Tindakan acara 2. Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian: tugas asas

Transkrip

1 Jawapan = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = a) 126; b) P(4, 5, 6) = a) P 4 = 24; b) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, Tidak mencukupi, 9, Tindakan ke atas peristiwa Suatu peristiwa dipanggil rawak atau mungkin jika keputusan ujian membawa kepada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa ini . Contohnya, jata terjatuh apabila membaling syiling; penampilan sisi dengan bilangan mata bersamaan dengan 3 apabila melontar dadu. Sesuatu peristiwa dipanggil boleh dipercayai jika ia pasti berlaku di bawah keadaan ujian. Sebagai contoh, melukis bola putih dari bekas yang mengandungi hanya bola putih; mendapat tidak lebih daripada 6 mata apabila melontar dadu. Sesuatu peristiwa dipanggil mustahil jika ia pasti tidak akan berlaku dalam keadaan ujian. Sebagai contoh, mendapat tujuh mata apabila membaling satu dadu; melukis lebih daripada empat ace daripada dek kad biasa. Acara rawak ditetapkan oleh huruf Latin abjad A, B, C dan seterusnya. Acara boleh bersama atau tidak bersama. Peristiwa dipanggil tidak serasi jika, di bawah keadaan ujian, kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian yang lain. Sebagai contoh, kehilangan jata dan ekor dalam satu lambungan syiling; pukul dan tersasar dengan satu pukulan. Peristiwa dipanggil bersama jika, di bawah keadaan ujian, kejadian salah satu daripadanya tidak mengecualikan kejadian yang lain. Sebagai contoh, mengenai sasaran dan hilang semasa menembak dari dua senapang pada masa yang sama; dua lapisan senjata muncul ketika membaling dua syiling. Peristiwa dipanggil sama mungkin jika, di bawah syarat ujian tertentu, kemungkinan setiap peristiwa ini berlaku adalah sama. Contoh peristiwa yang sama mungkin: jata jatuh dan ekor jatuh dalam satu lambungan syiling; 13

2 Bilangan mata dari 1 hingga 6 dibaling apabila satu dadu dibaling. Peristiwa C, yang terdiri daripada berlakunya sekurang-kurangnya satu peristiwa A atau B, dipanggil jumlah (kesatuan) peristiwa dan dilambangkan C = A + B (C = A B). Peristiwa C, yang terdiri daripada kejadian bersama peristiwa A dan B, dipanggil hasil (persilangan) peristiwa ini dan dilambangkan C = A B (C = A B). Peristiwa C, yang mengandungi fakta bahawa peristiwa a tidak berlaku, dipanggil berlawanan dan dilambangkan dengan A. Hasil tambah bagi peristiwa bertentangan ialah peristiwa tertentu Ω, iaitu, A + A = Ω. Hasil darab peristiwa berlawanan ialah peristiwa mustahil (V), iaitu, A A = V. Set peristiwa yang mungkin membentuk kumpulan lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini muncul hasil daripada ujian: n A i = Ω. i=1 Sebagai contoh, semasa melontar dadu, gulung daripada satu hingga enam membentuk kumpulan acara lengkap Peristiwa A daripada empat mentol lampu yang diuji semuanya rosak; Peristiwa B Semua mentol baik. Apakah maksud peristiwa: 1) A + B; 2) A B; 3) A; 4) B? Penyelesaian. 1) Peristiwa A ialah semua mentol lampu rosak, dan peristiwa B ialah semua mentol lampu adalah baik. Jumlah peristiwa A+B bermakna semua mentol lampu mestilah rosak atau baik. 2) Mentol lampu Acara A B mestilah rosak dan baik, jadi peristiwa A B adalah mustahil. 3) A semua mentol lampu rosak, oleh itu A sekurang-kurangnya satu mentol adalah kualiti yang baik. 4) B semua mentol lampu adalah berkualiti, oleh itu B sekurang-kurangnya satu mentol rosak. 14

3 2.2. Satu nombor diambil secara rawak daripada jadual nombor rawak. Peristiwa A nombor yang dipilih dibahagikan dengan 2, acara B nombor yang dipilih dibahagikan dengan 3. Apakah maksud peristiwa: 1) A+B; 2) A B; 3) A B? Penyelesaian. 1) Jumlah kejadiana + B ialah peristiwa yang terdiri daripada kejadian sekurang-kurangnya satu peristiwa A atau B, iaitu nombor yang dipilih secara rawak mesti boleh dibahagikan dengan sama ada 2, atau 3, atau 6. 2) Hasil darab daripada peristiwa A B bermakna peristiwa A dan B berlaku serentak. Oleh itu, nombor yang dipilih mestilah boleh dibahagi dengan 6. 3) A B nombor yang dipilih tidak boleh dibahagikan dengan Dua penembak melepaskan satu pukulan pada sasaran yang sama. Peristiwa A: penembak pertama mencapai sasaran; peristiwa B penembak kedua terkena sasaran. Apakah maksud peristiwa: a) A + B; b) A B; c) A + B; d) A B? Penyelesaian. a) Acara A+B bermaksud: sekurang-kurangnya seorang daripada penembak mencapai sasaran; b) peristiwa A B bermaksud: kedua-dua penembak mencapai sasaran; c) peristiwa A+B bermakna: sekurang-kurangnya satu terlepas; d) acara A B bermaksud: kedua-duanya melakukan kesilapan.Dua pemain catur bermain permainan yang sama. Acara A akan dimenangi oleh pemain pertama, acara B oleh pemain kedua. Peristiwa manakah yang perlu ditambah kepada populasi yang ditentukan untuk membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap? Penyelesaian. Peristiwa C cabutan Diberi dua blok pendua a 1 dan 2. Tuliskan peristiwa bahawa sistem ditutup. Penyelesaian. Mari kita perkenalkan notasi berikut: Peristiwa 1, yang terdiri daripada fakta bahawa blok a 1 beroperasi; a1 a A 2 2 acara, yang terdiri daripada fakta bahawa blok a 2 beroperasi; S ialah peristiwa yang sistem ditutup. Blok adalah berlebihan, jadi sistem akan ditutup dalam kes apabila sekurang-kurangnya satu blok beroperasi, iaitu, S = A 1 + A Sistem tiga blok a 1, a 2, b diberikan. Rakam acara - 15

4 Intinya ialah sistem ditutup. Penyelesaian. Mari kita perkenalkan notasi: A 1 a a 1 2 b peristiwa berikut, yang terdiri daripada fakta bahawa blok a 1 beroperasi; Acara 2, yang terdiri daripada fakta bahawa blok a 2 beroperasi; Acara B, yang terdiri daripada fakta bahawa blok b beroperasi; S ialah peristiwa yang sistem ditutup. Mari bahagikan sistem kepada dua bahagian. Penutupan sistem yang terdiri daripada blok pendua, seperti yang kita lihat, boleh ditulis sebagai peristiwa A 1 + A 2. Untuk penutupan keseluruhan sistem, kebolehservisan blok B sentiasa diperlukan, oleh itu S = (A 1 + A 2) B. Masalah untuk penyelesaian bebas 2.7 . Satu nombor diambil secara rawak daripada jadual nombor rawak. Peristiwa A nombor yang dipilih boleh dibahagi dengan 5, acara B nombor ini berakhir dengan sifar. Apakah maksud peristiwa: 1) A+B; 2) A B; 3) A B; 4) A B? 2.8. Tiga penembak menembak sasaran. Peristiwa: A 1 terkena pada sasaran oleh penembak pertama; A 2 dipukul oleh penembak kedua; A 3 dipukul oleh penembak ketiga. Buat kumpulan acara yang lengkap. Kotak mengandungi beberapa bola yang sama saiz, tetapi warna yang berbeza: putih, merah, biru. Peristiwa K i bola merah diambil secara rawak; peristiwa B i berwarna putih; peristiwa C i berwarna biru. Dua bola dibawa keluar berturut-turut (i = 1, 2 ialah nombor siri bola yang dikeluarkan). Tuliskan peristiwa berikut: a) peristiwa A, bola kedua yang diambil secara rawak ternyata berwarna biru; b) peristiwa A; c) acara B adakah kedua-dua bola berwarna merah? Buat kumpulan acara yang lengkap Tiga tembakan dilepaskan ke sasaran. Diberi peristiwa A i (i = 1, 2, 3) mengenai sasaran dengan pukulan ke-i. Nyatakan peristiwa berikut dalam sebutan A i dan A i: 1) tiada satu pun pukulan dalam 16

5 matlamat; 2) satu pukulan pada sasaran; 3) dua pukulan pada sasaran; 4) tiga pukulan pada sasaran; 5) sekurang-kurangnya satu pukulan pada sasaran; 6) sekurang-kurangnya satu kehilangan Adakah peristiwa berikut tidak serasi: a) pengalaman melambung syiling; peristiwa: A rupa jata, B rupa nombor; b) dua tembakan pada sasaran; peristiwa: A sekurang-kurangnya satu pukulan, B sekurang-kurangnya satu tersasar. Adakah peristiwa berikut sama mungkin: a) pengalaman melambung syiling; peristiwa: A rupa jata, B rupa nombor; b) pengalaman melambung syiling yang bengkok; peristiwa: A rupa jata, B rupa nombor; c) pengalaman: menembak pada sasaran; peristiwa: A pukulan, B terlepas Lakukan peristiwa berikut membentuk kumpulan acara yang lengkap: a) pengalaman melambung syiling; peristiwa: Jata, B angka; b) pengalaman melambung dua syiling; peristiwa: A dua lambang, B dua nombor Melempar dadu. Mari kita nyatakan peristiwa: A - 6 mata dilancarkan, B - 3 mata dilancarkan, C - bilangan mata genap dilancarkan; D menggolek bilangan mata yang merupakan gandaan tiga. Apakah hubungan antara peristiwa ini? Biarkan A, B, C menjadi peristiwa sewenang-wenangnya. Apakah maksud peristiwa berikut: ABC; ABC; A+BC; ABC +ABC+ +ABC; ABC + ABC + ABC + ABC? Menggunakan peristiwa A, B, C arbitrari, cari ungkapan untuk peristiwa berikut: a) hanya peristiwa A berlaku; b) A dan B berlaku, C tidak berlaku; c) ketiga-tiga peristiwa berlaku; d) sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini berlaku; e) sekurang-kurangnya dua peristiwa berlaku; f) satu dan hanya satu peristiwa berlaku; g) dua dan hanya dua peristiwa berlaku; 17

ELEMEN TEORI KEBARANGKALIAN. Teori kebarangkalian ialah satu cabang matematik yang mengkaji pola-pola yang timbul dalam percubaan rawak. Keputusan ujian adalah rawak berhubung dengan ujian, jika selama ini

1 Konsep asas kombinatorik 1 Lampiran Definisi Hasil darab semua nombor asli daripada 1 hingga n termasuk dipanggil n-faktor dan bertulis Contoh Kira 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Acara yang boleh dipercayai. Sesuatu peristiwa dipanggil boleh dipercayai jika ia pasti berlaku apabila set syarat tertentu dipenuhi. Simbol: Ω (benar). Peristiwa yang mustahil. Satu peristiwa yang

TOPIK 1. KONSEP ASAS TEORI KEBARANGKALIAN. KEBARANGKALIAN KLASIK DAN GEOMETRI Subjek teori kebarangkalian. Konsep peristiwa rawak. Ruang acara asas. Klasik dan geometri

1.1. Takrifan klasik kebarangkalian Konsep asas teori kebarangkalian ialah konsep kejadian rawak. Peristiwa rawak ialah peristiwa yang, jika syarat tertentu dipenuhi, boleh

Peruntukan asas teori kebarangkalian Peristiwa rawak relatif kepada keadaan tertentu ialah peristiwa yang, apabila syarat ini dipenuhi, boleh berlaku atau tidak berlaku. Teori kebarangkalian mempunyai

( σ-algebra - medan kejadian rawak - kumpulan pertama aksiom Kolmogorov - kumpulan kedua aksiom Kolmogorov - formula asas teori kebarangkalian - teorem penambahan kebarangkalian - kebarangkalian bersyarat

Subjek teori kebarangkalian Dalam pelbagai cabang sains dan teknologi, situasi sering timbul apabila keputusan setiap satu daripada banyak eksperimen yang dijalankan tidak dapat diramalkan terlebih dahulu, tetapi ia boleh disiasat.

KANDUNGAN TOPIK III. PENGENALAN KEPADA TEORI KEBARANGKALIAN... 2 1. RUJUKAN... 2 1.1. KONSEP DAN DEFINISI ASAS... 2 1.2. TINDAKAN ATAS ACARA RAWAK... 4 1.3. DEFINISI KLASIK

PELAJARAN 3 PENGENALAN KEPADA TEORI KEBARANGKALIAN CADANGAN METODOLOGI CIK 2013 SAYA MELULUSKAN: D.E. Kaputkin Pengerusi Suruhanjaya Pendidikan dan Metodologi bagi pelaksanaan Perjanjian dengan Jabatan Pendidikan bandar-bandar.

1.6. Ujian bebas. Formula Bernoulli Apabila menyelesaikan masalah kebarangkalian, seseorang sering menghadapi situasi di mana ujian yang sama diulang berkali-kali dan keputusan setiap ujian adalah

Kebarangkalian. Apakah ini? Teori kebarangkalian, seperti namanya, berkaitan dengan kebarangkalian. Kita dikelilingi oleh banyak perkara dan fenomena yang, tidak kira betapa majunya sains, adalah mustahil untuk membuat ramalan yang tepat.

Pengajaran praktikal 1. Penentuan kebarangkalian Sifat-sifat peristiwa rawak 1. [Ventzel E.S., 1.1.] Adakah kumpulan peristiwa berikut membentuk kumpulan yang lengkap: a) Pengalaman membaling syiling; peristiwa: b) Pengalaman melontar

SUBJEK. TEOREM PENAMBAHAN DAN PENDARAB KEBARANGKALIAN Operasi pada peristiwa rawak. Algebra peristiwa. Konsep keserasian acara. Kumpulan acara lengkap. Kebergantungan dan kebebasan peristiwa rawak. Bersyarat

Kuliah 2. Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian Jumlah dan hasil darab suatu peristiwa Jumlah atau penyatuan beberapa peristiwa ialah peristiwa yang terdiri daripada kejadian sekurang-kurangnya satu daripada ini.

Matematik (BkPl-100) M.P. Kharlamov tahun akademik 2011/2012, Kuliah semester 1 5. Topik: Kombinatorik, pengenalan kepada teori kebarangkalian 1 Topik: Kombinatorik Kombinatorik ialah cabang matematik yang mengkaji

Topik pelajaran: "Masalah kebarangkalian yang paling mudah." Guru Matematik gred ke-11 N.S. Pereverzyeva Institusi Pendidikan Perbandaran Lyceum 6 Sungguh mengagumkan bahawa sains, yang bermula dengan pertimbangan perjudian, menjanjikan untuk menjadi yang paling penting.

Unsur-unsur teori kebarangkalian. Rancang. 1. Peristiwa, jenis acara. 2. Kebarangkalian sesuatu peristiwa a) Kebarangkalian klasik sesuatu peristiwa. b) Kebarangkalian statistik sesuatu peristiwa. 3. Algebra peristiwa a) Jumlah peristiwa. Kebarangkalian

Topik 33 "Kebarangkalian kejadian" Kita semua selalunya berkata "memang luar biasa", "kemungkinan besar", "tidak mungkin", dsb. apabila kita cuba meramalkan kejadian ini atau kejadian itu. Di mana

Agensi Persekutuan Pendidikan Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics N. E. Lugina PRAKTIKUM TEORI KEBARANGKALIAN Buku Teks Tomsk 2006 Pengulas: Ph.D.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Kuliah 1 Peristiwa rawak Tindakan pada peristiwa Õppejõud: I. TEORI KEBARANGKALIAN Gusseva Pengenalan Teori kebarangkalian berkaitan dengan

KEBARANGKALIAN PERISTIWA RAWAK Aksiom Kolmogorov Pada tahun 1933, A. N. Kolmogorov dalam bukunya "Konsep Asas Teori Kebarangkalian" memberikan justifikasi aksiomatik untuk teori kebarangkalian. “Ini bermakna selepas itu

Kerja Rumah 1 “Teori Kebarangkalian” Tugasan 1. 1.1. Terdapat lima tiket bernilai satu rubel, tiga tiket bernilai tiga rubel dan dua tiket bernilai lima rubel. Tiga tiket diambil secara rawak. Tentukan kebarangkalian

Ujian dalam matematik gunaan untuk pelajar tahun 2 kursus surat-menyurat sekolah pendidikan tinggi, arah penyediaan 03/08/01 pembinaan Pilihan 1 1) Nombor asli tidak melebihi

Kerja amali 3 Algebra peristiwa. Penambahan dan pendaraban kebarangkalian Tujuan kerja: untuk menguasai pengiraan kebarangkalian kejadian bersama, menentukan kebarangkalian menggunakan formula jumlah dan hasil. peralatan

KEMENTERIAN PENDIDIKAN PERSEKUTUAN RUSIA UNIVERSITI TEKNIKAL NEGERI VOLGOGRAD INSTITUT POLITEKNIK VOLGA JABATAN MATEMATIK Teori kebarangkalian (pengenalan) Bahagian 1 Metodologi

Jabatan Matematik dan Sains Komputer Matematik Kompleks pendidikan dan metodologi untuk pelajar pendidikan vokasional menengah yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul 6 Elemen teori kebarangkalian dan statistik matematik

KONSEP ASAS TEORI KEBARANGKALIAN. 3.1. Acara rawak. Setiap sains, apabila mengkaji fenomena dunia material, beroperasi dengan konsep tertentu, di antaranya semestinya ada yang asas;

Kerja amali 2 Topik 2 Jumlah formula kebarangkalian dan formula Bayes Pengulangan eksperimen (skema Bernoulli). Kita akan mengatakan bahawa peristiwa H 1, H 2, H n membentuk kumpulan lengkap jika, sebagai hasil daripada eksperimen:

13 Penambahan dan pendaraban kebarangkalian Peristiwa A dipanggil kes khas bagi peristiwa B jika apabila A berlaku, B juga berlaku. Ditulis: Peristiwa A dan B dipanggil sama jika setiap satu daripadanya adalah istimewa

KEBARANGKALIAN GABUNGAN Topik 5 Terjemahan dijalankan dengan sokongan IT Akadeemia Kandungan Kuliah 1 Pengenalan 2 3 4 Perenggan seterusnya 1 Pengenalan 2 3 4 Masalah... Masalah... Masalah... ... dan penyelesaian: Gadis

Topik Kuliah: ALGEBRA PERISTIWA TEOREM ASAS TENTANG KEBARANGKALIAN Algebra peristiwa Jumlah peristiwa ialah peristiwa S = +, yang terdiri daripada kejadian sekurang-kurangnya satu daripadanya Hasil darab peristiwa dipanggil

Kuliah 9. Takrif klasik kebarangkalian Teori kebarangkalian ialah sains matematik yang membenarkan, daripada kebarangkalian beberapa peristiwa rawak, untuk mencari kebarangkalian peristiwa rawak lain yang berkaitan dalam beberapa cara.

SEMAK TUGASAN Ujian 1 Pilihan 1 1. Antara 0 produk seramik yang diterima di kedai, terdapat 4 yang rosak. Untuk menyemak kualiti, peniaga memilih dua produk secara rawak. Cari kebarangkalian

( takrif - peristiwa rawak - operasi pada peristiwa kebarangkalian pada ruang diskret hasil asas takrifan klasik kebarangkalian contoh contoh taburan hipergeometrik

PRAKTIS Formula asas kombinatorik Jenis peristiwa Tindakan pada peristiwa Kebarangkalian klasik Kebarangkalian geometri Formula asas kombinatorik Kombinatorik mengkaji nombor gabungan,

KULIAH 1 TEORI KEBARANGKALIAN Teori kebarangkalian ialah sains yang mengkaji corak dalam fenomena rawak. Fenomena rawak ialah fenomena yang, apabila perkara yang sama diulang berulang kali,

1 Kebarangkalian Data eksperimen diproses menggunakan pelbagai kaedah. Biasanya, seorang penyelidik, setelah menerima data eksperimen pada satu atau beberapa kumpulan subjek dan ditentukan daripadanya

Asas teori kebarangkalian Kuliah 2 Kandungan 1. Kebarangkalian bersyarat 2. Kebarangkalian hasil darab peristiwa 3. Kebarangkalian jumlah peristiwa 4. Formula jumlah kebarangkalian Kejadian bersandar dan tidak bersandar Definisi

Topik: Teori Kebarangkalian Disiplin: Matematik Pengarang: Nefedova G.A. Tarikh: 9.0.0. Kebarangkalian kejadian rawak mungkin sama. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama.

Teori kebarangkalian Rancangan kuliah P Mengenai teori kebarangkalian sebagai sains P Definisi asas teori kebarangkalian P Kekerapan kejadian rawak Penentuan kebarangkalian P 4 Aplikasi kombinatorik untuk mengira

Dari segi S, peristiwa sistem tidak ditutup boleh ditulis: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Sama seperti menyelesaikan masalah 2.5, 2.6, kita memperoleh S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Topik 8 Pembolehubah rawak diskret. Selalunya hasil eksperimen rawak ialah nombor. Sebagai contoh, anda boleh melontar dadu dan mendapatkan salah satu nombor:,3,4,5,6. Anda boleh memandu ke stesen minyak

Kebarangkalian bersyarat. Teorem pendaraban kebarangkalian Nombor:..B Masalah: Kebarangkalian kejadian bersama peristiwa bebas A dan B ditentukan oleh rumus Jawapan:). P(A) PA(B)). P(A) + P(B)).

Kuliah 10 TOPIK Asas teori kebarangkalian (bahagian 2). Pengarang: Maxim Igorevich Pisarevsky, Guru di Pusat Latihan Pra-Universiti Universiti Nuklear Penyelidikan Kebangsaan MEPhI. Moscow, 2017 Definisi dan sifat Definisi asas teori

Tugasan Menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian Topik: “Kebarangkalian kejadian rawak.” Tugasan. Syiling dilambung tiga kali berturut-turut. Dengan hasil eksperimen yang kita maksudkan urutan X X X. di mana setiap

Ujian 01 1. Peristiwa rawak dan klasifikasinya. 2. Jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak. 3. Terdapat 15 bola merah, 9 biru dan 6 bola hijau di dalam sebuah kotak. 6 biji bola diambil secara rawak. Apakah kebarangkalian

PELAJARAN 1 PERISTIWA RANDOM Konsep utama sains semula jadi ialah konsep eksperimen, tidak kira sama ada eksperimen ini dijalankan secara semula jadi atau oleh penyelidik. Secara konvensional, kita akan menganggap bahawa eksperimen

Menyelesaikan masalah daripada koleksi Teori Masalah Kebarangkalian Chudesenko -0. Pilihan 6 Masalah. Dua dadu dilempar. Tentukan kebarangkalian bahawa: a) jumlah bilangan mata tidak melebihi N; b) kerja

UNIVERSITI NEGERI TOMSK Fakulti Ekonomi PRAKTIKUM TEORI KEBARANGKALIAN DAN STATISTIK MATEMATIK UNTUK AHLI EKONOMI BAHAGIAN Tomsk 06 DILULUSKAN oleh Jabatan Kaedah dan Maklumat Matematik

1 BAHAGIAN I. TEORI KEBARANGKALIAN BAB 1. 1. Unsur kombinatorik Definisi 1. Contoh: Definisi. -faktorial ialah nombor yang dilambangkan dengan!, dan! = 1** * untuk semua nombor asli 1, ; selain itu,

Perenggan: Konsep umum Teori kebarangkalian Peristiwa rawak Definisi: Teori kebarangkalian ialah sains matematik yang mengkaji corak kuantitatif dalam fenomena rawak. Teori kebarangkalian bukan

Alat penilaian untuk pemantauan berterusan prestasi akademik, pensijilan pertengahan berdasarkan keputusan penguasaan disiplin dan sokongan pendidikan dan metodologi untuk kerja bebas pelajar 1 Pilihan ujian

Vorobiev V.V. "Lyceum" dari Kalachinsk, Bengkel Wilayah Omsk untuk menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik. Peranan penting dalam mempelajari topik dalam teori dan statistik kebarangkalian dimainkan oleh

A.V. Buku Teks Teori Kebarangkalian Tanpa Kelab Nizhny Novgorod 06 Kementerian Pendidikan dan Sains Persekutuan Rusia Institusi Pendidikan Belanjawan Negara Persekutuan Pendidikan Profesional Tinggi

Buku masalah Chudesenko, teori kebarangkalian, pilihan Dua dadu dilempar. Tentukan kebarangkalian bahawa: a jumlah bilangan mata tidak melebihi N; b hasil darab bilangan mata tidak melebihi N; V

Disusun oleh: Profesor Madya Jabatan Perubatan dan Fizik Biologi Romanova N.Yu. Teori kebarangkalian 1 kuliah Pengenalan. Teori kebarangkalian ialah sains matematik yang mengkaji corak fenomena rawak.

MVDubatovskaya Teori kebarangkalian dan statistik matematik Kuliah 3 Kaedah untuk menentukan kebarangkalian 0 Penentuan klasik kebarangkalian Kami akan memanggil mana-mana keputusan yang mungkin bagi eksperimen asas

1. Kereta api itu mengandungi 12 buah kereta. Setiap daripada 7 penumpang memilih mana-mana gerabak secara rawak. Cari kebarangkalian kejadian berikut: A = (semua penumpang menaiki tiga kereta pertama); B = (semua penumpang menaiki pesawat yang berbeza

Elemen teori kebarangkalian Peristiwa rawak Proses penentuan Dalam sains dan teknologi, proses dianggap yang hasilnya boleh diramalkan dengan yakin: Jika perbezaan digunakan pada hujung konduktor

Agensi Persekutuan Pendidikan Institusi pendidikan profesional tinggi negeri "UNIVERSITI POLITEKNIK TOMSK PENYELIDIKAN KEBANGSAAN" KULIAH TEORI

1 Takrif klasik kebarangkalian 1 Dek 3 kad dikocok dengan teliti Cari kebarangkalian bahawa keempat-empat ace berada dalam dek satu demi satu, tanpa menyelitkan kad lain Nombor Penyelesaian

Kuliah 3 KEBARANGKALIAN BERSYARAT DAN KEMERDEKAAN PERISTIWA FORMULA KEBARANGKALIAN LENGKAP DAN TEOREM BAYES TUJUAN KULIAH: untuk mentakrifkan konsep kebarangkalian bersyarat dan kebebasan peristiwa; membina peraturan pendaraban

TUGASAN KAWALAN Tugasan. Anda perlu menyelesaikan masalah yang sepadan dengan nombor pilihan anda. Kotak itu mengandungi gulungan empat warna: putih 5 merah hijau biru 0. Apakah kebarangkalian bahawa secara rawak

1. Dalam bakul ada 14 biji epal termasuk 4 biji epal merah. Mereka mengeluarkan 4 biji epal secara rawak (tanpa kembali). Cari kebarangkalian bahawa anda mendapat tepat 3 yang merah. 2. Senarai 20 panggilan perniagaan disediakan secara rawak.

1. Nombor 1,..., n disusun dalam susunan rawak. Cari kebarangkalian bahawa nombor 1, 2 dan 3 terletak bersebelahan antara satu sama lain dalam susunan yang diberi. 2. Daripada sepuluh pasukan, empat berjaya ke peringkat akhir. Andainya masing-masing

INSTITUSI PENDIDIKAN BELANJAWAN NEGERI PERSEKUTUAN PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI "Akademi Kebudayaan dan Seni Negeri Chelyabinsk" Jabatan Informatik TEORI KEBARANGKALIAN

TOPIK 1 Kombinatorik Pengiraan kebarangkalian Masalah 1B 17 pasukan mengambil bahagian dalam piala bola sepak negara Berapa banyak cara yang ada untuk mengagihkan pingat emas, perak dan gangsa? Kerana ia

Mari kita perkenalkan konsepnya rawak peristiwa. Oleh kerana pada masa akan datang kita akan mempertimbangkan hanya peristiwa rawak, maka, bermula dari saat ini, kita akan, sebagai peraturan, hanya memanggilnya peristiwa.

Mana-mana set hasil asas, atau, dengan kata lain, subset arbitrari ruang hasil asas, dipanggil peristiwa .

Hasil asas yang merupakan unsur subset (peristiwa) yang sedang dipertimbangkan dipanggil hasil asas, menguntungkan ini peristiwa , atau membentuk ini peristiwa .

Kami akan menandakan peristiwa dalam huruf Latin besar, menyediakannya dengan indeks jika perlu, sebagai contoh: A, DALAM 1 ,DENGAN 3, dsb.

Mereka mengatakan bahawa peristiwa itu A berlaku (atau berlaku) jika mana-mana hasil asas muncul sebagai hasil daripada pengalaman.

Nota 1. Untuk kemudahan mempersembahkan bahan, istilah "peristiwa" sebagai subset ruang peristiwa asas Ω dikenal pasti dengan istilah "sesuatu peristiwa berlaku akibat pengalaman," atau "sesuatu peristiwa terdiri dalam penampilan beberapa hasil asas."

Jadi dalam contoh 2, di mana
, acara A ialah subset
. Tetapi kami juga akan mengatakan bahawa acara itu A– ialah kemunculan mana-mana hasil asas

Contoh 1.5. Dalam contoh 2 ditunjukkan bahawa apabila melontar dadu sekali

di mana - hasil asas yang terdiri daripada kerugian i mata. Pertimbangkan peristiwa berikut: A– mendapat bilangan mata genap; DALAM- mendapat bilangan mata ganjil; DENGAN– melancarkan beberapa mata yang merupakan gandaan tiga. Ia adalah jelas bahawa

,
,

Peristiwa yang terdiri daripada semua hasil asas, i.e. Peristiwa yang semestinya berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil peristiwa veridik.

Peristiwa yang boleh dipercayai ditunjukkan oleh surat itu Ω .

Peristiwa , bertentangan dengan peristiwa yang boleh dipercayai Ω, dipanggil mustahil. Jelas sekali peristiwa yang mustahil tidak boleh muncul sebagai hasil daripada pengalaman. Contohnya, mendapat lebih daripada enam mata apabila melontar dadu. Kami akan menandakan peristiwa mustahil dengan Ø.

Peristiwa mustahil tidak mengandungi satu peristiwa asas. Ia sepadan dengan apa yang dipanggil "set kosong", yang tidak mengandungi satu titik.

Secara geometri, peristiwa rawak diwakili oleh set titik dalam rantau Ω, i.e. kawasan yang terletak di dalam Ω (Rajah 1.1). Peristiwa yang boleh dipercayai sepadan dengan seluruh rantau Ω.

Dalam teori kebarangkalian, pelbagai operasi dilakukan pada peristiwa, yang keseluruhannya membentuk apa yang dipanggil algebra peristiwa, berkait rapat dengan algebra logik, digunakan secara meluas dalam komputer moden.

nasi. 1.1 Rajah. 1.2

Untuk mempertimbangkan masalah algebra peristiwa, kami memperkenalkan definisi asas.

Dua peristiwa itu dipanggil setara (setara) , jika ia terdiri daripada peristiwa asas yang sama. Persamaan peristiwa ditunjukkan oleh tanda sama:

A=DALAM.

Peristiwa B dipanggil akibat daripada peristiwa itu A:

ADALAM,

Jika dari rupa A mengikut rupa DALAM. Jelas sekali, jika ADALAM Dan DALAMA, Itu A=DALAM, Jika ADALAM Dan DALAMDENGAN, Itu ADENGAN(Gamb. 1.2).

Jumlah atau penyatuan dua peristiwa A Dan DALAM peristiwa ini dipanggil DENGAN, yang terdiri sama ada dalam pelaksanaan acara A, atau peristiwa DALAM, atau peristiwa A Dan DALAM bersama-sama. Secara konvensional ia ditulis seperti ini:

DENGAN=A+DALAM atau DENGAN=A
DALAM.

Jumlah sebarang nombor peristiwa A 1 ,A 2 , … , A n dipanggil peristiwa DENGAN, yang terdiri daripada pelaksanaan sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini dan ditulis dalam bentuk

atau

Kerja atau gabungan (persimpangan) dua peristiwa A Dan DALAM dipanggil acara DENGAN, yang juga terdiri daripada pelaksanaan acara tersebut A, dan acara DALAM. Secara konvensional ia ditulis seperti ini:

DENGAN=AB atau DENGAN=ADALAM.

Hasil bagi sebarang bilangan acara ditentukan sama. Peristiwa DENGAN, setara dengan produk n peristiwa A 1 ,A 2 , … , A n ditulis sebagai

atau
.

Jumlah dan hasil bagi peristiwa mempunyai sifat berikut.

A+DALAM=DALAM+A.

(A+DALAM)+DENGAN=A+(DALAM+DENGAN)=A+DALAM+DENGAN.

AB=VA.

(AB)DENGAN=A(matahari)=ABC.

A(DALAM+DENGAN)=AB+AC.

Kebanyakan mereka mudah untuk menyemak sendiri. Kami mengesyorkan menggunakan model geometri.

Mari kita berikan bukti harta yang ke-5.

Peristiwa A(DALAM+DENGAN) terdiri daripada peristiwa asas yang tergolong dalam dan A Dan DALAM+DENGAN, iaitu peristiwa A dan sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa itu DALAM,DENGAN. Dalam kata lain, A(DALAM+DENGAN) ialah satu set acara asas kepunyaan sama ada acara itu AB, atau acara AC, iaitu peristiwa AB+AC. Acara geometri A(DALAM+DENGAN) mewakili bahagian umum kawasan A Dan DALAM+DENGAN(Gamb. 1.3.a), dan peristiwa itu AB+AC– kawasan penggabungan AB Dan AC(Rajah 1.3.b), i.e. kawasan yang sama A(DALAM+DENGAN).

nasi. 1.3.a Rajah. 1.3.b

Peristiwa DENGAN, yang terdiri daripada fakta bahawa acara itu A berlaku dan peristiwa itu DALAM tidak berlaku, ia dipanggil beza peristiwa A Dan DALAM. Secara konvensional ia ditulis seperti ini:

DENGAN=A-DALAM.

Peristiwa A Dan DALAM dipanggil sendi , jika mereka boleh muncul dalam percubaan yang sama. Ini bermakna terdapat peristiwa asas yang merupakan sebahagian daripada dan A Dan DALAM serentak (Rajah 1.4).

Peristiwa A Dan DALAM dipanggil tidak serasi , jika penampilan salah seorang daripada mereka tidak termasuk penampilan yang lain, i.e. Jika AB= Ø. Dalam erti kata lain, tidak ada satu pun acara asas yang akan menjadi sebahagian daripada dan A Dan DALAM serentak (Rajah 1.5). Khususnya, peristiwa yang bertentangan Dan sentiasa tidak serasi.

nasi. 1.4 Rajah. 1.5

Peristiwa
dipanggil berpasangan tidak serasi , jika mana-mana dua daripadanya tidak konsisten.

Peristiwa
bentuk kumpulan penuh , jika ia tidak konsisten berpasangan dan menambah sehingga peristiwa yang boleh dipercayai, i.e. jika ada i, k

Ø;
.

Jelas sekali, setiap acara asas mesti menjadi sebahagian daripada satu dan hanya satu acara kumpulan lengkap
. Secara geometri, ini bermakna bahawa seluruh rantau Ω rantau
dibahagikan dengan n bahagian yang tidak mempunyai titik sepunya antara satu sama lain (Rajah 1.6).

Peristiwa bertentangan Dan mewakili kes termudah bagi kumpulan lengkap.

Anda boleh melakukan pelbagai tindakan pada acara, dengan itu menerima acara lain. Mari kita tentukan tindakan ini.

Definisi 2.13.

Jika semasa sebarang percubaan di mana sesuatu peristiwa berlaku A, sesuatu kejadian berlaku DALAM, kemudian acara A dipanggil kes istimewa peristiwa V.

Mereka juga mengatakan bahawa A melibatkan B, dan mereka menulis: ( A dilaburkan dalam DALAM) atau (Rajah 2.1).

Sebagai contoh, biarkan acara itu A ialah kemunculan dua mata apabila melontar dadu, dan acara itu DALAM terdiri dalam rupa bilangan mata genap apabila melontar dadu B = (2; 4; 6). Kemudian acara A terdapat kes khas acara itu DALAM, kerana dua ialah nombor genap. Kita boleh menuliskannya.

nasi. 2.1 . Peristiwa A- kes khas sesuatu acara DALAM

Definisi 2.14.

Jika A melibatkan DALAM, A DALAM melibatkan A, maka peristiwa ini bersamaan , kerana mereka maju bersama atau tidak maju bersama.

Daripada apa (berikut) A = B.

Sebagai contoh, A- peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa nombor genap kurang daripada tiga digolek pada dadu. Peristiwa ini setara dengan acara tersebut DALAM, terdiri daripada fakta bahawa nombor 2 jatuh pada dadu.

Definisi 2.15.

Peristiwa yang terdiri daripada kejadian bersama kedua-dua peristiwa dan A, Dan DALAM, dipanggil persimpangan peristiwa ini A∩B, atau kerja peristiwa ini AB(Gamb. 2.2).

nasi. 2.2. Acara Melintasi

Sebagai contoh, biarkan acara itu A terdiri daripada mendapat bilangan mata genap apabila melontar dadu, maka kejadiannya digemari oleh acara asas yang terdiri daripada mendapat 2, 4 dan 6 mata. A -(2; 4; 6). Peristiwa DALAM terdiri daripada mendapat lebih daripada tiga mata apabila membaling dadu, maka kejadiannya digemari oleh acara asas yang terdiri daripada mendapat 4, 5 dan 6 mata. DALAM= (4; 5; 6). Kemudian dengan persimpangan atau hasil daripada peristiwa A Dan DALAM akan ada acara yang terdiri daripada kehilangan mata genap lebih daripada tiga (acara itu juga dijalankan A, dan acara DALAM):

A∩B =AB={4; 6}.

Persimpangan peristiwa, salah satunya A- seorang ratu jatuh dari dek kad, dan seorang lagi DALAM- jika kelab jatuh, akan ada ratu kelab.

Catatan. Jika dua peristiwa A Dan DALAM tidak serasi, maka serangan bersama mereka adalah mustahil AB = 0.

Definisi 2.16.

Peristiwa yang terdiri daripada kejadian atau peristiwa A, atau peristiwa DALAM(sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa, sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini) dipanggil kesatuan mereka A Dan DALAM, atau jumlah peristiwa A Dan DALAM dan dilambangkan dengan A+B (Rajah 2.3).

nasi. 2.3. Peristiwa Penggabungan

Contohnya, acara A terdiri daripada mendapat bilangan mata genap apabila melontar dadu, maka kejadiannya digemari oleh acara asas yang terdiri daripada mendapat 2, 4 dan 6 mata, atau A -(2; 4; 6). Peristiwa DALAM terdiri daripada mendapat lebih daripada tiga mata apabila membaling dadu, maka kejadiannya digemari oleh acara asas yang terdiri daripada mendapat 4, 5 dan 6 mata, atau B = (4; 5; 6). Kemudian oleh kesatuan, atau jumlah peristiwa A Dan DALAM akan berlaku peristiwa yang terdiri daripada kehilangan sekurang-kurangnya satu daripadanya - sama ada bilangan mata genap, atau bilangan mata lebih daripada tiga (sama ada acara itu dipenuhi A, atau peristiwa DALAM):

A ∩ B =A +B={2; 4; 5; 6}.

Definisi 2.17.

Peristiwa yang merupakan peristiwa A tidak berlaku, dipanggil bertentangan dengan kejadian A dan dilambangkan dengan Ā (Gamb. 2.4).

nasi. 2.4. Peristiwa bertentangan

Sebagai contoh, biarkan acara itu A terdiri daripada mendapat bilangan mata genap apabila melontar dadu, maka kejadiannya digemari oleh acara asas yang terdiri daripada mendapat 2, -4 dan 6 mata, atau A =(2; 4; 6). Kemudian acara Ā terdiri daripada melancarkan bilangan mata ganjil, dan kejadiannya difasilitasi oleh peristiwa asas yang terdiri daripada melancarkan mata pertama, ke-3 dan ke-5. Ā ={1;3;5}.

Definisi 2.18.

Peristiwa (A dan B), yang terdiri daripada fakta bahawa A berlaku dan tidak berlaku dipanggil perbezaan peristiwa A Dan DALAM dan dilambangkan dengan A-B. Walau bagaimanapun, kita boleh melakukannya tanpa penamaan ini, kerana ia mengikuti dari definisi bahawa A - B -(Gamb. 2.5).

nasi. 2.5. Perbezaan acara A Dan DALAM

Sebagai contoh, biarkan acara itu A terdiri daripada mendapat mata genap apabila melontar dadu, maka A =(2; 4; 6). Peristiwa DALAM terdiri daripada melancarkan bilangan mata yang lebih besar daripada tiga. DALAM= {4; 5; 6}.

Kemudian - peristiwa yang terdiri daripada kehilangan beberapa mata tidak lebih daripada tiga, dan kejadiannya disukai oleh peristiwa asas yang terdiri daripada kehilangan 1, 2 dan 3 mata. = {1; 2; 3}.

Dengan perbezaan peristiwa A Dan DALAM akan ada acara yang terdiri daripada acara yang sedang dilaksanakan A dan acara itu tidak dilaksanakan DALAM. Permulaannya digemari oleh acara asas yang terdiri daripada 2 mata bergolek:

A-B= A∩= {2}.

Definisi jumlah dan produk acara meluas kepada bilangan acara yang lebih besar:

A + B + ... + N =(A atau DALAM, atau atau N) (2.1)

terdapat peristiwa yang terdiri daripada kejadian sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa A, B, ... N;

AB... N =(A Dan DALAM dan... dan N), (2.2)

terdapat acara yang terdiri daripada serangan bersama semua acara A, B, ... N.

Jumlah dan hasil darab bilangan kejadian yang tidak terhingga ditakrifkan secara serupa A 1, A 2, ... A p, ...

Ambil perhatian bahawa, walau bagaimanapun, beberapa peraturan algebra dikekalkan untuk tindakan pada peristiwa. Sebagai contoh, terdapat undang-undang komutatif (kebolehkomunikasi):

A + B = B + A, AB = BA,(2.3)

undang-undang pengagihan (distributif) dipenuhi:

(A + B) C = AC + BC,(2.4)

memandangkan bahagian kiri dan kanan mewakili peristiwa peristiwa C dan sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa itu berlaku A Dan DALAM. Undang-undang gabungan (persekutuan) juga sah:

A+(B + C) = (A+B)+ C = A+B + C;

A(BC) = (AB)C = ABC.(2.5)

Di samping itu, terdapat juga persamaan yang kelihatan tidak masuk akal dalam algebra biasa. Sebagai contoh, untuk mana-mana A, B, C:

AA=A(2.6)

A+A= A(2.7)

A+AB= A(2.8)

AB + C = (A+C)(B+C)(2.9)

Peristiwa bertentangan berkaitan:

· hukum penafian berganda:

= A;(2.10)

undang-undang tengah dikecualikan

A + = Ω. (jumlah mereka adalah peristiwa yang boleh dipercayai); (2.11)

hukum percanggahan:

A =Ø (hasil daripada peristiwa mustahil mereka). (2.12)

Persamaan (2.6)-(2.12) dibuktikan untuk penyataan dalam perjalanan matematik diskret. Kami menjemput pembaca untuk menyemak ini sendiri menggunakan definisi jumlah dan hasil peristiwa.

Jika B = A 1 + A 2 +... + A p dan peristiwa A tidak serasi berpasangan, i.e. masing-masing tidak serasi dengan yang lain: A j A k= Ø pada i≠k mereka mengatakan bahawa peristiwa itu B dibahagikan kepada kes khas A 1, A 2, ..., A hlm. Contohnya, acara DALAM, yang terdiri daripada melancarkan bilangan mata ganjil, dibahagikan kepada kes-kes khas E 1, E 3, E 5, yang terdiri daripada guling 1, 3 dan 5 mata masing-masing.

Berdasarkan definisi tindakan pada peristiwa, kita boleh memberikan definisi yang lebih jelas kepada kumpulan peristiwa yang lengkap.

Definisi 2.19.

Jika A 1 + A 2 +... + A p = Ω , iaitu jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa itu A 1 + A 2 +... + A p mesti pasti menjadi kenyataan dan jika pada masa yang sama A j tidak serasi berpasangan (iaitu peristiwa yang boleh dipercayai Ω dibahagikan kepada kes-kes khas A 1 + A 2 +... + A p), kemudian mereka mengatakan bahawa peristiwa A 1 + A 2 +... + A p membentuk kumpulan acara yang lengkap. Justeru, jika A 1 + A 2 +... + A p- kumpulan peristiwa yang lengkap, kemudian semasa setiap percubaan satu dan hanya satu peristiwa yang semestinya berlaku A 1 + A 2 +... + A p.

Sebagai contoh, semasa melontar dadu, kumpulan acara yang lengkap juga terdiri daripada acara E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 Dan E 6, yang terdiri daripada guling 1, 2, 3,4, 5 dan 6 mata masing-masing.

Pernyataan umum masalah: kebarangkalian beberapa peristiwa diketahui, dan anda perlu mengira kebarangkalian peristiwa lain yang dikaitkan dengan peristiwa ini. Dalam masalah ini, terdapat keperluan untuk operasi dengan kebarangkalian seperti penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Contohnya, semasa memburu, dua das tembakan dilepaskan. Peristiwa A- memukul itik dengan pukulan pertama, acara B- pukulan dari pukulan kedua. Kemudian jumlah peristiwa A Dan B- pukul dengan pukulan pertama atau kedua atau dengan dua pukulan.

Masalah daripada jenis yang berbeza. Beberapa acara diberikan, sebagai contoh, syiling dilambung tiga kali. Anda perlu mencari kebarangkalian sama ada jata akan muncul ketiga-tiga kali, atau jata itu akan muncul sekurang-kurangnya sekali. Ini adalah masalah pendaraban kebarangkalian.

Penambahan kebarangkalian kejadian tidak serasi

Penambahan kebarangkalian digunakan apabila anda perlu mengira kebarangkalian gabungan atau jumlah logik peristiwa rawak.

Jumlah peristiwa A Dan B menandakan A + B atau A ∪ B. Jumlah dua peristiwa ialah peristiwa yang berlaku jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa itu berlaku. Maksudnya begitu A + B– peristiwa yang berlaku jika dan hanya jika peristiwa itu berlaku semasa pemerhatian A atau peristiwa B, atau serentak A Dan B.

Jika peristiwa A Dan B adalah saling tidak konsisten dan kebarangkaliannya diberikan, maka kebarangkalian bahawa salah satu daripada peristiwa ini akan berlaku hasil daripada satu percubaan dikira menggunakan penambahan kebarangkalian.

Teorem penambahan kebarangkalian. Kebarangkalian bahawa satu daripada dua peristiwa yang saling tidak serasi akan berlaku adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini:

Contohnya, semasa memburu, dua das tembakan dilepaskan. Peristiwa A– memukul itik dengan pukulan pertama, peristiwa DALAM– pukulan dari pukulan kedua, peristiwa ( A+ DALAM) – pukulan daripada pukulan pertama atau kedua atau daripada dua pukulan. Jadi, jika dua peristiwa A Dan DALAM– peristiwa yang tidak serasi, kemudian A+ DALAM– berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini atau dua peristiwa.

Contoh 1. Terdapat 30 bola yang sama saiz di dalam kotak: 10 merah, 5 biru dan 15 putih. Kira kebarangkalian bahawa bola berwarna (bukan putih) akan diambil tanpa melihat.

Penyelesaian. Mari kita andaikan bahawa peristiwa itu A- "bola merah diambil", dan acara DALAM- "Bola biru telah diambil." Kemudian acara itu adalah "bola berwarna (bukan putih) diambil." Mari cari kebarangkalian kejadian itu A:

dan peristiwa DALAM:

Peristiwa A Dan DALAM– saling tidak serasi, kerana jika satu bola diambil, maka adalah mustahil untuk mengambil bola dengan warna yang berbeza. Oleh itu, kami menggunakan penambahan kebarangkalian:

Teorem untuk menambah kebarangkalian untuk beberapa peristiwa yang tidak serasi. Jika peristiwa membentuk satu set lengkap peristiwa, maka jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan 1:

Jumlah kebarangkalian kejadian berlawanan juga sama dengan 1:

Peristiwa bertentangan membentuk set lengkap peristiwa, dan kebarangkalian set lengkap peristiwa ialah 1.

Kebarangkalian kejadian bertentangan biasanya ditunjukkan dalam huruf kecil hlm Dan q. khususnya,

dari mana formula berikut untuk kebarangkalian peristiwa berlawanan mengikuti:

Contoh 2. Sasaran dalam jarak menembak dibahagikan kepada 3 zon. Kebarangkalian bahawa penembak tertentu akan menembak sasaran di zon pertama ialah 0.15, di zon kedua - 0.23, di zon ketiga - 0.17. Cari kebarangkalian bahawa penembak akan mencapai sasaran dan kebarangkalian bahawa penembak akan terlepas sasaran.

Penyelesaian: Cari kebarangkalian bahawa penembak akan mencapai sasaran:

Mari cari kebarangkalian bahawa penembak akan terlepas sasaran:

Untuk masalah yang lebih kompleks, di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian, lihat halaman "Pelbagai masalah yang melibatkan penambahan dan pendaraban kebarangkalian".

Penambahan kebarangkalian kejadian serentak bersama

Dua peristiwa rawak dipanggil bersama jika berlakunya satu peristiwa tidak mengecualikan kejadian kedua dalam pemerhatian yang sama. Contohnya, semasa melontar dadu acara itu A Nombor 4 dianggap akan dilancarkan, dan acara itu DALAM– menggolek nombor genap. Memandangkan 4 ialah nombor genap, kedua-dua acara adalah serasi. Dalam amalan, terdapat masalah untuk mengira kebarangkalian berlakunya salah satu peristiwa serentak bersama.

Teorem penambahan kebarangkalian untuk peristiwa bersama. Kebarangkalian bahawa salah satu peristiwa bersama akan berlaku adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini, daripadanya kebarangkalian kejadian biasa kedua-dua peristiwa ditolak, iaitu hasil darab kebarangkalian. Formula untuk kebarangkalian kejadian bersama mempunyai bentuk berikut:

Sejak peristiwa A Dan DALAM serasi, acara A+ DALAM berlaku jika salah satu daripada tiga kemungkinan kejadian berlaku: atau AB. Mengikut teorem penambahan peristiwa yang tidak serasi, kami mengira seperti berikut:

Peristiwa A akan berlaku jika salah satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi berlaku: atau AB. Walau bagaimanapun, kebarangkalian berlakunya satu peristiwa daripada beberapa peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian semua peristiwa ini:

Begitu juga:

Menggantikan ungkapan (6) dan (7) kepada ungkapan (5), kita memperoleh formula kebarangkalian untuk peristiwa bersama:

Apabila menggunakan formula (8), ia harus diambil kira bahawa peristiwa A Dan DALAM boleh jadi:

saling bebas;
saling bergantung.

Formula kebarangkalian untuk peristiwa saling bebas:

Formula kebarangkalian untuk peristiwa saling bergantung:

Jika peristiwa A Dan DALAM tidak konsisten, maka kebetulan mereka adalah kes yang mustahil dan, dengan itu, P(AB) = 0. Formula kebarangkalian keempat untuk peristiwa tidak serasi ialah:

Contoh 3. Dalam perlumbaan kereta, apabila anda memandu kereta pertama, anda mempunyai peluang yang lebih baik untuk menang, dan apabila anda memandu kereta kedua. Cari:

kebarangkalian bahawa kedua-dua kereta akan menang;
kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu kereta akan menang;

1) Kebarangkalian bahawa kereta pertama akan menang tidak bergantung pada keputusan kereta kedua, jadi peristiwa A(kereta pertama menang) dan DALAM(kereta kedua akan menang) – acara bebas. Mari cari kebarangkalian kedua-dua kereta menang:

2) Cari kebarangkalian bahawa salah satu daripada dua kereta akan menang:

Selesaikan sendiri penambahan masalah kebarangkalian, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 4. Dua syiling dilambung. Peristiwa A- kehilangan jata pada syiling pertama. Peristiwa B- kehilangan jata pada syiling kedua. Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa C = A + B .

Kebarangkalian Darab

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila kebarangkalian hasil darab logik peristiwa mesti dikira.

Dalam kes ini, peristiwa rawak mestilah bebas. Dua peristiwa dikatakan saling bebas jika kejadian satu peristiwa tidak mempengaruhi kebarangkalian berlakunya peristiwa kedua.

Teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas. Kebarangkalian kejadian serentak dua peristiwa bebas A Dan DALAM adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian kejadian ini dan dikira dengan formula:

Contoh 5. Syiling dilambung tiga kali berturut-turut. Cari kebarangkalian bahawa jata itu akan muncul ketiga-tiga kali.

Penyelesaian. Kebarangkalian jata akan muncul pada lambungan syiling pertama, kali kedua dan kali ketiga. Mari cari kebarangkalian jata itu akan muncul tiga kali:

Selesaikan masalah pendaraban kebarangkalian sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 6. Terdapat sekotak sembilan bola tenis baharu. Untuk bermain, tiga bola diambil, dan selepas permainan ia diletakkan semula. Apabila memilih bola, bola yang dimainkan tidak dibezakan daripada bola yang tidak dimainkan. Apakah kebarangkalian bahawa selepas tiga perlawanan tiada lagi bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7. 32 huruf abjad Rusia ditulis pada kad abjad yang dipotong. Lima kad diambil secara rawak satu demi satu dan diletakkan di atas meja mengikut susunan penampilan. Cari kebarangkalian bahawa huruf akan membentuk perkataan "akhir".

Contoh 8. Dari dek penuh kad (52 helai), empat kad dikeluarkan serentak. Cari kebarangkalian bahawa keempat-empat kad ini mempunyai sut yang berbeza.

Contoh 9. Tugas yang sama seperti dalam contoh 8, tetapi setiap kad selepas dikeluarkan dikembalikan ke dek.

Masalah yang lebih kompleks, di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian, serta mengira hasil darab beberapa peristiwa, boleh didapati di halaman "Pelbagai masalah yang melibatkan penambahan dan pendaraban kebarangkalian".

Kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa saling bebas akan berlaku boleh dikira dengan menolak daripada 1 hasil darab kebarangkalian kejadian berlawanan, iaitu menggunakan formula.