Dua dadu dilempar secara rawak. Kebarangkalian Dadu

Dalam semua tugasan B6 pada teori kebarangkalian, yang dibentangkan dalam Buka bank kerja untuk, ia dikehendaki mencari kebarangkalian sebarang acara.

Anda hanya perlu tahu satu sahaja formula, yang digunakan untuk mengira kebarangkalian:

Dalam formula ini p ialah kebarangkalian kejadian,

k- bilangan peristiwa yang "memuaskan" kami, dalam bahasa teori kebarangkalian mereka dipanggil hasil yang menggalakkan.

n- bilangan semua peristiwa yang mungkin, atau bilangan semua hasil yang mungkin.

Jelas sekali, bilangan semua peristiwa yang mungkin lebih besar daripada bilangan hasil yang menggalakkan, jadi kebarangkalian ialah nilai kurang daripada atau sama dengan 1.

Sekiranya kebarangkalian peristiwa adalah sama dengan 1, yang bermaksud bahawa peristiwa ini pasti akan berlaku. Peristiwa sedemikian dipanggil sahih. Sebagai contoh, fakta bahawa selepas Ahad akan ada hari Isnin, malangnya, peristiwa tertentu dan kebarangkaliannya adalah sama dengan 1.

Kesukaran terbesar dalam menyelesaikan masalah timbul dengan tepat dengan mencari nombor k dan n.

Sudah tentu, seperti dalam menyelesaikan sebarang masalah, apabila menyelesaikan masalah pada teori kebarangkalian anda perlu membaca syarat dengan teliti untuk memahami dengan betul apa yang diberikan dan apa yang perlu ditemui.

Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian masalah daripada daripada bank terbuka tugasan untuk .

Contoh1. Dalam eksperimen rawak, dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian mendapat 8 mata kesemuanya. Bundarkan keputusan kepada perseratus terdekat.

Biarkan satu mata jatuh pada mata pertama, kemudian 6 boleh jatuh pada mata kedua pelbagai pilihan. Oleh itu, kerana tulang pertama mempunyai 6 muka yang berbeza, jumlah nombor pilihan yang berbeza adalah sama dengan 6x6=36.

Tetapi kami tidak berpuas hati dengan segala-galanya. Mengikut keadaan masalah, jumlah mata yang digugurkan hendaklah sama dengan 8. Mari kita buat jadual hasil yang menggalakkan:

Kami melihat bahawa bilangan hasil yang sesuai dengan kami ialah 5.

Oleh itu, kebarangkalian bahawa sejumlah 8 mata akan jatuh ialah 5/36=0.13(8).

Sekali lagi kita membaca persoalan masalah: ia dikehendaki untuk membundarkan hasilnya kepada perseratus.

Mari kita ingat peraturan pembundaran.

Kita perlu bundarkan kepada perseratus. Jika digit seterusnya selepas perseratus (iaitu, dalam digit perseribu) ialah nombor yang lebih besar daripada atau sama dengan 5, maka kita menambah 1 kepada nombor dalam digit perseratus, jika nombor ini kurang daripada 5, maka nombor dalam digit perseratus dibiarkan tidak berubah.

Dalam kes kami, 8 berada di tempat yang seribu, jadi nombor 3, yang berada di tempat keseratus, dinaikkan sebanyak 1.

Jadi p=5/36 ≈0.14

Jawapan: 0.14

Contoh 2. 20 atlet menyertai kejohanan gimnastik: 8 dari Rusia, 7 dari Amerika Syarikat, selebihnya dari China. Urutan persembahan gimnas ditentukan oleh undian. Cari kebarangkalian bahawa atlet yang bertanding dahulu adalah dari China.

Dalam masalah ini, bilangan hasil yang mungkin adalah 20 - ini adalah bilangan semua atlet.

Cari bilangan hasil yang menggalakkan. Ia sama dengan jumlah atlet dari China.

Dengan cara ini,

Jawapan: 0.25

Contoh 3: Secara purata, daripada 1,000 pam taman yang dijual, 5 kebocoran. Cari kebarangkalian bahawa satu pam yang dipilih secara rawak tidak bocor.

Dalam masalah ini n=1000.

Kami berminat dengan pam yang tidak bocor. Nombor mereka ialah 1000-5=995. Itu.

Tugasan untuk kebarangkalian dadu tidak kurang popular daripada masalah lambungan syiling. Keadaan masalah sedemikian biasanya berbunyi seperti ini: apabila membuang satu atau lebih dadu(2 atau 3), apakah kebarangkalian bahawa jumlah mata ialah 10, atau bilangan mata ialah 4, atau hasil darab bilangan mata, atau boleh dibahagikan dengan 2 hasil darab bilangan mata, dan seterusnya pada.

Penggunaan formula kebarangkalian klasik adalah kaedah utama untuk menyelesaikan masalah jenis ini.

Satu mati, kebarangkalian.

Keadaannya agak mudah dengan satu dadu. ditentukan oleh formula: P=m/n, dengan m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk acara itu, dan n ialah bilangan semua hasil asas yang sama kemungkinan eksperimen dengan melambung dadu atau dadu.

Masalah 1. Mata dadu dibaling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat mata genap?

Memandangkan dadu ialah kubus (atau ia juga dipanggil dadu biasa, kubus akan jatuh pada semua muka dengan kebarangkalian yang sama, kerana ia seimbang), dadu mempunyai 6 muka (bilangan mata dari 1 hingga 6, yang biasanya ditunjukkan dengan titik), yang bermaksud , bahawa dalam tugasan jumlah bilangan hasil: n=6. Acara ini digemari hanya oleh hasil di mana muka dengan mata genap 2,4 dan 6 jatuh, untuk kubus muka sedemikian: m=3. Sekarang kita boleh menentukan kebarangkalian dadu yang diingini: P=3/6=1/2=0.5.

Tugasan 2. Sebiji dadu dibaling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya 5 mata?

Masalah sedemikian diselesaikan dengan analogi dengan contoh yang ditunjukkan di atas. Apabila membaling dadu, jumlah hasil yang sama mungkin ialah: n=6, dan memenuhi keadaan masalah (sekurang-kurangnya 5 mata jatuh, iaitu, 5 atau 6 mata jatuh) hanya 2 hasil, yang bermaksud m =2. Seterusnya, kita dapati kebarangkalian yang dikehendaki: P=2/6=1/3=0.333.

Dua dadu, kebarangkalian.

Apabila menyelesaikan masalah dengan membaling 2 dadu, adalah sangat mudah untuk menggunakan jadual skor khas. Di atasnya, bilangan mata yang jatuh pada dadu pertama diplot secara mendatar, dan bilangan mata yang jatuh pada dadu kedua diplot secara menegak. Bahan kerja kelihatan seperti ini:

Tetapi persoalan timbul, apakah yang akan ada dalam sel kosong meja? Ia bergantung kepada tugas yang perlu diselesaikan. Jika dalam sesuatu tugasan kita bercakap tentang jumlah mata, maka jumlah itu direkodkan di sana, dan jika mengenai perbezaan, maka perbezaan itu direkodkan dan seterusnya.

Masalah 3. 2 dadu dibaling serentak. Apakah kebarangkalian mendapat jumlah kurang daripada 5 mata?

Mula-mula anda perlu memikirkan jumlah bilangan hasil percubaan. Semuanya jelas apabila melontar satu dadu 6 muka kubus - 6 hasil eksperimen. Tetapi apabila sudah ada dua dadu, maka hasil yang mungkin boleh diwakili sebagai pasangan tertib nombor dalam bentuk (x, y), di mana x menunjukkan berapa banyak mata yang jatuh pada dadu pertama (dari 1 hingga 6), dan y - berapa banyak mata yang jatuh pada dadu kedua (dari 1 hingga 6). Secara keseluruhannya akan ada pasangan berangka sedemikian: n=6*6=36 (36 sel sepadan dengannya dalam jadual hasil).

Sekarang anda boleh mengisi jadual, untuk ini, bilangan jumlah mata yang jatuh pada dadu pertama dan kedua dimasukkan dalam setiap sel. Jadual yang lengkap kelihatan seperti ini:

Terima kasih kepada jadual, kami akan menentukan bilangan hasil yang memihak kepada acara "penurunan jumlah kurang daripada 5 mata". Mari kita hitung bilangan sel, nilai jumlah yang akan ada kurang daripada bilangan 5 (iaitu 2, 3 dan 4). Untuk kemudahan, kami mengecat sel tersebut, ia akan menjadi m = 6:

Memandangkan data jadual, kebarangkalian dadu sama dengan: P=6/36=1/6.

Masalah 4. Dua dadu dibaling. Tentukan kebarangkalian bahawa hasil darab bilangan mata akan dibahagikan dengan 3.

Untuk menyelesaikan masalah, kami akan membuat jadual hasil darab mata yang jatuh pada dadu pertama dan kedua. Di dalamnya, kami segera memilih nombor yang merupakan gandaan 3:

Kami menulis jumlah bilangan hasil eksperimen n=36 (penaakulan adalah sama seperti dalam masalah sebelumnya) dan bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel yang berlorek dalam jadual) m=20. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah: P=20/36=5/9.

Masalah 5. Sebiji dadu dibaling dua kali. Apakah kebarangkalian bahawa perbezaan antara bilangan mata pada dadu pertama dan kedua adalah antara 2 dan 5?

Untuk menentukan kebarangkalian dadu Mari tuliskan jadual perbezaan skor dan pilih sel-sel di dalamnya, nilai perbezaannya adalah antara 2 dan 5:

Bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel yang berlorek dalam jadual) adalah sama dengan m=10, jumlah bilangan yang sama kemungkinan hasil asas akan menjadi n=36. Menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa: P=10/36=5/18.

Dalam kes acara mudah dan apabila membaling 2 dadu, anda perlu membina jadual, kemudian pilih sel yang diperlukan di dalamnya dan bahagikan nombornya dengan 36, ini akan dianggap sebagai kebarangkalian.

Jawab kiri tetamu

Dengan satu dadu, keadaannya sangat mudah. Biar saya ingatkan anda bahawa kebarangkalian ditemui oleh formula P=m/n
P
=
m
n
, di mana n
n
- bilangan semua hasil asas yang sama mungkin bagi eksperimen dengan melambung dadu atau dadu, dan m
m
- bilangan hasil yang memihak kepada acara tersebut.

Contoh 1. Mata dadu dibaling sekali. Apakah kebarangkalian mendapat mata genap?

Memandangkan dadu ialah kubus (mereka juga mengatakan dadu biasa, iaitu dadu adalah seimbang, supaya ia jatuh pada semua muka dengan kebarangkalian yang sama), muka dadu ialah 6 (dengan bilangan mata daripada 1 hingga 6, biasanya dilambangkan dengan mata), kemudian dan jumlah bilangan hasil dalam tugasan n=6
n
=
6
. Hanya hasil sedemikian yang menguntungkan untuk acara apabila muka dengan 2, 4 atau 6 mata (hanya satu mata sahaja) jatuh, muka tersebut adalah m = 3
m
=
3
. Maka kebarangkalian yang dikehendaki ialah P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Contoh 2. Sebiji dadu dibaling. Cari kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya 5 mata.

Kami berhujah dengan cara yang sama seperti dalam contoh sebelumnya. Jumlah bilangan hasil yang sama berkemungkinan apabila membaling dadu n=6
n
=
6
, dan syarat "sekurang-kurangnya 5 mata jatuh", iaitu, "sama ada 5 atau 6 mata jatuh" dipenuhi dengan 2 hasil, m=2
m
=
2
. Kebarangkalian yang diperlukan ialah P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Saya tidak nampak guna memberi lebih banyak contoh, mari kita beralih kepada dua dadu, di mana segala-galanya lebih menarik dan lebih sukar.

Dua dadu

Apabila ia datang kepada masalah dengan membaling 2 dadu, ia adalah sangat mudah untuk menggunakan jadual skor. Mari kita plot bilangan mata pada dadu pertama secara mendatar, dan bilangan mata pada dadu kedua secara menegak. Mari dapatkan kosong seperti itu (biasanya saya melakukannya dalam Excel, anda boleh memuat turun fail di bawah):

jadual pemarkahan untuk membaling 2 dadu
Dan bagaimana dengan sel jadual, anda bertanya? Dan ia bergantung kepada masalah apa yang akan kita selesaikan. Akan ada tugas tentang jumlah mata - kami akan menulis jumlah di sana, tentang perbezaan - kami akan menulis perbezaan, dan seterusnya. Adakah kita bermula?

Contoh 3. 2 dadu dibaling serentak. Cari kebarangkalian bahawa jumlah gulungan adalah kurang daripada 5.

Mula-mula, mari kita berurusan dengan jumlah bilangan hasil percubaan. apabila kami melancarkan satu mati, semuanya jelas, 6 muka - 6 hasil. Sudah terdapat dua tulang di sini, jadi hasilnya boleh diwakili sebagai pasangan tertib nombor dalam bentuk (x, y)
x
,
y
, di mana x
x
- berapa banyak mata jatuh pada mata pertama (dari 1 hingga 6), y
y
- berapa banyak mata jatuh pada mata kedua (dari 1 hingga 6). Jelas sekali, akan ada n=6⋅6=36 pasangan nombor tersebut
n
=
6
⋅
6
=
36
(dan ia sepadan dengan hanya 36 sel dalam jadual hasil).

Kini tiba masanya untuk mengisi jadual. Dalam setiap sel kita akan memasukkan jumlah bilangan mata yang dijatuhkan pada dadu pertama dan kedua dan kita akan mendapat gambar berikut:

jadual pemarkahan untuk membaling 2 dadu
Sekarang jadual ini akan membantu kami mencari bilangan hasil yang memihak kepada acara "jumlah kurang daripada 5" hasil. Untuk melakukan ini, kita mengira bilangan sel di mana nilai jumlahnya kurang daripada 5 (iaitu, 2, 3, atau 4). Untuk kejelasan, kami akan melukis di atas sel-sel ini, ia akan menjadi m = 6
m
=
6
:

jadual jumlah mata kurang daripada 5 apabila membaling 2 dadu
Maka kebarangkaliannya ialah: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Contoh 4. Dua dadu dibaling. Cari kebarangkalian bahawa hasil darab bilangan mata boleh dibahagi dengan 3.

Kami membuat jadual hasil daripada mata yang jatuh pada dadu pertama dan kedua. Segera pilih di dalamnya nombor yang merupakan gandaan 3:

jadual pemarkahan untuk membaling 2 dadu
Ia kekal hanya untuk menulis bahawa jumlah bilangan hasil n=36
n
=
36
(lihat contoh sebelumnya, alasannya adalah sama), dan bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel yang diisi dalam jadual di atas) m=20
m
=
20
. Maka kebarangkalian kejadian itu akan sama dengan P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Seperti yang anda lihat, jenis tugasan ini, dengan persediaan yang betul (untuk menyelesaikan beberapa tugas lagi), boleh diselesaikan dengan cepat dan mudah. Untuk perubahan, mari lakukan satu lagi tugasan dengan jadual lain (semua jadual boleh dimuat turun di bahagian bawah halaman).

Contoh 5. Sebuah dadu dilempar dua kali. Cari kebarangkalian bahawa perbezaan antara bilangan mata pada dadu pertama dan kedua ialah dari 2 hingga 5.

Mari tuliskan jadual perbezaan skor, pilih sel di dalamnya, di mana nilai perbezaannya adalah antara 2 dan 5:

jadual perbezaan markah untuk membaling 2 dadu
Supaya jumlah bilangan hasil asas yang sama mungkin n=36
n
=
36
, dan bilangan hasil yang menggalakkan (bilangan sel yang diisi dalam jadual di atas) ialah m=10
m
=
10
. Maka kebarangkalian kejadian itu akan sama dengan P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Jadi, dalam kes apabila ia datang untuk membaling 2 dadu dan acara sederhana, anda perlu membina jadual, pilih sel yang diperlukan di dalamnya dan bahagikan nombornya dengan 36, ini akan menjadi kebarangkalian. Sebagai tambahan kepada tugas pada jumlah, produk dan perbezaan bilangan mata, terdapat juga tugas pada modulus perbezaan, bilangan mata terkecil dan terbesar yang telah jatuh (anda boleh mencari jadual yang sesuai dalam fail Excel) .