Teori ringkas

Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif mengikut tahap kemungkinan kejadiannya, ukuran berangka diperkenalkan, yang dipanggil kebarangkalian kejadian. Kebarangkalian peristiwa rawak ialah nombor yang menyatakan ukuran kemungkinan objektif sesuatu peristiwa berlaku.

Kuantiti yang menentukan betapa pentingnya sebab objektif untuk menjangkakan kejadian sesuatu peristiwa dicirikan oleh kebarangkalian kejadian itu. Perlu ditekankan bahawa kebarangkalian ialah kuantiti objektif yang wujud secara bebas daripada yang mengetahui dan dikondisikan oleh keseluruhan set keadaan yang menyumbang kepada kejadian sesuatu peristiwa.

Penjelasan yang telah kami berikan untuk konsep kebarangkalian tidak definisi matematik, kerana mereka tidak mentakrifkan konsep ini secara kuantitatif. Terdapat beberapa takrifan kebarangkalian kejadian rawak, yang digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah tertentu (klasik, aksiomatik, statistik, dll.).

Definisi klasik kebarangkalian peristiwa mengurangkan konsep ini kepada konsep yang lebih asas tentang peristiwa yang sama mungkin, yang tidak lagi tertakluk kepada definisi dan diandaikan jelas secara intuitif. Sebagai contoh, jika dadu- kubus homogen, maka kehilangan mana-mana muka kubus ini akan menjadi peristiwa yang sama mungkin.

Biarkan acara yang boleh dipercayai dibahagikan kepada kes yang sama mungkin, yang jumlahnya memberikan acara itu. Iaitu, kes-kes di mana ia rosak dipanggil sesuai untuk acara itu, kerana kemunculan salah satu daripadanya memastikan kejadian itu.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan dilambangkan dengan simbol.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dengan nisbah bilangan kes yang menguntungkannya daripada jumlah bilangan kes unik yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi kepada bilangan, i.e.

Ini ialah takrifan klasik bagi kebarangkalian. Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu, setelah mempertimbangkan pelbagai hasil ujian, untuk mencari satu set kes yang mungkin unik, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n, bilangan kes m yang sesuai untuk peristiwa tertentu, dan kemudian lakukan pengiraan menggunakan formula di atas.

Kebarangkalian kejadian sama dengan nisbah nombor acara yang menggembirakan hasil eksperimen kepada jumlah bilangan hasil eksperimen dipanggil kebarangkalian klasik peristiwa rawak.

Sifat kebarangkalian berikut mengikut definisi:

Harta 1. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

Sifat 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sifat 3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif, disertakan antara sifar dan satu.

Harta 4. Kebarangkalian berlakunya peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu.

Sifat 5. Kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan ditentukan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian kejadian A.

Bilangan kes yang memihak kepada kejadian yang bertentangan. Oleh itu kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan kebarangkalian kejadian A:

Kelebihan penting definisi klasik tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah dengan bantuannya kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penaakulan logik.

Apabila satu set syarat dipenuhi, peristiwa yang boleh dipercayai pasti akan berlaku, tetapi peristiwa yang mustahil pasti tidak akan berlaku. Antara peristiwa yang mungkin berlaku atau tidak apabila satu set syarat dicipta, kejadian sesetengahnya boleh dikira dengan alasan yang munasabah, dan kejadian yang lain dengan alasan yang kurang. Jika, sebagai contoh, terdapat lebih banyak bola putih dalam tempayan daripada bola hitam, maka terdapat lebih banyak sebab untuk mengharapkan kemunculan bola putih apabila diambil dari tempayan secara rawak daripada kemunculan bola hitam.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 1

Sebuah kotak mengandungi 8 bola putih, 4 bola hitam dan 7 bola merah. 3 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: – sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik, – terdapat sekurang-kurangnya 2 bola dengan warna yang sama, – terdapat sekurang-kurangnya 1 bola merah dan 1 bola putih.

Penyelesaian masalah

Kami mencari jumlah bilangan hasil ujian sebagai bilangan gabungan 19 (8+4+7) elemen bagi 3:

Mari cari kebarangkalian kejadian itu– sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik (1,2 atau 3 bola merah)

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya 2 bola dengan warna yang sama (2 atau 3 bola putih, 2 atau 3 bola hitam dan 2 atau 3 bola merah)

Bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya satu merah dan 1 bola putih

(1 merah, 1 putih, 1 hitam atau 1 merah, 2 putih atau 2 merah, 1 putih)

Bilangan hasil yang menguntungkan acara tersebut:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Jawapan: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Contoh 2

Dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa jumlah mata adalah sekurang-kurangnya 5.

Penyelesaian

Biarkan acara itu mendapat markah sekurang-kurangnya 5

Mari kita gunakan definisi klasik kebarangkalian:

Jumlah bilangan hasil ujian yang mungkin

Bilangan percubaan yang memihak kepada acara yang diminati

Di bahagian yang dijatuhkan pada dadu pertama, satu mata, dua mata..., enam mata mungkin muncul. begitu juga, enam hasil adalah mungkin apabila melancarkan dadu kedua. Setiap hasil melontar mata dadu pertama boleh digabungkan dengan setiap hasil mata kedua. Oleh itu, jumlah bilangan hasil ujian asas yang mungkin adalah sama dengan bilangan peletakan dengan ulangan (pilihan dengan peletakan 2 elemen daripada set volum 6):

Mari kita cari kebarangkalian peristiwa bertentangan - jumlah mata adalah kurang daripada 5

Gabungan mata yang digugurkan berikut akan memihak kepada acara tersebut:

№

tulang pertama

tulang ke-2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Takrif geometri kebarangkalian dibentangkan dan penyelesaian kepada masalah pertemuan yang terkenal diberikan.

Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif antara satu sama lain mengikut tahap kemungkinannya, jelas sekali, adalah perlu untuk mengaitkan nombor tertentu dengan setiap peristiwa, yang lebih besar, lebih banyak kemungkinan peristiwa itu. Kami akan memanggil nombor ini sebagai kebarangkalian sesuatu peristiwa. Oleh itu, kebarangkalian sesuatu kejadian ialah ukuran berangka tahap kemungkinan objektif acara ini.

Takrifan pertama kebarangkalian harus dianggap sebagai definisi klasik, yang timbul daripada analisis perjudian dan telah digunakan secara intuitif pada mulanya.

Kaedah klasik untuk menentukan kebarangkalian adalah berdasarkan konsep sama mungkin dan peristiwa yang tidak serasi, yang merupakan hasil daripada pengalaman ini dan membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi.

Kebanyakan contoh mudah peristiwa yang sama mungkin dan tidak serasi membentuk kumpulan yang lengkap ialah kemunculan satu atau satu lagi bola dari tempayan yang mengandungi beberapa bola yang sama saiz, berat dan ciri ketara lain, hanya berbeza dalam warna, dicampur dengan teliti sebelum dikeluarkan.

Oleh itu, ujian yang hasilnya membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang tidak serasi dan kemungkinan yang sama dikatakan boleh dikurangkan kepada corak tempayan, atau corak kes, atau sesuai dengan corak klasik.

Sama mungkin dan tidak acara bersama, membentuk kumpulan lengkap, kami hanya akan memanggil kes atau peluang. Selain itu, dalam setiap eksperimen, bersama-sama dengan kes, peristiwa yang lebih kompleks boleh berlaku.

Contoh: Apabila membaling dadu bersama-sama kes A i - mata-i jatuh ke atas tepi atas kita boleh menganggap peristiwa seperti B - kerugian nombor genap mata, C - melancarkan sejumlah mata yang merupakan gandaan tiga...

Berhubung dengan setiap peristiwa yang boleh berlaku semasa eksperimen, kes dibahagikan kepada menguntungkan, di mana peristiwa ini berlaku, dan tidak menguntungkan, di mana peristiwa itu tidak berlaku. Dalam contoh sebelumnya, acara B digemari oleh kes A 2, A 4, A 6; peristiwa C - kes A 3, A 6.

Kebarangkalian klasik kejadian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan kes yang menguntungkan kepada berlakunya peristiwa ini kepada jumlah bilangan kes yang sama mungkin, tidak serasi, membentuk kumpulan lengkap dalam pengalaman ini:

di mana P(A)- kebarangkalian berlakunya peristiwa A; m- bilangan kes yang memihak kepada peristiwa A; n- jumlah kes.

Contoh:

1) (lihat contoh di atas) P(B)= , P(C) =.

2) Guci mengandungi 9 bola merah dan 6 bola biru. Cari kebarangkalian bahawa satu atau dua bola yang ditarik secara rawak akan bertukar menjadi merah.

A- bola merah dilukis secara rawak:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dua bola merah dilukis secara rawak:

Sifat berikut mengikuti daripada takrifan klasik kebarangkalian (tunjukkan diri anda):

1) Kebarangkalian kejadian mustahil ialah 0;

2) Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai ialah 1;

3) Kebarangkalian sebarang peristiwa terletak antara 0 dan 1;

4) Kebarangkalian kejadian yang bertentangan dengan peristiwa A,

Takrifan klasik kebarangkalian mengandaikan bahawa bilangan hasil percubaan adalah terhad. Dalam amalan, selalunya terdapat ujian, bilangan kes yang mungkin tidak terhingga. Di samping itu, kelemahan definisi klasik ialah selalunya mustahil untuk mewakili keputusan ujian sebagai satu set peristiwa asas. Adalah lebih sukar untuk menunjukkan sebab untuk mempertimbangkan hasil asas ujian untuk sama mungkin. Biasanya, kesamaan hasil ujian asas disimpulkan daripada pertimbangan simetri. Walau bagaimanapun, tugas sedemikian sangat jarang dalam amalan. Atas sebab-sebab ini, bersama-sama dengan takrifan klasik kebarangkalian, takrifan kebarangkalian lain juga digunakan.

Kebarangkalian statistik peristiwa A ialah kekerapan relatif kejadian ini dalam ujian yang dilakukan:

di manakah kebarangkalian berlakunya peristiwa A;

Kekerapan relatif kejadian A;

Bilangan percubaan di mana peristiwa A muncul;

Jumlah bilangan percubaan.

Tidak seperti kebarangkalian klasik kebarangkalian statistik adalah ciri pengalaman, eksperimen.

Contoh: Untuk mengawal kualiti produk daripada satu kelompok, 100 produk telah dipilih secara rawak, antaranya 3 produk ternyata rosak. Tentukan kebarangkalian perkahwinan.

.

Kaedah statistik untuk menentukan kebarangkalian hanya terpakai kepada peristiwa yang mempunyai sifat-sifat berikut:

Peristiwa yang sedang dipertimbangkan hendaklah hasil daripada ujian-ujian itu sahaja yang boleh diterbitkan semula dalam bilangan kali yang tidak terhad di bawah set syarat yang sama.

Peristiwa mesti mempunyai kestabilan statistik (atau kestabilan frekuensi relatif). Ini bermakna dalam siri ujian yang berbeza kekerapan relatif peristiwa berubah sedikit.

Bilangan percubaan yang mengakibatkan peristiwa A mestilah agak besar.

Adalah mudah untuk menyemak bahawa sifat-sifat kebarangkalian mengikut daripada definisi klasik dikekalkan apabila definisi statistik kebarangkalian.

3) P (Æ )=0.

Kami akan mengatakan apa yang diberikan ruang kebarangkalian, jika ruang hasil asas9 diberikan dan surat-menyurat ditentukan

w i ® P(wi ) =Pi .

Persoalannya timbul: bagaimana untuk menentukan kebarangkalian P (wi) hasil asas individu daripada keadaan khusus masalah yang diselesaikan?

Takrif klasik kebarangkalian.

Kebarangkalian P (wi) boleh dikira menggunakan pendekatan priori, yang terdiri daripada menganalisis keadaan khusus eksperimen tertentu (sebelum menjalankan eksperimen itu sendiri).

Situasi adalah mungkin apabila ruang hasil asas terdiri daripada nombor terhingga N hasil asas, dan eksperimen rawak adalah sedemikian rupa sehingga kebarangkalian setiap N hasil asas ini kelihatan sama. Contoh eksperimen rawak seperti itu: melambung syiling simetri, membaling dadu saksama, melukis secara rawak bermain kad dari dek yang dikocok. Disebabkan oleh aksiom yang diperkenalkan bagi kebarangkalian setiap asas

hasil dalam kes ini adalah sama dengan N. Oleh itu, jika peristiwa A mengandungi N A hasil asas, maka mengikut definisi (*)

P(A) = A

Dalam kelas situasi ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa ditakrifkan sebagai nisbah bilangan hasil yang menggalakkan kepada jumlah bilangan semua hasil yang mungkin.

Contoh. Daripada set yang mengandungi 10 lampu elektrik yang kelihatan serupa, antaranya 4 rosak, 5 lampu dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian di antara lampu yang dipilih akan terdapat 2 lampu yang rosak?

Pertama sekali, kami perhatikan bahawa pilihan mana-mana lima lampu mempunyai kebarangkalian yang sama. Secara keseluruhan, terdapat C 10 5 cara untuk membuat lima teratas sedemikian, iaitu, eksperimen rawak dalam kes ini mempunyai C 10 5 hasil yang berkemungkinan sama.

Berapa banyak hasil ini memenuhi syarat "terdapat dua lampu yang rosak dalam lima teratas," iaitu, berapa banyak hasil yang tergolong dalam acara yang menarik minat kita?

Setiap lima yang menarik minat kami boleh digubah seperti berikut: pilih dua lampu yang rosak, yang boleh dilakukan dalam beberapa cara bersamaan dengan C 4 2 . Setiap sepasang lampu yang rosak boleh berlaku seberapa banyak cara ia boleh ditambah dengan tiga lampu yang tidak rosak, iaitu, 6 3 kali. Ternyata bilangan lima mengandungi dua

Takrifan statistik kebarangkalian.

Pertimbangkan satu eksperimen rawak di mana sebuah dadu yang diperbuat daripada bahan heterogen dilambung. Pusat gravitinya bukan pada pusat geometri. Dalam kes ini, kita tidak boleh menganggap hasil (kehilangan satu, dua, dsb.) sebagai kemungkinan yang sama. Dari fizik diketahui bahawa tulang akan lebih kerap jatuh pada muka yang lebih dekat dengan pusat graviti. Bagaimana untuk menentukan kebarangkalian mendapat, sebagai contoh, tiga mata? Satu-satunya perkara yang boleh anda lakukan ialah melancarkan dadu ini n kali (di mana n ialah nombor yang agak besar, katakan n = 1000 atau n = 5000), hitung bilangan tiga mata yang digulung n 3 dan pertimbangkan kebarangkalian hasil penggelek tiga mata menjadi n 3 / n - kekerapan relatif tiga titik digulung. Dengan cara yang sama, anda boleh menentukan kebarangkalian hasil asas lain - satu, dua, empat, dsb. Secara teorinya, tindakan ini boleh dibenarkan jika kita memperkenalkan penentuan statistik kebarangkalian.

Kebarangkalian P(M i) ditakrifkan sebagai had kekerapan relatif kejadian hasil M i dalam proses peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen rawak n, iaitu

P i = P (M i ) = lim m n (M i ) , n ®¥n

di mana m n (M i ) ialah bilangan eksperimen rawak (daripada jumlah bilangan n eksperimen rawak yang dilakukan) di mana kejadian hasil asas M i direkodkan.

Oleh kerana tiada bukti diberikan di sini, kita hanya boleh berharap bahawa had dalam formula terakhir wujud, membenarkan harapan itu pengalaman hidup dan gerak hati.

Kebarangkalian geometri

Dalam satu kes khas, kami akan memberikan takrifan kebarangkalian kejadian untuk eksperimen rawak dengan set hasil yang tidak boleh dikira.

Jika surat-menyurat satu-dengan-satu boleh diwujudkan antara set W hasil asas eksperimen rawak dan set titik angka rata S tertentu (sigma besar), dan surat-menyurat satu-dengan-satu juga boleh diwujudkan antara set hasil asas yang menguntungkan peristiwa A dan set titik angka rata I (sigma kecil), yang merupakan sebahagian daripada angka S, maka

P(A) = S,

di mana s ialah luas rajah, S ialah luas rajah S.

Contoh. Dua orang makan tengah hari di ruang makan, yang dibuka dari 12 hingga 13 jam. Setiap daripada mereka datang secara rawak dan makan tengah hari dalam masa 10 minit. Apakah kebarangkalian pertemuan mereka?

Biarkan x menjadi masa ketibaan orang pertama di ruang makan, adalah masa ketibaan orang kedua

£12 x £13; 12 £y £13.

Adalah mungkin untuk mewujudkan kesesuaian satu dengan satu antara semua pasangan nombor (x;y) (atau set hasil) dan set titik segi empat sama dengan sisi sama dengan 1 pada satah koordinat, di mana asalnya sepadan dengan nombor 12 pada paksi-X dan pada paksi-Y, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6. Di sini, sebagai contoh, titik A sepadan dengan hasil yang pertama tiba pada 12.30, dan yang kedua pada 13.00. Dalam kes ini, jelas sekali

mesyuarat tidak berlangsung.

Jika yang pertama tiba tidak lewat daripada yang kedua (y ³ x), maka

mesyuarat akan berlaku di bawah syarat 0 £ y - x £ 1/6

(10 minit ialah 1/6 jam).

Jika yang kedua tiba tidak lewat daripada yang pertama (x ³ y), maka

mesyuarat akan berlaku di bawah syarat 0 £ x - y £ 1/6..

Antara pelbagai hasil yang menguntungkan

mesyuarat, dan satu set mata di rantau yang digambarkan dalam

Rajah 7 dalam bentuk berlorek, anda boleh memasang

surat-menyurat satu-satu.

Kebarangkalian p yang diperlukan adalah sama dengan nisbah luas

luas s ke luas seluruh petak.. Luas petak itu

adalah sama dengan perpaduan, dan kawasan wilayah s boleh ditakrifkan sebagai

perbezaan antara satu dan jumlah luas dua

segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 7. Ia berikut:

p =1 -

Ruang kebarangkalian berterusan.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, set hasil asas boleh lebih daripada boleh dikira (iaitu, tidak boleh dikira). Dalam kes ini, mana-mana subset set W tidak boleh dianggap sebagai peristiwa.

Untuk memperkenalkan takrif peristiwa rawak, pertimbangkan sistem (terhingga atau boleh dikira) subset A 1 , A 2 ,... A n ruang hasil asas W .

Jika tiga syarat dipenuhi: 1) W tergolong dalam sistem ini;

2) daripada milik A kepada sistem ini, ia berikutan bahawa A tergolong dalam sistem ini;

3) daripada keahlian A i dan A j kepada sistem ini berikutan bahawa A i U A j tergolong dalam sistem ini.

sistem, sistem subset sedemikian dipanggil algebra.

Biarkan W ialah beberapa ruang hasil asas. Pastikan kedua-dua sistem adalah subset:

1) W , Ж ; 2)W,A,A,Æ (di sini A ialah subset bagi W) ialah algebra.

Biarkan A 1 dan A 2 tergolong dalam beberapa algebra. Buktikan bahawa A 1 \A 2 dan A 1 ∩ A 2 tergolong dalam algebra ini.

Subset A bagi set hasil asas 9 yang tidak boleh dikira ialah peristiwa jika ia tergolong dalam beberapa algebra.

Mari kita rumuskan aksiom yang dipanggil aksiom A.N. Kolmogorov.

Setiap peristiwa sepadan dengan nombor bukan negatif P(A) yang tidak melebihi satu, dipanggil kebarangkalian peristiwa A, dan fungsi P(A) mempunyai sifat berikut:

1) P (9 )=1

2) jika peristiwa A 1 ,A 2 ,...,A n tidak konsisten, maka

P (A 1 U A 2 U ... U A n ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) +... +P (A n )

Jika ruang hasil asas W, algebra peristiwa, dan fungsi P yang ditakrifkan padanya yang memenuhi syarat aksiom yang diberikan diberikan, maka mereka mengatakan bahawa ruang kebarangkalian.

Takrifan ruang kebarangkalian ini boleh dipanjangkan kepada kes itu ruang terhingga hasil asas W . Kemudian sebagai algebra kita boleh mengambil sistem semua subset bagi set W.

Formula untuk menambah kebarangkalian.

Daripada titik 2 aksiom di atas, jika A 1 dan A2 adalah peristiwa yang tidak serasi, maka

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 )

Jika A 1 dan A 2 ialah peristiwa bersama, maka A 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 , dan jelas bahawa A 1 \A 2 dan A 2 ialah peristiwa tidak serasi. Ia berikutan daripada ini:

P (A 1 U A 2 ) = P (A1 \ A 2 ) + P (A2 )

Selanjutnya adalah jelas: A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ), dan A1 \A 2 dan A 1 ∩ A 2 ialah peristiwa tidak serasi, yang berikut: P (A 1 ) =P (A1 \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) Mari kita cari daripada formula ini ungkapan untuk P (A1 \A 2 ) dan gantikannya kepada sebelah kanan formula (*). Akibatnya, kami memperoleh formula untuk menambah kebarangkalian:

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) –P (A 1 ∩ A 2 )

Daripada formula terakhir adalah mudah untuk mendapatkan formula untuk menambah kebarangkalian untuk peristiwa yang tidak serasi dengan menetapkan A 1 ∩ A 2 =Æ.

Contoh. Cari kebarangkalian untuk melukis ace atau jantung apabila memilih secara rawak satu kad daripada dek 32 helaian.

P (Ace) = 4/32 = 1/8; P (Suit Hati) = 8/32 = 1/4;

P (ACE OF HATI) = 1/32;

P ((ACE)U (SAMAN BERNILAI)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32

Keputusan yang sama boleh dicapai menggunakan definisi klasik kebarangkalian dengan mengira semula bilangan hasil yang menggalakkan.

Kebarangkalian bersyarat.

Mari kita pertimbangkan masalahnya. Sebelum peperiksaan, seorang pelajar belajar daripada 30 tiket tiket dengan nombor dari 1 hingga 5 dan dari 26 hingga 30. Adalah diketahui bahawa semasa peperiksaan pelajar mengeluarkan tiket dengan nombor tidak melebihi 20. Apakah kebarangkalian pelajar itu tarik keluar tiket hafal?

Mari kita takrifkan ruang hasil asas: W =(1,2,3,...,28,29,30). Biarkan peristiwa A ialah pelajar mengeluarkan tiket yang dipelajari: A = (1,...,5,25,...,30,), dan biarkan peristiwa B ialah pelajar itu mengeluarkan tiket daripada dua puluh yang pertama : B = ( 1,2,3,...,20)

Peristiwa A ∩ B terdiri daripada lima hasil: (1,2,3,4,5), dan kebarangkaliannya ialah 5/30. Nombor ini boleh diwakili sebagai hasil darab pecahan 5/20 dan 20/30. Nombor 20/30 ialah kebarangkalian kejadian B. Nombor 5/20 boleh dianggap sebagai kebarangkalian peristiwa A, dengan syarat peristiwa B berlaku (kami menandakannya P (A / B)). Oleh itu, penyelesaian kepada masalah ditentukan oleh formula

P (A ∩ B) =P (A /B)P (B)

Formula ini dipanggil formula pendaraban kebarangkalian, dan kebarangkalian P (A / B) ialah kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa A.

Contoh: Dari bekas yang mengandungi 7 biji bola putih dan 3 biji bola hitam, dua biji bola diambil secara rawak, satu demi satu (tanpa diganti). Apakah kebarangkalian bahawa bola pertama berwarna putih dan kedua berwarna hitam?

Biarkan X ialah peristiwa yang pertama menarik bola putih, dan Y peristiwa yang kedua menarik bola hitam. Maka X ∩ Y ialah peristiwa bola pertama akan berwarna putih dan yang kedua berwarna hitam P (Y / X ) =3/9 =1/3 ialah kebarangkalian bersyarat bagi yang kedua menarik bola hitam jika yang putih. dilukis dahulu. Memandangkan P (X) = 7/10, menggunakan formula pendaraban kebarangkalian kita perolehi: P (X ∩ Y) = 7/30

Peristiwa A dipanggil bebas daripada peristiwa B (dengan kata lain: peristiwa A dan B dipanggil bebas) jika P (A / B) = P (A ). Takrif peristiwa bebas boleh diambil sebagai akibat daripada formula terakhir dan formula pendaraban

P (A ∩ B) =P (A)P (B)

Buktikan diri anda bahawa jika A dan B adalah acara bebas, maka A dan B juga merupakan peristiwa bebas.

Contoh: Pertimbangkan masalah yang serupa dengan yang sebelumnya, tetapi dengan satu syarat tambahan: setelah mengeluarkan bola pertama, ingat warnanya dan kembalikan bola ke dalam guci, selepas itu kami mencampurkan semua bola. Dalam kes ini, hasil pengekstrakan kedua tidak bergantung pada apa-apa cara di mana bola - hitam atau putih - muncul semasa pengekstrakan pertama. Kebarangkalian bola putih muncul dahulu (peristiwa A) ialah 7/10. Kebarangkalian peristiwa B - bola hitam kedua muncul - ialah 3/10. Sekarang formula pendaraban kebarangkalian memberikan: P (A ∩ B) = 21/100.

Mengambil bola mengikut cara yang diterangkan dalam contoh ini dipanggil sampel dengan pulangan atau pensampelan pulangan.

Perlu diingatkan bahawa jika dalam dua contoh terakhir kita meletakkan nombor awal bola putih dan hitam bersamaan dengan 7000 dan 3000, masing-masing, maka keputusan pengiraan kebarangkalian yang sama akan berbeza secara diabaikan untuk sampel berulang dan tidak berulang.

Takrif klasik kebarangkalian.

Seperti yang dikatakan di atas, apabila bilangan yang besar n kekerapan ujian P*(A)=m/ n berlakunya sesuatu peristiwa A adalah stabil dan memberikan nilai anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa A , iaitu .

Keadaan ini membolehkan kita mencari anggaran kebarangkalian sesuatu peristiwa secara eksperimen. Dalam amalan, kaedah mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa ini tidak selalunya mudah. Lagipun, kita perlu mengetahui terlebih dahulu kebarangkalian sesuatu peristiwa, walaupun sebelum percubaan. Ini adalah heuristik, peranan ramalan sains. Dalam beberapa kes, kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan sebelum eksperimen menggunakan konsep kebarangkalian sama bagi peristiwa (atau kebolehsamaan).

Dua peristiwa itu dipanggil sama-sama berkemungkinan (atau sama mungkin ), jika tiada sebab objektif untuk mempercayai bahawa salah satu daripadanya mungkin berlaku lebih kerap daripada yang lain.

Jadi, sebagai contoh, kemunculan jata atau tulisan semasa melemparkan syiling adalah peristiwa yang sama kemungkinannya.

Mari kita lihat contoh lain. Biarkan mereka melempar dadu. Oleh kerana simetri kubus, kita boleh menganggap bahawa penampilan mana-mana nombor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sama mungkin (sama mungkin).

Peristiwa dalam eksperimen ini mereka terbentuk kumpulan penuh , jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku akibat daripada eksperimen. Jadi, dalam contoh terakhir kumpulan lengkap acara terdiri daripada enam acara - rupa nombor 1, 2, 3, 4, 5 Dan 6.

Jelas sekali, sebarang acara A dan peristiwa bertentangannya membentuk kumpulan yang lengkap.

Peristiwa B dipanggil menguntungkan peristiwa A , jika berlakunya sesuatu peristiwa B melibatkan berlakunya sesuatu peristiwa A . Jadi, jika A - kemunculan bilangan mata genap apabila membaling dadu, kemudian kemunculan nombor itu 4 mewakili acara yang memihak kepada acara A.

Biarkan acara dalam eksperimen ini membentuk kumpulan lengkap kejadian yang sama kemungkinan dan tidak serasi berpasangan. Jom panggil mereka hasil ujian. Mari kita andaikan bahawa peristiwa itu A memihak kepada hasil percubaan. Kemudian kebarangkalian kejadian itu A dalam eksperimen ini dipanggil sikap. Jadi kita sampai kepada definisi berikut.

Kebarangkalian P(A) sesuatu peristiwa dalam eksperimen tertentu ialah nisbah bilangan hasil eksperimen yang menguntungkan kepada peristiwa A kepada jumlah bilangan hasil eksperimen yang mungkin yang membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi berpasangan yang berkemungkinan sama: .

Takrifan kebarangkalian ini sering dipanggil klasik. Ia boleh ditunjukkan bahawa definisi klasik memenuhi aksiom kebarangkalian.

Contoh 1.1. Sekumpulan daripada 1000 galas. Saya masuk ke kumpulan ini secara tidak sengaja 30 galas yang tidak memenuhi piawaian. Tentukan kebarangkalian P(A) bahawa bearing yang diambil secara rawak akan menjadi standard.

Penyelesaian: Bilangan galas piawai ialah 1000-30=970 . Kami akan menganggap bahawa setiap galas mempunyai kebarangkalian yang sama untuk dipilih. Kemudian kumpulan acara yang lengkap terdiri daripada hasil yang berkemungkinan sama, yang mana peristiwa itu A memihak kepada hasil. sebab tu .

Contoh 1.2. Dalam balang 10 bola: 3 putih dan 7 hitam. Dua bola diambil dari urn sekaligus. Apakah kebarangkalian r bahawa kedua-dua bola bertukar menjadi putih?

Penyelesaian: Bilangan semua hasil ujian yang berkemungkinan sama adalah sama dengan bilangan cara di mana 10 keluarkan dua bola, iaitu bilangan kombinasi daripada 10 unsur oleh 2 (kumpulan acara penuh):

Bilangan hasil yang menggalakkan (dalam berapa banyak cara yang boleh dipilih oleh seseorang 3 pilih bola 2) : . Oleh itu, kebarangkalian yang diperlukan .

Memandang ke hadapan, masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain.

Penyelesaian: Kebarangkalian bahawa pada percubaan pertama (menarik keluar bola) bola putih akan ditarik adalah sama dengan (jumlah bola 10 , yang mana 3 putih). Kebarangkalian bahawa semasa percubaan kedua bola putih akan ditarik semula adalah sama dengan (jumlah bilangan bola telah menjadi 9, kerana mereka mengeluarkan satu, ia menjadi putih 2, kerana Mereka mengeluarkan yang putih). Akibatnya, kebarangkalian untuk menggabungkan peristiwa adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian mereka, i.e. .

Contoh 1.3. Dalam balang 2 hijau, 7 merah, 5 coklat dan 10 bola putih. Apakah kebarangkalian bola berwarna muncul?

Penyelesaian: Kami mendapati, masing-masing, kebarangkalian penampilan bola hijau, merah dan coklat: ; ; . Oleh kerana peristiwa yang dipertimbangkan jelas tidak serasi, maka, dengan menggunakan aksiom penambahan, kita dapati kebarangkalian kemunculan bola berwarna:

Atau, dengan cara lain. Kebarangkalian bola putih muncul ialah . Kemudian kebarangkalian kemunculan bola bukan putih (iaitu berwarna), i.e. kebarangkalian kejadian yang bertentangan adalah sama dengan .

Takrif geometri kebarangkalian. Untuk mengatasi kelemahan definisi klasik kebarangkalian (ia tidak boleh digunakan untuk ujian dengan bilangan hasil yang tidak terhingga), definisi geometri kebarangkalian diperkenalkan - kebarangkalian titik jatuh ke kawasan (segmen, bahagian satah, dll.).

Biarkan segmen menjadi sebahagian daripada segmen. Satu titik diletakkan secara rawak pada segmen, yang bermaksud andaian berikut dipenuhi: titik yang diletakkan boleh berada di mana-mana titik pada segmen, kebarangkalian titik jatuh pada segmen adalah berkadar dengan panjang segmen ini dan tidak bergantung pada lokasinya berbanding dengan segmen. Di bawah andaian ini, kebarangkalian titik jatuh pada segmen ditentukan oleh kesamaan

Asas teori kebarangkalian

Pelan:

1. Acara rawak

2. Takrif klasik kebarangkalian

3. Pengiraan kebarangkalian peristiwa dan kombinatorik

4. Kebarangkalian geometri

Maklumat teori

Acara rawak.

Fenomena rawak- fenomena yang hasilnya tidak ditakrifkan dengan jelas. Konsep ini boleh ditafsirkan dengan agak dalam erti kata yang luas. Iaitu: segala-galanya dalam alam semula jadi agak rawak, penampilan dan kelahiran mana-mana individu adalah fenomena rawak, memilih produk di kedai juga fenomena rawak, mendapat gred pada peperiksaan adalah fenomena rawak, penyakit dan pemulihan adalah fenomena rawak , dsb.

Contoh fenomena rawak:

~ Penembakan dilakukan dari pistol yang dipasang di bawah sudut yang diberi ke kaki langit. Ia mengenai sasaran secara kebetulan, tetapi apabila peluru mengenai "garpu" tertentu terdapat corak. Anda boleh menentukan jarak yang lebih dekat dengan mana dan lebih jauh daripada mana peluru tidak akan terbang. Anda akan mendapat sejenis "garpu penyebaran projektil"

~ Badan yang sama ditimbang beberapa kali. Tegasnya, setiap kali anda akan mendapat hasil yang berbeza, walaupun ia berbeza dengan jumlah yang tidak ketara, tetapi ia akan berbeza.

~ Sebuah kapal terbang, terbang di sepanjang laluan yang sama, mempunyai koridor penerbangan tertentu di mana kapal terbang boleh bergerak, tetapi ia tidak akan mempunyai laluan yang sama ketat

~ Seorang atlet tidak akan dapat berlari pada jarak yang sama dalam masa yang sama. Keputusannya juga akan berada dalam julat berangka tertentu.

Pengalaman, eksperimen, pemerhatian adalah ujian

Perbicaraan– pemerhatian atau pemenuhan set syarat tertentu yang dilakukan berulang kali, dan kerap diulang dalam urutan, tempoh dan pematuhan dengan parameter lain yang serupa.

Mari kita pertimbangkan seorang atlet menembak sasaran. Agar ia dapat dijalankan, adalah perlu untuk memenuhi syarat-syarat seperti menyediakan atlet, memuatkan senjata, membidik, dll. "Pukul" dan "terlepas" - peristiwa akibat pukulan.

Peristiwa- keputusan ujian berkualiti tinggi.

Peristiwa mungkin berlaku atau tidak Peristiwa ditunjukkan dengan huruf besar. dalam huruf Latin. Contohnya: D = "Penembak terkena sasaran." S="Bola putih ditarik." K="Diambil secara rawak tiket loteri tidak menang."

Melambung syiling adalah satu ujian. Kejatuhan "jata" beliau adalah satu peristiwa, kejatuhan "digital" beliau adalah peristiwa kedua.

Sebarang ujian melibatkan berlakunya beberapa peristiwa. Sebahagian daripada mereka mungkin diperlukan dalam pada masa ini masa untuk penyelidik, yang lain tidak perlu.

Peristiwa itu dipanggil rawak, jika, apabila set syarat tertentu dipenuhi S ia boleh berlaku atau tidak. Dalam perkara berikut, bukannya mengatakan "set syarat S telah dipenuhi," kami akan mengatakan secara ringkas: "ujian telah dijalankan." Oleh itu, acara itu akan dianggap sebagai keputusan ujian.

~ Penembak menembak sasaran yang dibahagikan kepada empat kawasan. Pukulan adalah ujian. Memukul kawasan sasaran tertentu adalah satu peristiwa.

~ Terdapat bola berwarna di dalam urn. Satu bola diambil secara rawak dari balang. Mengambil bola dari tempayan adalah satu ujian. Penampilan bola warna tertentu- acara.

Jenis peristiwa rawak

1. Peristiwa dipanggil tidak serasi jika kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian lain dalam percubaan yang sama.

~ Satu bahagian dikeluarkan secara rawak daripada kotak bahagian. Kemunculan bahagian standard menghilangkan penampilan bahagian yang tidak standard. Peristiwa € bahagian standard muncul" dan bahagian bukan standard muncul" - tidak serasi.

~ Syiling dilempar. Penampilan "jata" tidak termasuk penampilan inskripsi. Peristiwa "sebuah jata muncul" dan "sebuah prasasti muncul" tidak serasi.

Beberapa acara terbentuk kumpulan penuh, jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya muncul sebagai hasil ujian. Dalam erti kata lain, kejadian sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa kumpulan lengkap adalah peristiwa yang boleh dipercayai.

Khususnya, jika peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap tidak konsisten secara berpasangan, maka keputusan percubaan akan menjadi satu dan hanya satu daripada peristiwa ini kes khas mewakili untuk kita minat terbesar, kerana ia digunakan lebih lanjut.

~ Dua tunai dan tiket loteri pakaian telah dibeli. Satu dan hanya satu daripada peristiwa berikut pasti akan berlaku:

1. "kemenangan jatuh pada tiket pertama dan tidak jatuh pada tiket kedua,"

2. "kemenangan tidak jatuh pada tiket pertama dan jatuh pada tiket kedua,"

3. "kemenangan jatuh pada kedua-dua tiket",

4. "kedua-dua tiket tidak menang."

Peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap peristiwa tidak serasi berpasangan,

~ Penembak melepaskan tembakan ke arah sasaran. Salah satu daripada dua peristiwa berikut pasti akan berlaku: hit, miss. Kedua-dua peristiwa yang tidak serasi ini juga membentuk kumpulan yang lengkap.

2. Peristiwa dipanggil sama mungkin, jika ada sebab untuk mempercayai bahawa kedua-duanya tidak lebih mungkin daripada yang lain.

~ Kemunculan "jata" dan kemunculan inskripsi semasa melemparkan syiling adalah peristiwa yang sama. Malah, diandaikan bahawa syiling itu diperbuat daripada bahan homogen, mempunyai bentuk silinder biasa, dan kehadiran penempaan tidak menjejaskan kehilangan satu sisi atau satu lagi syiling.

~ Kemunculan satu atau satu lagi bilangan mata pada dadu yang dibaling adalah peristiwa yang sama mungkin. Malah, diandaikan bahawa dadu diperbuat daripada bahan homogen dan mempunyai bentuk polihedron biasa, dan kehadiran mata tidak menjejaskan kehilangan mana-mana pihak.

3. Peristiwa itu dipanggil boleh dipercayai, jika ia tidak dapat membantu tetapi berlaku

4. Peristiwa itu dipanggil tidak boleh dipercayai, jika ia tidak boleh berlaku.

5. Peristiwa itu dipanggil bertentangan kepada beberapa acara jika ia terdiri daripada tidak berlakunya acara ini. Peristiwa bertentangan tidak serasi, tetapi salah satu daripadanya pasti berlaku. Peristiwa bertentangan biasanya ditetapkan sebagai penafian, i.e. Tanda sempang ditulis di atas huruf. Peristiwa bertentangan: A dan Ā; U dan Ū, dsb. .

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian adalah salah satu konsep asas teori kebarangkalian.

Terdapat beberapa definisi konsep ini. Mari kita berikan definisi yang dipanggil klasik. Seterusnya kami menunjukkan kelemahan definisi ini dan berikan definisi lain yang membolehkan kita mengatasi kelemahan definisi klasik.

Pertimbangkan situasi: Sebuah kotak mengandungi 6 bola yang sama, 2 adalah merah, 3 adalah biru dan 1 adalah putih. Jelas sekali, kemungkinan melukis bola berwarna (iaitu, merah atau biru) dari guci secara rawak adalah lebih besar daripada kemungkinan melukis bola putih. Kemungkinan ini boleh dicirikan oleh nombor, yang dipanggil kebarangkalian kejadian (kemunculan bola berwarna).

Kebarangkalian- nombor yang mencirikan tahap kemungkinan kejadian berlaku.

Dalam situasi yang sedang dipertimbangkan, kami menyatakan:

Acara A = "Menarik keluar bola berwarna."

Setiap keputusan ujian yang mungkin (ujian terdiri daripada mengeluarkan bola dari tempayan) akan dipanggil hasil dan peristiwa asas (kemungkinan). Hasil asas boleh dilambangkan dengan huruf dengan indeks di bawah, contohnya: k 1, k 2.

Dalam contoh kami terdapat 6 bola, jadi terdapat 6 kemungkinan hasil: bola putih muncul; bola merah muncul; bola biru muncul, dsb. Adalah mudah untuk melihat bahawa hasil ini membentuk kumpulan lengkap acara yang tidak serasi berpasangan (hanya satu bola akan muncul) dan ia adalah sama mungkin (bola ditarik secara rawak, bola adalah sama dan bercampur dengan teliti).

Marilah kita memanggil hasil asas di mana peristiwa yang menarik minat kita berlaku hasil yang menggalakkan acara ini. Dalam contoh kami, acara itu digemari A(penampilan bola berwarna) 5 hasil berikut:

Jadi acara A diperhatikan jika salah satu hasil asas yang menguntungkan A. Ini adalah rupa mana-mana bola berwarna, yang mana terdapat 5 di dalam kotak

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, terdapat 6 hasil asas; 5 daripada mereka menggemari acara itu A. Oleh itu, P(A)= 5/6. Nombor ini memberikan penilaian kuantitatif tahap kemungkinan penampilan bola berwarna.

Definisi kebarangkalian:

Kebarangkalian kejadian A dipanggil nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah bilangan semua hasil asas tidak serasi yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap.

P(A)=m/n atau P(A)=m: n, di mana:

m ialah bilangan hasil asas yang menggalakkan A;

n- bilangan semua kemungkinan hasil ujian asas.

Di sini diandaikan bahawa hasil asas tidak serasi, sama mungkin dan membentuk kumpulan yang lengkap.

Sifat-sifat berikut mengikut takrifan kebarangkalian:

1. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

Sesungguhnya, jika acara itu boleh dipercayai, maka setiap keputusan asas ujian itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini m = n oleh itu p=1

2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sesungguhnya, jika sesuatu peristiwa itu mustahil, maka tiada satu pun hasil asas ujian itu memihak kepada peristiwa itu. Dalam kes ini m=0, oleh itu p=0.

3.Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu. 0T< n.

Dalam topik seterusnya, teorem akan diberikan yang membenarkan kebarangkalian yang diketahui bagi beberapa peristiwa digunakan untuk mencari kebarangkalian peristiwa lain.

Pengukuran. Terdapat 6 perempuan dan 4 lelaki dalam kumpulan pelajar. Apakah kebarangkalian bahawa pelajar yang dipilih secara rawak akan menjadi perempuan? adakah akan ada seorang pemuda?

p dev = 6 / 10 =0.6 p yun = 4 / 10 = 0.4

Konsep "kebarangkalian" dalam kursus teori kebarangkalian ketat moden dibina atas dasar set-teoretik. Mari kita lihat beberapa aspek pendekatan ini.

Biarkan satu dan hanya satu daripada peristiwa berlaku sebagai hasil daripada ujian: w i(i=1, 2, .... n). Peristiwa w i- dipanggil peristiwa asas (hasil asas). TENTANG Ia berikutan dari sini bahawa acara asas adalah tidak serasi berpasangan. Set semua peristiwa asas yang boleh berlaku dalam ujian dipanggil ruang peristiwa asasΩ (huruf Yunani besar omega), dan peristiwa asas itu sendiri adalah titik ruang ini..

Peristiwa A dikenal pasti dengan subset (ruang Ω), unsur-unsurnya adalah hasil asas yang menguntungkan A; peristiwa DALAM ialah subset Ω yang unsur-unsurnya adalah hasil yang menguntungkan DALAM, dsb. Oleh itu, set semua peristiwa yang boleh berlaku dalam ujian ialah set semua subset Ω itu sendiri berlaku untuk sebarang hasil ujian, oleh itu Ω ialah peristiwa yang boleh dipercayai; subset kosong ruang Ω - adalah peristiwa mustahil (ia tidak berlaku di bawah sebarang hasil ujian).

Peristiwa asas dibezakan daripada semua acara topik, “setiap satu daripadanya hanya mengandungi satu elemen Ω

Setiap hasil asas w i padankan nombor positif p i- kebarangkalian hasil ini, dan jumlah semua p i sama dengan 1 atau dengan tanda jumlah, fakta ini akan ditulis dalam bentuk ungkapan:

Mengikut definisi, kebarangkalian P(A) peristiwa A sama dengan jumlah kebarangkalian hasil asas yang menguntungkan A. Oleh itu, kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu, peristiwa mustahil adalah sifar, dan peristiwa arbitrari adalah antara sifar dan satu.

Mari kita pertimbangkan kes khas yang penting apabila semua hasil adalah sama mungkin Bilangan hasil ialah n, jumlah kebarangkalian semua hasil adalah sama dengan satu; oleh itu, kebarangkalian setiap hasil ialah 1/p. Biarkan acara itu A memihak kepada m hasil.

Kebarangkalian kejadian A sama dengan jumlah kebarangkalian hasil yang menguntungkan A:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Takrif klasik kebarangkalian diperolehi.

Ada juga aksiomatik pendekatan kepada konsep "kebarangkalian". Dalam sistem aksiom yang dicadangkan. Kolmogorov A.N., konsep yang tidak ditentukan adalah peristiwa asas dan kebarangkalian. Pembinaan teori kebarangkalian yang lengkap secara logik adalah berdasarkan takrifan aksiomatik bagi peristiwa rawak dan kebarangkaliannya.

Berikut ialah aksiom yang mentakrifkan kebarangkalian:

1. Setiap peristiwa A diberikan nombor nyata bukan negatif R(A). Nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian A.

2. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu:

3. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Berdasarkan aksiom ini, sifat-sifat kebarangkalian dan pergantungan di antara mereka diterbitkan sebagai teorem.