Maksud terbitan pertama. Derivatif fungsi

Berikut ialah jadual ringkasan untuk kemudahan dan kejelasan semasa mempelajari topik tersebut.

tetapy=C Fungsi kuasa y = x p (x p)" = p x p - 1	Fungsi eksponeny = x (a x)" = a x ln a Khususnya, apabilaa = ekita ada y = e x (e x)" = e x
fungsi logaritma (log a x) " = 1 x ln a Khususnya, apabilaa = ekita ada y = log x (ln x)" = 1 x	Fungsi trigonometri (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Fungsi trigonometri songsang (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Fungsi hiperbolik (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Marilah kita menganalisis bagaimana formula jadual yang ditunjukkan diperolehi, atau, dengan kata lain, kita akan membuktikan terbitan formula untuk derivatif untuk setiap jenis fungsi.

Terbitan pemalar

Bukti 1

Untuk mendapatkan formula ini, kami mengambil sebagai asas takrif terbitan fungsi pada satu titik. Kami menggunakan x 0 = x, di mana x mengambil nilai mana-mana nombor nyata, atau, dengan kata lain, x ialah sebarang nombor daripada domain bagi fungsi f (x) = C . Mari kita tulis had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah sebagai ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Sila ambil perhatian bahawa ungkapan 0 ∆ x berada di bawah tanda had. Ia bukan ketidakpastian "sifar dibahagikan dengan sifar", kerana pengangka tidak mengandungi nilai yang sangat kecil, tetapi sifar. Dalam erti kata lain, kenaikan fungsi malar sentiasa sifar.

Jadi, terbitan bagi fungsi pemalar f (x) = C adalah sama dengan sifar ke atas keseluruhan domain takrifan.

Contoh 1

Diberi fungsi tetap:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Keputusan

Mari kita terangkan syarat yang diberikan. Dalam fungsi pertama kita melihat terbitan nombor asli 3 . Dalam contoh berikut, anda perlu mengambil terbitan daripada a, di mana a- sebarang nombor nyata. Contoh ketiga memberikan kita terbitan nombor tak rasional 4 . 13 7 22 , keempat - terbitan sifar (sifar ialah integer). Akhir sekali, dalam kes kelima, kita mempunyai terbitan pecahan rasional - 8 7 .

Jawapan: terbitan bagi fungsi yang diberikan adalah sifar untuk sebarang nyata x(di seluruh domain definisi)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivatif fungsi kuasa

Kami beralih kepada fungsi kuasa dan formula untuk terbitannya, yang mempunyai bentuk: (x p) " = p x p - 1, di mana eksponen hlm ialah sebarang nombor nyata.

Bukti 2

Berikut ialah bukti formula apabila eksponen ialah nombor asli: p = 1 , 2 , 3 , …

Sekali lagi, kami bergantung pada definisi terbitan. Mari kita tulis had nisbah pertambahan fungsi kuasa kepada pertambahan hujah:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Untuk memudahkan ungkapan dalam pengangka, kami menggunakan formula binomial Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Oleh itu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Jadi, kami membuktikan formula untuk terbitan fungsi kuasa apabila eksponen ialah nombor asli.

Bukti 3

Untuk memberi bukti bagi kes apabila p- sebarang nombor nyata selain daripada sifar, kita menggunakan terbitan logaritma (di sini kita harus memahami perbezaan daripada terbitan fungsi logaritma). Untuk mempunyai pemahaman yang lebih lengkap, adalah wajar untuk mengkaji terbitan fungsi logaritma dan tambahan pula berurusan dengan terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat dan terbitan bagi fungsi kompleks.

Pertimbangkan dua kes: bila x positif dan bila x adalah negatif.

Jadi x > 0 . Kemudian: x p > 0 . Kami mengambil logaritma kesamaan y \u003d x p ke asas e dan menggunakan sifat logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Pada peringkat ini, fungsi yang ditakrifkan secara tersirat telah diperolehi. Mari kita tentukan derivatifnya:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Sekarang kita mempertimbangkan kes apabila x- nombor negatif.

Jika penunjuk hlm ialah nombor genap, maka fungsi kuasa juga ditakrifkan untuk x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Kemudian xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jika hlm ialah nombor ganjil, maka fungsi kuasa ditakrifkan untuk x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Peralihan terakhir adalah mungkin kerana jika hlm ialah nombor ganjil, maka p - 1 sama ada nombor genap atau sifar (untuk p = 1), oleh itu, untuk negatif x kesamaan (- x) p - 1 = x p - 1 adalah benar.

Jadi, kami telah membuktikan formula untuk terbitan fungsi kuasa untuk sebarang p sebenar.

Contoh 2

Fungsi yang diberikan:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Tentukan derivatifnya.

Keputusan

Kami menukar sebahagian daripada fungsi yang diberikan kepada bentuk jadual y = x p , berdasarkan sifat darjah, dan kemudian menggunakan formula:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Terbitan fungsi eksponen

Bukti 4

Kami memperoleh formula untuk derivatif, berdasarkan definisi:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Kami mendapat ketidakpastian. Untuk mengembangkannya, kita tulis pembolehubah baharu z = a ∆ x - 1 (z → 0 sebagai ∆ x → 0). Dalam kes ini a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Untuk peralihan terakhir, formula peralihan kepada asas baharu logaritma digunakan.

Mari lakukan penggantian dalam had asal:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Ingat had indah kedua dan kemudian kita mendapat formula untuk terbitan fungsi eksponen:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Contoh 3

Fungsi eksponen diberikan:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Kita perlu mencari derivatif mereka.

Keputusan

Kami menggunakan formula untuk terbitan fungsi eksponen dan sifat logaritma:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Terbitan bagi fungsi logaritma

Bukti 5

Kami membentangkan bukti formula untuk terbitan fungsi logaritma untuk sebarang x dalam domain takrifan dan sebarang nilai sah asas a logaritma. Berdasarkan definisi derivatif, kita dapat:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Ia boleh dilihat daripada rantaian kesamaan yang ditentukan bahawa transformasi itu dibina berdasarkan sifat logaritma. Kesamaan lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e adalah benar mengikut had luar biasa kedua.

Contoh 4

Fungsi logaritma diberikan:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Ia adalah perlu untuk mengira derivatif mereka.

Keputusan

Mari gunakan formula terbitan:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Jadi terbitan logaritma asli ialah satu dibahagikan dengan x.

Terbitan fungsi trigonometri

Bukti 6

Kami menggunakan beberapa formula trigonometri dan had indah pertama untuk memperoleh formula bagi terbitan fungsi trigonometri.

Menurut definisi terbitan fungsi sinus, kita dapat:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula untuk perbezaan sinus akan membolehkan kita melakukan tindakan berikut:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Akhir sekali, kami menggunakan had indah pertama:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Jadi terbitan bagi fungsi tersebut dosa x kehendak kerana x.

Kami juga akan membuktikan formula untuk terbitan kosinus dengan cara yang sama:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Itu. terbitan bagi fungsi cos x ialah – dosa x.

Kami memperoleh formula untuk terbitan tangen dan kotangen berdasarkan peraturan pembezaan:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Terbitan bagi fungsi trigonometri songsang

Bahagian terbitan bagi fungsi songsang menyediakan maklumat komprehensif tentang bukti formula untuk terbitan arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent, jadi kami tidak akan menduplikasi bahan di sini.

Terbitan fungsi hiperbolik

Bukti 7

Kita boleh memperoleh formula untuk terbitan sinus hiperbolik, kosinus, tangen dan kotangen menggunakan peraturan pembezaan dan formula untuk terbitan bagi fungsi eksponen:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Boleh dikeluarkan dari tanda terbitan:

(af(x)"=af" (x).

Sebagai contoh:

Terbitan bagi jumlah algebra beberapa fungsi (diambil dalam nombor tetap) adalah sama dengan jumlah algebra bagi mereka derivatif:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Sebagai contoh:

(0.3 x 2 - 2 x + 0.8) "= (0.3 x 2)" - (2 x) "+ (0.8)" = 0.6 x - 2 ( terbitan terakhir istilah persamaan ialah sifar).

Jika derivatif fungsi g ialah bukan sifar, maka nisbah f/g juga mempunyai terbitan akhir. Sifat ini boleh ditulis sebagai:

.

Biarkan fungsi y = f(x) dan y = g(x) mempunyai terbitan terhingga pada titik x 0 . Kemudian fungsi f ± g dan f g juga mempunyai derivatif akhir dalam ini titik. Kemudian kita dapat:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Terbitan fungsi kompleks.

Biarkan fungsi y = f(x) mempunyai terbitan akhir pada satu titik x 0 , fungsi z = s(y) mempunyai terbitan terhingga pada titik y 0 = f(x 0).

Kemudian fungsi kompleks z = s (f(x)) juga mempunyai terbitan terhingga pada ketika ini. Ini boleh ditulis dalam bentuk:

.

Terbitan bagi fungsi songsang.

Biarkan fungsi y = f(x) mempunyai fungsi songsang x = g(y) pada beberapa selang waktu(a, b) dan wujud bukan sifar terbitan akhir fungsi ini pada titik x 0 , yang kepunyaan domain, iaitu x 0 ∈ (a, b).

Kemudian fungsi songsang Ia ada terbitan pada titik y 0 = f(x 0):

.

Terbitan bagi fungsi tersirat.

Jika fungsi y = f(x) ditakrifkan secara tersirat persamaan F(x, y(x)) = 0, maka ia terbitan didapati daripada keadaan:

.

Mereka berkata begitu fungsi y = f(x) ditetapkan secara tersirat, Jika dia secara identik memenuhi hubungan:

di mana F(x, y) ialah beberapa fungsi bagi dua hujah.

Terbitan bagi fungsi yang diberi secara parametrik.

Jika fungsi y = f(x) diberi secara parametrik menggunakan pertimbangan

Terbitan fungsi adalah salah satu topik yang paling sukar dalam kurikulum sekolah. Tidak setiap graduan akan menjawab soalan tentang apa itu derivatif.

Artikel ini secara ringkas dan jelas menerangkan apa itu derivatif dan mengapa ia diperlukan.. Kami sekarang tidak akan berusaha untuk ketegasan matematik pembentangan. Perkara yang paling penting ialah memahami maksudnya.

Mari kita ingat definisi:

Derivatif ialah kadar perubahan fungsi.

Rajah menunjukkan graf bagi tiga fungsi. Mana satu yang anda rasa paling cepat berkembang?

Jawapannya jelas - yang ketiga. Ia mempunyai kadar perubahan tertinggi, iaitu terbitan terbesar.

Berikut adalah satu lagi contoh.

Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada masa yang sama. Mari lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:

Anda boleh melihat segala-galanya pada carta serta-merta, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih daripada dua kali ganda dalam tempoh enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matthew menurun kepada sifar. Keadaan permulaan adalah sama, tetapi kadar perubahan fungsi, i.e. terbitan, - berbeza. Bagi Matvey, derivatif pendapatannya secara amnya adalah negatif.

Secara intuitif, kita boleh menganggarkan kadar perubahan fungsi dengan mudah. Tetapi bagaimana kita melakukannya?

Apa yang kita benar-benar melihat ialah betapa curamnya graf fungsi itu naik (atau turun). Dengan kata lain, berapa cepat y berubah dengan x. Jelas sekali, fungsi yang sama pada titik yang berbeza boleh mempunyai nilai derivatif yang berbeza - iaitu, ia boleh berubah lebih cepat atau lebih perlahan.

Terbitan bagi suatu fungsi dilambangkan dengan .

Mari tunjukkan cara mencari menggunakan graf.

Satu graf bagi beberapa fungsi dilukis. Ambil titik di atasnya dengan abscissa. Lukis tangen kepada graf fungsi pada titik ini. Kami ingin menilai sejauh mana graf fungsi itu naik. Nilai yang berguna untuk ini ialah tangen cerun tangen.

Terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Sila ambil perhatian - sebagai sudut kecondongan tangen, kita mengambil sudut antara tangen dan arah positif paksi.

Kadangkala pelajar bertanya apakah tangen kepada graf fungsi. Ini ialah garis lurus yang mempunyai satu-satunya titik sepunya dengan graf dalam bahagian ini, lebih-lebih lagi, seperti yang ditunjukkan dalam rajah kami. Ia kelihatan seperti tangen kepada bulatan.

Jom cari. Kami ingat bahawa tangen sudut akut dalam segi tiga tepat adalah sama dengan nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan. Dari segi tiga:

Kami mendapati terbitan menggunakan graf tanpa mengetahui formula fungsi itu. Tugasan sebegini sering dijumpai dalam peperiksaan dalam matematik di bawah nombor.

Terdapat satu lagi korelasi penting. Ingat bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan

Kuantiti dalam persamaan ini dipanggil kecerunan garis lurus. Ia sama dengan tangen sudut kecondongan garis lurus ke paksi.

.

Kami dapat itu

Mari kita ingat formula ini. Ia menyatakan makna geometri bagi terbitan.

Terbitan bagi fungsi pada satu titik adalah sama dengan kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Dalam erti kata lain, terbitan adalah sama dengan tangen cerun tangen.

Kami telah mengatakan bahawa fungsi yang sama boleh mempunyai derivatif yang berbeza pada titik yang berbeza. Mari lihat bagaimana derivatif berkaitan dengan kelakuan fungsi.

Mari kita lukis graf bagi beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa kawasan, dan berkurangan di kawasan lain, dan pada kadar yang berbeza. Dan biarkan fungsi ini mempunyai mata maksimum dan minimum.

Pada satu ketika, fungsi semakin meningkat. Tangen kepada graf, dilukis pada titik, membentuk sudut lancip dengan arah positif paksi. Jadi derivatif adalah positif pada titik.

Pada ketika itu, fungsi kita semakin berkurangan. Tangen pada titik ini membentuk sudut tumpul dengan arah positif paksi. Oleh kerana tangen bagi sudut tumpul adalah negatif, terbitan pada titik adalah negatif.

Inilah yang berlaku:

Jika fungsi bertambah, terbitannya adalah positif.

Jika ia berkurangan, terbitannya adalah negatif.

Dan apa yang akan berlaku pada mata maksimum dan minimum? Kita melihat bahawa pada (titik maksimum) dan (titik minimum) tangen adalah mendatar. Oleh itu, tangen cerun tangen pada titik ini adalah sifar, dan terbitan juga sifar.

Titik adalah titik maksimum. Pada ketika ini, peningkatan fungsi digantikan dengan penurunan. Akibatnya, tanda derivatif berubah pada titik daripada "tambah" kepada "tolak".

Pada titik - titik minimum - derivatif juga sama dengan sifar, tetapi tandanya berubah daripada "tolak" kepada "tambah".

Kesimpulan: dengan bantuan derivatif, anda boleh mengetahui segala-galanya yang menarik minat kami tentang kelakuan fungsi tersebut.

Jika derivatifnya positif, maka fungsinya meningkat.

Jika terbitan negatif, maka fungsinya berkurangan.

Pada titik maksimum, derivatif adalah sifar dan menukar tanda dari tambah kepada tolak.

Pada titik minimum, derivatif juga adalah sifar dan menukar tanda dari tolak kepada tambah.

Kami menulis penemuan ini dalam bentuk jadual:

	bertambah	titik maksimum	semakin berkurangan	titik minimum	bertambah
+	0	-	0	+

Mari kita buat dua penjelasan kecil. Anda akan memerlukan salah satu daripadanya apabila menyelesaikan masalah peperiksaan. Satu lagi - pada tahun pertama, dengan kajian yang lebih serius tentang fungsi dan derivatif.

Kes adalah mungkin apabila terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar, tetapi fungsi itu tidak mempunyai maksimum atau minimum pada ketika ini. Ini kononnya :

Pada satu titik, tangen kepada graf adalah mendatar dan terbitan ialah sifar. Walau bagaimanapun, sebelum titik fungsi meningkat - dan selepas titik ia terus meningkat. Tanda derivatif tidak berubah - ia kekal positif seperti dahulu.

Ia juga berlaku bahawa pada titik maksimum atau minimum, derivatif tidak wujud. Pada graf, ini sepadan dengan pecahan mendadak, apabila mustahil untuk melukis tangen pada titik tertentu.

Tetapi bagaimana untuk mencari derivatif jika fungsi diberikan bukan oleh graf, tetapi oleh formula? Dalam kes ini, ia terpakai

Adalah mustahil untuk menyelesaikan masalah fizikal atau contoh dalam matematik tanpa pengetahuan tentang terbitan dan kaedah untuk mengiranya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dalam analisis matematik. Kami memutuskan untuk menumpukan artikel hari ini kepada topik asas ini. Apakah terbitan, apakah maksud fizikal dan geometrinya, bagaimana untuk mengira terbitan fungsi? Semua soalan ini boleh digabungkan menjadi satu: bagaimana untuk memahami derivatif?

Makna geometri dan fizikal terbitan

Biar ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa selang (a,b) . Titik x dan x0 tergolong dalam selang ini. Apabila x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan hujah - perbezaan nilainya x-x0 . Perbezaan ini ditulis sebagai delta x dan dipanggil penambahan hujah. Perubahan atau kenaikan fungsi ialah perbezaan antara nilai fungsi pada dua titik. Takrif terbitan:

Terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah kenaikan fungsi pada titik tertentu kepada kenaikan hujah apabila yang terakhir cenderung kepada sifar.

Jika tidak, ia boleh ditulis seperti ini:

Apa gunanya mencari had sedemikian? Tetapi yang mana satu:

terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen sudut antara paksi OX dan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.

Makna fizikal terbitan: terbitan masa laluan adalah sama dengan kelajuan gerakan rectilinear.

Memang sejak zaman sekolah lagi semua orang tahu kelajuan itu adalah laluan peribadi. x=f(t) dan masa t . Kelajuan purata dalam tempoh masa tertentu:

Untuk mengetahui kelajuan pergerakan pada satu-satu masa t0 anda perlu mengira had:

Peraturan satu: keluarkan pemalar

Pemalar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Lebih-lebih lagi, ia mesti dilakukan. Apabila menyelesaikan contoh dalam matematik, ambil sebagai peraturan - jika anda boleh memudahkan ungkapan, pastikan anda memudahkan .

Contoh. Mari kita hitung derivatif:

Peraturan dua: terbitan hasil tambah fungsi

Terbitan hasil tambah dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah derivatif fungsi ini. Perkara yang sama berlaku untuk terbitan perbezaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorem ini, tetapi mempertimbangkan contoh praktikal.

Cari terbitan bagi suatu fungsi:

Peraturan tiga: terbitan hasil darab fungsi

Terbitan hasil darab dua fungsi boleh dibezakan dikira dengan formula:

Contoh: cari terbitan bagi suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini adalah penting untuk mengatakan tentang pengiraan derivatif fungsi kompleks. Terbitan bagi fungsi kompleks adalah sama dengan hasil derivatif fungsi ini berkenaan dengan hujah perantaraan oleh terbitan hujah perantaraan berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemui ungkapan:

Dalam kes ini, hujah perantaraan ialah 8x kepada kuasa kelima. Untuk mengira derivatif ungkapan sedemikian, kita mula-mula mempertimbangkan terbitan fungsi luaran berkenaan dengan hujah perantaraan, dan kemudian darab dengan terbitan hujah perantaraan itu sendiri berkenaan dengan pembolehubah bebas.

Peraturan Empat: Terbitan hasil bagi dua fungsi

Formula untuk menentukan terbitan hasil bagi dua fungsi:

Kami cuba bercakap tentang derivatif untuk boneka dari awal. Topik ini tidak semudah yang kelihatan, jadi amaran: selalunya terdapat perangkap dalam contoh, jadi berhati-hati semasa mengira derivatif.

Dengan sebarang soalan mengenai perkara ini dan topik lain, anda boleh menghubungi perkhidmatan pelajar. Dalam masa yang singkat, kami akan membantu anda menyelesaikan kawalan yang paling sukar dan menangani tugas, walaupun anda tidak pernah berurusan dengan pengiraan derivatif sebelum ini.