Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dan sistemnya. Ketaksamaan trigonometri yang paling mudah dan kompleks

Ketaksamaan ialah hubungan dalam bentuk a › b, di mana a dan b ialah ungkapan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah. Ketaksamaan boleh menjadi ketat - ‹, › dan tidak ketat - ≥, ≤.

Ketaksamaan trigonometri ialah ungkapan dalam bentuk: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, di mana F(x) diwakili oleh satu atau lebih fungsi trigonometri. .

Contoh ketaksamaan trigonometri termudah ialah: sin x ‹ 1/2. Adalah lazim untuk menyelesaikan masalah sedemikian secara grafik; dua kaedah telah dibangunkan untuk ini.

Kaedah 1 - Menyelesaikan Ketaksamaan dengan Merangka Fungsi

Untuk mencari selang yang memenuhi syarat ketaksamaan sin x ‹ 1/2, anda mesti melakukan perkara berikut:

1. Pada paksi koordinat membina sinusoid y = sin x.
2. Lukiskan graf pada paksi yang sama hujah angka ketaksamaan, iaitu, garis lurus yang melalui titik ½ y-ordinat.
3. Tandakan titik persilangan kedua-dua graf.
4. Lorekkan segmen yang merupakan penyelesaian contoh.

Apabila terdapat tanda yang kuat dalam ungkapan, titik persilangan bukanlah penyelesaian. Sejak kecil tempoh positif sinusoid ialah 2π, maka kita tulis jawapannya seperti berikut:

Jika tanda-tanda ungkapan tidak ketat, maka selang penyelesaian mesti disertakan dalam kurungan- . Jawapan kepada masalah itu juga boleh ditulis sebagai satu lagi ketidaksamaan:

Kaedah 2 - Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri menggunakan bulatan unit

Masalah yang sama boleh diselesaikan dengan mudah dengan bantuan bulatan trigonometri. Algoritma carian adalah sangat mudah:

1. Mula-mula, lukis bulatan unit.
2. Kemudian anda perlu perhatikan nilai fungsi arka hujah sebelah kanan ketaksamaan pada arka bulatan.
3. Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus yang melalui nilai fungsi arka selari dengan paksi-x (OX).
4. Selepas itu, ia kekal hanya untuk memilih lengkok bulatan, yang merupakan set penyelesaian kepada ketaksamaan trigonometri.
5. Tulis jawapan dalam borang yang dikehendaki.

Mari kita menganalisis langkah penyelesaian menggunakan ketaksamaan sin x › 1/2 sebagai contoh. Titik α dan β ditandakan pada bulatan – nilainya

Titik-titik lengkok yang terletak di atas α dan β ialah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan yang diberikan.

Jika anda perlu menyelesaikan contoh untuk cos, maka arka jawapan akan terletak secara simetri kepada paksi OX, dan bukan OY. Anda boleh mempertimbangkan perbezaan antara selang penyelesaian untuk sin dan cos dalam rajah di bawah dalam teks.

Penyelesaian grafik untuk ketaksamaan tangen dan kotangen akan berbeza daripada kedua-dua sinus dan kosinus. Ini disebabkan oleh sifat-sifat fungsi.

Arka tangen dan arka tangen adalah tangen kepada bulatan trigonometri, dan tempoh positif minimum untuk kedua-dua fungsi ialah π. Untuk menggunakan kaedah kedua dengan cepat dan betul, anda perlu ingat pada paksi mana nilai dosa, cos, tg dan ctg.

Tangen tangen berjalan selari dengan paksi OY. Jika kita memplot nilai arctg a pada bulatan unit, maka titik kedua yang diperlukan akan terletak pada suku pepenjuru. sudut

Ia adalah titik putus untuk fungsi, kerana graf cenderung kepada mereka tetapi tidak pernah mencapainya.

Dalam kes kotangen, tangen berjalan selari dengan paksi OX, dan fungsi itu terganggu pada titik π dan 2π.

Ketaksamaan trigonometri kompleks

Jika hujah fungsi ketaksamaan diwakili bukan sahaja oleh pembolehubah, tetapi oleh keseluruhan ungkapan yang mengandungi tidak diketahui, maka kita sudah bercakap tentang ketidaksamaan kompleks. Kursus dan susunan penyelesaiannya agak berbeza daripada kaedah yang diterangkan di atas. Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan berikut:

Penyelesaian grafik menyediakan pembinaan sinusoid biasa y = sin x untuk nilai x yang dipilih secara sewenang-wenangnya. Mari kita hitung jadual dengan koordinat untuk titik rujukan carta:

Hasilnya mestilah lengkung yang bagus.

Untuk kemudahan mencari penyelesaian, kami menggantikan hujah fungsi kompleks

Algoritma untuk menyelesaikan yang paling mudah ketaksamaan trigonometri dan mengenali cara untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Guru yang tertinggi kategori kelayakan:

Shirko F.M. Kampung kemajuan, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, sekolah menengah PEI " Cara baru»

Tidak wujud muslihat sejagat mengajar disiplin kitaran semulajadi-matematik. Setiap guru mendapati cara pengajarannya sendiri hanya boleh diterima olehnya.

Pengalaman mengajar kami selama bertahun-tahun menunjukkan bahawa pelajar lebih mudah mempelajari bahan yang memerlukan penumpuan perhatian dan menyimpan sejumlah besar maklumat dalam ingatan jika mereka diajar menggunakan algoritma dalam kerja mereka. peringkat awal pembelajaran topik yang sukar. Topik sedemikian, pada pendapat kami, adalah topik menyelesaikan ketaksamaan trigonometri.

Jadi, sebelum kita mulakan dengan pelajar untuk mengenal pasti teknik dan kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, kita berusaha dan membetulkan algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri yang paling mudah.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri termudah

Kami menandakan titik pada paksi yang sepadan ( untuk dosa x- paksi y, untukcos x- paksi OX)

Kami memulihkan serenjang dengan paksi, yang akan memotong bulatan pada dua titik.

Pertama pada bulatan kita menandatangani titik yang tergolong dalam selang julat nilai fungsi arka mengikut definisi.

Bermula dari titik yang ditandatangani, kami menaungi lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian paksi yang berlorek.

Kita pusing Perhatian istimewa ke arah pintasan. Jika traversal mengikut arah jam (iaitu terdapat peralihan melalui 0), maka titik kedua pada bulatan akan menjadi negatif, jika lawan jam - positif.

Kami menulis jawapan sebagai selang, dengan mengambil kira keberkalaan fungsi.

Mari kita pertimbangkan operasi algoritma dengan contoh.

1) dosa ≥ 1/2;

Penyelesaian:

Lukis bulatan unit.;

Kami menandakan titik ½ pada paksi-y.

Pulihkan serenjang dengan paksi,

yang memotong bulatan pada dua titik.

Dengan takrif arcsine, kita tandakan dahulu

titik π/6.

Kami menaungi bahagian paksi yang sepadan dengannya

diberi ketaksamaan, di atas titik ½.

Kami lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian berlorek paksi.

Pintasan dibuat lawan jam, kami mendapat titik 5π/6.

Kami menulis jawapan sebagai selang, dengan mengambil kira keberkalaan fungsi;

Jawapan:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Ketaksamaan termudah diselesaikan menggunakan algoritma yang sama jika tiada nilai jadual dalam rekod jawapan.

Pelajar, dalam pelajaran pertama, menyelesaikan ketaksamaan di papan hitam, menyebut setiap langkah algoritma dengan kuat.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R Penyelesaian:di

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Lukis bulatan unit.

Kami menandakan pada paksi OX satu titik dengan koordinat 1/5.

Kami memulihkan serenjang dengan paksi, yang

memotong bulatan pada dua titik.

Mula-mula pada bulatan kita menandatangani titik yang tergolong dalam selang julat nilai arccosine mengikut takrifan (0; π).

Kami menaungi bahagian paksi yang sepadan dengan ketaksamaan ini.

Bermula dari titik yang ditandatangani arccos 1/5, lorekkan lengkok bulatan yang sepadan dengan bahagian berlorek paksi.

Pintasan dibuat mengikut arah jam (iaitu terdapat peralihan melalui 0), yang bermaksud bahawa titik kedua pada bulatan akan menjadi negatif - arccos 1/5.

Kami menulis jawapan sebagai selang, dengan mengambil kira keberkalaan fungsi, daripada nilai yang lebih kecil kepada nilai yang lebih besar.

Jawapan: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Meningkatkan keupayaan untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri difasilitasi oleh soalan: "Bagaimana kita akan menyelesaikan sekumpulan ketaksamaan?"; “Bagaimanakah satu ketidaksamaan berbeza dengan yang lain?”; “Bagaimana satu ketidaksamaan serupa dengan yang lain?”; Bagaimanakah jawapan akan berubah jika ketidaksamaan yang ketat diberikan? Bagaimanakah jawapan akan berubah jika terdapat tanda dan bukannya tanda ""

Tugas menganalisis senarai ketidaksamaan dari sudut cara untuk menyelesaikannya membolehkan anda mengetahui pengiktirafannya.

Pelajar diberi ketaksamaan untuk diselesaikan di dalam kelas.

soalan: Serlahkan ketidaksamaan yang perlu diterapkan transformasi yang setara apabila mengurangkan ketaksamaan trigonometri kepada yang paling mudah?

Jawab 1, 3, 5.

soalan: Apakah ketaksamaan yang diperlukan untuk menganggap hujah yang kompleks sebagai hujah yang mudah?

Jawapan: 1, 2, 3, 5, 6.

soalan: Namakan ketidaksamaan di mana anda boleh memohon rumus trigonometri?

Jawapan: 2, 3, 6.

soalan: Apakah ketaksamaan di mana anda boleh menggunakan kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu?

Jawapan: 6.

Tugas menganalisis senarai ketidaksamaan dari sudut cara untuk menyelesaikannya membolehkan anda mengetahui pengiktirafannya. Apabila membangunkan kemahiran, adalah penting untuk memilih peringkat pelaksanaannya dan merumuskannya Pandangan umum, yang dibentangkan dalam algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri termudah.