Proses rawak dan ciri-cirinya. Fungsi rawak dan ciri-cirinya (contoh)

Kami mempunyai banyak kesempatan untuk mengesahkan apa nilai hebat dalam teori kebarangkalian mereka mempunyai ciri-ciri berangka asas pembolehubah rawak: jangkaan matematik dan serakan - untuk satu pembolehubah rawak, jangkaan matematik dan matriks korelasi - untuk sistem pembolehubah rawak. Seni menggunakan ciri berangka, meninggalkan undang-undang pengedaran sebanyak mungkin, adalah asas teori kebarangkalian yang digunakan. radas ciri berangka Ia adalah peranti yang sangat fleksibel dan berkuasa yang memungkinkan untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal dengan relatif mudah.

Radas yang serupa digunakan dalam teori fungsi rawak. Untuk fungsi rawak, ciri asas yang paling mudah, serupa dengan ciri berangka pembolehubah rawak, juga diperkenalkan, dan peraturan untuk tindakan dengan ciri ini ditetapkan. Alat sedemikian ternyata mencukupi untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal.

Tidak seperti ciri-ciri berangka pembolehubah rawak, yang mewakili nombor tertentu, ciri-ciri fungsi rawak mewakili kes am bukan nombor, tetapi fungsi.

Jangkaan matematik bagi fungsi rawak ditakrifkan seperti berikut. Mari kita pertimbangkan bahagian itu fungsi rawak pada tetap. Dalam bahagian ini kita mempunyai pembolehubah rawak biasa; Mari kita tentukan jangkaan matematiknya. Jelas sekali, dalam kes umum ia bergantung kepada, iaitu ia mewakili fungsi tertentu:

. (15.3.1)

Oleh itu, jangkaan matematik bagi fungsi rawak ialah fungsi bukan rawak, yang bagi setiap nilai hujah adalah sama dengan jangkaan matematik bahagian yang sepadan bagi fungsi rawak.

Dalam maksudnya, jangkaan matematik bagi fungsi rawak ialah beberapa fungsi purata di mana realisasi spesifik fungsi rawak berbeza-beza dalam cara yang berbeza.

Dalam Rajah. 15.3.1 garis nipis menunjukkan pelaksanaan fungsi rawak, garis tebal menunjukkan jangkaan matematiknya.

Varians fungsi rawak ditentukan dengan cara yang sama.

Varians bagi fungsi rawak ialah fungsi bukan rawak, yang nilainya bagi setiap satu adalah sama dengan varians bahagian yang sepadan bagi fungsi rawak:

. (15.3.2)

Varians fungsi rawak untuk setiap mencirikan penyebaran kemungkinan realisasi fungsi rawak berbanding purata, dengan kata lain, "darjah rawak" fungsi rawak.

Jelas sekali terdapat fungsi bukan negatif. Mengambil semula daripadanya punca kuasa dua, kita mendapat fungsi - sisihan piawai bagi fungsi rawak:

. (15.3.3)

Jangkaan dan varians sangat ciri-ciri penting fungsi rawak; bagaimanapun, ciri-ciri ini tidak mencukupi untuk menerangkan ciri-ciri utama fungsi rawak. Untuk mengesahkan ini, pertimbangkan dua fungsi rawak dan , digambarkan dengan jelas oleh keluarga pelaksanaan dalam Rajah. 15.3.2 dan 15.3.3.

Fungsi rawak mempunyai jangkaan dan varians matematik yang hampir sama; bagaimanapun, sifat fungsi rawak ini berbeza dengan ketara. Fungsi rawak (Rajah 15.3.2) dicirikan oleh perubahan yang lancar dan beransur-ansur. Jika, sebagai contoh, pada satu titik fungsi rawak mengambil nilai yang ketara lebih tinggi daripada purata, maka kemungkinan besar pada titik itu ia juga akan mengambil nilai yang lebih tinggi daripada purata. Fungsi rawak dicirikan oleh pergantungan yang jelas antara nilainya pada berbeza. Sebaliknya, fungsi rawak (Rajah 15.3.3) mempunyai watak berayun tajam dengan ayunan yang tidak teratur dan huru-hara. Fungsi rawak sedemikian dicirikan oleh pengecilan pesat pergantungan antara nilainya apabila jarak di antara mereka meningkat.

Jelas sekali, struktur dalaman kedua-duanya proses rawak berbeza sama sekali, tetapi perbezaan ini tidak ditangkap oleh sama ada jangkaan matematik atau serakan; Untuk menerangkannya, perlu menyediakan ciri khas. Ciri ini dipanggil fungsi korelasi (jika tidak - fungsi autokorelasi). Fungsi korelasi mencirikan tahap pergantungan antara bahagian fungsi rawak kepunyaan berbeza .

Biarkan terdapat fungsi rawak (Rajah 15.3.4); Mari kita pertimbangkan dua bahagiannya yang berkaitan dengan pelbagai detik: dan , iaitu dua pembolehubah rawak dan . Jelas sekali, untuk nilai rapat, kedua-dua kuantiti adalah berkait rapat: jika kuantiti telah mengambil nilai tertentu, maka kuantiti itu kemungkinan besar akan mengambil nilai yang hampir dengannya. Ia juga jelas bahawa apabila selang antara bahagian meningkat, pergantungan kuantiti secara amnya akan berkurangan.

Tahap pergantungan kuantiti dan sebahagian besarnya boleh dicirikan oleh momen korelasi mereka; jelas ia adalah fungsi dua hujah dan . Fungsi ini dipanggil fungsi korelasi.

Oleh itu, fungsi korelasi bagi fungsi rawak ialah fungsi bukan rawak bagi dua argumen, yang, bagi setiap pasangan nilai, adalah sama dengan momen korelasi bahagian yang sepadan bagi fungsi rawak:

, (15.3.4)

, .

Mari kita kembali kepada contoh fungsi rawak dan (Rajah 15.3.2 dan 15.3.3). Kini kita melihat bahawa dengan jangkaan dan varians matematik yang sama, fungsi rawak mempunyai fungsi korelasi yang berbeza sama sekali. Fungsi korelasi bagi fungsi rawak berkurangan secara perlahan apabila selang bertambah; sebaliknya, fungsi korelasi fungsi rawak berkurangan dengan cepat apabila selang ini meningkat.

Mari kita ketahui fungsi korelasi menjadi apa apabila hujahnya bertepatan. Dengan mengandaikan, kami mempunyai:

, (15.3.5)

iaitu, apabila fungsi korelasi bertukar menjadi varians bagi fungsi rawak.

Oleh itu, keperluan untuk varians sebagai ciri yang berasingan fungsi rawak hilang: sebagai ciri utama fungsi rawak, sudah cukup untuk mempertimbangkan jangkaan matematik dan fungsi korelasinya.

Oleh kerana momen korelasi dua pembolehubah rawak tidak bergantung pada urutan di mana nilai ini dipertimbangkan, fungsi korelasi adalah simetri berkenaan dengan hujahnya, iaitu, ia tidak berubah apabila argumen ditukar:

. (15.3.6)

Jika kita menggambarkan fungsi korelasi sebagai permukaan, maka permukaan ini akan simetri berkenaan dengan satah menegak yang melalui pembahagi dua sudut (Rajah 15.3.5).

Ambil perhatian bahawa sifat-sifat fungsi korelasi secara semula jadi mengikut daripada sifat-sifat matriks korelasi sistem pembolehubah rawak. Sesungguhnya, mari kita gantikan fungsi rawak yang lebih kurang dengan sistem pembolehubah rawak. Dengan peningkatan dan penurunan yang sepadan dalam selang antara argumen, matriks korelasi sistem, yang merupakan jadual dua input, dalam had bertukar menjadi fungsi dua argumen yang berubah secara berterusan, yang mempunyai sifat yang serupa. Sifat simetri matriks korelasi berkenaan dengan pepenjuru utama berubah menjadi sifat simetri fungsi korelasi (15.3.6). Di sepanjang pepenjuru utama matriks korelasi ialah varians pembolehubah rawak; begitu juga, apabila fungsi korelasi bertukar menjadi serakan.

Dalam amalan, jika perlu untuk membina fungsi korelasi bagi fungsi rawak, satu biasanya berjalan seperti berikut: mereka diberikan satu siri nilai hujah yang sama jaraknya dan membina matriks korelasi sistem pembolehubah rawak yang terhasil. Matriks ini tidak lebih daripada jadual nilai fungsi korelasi untuk grid segi empat tepat nilai argumen pada satah. Seterusnya, dengan interpolasi atau penghampiran, anda boleh membina fungsi dua hujah.

Daripada fungsi korelasi, anda boleh menggunakan fungsi korelasi ternormal:

, (15.3.7)

yang merupakan pekali korelasi bagi kuantiti , . Fungsi korelasi ternormal adalah serupa dengan matriks korelasi ternormal sistem pembolehubah rawak. Apabila fungsi korelasi ternormal adalah sama dengan perpaduan.

o Fungsi rawak ialah fungsi X(t), yang nilainya untuk sebarang nilai hujah t ialah pembolehubah rawak.

Dalam erti kata lain, fungsi rawak ialah fungsi yang, sebagai hasil percubaan, boleh mengambil satu atau satu lagi bentuk khusus, walaupun tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu.

o Bentuk khusus yang diambil oleh pembolehubah rawak hasil eksperimen dipanggil pelaksanaan fungsi rawak.

Kerana dalam amalan, hujah t selalunya sementara, maka fungsi rawak dipanggil sebaliknya proses rawak.

Rajah menunjukkan beberapa pelaksanaan proses rawak.

Jika kita menetapkan nilai hujah t, maka fungsi rawak X(t) akan bertukar menjadi pembolehubah rawak, yang dipanggil keratan rentas fungsi rawak, sepadan dengan masa t. Kami akan menganggap bahawa pengagihan keratan rentas adalah berterusan. Kemudian X(t) untuk t tertentu ditentukan oleh ketumpatan taburan p(x; t).

Jelas sekali, p(x; t) bukanlah ciri menyeluruh bagi fungsi rawak X(t), kerana ia tidak menyatakan pergantungan antara bahagian X(t) pada masa t yang berbeza. Lagi penerangan penuh memberikan fungsi - ketumpatan taburan bersama sistem pembolehubah rawak , di mana t 1 dan t 2 ialah nilai arbitrari bagi hujah t fungsi rawak. Pencirian yang lebih lengkap bagi fungsi rawak X(t) akan diberikan oleh ketumpatan taburan serasi bagi sistem tiga pembolehubah rawak, dsb.

o Mereka mengatakan bahawa proses rawak mempunyai perintah n, jika ia ditentukan sepenuhnya oleh ketumpatan taburan serasi n bahagian sewenang-wenangnya proses, i.e. sistem n pembolehubah rawak, di mana X(t i) ialah keratan rentas proses yang sepadan dengan momen masa t i, tetapi tidak ditentukan dengan menyatakan taburan bersama bilangan bahagian yang lebih kecil daripada n.

o Jika ketumpatan taburan bersama dua keratan rentas sewenang-wenangnya menentukannya sepenuhnya, maka proses sedemikian dipanggil Markovsky.

Biarkan terdapat fungsi rawak X(t). Tugasan timbul untuk menerangkannya menggunakan satu atau lebih ciri bukan rawak. Sebagai yang pertama daripada mereka, adalah wajar untuk mengambil fungsi itu -jangkaan matematik bagi proses rawak. Yang kedua diambil sebagai purata sisihan piawai proses rawak .

Ciri-ciri ini adalah beberapa fungsi t. Yang pertama ialah trajektori purata untuk semua pelaksanaan yang mungkin. Yang kedua mencirikan penyebaran kemungkinan realisasi fungsi rawak di sekitar trajektori purata. Tetapi ciri-ciri ini tidak mencukupi. Adalah penting untuk mengetahui pergantungan kuantiti X(t 1) dan X(t 2). Kebergantungan ini boleh dicirikan menggunakan fungsi korelasi atau momen korelasi.

Biarkan terdapat dua proses rawak, beberapa pelaksanaan yang ditunjukkan dalam rajah.

Proses rawak ini mempunyai jangkaan dan purata matematik yang hampir sama sisihan segi empat sama. Walau bagaimanapun, ini pelbagai proses. Sebarang pelaksanaan untuk fungsi rawak X 1 (t) perlahan-lahan mengubah nilainya dengan perubahan dalam t, yang tidak boleh dikatakan tentang fungsi rawak X 2 (t). Untuk proses pertama, pergantungan antara keratan rentas X 1 (t) dan akan lebih besar daripada kebergantungan untuk keratan rentas X 2 (t) dan proses kedua, i.e. berkurangan lebih perlahan daripada , dengan peningkatan Δt. Dalam kes kedua, proses "melupakan" masa lalunya lebih cepat.

Marilah kita memikirkan sifat-sifat fungsi korelasi, yang mengikuti dari sifat momen korelasi sepasang pembolehubah rawak.

Harta 1. Sifat simetri.

Harta 2. Jika sebutan bukan rawak ditambahkan pada fungsi rawak X(t), maka fungsi korelasi tidak akan berubah, i.e. .

sungguh,

Harta 3., di manakah fungsi bukan rawak.

Fungsi lapisan kompleks dipanggil fungsi

Z(t)=X(t)+Y(t)i,

di mana X(t) Dan Y(t)-fungsi rawak sebenar bagi hujah sebenar t.

Mari kita umumkan takrifan jangkaan dan varians matematik kepada fungsi rawak kompleks supaya, khususnya, pada Y = 0, ciri-ciri ini bertepatan dengan ciri-ciri yang diperkenalkan sebelum ini untuk fungsi rawak sebenar, iaitu, supaya keperluan dipenuhi:

m z(t)=m x(t)(*)

Dz(t)=D x(t)(**)

Matematik,menunggu,fungsi rawak kompleks Z(t)=X(t)+Y(t)i dipanggil fungsi kompleks(bukan rawak)

m z ( t)=m x(t)+m y(t)i.

Khususnya, untuk Y=0 kita dapat t z(t)=t x(t), mereka. keperluan (*) dipenuhi.

Penyerakan fungsi rawak kompleks Z(t) ialah jangkaan matematik bagi modulus kuasa dua bagi fungsi berpusat Z(t):

Dz(t)=M[| (t)| 2 ].

Khususnya, untuk Y==0 kita memperoleh D z ( t)= M[| (t)|] 2 =D x(t), iaitu keperluan (**) dipenuhi.

Memandangkan jangkaan matematik bagi jumlah itu adalah sama dengan jumlah jangkaan matematik bagi istilah, kami telah

Dz(t)=M[| (t)| 2 ]=M{[ (t)] 2 + [ (t) 2 ]}=M[ (t)] 2 +M[ (t) 2 ]=D x(t)+D y(t).

Jadi, varians bagi fungsi rawak kompleks adalah sama dengan jumlah varians bahagian nyata dan khayalannya:

D z ( t)=D x(t)+D y(t).

Adalah diketahui bahawa fungsi korelasi bagi fungsi rawak sebenar X(t) pada makna yang berbeza hujah yang sama dengan varians D x(t). Mari kita umumkan definisi fungsi korelasi kepada fungsi rawak kompleks Z(t) supaya apabila nilai yang sama hujah t 1 =t 2 =t fungsi korelasi K z(t,t) adalah sama dengan varians Dz(t), iaitu, supaya keperluan itu dipenuhi

K z(t,t)=D z(t). (***)

Fungsi korelasi bagi fungsi rawak kompleks Z(t) dipanggil momen korelasi keratan rentas ( t 1) dan ( t 2)

K z(t 1 ,t 2)= M.

Khususnya, dengan nilai hujah yang sama

K z(t,t)= M=M[| | 2 ]=Dz(t).

iaitu keperluan (***) dipenuhi.

Jika fungsi rawak sebenar X(t) Dan Y(t) adalah berkorelasi, maka

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2)+ [Rxy(t 2 ,t 1)]+ [Rxy(t 1 ,t 1)].

Jika X(t) Dan Y(t) tidak berkorelasi, maka

K z(t 1 ,t 2)= K x(t 1 ,t 2)+K y(t 1 ,t 2).

Mari kita umumkan definisi fungsi korelasi silang kepada fungsi rawak kompleks Z 1 (t)=X 1 (t)+Y 1 (t)i Dan Z 2 (t)=X 2 (t)+Y 2 (t)i supaya, khususnya, apabila Y 1 =Y 2 = 0 keperluan dipenuhi

Fungsi korelasi silang dua fungsi rawak kompleks panggil fungsi (bukan rawak)

Khususnya, apabila Y 1 =Y 2 =0 kita dapat

iaitu keperluan (****) dipenuhi.

Fungsi korelasi bersama dua fungsi rawak kompleks dinyatakan dalam sebutan mutual fungsi korelasi bahagian nyata dan khayalan mereka dengan formula berikut:

Tugasan

1. Cari jangkaan matematik bagi fungsi rawak:

a) X(t)=Ut 2 di mana U-pembolehubah rawak, dan M(U)=5 ,

b)X(t)=U cos2 t+Vt, Di mana U Dan V- pembolehubah rawak, dan M(U)=3 ,M(V)=4 .

Rep. a) m x (t)=5t 2 ; b) t x (t)=3 cos2t+4t.

2. K x(t 1 ,t 2) fungsi rawak X(t). Cari fungsi korelasi bagi fungsi rawak:

a) Y(t)=X(t)+t; b) Y(t)=(t+1)X(t); V) Y(t)=4X(t).

Rep. a) K y (t 1 ,t 2) = K x (t 1 ,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.

3. Varians dinyatakan D x(t) fungsi rawak X(t). Cari varians fungsi rawak: a) Y(t)=X(t)+e t b)Y(t)=tX(t).

Balas. a) Dy(t)=D x(t); b) Dy(t)=t 2 D x(t).

4. Cari: a) jangkaan matematik; b) fungsi korelasi; c) varians fungsi rawak X(t)=Usin 2t, Di mana U- pembolehubah rawak, dan M(U)=3 ,D(U)=6 .

Balas. A) m x(t) =3dosa 2t; b) K x(t 1 ,t 2)= 6dosa 2t 1 dosa 2t 2 ; V) D x(t)=6dosa 2 2t.

5. Cari fungsi korelasi ternormal bagi fungsi rawak X(t), mengetahui fungsi korelasinya K x(t 1 ,t 2)=3cos(t 2 -t 1).

Rep. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Cari: a) fungsi korelasi bersama; b) fungsi korelasi silang ternormal bagi dua fungsi rawak X(t)=(t+1)U, dan Y( t)= (t 2 + 1)U, Di mana U- pembolehubah rawak, dan D(U)=7.

Balas. a) Rxy(t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)( t 2 2 +l); b) ρ xy(t 1 ,t 2)=1.

7. Fungsi rawak diberikan X(t)= (t- 1)U Dan Y(t)=t 2 U, Di mana U Dan V- pembolehubah rawak tidak berkorelasi, dan M(U)=2, M(V)= 3,D(U)=4 , D(V)=5 . Cari: a) jangkaan matematik; b) fungsi korelasi; c) varians jumlah Z(t)=X(t)+Y(t).

Nota. Pastikan bahawa fungsi korelasi silang bagi fungsi rawak yang diberikan adalah sama dengan sifar dan, oleh itu, X(t) Dan Y(t) tidak berkorelasi.

Balas. A) m z(t)=2(t- 1)+3t 2 ; b) K z(t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)( t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; V) Dz(t)=4(t- 1) 2 +6t 4.

8. Jangkaan matematik diberikan m x(t)=t 2 +1 fungsi rawak X(t). Cari jangkaan matematik bagi terbitannya.

9. Jangkaan matematik diberikan m x(t)=t 2 +3 fungsi rawak X(t). Cari jangkaan matematik bagi fungsi rawak Y(t)=tX"(t)+t 3.

Rep. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Fungsi korelasi diberikan K x(t 1 ,t 2) = fungsi rawak X(t). Cari fungsi korelasi bagi terbitannya.

11. Fungsi korelasi diberikan K x(t 1 ,t 2) = fungsi rawak X(t). Cari fungsi korelasi silang.

Tugas utama

Kita boleh membezakan dua jenis masalah utama, penyelesaiannya memerlukan penggunaan teori fungsi rawak.

Tugas langsung (analisis): parameter peranti tertentu dan ciri kebarangkaliannya (jangkaan matematik, fungsi korelasi, undang-undang pengedaran) fungsi (isyarat, proses) yang tiba pada "input"nya ditentukan; adalah perlu untuk menentukan ciri-ciri pada "output" peranti (ia digunakan untuk menilai "kualiti" operasi peranti).

Masalah songsang (sintesis): ciri kebarangkalian bagi fungsi "input" dan "output" ditentukan; diperlukan untuk mereka bentuk peranti optimum(cari parameternya), yang mengubah fungsi input yang diberikan kepada fungsi output yang mempunyai ciri-ciri yang diberikan. Penyelesaian kepada masalah ini memerlukan, sebagai tambahan kepada radas fungsi tarikan rawak, disiplin lain dan tidak dipertimbangkan dalam buku ini.

Definisi fungsi rawak

Fungsi rawak dipanggil fungsi hujah bukan rawak t, yang bagi setiap nilai tetap argumen adalah pembolehubah rawak. Fungsi Hujah Rawak t menandakan dalam huruf besar X(t), Y(t) dll.

Sebagai contoh, jika U- pembolehubah rawak, kemudian fungsi X(!)=C U - rawak. Sesungguhnya, untuk setiap nilai tetap hujah, fungsi ini ialah pembolehubah rawak: untuk t ( = 2

kita mendapat pembolehubah rawak X x = AU di t 2= 1.5 - pembolehubah rawak X 2 = 2,25 U dll.

Untuk ringkasan pembentangan selanjutnya, kami memperkenalkan konsep bahagian.

Bahagian Fungsi rawak ialah pembolehubah rawak yang sepadan dengan nilai tetap argumen bagi fungsi rawak. Sebagai contoh, untuk fungsi rawak X(t) = t 2 U, diberikan di atas, dengan nilai argumen 7, = 2 dan t 2= 1.5 pembolehubah rawak diperoleh dengan sewajarnya X ( = AUn X 2 = 2.2577, yang merupakan bahagian bagi fungsi rawak yang diberikan.

Jadi, fungsi rawak boleh dianggap sebagai satu set pembolehubah rawak (X(?)), bergantung pada parameter t. Satu lagi tafsiran fungsi rawak adalah mungkin jika kita memperkenalkan konsep pelaksanaannya.

Perlaksanaan (trajektori, fungsi selektif) fungsi rawak X(t) panggil fungsi hujah bukan rawak t, sama dengan fungsi rawak yang mungkin menjadi hasil daripada ujian.

Oleh itu, jika fungsi rawak diperhatikan dalam eksperimen, maka pada hakikatnya salah satu kemungkinan pelaksanaannya diperhatikan; Jelas sekali, apabila percubaan diulang, pelaksanaan yang berbeza akan diperhatikan.

Pelaksanaan fungsi X(t) menandakan huruf kecil x t (t) t x 2 (t) dsb., di mana indeks menunjukkan nombor ujian. Sebagai contoh, jika X(t)= (/dosa t, di mana U- pembolehubah rawak berterusan yang mengambil nilai yang mungkin dalam ujian pertama dan ( = 3, dan dalam ujian kedua dan 2 = 4.6, kemudian pelaksanaan X(t) masing-masing adalah fungsi bukan rawak X ( (t) = 3 dosa t Dan x 2 (t) = 4.6dosa t.

Jadi, fungsi rawak boleh dianggap sebagai satu set pelaksanaan yang mungkin.

rawak (stokastik) proses panggil fungsi hujah rawak t, yang ditafsirkan sebagai masa. Sebagai contoh, jika kapal terbang mesti terbang di tempat tertentu kelajuan tetap, maka pada hakikatnya, disebabkan oleh pengaruh faktor rawak (turun naik suhu, perubahan dalam kekuatan angin, dll.), Pengaruh yang tidak boleh diambil kira terlebih dahulu, perubahan kelajuan. Dalam contoh ini, kelajuan pesawat adalah fungsi rawak bagi hujah (masa) yang terus berubah, i.e. kelajuan adalah proses rawak.

Ambil perhatian bahawa jika hujah fungsi rawak berubah secara diskret, maka nilai yang sepadan bagi fungsi rawak (pembolehubah rawak) terbentuk urutan rawak.

Hujah fungsi rawak boleh bukan sahaja masa. Sebagai contoh, jika diameter benang tenunan diukur sepanjang panjangnya, maka disebabkan oleh pengaruh faktor rawak, diameter benang berubah. Dalam contoh ini, diameter ialah fungsi rawak bagi hujah yang sentiasa berubah-ubah (panjang benang).

Jelas sekali, secara amnya mustahil untuk mentakrifkan fungsi rawak secara analitik (dengan formula). Dalam kes khas, jika bentuk fungsi rawak diketahui, dan parameter penentunya ialah pembolehubah rawak, ia boleh ditentukan secara analitikal. Sebagai contoh, fungsi rawak ialah:

X(t)= sin Qf, di mana Q ialah pembolehubah rawak,

X(t)= G/sin t, di mana U- pembolehubah rawak

X(t) = G/sin Qt, di mana TENTANG. dan )