Sifat asas penambahan dan pendaraban nombor.

Sifat komutatif penambahan: menyusun semula istilah tidak mengubah nilai jumlah. Untuk sebarang nombor a dan b kesamaan adalah benar

Sifat gabungan penambahan: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua nombor, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar

Sifat komutatif pendaraban: menyusun semula faktor tidak mengubah nilai hasil darab. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar

Sifat gabungan pendaraban: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga.

Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar

Harta Pengedaran: Untuk mendarab nombor dengan jumlah, anda boleh mendarab nombor itu dengan setiap sebutan dan menambah hasilnya. Untuk sebarang nombor a, b dan c kesamaan adalah benar

Daripada sifat komutatif dan gabungan penambahan ia berikut: dalam sebarang jumlah anda boleh menyusun semula istilah dalam apa jua cara yang anda suka dan sewenang-wenangnya menggabungkannya ke dalam kumpulan.

Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1.23+13.5+4.27.

Untuk melakukan ini, adalah mudah untuk menggabungkan istilah pertama dengan yang ketiga. Kami mendapat:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Daripada sifat komutatif dan gabungan pendaraban ia berikut: dalam mana-mana produk anda boleh menyusun semula faktor dalam apa jua cara dan sewenang-wenangnya menggabungkannya ke dalam kumpulan.

Contoh 2 Mari cari nilai hasil darab 1.8·0.25·64·0.5.

Menggabungkan faktor pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kita mempunyai:

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.

Sifat pengagihan juga benar apabila suatu nombor didarab dengan hasil tambah tiga atau lebih sebutan.

Sebagai contoh, untuk sebarang nombor a, b, c dan d kesamaan adalah benar

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Kita tahu bahawa penolakan boleh digantikan dengan penambahan dengan menambah pada minuend nombor berlawanan subtrahend:

Ini membenarkan ungkapan berangka taip a-b dianggap jumlah nombor a dan -b, ungkapan berangka bentuk a+b-c-d dianggap hasil tambah nombor a, b, -c, -d, dsb. Sifat tindakan yang dipertimbangkan juga sah untuk jumlah tersebut.

Contoh 3 Mari cari nilai ungkapan 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ungkapan ini ialah hasil tambah nombor 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menggunakan sifat penambahan, kita dapat: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Contoh 4 Mari kita hitung hasil darab 36·().

Pengganda boleh dianggap sebagai hasil tambah nombor dan -. Dengan menggunakan sifat taburan pendaraban, kita memperoleh:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identiti

Definisi. Dua ungkapan yang nilai sepadannya adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil sama sama.

Definisi. Kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil identiti.

Mari cari nilai ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Kami mendapat keputusan yang sama. Daripada sifat taburan, ia mengikuti bahawa, secara umum, untuk sebarang nilai pembolehubah, nilai yang sepadan bagi ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.

Sekarang mari kita pertimbangkan ungkapan 2x+y dan 2xy. Apabila x=1, y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

Walau bagaimanapun, anda boleh menentukan nilai x dan y supaya nilai ungkapan ini tidak sama. Contohnya, jika x=3, y=4, maka

Ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama, tetapi ungkapan 2x+y dan 2xy tidak sama.

Kesamaan 3(x+y)=x+3y, benar untuk sebarang nilai x dan y, ialah identiti.

Persamaan berangka sebenar juga dianggap sebagai identiti.

Oleh itu, identiti adalah persamaan yang dinyatakan sifat asas tindakan pada nombor:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Contoh identiti lain boleh diberikan:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformasi ekspresi yang sama

Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang serupa dipanggil transformasi identik atau hanya transformasi ungkapan.

Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.

Untuk mencari nilai ungkapan xy-xz apabila nilai yang diberikan x, y, z, anda perlu melakukan tiga tindakan. Sebagai contoh, dengan x=2.3, y=0.8, z=0.2 kita dapat:

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.

Keputusan ini boleh diperolehi dengan melakukan hanya dua langkah, jika anda menggunakan ungkapan x(y-z), yang sama dengan ungkapan xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

Kami memudahkan pengiraan dengan menggantikan ungkapan xy-xz secara identik ungkapan yang sama x(y-z).

Transformasi ungkapan yang sama digunakan secara meluas dalam mengira nilai ungkapan dan menyelesaikan masalah lain. Beberapa transformasi yang serupa telah pun perlu dilakukan, contohnya, membawa istilah yang serupa, membuka kurungan. Mari kita ingat peraturan untuk melakukan transformasi ini:

untuk memimpin istilah yang serupa, anda perlu menambah pekalinya dan mendarabkan hasilnya dengan bahagian huruf biasa;

jika terdapat tanda tambah sebelum kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan, mengekalkan tanda setiap istilah yang disertakan dalam kurungan;

Jika terdapat tanda tolak sebelum kurungan, maka kurungan boleh ditinggalkan dengan menukar tanda setiap istilah yang disertakan dalam kurungan.

Contoh 1 Mari kita kemukakan sebutan yang serupa dalam jumlah 5x+2x-3x.

Mari kita gunakan peraturan untuk mengurangkan istilah yang serupa:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Penjelmaan ini adalah berdasarkan sifat taburan pendaraban.

Contoh 2 Mari kita buka kurungan dalam ungkapan 2a+(b-3c).

Menggunakan peraturan untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda tambah:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasi yang dijalankan adalah berdasarkan sifat gabungan penambahan.

Contoh 3 Mari kita buka kurungan dalam ungkapan a-(4b-c).

Mari kita gunakan peraturan untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda tolak:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Penjelmaan yang dilakukan adalah berdasarkan sifat taburan pendaraban dan sifat gabungan penambahan. Jom tunjuk. Mari kita mewakili sebutan kedua -(4b-c) dalam ungkapan ini sebagai hasil (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Dengan memohon sifat yang ditentukan tindakan, kita mendapat:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra ialah tempat penting menduduki jumlah monomial. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil istilah polinomial. Monomial juga dikelaskan sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.

Sebagai contoh, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.

Marilah kita mewakili semua istilah dalam bentuk monomial bentuk piawai:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, yang kesemuanya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antaranya tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.

Untuk darjah polinomial daripada bentuk standard mengambil kuasa tertinggi ahli-ahlinya. Oleh itu, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai darjah kedua.

Lazimnya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponen. Contohnya:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Jumlah beberapa polinomial boleh diubah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.

Kadangkala istilah polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Memandangkan melampirkan kurungan ialah penjelmaan songsang kurungan pembukaan, ia adalah mudah untuk dirumuskan peraturan untuk membuka kurungan:

Jika tanda “+” diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.

Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial

Menggunakan sifat taburan pendaraban, anda boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Contohnya:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial itu.

Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.

Untuk mendarab monomial dengan polinomial, anda mesti mendarab monomial itu dengan setiap sebutan polinomial itu.

Kami telah menggunakan peraturan ini beberapa kali untuk mendarab dengan jumlah.

Hasil darab polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial

Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.

Biasanya peraturan berikut digunakan.

Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.

Rumus pendaraban yang disingkatkan. Jumlah kuasa dua, perbezaan dan perbezaan kuasa dua

Dengan beberapa ungkapan dalam transformasi algebra perlu berurusan dengan lebih kerap daripada orang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua bagi perbezaan dan perbezaan segi empat sama. Adakah anda perasan bahawa nama-nama ungkapan yang ditentukan seolah-olah tidak dilengkapkan, sebagai contoh, \((a + b)^2 \) adalah, sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b. Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak berlaku dengan kerap, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadangkala agak kompleks, ungkapan.

Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) boleh ditukar dengan mudah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai, sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas ini apabila mendarab polinomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Adalah berguna untuk mengingati identiti yang terhasil dan menerapkannya tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan ringkas membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua jumlah sama dengan jumlah segi empat sama dan dua kali ganda hasil darab.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua beza adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tanpa hasil darab.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.

Ketiga-tiga identiti ini membolehkan seseorang menggantikan bahagian kirinya dengan tangan kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bahagian tangan kanan dengan tangan kiri. Perkara yang paling sukar ialah melihat ungkapan yang sepadan dan memahami bagaimana pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus pendaraban yang disingkatkan.

saya. Ungkapan di mana nombor dan tanda boleh digunakan bersama dengan huruf operasi aritmetik dan kurungan dipanggil ungkapan algebra.

Contoh ungkapan algebra:

2m -n; 3 · (2a + b); 0.24x; 0.3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Oleh kerana huruf dalam ungkapan algebra boleh digantikan dengan beberapa nombor yang berbeza, maka huruf itu dipanggil pembolehubah, dan ungkapan algebra itu sendiri dipanggil ungkapan dengan pembolehubah.

II. Jika dalam ungkapan algebra huruf (pembolehubah) digantikan dengan nilainya dan tindakan yang ditentukan dilakukan, maka nombor yang terhasil dipanggil nilai ungkapan algebra.

Contoh.

Cari maksud ungkapan:

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6..

Penyelesaian

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c dengan a = -2; b = 10; c = -3.5. Daripada pembolehubah, mari kita gantikan nilainya. Kami mendapat: 2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6. Gantikan nilai yang ditentukan . Kita ingat bahawa modulus nombor negatif adalah sama dengan nombor bertentangannya, dan modulus nombor positif

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

sama dengan nombor ini sendiri. Kami mendapat: III.

Nilai huruf (pembolehubah) yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai yang dibenarkan huruf (pembolehubah). Contoh. Pada nilai apa

ungkapan berubah-ubah tidak masuk akal?

Penyelesaian.

Kami tahu bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar, oleh itu, setiap ungkapan ini tidak akan masuk akal memandangkan nilai huruf (pembolehubah) yang menukarkan penyebut pecahan kepada sifar!

Dalam contoh 3) penyebutnya ialah x + 2 = 0 apabila x = -2. Jawapan: ungkapan 3) tidak masuk akal apabila x = -2.

Dalam contoh 4) penyebutnya ialah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan sejak |5| = 5 dan |-5| = 5, maka anda tidak boleh mengambil x = 5 dan x = -5. Jawapan: ungkapan 4) tidak masuk akal pada x = -5 dan pada x = 5.
IV. Dua ungkapan dikatakan sama sama jika, untuk mana-mana nilai pembolehubah yang boleh diterima, nilai yang sepadan bagi ungkapan ini adalah sama.

Contoh: 5 (a – b) dan 5a – 5b juga sama, kerana kesamaan 5 (a – b) = 5a – 5b adalah benar untuk sebarang nilai a dan b. Kesamaan 5 (a – b) = 5a – 5b ialah identiti.

identiti ialah kesamaan yang sah untuk semua nilai pembolehubah yang dibenarkan yang disertakan di dalamnya. Contoh identiti yang telah anda ketahui ialah, contohnya, sifat penambahan dan pendaraban, dan sifat pengagihan.

Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang serupa dipanggil transformasi identiti atau hanya transformasi ungkapan. Transformasi yang sama bagi ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.

Contoh.

a) tukar ungkapan kepada sama dengan menggunakan sifat taburan pendaraban:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| pada x = -8; y = -5; z = 6.. Mari kita ingat sifat pengagihan (undang-undang) pendaraban:

(a+b)c=ac+bc(hukum taburan pendaraban berbanding penambahan: untuk mendarab jumlah dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab setiap sebutan dengan nombor ini dan menambah hasil yang terhasil).
(a-b) c=a c-b c(hukum taburan pendaraban relatif kepada penolakan: untuk mendarab perbezaan dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab minuend dan menolak dengan nombor ini secara berasingan dan menolak yang kedua daripada hasil pertama).

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) mengubah ungkapan menjadi sama yang sama, menggunakan sifat komutatif dan bersekutu (undang-undang) penambahan:

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

ungkapan berubah-ubah Mari kita gunakan undang-undang (sifat) penambahan:

a+b=b+a(komutatif: menyusun semula istilah tidak mengubah jumlah).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatif: untuk menambah nombor ketiga kepada jumlah dua sebutan, anda boleh menambah jumlah kedua dan ketiga kepada nombor pertama).

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

V) Tukar ungkapan kepada sama dengan menggunakan sifat komutatif dan bersekutu (undang-undang) pendaraban:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

ungkapan berubah-ubah Mari kita gunakan hukum (sifat) pendaraban:

a·b=b·a(komutatif: menyusun semula faktor tidak mengubah produk).
(a b) c=a (b c)(kombinatif: untuk mendarab hasil darab dua nombor dengan nombor ketiga, anda boleh mendarab nombor pertama dengan hasil darab kedua dan ketiga).

Topik No. 2.

Menukar ungkapan algebra

saya. Bahan teori

Konsep Asas

Ungkapan algebra: integer, pecahan, rasional, tidak rasional.

Skop definisi, nilai ungkapan yang sah.

Maksud ungkapan algebra.

Monomial, polinomial.

Rumus pendaraban yang disingkatkan.

Pemfaktoran, meletakkan faktor sepunya daripada kurungan.

Sifat utama pecahan.

Ijazah, sifat ijazah.

Kortym, sifat akar.

Transformasi ungkapan rasional dan tidak rasional.

Ungkapan yang terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan tanda tambah, tolak, darab, bahagi, naikkan hingga darjah rasional, mengekstrak akar dan menggunakan kurungan dipanggil algebra.

Contohnya: ;
;
;

;
;
;
.

Jika ungkapan algebra tidak mengandungi pembahagian kepada pembolehubah dan mengambil punca pembolehubah (khususnya, menaikkan kepada kuasa dengan penunjuk pecahan), maka ia dipanggil keseluruhan.

Contohnya:
;
;
.

Jika ungkapan algebra terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan operasi tambah, tolak, darab, eksponen dengan penunjuk semula jadi dan pembahagian, dan pembahagian kepada ungkapan dengan pembolehubah digunakan, maka ia dipanggil pecahan.

Contohnya:
;
.

Keseluruhan dan ungkapan pecahan dipanggil rasional ungkapan.

Contohnya: ;
;

.

Jika ungkapan algebra melibatkan pengambilan punca pembolehubah (atau menaikkan pembolehubah kepada kuasa pecahan), maka ungkapan algebra sedemikian dipanggil tidak rasional.

Contohnya:
;
.

Nilai pembolehubah yang mana ungkapan algebra masuk akal dipanggil nilai pembolehubah yang sah.

Ramai orang nilai yang boleh diterima pembolehubah dipanggil domain definisi.

Domain definisi bagi keseluruhan ungkapan algebra ialah set nombor nyata.

Domain takrifan ungkapan algebra pecahan ialah set semua nombor nyata kecuali yang menjadikan penyebutnya sifar.

Contohnya: masuk akal apabila
;

masuk akal apabila
, iaitu apabila
.

Domain takrifan ungkapan algebra tidak rasional ialah set semua nombor nyata kecuali yang bertukar kepada nombor negatif ungkapan di bawah tanda akar walaupun ijazah atau di bawah tanda peningkatan kepada kuasa pecahan.

Contohnya:
masuk akal apabila
;

masuk akal apabila
, iaitu apabila
.

Nilai angka, yang diperoleh dengan menggantikan nilai pembolehubah yang dibenarkan ke dalam ungkapan algebra, dipanggil nilai ungkapan algebra.

Contohnya: ungkapan
di
,
mengambil nilai
.

Ungkapan algebra yang mengandungi hanya nombor, kuasa semula jadi pembolehubah dan hasil darabnya dipanggil monomial.

Contohnya:
;
;
.

Monomial, yang ditulis sebagai hasil darab faktor berangka di tempat pertama dan kuasa pelbagai pembolehubah, dikurangkan kepada pandangan standard.

Contohnya:
;
.

Faktor berangka notasi piawai monomial dipanggil pekali monomial. Jumlah eksponen semua pembolehubah dipanggil darjah monomial.

Apabila mendarab monomial dengan monomial dan apabila menaikkan monomial kepada ijazah semula jadi kita mendapat monomial yang perlu dibawa ke bentuk standard.

Jumlah monomial dipanggil polinomial.

Contohnya:
; ;
.

Jika semua sebutan polinomial ditulis dalam bentuk piawai dan pengurangan istilah yang serupa dilakukan, maka terhasil polinomial bentuk piawai.

Contohnya: .

Jika terdapat hanya satu pembolehubah dalam polinomial, maka eksponen terbesar pembolehubah ini dipanggil darjah polinomial.

Contohnya: Polinomial mempunyai darjah kelima.

Nilai pembolehubah di mana nilai polinomial adalah sifar dipanggil punca polinomial.

Contohnya: punca polinomial
ialah nombor 1.5 dan 2.

Formula pendaraban yang disingkatkan

Kes khas menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan

Perbezaan segi empat sama:
atau

Jumlah kuasa dua:
atau

Perbezaan kuasa dua:
atau

Jumlah kubus:
atau

Perbezaan kubus:
atau

Kubus hasil tambah:
atau

Kubus perbezaan:
atau

Menukar polinomial kepada hasil darab beberapa faktor (polinomial atau monomial) dipanggil pemfaktoran polinomial.

Contohnya:.

Kaedah pemfaktoran polinomial

Contohnya: .

Menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan.

Contohnya: .

Kaedah pengelompokan. Undang-undang komutatif dan bersekutu membolehkan anda mengumpulkan ahli polinomial dalam pelbagai cara. Salah satu kaedah membawa kepada fakta bahawa ungkapan yang sama diperoleh dalam kurungan, yang seterusnya dikeluarkan dari kurungan.

Contohnya:.

Sebarang ungkapan algebra pecahan boleh ditulis sebagai hasil bagi dua ungkapan rasional dengan pembolehubah dalam penyebutnya.

Contohnya:
.

Pecahan di mana pengangka dan penyebutnya adalah ungkapan rasional dan penyebutnya mempunyai pembolehubah dipanggil pecahan rasional.

Contohnya:
;
;
.

Jika pengangka dan penyebut pecahan rasional darab atau bahagi dengan nombor bukan sifar yang sama, monomial atau polinomial, nilai pecahan tidak berubah. Ungkapan ini dipanggil sifat utama pecahan:

.

Tindakan membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor yang sama dipanggil mengurangkan pecahan:

.

Contohnya:
;
.

Kerja n faktor, setiap satunya adalah sama A, di mana A– ungkapan algebra arbitrari atau nombor sebenar, A n – nombor asli, dipanggil ijazahA :

.

Ungkapan algebra A dipanggil asas ijazah, nombor
n – penunjuk.

Contohnya:
.

Ia dipercayai mengikut definisi bahawa untuk mana-mana A, tidak sama dengan sifar:

Dan
.

Jika
, Itu
.

Sifat ijazah

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

jika ,
, kemudian ungkapan n-darjah ke- yang sama dengan A, dipanggil akarn darjah ke-A . Ia biasanya dilambangkan
. Pada masa yang sama A dipanggil ungkapan radikal, n dipanggil indeks akar.

Contohnya:
;
;
.

Sifat akarndarjah ke- a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Mengitlak konsep darjah dan akar, kita memperoleh konsep darjah dengan eksponen rasional:

.

khususnya,
.

Tindakan yang dilakukan dengan akar

Contohnya: .

II. Bahan praktikal

Contoh menyiapkan tugasan

Contoh 1. Cari nilai pecahan itu
.

Jawapan: .

Contoh 2. Permudahkan ungkapan
.

Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan pertama:

, Jika
.

Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan kedua:

.

Mari bahagikan hasil daripada kurungan pertama dengan hasil daripada kurungan kedua:

Jawapan:

Contoh 3. Permudahkan ungkapan:

.

Contoh 4. Permudahkan ungkapan.

Mari kita ubah pecahan pertama:

.

Mari kita ubah pecahan kedua:

.

Hasilnya kami mendapat:
.

Contoh 5. Permudahkan ungkapan
.

Penyelesaian. Mari kita tentukan tindakan berikut:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Jawapan:
.

Contoh 6. Buktikan identiti
.

1)
;

2)
;

Contoh 7. Permudahkan ungkapan:

.

Penyelesaian. Ikuti langkah ini:

;

2)
.

Contoh 8. Buktikan identiti
.

Penyelesaian. Ikuti langkah ini:

1)
;

2)

;

3)
.

Tugas untuk kerja bebas

1. Permudahkan ungkapan:

A)
;

b)
;

2. Faktorkan ke dalam:

A)
;

b)
;.Dokumen

Subjek No 5.1. Persamaan trigonometri I. Teoribahan Konsep Asas Persamaan trigonometri... menggunakan pelbagai algebra Dan rumus trigonometri Dan transformasi. II. Praktikal bahan Contoh menyiapkan tugasan...

Bahan teori untuk kumpulan luaran dan sesi jadual kandungan pelajaran 1 pelajaran sains komputer 2 maklumat

pelajaran

Teoribahan Untuk... , transformasi, pemindahan dan penggunaan. Maklumat adalah pengetahuan diluahkan... dan terkumpul sebelum ini, mereka dengan itu menyumbang kepada progresif... kebenaran mereka dengan bantuan algebra kaedah. Kenyataan dan ekspresif...

Topik "Pembangunan program kursus elektif sebagai sebahagian daripada penyediaan pra-profil" Selesai

Dokumen

... Teori justifikasi projek Jun-Ogos 2005 3. Pemilihan bahan...menunjukkan aplikasi definisi modul apabila transformasialgebraungkapan. Modul dalam persamaan: - ... motivasi pelajar, mempromosi mereka yang paling, dalam profil...

Manual pendidikan dan metodologi

... Subjek 1. Serupa transformasialgebraungkapan Subjek 2. Algebra secara teoribahan

Dan kepada Kondaurova memilih bab-bab teori dan metodologi pengajaran matematik pendidikan matematik tambahan untuk pelajar sekolah

Manual pendidikan dan metodologi

... Subjek 1. Serupa transformasialgebraungkapan(termasuk menggunakan penggantian, konsep modulus nombor). Subjek 2. Algebra... guru-guru. Kuliah jarak jauh ialah secara teoribahan, yang boleh dibentangkan dalam...

berangka dan ungkapan algebra. Menukar Ungkapan.

Apakah ungkapan dalam matematik? Mengapakah kita memerlukan penukaran ekspresi?

Persoalannya, seperti yang mereka katakan, adalah menarik... Hakikatnya ialah konsep-konsep ini adalah asas kepada semua matematik. Semua matematik terdiri daripada ungkapan dan transformasinya. Tidak begitu jelas? Biar saya terangkan.

Katakan anda mempunyai contoh jahat di hadapan anda. Sangat besar dan sangat kompleks. Katakan anda pandai matematik dan tidak takut apa-apa! Bolehkah anda memberikan jawapan dengan segera?

Anda perlu melakukannya memutuskan contoh ini. Secara konsisten, langkah demi langkah, contoh ini memudahkan. Mengikut peraturan tertentu, sudah tentu. Itu. buat penukaran ungkapan. Lebih berjaya anda melaksanakan transformasi ini, lebih kuat anda dalam matematik. Jika anda tidak tahu cara melakukan transformasi yang betul, anda tidak akan dapat melakukannya dalam matematik. tiada apa...

Untuk mengelakkan masa depan yang tidak selesa (atau sekarang...), tidak salah untuk memahami topik ini.)

Pertama, mari kita ketahui apakah ungkapan dalam matematik. apa dah jadi ungkapan angka dan apa yang ungkapan algebra.

Apakah ungkapan dalam matematik?

Ungkapan dalam matematik- ini sangat konsep yang luas. Hampir semua yang kita hadapi dalam matematik adalah satu set ungkapan matematik. Mana-mana contoh, formula, pecahan, persamaan, dan sebagainya - semuanya terdiri daripada ungkapan matematik.

3+2 ialah ungkapan matematik. s 2 - d 2- ini juga merupakan ungkapan matematik. Dan pecahan yang sihat, malah satu nombor - itu sahaja ungkapan matematik. Sebagai contoh, persamaannya ialah:

5x + 2 = 12

terdiri daripada dua ungkapan matematik yang disambungkan oleh tanda yang sama. Satu ungkapan di sebelah kiri, satu lagi di sebelah kanan.

DALAM pandangan umum istilah " ungkapan matematik"digunakan, paling kerap, untuk mengelakkan bersenandung. Mereka akan bertanya kepada anda apakah pecahan biasa, sebagai contoh? Dan bagaimana untuk menjawab?!

Jawapan pertama: "Ini... mmmmmm... perkara sedemikian... di mana... Bolehkah saya menulis pecahan dengan lebih baik? Awak nak yang mana?"

Jawapan kedua: " Pecahan sepunya- ini (dengan riang dan gembira!) ungkapan matematik , yang terdiri daripada pengangka dan penyebut!"

Pilihan kedua akan menjadi lebih mengagumkan, bukan?)

Inilah tujuan frasa " ungkapan matematik "sangat bagus. Kedua-duanya betul dan kukuh. Tetapi untuk aplikasi praktikal perlu mahir dalam jenis ungkapan tertentu dalam matematik .

Jenis khusus adalah perkara lain. ini Ia adalah perkara yang sama sekali berbeza! Setiap jenis ungkapan matematik mempunyai saya satu set peraturan dan teknik yang mesti digunakan semasa membuat keputusan. Untuk bekerja dengan pecahan - satu set. Untuk bekerja dengan ungkapan trigonometri - yang kedua. Untuk bekerja dengan logaritma - yang ketiga. Dan seterusnya. Di suatu tempat peraturan ini bertepatan, di suatu tempat ia berbeza secara mendadak. Tetapi jangan takut dengan kata-kata yang menakutkan ini. Kami akan menguasai logaritma, trigonometri dan perkara misteri lain dalam bahagian yang sesuai.

Di sini kita akan menguasai (atau - ulang, bergantung pada siapa...) dua jenis ungkapan matematik utama. Ungkapan berangka dan ungkapan algebra.

Ungkapan angka.

apa dah jadi ungkapan angka? Ini adalah konsep yang sangat mudah. Nama itu sendiri membayangkan bahawa ini adalah ungkapan dengan nombor. Ya, begitulah keadaannya. Ungkapan matematik yang terdiri daripada nombor, kurungan dan simbol aritmetik dipanggil ungkapan berangka.

7-3 ialah ungkapan berangka.

(8+3.2) 5.4 juga merupakan ungkapan berangka.

Dan raksasa ini:

juga ungkapan berangka, ya...

Nombor biasa, pecahan, sebarang contoh pengiraan tanpa X dan huruf lain - semua ini adalah ungkapan berangka.

Tanda utama berangka ungkapan - di dalamnya tiada surat. tiada. Hanya nombor dan simbol matematik (jika perlu). Ia mudah, bukan?

Dan apa yang boleh anda lakukan dengan ungkapan berangka? Ungkapan angka biasanya boleh dikira. Untuk melakukan ini, ia berlaku bahawa anda perlu membuka kurungan, menukar tanda, menyingkat, menukar istilah - i.e. buat penukaran ungkapan. Tetapi lebih lanjut mengenainya di bawah.

Di sini kita akan menangani kes yang lucu apabila dengan ungkapan berangka anda tidak perlu melakukan apa-apa. Nah, tiada langsung! Operasi yang menyenangkan ini - tidak berbuat apa-apa)- dilaksanakan apabila ungkapan tidak masuk akal.

Bilakah ungkapan berangka tidak masuk akal?

Ia jelas bahawa jika kita melihat beberapa jenis abracadabra di hadapan kita, seperti

maka kami tidak akan melakukan apa-apa. Kerana ia tidak jelas apa yang perlu dilakukan mengenainya. Semacam mengarut. Mungkin kira bilangan tambah...

Tetapi terdapat ungkapan yang agak baik secara luaran. Contohnya ini:

(2+3): (16 - 2 8)

Walau bagaimanapun, ungkapan ini juga tidak masuk akal! Atas sebab mudah bahawa dalam kurungan kedua - jika anda mengira - anda mendapat sifar. Tetapi anda tidak boleh membahagi dengan sifar! Ini adalah operasi terlarang dalam matematik. Oleh itu, tidak perlu melakukan apa-apa dengan ungkapan ini sama ada. Untuk sebarang tugas dengan ungkapan sedemikian, jawapannya akan sentiasa sama: "Ungkapan itu tidak mempunyai makna!"

Untuk memberikan jawapan sedemikian, sudah tentu, saya perlu mengira apa yang akan ada dalam kurungan. Dan kadangkala terdapat banyak perkara dalam kurungan... Nah, tiada apa yang boleh anda lakukan mengenainya.

Tidak begitu banyak operasi terlarang dalam matematik. Terdapat hanya satu dalam topik ini. Pembahagian dengan sifar. Sekatan tambahan yang timbul dalam akar dan logaritma dibincangkan dalam topik yang sepadan.

Jadi, idea tentang apa itu ungkapan angka- diterima. Konsep ungkapan angka tidak masuk akal- sedar. Jom teruskan.

Ungkapan algebra.

Jika huruf muncul dalam ungkapan berangka, ungkapan ini menjadi... Ungkapan itu menjadi... Ya! Ia menjadi ungkapan algebra. Contohnya:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Ungkapan sedemikian juga dipanggil ungkapan literal. Ataupun ungkapan dengan pembolehubah. Ia boleh dikatakan perkara yang sama. Ungkapan 5a +c, sebagai contoh, kedua-dua literal dan algebra, dan ungkapan dengan pembolehubah.

Konsep ungkapan algebra - lebih luas daripada angka. Ia termasuk dan semua ungkapan berangka. Itu. ungkapan berangka juga merupakan ungkapan algebra, hanya tanpa huruf. Setiap ikan haring adalah ikan, tetapi tidak setiap ikan adalah ikan haring...)

kenapa mengikut abjad- Ia jelas. Nah, kerana ada huruf... Frasa ungkapan dengan pembolehubah Ia juga tidak terlalu membingungkan. Jika anda faham bahawa nombor tersembunyi di bawah huruf. Semua jenis nombor boleh disembunyikan di bawah huruf... Dan 5, dan -18, dan apa sahaja yang anda mahukan. Iaitu, surat boleh menggantikan pada nombor yang berbeza. Itulah sebabnya huruf itu dipanggil pembolehubah.

Dalam ungkapan y+5, Sebagai contoh, di - kuantiti berubah-ubah. Atau mereka hanya berkata " pembolehubah", tanpa perkataan "magnitud". Tidak seperti lima, yang merupakan nilai tetap. Atau hanya - tetap.

Penggal ungkapan algebra bermakna untuk menggunakan ungkapan ini anda perlu menggunakan undang-undang dan peraturan algebra. Jika aritmetik berfungsi dengan nombor tertentu, Itu algebra- dengan semua nombor sekali gus. Contoh mudah untuk penjelasan.

Dalam aritmetik kita boleh menulis itu

Tetapi jika kita menulis kesamaan sedemikian melalui ungkapan algebra:

a + b = b + a

kami akan membuat keputusan segera Semua soalan. Untuk semua nombor sekali gus. Untuk segala-galanya yang tidak terhingga. Kerana di bawah huruf A Dan b tersirat Semua nombor. Dan bukan sahaja nombor, malah ungkapan matematik yang lain. Beginilah cara algebra berfungsi.

Bilakah ungkapan algebra tidak masuk akal?

Segala-galanya tentang ungkapan berangka adalah jelas. Anda tidak boleh membahagi dengan sifar di sana. Dan dengan surat, adakah mungkin untuk mengetahui apa yang kita bahagikan?!

Mari kita ambil contoh ungkapan ini dengan pembolehubah:

2: (A - 5)

Adakah ia masuk akal? Siapa tahu? A- sebarang nombor...

Mana-mana, mana-mana... Tetapi ada satu maksud A, yang mana ungkapan ini betul-betul tidak masuk akal! Dan apakah nombor ini? Ya! Ini adalah 5! Jika pembolehubah A gantikan (mereka menyebut "pengganti") dengan nombor 5, dalam kurungan anda mendapat sifar. Yang tidak boleh dibahagikan. Jadi ternyata ungkapan kita tidak masuk akal, Jika a = 5. Tetapi untuk nilai lain A adakah ia masuk akal? Bolehkah anda menggantikan nombor lain?

Sudah tentu. Dalam kes sedemikian mereka hanya mengatakan bahawa ungkapan

2: (A - 5)

masuk akal untuk sebarang nilai A, kecuali a = 5 .

Seluruh set nombor yang boleh menggantikan ke dalam ungkapan yang diberikan dipanggil julat nilai yang boleh diterima ungkapan ini.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit. Mari kita lihat ungkapan dengan pembolehubah dan fikirkan: pada nilai pembolehubah apakah operasi terlarang (bahagi dengan sifar) diperolehi?

Dan kemudian pastikan anda melihat soalan tugasan. Apa yang mereka tanya?

tidak masuk akal, makna terlarang kita akan menjadi jawapannya.

Jika anda bertanya pada apakah nilai pembolehubah ungkapan itu masuk akal(rasai perbezaannya!), jawapannya adalah semua nombor lain kecuali yang haram.

Mengapakah kita memerlukan maksud ungkapan tersebut? Dia ada, dia tidak... Apa bezanya?! Intinya ialah konsep ini menjadi sangat penting di sekolah menengah. Amat penting! Ini adalah asas untuk konsep pepejal seperti domain nilai yang boleh diterima atau domain fungsi. Tanpa ini, anda tidak akan dapat menyelesaikan persamaan atau ketidaksamaan yang serius sama sekali. macam ni.

Menukar Ungkapan. Transformasi identiti.

Kami telah diperkenalkan kepada ungkapan berangka dan algebra. Kami memahami maksud frasa "ungkapan itu tidak mempunyai makna". Sekarang kita perlu memikirkan apa itu transformasi ungkapan. Jawapannya mudah, sehingga memalukan.) Ini adalah sebarang tindakan dengan ungkapan. Itu sahaja. Anda telah melakukan transformasi ini sejak darjah satu.

Mari kita ambil ungkapan berangka yang keren 3+5. Bagaimana ia boleh ditukar? Ya, sangat mudah! Kira:

Pengiraan ini akan menjadi transformasi ungkapan. Anda boleh menulis ungkapan yang sama secara berbeza:

Di sini kami tidak mengira apa-apa sama sekali. Hanya menulis ungkapan dalam bentuk yang berbeza. Ini juga akan menjadi transformasi ungkapan. Anda boleh menulisnya seperti ini:

Dan ini juga merupakan transformasi ungkapan. Anda boleh membuat seberapa banyak perubahan yang anda mahukan.

mana-mana tindakan terhadap ekspresi mana-mana menulisnya dalam bentuk lain dipanggil mengubah ungkapan. Dan itu sahaja. Ia sangat mudah. Tetapi ada satu perkara di sini peraturan yang sangat penting. Sangat penting sehingga ia boleh dipanggil dengan selamat peraturan utama semua matematik. Melanggar peraturan ini tidak dapat dielakkan membawa kepada kesilapan. Adakah kita memasukinya?)

Katakan kita mengubah ekspresi kita secara sembarangan, seperti ini:

Penukaran? Sudah tentu. Kami menulis ungkapan dalam bentuk yang berbeza, apa yang salah di sini?

Ia bukan seperti itu.) Intinya ialah transformasi "secara rawak" langsung tidak berminat dengan matematik.) Semua matematik dibina berdasarkan transformasi di mana penampilan, tetapi intipati ungkapan itu tidak berubah. Tiga tambah lima boleh ditulis dalam apa jua bentuk, tetapi mesti lapan.

Transformasi, ungkapan yang tidak mengubah intipati dipanggil serupa.

Tepat sekali transformasi identiti dan benarkan kami, langkah demi langkah, untuk berubah contoh kompleks menjadi ungkapan mudah, menyimpan intipati contoh. Jika kita membuat kesilapan dalam rantaian transformasi, kita membuat transformasi yang TIDAK sama, maka kita akan membuat keputusan yang lain contoh. Dengan jawapan lain yang tidak berkaitan dengan yang betul.)

Ini adalah peraturan utama untuk menyelesaikan sebarang tugas: mengekalkan identiti transformasi.

Contoh dengan ungkapan berangka Saya membawa 3+5 untuk kejelasan. Dalam ungkapan algebra, transformasi identiti diberikan oleh formula dan peraturan. Katakan dalam algebra terdapat formula:

a(b+c) = ab + ac

Ini bermakna bahawa dalam mana-mana contoh kita boleh bukannya ungkapan a(b+c) berasa bebas untuk menulis ungkapan ab + ac. Dan sebaliknya. ini transformasi yang sama. Matematik memberi kita pilihan antara dua ungkapan ini. Dan yang mana satu untuk ditulis - dari contoh konkrit bergantung.

Contoh lain. Salah satu transformasi yang paling penting dan perlu ialah sifat asas pecahan. Anda boleh melihat pautan untuk butiran lanjut, tetapi di sini saya hanya akan mengingatkan anda tentang peraturan: Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab (dibahagi) dengan nombor yang sama, atau ungkapan yang tidak sama dengan sifar, pecahan itu tidak akan berubah. Berikut ialah contoh transformasi identiti menggunakan sifat ini:

Seperti yang anda duga, rantai ini boleh diteruskan selama-lamanya...) Sangat harta yang penting. Ini yang membolehkan anda menukar semua jenis raksasa contoh menjadi putih dan gebu.)

Terdapat banyak formula yang mentakrifkan transformasi yang sama. Tetapi yang paling penting adalah bilangan yang agak munasabah. Salah satu transformasi asas ialah pemfaktoran. Ia digunakan dalam semua matematik - dari peringkat rendah hingga lanjutan. Mari kita mulakan dengan dia. Dalam pelajaran seterusnya.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.