Mesej tentang nombor yang ada. Apakah jenis nombor, konsep dan operasi yang ada?

Nombor asli

Nombor yang digunakan dalam mengira dipanggil nombor asli. Contohnya, $1,2,3$, dsb. Nombor asli membentuk set nombor asli, yang dilambangkan dengan $N$ Nama ini berasal dari perkataan Latin naturalis- semula jadi.

Nombor bertentangan

Definisi 1

Jika dua nombor hanya berbeza dalam tanda, ia dipanggil dalam matematik nombor berlawanan.

Sebagai contoh, nombor $5$ dan $-5$ adalah nombor bertentangan, kerana Mereka berbeza hanya dalam tanda.

Nota 1

Untuk sebarang nombor terdapat nombor yang bertentangan, dan hanya satu.

Nota 2

Nombor sifar adalah bertentangan dengan dirinya sendiri.

Nombor bulat

Definisi 2

keseluruhan nombor ialah nombor asli, lawannya, dan sifar.

Set integer termasuk set nombor asli dan lawannya.

Nyatakan integer $Z.$

Nombor pecahan

Nombor dalam bentuk $\frac(m)(n)$ dipanggil pecahan atau nombor pecahan. Nombor pecahan juga boleh ditulis dalam bentuk perpuluhan, i.e. dalam bentuk pecahan perpuluhan.

Contohnya: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ dsb.

Sama seperti nombor bulat, nombor pecahan boleh sama ada positif atau negatif.

Nombor rasional

Definisi 3

Nombor rasional ialah set nombor yang mengandungi set integer dan pecahan.

Mana-mana nombor rasional, kedua-dua integer dan pecahan, boleh diwakili sebagai pecahan $\frac(a)(b)$, dengan $a$ ialah integer dan $b$ ialah nombor asli.

Oleh itu, nombor rasional yang sama boleh ditulis dengan cara yang berbeza.

Sebagai contoh,

Ini menunjukkan bahawa sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan berkala perpuluhan tak terhingga.

Set nombor rasional dilambangkan dengan $Q$.

Hasil daripada melakukan sebarang operasi aritmetik pada nombor rasional, jawapan yang terhasil akan menjadi nombor rasional. Ini mudah dibuktikan, kerana apabila menambah, menolak, mendarab dan membahagi pecahan biasa, anda mendapat pecahan biasa.

Nombor tak rasional

Semasa belajar kursus matematik, anda sering perlu berurusan dengan nombor yang tidak rasional.

Sebagai contoh, untuk mengesahkan kewujudan set nombor selain daripada yang rasional, mari kita selesaikan persamaan $x^2=6$ Punca-punca persamaan ini ialah nombor $\surd 6$ dan -$\surd 6$ . Nombor ini tidak akan rasional.

Selain itu, apabila mencari pepenjuru segi empat sama dengan sisi $3$, kami menggunakan teorem Pythagoras dan mendapati pepenjuru itu akan bersamaan dengan $\surd 18$. Nombor ini juga tidak rasional.

Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional.

Jadi, nombor tak rasional ialah pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga.

Salah satu nombor tidak rasional yang sering ditemui ialah nombor $\pi $

Apabila melakukan operasi aritmetik dengan nombor tidak rasional, hasil yang terhasil boleh sama ada nombor rasional atau tidak rasional.

Mari kita buktikan ini menggunakan contoh mencari hasil darab nombor tak rasional. Mari cari:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Dengan keputusan

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Contoh ini menunjukkan bahawa hasilnya boleh sama ada nombor rasional atau tidak rasional.

Jika nombor rasional dan tidak rasional terlibat dalam operasi aritmetik pada masa yang sama, maka hasilnya akan menjadi nombor tidak rasional (kecuali, sudah tentu, pendaraban dengan $0$).

Nombor sebenar

Set nombor nyata ialah set yang mengandungi set nombor rasional dan tak rasional.

Set nombor nyata dilambangkan dengan $R$. Secara simbolik, set nombor nyata boleh dilambangkan dengan $(-?;+?).$

Kami berkata sebelum ini bahawa nombor tidak rasional ialah pecahan perpuluhan tak terhingga bukan berkala, dan sebarang nombor rasional boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan berkala perpuluhan tak terhingga, jadi mana-mana pecahan perpuluhan terhingga dan tak terhingga akan menjadi nombor nyata.

Apabila melakukan operasi algebra, peraturan berikut akan dipatuhi:

1. Apabila mendarab dan membahagi nombor positif, nombor yang terhasil akan menjadi positif
2. Apabila mendarab dan membahagi nombor negatif, nombor yang terhasil akan menjadi positif
3. Apabila mendarab dan membahagi nombor negatif dan positif, nombor yang terhasil akan menjadi negatif

Nombor nyata juga boleh dibandingkan antara satu sama lain.

Konsep nombor nyata: nombor sebenar- (nombor nyata), sebarang nombor bukan negatif atau negatif atau sifar. Nombor nyata digunakan untuk menyatakan ukuran bagi setiap kuantiti fizik.

Nyata, atau nombor sebenar timbul daripada keperluan untuk mengukur kuantiti geometri dan fizik dunia. Di samping itu, untuk menjalankan operasi pengekstrakan akar, mengira logaritma, menyelesaikan persamaan algebra, dsb.

Nombor asli dibentuk dengan perkembangan pengiraan, dan nombor rasional dengan keperluan untuk mengurus bahagian keseluruhan, kemudian nombor nyata (nyata) digunakan untuk mengukur kuantiti berterusan. Oleh itu, pengembangan stok nombor yang dianggap membawa kepada set nombor nyata, yang, sebagai tambahan kepada nombor rasional, terdiri daripada unsur-unsur lain yang dipanggil. nombor tidak rasional.

Set nombor nyata(ditandakan R) ialah set nombor rasional dan tak rasional dikumpul bersama.

Nombor nyata dibahagikan denganrasional Dan tidak rasional.

Set nombor nyata dilambangkan dan sering dipanggil sebenar atau garis nombor. Nombor nyata terdiri daripada objek mudah: keseluruhan Dan nombor rasional.

Nombor yang boleh ditulis sebagai nisbah, di manam ialah integer, dan n- nombor asli, ialahnombor rasional.

Mana-mana nombor rasional boleh dengan mudah diwakili sebagai pecahan terhingga atau pecahan perpuluhan berkala tak terhingga.

Contoh,

Perpuluhan tak terhingga, ialah pecahan perpuluhan yang mempunyai bilangan digit yang tidak terhingga selepas titik perpuluhan.

Nombor yang tidak boleh diwakili dalam borang ialah nombor tidak rasional.

Contoh:

Mana-mana nombor tidak rasional boleh dengan mudah diwakili sebagai pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga.

Contoh,

Nombor rasional dan tidak rasional mencipta set nombor nyata. Semua nombor nyata sepadan dengan satu titik pada garis koordinat, yang dipanggil garis nombor.

Untuk set berangka notasi berikut digunakan:

• N- set nombor asli;
• Z- set integer;
• Q- set nombor rasional;
• R- set nombor nyata.

Teori pecahan perpuluhan tak terhingga.

Nombor nyata ditakrifkan sebagai perpuluhan tak terhingga, iaitu:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

di mana ± ialah salah satu simbol + atau −, tanda nombor,

a 0 ialah integer positif,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… ialah urutan tempat perpuluhan, i.e. elemen set berangka {0,1,…9}.

Pecahan perpuluhan tak terhingga boleh dijelaskan sebagai nombor yang terletak di antara titik rasional pada garis nombor seperti:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n Dan ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) untuk semua orang n=0,1,2,…

Perbandingan nombor nyata sebagai pecahan perpuluhan tak terhingga berlaku mengikut tempat. Contohnya, andaikan kita diberi 2 nombor positif:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jika a 0 0, Itu α<β ; Jika a 0 >b 0 Itu α>β . bila a 0 =b 0 Mari kita beralih kepada perbandingan kategori seterusnya. dll. bila α≠β , yang bermaksud bahawa selepas bilangan langkah terhingga digit pertama akan ditemui n, seperti itu a n ≠b n. Jika a n n, Itu α<β ; Jika a n > b n Itu α>β .

Tetapi ia adalah membosankan untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa nombor itu a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Oleh itu, jika rekod salah satu nombor yang dibandingkan, bermula daripada digit tertentu, adalah pecahan perpuluhan berkala dengan 9 dalam tempoh, maka ia mesti digantikan dengan rekod setara dengan sifar dalam tempoh tersebut.

Operasi aritmetik dengan pecahan perpuluhan tak terhingga ialah kesinambungan berterusan bagi operasi sepadan dengan nombor rasional. Contohnya, hasil tambah nombor nyata α Dan β ialah nombor nyata α+β , yang memenuhi syarat berikut:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′+b′′)

Operasi mendarab pecahan perpuluhan tak terhingga ditakrifkan sama.

Digit dalam nombor berbilang digit dibahagikan dari kanan ke kiri kepada kumpulan tiga digit setiap satu. Kumpulan ini dipanggil kelas. Dalam setiap kelas, nombor dari kanan ke kiri menunjukkan unit, puluh dan ratusan kelas itu:

Kelas pertama di sebelah kanan dipanggil kelas unit, kedua - ribu, ketiga - berjuta-juta, keempat - berbilion, kelima - trilion, keenam - kuadrilion, ketujuh - quintillions, kelapan - sextillion.

Untuk memudahkan membaca tatatanda nombor berbilang digit, ruang kecil ditinggalkan di antara kelas. Sebagai contoh, untuk membaca nombor 148951784296, kami menyerlahkan kelas di dalamnya:

dan baca bilangan unit setiap kelas dari kiri ke kanan:

148 bilion 951 juta 784 ribu 296.

Apabila membaca kelas unit, perkataan unit biasanya tidak ditambah pada akhir.

Setiap digit dalam tatatanda nombor berbilang digit menduduki tempat - kedudukan tertentu. Tempat (kedudukan) dalam rekod nombor di mana digit itu berdiri dipanggil pelepasan.

Pengiraan digit pergi dari kanan ke kiri. Iaitu, digit pertama di sebelah kanan dalam nombor dipanggil digit pertama, digit kedua di sebelah kanan ialah digit kedua, dll. Contohnya, dalam kelas pertama nombor 148,951,784,296, digit 6 ialah digit pertama, 9 ialah digit kedua, 2 - digit ketiga:

Unit, puluh, ratus, ribuan, dan lain-lain juga dipanggil unit bit:
unit dipanggil unit kategori pertama (atau unit mudah)
puluh dipanggil unit digit ke-2
ratusan dipanggil unit digit ke-3, dsb.

Semua unit kecuali unit ringkas dipanggil unit konstituen. Jadi, sepuluh, ratus, ribu, dan lain-lain adalah unit komposit. Setiap 10 unit mana-mana pangkat membentuk satu unit pangkat seterusnya (lebih tinggi). Sebagai contoh, seratus mengandungi 10 puluh, sepuluh mengandungi 10 perdana.

Mana-mana unit komposit berbanding unit lain yang lebih kecil daripada ia dipanggil unit kategori tertinggi, dan berbanding dengan unit yang lebih besar daripada yang dipanggil unit kategori terendah. Sebagai contoh, seratus ialah unit tertib tinggi berbanding sepuluh dan unit tertib rendah berbanding seribu.

Untuk mengetahui berapa banyak unit mana-mana digit dalam nombor, anda perlu membuang semua digit yang mewakili unit digit bawah dan membaca nombor yang dinyatakan oleh digit yang tinggal.

Sebagai contoh, anda perlu mengetahui berapa ratus yang terdapat dalam nombor 6284, iaitu berapa ratus dalam beribu-ribu dan beratus-ratus nombor yang diberikan bersama-sama.

Dalam nombor 6284, nombor 2 berada di tempat ketiga dalam kelas unit, yang bermaksud terdapat dua ratus perdana dalam nombor itu. Nombor seterusnya di sebelah kiri ialah 6, bermakna ribuan. Oleh kerana setiap seribu mengandungi 10 ratus, 6 ribu mengandungi 60 daripadanya, oleh itu, jumlah ini mengandungi 62 ratus.

Nombor 0 dalam mana-mana digit bermakna ketiadaan unit dalam digit ini. Sebagai contoh, nombor 0 di tempat puluh bermaksud ketiadaan puluh, di tempat ratusan - ketiadaan ratusan, dsb. Di tempat yang terdapat 0, tiada apa yang dikatakan semasa membaca nombor:

172 526 - seratus tujuh puluh dua ribu lima ratus dua puluh enam.
102 026 - seratus dua ribu dua puluh enam.

Idea intuitif nombor nampaknya setua manusia itu sendiri, walaupun pada dasarnya mustahil untuk mengesan semua peringkat awal perkembangannya dengan pasti. Sebelum manusia belajar mengira atau menghasilkan kata-kata untuk menunjukkan nombor, dia sudah pasti mempunyai idea visual yang intuitif tentang nombor yang membolehkan dia membezakan antara satu orang dan dua orang, atau antara dua dan ramai orang. Orang primitif pada mulanya hanya tahu "satu," "dua," dan "banyak" disahkan oleh fakta bahawa dalam beberapa bahasa, seperti Yunani, terdapat tiga bentuk tatabahasa: tunggal, dwi dan jamak. Kemudian, manusia belajar membezakan antara dua dan tiga pokok dan antara tiga dan empat orang. Mengira pada asalnya dikaitkan dengan set objek yang sangat spesifik, dan nama pertama untuk nombor ialah kata sifat. Sebagai contoh, perkataan "tiga" hanya digunakan dalam gabungan "tiga pokok" atau "tiga orang"; idea bahawa set ini mempunyai persamaan - konsep triniti - memerlukan tahap abstraksi yang tinggi. Pengiraan itu timbul sebelum kemunculan tahap abstraksi ini dibuktikan oleh fakta bahawa perkataan "satu" dan "pertama", serta "dua" dan "kedua", dalam banyak bahasa tidak mempunyai persamaan antara satu sama lain , manakala terletak di luar pengiraan primitif "satu", "dua", "banyak", perkataan "tiga" dan "ketiga", "empat" dan "keempat" jelas menunjukkan hubungan antara nombor kardinal dan ordinal.

Nama nombor, menyatakan idea yang sangat abstrak, sudah pasti muncul lebih lewat daripada simbol mentah pertama untuk menunjukkan bilangan objek dalam koleksi tertentu. Pada zaman dahulu, rekod berangka primitif dibuat dalam bentuk takuk pada kayu, simpulan pada tali, dibentangkan dalam deretan batu kerikil, dan difahamkan bahawa terdapat korespondensi satu dengan satu antara unsur-unsur set dikira dan simbol rekod berangka. Tetapi nama nombor tidak digunakan secara langsung untuk membaca rekod berangka tersebut. Pada masa kini kita mengenali pada pandangan pertama agregat dua, tiga dan empat elemen; Set yang terdiri daripada lima, enam atau tujuh elemen agak sukar untuk dikenali pada pandangan pertama. Dan di luar sempadan ini hampir mustahil untuk menetapkan bilangan mereka dengan mata, dan analisis diperlukan sama ada dalam bentuk pengiraan atau dalam penstrukturan unsur tertentu. Mengira tag nampaknya merupakan teknik pertama yang digunakan dalam kes sedemikian: takuk pada tag telah disusun dalam kumpulan tertentu, sama seperti semasa mengira kertas undi mereka sering dikumpulkan dalam pek lima atau sepuluh. Mengira dengan jari sangat meluas, dan mungkin nama beberapa nombor berasal dari kaedah pengiraan ini.

Ciri penting pengiraan ialah penyambungan nama nombor dengan skema pengiraan tertentu. Sebagai contoh, perkataan "dua puluh tiga" bukan sekadar istilah yang bermaksud kumpulan objek yang jelas (dari segi bilangan unsur); ia adalah istilah majmuk yang bermaksud "dua kali sepuluh dan tiga." Di sini peranan nombor sepuluh sebagai unit kolektif atau asas jelas kelihatan; dan sememangnya, ramai orang mengira dalam sepuluh, kerana, seperti yang dinyatakan Aristotle, kita mempunyai sepuluh jari tangan dan kaki. Asas lima atau dua puluh digunakan untuk alasan yang sama. Pada peringkat awal dalam perkembangan sejarah manusia, nombor 2, 3 atau 4 telah diambil sebagai asas sistem nombor; kadangkala asas 12 dan 60 digunakan untuk beberapa ukuran atau pengiraan.

Manusia mula mengira jauh sebelum dia belajar menulis, jadi tidak ada dokumen bertulis yang masih hidup yang membuktikan perkataan yang digunakan untuk menunjukkan nombor pada zaman dahulu. Suku-suku nomad dicirikan oleh nama lisan nombor; seperti untuk yang bertulis, keperluan untuk mereka timbul hanya dengan peralihan kepada gaya hidup yang tidak aktif dan pembentukan komuniti pertanian. Keperluan untuk sistem merekod nombor juga timbul, dan pada masa itu asas diletakkan untuk pembangunan matematik.

Jenis asas nombor

Tidak seperti oktaf, sedenion S tidak mempunyai sifat alternatif, tetapi mengekalkan harta persekutuan kuasa.

Untuk mewakili integer positif x dalam ingatan komputer, ia ditukar kepada sistem nombor binari. Nombor perduaan x 2 yang terhasil ialah tatatanda mesin bagi nombor perpuluhan yang sepadan x 10. Untuk menulis nombor negatif, apa yang dipanggil. kod tambahan nombor, yang diperoleh dengan menambah satu kepada perwakilan terbalik modulus nombor negatif yang diberikan dalam sistem nombor binari.

Perwakilan nombor nyata dalam ingatan komputer (dalam pengkomputeran, istilah nombor titik terapung digunakan untuk menandakannya) mempunyai beberapa batasan yang berkaitan dengan sistem nombor yang digunakan, serta jumlah memori terhad yang diperuntukkan untuk nombor. Oleh itu, hanya beberapa nombor nyata boleh diwakili dengan tepat dalam ingatan komputer tanpa kehilangan. Dalam skema yang paling biasa, nombor titik terapung ditulis sebagai blok bit, beberapa daripadanya mewakili mantissa nombor, beberapa - kuasa, dan satu bit diperuntukkan untuk mewakili tanda nombor (jika perlu, bit tanda mungkin tiada).

Cari titik pada bulatan nombor dengan absis yang diberi. Koordinat. Sifat koordinat titik. Pusat bulatan nombor. Dari bulatan ke trigonometer. Cari titik pada bulatan nombor. Titik dengan absis. Trigonometer. Tandakan satu titik pada bulatan nombor. Bulatan nombor pada satah koordinat. Bulatan nombor. Mata dengan ordinat. Berikan koordinat titik tersebut. Namakan garis dan koordinat bagi titik tersebut.

""Terbitan" algebra gred ke-10" - Aplikasi terbitan untuk mengkaji fungsi. Derivatifnya ialah sifar. Cari mata. Mari kita ringkaskan maklumat. Sifat monotonisitas fungsi. Aplikasi terbitan kepada kajian fungsi. Pemanasan teori. Lengkapkan penyataan. Pilih pernyataan yang betul. Teorem. Bandingkan. Derivatif adalah positif. Bandingkan rumusan teorem. Fungsi bertambah. Keadaan yang mencukupi untuk ekstrem.

""Persamaan trigonometri" gred 10" - Nilai dari selang. X= tan x. Sediakan akar. Adakah persamaan itu benar? Siri akar. Persamaan cot t = a. Definisi. Cos 4x. Cari punca-punca persamaan. Persamaan tg t = a. Dosa x. Adakah ungkapan itu masuk akal? Dosa x =1. Jangan sekali-kali melakukan apa yang anda tidak tahu. Sambung ayat. Mari kita ambil contoh akarnya. Selesaikan persamaan. Ctg x = 1. Persamaan trigonometri. Persamaan.

“Algebra “Derivatif”” - Persamaan Tangen. Asal usul istilah. Selesaikan masalah. Derivatif. Titik bahan. Formula pembezaan. Makna mekanikal terbitan. Kriteria penilaian. Fungsi terbitan. Tangen kepada graf fungsi. Definisi derivatif. Persamaan tangen kepada graf fungsi. Algoritma untuk mencari derivatif. Contoh mencari derivatif. Struktur kajian topik. Titik bergerak dalam garis lurus.

"Laluan terpendek" - Laluan dalam digraf. Contoh dua graf yang berbeza. Graf terarah. Contoh graf terarah. Kebolehcapaian. Laluan terpendek dari bucu A ke bucu D. Penerangan tentang algoritma. Kelebihan senarai hierarki. Graf berwajaran. Laluan dalam graf. program ProGraph. Bucu dan tepi bersebelahan. Ijazah tertinggi. Matriks bersebelahan. Panjang laluan dalam graf berwajaran. Contoh matriks bersebelahan. Mencari jalan terpendek.

"Sejarah Trigonometri" - Jacob Bernoulli. Teknik untuk beroperasi dengan fungsi trigonometri. Doktrin mengukur polyhedra. Leonard Euler. Perkembangan trigonometri dari abad ke-16 hingga ke hari ini. Pelajar perlu bertemu trigonometri sebanyak tiga kali. Sehingga kini, trigonometri telah dibentuk dan dikembangkan. Pembinaan sistem umum trigonometri dan pengetahuan berkaitan. Masa berlalu, dan trigonometri kembali kepada pelajar sekolah.