Kaedah untuk menyelesaikan matriks. Kaedah matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear
- penentu matriks A dikira;
- melalui penambahan algebra didapati matriks songsang A -1 ;
- templat penyelesaian dibuat dalam Excel;
Arahan. Untuk mendapatkan penyelesaian dengan kaedah matriks songsang, adalah perlu untuk menentukan dimensi matriks. Seterusnya, dalam kotak dialog baharu, isikan matriks A dan vektor hasil B .
Lihat juga Penyelesaian persamaan matriks.Algoritma penyelesaian
- Penentu matriks A dikira. Jika penentu adalah sifar, maka akhir penyelesaian. Sistem mempunyai set tak terhingga penyelesaian.
- Apabila penentu berbeza daripada sifar, matriks songsang A -1 ditemui melalui penambahan algebra.
- Vektor keputusan X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) diperoleh dengan mendarab matriks songsang dengan vektor hasil B .
Penambahan algebra.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Peperiksaan:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Persamaan secara umum, persamaan algebra linear dan sistemnya, serta kaedah untuk menyelesaikannya, menduduki tempat yang istimewa dalam matematik, baik secara teori mahupun gunaan.
Ini disebabkan oleh fakta bahawa sebahagian besar daripada fizikal, ekonomi, teknikal dan juga tugas pedagogi boleh diterangkan dan diselesaikan menggunakan pelbagai persamaan dan sistemnya. AT kebelakangan ini mendapat populariti tertentu di kalangan penyelidik, saintis dan pengamal pemodelan matematik dalam hampir semua bidang mata pelajaran, yang dijelaskan oleh kelebihannya yang jelas berbanding kaedah lain yang terkenal dan terbukti untuk mengkaji objek sifat yang berbeza, khususnya yang dipanggil sistem yang kompleks. Terdapat pelbagai jenis pelbagai definisi model matematik yang diberikan oleh saintis dalam masa yang berbeza, tetapi pada pendapat kami, yang paling berjaya adalah kenyataan berikut. Model matematik adalah idea dinyatakan oleh persamaan. Oleh itu, keupayaan untuk mengarang dan menyelesaikan persamaan dan sistemnya adalah ciri penting pakar moden.
Untuk menyelesaikan sistem linear persamaan algebra kaedah yang paling biasa digunakan ialah: Cramer, Jordan-Gauss dan kaedah matriks.
Kaedah penyelesaian matriks - kaedah penyelesaian sistem persamaan algebra linear dengan penentu bukan sifar menggunakan matriks songsang.
Jika kita menulis pekali untuk nilai yang tidak diketahui xi ke dalam matriks A, kumpulkan nilai yang tidak diketahui ke dalam vektor lajur X, dan sebutan bebas ke dalam vektor lajur B, maka sistem persamaan algebra linear boleh ditulis dalam bentuk persamaan matriks berikut A X = B, yang mempunyai penyelesaian unik hanya apabila penentu matriks A tidak sama dengan sifar. Dalam kes ini, penyelesaian sistem persamaan boleh didapati dengan cara berikut X = A-satu · B, di mana A-1 - matriks songsang.
Kaedah penyelesaian matriks adalah seperti berikut.
Biarkan sistem persamaan linear dengan n tidak diketahui:
Ia boleh ditulis semula dalam bentuk matriks: AX = B, di mana A- matriks utama sistem, B dan X- lajur ahli percuma dan penyelesaian sistem, masing-masing:
Mari perbanyakkan persamaan matriks dibiarkan ke A-1 - matriks songsang kepada matriks A: A -1 (AX) = A -1 B
Kerana A -1 A = E, kita mendapatkan X= A -1 B. Bahagian kanan daripada persamaan ini akan memberikan lajur penyelesaian kepada sistem asal. Keadaan kebolehgunaan kaedah ini(serta secara umum kewujudan penyelesaian tidak sistem homogen persamaan linear dengan bilangan persamaan sama dengan bilangan yang tidak diketahui) ialah ketakdegenerasi matriks A. Perlu dan keadaan yang mencukupi ini ialah ketaksamaan sifar penentu matriks A: det A≠ 0.
Untuk sistem persamaan linear homogen, iaitu, apabila vektor B = 0 , sungguh peraturan terbalik: sistem AX = 0 mempunyai penyelesaian bukan remeh (iaitu, bukan sifar) hanya jika det A= 0. Hubungan sedemikian antara penyelesaian sistem homogen dan tidak homogen bagi persamaan linear dipanggil alternatif Fredholm.
Contoh penyelesaian sistem heterogen persamaan algebra linear.
Mari kita pastikan bahawa penentu matriks, terdiri daripada pekali pada sistem yang tidak diketahui persamaan algebra linear tidak sama dengan sifar.
Langkah seterusnya ialah mengira penambahan algebra bagi unsur-unsur matriks yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui. Mereka akan diperlukan untuk mencari matriks songsang.
(kadang-kadang kaedah ini juga dipanggil kaedah matriks atau kaedah matriks songsang) memerlukan pengenalan terlebih dahulu dengan konsep seperti bentuk matriks penulisan SLAE. Kaedah matriks songsang bertujuan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang penentu matriks sistem adalah bukan sifar. Sememangnya, ini membayangkan bahawa matriks sistem adalah segi empat sama (konsep penentu hanya wujud untuk matriks segi empat sama). Intipati kaedah matriks songsang boleh dinyatakan dalam tiga perkara:
- Tulis tiga matriks: matriks sistem $A$, matriks tidak diketahui $X$, matriks sebutan bebas $B$.
- Cari matriks songsang $A^(-1)$.
- Menggunakan kesamaan $X=A^(-1)\cdot B$ dapatkan penyelesaian SLAE yang diberikan.
Mana-mana SLAE boleh ditulis dalam bentuk matriks sebagai $A\cdot X=B$, dengan $A$ ialah matriks sistem, $B$ ialah matriks sebutan bebas, $X$ ialah matriks yang tidak diketahui. Biarkan matriks $A^(-1)$ wujud. Darabkan kedua-dua belah kesamaan $A\cdot X=B$ dengan matriks $A^(-1)$ di sebelah kiri:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Sejak $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - matriks identiti), maka persamaan yang ditulis di atas menjadi:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Oleh kerana $E\cdot X=X$, maka:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Contoh #1
Selesaikan SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ menggunakan matriks songsang.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Mari kita cari matriks songsang kepada matriks sistem, i.e. kira $A^(-1)$. Dalam contoh #2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$
Sekarang mari kita gantikan ketiga-tiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam persamaan $X=A^(-1)\cdot B$. Kemudian kita melakukan pendaraban matriks
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \left(\mula(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\kanan)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\kanan). $$
Jadi kami mendapat $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ betul)$. Daripada kesamarataan ini kita ada: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Jawab: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Contoh #2
Selesaikan SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ dengan kaedah matriks songsang.
Mari kita tuliskan matriks sistem $A$, matriks sebutan bebas $B$ dan matriks yang tidak diketahui $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\kanan);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Kini tiba masanya untuk mencari matriks songsang bagi matriks sistem, i.e. cari $A^(-1)$. Dalam contoh #3 pada halaman khusus untuk mencari matriks songsang, matriks songsang telah pun ditemui. Mari gunakan hasil siap dan tulis $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\mula(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\kanan). $$
Sekarang kita menggantikan ketiga-tiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam kesamaan $X=A^(-1)\cdot B$, selepas itu kami melakukan pendaraban matriks di sebelah kanan sisi kesamarataan ini.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\kanan) $$
Jadi kami mendapat $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\kanan)$. Daripada kesamarataan ini kita ada: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Pertimbangkan sistem persamaan linear dengan banyak pembolehubah:
di mana aij - pekali pada хi yang tidak diketahui; ahli percuma bi;
indeks: i = 1,2,3…m- tentukan nombor persamaan dan j = 1,2,3...n- nombor yang tidak diketahui.
Definisi: Penyelesaian sistem persamaan (5) ialah set n nombor (x10, x20, .... xn0), apabila menggantikannya ke dalam sistem, semua persamaan bertukar menjadi identiti berangka sebenar.
Definisi: Sistem persamaan dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian unik (x10, x20,….xn0), dan tidak tentu jika terdapat beberapa penyelesaian sedemikian.
Definisi: Sistem dipanggil tidak konsisten jika ia tidak mempunyai penyelesaian.
Definisi: Jadual yang terdiri daripada pekali berangka (aij) dan sebutan bebas (bi) bagi sistem persamaan (5) dipanggil matriks sistem (A) dan matriks lanjutan (A1), yang dilambangkan sebagai:
Definisi: Matriks sistem A, yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang tidak sama (n?m), dipanggil segi empat tepat. Jika bilangan baris dan lajur adalah sama (n=m), maka matriks itu dipanggil segi empat sama.
Jika bilangan yang tidak diketahui dalam sistem adalah sama dengan bilangan persamaan (n=m), maka sistem itu mempunyai matriks segi empat sama pesanan ke-
Mari kita pilih baris k-arbitrari dan lajur k-arbitrari (km, kn) dalam matriks A.
Definisi: Penentu tertib-k, yang terdiri daripada unsur-unsur matriks A, terletak di persimpangan baris dan lajur yang dipilih, dipanggil minor tertib-k bagi matriks A.
Pertimbangkan semua kemungkinan minor bagi matriks A. Jika semua (k + 1)-tertib minor adalah sama dengan sifar, dan sekurang-kurangnya satu daripada k-order minor tidak sama dengan sifar, maka matriks tersebut dikatakan mempunyai pangkat sama dengan k.
Definisi: Peringkat matriks A dipanggil perintah terhebat minor bukan sifar matriks ini. Kedudukan matriks dilambangkan dengan r(A).
Definisi: Mana-mana matriks kecil bukan sifar yang susunannya adalah sama dengan pangkat matriks dipanggil asas.
Definisi: Jika bagi dua matriks A dan B kedudukannya bertepatan r(A) = r(B), maka matriks ini dipanggil setara dan dilambangkan A B.
Kedudukan matriks tidak akan berubah daripada asas, transformasi setara, yang termasuk:
- 1. Menggantikan baris dengan lajur dan lajur dengan baris yang sepadan;
- 2. Permutasi baris atau lajur di tempat;
- 3. Memotong baris atau lajur, yang kesemua elemennya sama dengan sifar;
- 4. Pendaraban atau pembahagian baris atau lajur dengan nombor bukan sifar;
- 5. Penambahan atau penolakan elemen satu baris atau lajur daripada yang lain, didarab dengan sebarang nombor.
Apabila menentukan pangkat matriks, gunakan transformasi yang setara, dengan bantuan yang mana matriks asal dikurangkan kepada matriks langkah (segi tiga).
AT matriks berlangkah unsur sifar terletak di bawah pepenjuru utama, dan unsur bukan sifar pertama bagi setiap barisnya, bermula dari yang kedua, terletak di sebelah kanan unsur bukan sifar pertama pada baris sebelumnya.
Perhatikan bahawa pangkat matriks adalah sama dengan nombor baris bukan sifar bagi matriks berlangkah.
Sebagai contoh, matriks A= - jenis melangkah dan kedudukannya adalah sama dengan bilangan baris bukan sifar matriks r(A)=3. Sesungguhnya, semua bawah umur tertib ke-4 dengan unsur sifar baris ke-4 adalah sama dengan sifar, dan bawah umur tertib ke-3 adalah bukan sifar. Untuk menyemak, kami mengira penentu minor bagi 3 baris dan 3 lajur pertama:
Mana-mana matriks boleh dikurangkan kepada matriks langkah dengan mensifarkan elemen matriks di bawah pepenjuru utama menggunakan operasi asas.
Mari kita kembali kepada kajian dan penyelesaian sistem persamaan linear (5).
Peranan penting dalam kajian sistem persamaan linear dimainkan oleh teorem Kronecker-Capeli. Mari kita rumuskan teorem ini.
Teorem Kronecker-Capelli: Sistem persamaan linear adalah konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem A adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan A1, i.e. r(A)=r(A1). Dalam kes keserasian, sistem adalah pasti jika pangkat matriks sistem adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, i.e. r(A)=r(A1)=n dan tidak ditentukan jika pangkat ini kurang daripada bilangan tidak diketahui, iaitu r(A)= r(A1) Contoh. Terokai sistem persamaan linear: Mari kita tentukan kedudukan matriks sistem A dan matriks lanjutan A1. Untuk melakukan ini, kami menyusun matriks lanjutan A1 dan mengurangkannya kepada bentuk berperingkat. Apabila menukar matriks, lakukan perkara berikut: Hasil daripada tindakan yang dilakukan, kami memperoleh matriks berperingkat dengan tiga baris bukan sifar kedua-duanya dalam matriks sistem (sehingga garis) dan dalam matriks yang dikembangkan. Dari mana boleh dilihat bahawa pangkat matriks sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan dan bersamaan dengan 3, tetapi kurang daripada bilangan yang tidak diketahui (n=4). Jawapan: kerana r(A)=r(A1)=3 Disebabkan fakta bahawa adalah mudah untuk menentukan pangkat matriks dengan mengurangkannya kepada bentuk langkah demi langkah, kami akan mempertimbangkan kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss. Kaedah Gauss Intipati kaedah Gauss terletak pada penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui.
t dengan pengurangan kepada bentuk bertingkat bagi matriks lanjutan A1, yang merangkumi matriks sistem A hingga ke garisan. Dalam kes ini, pangkat matriks A, A1 ditentukan secara serentak dan sistem dikaji mengikut Kronecker-Capelli teorem. Pada peringkat terakhir, sistem persamaan jenis langkah demi langkah diselesaikan, membuat penggantian dari bawah ke atas nilai yang ditemui bagi yang tidak diketahui. Mari kita pertimbangkan aplikasi kaedah Gauss dan teorem Kronecker-Capeli menggunakan contoh. Contoh. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss: Mari kita tentukan kedudukan matriks sistem A dan matriks lanjutan A1. Untuk melakukan ini, kami menyusun matriks lanjutan A1 dan mengurangkannya kepada bentuk berperingkat. Semasa menghantar, lakukan perkara berikut: Kami telah memperoleh matriks langkah, di mana bilangan baris adalah sama dengan 3, dan matriks sistem (sebelum garisan) juga tidak mempunyai sinki sifar. Oleh itu, kedudukan matriks sistem dan matriks lanjutan adalah 3 dan sama dengan bilangan yang tidak diketahui, i.e. r(A)=r(A1)=n=3.. Menurut teorem Kronecker-Capelli, sistem adalah konsisten dan ditakrifkan, mempunyai penyelesaian yang unik. Hasil daripada transformasi matriks A1, mensifarkan pekali untuk yang tidak diketahui, ia berturut-turut dikecualikan daripada persamaan dan sistem persamaan langkah (segi tiga) diperoleh: Bergerak secara berurutan dari bawah ke atas, menggantikan penyelesaian (x3=1) daripada persamaan ketiga ke dalam kedua, dan penyelesaian (x2=1, x3=1) daripada persamaan kedua dan ketiga kepada persamaan pertama, kita memperoleh penyelesaian daripada sistem persamaan: x1=1,x2=1, x3=1. Semak: -(!) Jawapan: (x1=1,x2=1,x3=1). Kaedah Jordan-Gauss Sistem ini boleh diselesaikan dengan kaedah Jordan-Gauss yang lebih baik, yang terdiri daripada fakta bahawa matriks sistem A dalam matriks lanjutan (sehingga garis) dikurangkan kepada matriks identiti: E = dengan satu pepenjuru dan sifar unsur luar pepenjuru dan segera dapatkan penyelesaian sistem tanpa penggantian tambahan. Mari kita selesaikan sistem di atas dengan kaedah Jordan-Gauss. Untuk melakukan ini, kami mengubah matriks langkah yang terhasil menjadi satu dengan melakukan perkara berikut: Sistem persamaan asal telah dikurangkan kepada sistem:, yang menentukan penyelesaian. operasi asas dengan matriks Biarkan dua matriks diberi: A=
B=. Apabila menjumlahkan (menolak) matriks, unsur-unsurnya dengan nama yang sama ditambah (ditolak). 3. Hasil darab nombor k dengan matriks A ialah matriks yang ditakrifkan oleh kesamaan: Apabila matriks didarab dengan nombor, semua elemen matriks didarab dengan nombor itu. 4. Hasil darab matriks AB ialah matriks yang ditakrifkan oleh kesamaan: Apabila mendarab matriks, unsur-unsur baris matriks pertama didarab dengan unsur-unsur lajur matriks kedua dan dijumlahkan, dan unsur matriks hasil darab dalam baris ke-i dan lajur ke-j adalah sama dengan jumlah hasil darab unsur yang sepadan bagi baris ke-i matriks pertama dan matriks kedua lajur ke-j. Apabila mendarab matriks, dalam kes umum, undang-undang komutatif tidak terpakai, i.e. AB? VA. 5. Transposisi matriks A ialah tindakan yang membawa kepada penggantian baris dengan lajur, dan lajur dengan baris yang sepadan. Matriks AT= dipanggil matriks transpos untuk matriks A=. Jika penentu matriks A tidak sama dengan sifar (D?0), maka matriks sedemikian dipanggil bukan tunggal. Untuk mana-mana matriks bukan tunggal A, terdapat matriks songsang A-1, yang mana kesamaan dipegang: A-1 A= A A-1=E, dengan E=- matriks identiti. 6. Penyongsangan matriks A ialah tindakan sedemikian di mana matriks songsang A-1 diperolehi Apabila menyongsangkan matriks A, tindakan berikut dilakukan.
Bagaimana untuk bermula sebagai tutor?
Pembelajaran jarak jauh bahasa Inggeris
Kata kerja bahasa Inggeris biasa dan tidak teratur