukul oleh pistol pertama) dan B (dipukul oleh pistol kedua) adalah bebas, i.e. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0.56.

Apakah yang berlaku kepada anggaran kami jika acara permulaan tidak bebas? Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya.

Contoh.Dua penembak dalam pertandingan menembak sasaran, dan jika salah seorang daripada mereka menembak dengan tepat, maka pihak lawan mula gugup, dan keputusannya menjadi lebih teruk. Bagaimana untuk menjadikan situasi harian ini sebagai masalah matematik dan menggariskan cara untuk menyelesaikannya? Secara intuitif jelas bahawa ia adalah perlu untuk memisahkan kedua-dua senario, untuk mengarang, sebenarnya, dua senario, dua tugas yang berbeza. Dalam kes pertama, jika lawan terlepas, senario akan menguntungkan atlet yang gementar dan ketepatannya akan lebih tinggi. Dalam kes kedua, jika pihak lawan menyedari peluangnya dengan baik, kebarangkalian untuk mencapai sasaran untuk atlet kedua dikurangkan.

Untuk memisahkan kemungkinan senario (ia sering dipanggil hipotesis) perkembangan peristiwa, kita sering menggunakan skema "pokok kebarangkalian". Gambar rajah ini adalah serupa dalam makna kepada pokok keputusan, yang mungkin anda telah hadapi. Setiap cawangan adalah senario yang berasingan, hanya sekarang ia mempunyai makna sendiri yang dipanggil bersyarat kebarangkalian (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Skim ini sangat mudah untuk analisis peristiwa rawak berturut-turut.

Ia masih untuk menjelaskan satu lagi soalan penting: di manakah nilai awal kebarangkalian masuk situasi sebenar ? Lagipun, teori kebarangkalian tidak berfungsi dengan syiling dan dadu yang sama, bukan? Biasanya anggaran ini diambil daripada statistik, dan apabila statistik tidak tersedia, kami menjalankan penyelidikan kami sendiri. Dan kita selalunya perlu memulakannya bukan dengan mengumpul data, tetapi dengan persoalan tentang maklumat yang biasanya kita perlukan.

Contoh.Di bandar dengan 100,000 penduduk, katakan kita perlu menganggarkan saiz pasaran untuk produk baru yang tidak penting, seperti perapi rambut yang dirawat warna. Mari kita pertimbangkan skim "pokok kebarangkalian". Dalam kes ini, kita perlu menganggarkan nilai kebarangkalian pada setiap "cawangan". Jadi, anggaran kapasiti pasaran kami:

1) 50% daripada semua penduduk bandar adalah wanita,

2) daripada semua wanita, hanya 30% mewarnakan rambut mereka dengan kerap,

3) daripada ini, hanya 10% menggunakan balm untuk rambut berwarna,

4) daripada jumlah ini, hanya 10% yang dapat mengumpulkan keberanian untuk mencuba produk baru,

5) 70% daripada mereka biasanya membeli segala-galanya bukan daripada kami, tetapi daripada pesaing kami.

Penyelesaian: Mengikut undang-undang pendaraban kebarangkalian, kami menentukan kebarangkalian peristiwa yang menarik minat kami A \u003d (penduduk bandar membeli balsem baru ini daripada kami) \u003d 0.00045.

Darabkan nilai kebarangkalian ini dengan bilangan penduduk bandar itu. Akibatnya, kami hanya mempunyai 45 pembeli berpotensi, dan memandangkan satu botol produk ini bertahan selama beberapa bulan, perdagangan tidak begitu meriah.

Namun, terdapat faedah daripada penilaian kami.

Pertama, kita boleh membandingkan ramalan idea perniagaan yang berbeza, mereka akan mempunyai "garpu" yang berbeza pada rajah, dan, sudah tentu, nilai kebarangkalian juga akan berbeza.

Kedua, seperti yang telah kita katakan, pembolehubah rawak tidak dipanggil rawak kerana ia tidak bergantung pada apa-apa sama sekali. Hanya dia tepat nilai tidak diketahui terlebih dahulu. Kami tahu bahawa purata bilangan pembeli boleh ditingkatkan (contohnya, dengan mengiklankan produk baharu). Jadi masuk akal untuk memberi tumpuan kepada "garpu" di mana pengagihan kebarangkalian tidak sesuai dengan kita, pada faktor-faktor yang boleh kita pengaruhi.

Pertimbangkan satu lagi contoh kuantitatif penyelidikan tingkah laku pengguna.

Contoh. Purata 10,000 orang mengunjungi pasar makanan setiap hari. Kebarangkalian pelawat pasar masuk ke astaka tenusu ialah 1/2. Adalah diketahui bahawa di pavilion ini, secara purata, 500 kg pelbagai produk dijual setiap hari.

Bolehkah dikatakan bahawa purata pembelian di pavilion hanya seberat 100 g?

Perbincangan. Sudah tentu tidak. Jelas bahawa tidak semua orang yang memasuki astaka itu akhirnya membeli sesuatu di sana.

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah, untuk menjawab soalan mengenai purata berat pembelian, kita mesti mencari jawapan kepada soalan, apakah kebarangkalian seseorang yang memasuki pavilion membeli sesuatu di sana. Sekiranya kami tidak mempunyai data sedemikian, tetapi kami memerlukannya, kami perlu mendapatkannya sendiri, selepas memerhatikan pengunjung pavilion untuk beberapa lama. Katakan pemerhatian kami menunjukkan hanya satu perlima daripada pengunjung pavilion membeli sesuatu.

Sebaik sahaja anggaran ini diperolehi oleh kami, tugas menjadi mudah. Daripada 10,000 orang yang datang ke pasar, 5,000 akan pergi ke astaka produk tenusu, hanya ada 1,000 pembelian. Purata berat belian ialah 500 gram. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa untuk membina gambaran lengkap tentang apa yang sedang berlaku, logik "percabangan" bersyarat mesti ditakrifkan pada setiap peringkat penaakulan kita dengan jelas seolah-olah kita bekerja dengan situasi "konkrit", dan bukan dengan kebarangkalian.

Tugasan untuk ujian kendiri

1. Biarkan terdapat litar elektrik yang terdiri daripada n elemen bersambung siri, setiap satunya beroperasi secara bebas daripada yang lain.

Kebarangkalian p bukan kegagalan setiap elemen diketahui. Tentukan kebarangkalian pengendalian yang betul bagi keseluruhan bahagian litar (peristiwa A).

2. Pelajar mengetahui 20 daripada 25 soalan peperiksaan. Cari kebarangkalian bahawa pelajar itu mengetahui tiga soalan yang diberikan oleh pemeriksa kepadanya.

3. Pengeluaran terdiri daripada empat peringkat berturut-turut, setiap satunya mengendalikan peralatan yang mana kebarangkalian kegagalan dalam bulan berikutnya adalah, masing-masing, p 1 , p 2 , p 3 dan p 4 . Cari kebarangkalian bahawa dalam sebulan tidak akan ada pemberhentian pengeluaran kerana kegagalan peralatan.

Konsep asas
Peristiwa dipanggil tidak serasi jika kejadian salah satu daripadanya mengecualikan kejadian peristiwa lain dalam percubaan yang sama. Jika tidak, mereka dipanggil bersama.
Kumpulan lengkap ialah satu set acara, gabungannya adalah acara yang boleh dipercayai.
Bertentangan adalah dua peristiwa unik yang mungkin membentuk kumpulan lengkap.
Peristiwa dipanggil bergantung jika kebarangkalian berlakunya salah satu daripadanya bergantung kepada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa lain.
Peristiwa dipanggil bebas jika kebarangkalian salah satu daripadanya tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya yang lain.
Teorem penambahan bagi kebarangkalian kejadian tidak serasi
P(A+B)=P(A)+P(B),
di mana A, B ialah peristiwa yang tidak serasi.

Teorem penambahan untuk kebarangkalian peristiwa bersama
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), dengan A dan B ialah acara bersama.

Teorem pendaraban kebarangkalian peristiwa bebas
,
di mana A dan B ialah peristiwa bebas.
Teorem pendaraban kebarangkalian peristiwa bersandar
P (AB) \u003d P (A) P A (B),
di mana P A (B) ialah kebarangkalian kejadian B, dengan syarat peristiwa A telah berlaku; A dan B ialah peristiwa bergantung.

Tugasan 1.
Penembak melepaskan dua das tembakan ke arah sasaran. Kebarangkalian untuk memukul setiap pukulan ialah 0.8. Buat kumpulan acara yang lengkap dan cari kebarangkaliannya. Penyelesaian.
Ujian - Dua tembakan dilepaskan ke sasaran.
Peristiwa TAPI- gagal kedua-dua kali.
Peristiwa AT- pukul sekali.
Peristiwa DARI- mendapatnya dua kali.
.

Kawalan: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Tugasan 2.
Mengikut ramalan ahli meteorologi Р(hujan)=0.4; P(angin)=0.7; P(hujan dan angin)=0.2. Apakah kebarangkalian bahawa ia akan hujan atau angin? Penyelesaian. Mengikut teorem penambahan kebarangkalian dan disebabkan keserasian peristiwa yang dicadangkan, kami mempunyai:
P (hujan atau angin atau kedua-duanya) \u003d P (hujan) + P (angin) - P (hujan dan angin) \u003d 0.4 + 0.7-0.2 \u003d 0.9.
Tugasan 3.
Di stesen berlepas, terdapat 8 pesanan untuk penghantaran barang: lima - dalam negeri, dan tiga - untuk eksport. Apakah kebarangkalian bahawa dua pesanan yang dipilih secara rawak adalah untuk kegunaan domestik? Penyelesaian. Peristiwa TAPI- pesanan pertama diambil secara rawak - dalam negara. Peristiwa AT- yang kedua juga bertujuan untuk kegunaan domestik. Kita perlu mencari kebarangkalian. Kemudian, dengan teorem tentang pendaraban kebarangkalian peristiwa bersandar, kita mempunyai

Tugasan 4.
Daripada kumpulan produk, peniaga memilih produk gred tertinggi secara rawak. Kebarangkalian bahawa item yang dipilih akan mendapat gred tertinggi ialah 0.8; gred pertama - 0.7; gred kedua - 0.5. Cari kebarangkalian bahawa daripada tiga produk yang dipilih secara rawak akan ada:
a) hanya dua gred premium;
b) setiap orang berbeza. Penyelesaian. Biarkan acara itu menjadi produk gred tertinggi; acara - produk gred pertama; acara - produk kelas kedua.
Mengikut keadaan masalah; ; Acara adalah bebas.
a) Peristiwa TAPI– hanya dua produk premium akan kelihatan seperti ini

b) Peristiwa AT- ketiga-tiga produk adalah berbeza - kami menyatakannya seperti ini: , kemudian .
Tugasan 5.
Kebarangkalian mengenai sasaran apabila melepaskan tiga laras adalah seperti berikut: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0.9. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu pukulan (event TAPI) dengan satu salvo daripada semua senjata api. Penyelesaian. Kebarangkalian mengenai sasaran oleh setiap senapang tidak bergantung pada hasil tembakan dari senapang lain, jadi peristiwa yang sedang dipertimbangkan (dipukul oleh senapang pertama), (dipukul oleh senapang kedua), dan (dipukul oleh senapang ketiga pistol) adalah bebas dalam agregat.
Kebarangkalian kejadian yang bertentangan dengan peristiwa (iaitu kebarangkalian terlepas) masing-masing sama dengan:

Kebarangkalian yang diingini
Tugasan 6.
Rumah percetakan mempunyai 4 mesin cetak. Bagi setiap mesin, kebarangkalian ia sedang berjalan ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu mesin sedang berjalan pada masa ini (event TAPI). Penyelesaian. Peristiwa "mesin sedang berjalan" dan "mesin tidak berjalan" (pada masa ini) adalah bertentangan, jadi jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan satu:
Oleh itu kebarangkalian bahawa mesin tidak sedang berjalan adalah sama dengan
Kebarangkalian yang diingini. Masalah 7. Terdapat 6 buku teks mengenai teori kebarangkalian di dalam bilik bacaan, tiga daripadanya terikat. Pustakawan itu mengambil dua buah buku teks secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua buku teks akan dijilid.

Penyelesaian. Pertimbangkan peristiwa berikut:
A1 - buku teks pertama yang diambil dalam penjilidan;
A2 ialah buku teks berjilid kedua yang diambil.
Satu peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa kedua-dua buku teks yang diambil adalah terikat. Peristiwa A1 dan A2 adalah bergantung, kerana kebarangkalian kejadian A2 bergantung kepada kejadian A1. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan teorem pendaraban kebarangkalian peristiwa bersandar: .
Kebarangkalian berlakunya peristiwa A1 p(A1) mengikut takrifan klasik kebarangkalian:
P(A1)=m/n=3/6=0.5.
Kebarangkalian berlakunya peristiwa A2 ditentukan oleh kebarangkalian bersyarat kejadian A2 di bawah keadaan kejadian A1 , i.e. (A2)==0.4.
Kemudian kebarangkalian yang diingini berlakunya peristiwa itu:
P(A)=0.5*0.4=0.2.