Minat kompaun dalam masalah peperiksaan.

Menyelesaikan masalah dalam matematik tentang aplikasi konsep asas minat.

Masalah dengan peratusan diajar untuk diselesaikan dari gred 5.

Menyelesaikan masalah jenis ini berkait rapat dengan tiga algoritma:

1. mencari peratusan bagi suatu nombor
2. mencari nombor dengan peratusannya,
3. mencari peratusan.

Dalam pelajaran dengan pelajar, mereka memahami bahawa seperseratus meter adalah sentimeter, seperseratus ruble adalah sen, seperseratus sesen adalah satu kilogram. Orang ramai telah lama menyedari bahawa seratus nilai mudah digunakan aktiviti amali. Oleh itu, nama khas dicipta untuk mereka - peratusan.

Jadi satu sen ialah satu peratus daripada satu rubel, dan satu sentimeter ialah satu peratus daripada satu meter.

Satu peratus ialah seratus daripada nombor. Tanda-tanda matematik Satu peratus ditulis seperti ini: 1%.

Takrif satu peratus boleh ditulis sebagai: 1% \u003d 0.01. a

5%=0.05, 23%=0.23, 130%=1.3 dsb.

Bagaimana untuk mencari 1% daripada nombor?

Oleh kerana 1% ialah seratus, anda perlu membahagikan nombor dengan 100. Membahagi dengan 100 boleh digantikan dengan mendarab dengan 0.01. Oleh itu, untuk mencari 1% daripada nombor tertentu, anda perlu mendarabkannya dengan 0.01. Dan jika anda perlu mencari 5% daripada nombor, maka darab nombor yang diberi sebanyak 0.05, dsb.

Contoh. Cari: 25% daripada 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Peraturan 1. Untuk mencari bilangan peratusan tertentu bagi sesuatu nombor, anda perlu menulis peratusan perpuluhan, dan kemudian darabkan nombor dengan perpuluhan itu.

Contoh. Pemusing bertukar 40 bahagian dalam satu jam. Menggunakan pemotong yang diperbuat daripada keluli yang lebih kuat, dia mula memusing 10 bahagian lagi sejam. Berapa peratus produktiviti buruh meningkat?

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mengetahui berapa peratus adalah 10 bahagian daripada 40. Untuk melakukan ini, kita mula-mula mencari bahagian manakah nombor 10 daripada nombor 40. Kita tahu bahawa kita perlu membahagi 10 dengan 40. Ia ternyata keluar 0.25. Sekarang mari kita tuliskannya sebagai peratusan - 25%.

Jawapan: Produktiviti Turner meningkat sebanyak 25%.

Peraturan 2. Untuk mencari berapa peratus satu nombor daripada yang lain, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua dan menulis pecahan yang terhasil sebagai peratusan.

Contoh. Dengan sasaran yang dirancang sebanyak 60 kenderaan sehari, kilang itu menghasilkan 66 kenderaan. Berapa peratuskah loji itu memenuhi rancangan itu?

66: 60 \u003d 1.1 - bahagian ini terdiri daripada kereta buatan daripada bilangan kereta mengikut rancangan. Mari kita tulis dalam peratusan = 110%.

Jawapan: 110%.

Contoh. Gangsa ialah aloi timah dan kuprum. Berapakah peratusan aloi itu adalah kuprum dalam sekeping gangsa, yang terdiri daripada 6 kg timah dan 34 kg kuprum?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - jisim keseluruhan aloi.
2. 34: 40 = 0.85 = 85 (%) - aloi adalah tembaga.

Jawapan: 85%.

Contoh. Anak gajah kehilangan 20% pada musim bunga, kemudian mendapat 30% pada musim panas, sekali lagi kehilangan 20% pada musim gugur, dan memperoleh 10% pada musim sejuk. Adakah berat badannya kekal pada tahun ini? Jika diubah, berapa peratus dan ke arah mana?

1. 100 - 20 = 80 (%) - selepas musim bunga.
2. 80 + 80 . 0.3 = 104 (%) - selepas musim panas.
3. 104-104. 0.2 = 83.2 (%) - selepas musim luruh.
4. 83.2 + 83.2. 0.1 = 91.52 (%) - selepas musim sejuk.

Jawapan: kehilangan berat badan sebanyak 8.48%.

Contoh. Kami meninggalkan untuk menyimpan 20 kg gooseberries, buah beri yang mengandungi 99% air. Kandungan air dalam buah beri telah menurun kepada 98%. Berapa banyak buah gooseberry akan menjadi hasilnya?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0.01 - perkadaran bahan kering dalam gooseberries terlebih dahulu.
2. dua puluh. 0.01 \u003d 0.2 (kg) - bahan kering.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0.02 - perkadaran bahan kering dalam gooseberries selepas penyimpanan.
4. 0.2: 0.02 \u003d 10 (kg) - gooseberries menjadi.

Jawapan: 10 kg.

Contoh. Apakah yang berlaku kepada harga sesuatu produk jika ia mula-mula dinaikkan sebanyak 25% dan kemudian diturunkan sebanyak 25%?

Biarkan harga produk menjadi x rubel, kemudian selepas kenaikan produk berharga 125% daripada harga sebelumnya, i.e. 1.25x, dan selepas penurunan sebanyak 25%, nilainya ialah 75% atau 0.75 daripada kenaikan harga, i.e.

0.75 .1.25x = 0.9375x,

maka harga barang itu turun sebanyak 6.25%.

x - 0.9375x = 0.0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Jawapan: Harga asal produk telah menurun sebanyak 6.25%.

Peraturan 3. Untuk mencari peratusan dua nombor A dan B, anda perlu mendarabkan nisbah nombor ini sebanyak 100%, iaitu mengira (A: B). 100%.

Contoh. Cari nombor jika 15% daripadanya ialah 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x ialah nombor yang diberi;
0.15 . x = 300;
x = 200.

Jawapan: 200.

Contoh. Kapas mentah menghasilkan 24% serat. Berapa banyak kapas mentah yang perlu diambil untuk mendapatkan 480 kg serat?

Mari kita tulis 24% sebagai pecahan perpuluhan 0.24 dan dapatkan masalah mencari nombor daripada bahagiannya yang diketahui (pecahan).
480: 0.24= 2000 kg = 2 t

Jawapan: 2 t.

Contoh. Berapa kg cendawan porcini mesti dituai untuk mendapatkan 1 kg cendawan kering jika 50% daripada jisimnya kekal semasa pemprosesan cendawan segar, dan 10% daripada jisim cendawan yang telah diproses kekal semasa pengeringan?

1 kg cendawan kering adalah 10% atau 0.01 bahagian yang diproses, i.e.
1 kg: 0.1=10 kg cendawan diproses, iaitu 50% atau 0.5 cendawan yang dituai, i.e.
10 kg: 0.05=20 kg.

Jawapan: 20 kg.

Contoh. Cendawan segar mengandungi 90% air mengikut berat, dan kering 12%. Berapakah bilangan cendawan kering yang akan diperoleh daripada 22 kg cendawan segar?

1. 22. 0.1 = 2.2 (kg) - cendawan mengikut berat dalam cendawan segar; (0.1 ialah 10% bahan kering);
2. 2.2: 0.88 \u003d 2.5 (kg) - cendawan kering yang diperoleh daripada segar (jumlah bahan kering tidak berubah, tetapi ia telah berubah peratusan dalam cendawan dan kini 2.2 kg ialah 88% atau 0.88 cendawan kering).

Jawapan: 2.5 kg.

Peraturan 4. Untuk mencari nombor yang diberi peratusannya, anda perlu menyatakan peratusan sebagai pecahan, dan kemudian bahagikan nilai peratusan dengan pecahan ini.

Dalam masalah untuk pengiraan bank, faedah mudah dan kompaun biasanya dijumpai. Apakah perbezaan antara pertumbuhan faedah mudah dan kompaun? Dengan pertumbuhan mudah, peratusan dikira setiap kali berdasarkan nilai awal, dan dengan pertumbuhan yang kompleks, ia dikira daripada nilai sebelumnya. Dengan pertumbuhan mudah, 100% ialah jumlah awal, dan dengan pertumbuhan kompleks, 100% adalah baharu setiap kali dan sama dengan nilai sebelumnya.

Contoh. Bank membayar pendapatan sebanyak 4% sebulan daripada jumlah deposit. 300 ribu rubel dimasukkan ke dalam akaun, pendapatan terakru setiap bulan. Kira nilai caruman selepas 3 bulan.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1.04 - bahagian kenaikan deposit berbanding bulan sebelumnya.
2. 300 . 1.04 \u003d 312 (ribu rubel) - jumlah sumbangan selepas 1 bulan.
3. 312 . 1.04 \u003d 324.48 (ribu rubel) - jumlah sumbangan selepas 2 bulan.
4. 324.48. 1.04 = 337.4592 (ribu r) = 337 459.2 (r) - nilai sumbangan selepas 3 bulan.

Atau anda boleh menggantikan perenggan 2-4 dengan satu, mengulang konsep ijazah dengan anak-anak: 300.1.043 \u003d 337.4592 (ribu rubel) \u003d 337,459.2 (r) - jumlah sumbangan selepas 3 bulan.

Jawapan: 337,459.2 rubel

Contoh. Vasya membaca di akhbar bahawa sejak 3 bulan lalu, harga makanan telah meningkat secara purata 10% sebulan. Berapa peratuskah harga meningkat dalam 3 bulan?

Contoh. Wang yang dilaburkan dalam saham syarikat terkenal membawa masuk 20% daripada pendapatan setiap tahun. Dalam berapa tahun pelaburan akan berganda?

Mari kita pertimbangkan pelan tugas yang serupa menggunakan contoh khusus.

Contoh. (Pilihan 1 No. 16. OGE-2016. Matematik. Tugasan ujian biasa_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Kedai sukan sedang menjalankan promosi. Mana-mana pelompat berharga 400 rubel. Apabila membeli dua pelompat - diskaun 75% pada pelompat kedua. Berapa banyak rubel yang perlu saya bayar untuk pembelian dua pelompat semasa tempoh promosi?

Mengikut keadaan masalah, ternyata pelompat pertama dibeli untuk 100% daripada kos asalnya, dan yang kedua untuk 100 - 75 = 25 (%), i.e. secara keseluruhan, pembeli mesti membayar 100 + 25 = 125 (%) daripada kos asal. Penyelesaian itu kemudiannya boleh dipertimbangkan dalam tiga cara.

1 cara.

Kami menerima 400 rubel sebagai 100%. Kemudian 1% mengandungi 400: 100 = 4 (rubel), dan 125%
empat. 125 = 500 (rubel)

2 cara.

Peratusan nombor didapati dengan mendarab nombor dengan pecahan yang sepadan dengan peratusan, atau dengan mendarab nombor dengan peratusan yang diberikan dan membahagikan dengan 100.
400 . 1.25 = 500 atau 400. 125/100 = 500.

3 cara.

Menggunakan harta perkadaran:
400 gosok. - 100 %
x gosok. - 125%, kita mendapat x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (rubel)

Jawapan: 500 rubel.

Contoh. (Pilihan 4 No. 16. OGE-2016. Matematik. Tugasan ujian biasa_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Purata berat kanak-kanak lelaki yang sebaya dengan Gosha ialah 57 kg. Berat Gosha adalah 150% daripada berat purata. Berapa kilogram berat Gosha?

Begitu juga dengan contoh yang dibincangkan di atas, anda boleh membuat perkadaran:

57 kg - 100%
x kg - 150%, kita mendapat x \u003d 57. 150 / 100 = 85.5 (kg)

Jawapan: 85.5 kg.

Contoh. (Pilihan 7 No. 16. OGE-2016. Matematik. Tugasan ujian biasa_ed. Yashchenko_2016 - 80an)

Selepas penurunan harga TV, harga baharunya ialah 0.52 daripada yang lama. Berapa peratuskah harga menurun akibat penurunan harga?

1 cara.

Mari kita cari bahagian pengurangan harga dahulu. Jika harga asal diambil sebagai 1, maka 1 - 0.52 = 0.48 adalah bahagian pengurangan harga. Kemudian kita dapat, 0.48. 100% = 48%. Itu. harga menurun sebanyak 48% akibat penurunan harga.

2 cara.

Jika kos awal diambil sebagai A, maka selepas penurunan harga, harga baharu TV ialah 0.52A, i.e. ia akan berkurangan sebanyak A - 0.52A = 0.48A.

Mari buat perkadaran:
A - 100%
0.48A - x%, kita dapat x = 0.48A. 100 / A = 48 (%).

Jawapan: harga menurun sebanyak 48% akibat penurunan harga.

Contoh. (Pilihan 9 No. 16. OGE-2016. Matematik. Tugasan ujian biasa_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Produk yang dijual dikurangkan sebanyak 15%, sementara ia mula berharga 680 rubel. Berapakah kos barang tersebut sebelum dijual?

Sebelum penurunan harga, produk itu bernilai 100%. Harga produk selepas jualan menurun sebanyak 15%, i.е. menjadi 100 - 15 = 85 (%), dalam rubel nilai ini sama dengan 680 rubel.

1 cara.

680: 85 = 8 (rubel) - dalam 1%
lapan. 100 \u003d 800 (rubel) - kos barang sebelum jualan.

2 cara.

Ini adalah masalah mencari nombor dengan peratusannya, ia diselesaikan dengan membahagikan nombor dengan peratusan yang sepadan dengannya dan dengan menukar pecahan yang terhasil kepada peratusan, darab dengan 100, atau dengan membahagikan dengan pecahan yang diperoleh dengan menukar daripada peratusan .
680:85. 100 \u003d 800 (rubel) atau 680: 0.85 \u003d 800 (rubel)

3 cara.

Dengan perkadaran:
680 gosok. - 85%
x gosok. - 100%, kita dapat x = 680. 100 / 85 = 800 (rubel)

Jawapan: 800 rubel kos barangan sebelum jualan.

Menyelesaikan masalah untuk campuran dan aloi, menggunakan konsep "peratusan", "kepekatan", "% penyelesaian".

Paling tugasan mudah jenis ini ditunjukkan di bawah.

Contoh. Berapa kg garam dalam 10 kg air garam jika peratusan garam ialah 15%.

sepuluh. 0.15 = 1.5 (kg) garam.

Jawapan: 1.5 kg.

Peratusan bahan dalam larutan (cth 15%), kadangkala dirujuk sebagai % larutan (cth 15% larutan garam).

Contoh. Aloi mengandungi 10 kg timah dan 15 kg zink. Berapakah peratusan timah dan zink dalam aloi itu?

Peratusan bahan dalam aloi ialah bahagian yang berat bahan yang diberi daripada berat keseluruhan aloi.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - aloi;
2. 10:25 pagi 100% = 40% - peratusan timah dalam aloi;
3. 15:25. 100% = 60% - peratusan zink dalam aloi.

Jawapan: 40%, 60%.

Dalam tugasan jenis ini, konsep "konsentrasi" adalah yang utama. Apa itu?

Pertimbangkan, sebagai contoh, larutan asid dalam air.

Biarkan bekas mengandungi 10 liter larutan, yang terdiri daripada 3 liter asid dan 7 liter air. Kemudian kandungan asid relatif (berkaitan dengan keseluruhan isipadu) dalam larutan adalah sama. Nombor ini menentukan kepekatan asid dalam larutan. Kadang-kadang mereka bercakap tentang peratusan asid dalam larutan. Dalam contoh yang diberikan, peratusan adalah seperti berikut: . Seperti yang anda dapat lihat, peralihan daripada tumpuan kepada peratusan dan sebaliknya adalah sangat mudah.

Jadi, biarkan campuran jisim M mengandungi beberapa bahan berjisim m.

• kepekatan bahan tertentu dalam campuran (aloi) ialah kuantiti;
• peratusan bahan tertentu dipanggil c × 100%;

Ia mengikuti daripada formula terakhir bahawa untuk kepekatan bahan yang diketahui dan jumlah jisim campuran (aloi) jisim bahan tertentu ditentukan oleh formula m=c×M.

Masalah pada campuran (aloi) boleh dibahagikan kepada dua jenis:

1. Sebagai contoh, dua campuran (aloi) dengan jisim m1 dan m2 dan kepekatan beberapa bahan di dalamnya masing-masing sama dengan c1 dan c2, diberikan. Campuran (aloi) disalirkan (bercantum). Ia diperlukan untuk menentukan jisim bahan ini dalam campuran baru (aloi) dan kepekatan barunya. Adalah jelas bahawa dalam campuran baru (aloi) jisim bahan yang diberikan adalah sama dengan c1m1+c2m2, dan kepekatan.
2. Isipadu tertentu campuran (aloi) diberikan, dan dari volum ini mereka mula membuang (mengeluarkan) sejumlah campuran (aloi), dan kemudian menambah (menambah) jumlah campuran yang sama atau lain (aloi) dengan kepekatan yang sama bahan ini atau dengan kepekatan yang berbeza. Operasi ini dijalankan beberapa kali.

Apabila menyelesaikan masalah sedemikian, adalah perlu untuk mewujudkan kawalan ke atas jumlah bahan tertentu dan kepekatannya pada setiap surut, serta pada setiap penambahan campuran. Hasil daripada kawalan sedemikian, kita memperoleh persamaan penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tugas tertentu.

Jika kepekatan bahan dalam sebatian mengikut jisim ialah P%, maka ini bermakna jisim bahan ini ialah P% daripada jisim keseluruhan sebatian.

Contoh. Kepekatan perak dalam aloi 300 g ialah 87%. Ini bermakna perak tulen dalam aloi ialah 261 g.

300 . 0.87 = 261 (g).

Dalam contoh ini, kepekatan bahan dinyatakan sebagai peratusan.

Nisbah isipadu komponen tulen dalam larutan kepada jumlah isipadu campuran dipanggil kepekatan isipadu komponen ini.

Jumlah kepekatan semua komponen yang membentuk campuran ialah 1.

Jika peratusan bahan diketahui, maka kepekatannya didapati dengan formula:
K \u003d P / 100%,
di mana K ialah kepekatan bahan;
P ialah peratusan bahan (dalam peratus).

Contoh. (Pilihan 8 No. 22. OGE-2016. Matematik. Tugasan ujian biasa_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Buah-buahan segar mengandungi 75% air, manakala buah-buahan kering mengandungi 25%. Berapa banyak buah segar yang diperlukan untuk menyediakan 45 kg buah kering?

Jika buah-buahan segar mengandungi 75% air, maka bahan kering akan menjadi 100 - 75 = 25 (%), dan kering - 25%, maka bahan kering di dalamnya akan menjadi 100 - 25 = 75 (%).

Apabila menyelesaikan masalah, anda boleh menggunakan jadual:

Buah segar x 25% = 0.25 0.25. X

Buah-buahan kering 45 75% = 0.75 0.75. 45 = 33.75

Kerana jisim bahan kering untuk buah-buahan segar dan kering tidak berubah, kita mendapat persamaan:

0.25 . x = 33.75;
x = 33.75: 0.25;
x = 135 (kg) - buah segar diperlukan.

Jawapan: 135 kg.

Contoh. (Pilihan 8 No. 11. Peperiksaan Negeri Bersepadu-2016. Matematik. Biasa. Ujian. Tugasan. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Mencampurkan 70% dan 60% larutan asid dan menambah 2 kg air bersih, menerima larutan asid 50%. Jika, daripada 2 kg air, 2 kg larutan 90% asid yang sama ditambah, maka larutan 70% asid akan diperolehi. Berapa kilogram larutan 70% telah digunakan untuk membuat campuran itu?

Jumlah berat, kg | Kepekatan bahan kering | Jisim bahan kering
I x 70% \u003d 0.7 0.7. X
II dalam 60% = 0.6 0.6. di
air 2 - -
I + II + air x + y + 2 50% \u003d 0.5 0.5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0.9 0.9. 2 = 1.8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0.7 0.7. (x + y + 2)

Menggunakan lajur terakhir dari jadual, kami akan menyusun 2 persamaan:

0.7. x + 0.6. y = 0.5. (x + y + 2) dan 0.7. x + 0.6. y + 1.8 = 0.7. (x + y + 2).

Menggabungkannya ke dalam sistem, dan menyelesaikannya, kita mendapat bahawa x = 3 kg.

Jawapan: 3 kilogram larutan 70% digunakan untuk mendapatkan campuran.

Contoh. (Pilihan 2 No. 11. Peperiksaan Negeri Bersepadu-2016. Matematik. Biasa. Ujian. Tugasan. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Tiga kilogram ceri harganya sama dengan lima kilogram ceri, dan tiga kilogram ceri harganya sama dengan dua kilogram strawberi. Berapa peratuskah sekilogram strawberi lebih murah daripada sekilogram ceri?

Daripada ayat pertama masalah, kami memperoleh persamaan berikut:

3j = 5v,
3v = 2k.
Dari mana kita boleh menyatakan: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Oleh itu, anda boleh membuat perkadaran:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, kita mendapat x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% ialah kos sekilogram strawberi daripada kos sekilogram ceri.

Jadi, dengan 100 - 90 = 10 (%) - satu kilogram strawberi adalah lebih murah daripada satu kilogram ceri.

Jawapan: sekilogram strawberi adalah 10 peratus lebih murah daripada sekilogram ceri.

Menyelesaikan masalah untuk kepentingan "kompaun", menggunakan konsep pekali peningkatan (penurunan).

Untuk membesarkan nombor positif Dan dengan p peratus, anda harus mendarabkan nombor A dengan faktor peningkatan K \u003d (1 + 0.01r).

Untuk mengurangkan nombor positif A dengan p peratus, darabkan nombor A dengan faktor pengurangan K = (1 - 0.01p).

Contoh. (Pilihan 29 No. 22. OGE-2015. Matematik. Jenis. pilihan peperiksaan: 36 pilihan / ed. Yashchenko, 2015 - 224c)

Harga komoditi dikurangkan dua kali dengan peratusan yang sama. Berapa peratuskah harga barang itu menurun setiap kali jika kos permulaannya ialah 5,000 rubel dan kos akhir ialah 4,050 rubel?

1 cara.

Kerana harga komoditi menurun dengan bilangan % yang sama, mari kita nyatakan bilangan % sebagai x. Biarkan harga produk diturunkan sebanyak x% untuk kali pertama dan kedua, kemudian selepas penurunan pertama harga produk telah menjadi (100 - x)%.

Mari buat perkadaran
5000 gosok. - 100%
di gosok. - (100 - x)%, kami mendapat y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rubel - kos barang selepas pengurangan pertama.

Jom mengarang bahagian baru sudah pada harga baru:
lima puluh. (100 - x) gosok. - 100%
z gosok. - (100 - x)%, kita mendapat z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0.5. (100 - x) 2 rubel - kos barang selepas pengurangan kedua.

Kami mendapat persamaan 0.5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Setelah menyelesaikannya, kami mendapat x \u003d 10%.

2 cara.

Kerana harga komoditi menurun dengan bilangan% yang sama, mari kita nyatakan bilangan% sebagai x, x% = 0.01 x.

Dengan menggunakan konsep faktor pengurangan, kita segera memperoleh persamaan:
5000 . (1 - 0.01x) 2 = 4050.

Jawapan: harga barang turun 10% setiap kali.

Contoh. (Pilihan 30 No. 22. OGE-2015. Matematik. Pilihan peperiksaan biasa: 36 pilihan / disunting oleh Yashchenko, 2015 - 224c)

Harga komoditi dinaikkan dua kali dengan peratusan yang sama. Berapa peratuskah harga barang itu meningkat setiap kali jika kos permulaannya ialah 3,000 rubel dan kos akhir ialah 3,630 rubel?

Kerana harga barang meningkat dengan bilangan % yang sama, mari kita nyatakan bilangan % dengan x, x % = 0.01 x.

Dengan menggunakan konsep faktor pembesaran, kita segera mendapatkan persamaan:
3000 . (1 + 0.01x) 2 = 3630.

Menyelesaikannya, kita mendapat bahawa x = 10%.

Jawapan: 10% kenaikan harga barang setiap kali.

Contoh. (Pilihan 4 No. 11. Peperiksaan Negeri Bersepadu-2016. Matematik. Biasa. Ujian. Ass. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Pada hari Khamis, harga saham syarikat itu meningkat dalam jumlah peratus tertentu, dan pada hari Jumaat harganya turun dengan jumlah peratus yang sama. Akibatnya, mereka mula berharga 9% lebih murah daripada pada pembukaan dagangan pada hari Khamis. Berapa peratuskah harga saham syarikat itu meningkat pada hari Khamis?

Biarkan saham syarikat naik dan turun dalam harga sebanyak x%, x% = 0.01 x, dan nilai awal saham itu ialah A. Dengan menggunakan semua syarat masalah, kita memperoleh persamaan:

(1 + 0.01 x) (1 - 0.01 x) A \u003d (1 - 0.09) A,
1 - (0.01 x) 2 \u003d 0.91,
(0.01 x)2 = (0.3)2,
0.01 x \u003d 0.3,
x = 30%.

Jawapan: Saham syarikat naik 30 peratus pada hari Khamis.

Menyelesaikan masalah "perbankan" dalam versi baru USE-2016 dalam matematik.

Contoh. (Pilihan 2 No. 17. Peperiksaan Negeri Bersepadu-2016. Matematik. 50 jenis. rev. ed. Yashchenko 2016)

Pada 15 Januari, ia dirancang untuk mengambil pinjaman daripada bank selama 15 bulan. Syarat pemulangannya adalah seperti berikut:

Adalah diketahui bahawa pembayaran kelapan berjumlah 108 ribu rubel. Berapakah jumlah yang perlu dibayar kepada bank sepanjang tempoh pinjaman?

Dari 2 hingga 14, A/15 +0.01A dibayar.

Selepas itu, jumlah hutang ialah 1.01A - A / 15 - 0.01A \u003d 14A / 15.

Selepas 2 bulan kita dapat: 1.01. 14A/15.

Bayaran kedua A/15 + 0.01. 14A/15.

Kemudian hutang selepas bayaran kedua ialah 13A/15.

Begitu juga, kami mendapat bahawa pembayaran kelapan akan kelihatan seperti:

A/15 + 0.01. 8A/15 = A/15. (1 + 0.08) = 1.08A / 15.

Dan mengikut syarat, ia sama dengan 108 ribu rubel. Jadi, kita boleh menulis dan menyelesaikan persamaan:

1.08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (ribu rubel) - jumlah awal hutang.

2) Untuk mencari jumlah yang perlu dikembalikan kepada bank sepanjang tempoh pinjaman, kita mesti mencari jumlah semua bayaran pinjaman.

Jumlah semua pembayaran pinjaman akan kelihatan seperti:

(A / 15 + 0.01A) + (A / 15 + 0.01. 14A / 15) + (A / 15 + 0.01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0.01. A /15) \u003d A + 0.01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0.01. 120A)/15 = 1.08 A.

Jadi 1.08. 1500 \u003d 1620 (ribu rubel) \u003d 1620000 rubel mesti dikembalikan kepada bank sepanjang tempoh pinjaman.

Jawapan: 1620000 rubel.

Contoh. (Pilihan 6 No. 17. Peperiksaan Negeri Bersepadu-2016. Matematik. 50 jenis. rev. ed. Yashchenko 2016)

Pada 15 Januari, ia dirancang untuk mengambil pinjaman daripada bank selama 24 bulan. Syarat pemulangannya adalah seperti berikut:

• Pada 1hb setiap bulan, hutang meningkat sebanyak 1% berbanding akhir bulan sebelumnya;
• dari 2hb hingga 14hb setiap bulan, sebahagian daripada hutang mesti dibayar;
• Pada hari ke-15 setiap bulan, hutang mestilah jumlah yang sama kurang daripada hutang pada hari ke-15 bulan sebelumnya.

Adalah diketahui bahawa untuk 12 bulan pertama perlu membayar 177.75 ribu rubel kepada bank. Berapa banyak yang anda merancang untuk meminjam?

1) Biarkan A ialah jumlah pinjaman, 1% = 0.01.

Kemudian 1.01A hutang selepas bulan pertama.

Dari 2 hingga 14, A/24 +0.01A dibayar.

Selepas itu, jumlah hutang ialah 1.01A - A / 24 - 0.01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

Di bawah skim ini, hutang menjadi jumlah yang sama kurang daripada hutang pada hari ke-15 bulan sebelumnya.

Selepas 2 bulan kita dapat: 1.01. 23A/24.

Bayaran kedua A/24 + 0.01. 23A/24.

Kemudian hutang selepas pembayaran kedua ialah 1.01. 23A/24 - A/24 - 0.01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1.01 - 0.01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Oleh itu, kami mendapat bahawa untuk 12 bulan pertama anda perlu membayar bank jumlah berikut:
A/24 +0.01A. 24/24 + A/24 + 0.01. 23A/24 + A/24 + 0.01. 22A/24 + ... + A/24 + 0.01. 13A/24 = 12A/24 + 0.01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Dan mengikut syarat, ia sama dengan 177.375 ribu rubel. Jadi, kita boleh menulis dan menyelesaikan persamaan:
711A / 1200 \u003d 177.75,
A = 300 (ribu rubel) = 300,000 rubel - ia dirancang untuk mengambil pinjaman.

Jawapan: 300,000 rubel.

Mari kita bercakap tentang tugasan No 19 peperiksaan

Selama dua tahun ini, satu tugas telah ditambah ke bahagian kedua c kandungan ekonomi, iaitu, tugas untuk faedah bank kompaun.

Mereka mengatakan bahawa kita sedang berurusan dengan "kepentingan kompaun" dalam kes apabila nilai tertentu tertakluk kepada perubahan beransur-ansur. Selain itu, setiap kali perubahannya ialah bilangan peratus tertentu daripada nilai yang nilai ini ada pada peringkat sebelumnya.

Pada akhir setiap peringkat, nilai berubah kepada yang sama jumlah tetap peratus -R%. Kemudian pada penghujungnyan -peringkat ke nilai beberapa kuantitiTAPI , nilai awalnya adalah sama denganTAPI 0 , ditentukan oleh formula:

Dengan peningkatan dan

Apabila menurun

Mengetahui bahawa kadar faedah tahunan deposit ialah 12%, cari

kadar faedah bulanan yang setara.

Penyelesaian:

Jika kita meletakkan rubel di bank A, maka dalam setahun kita mendapat:A 1 = A 0 (1 +0,12)

Jika faedah diakru setiap bulan pada kadar faedahX , kemudian mengikut formula faedah kompaun dalam setahun (12 bulan)TAPI n = A 0 (1 + 0.01x) 12

Dengan menyamakan nilai ini, kami memperoleh persamaan, penyelesaiannya akan membolehkan kami menentukan kadar faedah bulananA(1+0.12) = A(1+0.01x) 12

1.12 = (1 + 0.01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0.9488792934583046%

Jawapan: Kadar faedah bulanan ialah0.9488792934583046%.

Daripada penyelesaian masalah ini, dapat dilihat bahawa kadar faedah bulanan tidak sama dengan kadar tahunan dibahagikan dengan 12.

Pada 31 Disember 2013, Sergey mengambil pinjaman sebanyak 9,930,000 rubel dari sebuah bank pada kadar 10% setahun. Skim bayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: 31 Disember setiap satu tahun hadapan bank mengenakan faedah ke atas baki jumlah hutang (iaitu, meningkatkan hutang sebanyak 10%), kemudian Sergey memindahkan sejumlah pembayaran tahunan kepada bank. Berapakah jumlah bayaran tahunan yang sepatutnya untuk Sergey membayar hutang dalam tiga pembayaran tahunan yang sama?

Penyelesaian:

Biarkan jumlah pinjamana , bayaran tahunan adalah sama denganX rubel, dan jumlah tahunan k % . Kemudian pada 31 Disember setiap tahun, baki jumlah hutang didarab dengan pekali m =1+ 0,01 k . Selepas pembayaran pertama, jumlah terhutang akan menjadi: a 1 = pagi - X. Selepas pembayaran kedua, jumlah terhutang

akan jadi:

a 2 = a 1 m - x \u003d (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Mengikut syarat itu, Sergey mesti membayar balik pinjaman dalam tiga pembayaran sepenuhnya, oleh itu

di mana

Padaa = 9930000 dank =10 , kita mendapatkant =1,1 dan

Jawab : 3993 000 rubel.

Sekarang kita telah menangani penyelesaian yang dicadangkan dalam semua tutorial ini, mari kita lihat penyelesaian lain.

biarlahF = 9,930,000 - jumlah pinjaman,x - jumlah bayaran tahunan yang dikehendaki.

Tahun pertama:

Kewajipan:1.1F ;

Pembayaran:X ;

Baki:1.1F-x .

Tahun kedua:

Kewajipan:1.1(1.1F-x) ;

Pembayaran:X ;

Baki:1.1(1.1F-x)-x .

Tahun ketiga:

Kewajipan:1.1(1.1F-x)-x );

Pembayaran:X ;

Baki: 0, kerana hanya terdapat tiga pembayaran mengikut syarat.

Satu-satunya persamaan

1.1(1.1(1.1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F \u003d 3.31x, x \u003d 3993000

Jawapan: 3,993,000 rubel.

Walau bagaimanapun-1 ! Dengan mengandaikan bahawa kadar faedah bukanlah 10% yang cantik, tetapi 13.66613%. Peluang untuk mati di suatu tempat dalam perjalanan pendaraban atau menjadi gila dengan jadual pengganda terperinci untuk jumlah hutang bagi setiap tahun meningkat secara mendadak. Mari kita tambahkan ini bukan 3 tahun yang kecil, tetapi 25 tahun. Penyelesaian sedemikian tidak akan berfungsi.

Pada 31 Disember 2014 Andrey meminjam jumlah tertentu daripada bank pada kadar 10% setahun. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas jumlah baki hutang (iaitu, meningkatkan hutang sebanyak 10%), dan kemudian Andrey memindahkan 3,460,600 rubel ke bank. Berapakah jumlah yang diambil oleh Andrey daripada bank jika dia membayar hutang dalam tiga pembayaran yang sama (iaitu, selama 3 tahun)?

Penyelesaian.

biarlaha - nilai yang dikehendaki,k% - kadar faedah ke atas pinjaman,X - bayaran tahunan. Kemudian pada 31 Disember setiap tahun, baki jumlah hutang akan didarabkan dengan pekalim = 1 + 0.01k . Selepas pembayaran pertama, jumlah hutang adalah:a 1 = pagi - x . Selepas pembayaran kedua, jumlah hutang adalah:

a 2 = a 1 m - x \u003d (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Selepas pembayaran ketiga, jumlah baki hutang:

Mengikut syarat itu, Andrey membayar hutang selama tiga tahun,

itu diaa 3 = 0 , di mana.

Padax = 3 460 600, k% = 10% , kita mendapatkan:m = 1.1 dan=8 606 000 (rubel).

Jawapan: 8,606,000 rubel.

Pada 31 Disember 2013, Igor mengambil pinjaman sebanyak 100,000 rubel dari bank. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas baki jumlah hutang (iaitu, meningkatkan hutang dengan jumlah faedah tertentu), kemudian Igor memindahkan tranche seterusnya. Igor membayar balik pinjaman itu dalam dua peringkat, memindahkan 51,000 rubel untuk kali pertama dan 66,600 rubel untuk yang kedua. Berapakah peratusan bank mengeluarkan pinjaman kepada Igor?

Penyelesaian

biarlahk % - kadar yang dikehendaki ke atas pinjaman;m = (1 + 0.01 k ) ialah pengganda hutang yang tinggal;a = 100,000 - jumlah yang diambil dari bank;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - dimensi parit pertama dan terakhir.

Selepas pembayaran pertama, jumlah hutang adalah:a 1 = mak - x 1 .

Selepas pembayaran kedua, jumlah hutang adalah:a 2 = mak 1 – x 2 = satu m 2 – m x 1 – x 2 . Dengan syarat,a 2 = 0 . Persamaan mesti terlebih dahulu diselesaikanm , sudah tentu, mengambil sahaja akar positif:

100 000m 2 – 51 000m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.

Di sinilah kesukaran bermula.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Kemudian.

Jawapan: 11%.

Pada 31 Disember 2013, Masha meminjam sejumlah wang daripada bank pada peratusan tertentu setahun. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas jumlah baki hutang (iaitu, meningkatkan hutang dengan jumlah faedah tertentu), kemudian Masha memindahkan tranche seterusnya. Jika dia membayar 2,788,425 rubel setiap tahun, dia akan membayar hutangnya dalam masa 4 tahun. Jika untuk 4,991,625, maka untuk 2 tahun. Berapa peratuskah Masha meminjam wang daripada bank?

Penyelesaian

Selepas dua tahun pembayaran balik, jumlah pinjaman yang diambil dikira dengan formula:

Selepas empat tahun pembayaran balik, jumlah pinjaman yang diambil dikira dengan formula:

di mana

kemudian.

Jawapan: 12.5%.

Pada 31 Disember 2013, Vanya meminjam 9,009,000 rubel daripada bank pada kadar 20% setahun. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas baki jumlah hutang (iaitu, ia meningkatkan hutang sebanyak 20%), kemudian Vanya memindahkan pembayaran ke bank. Vanya melunaskan keseluruhan hutang dalam 3 ansuran yang sama. Berapa banyak rubel kurang yang akan dia berikan kepada bank jika dia boleh membayar hutang dalam 2 pembayaran yang sama?

Penyelesaian

Mari gunakan hasil daripada masalah 2.

Perbezaan yang diinginiX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubel.

Jawapan: 1,036,00 rubel.

Pada 1 Jun 2013, Vsevolod Yaroslavovich mengambil 900,000 rubel secara kredit dari sebuah bank. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada hari pertama setiap bulan berikutnya, bank mengenakan 1 peratus ke atas baki jumlah hutang (iaitu, meningkatkan hutang sebanyak 1%), kemudian Vsevolod Yaroslavovich memindahkan pembayaran ke bank. Apa jumlah minimum bulan Vsevolod Yaroslavovich boleh mengambil pinjaman supaya bayaran bulanan tidak lebih daripada 300,000 rubel?

Kena faham kebenaran yang mudah Lebih besar bayaran pinjaman, lebih kecil hutang. Semakin sedikit hutang anda, semakin cepat anda membayarnya. Bayaran bulanan maksimum yang boleh dibayar oleh pemberi pinjaman ialah 300,000 rubel mengikut syarat. Jika Vsevolod Yaroslavovich membayar bayaran maksimum, maka dia akan segera membayar hutang itu. Dalam erti kata lain, dia akan dapat membuat pinjaman untuk tempoh masa yang paling singkat, yang diperlukan oleh syarat tersebut.

Jom cuba selesaikan masalah di dahi.

Sebulan telah berlalu. 1 Julai 2013: hutang (1 + 0.01) 900,000 - 300,000 = 609,000.

Sebulan telah berlalu. 1 Ogos 2013: hutang (1+ 0.01) 609,000 - 300,000 = 315,090.

Sebulan telah berlalu. 1 September 2013: hutang (1 +0.01) 315,090 - 300,000 = 18,240.9. Sebulan telah berlalu. 1 Oktober 2013: hutang (1 0.01)1,240.9 = 18,423.309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Jawapan: 4 bulan.

Mari selesaikan masalah dengan kaedah standard.

Saya akan menggunakan keputusan masalah 3, dengan mengambil kira alasan berikut: ketidaksamaan bahagian baki hutang mempunyai bentuka x ≤ 0 .

biarlahx - nilai yang dikehendaki,a = 900,000 - Jumlah yang dipinjam daripada bankk% = 1% - kadar pinjamany=300,000 - bayaran bulanan,m = (1 + 0.01k) – pengganda bulanan baki hutang. Kemudian, mengikut formula yang telah diketahui, kita memperoleh ketidaksamaan: ≤0 ;

Kami mendapat ketidaksamaan yang tidak menyenangkan, tetapi benar.

Kami mengambil bahagian integer nombor kerana bilangan pembayaran tidak boleh menjadi nombor bukan integer. Kami mengambil integer yang lebih besar terdekat, kami tidak boleh mengambil yang lebih kecil (kerana akan ada hutang) dan jelas bahawa logaritma yang terhasil bukanlah integer. Ternyata 4 pembayaran, 4 bulan.

Petani menerima pinjaman daripada bank pada peratusan tertentu setahun. Setahun kemudian, petani membayar balik pinjaman kepada bank daripada keseluruhan jumlah yang dia berhutang kepada bank pada masa itu, dan setahun kemudian, sebagai pembayaran balik penuh pinjaman, dia mendepositkan ke bank jumlah yang 21% lebih tinggi. daripada jumlah pinjaman yang diterima. Berapakah peratusan setahun bagi pinjaman di bank ini?

Penyelesaian:

Jumlah pinjaman tidak menjejaskan keadaan. Ambil 4 rubel dari bank (boleh dibahagikan dengan 4).

Dalam setahun, hutang kepada bank akan meningkat tepatX kali dan menjadi sama4x rubel.

Bahagikan kepada 4 bahagian, kembalikan3x Rubles dan kami akan kekalX rubel.

Adalah diketahui bahawa pada akhir tahun depan perlu membayar4 1.21 rubel.

Adalah diketahui bahawa jumlah hutang sepanjang tahun telah berubah dari jumlahX dalam bilanganX 2 .

Oleh kerana hutang itu telah dibayar sepenuhnya oleh petani dua tahun kemudian,

X 2 \u003d 4 1.21 x \u003d 2 1.1 x \u003d 2.2

PekaliX bermakna 100% bertukar menjadi 220% dalam setahun.

Dan ini bermakna peratusan setahun bank ialah: 220% - 100%

Jawapan: 120%

Bank meletakkan jumlah 3900 ribu rubel pada 50% setahun. Pada akhir setiap empat tahun pertama storan, selepas pengiraan faedah, pendeposit juga mendepositkan jumlah tetap yang sama ke dalam akaun. Menjelang akhir tahun kelima selepas akruan faedah, ternyata jumlah deposit telah meningkat sebanyak 725% berbanding dengan yang asal. Berapakah jumlah yang ditambahkan setiap tahun oleh penyumbang kepada deposit?

Penyelesaian:

Biarkan jumlah deposit tetapX rubel.

Kemudian, selepas menjalankan semua operasi, selepas tahun pertama, jumlah deposit menjadi

+x

Selepas 2 tahun

Selepas3 tahun ini

Selepas4 tahun ini

Selepas5 tahun ini

Memandangkan pada akhir tahun kelima selepas akruan faedah ternyata saiz deposit meningkat sebanyak 725% berbanding dengan yang awal, kami akan membuat persamaan:

3900 8.25=3900 1.5 5 + x (1.5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900 5.5=3900 1.5 4 +x(1.5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Jawapan: 210 rubel.

Bank menerima jumlah tertentu pada peratusan tertentu. Setahun kemudian, satu perempat daripada jumlah terkumpul telah dikeluarkan daripada akaun. Tetapi bank meningkatkan peratusan setahun sebanyak 40%. Menjelang akhir tahun berikutnya, jumlah terkumpul melebihi deposit awal sebanyak 1.44 kali. Apakah peratusan baru setahun?

Penyelesaian:

Keadaan tidak akan berubah daripada jumlah deposit. Mari letakkan 4 rubel di bank (dibahagikan dengan 4).

Dalam setahun, jumlah dalam akaun akan meningkat dengan tepathlm kali dan menjadi sama4p rubel.

Bahagikan kepada 4 bahagian, bawa pulanghlm rubel, biarkan di bank3p rubel.

Adalah diketahui bahawa pada akhir tahun depan bank itu mempunyai 4 1.44 = 5.76 rubel.

Jadi nombor3p bertukar menjadi nombor 5.76. Berapa kali ia meningkat?

Oleh itu, faktor pendaraban kedua ditemuix balang.

Menariknya, hasil darab kedua-dua pekali ialah 1.92:

Ia berikutan daripada syarat bahawa pekali kedua adalah 0.4 lebih besar daripada yang pertama.

hlm · x = hlm ·( hlm +0,4)=1,92

Kini pekali boleh dipilih: 1.2 dan 1.6.

Tetapi kami meneruskan, bagaimanapun, untuk menyelesaikan persamaan:

10p (10p+4)=192 biarkan 10p=k

k (k+4)=192

k =12, i.e. p=1.2; a x=1.6

Jawapan: 60%

Hari ini kita akan menyimpang sedikit daripada logaritma piawai, kamiran, trigonometri, dsb., dan bersama-sama kita akan mempertimbangkan tugas yang lebih penting daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, yang berkaitan secara langsung dengan ekonomi berasaskan sumber Rusia yang mundur. Dan lebih tepatnya, kami akan mempertimbangkan masalah deposit, faedah dan pinjaman. Kerana ia adalah tugas dengan peratusan yang baru-baru ini ditambah ke bahagian kedua peperiksaan negeri bersatu dalam matematik. Saya akan membuat tempahan segera bahawa untuk menyelesaikan masalah ini, mengikut spesifikasi Peperiksaan Negeri Bersepadu, tiga mata utama ditawarkan sekaligus, iaitu pemeriksa menganggap tugas ini sebagai salah satu yang paling sukar.

Pada masa yang sama, untuk menyelesaikan mana-mana tugas ini dari Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, anda perlu mengetahui hanya dua formula, setiap satunya boleh diakses oleh mana-mana graduan sekolah, namun, atas sebab yang saya tidak faham, formula ini adalah langsung tidak diendahkan oleh kedua-dua guru sekolah dan penyusun pelbagai tugasan untuk persediaan menghadapi peperiksaan. Oleh itu, hari ini saya bukan sahaja akan memberitahu anda apakah formula ini dan cara menggunakannya, tetapi saya akan memperoleh setiap formula ini secara literal di hadapan mata anda, mengambil sebagai tugas asas dari bank USE terbuka dalam matematik.

Oleh itu, pelajaran itu ternyata agak besar, cukup bermakna, jadi buat diri anda selesa, dan kita mulakan.

Memasukkan wang ke dalam bank

Pertama sekali, saya ingin membuat penyimpangan lirik kecil yang berkaitan dengan kewangan, bank, pinjaman dan deposit, atas dasar itu kita akan mendapat formula yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah ini. Jadi, mari kita jauhkan sedikit daripada peperiksaan, daripada masalah sekolah yang akan datang, dan melihat masa depan.

Katakan anda telah dewasa dan akan membeli sebuah apartmen. Katakan anda akan membeli bukan apartmen buruk di pinggir, tetapi apartmen berkualiti baik untuk 20 juta rubel. Pada masa yang sama, mari kita anggap juga bahawa anda mendapat pekerjaan yang lebih kurang biasa dan memperoleh 300 ribu rubel sebulan. Dalam kes ini, untuk tahun ini anda boleh menjimatkan kira-kira tiga juta rubel. Sudah tentu, memperoleh 300 ribu rubel sebulan, untuk tahun ini anda akan mendapat jumlah yang sedikit lebih besar - 3,600,000 - tetapi biarkan 600,000 ini dibelanjakan untuk makanan, pakaian dan kegembiraan rumah tangga harian yang lain. Jumlah data input adalah seperti berikut: adalah perlu untuk memperoleh dua puluh juta rubel, sementara kami mempunyai hanya tiga juta rubel setahun. Satu persoalan biasa timbul: berapa tahun kita perlu mengetepikan tiga juta untuk mendapatkan dua puluh juta yang sama ini. Ia dianggap asas:

\[\frac(20)(3)=6,....\hingga 7\]

Walau bagaimanapun, seperti yang telah kami nyatakan, anda memperoleh 300 ribu rubel sebulan, yang bermaksud bahawa anda adalah orang yang bijak dan tidak akan menjimatkan wang "di bawah bantal", tetapi bawa ke bank. Oleh itu, setiap tahun pada deposit yang anda bawa ke bank, faedah akan dikenakan. Katakan anda memilih bank yang boleh dipercayai, tetapi pada masa yang sama lebih kurang menguntungkan, dan oleh itu deposit anda akan berkembang sebanyak 15% setahun setiap tahun. Dalam erti kata lain, kami boleh mengatakan bahawa jumlah pada akaun anda akan meningkat sebanyak 1.15 kali setiap tahun. Biar saya ingatkan formula:

Mari kita hitung berapa banyak wang akan berada dalam akaun anda selepas setiap tahun:

Pada tahun pertama, apabila anda baru mula menyimpan wang, faedah tidak akan terkumpul, iaitu, pada akhir tahun anda akan menjimatkan tiga juta rubel:

Pada penghujung tahun kedua, faedah akan terakru pada tiga juta rubel yang tinggal dari tahun pertama, i.e. kita perlu darab dengan 1.15. Walau bagaimanapun, pada tahun kedua, anda juga melaporkan tiga juta rubel lagi. Sudah tentu, tiga juta ini belum lagi terakru faedah, kerana pada akhir tahun kedua, tiga juta ini hanya muncul dalam akaun:

Jadi, tahun ketiga. Pada akhir tahun ketiga, faedah akan terakru pada jumlah ini, iaitu, adalah perlu untuk mendarabkan keseluruhan jumlah ini dengan 1.15. Dan sekali lagi, sepanjang tahun anda bekerja keras dan mengetepikan tiga juta rubel:

\[\kiri(3m\cdot 1.15+3m \kanan)\cdot 1.15+3m\]

Mari kita kira tahun keempat lagi. Sekali lagi, keseluruhan jumlah yang kami ada pada akhir tahun ketiga didarabkan dengan 1.15, i.e. Faedah akan dikenakan ke atas jumlah keseluruhan. Ini termasuk faedah atas faedah. Dan tiga juta lagi ditambah kepada jumlah ini, kerana pada tahun keempat anda juga bekerja dan juga menjimatkan wang:

\[\kiri(\kiri(3m\cdot 1.15+3m \kanan)\cdot 1.15+3m \kanan)\cdot 1.15+3m\]

Dan sekarang mari kita buka kurungan dan lihat jumlah yang akan kita miliki menjelang akhir tahun keempat menyimpan wang:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \kanan)= \\& =3m\kiri(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \kanan) \\\end(align)\]

Seperti yang anda lihat, dalam kurungan kita mempunyai unsur janjang geometri, iaitu kita mempunyai jumlah unsur janjang geometri.

Biar saya ingatkan anda bahawa jika janjang geometri diberikan oleh unsur $((b)_(1))$, serta penyebut $q$, maka jumlah unsur akan dikira mengikut formula berikut:

Formula ini mesti diketahui dan digunakan dengan jelas.

Sila ambil perhatian: formula n elemen ke bunyi seperti ini:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Kerana ijazah ini, ramai pelajar keliru. Secara keseluruhan, kami hanya mempunyai n untuk jumlah tersebut n- unsur, dan n unsur -th mempunyai darjah $n-1$. Dengan kata lain, jika kita kini cuba mengira jumlah janjang geometri, maka kita perlu mempertimbangkan perkara berikut:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Mari kita hitung pengangka secara berasingan:

\[((1,15)^(4))=((\kiri(((1,15)^(2)) \kanan))^(2))=((\kiri(1,3225 \kanan ))^(2))=1.74900625\lebih kurang 1.75\]

Secara keseluruhan, kembali kepada jumlah janjang geometri, kita dapat:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Hasilnya, kita mendapat bahawa dalam empat tahun simpanan, jumlah awal kita tidak akan meningkat empat kali ganda, seolah-olah kita tidak menyimpan wang di bank, tetapi lima kali ganda, iaitu lima belas juta. Mari kita tulis secara berasingan:

4 tahun → 5 kali

Memandang ke hadapan, saya akan mengatakan bahawa jika kita telah menyimpan bukan selama empat tahun, tetapi selama lima tahun, maka akibatnya, jumlah simpanan kita akan meningkat sebanyak 6.7 kali ganda:

5 tahun → 6.7 kali

Dalam erti kata lain, menjelang akhir tahun kelima, kami akan mempunyai jumlah berikut dalam akaun:

Iaitu, menjelang akhir tahun kelima simpanan, dengan mengambil kira faedah ke atas deposit, kami akan menerima lebih daripada dua puluh juta rubel. Oleh itu, jumlah akaun simpanan daripada faedah bank akan berkurangan daripada hampir tujuh tahun kepada lima tahun, iaitu hampir dua tahun.

Oleh itu, walaupun pada hakikatnya bank mengenakan faedah yang agak rendah ke atas deposit kami (15%), selepas lima tahun 15% yang sama ini memberikan peningkatan yang ketara melebihi pendapatan tahunan kami. Pada masa yang sama, kesan pengganda utama berlaku dalam beberapa tahun kebelakangan ini dan malah, sebaliknya, pada tahun terakhir simpanan.

Mengapa saya menulis semua ini? Sudah tentu, bukan untuk mengganggu anda untuk membawa wang ke bank. Kerana jika anda benar-benar ingin meningkatkan simpanan anda, maka anda perlu melaburnya bukan di bank, tetapi dalam perniagaan sebenar, di mana peratusan yang sama ini, iaitu, keuntungan dalam keadaan ekonomi Rusia, jarang turun di bawah 30%, i.e. dua kali ganda lebih banyak deposit bank.

Tetapi apa yang benar-benar berguna dalam semua alasan ini ialah formula yang membolehkan kita mencari jumlah akhir deposit melalui jumlah pembayaran tahunan, serta melalui faedah yang dikenakan oleh bank. Jadi mari kita tulis:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Dengan sendirinya, % dikira menggunakan formula berikut:

Formula ini juga perlu diketahui, serta formula asas untuk jumlah sumbangan. Dan, seterusnya, formula utama boleh mengurangkan pengiraan dalam masalah tersebut dengan peratusan yang diperlukan untuk mengira sumbangan.

Mengapa menggunakan formula dan bukannya jadual?

Ramai mungkin akan mempunyai soalan, mengapa semua kesukaran ini sama sekali, adakah mungkin untuk menulis setiap tahun di atas pinggan, seperti yang dilakukan dalam banyak buku teks, mengira secara berasingan setiap tahun, dan kemudian mengira jumlah sumbangan? Sudah tentu, anda secara amnya boleh melupakan jumlah janjang geometri dan mengira semuanya menggunakan tablet klasik - ini dilakukan dalam kebanyakan koleksi untuk bersedia menghadapi peperiksaan. Walau bagaimanapun, pertama, jumlah pengiraan meningkat dengan mendadak, dan kedua, akibatnya, kebarangkalian untuk membuat ralat meningkat.

Secara umum, menggunakan jadual dan bukannya formula hebat ini adalah sama seperti menggali parit dengan tangan anda di tapak pembinaan dan bukannya menggunakan jengkaut yang berdiri berdekatan dan berfungsi sepenuhnya.

Nah, atau perkara yang sama seperti mendarab lima dengan sepuluh tidak menggunakan jadual pendaraban, tetapi menambah lima kepada dirinya sendiri sepuluh kali berturut-turut. Walau bagaimanapun, saya telah menyimpang, jadi saya akan mengulangi idea yang paling penting sekali lagi: jika terdapat beberapa cara untuk memudahkan dan memendekkan pengiraan, maka ini adalah cara untuk digunakan.

Faedah atas pinjaman

Kami memikirkan deposit, jadi kami beralih ke topik seterusnya, iaitu, faedah ke atas pinjaman.

Oleh itu, semasa anda menyimpan wang, merancang belanjawan anda dengan teliti, memikirkan apartmen masa depan anda, rakan sekelas anda, dan kini seorang penganggur yang sederhana, memutuskan untuk hidup untuk hari ini dan hanya mengambil pinjaman. Pada masa yang sama, dia masih akan mengusik dan mentertawakan anda, mereka berkata, dia mempunyai telefon kredit dan kereta terpakai, diambil secara kredit, dan anda masih menaiki kereta bawah tanah dan menggunakan telefon butang tekan lama. Sudah tentu, untuk semua "tunjuk-tunjuk" murah ini bekas rakan sekelas anda perlu membayar mahal. Betapa mahalnya - inilah yang akan kami kira sekarang.

Pertama, pengenalan ringkas. Katakan bekas rakan sekelas anda mengambil dua juta rubel secara kredit. Pada masa yang sama, mengikut kontrak, dia mesti membayar x rubel sebulan. Katakan dia mengambil pinjaman pada kadar 20% setahun, yang dalam keadaan semasa kelihatan agak baik. Juga, anggap bahawa tempoh pinjaman hanya tiga bulan. Mari cuba sambungkan semua kuantiti ini dalam satu formula.

Jadi, pada awalnya, sebaik sahaja bekas rakan sekelas anda meninggalkan bank, dia mempunyai dua juta dalam poketnya, dan ini adalah hutangnya. Pada masa yang sama, tidak setahun telah berlalu, dan bukan sebulan, tetapi ini hanya permulaan:

Kemudian, selepas satu bulan, faedah akan terakru pada jumlah yang terhutang. Seperti yang telah kita ketahui, untuk mengira faedah, cukup untuk mendarabkan hutang asal dengan pekali, yang dikira menggunakan formula berikut:

Dalam kes kita, kita bercakap tentang kadar 20% setahun, iaitu kita boleh menulis:

Ini adalah nisbah amaun yang akan dikenakan setiap tahun. Walau bagaimanapun, rakan sekelas kami tidak begitu bijak dan dia tidak membaca kontrak, dan sebenarnya dia diberi pinjaman bukan pada kadar 20% setahun, tetapi pada kadar 20% sebulan. Dan menjelang akhir bulan pertama, faedah akan terakru pada jumlah ini, dan ia akan meningkat sebanyak 1.2 kali ganda. Sejurus selepas itu, orang itu perlu membayar jumlah yang dipersetujui, iaitu x rubel sebulan:

\[\kiri(2m\cdot 1,2-x\kanan)\cdot 1,2-x\]

Dan sekali lagi, anak lelaki kami membuat pembayaran dalam jumlah $x$ rubel.

Kemudian, menjelang akhir bulan ketiga, jumlah hutangnya meningkat lagi sebanyak 20%:

\[\kiri(\kiri(2m\cdot 1,2- x\kanan)\cdot 1,2- x\kanan)1,2- x\]

Dan mengikut syarat selama tiga bulan, dia mesti membayar sepenuhnya, iaitu, selepas membuat pembayaran ketiga terakhir, jumlah hutangnya hendaklah sama dengan sifar. Kita boleh menulis persamaan ini:

\[\kiri(\kiri(2m\cdot 1,2- x\kanan)\cdot 1,2- x\kanan)1,2 - x=0\]

Mari kita putuskan:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \kanan) \\\end(align)\]

Di hadapan kita sekali lagi adalah janjang geometri, atau lebih tepatnya, jumlah tiga unsur janjang geometri. Mari kita tulis semula dalam susunan elemen menaik:

Sekarang kita perlu mencari jumlah tiga elemen janjang geometri. Mari menulis:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Sekarang mari kita cari jumlah janjang geometri:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Perlu diingat bahawa jumlah janjang geometri dengan parameter sedemikian $\left(((b)_(1));q \right)$ dikira dengan formula:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Ini adalah formula yang baru kami gunakan. Gantikan formula ini ke dalam ungkapan kami:

Untuk pengiraan lanjut, kita perlu mengetahui apakah $((1,2)^(3))$ bersamaan dengan. Malangnya, dalam kes ini, kita tidak lagi boleh melukis seperti kali terakhir dalam bentuk segi empat sama berganda, tetapi kita boleh mengira seperti ini:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Kami menulis semula ungkapan kami:

Ini adalah ungkapan linear klasik. Mari kita kembali kepada formula seterusnya:

Malah, jika kita umumkan, kita akan mendapat formula yang menghubungkan faedah, pinjaman, pembayaran dan terma. Formulanya seperti ini:

Inilah formula paling penting dalam pelajaran video hari ini, dengan bantuan yang sekurang-kurangnya 80% daripada semua tugas ekonomi dari Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik di bahagian kedua dipertimbangkan.

Selalunya, dalam tugasan sebenar, anda akan diminta pembayaran, atau kurang kerap untuk pinjaman, iaitu jumlah hutang yang rakan sekelas kami ada pada awal pembayaran. Dalam tugas yang lebih kompleks, anda akan diminta untuk mencari peratusan, tetapi untuk yang sangat kompleks, yang akan kami analisis dalam pelajaran video yang berasingan, anda akan diminta untuk mencari tempoh masa yang mana, dengan parameter pinjaman dan pembayaran yang diberikan, rakan sekelas kami yang menganggur akan dapat membayar sepenuhnya bank.

Mungkin seseorang kini akan berfikir bahawa saya adalah penentang sengit pinjaman, kewangan dan sistem perbankan secara amnya. Jadi, tiada seperti itu! Sebaliknya, saya percaya bahawa instrumen kredit sangat berguna dan penting untuk ekonomi kita, tetapi hanya dengan syarat pinjaman diambil untuk pembangunan perniagaan. Dalam kes yang melampau, anda boleh membuat pinjaman untuk membeli rumah, iaitu, gadai janji atau untuk rawatan perubatan kecemasan - itu sahaja, tidak ada sebab lain untuk mengambil pinjaman. Dan macam-macam penganggur yang membuat pinjaman untuk membeli “tunjuk-tunjuk” dan dalam masa yang sama langsung tidak memikirkan akibat akhirnya dan menjadi punca kepada krisis dan masalah ekonomi kita.

Berbalik kepada topik pelajaran hari ini, saya ingin ambil perhatian bahawa ia juga perlu untuk mengetahui formula ini yang menghubungkan pinjaman, pembayaran dan faedah, serta jumlah janjang geometri. Dengan bantuan formula inilah masalah ekonomi sebenar daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik diselesaikan. Nah, sekarang setelah anda mengetahui semua ini dengan baik, apabila anda memahami apa itu pinjaman dan mengapa anda tidak perlu mengambilnya, mari kita teruskan untuk menyelesaikan masalah ekonomi sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Kami menyelesaikan masalah sebenar daripada peperiksaan dalam matematik

Contoh #1

Jadi tugas pertama ialah:

Pada 31 Disember 2014, Alexei mengambil pinjaman sebanyak 9,282,000 rubel daripada bank pada kadar 10% setahun. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas baki jumlah hutang (iaitu, meningkatkan hutang sebanyak 10%), kemudian Alexey memindahkan X rubel ke bank. Apakah jumlah X yang sepatutnya untuk Alexey membayar hutang dalam empat pembayaran yang sama (iaitu selama empat tahun)?

Jadi, ini adalah masalah mengenai pinjaman, jadi kami segera menulis formula kami:

Kami tahu pinjaman - 9,282,000 rubel.

Kami akan berurusan dengan peratusan sekarang. Kita bercakap tentang 10% daripada masalah. Oleh itu, kita boleh menterjemahkannya:

Kita boleh membuat persamaan:

Kami telah memperoleh persamaan linear biasa berkenaan dengan $x$, walaupun dengan pekali yang agak menggerunkan. Jom cuba selesaikan. Mula-mula, mari cari ungkapan $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Sekarang mari kita tulis semula persamaan:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Itu sahaja, masalah peratusan kita selesai.

Sudah tentu, ini hanyalah tugas paling mudah dengan peratusan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Dalam peperiksaan sebenar, kemungkinan besar tidak akan ada tugas sedemikian. Dan jika ia berlaku, anggap diri anda sangat bertuah. Baiklah, bagi mereka yang suka mengira dan tidak suka mengambil risiko, mari kita beralih kepada tugas yang lebih sukar seterusnya.

Contoh #2

Pada 31 Disember 2014, Stepan meminjam 4,004,000 rubel daripada bank pada kadar 20% setahun. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas baki jumlah hutang (iaitu, meningkatkan hutang sebanyak 20%), kemudian Stepan membuat pembayaran kepada bank. Stepan membayar keseluruhan hutang dalam 3 pembayaran yang sama. Berapa banyak rubel kurang yang akan dia berikan kepada bank jika dia boleh membayar hutang dalam 2 pembayaran yang sama.

Sebelum kami adalah masalah mengenai pinjaman, jadi kami menulis formula kami:

\[\]\

Apa yang kita tahu? Pertama, kita tahu jumlah kredit. Kami juga tahu peratusannya. Mari cari nisbah:

Bagi $n$, anda perlu membaca dengan teliti keadaan masalah. Iaitu, mula-mula kita perlu mengira berapa banyak yang dia bayar selama tiga tahun, iaitu $n=3$, dan kemudian melakukan langkah yang sama sekali lagi tetapi mengira bayaran untuk dua tahun. Mari kita tulis persamaan untuk kes di mana pembayaran dibayar selama tiga tahun:

Mari kita selesaikan persamaan ini. Tetapi pertama-tama, mari kita cari ungkapan $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Kami menulis semula ungkapan kami:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Secara keseluruhan, bayaran kami ialah 1900800 rubel. Walau bagaimanapun, perhatikan: dalam tugas itu, kami dikehendaki mencari bukan bayaran bulanan, tetapi berapa banyak Stepan akan membayar secara keseluruhan untuk tiga pembayaran yang sama, iaitu, untuk keseluruhan tempoh menggunakan pinjaman. Oleh itu, nilai yang terhasil mesti didarab dengan tiga lagi. Mari kita mengira:

Secara keseluruhan, Stepan akan membayar 5,702,400 rubel untuk tiga pembayaran yang sama. Itulah kosnya untuk menggunakan pinjaman selama tiga tahun.

Sekarang pertimbangkan situasi kedua, apabila Stepan menarik dirinya bersama-sama, bersiap sedia dan membayar keseluruhan pinjaman bukan dalam tiga, tetapi dalam dua pembayaran yang sama. Kami menulis formula kami yang sama:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Tetapi bukan itu sahaja, kerana sekarang kami telah mengira hanya satu daripada dua pembayaran, jadi secara keseluruhan Stepan akan membayar dua kali lebih banyak:

Hebat, kini kita hampir kepada jawapan terakhir. Tetapi perhatikan: dalam keadaan tidak kami belum menerima jawapan muktamad, kerana selama tiga tahun pembayaran Stepan akan membayar 5,702,400 rubel, dan selama dua tahun pembayaran dia akan membayar 5,241,600 rubel, iaitu kurang sedikit. berapa kurang? Untuk mengetahui, anda perlu menolak amaun pembayaran kedua daripada amaun pembayaran pertama:

Jumlah jawapan akhir ialah 460,800 rubel. Tepat berapa banyak Stepan akan menjimatkan jika dia tidak membayar tiga tahun, tetapi dua.

Seperti yang anda lihat, formula yang memautkan faedah, terma dan pembayaran sangat memudahkan pengiraan berbanding dengan jadual klasik, dan, malangnya, atas sebab yang tidak diketahui, jadual masih digunakan dalam kebanyakan koleksi masalah.

Secara berasingan, saya ingin menarik perhatian anda kepada tempoh pinjaman itu diambil, dan jumlah bayaran bulanan. Hakikatnya ialah sambungan ini tidak dapat dilihat secara langsung dari formula yang kami tulis, tetapi pemahamannya diperlukan untuk penyelesaian masalah sebenar yang cepat dan berkesan dalam peperiksaan. Sebenarnya, perhubungan ini sangat mudah: semakin lama pinjaman diambil, semakin kecil amaun dalam pembayaran bulanan, tetapi semakin besar jumlah itu akan terkumpul sepanjang tempoh penggunaan pinjaman. Dan sebaliknya: lebih pendek tempoh, lebih tinggi bayaran bulanan, tetapi lebih rendah lebihan bayaran terakhir dan lebih rendah jumlah kos pinjaman.

Sudah tentu, semua penyata ini akan sama hanya dengan syarat jumlah pinjaman dan kadar faedah dalam kedua-dua kes adalah sama. Secara umum, buat masa ini, hanya ingat fakta ini - ia akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yang paling sukar mengenai topik ini, tetapi buat masa ini kami akan menganalisis masalah yang lebih mudah, di mana anda hanya perlu mencari jumlah keseluruhan pinjaman asal.

Contoh #3

Jadi, satu lagi tugas untuk pinjaman dan, dalam kombinasi, tugas terakhir dalam tutorial video hari ini.

Pada 31 Disember 2014, Vasily mengeluarkan sejumlah wang daripada bank secara kredit pada kadar 13% setahun. Skim pembayaran balik pinjaman adalah seperti berikut: pada 31 Disember setiap tahun depan, bank mengakru faedah ke atas jumlah baki hutang (iaitu, ia meningkatkan hutang sebanyak 13%), kemudian Vasily memindahkan 5,107,600 rubel ke bank. Berapakah jumlah yang dipinjam Vasily daripada bank jika dia membayar balik hutang itu dalam dua ansuran yang sama (selama dua tahun)?

Jadi, pertama sekali, masalah ini sekali lagi mengenai pinjaman, jadi kami menulis formula hebat kami:

Mari lihat apa yang kita tahu dari keadaan masalah. Pertama, pembayaran - ia bersamaan dengan 5,107,600 rubel setahun. Kedua, peratusan, jadi kita boleh mencari nisbah:

Di samping itu, mengikut keadaan masalah, Vasily mengambil pinjaman dari bank selama dua tahun, i.e. dibayar dalam dua ansuran yang sama, oleh itu $n=2$. Mari kita menggantikan segala-galanya dan juga ambil perhatian bahawa pinjaman itu tidak diketahui oleh kami, i.e. jumlah yang dia ambil, dan mari kita nyatakan sebagai $x$. Kita mendapatkan:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Mari kita tulis semula persamaan kita dengan fakta ini dalam fikiran:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Itu sahaja, ini jawapan terakhir. Jumlah inilah yang Vasily mengambil kredit pada awalnya.

Sekarang jelas mengapa dalam masalah ini kita diminta untuk mengambil pinjaman hanya selama dua tahun, kerana peratusan dua digit muncul di sini, iaitu 13%, yang, kuasa dua, sudah memberikan nombor yang agak "brutal". Tetapi ini bukan had - dalam pelajaran berasingan seterusnya kita akan mempertimbangkan tugas yang lebih kompleks, di mana ia akan diperlukan untuk mencari tempoh pinjaman, dan kadarnya akan menjadi satu, dua atau tiga peratus.

Secara umum, belajar untuk menyelesaikan masalah untuk deposit dan pinjaman, bersedia untuk peperiksaan dan lulus mereka "cemerlang". Dan jika ada sesuatu yang tidak jelas dalam bahan pelajaran video hari ini, maka jangan teragak-agak - tulis, hubungi, dan saya akan cuba membantu anda.

Lihat juga video "Masalah teks untuk peperiksaan dalam matematik".
Tugas teks bukan sahaja tugas untuk pergerakan dan kerja. Terdapat juga tugas untuk peratusan, untuk penyelesaian, aloi dan campuran, untuk bergerak dalam bulatan dan mencari kelajuan purata. Kami akan memberitahu tentang mereka.

Mari kita mulakan dengan masalah peratusan. Kami telah pun bertemu dengan topik ini dalam masalah 1. Khususnya, kami merumuskan peraturan penting: kami ambil sebagai nilai yang kami bandingkan.

Kami juga telah memperoleh formula yang berguna:

jika nilai dinaikkan dengan peratusan, kita mendapat .
jika nilai dikurangkan dengan peratusan, kita mendapat .
jika nilai dinaikkan dengan peratusan, dan kemudian dikurangkan dengan , kita mendapat .

jika nilai digandakan dengan peratusan, kita dapat
jika nilai digandakan dengan peratusan, kita dapat

Mari gunakan mereka untuk menyelesaikan masalah.

Dalam setahun, seseorang tinggal di kawasan bandar. Pada tahun ini, hasil daripada pembinaan rumah baru, bilangan penduduk meningkat sebanyak , dan pada tahun - berbanding dengan tahun. Berapa ramai orang mula hidup pada suku tahun dalam setahun?

Mengikut keadaan, pada tahun bilangan penduduk meningkat sebanyak , iaitu, ia menjadi sama dengan orang.

Dan pada tahun bilangan penduduk meningkat sebanyak , sekarang berbanding tahun. Kami mendapat bahawa pada tahun penduduk mula tinggal pada suku tersebut.

Tugas seterusnya ditawarkan pada peperiksaan percubaan dalam matematik pada bulan Disember tahun itu. Ia mudah, tetapi hanya sedikit yang menguasainya.

Pada hari Isnin, harga saham syarikat meningkat pada peratusan tertentu, dan pada hari Selasa ia jatuh harga dengan peratusan yang sama. Akibatnya, mereka mula kos kurang daripada pada pembukaan dagangan pada hari Isnin. Berapa peratuskah harga saham syarikat itu meningkat pada hari Isnin?

Sekali imbas, nampaknya ada ralat dalam keadaan dan harga saham itu tidak boleh berubah sama sekali. Lagipun, mereka telah naik harga dan jatuh harga dengan peratusan yang sama! Tetapi jangan tergesa-gesa. Biarkan saham berharga rubel pada pembukaan dagangan pada hari Isnin. Menjelang petang Isnin, mereka telah meningkat harga dan mula kos. Kini nilai ini sudah diambil sebagai , dan menjelang petang Selasa saham jatuh berbanding nilai ini. Mari letakkan data dalam jadual:

	pagi Isnin	pada malam Isnin	pada petang Selasa
Harga saham

Mengikut syarat, saham itu akhirnya jatuh harga sebanyak .

Kami dapat itu

Kami membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan (kerana ia tidak sama dengan sifar) dan menggunakan formula pendaraban singkatan di sebelah kiri.

Mengikut maksud masalah, nilainya adalah positif.
Kami dapat itu.

Harga peti sejuk di kedai menurun setiap tahun dengan bilangan peratus yang sama daripada harga sebelumnya. Tentukan dengan berapa peratus harga peti sejuk menurun setiap tahun jika, dijual untuk rubel, dua tahun kemudian ia dijual untuk rubel.

Masalah ini juga diselesaikan dengan salah satu formula yang diberikan pada permulaan artikel. Peti ais berharga Rs. Harganya telah menurun dua kali sebanyak , dan kini ia sama dengan

Empat baju lebih murah daripada jaket. Berapa peratuskah lima helai baju lebih mahal daripada jaket?

Biar kos baju , kos jaket . Seperti biasa, kami mengambil sebagai seratus peratus nilai yang kami bandingkan, iaitu harga jaket. Kemudian kos empat baju adalah sama dengan harga jaket, i.e.
.

Kos satu baju adalah separuh daripada harga:
,
dan kos lima baju:

Kami mendapat bahawa lima baju lebih mahal daripada jaket.

Jawapan: .

Keluarga tersebut terdiri daripada seorang suami, isteri dan anak pelajar mereka. Sekiranya gaji suami digandakan, jumlah pendapatan keluarga akan meningkat sebanyak . Jika biasiswa anak perempuan itu dikurangkan separuh, jumlah pendapatan keluarga akan dikurangkan sebanyak . Berapakah peratus daripada jumlah pendapatan keluarga adalah gaji isteri?

Mari kita lukis meja. Situasi yang dirujuk dalam tugas ("jika gaji suami meningkat, jika biasiswa anak perempuan berkurangan ...") kita akan panggil " situasi " dan " situasi ".

	suami	isteri	anak perempuan	Jumlah pendapatan
secara nyata
Situasi
Situasi

Ia kekal untuk menulis sistem persamaan.

Tetapi apa yang kita lihat? Dua persamaan dan tiga tidak diketahui! Kami tidak akan dapat mencari, dan secara berasingan. Benar, kita tidak memerlukannya. Mari kita ambil persamaan pertama dan tolak hasil tambah daripada kedua-dua belah. Kita mendapatkan:

Ini bermakna gaji suami adalah sebahagian daripada jumlah pendapatan keluarga.

Dalam persamaan kedua, kita juga menolak ungkapan dari kedua-dua belah pihak, permudahkan dan dapatkannya

Ini bermakna biasiswa anak perempuan adalah berdasarkan jumlah pendapatan keluarga. Kemudian gaji isteri adalah jumlah pendapatan.

Jawapan: .

Jenis masalah seterusnya ialah masalah untuk penyelesaian, campuran dan aloi. Mereka ditemui bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam kimia. Kami akan memberitahu anda tentang cara paling mudah untuk menyelesaikannya.

Liter air ditambah ke dalam bekas yang mengandungi liter larutan akueus peratusan beberapa bahan. Berapakah peratus kepekatan larutan yang terhasil?

Gambar membantu dalam menyelesaikan masalah tersebut. Marilah kita menggambarkan sebuah kapal dengan larutan secara skematik - seolah-olah bahan dan air di dalamnya tidak bercampur antara satu sama lain, tetapi dipisahkan antara satu sama lain, seperti dalam koktel. Dan kami akan menandatangani berapa liter yang terkandung dalam kapal dan berapa peratus bahan yang terkandung di dalamnya. Kami menandakan kepekatan larutan yang terhasil.

Kapal pertama mengandungi satu liter bahan. Bejana kedua hanya berisi air. Ini bermakna terdapat banyak liter bahan dalam bekas ketiga seperti yang pertama:

.

Sejumlah larutan -peratus bahan tertentu dicampur dengan jumlah larutan -peratusan bahan yang sama. Berapakah peratus kepekatan larutan yang terhasil?

Biarkan jisim larutan pertama ialah . Jisim kedua - juga. Hasilnya ialah larutan dengan jisim . Kami melukis gambar.

Kita mendapatkan:

Jawapan: .

Anggur mengandungi kelembapan, dan kismis -. Berapa kilogram anggur yang diperlukan untuk menghasilkan kilogram kismis?

Perhatian! Sekiranya anda menemui masalah "mengenai produk", iaitu, kismis diperoleh daripada anggur, aprikot dibuat daripada aprikot, keropok dibuat daripada roti atau keju kotej dibuat daripada susu - ketahuilah bahawa ini sebenarnya merupakan masalah untuk penyelesaian. . Kami juga boleh menggambarkan anggur secara bersyarat sebagai penyelesaian. Ia mengandungi air dan "bahan kering". "Bahan kering" mempunyai komposisi kimia yang kompleks, dan dengan rasa, warna dan baunya, kita dapat memahami bahawa ia adalah anggur, bukan kentang. Kismis diperoleh apabila air menyejat daripada anggur. Pada masa yang sama, jumlah "bahan kering" kekal malar. Anggur mengandungi air, yang bermaksud terdapat "bahan kering". Dalam air kismis dan "bahan kering". Biarkan kg kismis keluar dari kg anggur. Kemudian

Dari dari

Mari kita buat persamaan:

dan jumpa.

Jawapan: .

Terdapat dua aloi. Aloi pertama mengandungi nikel, yang kedua - nikel. Daripada kedua-dua aloi ini, aloi ketiga seberat kg yang mengandungi nikel diperolehi. Dengan berapa kilogram jisim aloi pertama kurang daripada jisim kedua?

Biarkan jisim aloi pertama ialah x, dan jisim kedua ialah y. Hasilnya ialah aloi dengan jisim .

Mari kita tulis sistem persamaan mudah:

Persamaan pertama ialah jisim aloi yang terhasil, yang kedua ialah jisim nikel.

Menyelesaikan, kita dapat itu.

Jawapan: .

Dengan mencampurkan -peratus dan -peratus larutan asid dan menambah satu kg air tulen, kami mendapat -peratus larutan asid. Jika, bukannya kg air, larutan kg -% asid yang sama ditambah, maka larutan -% asid akan diperolehi. Berapa kilogram larutan -peratus yang digunakan untuk mendapatkan campuran itu?

Biarkan jisim larutan pertama ialah , jisim kedua adalah sama dengan . Jisim larutan yang terhasil ialah . Mari kita tulis dua persamaan untuk jumlah asid.

Kami menyelesaikan sistem yang terhasil. Kami segera mendarab kedua-dua bahagian persamaan dengan , kerana ia adalah lebih mudah untuk bekerja dengan pekali integer berbanding dengan pecahan. Mari kembangkan kurungan.

Jawapan: .

Tugasan lilitan juga terbukti sukar bagi ramai pelajar. Mereka diselesaikan dengan cara yang hampir sama seperti masalah biasa untuk pergerakan. Mereka juga menggunakan formula. Tetapi ada satu helah yang kami akan beritahu anda.

Seorang penunggang basikal meninggalkan titik litar pekeliling, dan selepas seminit seorang penunggang motosikal mengejarnya. Beberapa minit selepas berlepas, dia mengejar penunggang basikal buat kali pertama, dan beberapa minit selepas itu dia mengejarnya untuk kali kedua. Cari kelajuan penunggang motosikal itu jika panjang trek ialah km. Berikan jawapan anda dalam km/j.

Mula-mula, mari tukar minit kepada jam, kerana kelajuan mesti ditemui dalam km / j. Kami menyatakan kelajuan peserta dengan dan . Kali pertama penunggang motosikal memotong penunggang dalam beberapa minit, iaitu beberapa jam selepas permulaan. Setakat ini, penunggang basikal itu berada di jalan raya selama beberapa minit, iaitu sejam.

Mari kita tulis data ini dalam jadual:

penunggang basikal
penunggang motosikal

Kedua-duanya telah menempuh jarak yang sama, iaitu.

Kemudian penunggang motosikal itu memintas penunggang basikal itu buat kali kedua. Ia berlaku dalam beberapa minit, iaitu, dalam satu jam selepas memotong pertama.

Mari kita lukis jadual kedua.

penunggang basikal
penunggang motosikal

Apakah jarak yang mereka tempuh? Penunggang motosikal itu memintas penunggang basikal itu. Jadi dia memandu satu pusingan lagi. Inilah rahsia tugas ini. Satu pusingan ialah panjang trek, ia sama dengan km. Kami mendapat persamaan kedua:

Mari kita selesaikan sistem yang terhasil.

Kami dapat itu. Sebagai tindak balas, tuliskan kelajuan penunggang motosikal.

Jawapan: .

Jam dengan tangan menunjukkan jam minit. Selepas berapa minit jarum minit akan sejajar dengan jarum jam untuk kali keempat?

Ini mungkin tugas yang paling sukar dalam pilihan peperiksaan. Sudah tentu, ada penyelesaian mudah - ambil jam dengan tangan dan pastikan kali keempat tangan berbaris dalam beberapa jam, tepat pada ..
Tetapi bagaimana jika anda mempunyai jam elektronik dan anda tidak dapat menyelesaikan masalah secara eksperimen?

Dalam satu jam, jarum minit pergi satu bulatan, dan bahagian jam bulatan. Biarkan kelajuan mereka sama dengan (pusingan sejam) dan (pusingan sejam). Mula - pada .. Mari cari masa yang jarum minit akan mengejar jarum jam buat kali pertama.

Jarum minit akan pergi satu bulatan lagi, jadi persamaannya ialah:

Menyelesaikannya, kita mendapat jam itu. Jadi, buat pertama kalinya, tangan akan beratur dalam beberapa jam. Biarkan kali kedua mereka mengejar masa. Jarum minit akan menutup jarak , dan jarum jam, dengan jarum minit bergerak satu pusingan lagi. Mari kita tulis persamaan:

Menyelesaikannya, kita mendapat jam itu. Jadi, selepas satu jam, tangan akan sejajar untuk kali kedua, selepas satu jam lagi - untuk yang ketiga, dan selepas satu jam lagi - untuk yang keempat.

Jadi, jika permulaan adalah pada ., maka untuk kali keempat anak panah akan berbaris melalui
Jam.

Jawapannya adalah bersetuju sepenuhnya dengan penyelesaian "eksperimen"! :-)

Pada peperiksaan matematik, anda juga mungkin berhadapan dengan masalah mencari kelajuan purata. Ingat bahawa kelajuan purata tidak sama dengan min aritmetik kelajuan. Ia berdasarkan formula khas:

,
di mana ialah kelajuan purata, ialah jumlah jarak, dan ialah jumlah masa.

Jika terdapat dua bahagian laluan, maka

Pengembara itu menyeberangi laut dengan menaiki kapal layar dengan kelajuan purata km/j. Dia terbang semula menaiki pesawat sukan dengan kelajuan km/j. Cari purata kelajuan pengembara untuk keseluruhan perjalanan. Berikan jawapan anda dalam km/j.

Kami tidak tahu berapa jarak yang ditempuh oleh pengembara itu. Kami hanya tahu bahawa jarak ini adalah sama dalam perjalanan ke sana dan pulang. Untuk memudahkan, kita akan mengambil jarak ini sebagai (satu laut). Kemudian masa pengembara belayar di atas kapal layar adalah sama dengan , dan masa yang dihabiskan dalam penerbangan adalah sama dengan . Jumlah masa ialah .
Kelajuan purata ialah km/j.

Jawapan: .

Mari tunjukkan satu lagi helah hebat yang membantu menyelesaikan sistem persamaan dalam Masalah 13 dengan cepat.

Andrey dan Pasha mengecat pagar dalam beberapa jam. Pasha dan Volodya mengecat pagar yang sama dalam beberapa jam, dan Volodya dan Andrey - dalam beberapa jam. Berapa jam yang diambil oleh budak-budak itu untuk mengecat pagar dengan tiga daripada mereka bekerja?

Kami telah menyelesaikan tugas untuk kerja dan produktiviti. Peraturannya sama. Satu-satunya perbezaan ialah terdapat tiga orang yang bekerja di sini, dan terdapat juga tiga pembolehubah. Mari - persembahan Andrey, - persembahan Pasha, dan - persembahan Volodya. Kami akan mengambil pagar, iaitu, jumlah kerja, kerana - selepas semua, kami tidak boleh mengatakan apa-apa tentang saiznya.

	prestasi	Kerja
Andrew
Pasha
Volodya
bersama-sama

Andrey dan Pasha mengecat pagar dalam beberapa jam. Kami ingat bahawa prestasi bertambah apabila kami bekerjasama. Mari kita tulis persamaan:

Begitu juga,

Kemudian


.

Anda boleh mencari , dan secara berasingan, tetapi lebih baik untuk menambah ketiga-tiga persamaan sahaja. Kami dapat itu

Jadi, bekerja bersama-sama, Andrei, Pasha dan Volodya mengecat seperlapan pagar dalam satu jam. Mereka akan mengecat seluruh pagar dalam beberapa jam.

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google (akaun) dan log masuk: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Teori mengenai topik: "Penyelesaian masalah untuk kepentingan."

Jenis 1: Tukar peratus kepada perpuluhan. peratusan  pecahan A%  A dibahagikan dengan 100 Tugasan: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... Isikan jadual 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Jenis 2: Menukar pecahan kepada peratusan. nombor  peratusan A  A darab 100% Tukarkan pecahan kepada peratusan: 3/4; 0.07; 2.4. (GIA, tugasan tematik) Padankan pecahan yang menyatakan bahagian nilai tertentu dan peratusan yang sepadan dengannya. A.1/4; B) 3/5; C) 0.5; D) 0.05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Jawapan: A B C D

Jenis 3: Mencari peratusan nombor. X% daripada A 1) X% diwakili sebagai pecahan perpuluhan 2) Nombor A didarab dengan pecahan perpuluhan. Tugas adalah contoh. Dalam sebulan, syarikat itu menghasilkan 500 peranti. 20% daripada peranti yang dikeluarkan gagal melepasi kawalan kualiti. Berapakah bilangan peranti yang gagal mengawal kualiti? Penyelesaian. Anda perlu mencari 20% daripada jumlah peranti yang dihasilkan (500). 20% = 0.2. 500 * 0.2 = 100. 100 daripada jumlah peranti yang dihasilkan tidak melepasi kawalan kualiti.

Jenis 4: Cari nombor mengikut peratusannya. Dan ini ialah X%: 1) X% diwakili sebagai pecahan perpuluhan 2) A dibahagikan dengan pecahan perpuluhan. Tugas adalah contoh. Bersedia untuk peperiksaan, pelajar menyelesaikan 38 tugasan daripada manual untuk belajar sendiri. Iaitu 25% daripada bilangan semua tugasan dalam manual. Berapakah bilangan tugasan yang dikumpul dalam manual pembelajaran kendiri ini? Penyelesaian. Kami tidak tahu berapa banyak tugasan dalam manual. Tetapi sebaliknya, kita tahu bahawa 38 tugasan adalah 25% daripada jumlah keseluruhannya. 25%=0.25 38/0.25 = 152. Terdapat 152 masalah dalam koleksi ini.

Jenis 5: Cari peratusan dua nombor. Nombor A dan B. Apakah % B daripada A? 1) B / A 2) Darab hasil bahagi sebanyak 100% Tugasan ialah sampel. Terdapat 30 orang pelajar di dalam kelas. 15 daripadanya adalah perempuan. Berapakah peratusan perempuan dalam kelas? Penyelesaian. Untuk mengetahui peratusan satu nombor daripada yang lain, anda memerlukan nombor yang anda ingin cari, bahagikan dengan jumlah nombor dan darab dengan 100%. Jadi, 1) 15 / 30 = 0.5 2) 0.5 * 100% = 50% Tugasan adalah sampel. Selama 1 jam, mesin automatik itu menghasilkan 240 bahagian. Selepas pembinaan semula mesin ini, dia mula menghasilkan 288 bahagian yang sama setiap jam. Berapa peratus produktiviti mesin meningkat? Penyelesaian. Produktiviti mesin telah meningkat sebanyak 288-240=48 bahagian sejam. Anda perlu mengetahui berapa peratus daripada 240 bahagian ialah 48 bahagian. Untuk mengetahui berapa peratus daripada nombor 48 adalah daripada nombor 240, anda perlu membahagikan nombor 48 dengan 240 dan mendarabkan hasilnya dengan 100%. 48/240 *100% =20% Jawapan: produktiviti mesin meningkat sebanyak 20%

Jenis 6: Tingkatkan bilangan dengan peratusan. Kurangkan nombor dengan peratusan. A ialah nombor; meningkat sebanyak X%, maka ia telah meningkat sebanyak (1 + x / 100) kali ganda. : 1) nombor A didarab dengan 2) (1 + x / 100). Tugas adalah contoh. . Dalam peperiksaan matematik tahun lepas, 140 pelajar sekolah menengah mendapat A. Pada tahun ini bilangan pelajar cemerlang telah meningkat sebanyak 15%. Berapa ramai orang yang mendapat A dalam peperiksaan matematik mereka tahun ini? Penyelesaian. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - nombor; kita menurun sebanyak X%, maka ia menurun sebanyak (1 - x / 100) kali. : 1) nombor A didarab dengan 2) (1 - x / 100). Tugas adalah contoh. Setahun yang lalu, 100 kanak-kanak tamat sekolah. Dan pada tahun ini terdapat 25% kurang graduan. Berapa ramai graduan tahun ini? Penyelesaian. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Jenis7: Kepekatan Penyelesaian. Tugas adalah contoh. Satu kilogram garam dilarutkan dalam 9 liter air. Apakah kepekatan larutan yang terhasil? (Jisim 1 liter air ialah 1 kg) (Peterson 6 sel) Penyelesaian 1) Jisim zat terlarut ialah 1 kg 2) Jisim keseluruhan larutan 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg ialah jisim air dalam larutan (jangan dikelirukan dengan jumlah jisim larutan ) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - kepekatan larutan

Jenis 8: Peratusan logam dalam aloi. Tugasan - sampel 1. Terdapat sekeping aloi kuprum dan timah dengan jumlah jisim 12 kg, mengandungi 45% kuprum. Berapa banyak timah tulen mesti ditambah kepada kepingan aloi ini supaya aloi yang terhasil mengandungi 40% kuprum? Penyelesaian.1)12 . 0.45= 5.4 (kg) - kuprum tulen dalam aloi pertama; 2) 5.4: 0.4= 13.5 (kg) - berat aloi baru; 3) 13.5- 12= 1.5 (kg) timah. Jawapan: anda memerlukan 1.5 kg timah.

Tugasan - sampel 2. Terdapat dua aloi, terdiri daripada kuprum, zink dan timah. Adalah diketahui bahawa aloi pertama mengandungi 40% timah, dan yang kedua - 26% tembaga. Peratusan zink dalam aloi pertama dan kedua adalah sama. Setelah mencairkan 150 kg aloi pertama dan 250 kg yang kedua, aloi baru diperoleh, di mana 30% zink ternyata. Tentukan berapa kilogram timah yang terkandung dalam aloi baru yang terhasil. Oleh kerana peratusan zink dalam aloi pertama dan kedua adalah sama dan dalam aloi ketiga ternyata 30%, maka dalam aloi pertama dan kedua peratusan zink ialah 30%. 250 * 0.3 \u003d 75 (kg) - zink dalam aloi kedua; 250 * 0.26 \u003d 65 (kg) - tembaga dalam aloi kedua; 250-(75+65)= 110 (kg) timah dalam aloi kedua; 150 . 0.4= 60 (kg) - timah dalam aloi pertama; 110 + 60 = 170 (kg) - timah dalam aloi ketiga. Jawapan: 170 kg. 1 aloi 2 aloi Aloi baru (3) Kuprum 26% Zink 30% 30% 30% Timah 40% ?kg berat 150kg 250kg 150+250=400

Jenis 9: Mengenai "bahan kering". Hampir semua produk - epal, tembikai, cendawan, kentang, bijirin, roti, dll. terdiri daripada air dan bahan kering. Selain itu, kedua-dua makanan segar dan kering mengandungi air. Semasa proses pengeringan, hanya air yang menyejat, dan jisim bahan kering tidak berubah. A.G. Mordkovich “Matematik 6” No. Masalah 362 Masalahnya ialah sampel. Cendawan segar mengandungi 90% air, dan kering - 15%. Berapakah bilangan cendawan kering yang akan diperoleh daripada 17 kg cendawan segar? Berapakah bilangan cendawan segar yang perlu anda ambil untuk mendapatkan 3.4 kg cendawan kering? Penyelesaian. Mari kita buat jadual: Bahagian 1 masalah: bahan Jisim bahan (kg) Peratusan air Peratusan bahan kering Jisim bahan kering (kg) Cendawan segar 17kg 90% 10% 17*0.1=1.7 Cendawan kering X kg 15% 85% X * o.85 \u003d 0.85x Oleh kerana jisim bahan kering dalam cendawan kering dan segar kekal tidak berubah, kita mendapat persamaan: 0.85x \u003d 1.7, x \u003d 1.7: 0.85, x \u003d 2.

Bahagian 2 masalah: Bahan Jisim bahan (kg) Peratusan air Peratusan air Jisim bahan kering (kg) Cendawan segar х 90% 10% 0.1х Cendawan kering 3.4 15% 85% 3.4*0.85=2 .89 0.1x = 2.89, x = 2.89: 0.1, x = 28.9. Jawapan: daripada 17 kg cendawan segar anda mendapat 2 kg cendawan kering; untuk mendapatkan 3.4 kg cendawan kering, anda perlu mengambil 28.9 kg cendawan segar.