Nilai eigen dan vektor eigen bagi matriks segi empat sama. §7

Vektor X ≠ 0 dipanggil eigenvector operator linear dengan matriks A, jika terdapat nombor sedemikian rupa sehingga AX =X.

Dalam kes ini, nombor  dipanggil nilai eigen operator (matriks A) sepadan dengan vektor x.

Dengan kata lain, vektor eigen ialah vektor yang, di bawah tindakan pengendali linear, berubah menjadi vektor kolinear, iaitu hanya darab dengan beberapa nombor. Tidak seperti dia, tidak vektor eigen lebih sukar untuk diubah.

Mari kita tuliskan definisi vektor eigen dalam bentuk sistem persamaan:

Mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri:

Sistem yang terakhir boleh ditulis dalam bentuk matriks seperti berikut:

(A - E)X = O

Sistem yang terhasil sentiasa mempunyai penyelesaian sifar X = O. Sistem sedemikian di mana semua sebutan bebas adalah sama dengan sifar dipanggil homogen. Jika matriks sistem sedemikian adalah segi empat sama dan penentunya tidak sama dengan sifar, maka menggunakan formula Cramer kita akan sentiasa mendapat penyelesaian unik - sifar. Ia boleh dibuktikan bahawa sistem mempunyai penyelesaian bukan sifar jika dan hanya jika penentu matriks ini sama dengan sifar, i.e.

|A - E| = = 0

Persamaan dengan yang tidak diketahui ini dipanggil persamaan ciri(polinomial ciri) matriks A (operator linear).

Ia boleh dibuktikan bahawa polinomial ciri pengendali linear tidak bergantung pada pilihan asas.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen bagi operator linear yang ditakrifkan oleh matriks A = .

Untuk melakukan ini, mari kita mengarang persamaan ciri|A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; nilai eigen 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Untuk mencari vektor eigen, kita menyelesaikan dua sistem persamaan

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Untuk yang pertama, matriks yang diperluaskan dalam bentuk

dari mana x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

Untuk yang kedua daripada mereka, matriks yang diperluaskan mengambil bentuk

dari mana x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Oleh itu, vektor eigen pengendali linear ini ialah semua vektor bentuk (-(2/3)с; с) dengan nilai eigen (-5) dan semua vektor bentuk ((2/3)с 1 ; с 1) dengan nilai eigen 7 .

Ia boleh dibuktikan bahawa matriks pengendali A dalam asas yang terdiri daripada vektor eigennya adalah pepenjuru dan mempunyai bentuk:

di mana  i ialah nilai eigen bagi matriks ini.

Sebaliknya juga benar: jika matriks A dalam beberapa asas adalah pepenjuru, maka semua vektor asas ini akan menjadi vektor eigen bagi matriks ini.

Ia juga boleh dibuktikan bahawa jika pengendali linear mempunyai n nilai eigen berbeza berpasangan, maka vektor eigen yang sepadan adalah bebas linear, dan matriks operator ini dalam asas yang sepadan mempunyai bentuk pepenjuru.

Dengan matriks A, jika terdapat nombor l sehingga AX = lX.

Dalam kes ini, nombor l dipanggil nilai eigen operator (matriks A) sepadan dengan vektor X.

Dalam erti kata lain, vektor eigen ialah vektor yang, di bawah tindakan pengendali linear, berubah menjadi vektor kolinear, i.e. hanya darab dengan beberapa nombor. Sebaliknya, vektor yang tidak betul adalah lebih kompleks untuk diubah.

Mari kita tuliskan definisi vektor eigen dalam bentuk sistem persamaan:

Mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri:

Sistem yang terakhir boleh ditulis dalam bentuk matriks seperti berikut:

(A - lE)X = O

|A - lE| = = 0

Persamaan dengan l yang tidak diketahui ini dipanggil persamaan ciri (polinomial ciri) matriks A (operator linear).

Ia boleh dibuktikan bahawa polinomial ciri pengendali linear tidak bergantung pada pilihan asas.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen bagi pengendali linear, diberikan oleh matriks A = .

Untuk melakukan ini, mari kita cipta persamaan ciri |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; nilai eigen l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Untuk mencari vektor eigen, kami menyelesaikan dua sistem persamaan

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Untuk yang pertama, matriks yang diperluaskan mengambil bentuk

dari mana x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

Untuk yang kedua, matriks yang diperluaskan mengambil bentuk

dari mana x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Oleh itu, vektor eigen pengendali linear ini ialah semua vektor bentuk (-(2/3)с; с) dengan nilai eigen (-5) dan semua vektor bentuk ((2/3)с 1 ; с 1) dengan nilai eigen 7 .

Ia boleh dibuktikan bahawa matriks pengendali A dalam asas yang terdiri daripada vektor eigennya adalah pepenjuru dan mempunyai bentuk:

di mana l i ialah nilai eigen bagi matriks ini.

Sebaliknya juga benar: jika matriks A dalam beberapa asas adalah pepenjuru, maka semua vektor asas ini akan menjadi vektor eigen bagi matriks ini.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh sebelumnya. Mari kita ambil nilai bukan sifar sewenang-wenangnya c dan c 1, tetapi sedemikian rupa sehingga vektor X (1) dan X (2) adalah bebas linear, i.e. akan membentuk asas. Sebagai contoh, biarkan c = c 1 = 3, kemudian X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Mari pastikan kemerdekaan linear vektor ini:

12 ≠ 0. Dalam asas baru ini, matriks A akan mengambil bentuk A * = .

Untuk mengesahkan ini, mari kita gunakan formula A * = C -1 AC. Mula-mula, mari cari C -1.

C -1 = ;

Bentuk kuadratik

Bentuk kuadratik f(x 1, x 2, x n) daripada n pembolehubah dipanggil jumlah, setiap sebutan adalah sama ada kuasa dua salah satu pembolehubah, atau hasil darab dua pembolehubah berbeza, diambil dengan pekali tertentu: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Matriks A yang terdiri daripada pekali ini dipanggil matriksbentuk kuadratik. Ia sentiasa simetri matriks (iaitu matriks simetri tentang pepenjuru utama, a ij = a ji).

Dalam tatatanda matriks bentuk kuadratik mempunyai bentuk f(X) = X T AX, di mana

Sesungguhnya

Sebagai contoh, mari kita tulis bentuk matriks bentuk kuadratik.

Untuk melakukan ini, kami mencari matriks bentuk kuadratik. Unsur pepenjurunya adalah sama dengan pekali pembolehubah kuasa dua, dan unsur yang selebihnya adalah sama dengan separuh daripada pekali sepadan bentuk kuadratik. sebab tu

Biarkan lajur-matriks bagi pembolehubah X diperoleh dengan penjelmaan linear tidak merosot bagi lajur-matriks Y, i.e. X = CY, di mana C - matriks bukan tunggal pesanan ke-n. Kemudian bentuk kuadratik f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Oleh itu, dengan penjelmaan linear tidak merosot C, matriks bentuk kuadratik mengambil bentuk: A * = C T AC.

Sebagai contoh, mari kita cari bentuk kuadratik f(y 1, y 2), yang diperoleh daripada bentuk kuadratik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 dengan penjelmaan linear.

Bentuk kuadratik dipanggil berkanun(mempunyai pandangan kanonik), jika semua pekalinya a ij = 0 untuk i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Matriksnya adalah pepenjuru.

Teorem(bukti tidak diberikan di sini). Mana-mana bentuk kuadratik boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik menggunakan bukan degenerate transformasi linear.

Sebagai contoh, mari kita kurangkan bentuk kuadratik kepada bentuk kanonik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, kami mula-mula memilih segi empat tepat dengan pembolehubah x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sekarang kita pilih segi empat sama lengkap dengan pembolehubah x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Kemudian penjelmaan linear tidak merosot y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 dan y 3 = x 3 membawa bentuk kuadratik ini kepada bentuk kanonik f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Ambil perhatian bahawa bentuk kanonik bagi bentuk kuadratik ditentukan secara samar-samar (bentuk kuadratik yang sama boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik dengan cara yang berbeza). Namun, yang diterima dalam pelbagai cara bentuk kanonik mempunyai beberapa sifat am. Khususnya, bilangan sebutan dengan pekali positif (negatif) bentuk kuadratik tidak bergantung pada kaedah mengurangkan bentuk kepada bentuk ini (contohnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan sentiasa ada dua pekali negatif dan satu positif). Harta ini dipanggil hukum inersia bentuk kuadratik.

Mari kita sahkan ini dengan membawa bentuk kuadratik yang sama kepada bentuk kanonik dengan cara yang berbeza. Mari kita mulakan transformasi dengan pembolehubah x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, dengan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan y 3 = x 1 . Di sini terdapat pekali negatif -3 pada y 1 dan dua pekali positif 3 dan 2 pada y 2 dan y 3 (dan menggunakan kaedah lain kita mendapat pekali negatif (-5) pada y 2 dan dua pekali positif: 2 pada y 1 dan 1/20 pada y 3).

Ia juga harus diperhatikan bahawa pangkat matriks bentuk kuadratik, dipanggil pangkat bentuk kuadratik, sama dengan nombor pekali bukan sifar bentuk kanonik dan tidak berubah di bawah transformasi linear.

Bentuk kuadratik f(X) dipanggil secara positif (negatif) pasti, jika untuk semua nilai pembolehubah yang tidak serentak sama dengan sifar, ia adalah positif, i.e. f(X) > 0 (negatif, i.e.
f(X)< 0).

Sebagai contoh, bentuk kuadratik f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ialah pasti positif, kerana ialah hasil tambah kuasa dua, dan bentuk kuadratik f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ialah pasti negatif, kerana mewakili ia boleh diwakili sebagai f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalam kebanyakan situasi praktikal, agak sukar untuk menetapkan tanda pasti bentuk kuadratik, jadi untuk ini kami menggunakan salah satu teorem berikut (kami akan merumuskannya tanpa bukti).

Teorem. Bentuk kuadratik adalah positif (negatif) pasti jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya adalah positif (negatif).

Teorem(Kriteria Sylvester). Bentuk kuadratik adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor terkemuka bagi matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) kecil Matriks tertib ke-k A bagi tertib ke-n dipanggil penentu matriks, terdiri daripada baris k pertama dan lajur matriks A ().

Ambil perhatian bahawa untuk bentuk kuadratik pasti negatif tanda-tanda minor utama berselang-seli, dan minor urutan pertama mestilah negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadratik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk kepastian tanda.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Oleh itu, bentuk kuadratik adalah pasti positif.

Kaedah 2. Prinsipal minor bagi susunan pertama matriks A D 1 = a 11 = 2 > 0. Prinsipal minor bagi susunan kedua D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Oleh itu, mengikut kriteria Sylvester, bentuk kuadratik ialah pasti positif.

Kami memeriksa bentuk kuadratik lain untuk kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Kaedah 1. Mari bina matriks bentuk kuadratik A = . Persamaan ciri akan mempunyai bentuk = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Oleh itu, bentuk kuadratik adalah pasti negatif.

Kaedah 2. Prinsipal minor bagi susunan pertama matriks A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Akibatnya, mengikut kriteria Sylvester, bentuk kuadratik adalah negatif pasti (tanda-tanda minor utama bergantian, bermula dengan tolak).

Dan sebagai contoh lain, kita meneliti bentuk kuadratik yang ditentukan tanda f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Kaedah 1. Mari bina matriks bentuk kuadratik A = . Persamaan ciri akan mempunyai bentuk = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Satu daripada nombor ini adalah negatif dan satu lagi adalah positif. Tanda-tanda nilai eigen adalah berbeza. Akibatnya, bentuk kuadratik tidak boleh menjadi pasti negatif atau positif, i.e. bentuk kuadratik ini bukan tanda-pasti (ia boleh mengambil nilai mana-mana tanda).

Kaedah 2. Prinsipal minor bagi susunan pertama matriks A D 1 = a 11 = 2 > 0. Prinsipal minor bagi susunan kedua D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Dalam imej kita melihat transformasi anjakan yang berlaku kepada Gioconda. Vektor biru menukar arah, tetapi yang merah tidak. Oleh itu, merah ialah vektor eigen bagi transformasi sedemikian, tetapi biru tidak. Oleh kerana vektor merah tidak diregangkan atau dimampatkan, nilai eigennya ialah satu. Semua vektor adalah kolinear dan merah juga vektor eigen. eigenvector) matriks segi empat sama(DENGAN nilai eigen(Bahasa Inggeris) nilai eigen)) – Ini ialah vektor bukan sifar yang mempunyai perhubungan

di mana? ialah skalar pasti, iaitu nyata atau nombor kompleks.
Iaitu, vektor eigen bagi matriks A ialah vektor bukan sifar yang, di bawah tindakan transformasi linear, ditentukan oleh matriks A tidak menukar arah, tetapi boleh mengubah panjang dengan faktor?.
Matriks mempunyai dimensi tidak lebih daripada N vektor eigen dan nilai eigen yang sepadan dengannya.
Perhubungan (*) juga masuk akal untuk pengendali linear dalam ruang vektor V. Jika ruang ini adalah dimensi terhingga, maka operator boleh ditulis sebagai matriks berkenaan dengan asas tertentu V.
Oleh kerana vektor eigen dan nilai eigen dilambangkan tanpa menggunakan koordinat, bebas daripada pilihan asas. Oleh itu, matriks yang serupa mempunyai nilai eigen yang sama.
Peranan utama dalam memahami nilai eigen matriks dimainkan oleh teorem Hamilton-Cayley. Ia berikutan daripada ini bahawa nilai eigen matriks A dan hanya mereka adalah punca polinomial ciri matriks A:

hlm (?) ialah polinomial darjah n, oleh itu, dengan teorem asas algebra, ada betul-betul n nilai eigen yang kompleks, dengan mengambil kira kepelbagaiannya.
Jadi matriks A tiada lagi n nilai eigen (tetapi banyak vektor eigen untuk setiap daripada mereka).
Mari kita tulis polinomial ciri melalui akarnya:

Kepelbagaian punca polinomial ciri matriks dipanggil kepelbagaian algebra nilai eigen
Set semua nilai eigen bagi matriks atau operator linear dalam ruang vektor dimensi terhingga dipanggil spektrum matriks atau operator linear. (Istilah ini diubah suai untuk bukan skinchenotherworldly ruang vektor: V kes am, spektrum pengendali mungkin termasuk?, yang bukan nilai eigen.)
Oleh kerana hubungan antara polinomial ciri matriks dan nilai eigennya, yang terakhir juga dipanggil nombor ciri matriks.
Untuk setiap nilai eigen, kita memperoleh sistem persamaan kita sendiri:

Apa yang akan ada penyelesaian bebas linear.
Set semua penyelesaian sistem membentuk subruang linear dimensi dan dipanggil ruang sendiri(Bahasa Inggeris) eigenspace) matriks dengan nilai eigen.
Dimensi ruang yang sesuai dipanggil kepelbagaian geometri nilai eigen yang sepadan?.
Semua ruang eigen ialah subruang invarian untuk .
Jika terdapat sekurang-kurangnya dua vektor eigen bebas linear dengan nilai eigen yang sama?, maka nilai eigen tersebut dipanggil merosot. Terminologi ini digunakan terutamanya apabila pendaraban geometri dan algebra bagi nilai eigen bertepatan, sebagai contoh, untuk matriks Hermitian.

Di mana – Matriks saiz segi empat sama n x n,-Lajur kedua ialah vektor, A - Ini ialah matriks pepenjuru dengan nilai yang sepadan.

Masalah nilai eigen ialah masalah mencari vektor eigen dan nombor matriks.
Mengikut definisi (menggunakan persamaan ciri), anda hanya boleh mencari nilai eigen bagi matriks dengan dimensi kurang daripada lima. Persamaan ciri mempunyai darjah sama-sama matriks. Untuk darjah yang lebih tinggi mencari penyelesaian kepada persamaan menjadi sangat bermasalah, jadi mereka menggunakan pelbagai kaedah berangka
Pelbagai tugas memerlukan penerimaan kuantiti yang berbeza nilai eigen. Oleh itu, terdapat beberapa masalah mencari nilai eigen yang setiap satunya menggunakan kaedahnya sendiri.
Nampaknya masalah separa nilai eigen adalah masalah separa daripada yang lengkap, dan diselesaikan dengan kaedah yang sama seperti yang lengkap. Walau bagaimanapun, kaedah yang digunakan untuk masalah tertentu adalah lebih cekap, jadi ia boleh digunakan untuk matriks dimensi tinggi (contohnya, dalam fizik nuklear masalah timbul dalam mencari nilai eigen untuk matriks dimensi 10 3 – 10 6).
kaedah Jacobi

Salah satu yang tertua dan paling banyak pendekatan biasa kepada sesuatu keputusan masalah lengkap eigenvalues adalah kaedah Jacobi, pertama kali diterbitkan pada tahun 1846.
Kaedah ini digunakan pada matriks simetri A
Ini adalah algoritma lelaran mudah di mana matriks vektor eigen dikira dengan satu siri pendaraban.

Nilai eigen(nombor) dan vektor eigen.
Contoh penyelesaian

Jadilah diri sendiri

Daripada kedua-dua persamaan ia mengikuti bahawa .

Mari letakkannya kemudian: .

Akibatnya: – vektor eigen kedua.

Jom ulang perkara penting penyelesaian:

– sistem yang terhasil pasti mempunyai penyelesaian umum(persamaan adalah bergantung secara linear);

– kami memilih "y" sedemikian rupa sehingga ia adalah integer dan koordinat "x" pertama adalah integer, positif dan sekecil mungkin.

– kami menyemak bahawa penyelesaian tertentu memenuhi setiap persamaan sistem.

Jawab .

Terdapat cukup "pusat pemeriksaan" perantaraan, jadi memeriksa kesaksamaan, pada dasarnya, tidak perlu.

Dalam pelbagai sumber maklumat, koordinat vektor eigen sering ditulis bukan dalam lajur, tetapi dalam baris, sebagai contoh: (dan, sejujurnya, saya sendiri sudah biasa menulisnya dalam baris). Pilihan ini boleh diterima, tetapi berdasarkan topik transformasi linear secara teknikal lebih mudah digunakan vektor lajur.

Mungkin penyelesaian itu kelihatan sangat panjang kepada anda, tetapi ini hanya kerana saya mengulas contoh pertama dengan terperinci.

Contoh 2

Matriks

Mari berlatih sendiri! Contoh anggaran tugas akhir pada akhir pelajaran.

Kadang-kadang anda perlu lakukan tugas tambahan, iaitu:

tulis penguraian matriks kanonik

Apa itu?

Jika vektor eigen bagi matriks membentuk asas, maka ia boleh diwakili sebagai:

Di manakah matriks yang terdiri daripada koordinat vektor eigen, - pepenjuru matriks dengan nilai eigen yang sepadan.

Penguraian matriks ini dipanggil berkanun atau pepenjuru.

Mari kita lihat matriks contoh pertama. vektor eigennya bebas linear(bukan kolinear) dan membentuk asas. Mari kita buat matriks koordinatnya:

hidup pepenjuru utama matriks mengikut susunan yang sesuai terletak nilai eigen, dan elemen selebihnya adalah sama dengan sifar:
– Saya sekali lagi menekankan kepentingan susunan: “dua” sepadan dengan vektor pertama dan oleh itu terletak di lajur pertama, “tiga” – kepada vektor ke-2.

Menggunakan algoritma biasa untuk mencari matriks songsang atau Kaedah Gauss-Jordan kita jumpa . Tidak, itu bukan kesilapan menaip! - sebelum anda jarang, seperti gerhana matahari peristiwa apabila songsangan bertepatan dengan matriks asal.

Ia kekal untuk menulis penguraian kanonik matriks:

Sistem boleh diselesaikan menggunakan transformasi asas dan dalam contoh berikut kita akan menggunakan kaedah ini. Tetapi di sini kaedah "sekolah" berfungsi lebih cepat. Daripada persamaan ke-3 kita nyatakan: – gantikan ke dalam persamaan kedua:

Oleh kerana koordinat pertama ialah sifar, kita memperoleh sistem daripada setiap persamaan yang mana ia mengikutinya.

Dan sekali lagi memberi perhatian kepada kehadiran wajib hubungan linear. Jika ternyata sahaja penyelesaian remeh , maka sama ada nilai eigen didapati salah, atau sistem telah disusun/diselesaikan dengan ralat.

Koordinat padat memberikan nilai

Eigenvector:

Dan sekali lagi, kami menyemak bahawa penyelesaian itu ditemui memenuhi setiap persamaan sistem. Dalam perenggan seterusnya dan dalam tugasan seterusnya, saya mengesyorkan mengambil hasrat ini sebagai peraturan wajib.

2) Untuk nilai eigen, menggunakan prinsip yang sama, kami memperoleh sistem berikut:

Daripada persamaan ke-2 sistem kita nyatakan: – gantikan ke dalam persamaan ketiga:

Oleh kerana koordinat "zeta" adalah sama dengan sifar, kami memperoleh sistem daripada setiap persamaan yang diikutinya pergantungan linear.

biarlah

Menyemak bahawa penyelesaian memenuhi setiap persamaan sistem.

Oleh itu, vektor eigen ialah: .

3) Dan akhirnya, sistem sepadan dengan nilai eigen:

Persamaan kedua kelihatan paling mudah, jadi mari kita ungkapkan dan gantikannya ke dalam persamaan 1 dan 3:

Semuanya baik-baik saja - hubungan linear telah muncul, yang kita gantikan ke dalam ungkapan:

Akibatnya, "x" dan "y" dinyatakan melalui "z": . Dalam amalan, tidak perlu untuk mencapai perhubungan sedemikian dengan tepat dalam beberapa kes adalah lebih mudah untuk menyatakan kedua-dua melalui atau melalui . Atau pun "kereta api" - contohnya, "X" melalui "I", dan "I" melalui "Z"

Mari letakkannya kemudian:

Kami menyemak bahawa penyelesaian itu ditemui memenuhi setiap persamaan sistem dan menulis vektor eigen ketiga

Jawab: vektor eigen:

Secara geometri, vektor ini mentakrifkan tiga arah spatial yang berbeza ("bolak-balik"), mengikut mana transformasi linear menukarkan vektor bukan sifar (eigenvectors) kepada vektor kolinear.

Jika keadaan memerlukan mencari penguraian kanonik, maka ini mungkin di sini, kerana nilai eigen yang berbeza sepadan dengan vektor eigen bebas linear yang berbeza. Membuat matriks daripada koordinat mereka, matriks pepenjuru daripada relevan nilai eigen dan cari matriks songsang .

Jika, dengan syarat, anda perlu menulis matriks transformasi linear dalam asas vektor eigen, kemudian kita berikan jawapan dalam borang . Terdapat perbezaan, dan perbezaannya adalah ketara! Kerana matriks ini adalah matriks "de".

Masalah dengan lebih banyak lagi pengiraan mudah Untuk keputusan bebas:

Contoh 5

Cari vektor eigen bagi penjelmaan linear yang diberikan oleh matriks

Apabila mencari nombor anda sendiri, cuba jangan pergi sepenuhnya ke polinomial darjah 3. Di samping itu, penyelesaian sistem anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya - tiada kepastian di sini; dan vektor yang anda temui mungkin berbeza daripada vektor sampel sehingga kekadaran koordinat masing-masing. Contohnya, dan. Ia lebih menyenangkan dari segi estetika untuk membentangkan jawapan dalam borang, tetapi tidak mengapa jika anda berhenti pada pilihan kedua. Namun, semuanya ada had yang munasabah, versi tidak kelihatan sangat baik lagi.

Anggaran sampel akhir tugasan pada akhir pelajaran.

Bagaimana untuk menyelesaikan masalah dalam kes pelbagai nilai eigen?

Algoritma umum tetap sama, tetapi ia mempunyai ciri tersendiri, dan adalah dinasihatkan untuk mengekalkan beberapa bahagian penyelesaian dalam gaya akademik yang lebih ketat:

Contoh 6

Cari nilai eigen dan vektor eigen

Penyelesaian

Sudah tentu, mari gunakan huruf besar lajur pertama yang hebat:

Dan, selepas penguraian trinomial kuadratik dengan pengganda:

Akibatnya, nilai eigen diperoleh, dua daripadanya adalah gandaan.

Jom cari sendiri vektor:

1) Mari kita berurusan dengan askar keseorangan mengikut skema "dipermudahkan":

Daripada dua persamaan terakhir, kesamaan jelas kelihatan, yang, jelas, harus digantikan ke dalam persamaan pertama sistem:

Anda tidak akan menemui gabungan yang lebih baik:
Eigenvector:

2-3) Sekarang kita keluarkan beberapa sentri. DALAM dalam kes ini ia mungkin berjaya sama ada dua atau satu eigenvector. Tanpa mengira kepelbagaian akar, kami menggantikan nilai ke dalam penentu yang membawa kita seterusnya sistem persamaan linear homogen:

Eigenvectors adalah betul-betul vektor
sistem asas penyelesaian

Sebenarnya, sepanjang keseluruhan pelajaran kami tidak melakukan apa-apa selain mencari vektor sistem asas. Hanya buat sementara waktu istilah ini tidak benar-benar memerlukannya. Ngomong-ngomong, pelajar pintar yang terlepas topik dalam sut penyamaran persamaan homogen, akan terpaksa menghisapnya sekarang.

Satu-satunya tindakan ialah mengeluarkan garisan tambahan. Hasilnya ialah matriks satu demi tiga dengan "langkah" formal di tengah.
– pembolehubah asas, – pembolehubah bebas. Terdapat dua pembolehubah bebas, oleh itu, terdapat juga dua vektor sistem asas.

Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas: . Pengganda sifar di hadapan "X" membolehkannya mengambil apa-apa nilai (yang jelas kelihatan dari sistem persamaan).

Dalam konteks masalah ini, lebih mudah untuk menulis penyelesaian umum bukan dalam baris, tetapi dalam lajur:

Pasangan sepadan dengan vektor eigen:
Pasangan sepadan dengan vektor eigen:

Nota : pembaca yang canggih boleh memilih vektor ini secara lisan - hanya dengan menganalisis sistem , tetapi beberapa pengetahuan diperlukan di sini: terdapat tiga pembolehubah, kedudukan matriks sistem- satu, yang bermaksud sistem keputusan asas terdiri daripada 3 – 1 = 2 vektor. Walau bagaimanapun, vektor yang ditemui jelas kelihatan walaupun tanpa pengetahuan ini, semata-mata pada tahap intuitif. Dalam kes ini, vektor ketiga akan ditulis dengan lebih "cantik": . Walau bagaimanapun, saya memberi amaran dalam contoh lain pemilihan mudah Ia mungkin tidak berlaku, itulah sebabnya klausa itu ditujukan untuk orang yang berpengalaman. Di samping itu, mengapa tidak mengambil, katakan, sebagai vektor ketiga? Lagipun, koordinatnya juga memenuhi setiap persamaan sistem, dan vektor bebas linear. Pilihan ini, pada dasarnya, sesuai, tetapi "bengkok", kerana vektor "lain" ialah gabungan linear vektor sistem asas.

Jawab: nilai eigen: , vektor eigen:

Contoh serupa untuk penyelesaian bebas:

Contoh 7

Cari nilai eigen dan vektor eigen

Contoh anggaran reka bentuk akhir pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa dalam kedua-dua contoh ke-6 dan ke-7 kita memperoleh tiga kali ganda vektor eigen bebas linear, dan oleh itu matriks asal boleh diwakili dalam pengembangan kanonik. Tetapi raspberi seperti itu tidak berlaku dalam semua kes:

Contoh 8