Perbandingan pecahan biasa dan pecahan perpuluhan. Perbandingan perpuluhan terhingga dan tak terhingga: peraturan, contoh, penyelesaian

BAHAGIAN 7 PECAHAN PERPULUHAN DAN OPERASI DENGANNYA

Dalam bahagian ini anda akan belajar:

apakah pecahan perpuluhan dan apakah strukturnya;

cara membandingkan perpuluhan;

apakah peraturan untuk menambah dan menolak perpuluhan;

cara mencari hasil darab dan hasil bagi dua pecahan perpuluhan;

apakah itu membundarkan nombor dan cara membundarkan nombor;

cara mengaplikasikan bahan yang dipelajari dalam amalan

§ 29. APA ITU PERPULUHAN? MEMBANDING PERPULUHAN

Lihat Rajah 220. Anda lihat bahawa panjang segmen AB ialah 7 mm, dan panjang segmen DC ialah 18 mm. Untuk memberikan panjang segmen ini dalam sentimeter, anda perlu menggunakan pecahan:

Anda tahu banyak contoh lain di mana pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000 dan seumpamanya digunakan. Jadi,

Pecahan sedemikian dipanggil perpuluhan. Untuk merakamnya, gunakan borang yang lebih mudah, yang dicadangkan oleh pembaris pada aksesori anda. Mari kita lihat contoh yang dimaksudkan.

Anda tahu bahawa panjang segmen DC (Gamb. 220) boleh dinyatakan sebagai nombor bercampur

Jika kita meletakkan koma selepas bahagian integer nombor ini, dan selepas itu pengangka bahagian pecahan, kita mendapat entri yang lebih padat: 1.8 cm. Untuk segmen AB, maka kita dapat: 0.7 cm. Sesungguhnya, pecahan itu ialah betul, ia adalah kurang daripada satu, oleh itu miliknya keseluruhan bahagian sama dengan 0. Nombor 1.8 dan 0.7 adalah contoh pecahan perpuluhan.

Pecahan perpuluhan 1.8 dibaca seperti berikut: “satu mata lapan”, dan pecahan 0.7 ialah “sifar koma tujuh”.

Cara menulis pecahan sebagai perpuluhan? Untuk melakukan ini, anda perlu mengetahui struktur tatatanda perpuluhan.

Dalam tatatanda pecahan perpuluhan sentiasa terdapat integer dan bahagian pecahan. mereka dipisahkan dengan koma. Pada keseluruhannya, kelas dan pangkat adalah sama dengan mereka nombor asli. Anda tahu bahawa ini adalah kelas unit, beribu-ribu, berjuta-juta, dsb., dan setiap satu daripadanya mempunyai 3 digit - unit, puluhan dan ratusan. Dalam bahagian pecahan pecahan perpuluhan, kelas tidak dibezakan, tetapi boleh terdapat seberapa banyak digit yang diingini; nama mereka sepadan dengan nama penyebut pecahan - persepuluh, perseratus, perseribu, persepuluh perseribu, ratus perseribu, persejuta , sepuluh juta, dsb. Tempat persepuluh ialah tempat tertua dalam bahagian pecahan perpuluhan.

Dalam jadual 40 anda melihat nama tempat perpuluhan dan nombor "seratus dua puluh tiga keseluruhan dan empat ribu lima ratus enam ratus perseribu" atau

Nama bahagian pecahan "ratus ribu" dalam pecahan biasa menentukan penyebutnya, dan dalam bahagian perpuluhan - digit terakhir bahagian pecahannya. Anda lihat itu dalam pengangka bahagian pecahan nombor itu Terdapat satu digit kurang daripada sifar dalam penyebut. Jika kita tidak mengambil kira ini, maka kita akan mendapat ralat dalam merekodkan bahagian pecahan - bukannya 4506 ratus perseribu, kita akan menulis 4506 persepuluh perseribu, tetapi

Oleh itu, dalam rakaman nombor yang diberi pecahan perpuluhan mesti diletakkan 0 selepas titik perpuluhan (di tempat kesepuluh): 123.04506.

Catatan:

pecahan perpuluhan mesti mempunyai seberapa banyak digit selepas titik perpuluhan kerana terdapat sifar dalam penyebut pecahan biasa yang sepadan.

Kita kini boleh menulis pecahan

sebagai perpuluhan.

Perpuluhan boleh dibandingkan dengan cara yang sama seperti nombor asli. Jika terdapat banyak digit dalam menulis pecahan perpuluhan, maka gunakan peraturan khas. Mari lihat contoh.

Tugasan. Bandingkan pecahan: 1) 96.234 dan 830.123; 2) 3.574 dan 3.547.

Penyelesaian. 1, Bahagian integer pecahan pertama ialah nombor dua digit 96, dan bahagian integer pecahan kedua ialah nombor tiga digit 830, oleh itu:

96,234 < 830,123.

2. Dalam penulisan pecahan 3.574 dan 3.547 dan bahagian integer adalah sama. Oleh itu, kami membandingkan bahagian pecahannya sedikit demi sedikit. Untuk melakukan ini, kami menulis pecahan ini satu di bawah yang lain:

Setiap pecahan mempunyai 5 persepuluh. Tetapi dalam pecahan pertama terdapat 7 perseratus, dan dalam pecahan kedua hanya terdapat 4 perseratus. Oleh itu, pecahan pertama lebih besar daripada yang kedua: 3.574 > 3.547.

Peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan.

1. Daripada dua pecahan perpuluhan, pecahan yang keseluruhan bahagiannya lebih besar adalah lebih besar.

2. Jika bahagian integer bagi pecahan perpuluhan adalah sama, kemudian bandingkan bahagian pecahannya sedikit demi sedikit, bermula dengan digit paling bererti.

Seperti pecahan, perpuluhan boleh diletakkan pada sinar koordinat. Dalam Rajah 221 anda melihat bahawa titik A, B dan C mempunyai koordinat: A(0.2), B(0.9), C(1.6).

Ketahui lebih lanjut

Perpuluhan berkaitan dengan sistem nombor kedudukan perpuluhan. Walau bagaimanapun, penampilan mereka mempunyai sejarah yang lebih panjang dan dikaitkan dengan nama ahli matematik dan astronomi yang cemerlang al-Kashi ( nama penuh- Jemshid ibn Masudal-Kashi). Dalam karyanya "Kunci Aritmetik" (abad ke-15), dia mula-mula merumuskan peraturan untuk bekerja dengan pecahan perpuluhan dan memberikan contoh melakukan tindakan dengannya. Tanpa mengetahui apa-apa tentang penemuan al-Kashi, ahli matematik dan jurutera Flemish Simon Stevin "menemui" pecahan perpuluhan untuk kali kedua kira-kira 150 tahun kemudian. Dalam karya "Perpuluhan" (1585 p.) S. Stevin menggariskan teori pecahan perpuluhan. Dia mempromosikannya dalam setiap cara yang mungkin, menekankan kemudahan pecahan perpuluhan untuk pengiraan praktikal.

Mengasingkan keseluruhan bahagian daripada perpuluhan pecahan telah dicadangkan dengan cara yang berbeza. Oleh itu, al-Kashi menulis keseluruhan dan bahagian pecahan dengan dakwat yang berbeza atau meletakkan garis menegak di antara mereka. S. Stevin meletakkan sifar dalam bulatan untuk memisahkan keseluruhan bahagian daripada bahagian pecahan. Koma yang digunakan pada zaman kita telah dicadangkan oleh ahli astronomi Jerman terkenal Johannes Kepler (1571 - 1630).

SELESAIKAN MASALAH

1173. Tuliskan panjang ruas AB dalam sentimeter jika:

1)AB = 5mm; 2)AB = 8mm; 3)AB = 9mm; 4)AB = 2mm.

1174. Baca pecahan:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Nama: a) keseluruhan bahagian pecahan; b) bahagian pecahan pecahan; c) digit pecahan.

1175. Berikan satu contoh pecahan perpuluhan di mana selepas titik perpuluhan terdapat:

1) satu digit; 2) dua nombor; 3) tiga nombor.

1176. Berapakah bilangan tempat perpuluhan yang ada pada pecahan perpuluhan jika penyebut bagi pecahan biasa yang sepadan adalah sama dengan:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Manakah antara pecahan yang mempunyai bahagian integer yang lebih besar:

1) 12.5 atau 115.2; 4) 789.154 atau 78.4569;

2) 5.25 atau 35.26; 5) 1258.00265 atau 125.0333;

3) 185.25 atau 56.325; 6) 1269.569 atau 16.12?

1178. Dalam nombor 1256897, pisahkan digit terakhir dengan koma dan baca nombor yang anda terima. Kemudian berturut-turut gerakkan koma satu digit ke kiri dan namakan pecahan yang anda terima.

1179. Baca pecahan dan tuliskannya sebagai perpuluhan:

1180 Baca pecahan dan tuliskannya sebagai perpuluhan:

1181. Tulis dalam pecahan biasa:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Tulis dalam pecahan biasa:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Tulis dalam pecahan perpuluhan:

1) 8 mata 3; 5) 145 mata 14;

2) 12 mata 5; 6) 125 mata 19;

3) 0 mata 5; 7) 0 mata 12 perseratus;

4) 12 mata 34; 8) 0 mata 3 perseratus.

1184. Tulis dalam pecahan perpuluhan:

1) sifar koma lapan perseribu;

2) dua puluh koma empat;

3) tiga belas koma lima;

4) seratus empat puluh lima koma dua perseratus.

1185. Tulis pecahan sebagai pecahan dan kemudian sebagai perpuluhan:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Tulis dalam borang nombor bercampur, dan kemudian sebagai perpuluhan:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Tulis sebagai nombor bercampur dan kemudian sebagai perpuluhan:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Ekspres dalam Hryvnias:

1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 kopecks; 4)123k.

1189. Ekspres dalam Hryvnias:

1) 58 k.; 2) 2 k.; 3) 56 UAH 55 kopecks; 4)175k.

1190. Tulis dalam Hryvnias dan kopecks:

1)10.34 UAH; 2) 12.03 UAH; 3) 0.52 UAH; 4) 126.05 UAH.

1191. Nyatakan dalam meter dan tulis jawapan sebagai pecahan perpuluhan: 1) 5 m 7 dm; 2) 15 m 58 cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Nyatakan dalam kilometer dan tulis jawapan sebagai pecahan perpuluhan: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.

1193. Tulis dalam meter dan sentimeter:

1) 12.55 m; 2) 2.06 m; 3) 0.25 m; 4) 0.08 m.

1194. Kedalaman terbesar Laut Hitam ialah 2,211 km. Nyatakan kedalaman laut dalam meter.

1195. Bandingkan pecahan:

1) 15.5 dan 16.5; 5) 4.2 dan 4.3; 9) 1.4 dan 1.52;

2) 12.4 dan 12.5; 6) 14.5 dan 15.5; 10) 4.568 dan 4.569;

3)45.8 dan 45.59; 7) 43.04 dan 43.1; 11)78.45178.458;

4) 0.4 dan 0.6; 8) 1.23 dan 1.364; 12) 2.25 dan 2.243.

1196. Bandingkan pecahan:

1)78.5 dan 79.5; 3) 78.3 dan 78.89; 5) 25.03 dan 25.3;

2) 22.3 dan 22.7; 4) 0.3 dan 0.8; 6) 23.569 dan 23.568.

1197. Tulis pecahan perpuluhan dalam tertib menaik:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Tuliskan pecahan perpuluhan dalam tertib menurun:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Ekspres dalam meter persegi dan tuliskannya dalam pecahan perpuluhan:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200. Bilik itu berbentuk segi empat tepat. Panjangnya ialah 90 dm, dan lebarnya ialah 40 dm. Cari luas bilik. Tulis jawapan anda dalam meter persegi.

1201. Bandingkan pecahan:

1)0.04 dan 0.06; 5) 1.003 dan 1.03; 9) 120.058 dan 120.051;

2) 402.0022 dan 40.003; 6) 1.05 dan 1.005; 10) 78.05 dan 78.58;

3) 104.05 dan 105.05; 7) 4.0502 dan 4.0503; 11) 2.205 dan 2.253;

4) 40.04 dan 40.01; 8)60.4007i60.04007; 12)20.12 dan 25.012.

1202. Bandingkan pecahan:

1)0.03 dan 0.3; 4) 6.4012 dan 6.404;

2) 5.03 dan 5.003; 5) 450.025 dan 450.2054;

1203. Tulis lima pecahan perpuluhan yang terletak di antara pecahan pada sinar koordinat:

1)6.2 dan 6.3; 2) 9.2 dan 9.3; 3) 5.8 dan 5.9; 4) 0.4 dan 0.5.

1204. Tulis lima pecahan perpuluhan yang terletak di antara pecahan pada rasuk koordinat: 1) 3.1 dan 3.2; 2) 7.4 dan 7.5.

1205. Di antara dua nombor asli bersebelahan diletakkan pecahan perpuluhan:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Tulis lima pecahan perpuluhan yang mana ketaksamaan itu dipegang:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Tulis lima pecahan perpuluhan yang mana ketaksamaan itu dipegang:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Tuliskan yang terbesar perpuluhan:

1) dengan dua digit selepas titik perpuluhan, kurang daripada 2;

2) dengan satu digit selepas titik perpuluhan, kurang daripada 3;

3) dengan tiga digit selepas titik perpuluhan, kurang daripada 4;

4) dengan empat digit selepas titik perpuluhan, kurang daripada 1.

1209. Tulis pecahan perpuluhan terkecil:

1) dengan dua digit selepas titik perpuluhan, yang lebih besar daripada 2;

2) dengan tiga digit selepas titik perpuluhan, yang lebih besar daripada 4.

1210. Tulis semua nombor yang boleh diletakkan di tempat asterisk untuk mendapatkan ketaksamaan yang betul:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Apakah nombor yang boleh diletakkan sebagai ganti asterisk untuk mendapatkan ketaksamaan yang betul:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Tuliskan semua perpuluhan yang bahagian integernya sama dengan 6, dan bahagian pecahannya mengandungi tiga tempat perpuluhan, ditulis sebagai 7 dan 8. Tulis pecahan ini dalam tertib menurun.

1213. Tulis enam pecahan perpuluhan, bahagian integernya sama dengan 45, dan bahagian pecahan terdiri daripada empat nombor yang berbeza: 1, 2, 3, 4. Tulis pecahan ini dalam tertib menaik.

1214. Berapa banyak pecahan perpuluhan yang boleh anda buat, bahagian integernya sama dengan 86, dan bahagian pecahan terdiri daripada tiga digit berbeza: 1,2,3?

1215. Berapakah bilangan pecahan perpuluhan yang boleh dibuat, bahagian integernya sama dengan 5, dan bahagian pecahan ialah tiga digit, ditulis sebagai 6 dan 7? Tulis pecahan ini dalam tertib menurun.

1216. Potong tiga sifar dalam nombor 50.004007 supaya membentuk:

1) nombor terhebat; 2) nombor terkecil.

AMALKANNYA

1217. Ukur panjang dan lebar buku nota anda dalam milimeter dan tulis jawapan dalam desimeter.

1218. Tulis ketinggian anda dalam meter menggunakan perpuluhan.

1219. Ukur dimensi bilik anda dan hitung perimeter dan luasnya. Tulis jawapan anda dalam meter dan meter persegi.

SEMAKAN MASALAH

1220. Apakah nilai x pecahan itu tidak wajar?

1221. Selesaikan persamaan:

1222. Kedai itu terpaksa menjual 714 kg epal. Pada hari pertama, semua epal dijual, dan pada hari kedua - dari apa yang dijual pada hari pertama. Berapakah bilangan epal yang terjual dalam masa 2 hari?

1223. Tepi sebuah kubus dikurangkan sebanyak 10 cm dan kami memperoleh sebuah kubus yang isipadunya ialah 8 dm3. Cari isipadu kubus pertama.

Tujuan pelajaran:

• cipta syarat untuk mendapatkan peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan dan keupayaan untuk menggunakannya;
• ulang rakaman pecahan biasa dalam bentuk perpuluhan, pembundaran pecahan perpuluhan;
• membangun pemikiran logik, keupayaan untuk membuat generalisasi, kemahiran penyelidikan, pertuturan.

Semasa kelas

Kawan-kawan, mari kita ingat apa yang kami lakukan dengan kamu dalam pelajaran sebelumnya?

Jawapan: mempelajari pecahan perpuluhan, menulis pecahan biasa sebagai perpuluhan dan sebaliknya, perpuluhan dibundarkan.

Apa yang anda ingin lakukan hari ini?

(Pelajar menjawab.)

Tetapi anda akan mengetahui dalam beberapa minit apa yang akan kami lakukan di dalam kelas. Buka buku nota anda dan tulis tarikhnya. Seorang pelajar akan pergi ke papan dan bekerja dengannya sisi terbalik papan. Saya akan menawarkan tugasan yang anda selesaikan secara lisan. Tuliskan jawapan anda dalam buku nota anda pada baris yang dipisahkan oleh koma bertitik. Seorang pelajar di papan hitam menulis dalam lajur.

Saya membaca tugasan yang ditulis terlebih dahulu di papan tulis:

Jom semak. Siapa ada jawapan lain? Ingat peraturan.

mendapat: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Wujudkan corak dan teruskan siri yang terhasil untuk 2 nombor lagi. Jom semak.

Ambil transkrip dan di bawah setiap nombor (orang yang menjawab di papan meletakkan huruf di sebelah nombor) letakkan huruf yang sepadan. Baca perkataan.

Penjelasan:

Jadi, apa yang akan kita lakukan di dalam kelas?

Jawapan: perbandingan.

Sebagai perbandingan! Baiklah, sebagai contoh, saya kini akan mula membandingkan tangan saya, 2 buku teks, 3 pembaris. Apa yang anda mahu bandingkan?

Jawapan: pecahan perpuluhan.

Apakah topik pelajaran yang akan kita tulis?

Saya menulis topik pelajaran di papan tulis, dan pelajar menulisnya dalam buku nota mereka: “Membandingkan perpuluhan.”

Senaman: bandingkan nombor (ditulis di papan tulis)

18.625 dan 5.784		15,200 dan 15,200
3.0251 dan 21.02		7.65 dan 7.8
23.0521 dan 0.0521		0.089 dan 0.0081

Mula-mula kita buka bahagian kiri. Seluruh bahagian berbeza. Kami membuat kesimpulan tentang membandingkan pecahan perpuluhan dengan bahagian integer yang berbeza. Pembukaan sebelah kanan. Seluruh bahagian - nombor yang sama. Bagaimana hendak membandingkan?

Tawaran: tulis perpuluhan sebagai pecahan dan bandingkan.

Tuliskan perbandingan pecahan biasa. Jika anda menukar setiap pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa dan membandingkan 2 pecahan, ia akan mengambil banyak masa. Mungkin kita boleh membuat peraturan perbandingan? (Pelajar mencadangkan.) Saya menulis peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan, yang penulis cadangkan. Jom bandingkan.

Terdapat 2 peraturan yang dicetak pada sekeping kertas:

1. Jika keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan adalah berbeza, maka pecahan dengan bahagian keseluruhan yang lebih besar adalah lebih besar.
2. Jika keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan adalah sama, maka pecahan yang lebih besar ialah pecahan yang pertama tempat perpuluhan yang tidak sepadan adalah lebih besar.

Anda dan saya telah membuat penemuan. Dan penemuan ini adalah peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan. Ia bertepatan dengan peraturan yang dicadangkan oleh pengarang buku teks.

Saya perhatikan bahawa peraturan mengatakan yang mana antara 2 pecahan itu lebih besar. Bolehkah anda beritahu saya yang manakah antara 2 pecahan perpuluhan yang lebih kecil?

Lengkapkan dalam buku nota No. 785(1, 2) di muka surat 172. Tugasan ditulis di papan tulis. Pelajar memberi komen dan guru membuat tanda.

Senaman: bandingkan

3.4208 dan 3.4028

Jadi apa yang kita belajar lakukan hari ini? Jom semak diri kita. Bekerja pada kepingan kertas dengan kertas karbon.

Pelajar membandingkan pecahan perpuluhan menggunakan >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Kerja bebas.

(Semak - jawapan di belakang papan.)

Bandingkan

148.05 dan 14.805

6.44806 dan 6.44863

35.601 dan 35.6010

Orang pertama yang melakukannya menerima tugas (melaksanakan dari belakang papan) No. 786(1, 2):

Cari corak dan tulis nombor seterusnya dalam urutan. Dalam urutan yang manakah nombor-nombor itu disusun dalam tertib menaik, dan di mana nombor itu dalam tertib menurun?

Jawapan:

1. 0.1; 0.02; 0.003; 0.0004; 0.00005; (0.000006) – menurun
2. 0.1 ; 0.11; 0.111; 0.1111; 0.11111; (0.111111) – meningkat.

Selepas pelajar terakhir menyerahkan kerja, semaknya.

Pelajar membandingkan jawapan mereka.

Mereka yang melakukan semuanya dengan betul akan memberi diri mereka markah "5", mereka yang membuat 1-2 kesilapan - "4", 3 kesilapan - "3". Ketahui di mana ralat perbandingan dibuat, pada peraturan yang mana.

Tuliskan kerja rumah anda: No. 813, No. 814 (fasal 4, ms 171). Komen. Jika anda mempunyai masa, lengkapkan No. 786(1, 3), No. 793(a).

Ringkasan pelajaran.

1. Apa yang kamu pelajari lakukan di dalam kelas?
2. Adakah anda suka atau tidak?
3. Apakah kesukaran?

Ambil helaian dan isikannya, menunjukkan tahap asimilasi bahan anda:

• menguasai sepenuhnya, saya boleh melaksanakan;
• Saya telah menguasai sepenuhnya, tetapi sukar untuk digunakan;
• sebahagiannya dikuasai;
• tidak dipelajari.

Terima kasih atas pengajaran.

Dalam artikel ini kita akan melihat topik " membandingkan perpuluhan" Mula-mula, mari kita bincangkan prinsip umum membandingkan pecahan perpuluhan. Selepas ini, kita akan mengetahui pecahan perpuluhan yang sama dan yang tidak sama. Seterusnya, kita akan belajar untuk menentukan pecahan perpuluhan mana yang lebih besar dan yang mana lebih kecil. Untuk melakukan ini, kita akan mengkaji peraturan untuk membandingkan pecahan terhingga, berkala tak terhingga dan pecahan tak berkala tak terhingga. Kami akan menyediakan keseluruhan teori dengan contoh dengan penyelesaian terperinci. Kesimpulannya, mari kita lihat perbandingan pecahan perpuluhan dengan nombor asli, pecahan biasa dan nombor bercampur.

Katakan segera bahawa di sini kita hanya akan bercakap tentang membandingkan pecahan perpuluhan positif (lihat nombor positif dan negatif). Kes selebihnya dibincangkan dalam artikel perbandingan nombor rasional dan perbandingan nombor nyata.

Navigasi halaman.

Prinsip am untuk membandingkan pecahan perpuluhan

Berdasarkan prinsip perbandingan ini, peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan diterbitkan yang membolehkannya dilakukan tanpa menukar pecahan perpuluhan yang dibandingkan kepada pecahan biasa. Kami akan membincangkan peraturan ini, serta contoh aplikasinya, dalam perenggan berikut.

Prinsip yang sama digunakan untuk membandingkan pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan perpuluhan berkala tak terhingga dengan nombor asli, pecahan biasa dan nombor bercampur: nombor yang dibandingkan digantikan dengan pecahan biasa yang sepadan, selepas itu pecahan biasa dibandingkan.

Berkenaan perbandingan perpuluhan tak berkala tak terhingga, maka ia biasanya datang untuk membandingkan pecahan perpuluhan terhingga. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bilangan tanda pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga dibandingkan yang membolehkan anda memperoleh hasil perbandingan.

Perpuluhan sama dan tidak sama

Mula-mula kami perkenalkan definisi pecahan perpuluhan sama dan tidak sama.

Definisi.

Dua pecahan perpuluhan yang berakhir dipanggil sama rata, jika pecahan biasa yang sepadan adalah sama, jika tidak pecahan perpuluhan ini dipanggil tidak sama rata.

Berdasarkan definisi ini, adalah mudah untuk mewajarkan pernyataan berikut: jika anda menambah atau membuang beberapa digit 0 pada penghujung pecahan perpuluhan yang diberikan, anda akan mendapat pecahan perpuluhan yang sama dengannya. Contohnya, 0.3=0.30=0.300=…, dan 140.000=140.00=140.0=140.

Sesungguhnya, menambah atau membuang sifar pada penghujung pecahan perpuluhan di sebelah kanan sepadan dengan mendarab atau membahagi dengan 10 pengangka dan penyebut bagi pecahan biasa yang sepadan. Dan kita tahu sifat asas pecahan, yang menyatakan bahawa mendarab atau membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor asli yang sama memberikan pecahan yang sama dengan pecahan asal. Ini membuktikan bahawa menambah atau membuang sifar ke kanan dalam bahagian pecahan perpuluhan memberikan pecahan yang sama dengan pecahan asal.

Sebagai contoh, pecahan perpuluhan 0.5 sepadan dengan pecahan biasa 5/10, selepas menambah sifar di sebelah kanan, pecahan perpuluhan 0.50 sepadan, yang sepadan dengan pecahan biasa 50/100, dan. Oleh itu, 0.5=0.50. Sebaliknya, jika dalam pecahan perpuluhan 0.50 kita membuang 0 di sebelah kanan, maka kita mendapat pecahan 0.5, jadi dari pecahan biasa 50/100 kita datang ke pecahan 5/10, tetapi . Oleh itu, 0.50=0.5.

Mari kita teruskan ke penentuan pecahan perpuluhan berkala tak terhingga sama dan tak terhingga.

Definisi.

Dua pecahan berkala tak terhingga sama rata, jika pecahan biasa yang sepadan adalah sama; jika pecahan biasa yang sepadan dengannya tidak sama, maka pecahan berkala yang dibandingkan adalah juga tidak sama.

Tiga kesimpulan berikut dari definisi ini:

• Jika tatatanda pecahan perpuluhan berkala bertepatan sepenuhnya, maka pecahan perpuluhan berkala tak terhingga itu adalah sama. Sebagai contoh, perpuluhan berkala 0.34(2987) dan 0.34(2987) adalah sama.
• Jika tempoh pecahan berkala perpuluhan yang dibandingkan bermula dari kedudukan yang sama, pecahan pertama mempunyai tempoh 0, yang kedua mempunyai tempoh 9, dan nilai digit sebelum tempoh 0 adalah satu lebih besar daripada nilai digit. sebelum tempoh 9, maka pecahan perpuluhan berkala tak terhingga itu adalah sama. Sebagai contoh, pecahan berkala 8,3(0) dan 8,2(9) adalah sama, dan pecahan 141,(0) dan 140,(9) juga sama.
• Mana-mana dua pecahan berkala lain tidak sama. Berikut ialah contoh pecahan perpuluhan berkala tak terhingga tak sama: 9,0(4) dan 7,(21), 0,(12) dan 0,(121), 10,(0) dan 9,8(9).

Ia tetap perlu ditangani pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga sama dan tak sama. Seperti yang diketahui, pecahan perpuluhan tersebut tidak boleh ditukar kepada pecahan biasa (pecahan perpuluhan tersebut mewakili nombor tidak rasional), oleh itu perbandingan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh dikurangkan kepada perbandingan pecahan biasa.

Definisi.

Dua perpuluhan tak berkala tak terhingga sama rata, jika rekod mereka sepadan sepenuhnya.

Tetapi ada satu kaveat: adalah mustahil untuk melihat rekod "selesai" bagi pecahan perpuluhan tidak berkala yang tidak berkesudahan, oleh itu, adalah mustahil untuk memastikan kebetulan lengkap rekod mereka. Bagaimana untuk menjadi?

Apabila membandingkan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga, hanya bilangan terhingga tanda pecahan yang dibandingkan dipertimbangkan, yang membolehkan seseorang membuat kesimpulan yang diperlukan. Oleh itu, perbandingan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga dikurangkan kepada perbandingan pecahan perpuluhan terhingga.

Dengan pendekatan ini, kita boleh bercakap tentang kesamaan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga hanya sehingga digit yang dipersoalkan. Mari beri contoh. Perpuluhan tak berkala tak terhingga 5.45839... dan 5.45839... adalah sama dengan ratus ribu terdekat, kerana perpuluhan terhingga 5.45839 dan 5.45839 adalah sama; pecahan perpuluhan bukan berkala 19.54... dan 19.54810375... adalah sama dengan perseratus terdekat, kerana ia sama dengan pecahan 19.54 dan 19.54.

Dengan pendekatan ini, ketaksamaan pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga diwujudkan dengan pasti. Contohnya, perpuluhan tak berkala tak terhingga 5.6789... dan 5.67732... tidak sama, kerana perbezaan dalam tatatandanya adalah jelas (perpuluhan terhingga 5.6789 dan 5.6773 tidak sama). Perpuluhan tak terhingga 6.49354... dan 7.53789... juga tidak sama.

Peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan, contoh, penyelesaian

Selepas membuktikan fakta bahawa dua pecahan perpuluhan adalah tidak sama, anda selalunya perlu mengetahui yang mana antara pecahan ini lebih besar dan yang mana lebih kecil daripada yang lain. Sekarang kita akan melihat peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan, membolehkan kita menjawab soalan yang dikemukakan.

Dalam kebanyakan kes, adalah memadai untuk membandingkan keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan yang dibandingkan. Yang berikut adalah benar peraturan untuk membandingkan perpuluhan: semakin besar pecahan perpuluhan yang keseluruhan bahagiannya lebih besar, dan semakin kecil pecahan perpuluhan yang keseluruhan bahagiannya kurang.

Peraturan ini digunakan untuk kedua-dua pecahan perpuluhan terhingga dan tak terhingga. Mari kita lihat penyelesaian kepada contoh.

Contoh.

Bandingkan perpuluhan 9.43 dan 7.983023….

Penyelesaian.

Jelas sekali, perpuluhan ini tidak sama. Bahagian integer bagi pecahan perpuluhan terhingga 9.43 adalah sama dengan 9, tetapi bahagian integer bagi pecahan perpuluhan tak terhingga bukan pecahan berkala 7.983023... bersamaan dengan 7. Sejak 9>7 (lihat perbandingan nombor asli), maka 9.43>7.983023.

Jawapan:

9,43>7,983023 .

Contoh.

Pecahan perpuluhan yang manakah 49.43(14) dan 1045.45029... lebih kecil?

Penyelesaian.

Bahagian integer bagi pecahan berkala 49.43(14) adalah kurang daripada bahagian integer bagi pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 1045.45029..., oleh itu, 49.43(14)<1 045,45029… .

Jawapan:

49,43(14) .

Jika keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan yang dibandingkan adalah sama, maka untuk mengetahui yang mana lebih besar dan yang mana kurang, anda perlu membandingkan bahagian pecahan. Perbandingan bahagian pecahan pecahan perpuluhan dijalankan sedikit demi sedikit- dari kategori persepuluh hingga yang lebih rendah.

Mula-mula, mari kita lihat contoh membandingkan dua pecahan perpuluhan terhingga.

Contoh.

Bandingkan perpuluhan berakhir 0.87 dan 0.8521.

Penyelesaian.

Bahagian integer bagi pecahan perpuluhan ini adalah sama (0=0), jadi kita teruskan untuk membandingkan bahagian pecahan. Nilai tempat persepuluh adalah sama (8=8), dan nilai tempat perseratus pecahan ialah 0.87 lebih besar daripada nilai tempat perseratus pecahan 0.8521 (7>5). Oleh itu, 0.87>0.8521.

Jawapan:

0,87>0,8521 .

Kadangkala, untuk melakukan perbandingan menamatkan pecahan perpuluhan dengan jumlah yang berbeza tempat perpuluhan, pecahan dengan tempat perpuluhan yang lebih sedikit mesti ditambah dengan nombor sifar di sebelah kanan. Adalah agak mudah untuk menyamakan bilangan tempat perpuluhan sebelum mula membandingkan pecahan perpuluhan akhir dengan menambah bilangan sifar tertentu di sebelah kanan salah satu daripadanya.

Contoh.

Bandingkan perpuluhan berakhir 18.00405 dan 18.0040532.

Penyelesaian.

Jelas sekali, pecahan ini tidak sama, kerana notasinya berbeza, tetapi pada masa yang sama ia mempunyai bahagian integer yang sama (18 = 18).

Sebelum perbandingan bit bagi bahagian pecahan bagi pecahan ini, kita samakan bilangan tempat perpuluhan. Untuk melakukan ini, kami menambah dua digit 0 pada akhir pecahan 18.00405, dan kami mendapat pecahan perpuluhan yang sama 18.0040500.

Nilai tempat perpuluhan pecahan 18.0040500 dan 18.0040532 adalah sama dengan ratus perseribu, dan nilai tempat persejuta pecahan itu ialah 18.0040500 kurang daripada nilai digit yang sepadan bagi pecahan 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Jawapan:

18,00405<18,0040532 .

Apabila membandingkan pecahan perpuluhan terhingga dengan pecahan terhingga, pecahan terhingga digantikan dengan pecahan berkala tak terhingga yang sama dengan tempoh 0, selepas itu perbandingan dibuat dengan digit.

Contoh.

Bandingkan perpuluhan terhingga 5.27 dengan perpuluhan tak berkala tak terhingga 5.270013... .

Penyelesaian.

Keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan ini adalah sama. Nilai digit persepuluh dan perseratus bagi pecahan ini adalah sama, dan untuk melakukan perbandingan selanjutnya, kami menggantikan pecahan perpuluhan terhingga dengan pecahan berkala tak terhingga yang sama dengan tempoh 0 dalam bentuk 5.270000.... Sehingga tempat perpuluhan kelima, nilai tempat perpuluhan 5.270000... dan 5.270013... adalah sama, dan pada tempat perpuluhan kelima kita mempunyai 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Jawapan:

5,27<5,270013… .

Perbandingan pecahan perpuluhan tak terhingga juga dijalankan mengikut tempat, dan berakhir sebaik sahaja nilai beberapa digit ternyata berbeza.

Contoh.

Bandingkan perpuluhan tak terhingga 6.23(18) dan 6.25181815….

Penyelesaian.

Keseluruhan bahagian pecahan ini adalah sama, dan nilai tempat persepuluh juga sama. Dan nilai tempat perseratus bagi pecahan berkala 6.23(18) adalah kurang daripada tempat perseratus bagi pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga 6.25181815..., oleh itu, 6.23(18)<6,25181815… .

Jawapan:

6,23(18)<6,25181815… .

Contoh.

Antara perpuluhan berkala tak terhingga 3,(73) dan 3,(737) yang manakah lebih besar?

Penyelesaian.

Jelaslah bahawa 3,(73)=3.73737373... dan 3,(737)=3.737737737... . Di tempat perpuluhan keempat perbandingan bitwise berakhir, kerana di sana kita mempunyai 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Jawapan:

3,(737) .

Bandingkan perpuluhan dengan nombor asli, pecahan dan nombor bercampur.

Hasil perbandingan pecahan perpuluhan dengan nombor asli boleh diperolehi dengan membandingkan bahagian integer bagi pecahan tertentu dengan nombor asli yang diberikan. Dalam kes ini, pecahan berkala dengan noktah 0 atau 9 mesti terlebih dahulu digantikan dengan pecahan perpuluhan terhingga yang sama dengannya.

Yang berikut adalah benar peraturan untuk membandingkan pecahan perpuluhan dan nombor asli: jika keseluruhan bahagian pecahan perpuluhan adalah kurang daripada nombor asli yang diberikan, maka keseluruhan pecahan adalah kurang daripada nombor asli ini; jika bahagian integer pecahan lebih besar daripada atau sama dengan nombor asli yang diberikan, maka pecahan itu lebih besar daripada nombor asli yang diberikan.

Mari kita lihat contoh aplikasi peraturan perbandingan ini.

Contoh.

Bandingkan nombor asli 7 dengan pecahan perpuluhan 8.8329….

Penyelesaian.

Oleh kerana nombor asli yang diberikan adalah kurang daripada bahagian integer bagi pecahan perpuluhan tertentu, maka nombor ini adalah kurang daripada pecahan perpuluhan tertentu.

Jawapan:

7<8,8329… .

Contoh.

Bandingkan nombor asli 7 dan pecahan perpuluhan 7.1.

Segmen AB adalah sama dengan 6 cm, iaitu, 60 mm. Oleh kerana 1 cm = dm, maka 6 cm = dm. Ini bermakna AB ialah 0.6 dm. Oleh kerana 1 mm = dm, maka 60 mm = dm. Ini bermakna AB = 0.60 dm.
Oleh itu, AB = 0.6 dm = 0.60 dm. Ini bermakna pecahan perpuluhan 0.6 dan 0.60 menyatakan panjang segmen yang sama dalam desimeter. Pecahan ini adalah sama antara satu sama lain: 0.6 = 0.60.

Jika anda menambah sifar atau membuang sifar pada penghujung pecahan perpuluhan, anda mendapat pecahan, sama dengan ini.
Sebagai contoh,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Mari kita bandingkan dua pecahan perpuluhan 5.345 dan 5.36. Mari kita samakan bilangan tempat perpuluhan dengan menambah sifar di sebelah kanan nombor 5.36. Kami mendapat pecahan 5.345 dan 5.360.

Mari kita tuliskannya dalam bentuk pecahan tak wajar:

Pecahan ini mempunyai penyebut yang sama. Ini bermakna yang mempunyai pengangka yang lebih besar adalah lebih besar.
Sejak 5345< 5360, то yang bermaksud 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Untuk membandingkan dua pecahan perpuluhan, anda mesti terlebih dahulu menyamakan bilangan tempat perpuluhan dengan menambah sifar pada salah satu daripadanya di sebelah kanan, dan kemudian, membuang koma, bandingkan yang terhasil. integer.

Pecahan perpuluhan boleh diwakili pada sinar koordinat dengan cara yang sama seperti pecahan biasa.
Sebagai contoh, untuk menggambarkan pecahan perpuluhan 0.4 pada sinar koordinat, kita mula-mula mewakilinya sebagai pecahan biasa: 0.4 = Kemudian kita ketepikan empat persepuluh segmen unit dari permulaan sinar. Kami memperoleh titik A(0,4) (Rajah 141).

Pecahan perpuluhan yang sama diwakili pada sinar koordinat dengan titik yang sama.

Sebagai contoh, pecahan 0.6 dan 0.60 diwakili oleh satu titik B (lihat Rajah 141).

Pecahan perpuluhan yang lebih kecil terletak pada sinar koordinat di sebelah kiri yang lebih besar, dan yang lebih besar di sebelah kanan yang lebih kecil.

Sebagai contoh, 0.4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Adakah perpuluhan akan berubah jika sifar ditambah pada penghujungnya?
A6 sifar?
Merumus peraturan perbandingan perpuluhan pecahan.

1172. Tulis pecahan perpuluhan:

a) dengan empat tempat perpuluhan, sama dengan 0.87;
b) dengan lima tempat perpuluhan, bersamaan dengan 0.541;
c) dengan tiga digit selepas diduduki, bersamaan dengan 35;
d) dengan dua tempat perpuluhan, bersamaan dengan 8.40000.

1173. Dengan menambah sifar di sebelah kanan, samakan bilangan tempat perpuluhan dalam pecahan perpuluhan: 1.8; 13.54 dan 0.789.

1174. Tulis pecahan yang lebih pendek: 2.5000; 3.02000; 20,010.

85.09 dan 67.99; 55.7 dan 55.7000; 0.5 dan 0.724; 0.908 dan 0.918; 7.6431 dan 7.6429; 0.0025 dan 0.00247.

1176. Susun nombor dalam tertib menaik:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

susun mengikut tertib menurun.

a) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Bandingkan nilai:

a) 98.52 m dan 65.39 m; e) 0.605 t dan 691.3 kg;
b) 149.63 kg dan 150.08 kg; f) 4.572 km dan 4671.3 m;
c) 3.55°C dan 3.61°C; g) 3.835 hektar dan 383.7 a;
d) 6.781 jam dan 6.718 jam; h) 7.521 l dan 7538 cm3.

Adakah mungkin untuk membandingkan 3.5 kg dan 8.12 m? Berikan beberapa contoh kuantiti yang tidak boleh dibandingkan.

1185. Kira secara lisan:

1186. Pulihkan rantaian pengiraan

1187. Adakah mungkin untuk menyatakan berapa banyak digit selepas titik perpuluhan terdapat dalam pecahan perpuluhan jika namanya berakhir dengan perkataan:

a) perseratus; b) sepuluh perseribu; c) persepuluh; d) persejuta?

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian soalan perbincangan kerja rumah soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rancangan kalendar untuk tahun ini; cadangan metodologi; program perbincangan Pelajaran Bersepadu